622 Apostila Matemativa

CampusSertozinho

ApostiladeMatemticaBsicaProf.Msc.LuizCarlosLealJunior

APOSTILAMATEMTICABSICA

Estematerialservecomointroduoaosconceitosmatemticos,adequando-sesnecessidadesdosalunosdoCEFET/SP,UNEDdeSertozinho.Neleestocontedosdosnveisbsicoeintermediriodamatemtica,dosensinosfundamentalemdio.Ospontos,aquiabordados,fazempartedeumgrupoderequisitosnecessriosascensonoscursosoferecidospelaunidade.Estematerialtemporobjetivooferecersubsdioseconhecimentobsicosaosalunosquedelesnecessitam,amododeproporcionaraosdiscentesabasematemticaparaprosseguiremseusestudos.Omaterialcontmasdefiniesmatemticasdeumamaneiraclaraeobjetiva,exemploseumasriedeexercciosdefixao.

Aluno:_____________________________________________________

Curso:_____________________________________Turma:________

1

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NDICEGERAL

I.Conjuntosnumricos2II.Asquatrooperaesfundamentais(nmerosdecimais)eExpresses2III.FraesOrdinrias9IV.Potncias13V.Operaesalgbricas20VI.Equaesdo1grau23VII.Equaesdo2grau28VIII.Inequaesdo1grau30IX.Proporcionalidade31X.Juros38XI.RelaesTrigonomtricas41XII.PlanoCartesiano(seuproduto,relaesefunes)44XIII.NoesdeGeometriaPlanaeEspacial48

2

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I-CONJUNTOSNUMRICOS


Sotodososnmerosnaformadecimalexata,peridicaounaformadefrao.

,,,,0,,,,Q=

,-

176

232324

541117

Estafigurarepresentaaclassedosnmeros.Vejaaseguir:

Exemplos:Nmerosdecimaisnaformaexata:{1,2;3,654;0,00005;105,27272};Nmerosdecimaisnaformaperidica:

2,333333=2,33,0222=3,0210,232323=10,23IIrracionaisSotodasasdecimaisnoexatasenoperidicas.

,3,,,NNaturaisSoosnmerospositivosinclusiveozero,querepresentemuma

I=,-

26

6

contageminteira.N={0,1,2,3,4,5,...}Nohnmerosnaturaisnegativos.

ZInteirosSoosnmerosnaturaiseseusopostosnegativos.Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Nohnmerosinteirosemfraooudecimal.QRacionais

RReaisauniodosconjuntosnumricoscitadosacima.Portanto,todonmero,sejaN,Z,QouIumnmeroR(real).Asrazesemqueoradicandosejanegativoeondiceparnosoreais.

II-ASQUATROOPERAESFUNDAMENTAIS(NMEROSDECIMAIS)1)Adio

3

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Naadioosnmerossochamadosdeparcelas,sendoaoperaoaditiva,eoresultadoasoma.

2+2=4

ParcelasadioSoma

Exemplos:4,32+2,3+1,429=8,049


Nasubtraoosnmerossochamadosdesubtraendo,sendoaoperaoasubtrao,eoresultadoominuendo.

Subtrao

32=1

MinuendoSubtraendodiferena

Exemplos:Asregrasparaasubtraosoasmesmasdaadio,

parcelas4,32+2,31,429

8,049

}soma

Observequeasparcelassodispostasdemodoquesetenhavrgulasobrevrgula.

portantopodemosutilizarosmesmosexemplosapenasalterandoaoperao.Numasubtraodotipo4-7temosqueominuendomenorqueosubtraendo;sendoassimadiferenasernegativaeiguala-3.

3)Multiplicao

14

+

23

+

15

=

15+40+1260

=

6760

1,1166

Namultiplicaoosnmerossochamadosdefatores,sendoaoperaomultiplicativa,eoresultadooproduto.

ou

22*3=66

14

+

23

+

15

=

2,25+6+1,89

=

10,059

1,1166

FatoresMultiplicaoProduto

2)Subtrao

Pode-serepresentaramultiplicaopor:*,xou.Exemplo:

4

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7,32*12,5=91,500

Exemplo:Existenadiviso,oquesepodechamarderesto.Isto,quandouma

verdadeirobastasubstituirosvalores7,32*12,536601464+732+91,500

fatores

}produto

Namultiplicaocomea-seoperardaesquerdaparaadireita.Quandoamultiplicaoenvolvernmerosdecimais(comonoexemploaolado),soma-seaquantidadedecasasapsavrgula.

divisonoexatairsempresobrarumdeterminadovalor,vejanoexemploaseguir:843/5=168Paraverificarseoresultado3443naseguintefrmula:3resto(r)D=d*q+r843=5*168+3

2,6128168**==23163Namultiplicaodefraesmultiplica-sedivisorcomdivisor,dividendocomdividendo(ousimplesmente,odecimapelodecimaeodebaixopelodebaixo).

4)DivisoNadiviso,osnmerossochamadosdedividendo(apartequeestsendodividida)edivisor(aquantiadevezesqueestaparteestsendodividida),aoperaoadiviso,eoresultadooquociente.Diviso

7/4=1,75

Dividendo(D)Divisor(d)Quociente(q)

Seorestoforigualazeroadivisochamadaexata.5)CasosparticularesdamultiplicaoedivisoMultiplicaoN*1=NN*0=0

DivisoN/1=NN/N=10/N=0(N0)N/0=Noexiste!!!!

6)Exerccios

a)2,31+4,08+3,2=

5

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b)4,03+200+51,2=c)32,421,3=d)4833,45=e)2,1*3,2=f)48,2*0,031=g)3,21*2,003=

Exemplos:

9=92=20=07=7

3,22,0h)8,4708/3,62=i)682,29/0,513=j)2803,5/4450=0,2*0,3k)(FUVEST)=

l)0,041*21,32*401,05m)0,0281/0,432

8)SomaesubtraoalgbricaSinaisiguais:Somam-seosvaloresabsolutosed-seosinalcomum.Sinaisdiferentes:Subtraem-seosvaloresabsolutosed-seosinaldomaior.Exemplos:a)2+4=6b)24=6

n)

o)

2,31*4,825,10,021*4,320,285

c)53=2d)5+3=2e)2+312=53=2f)13+24+21532=2345=22

7)ValorabsolutoouMduloRepresentaadistnciadeumnmeroatozero(ouorigem).Sendoassim,omdulo,porrepresentardistncia,semprepositivoerepresentadopor||.

9)MultiplicaoedivisoalgbricaSinaisiguaisrespostapositivaSinaisdiferentesrespostanegativa

Isto:

(+)*(+)=

(+)

(+):(+)=

(+)

6

()*()=(+)*()=()*(+)=

(+)()()

():()=(+):()=():(+)=

(+)()()

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aparecemsinaisdereunio:():parnteses,[]:colchetese{}:chaves,efetuam-seasoperaeseliminando-se,naordem:parnteses,colchetesechaves,isto,dossinaisinterioresparaosexteriores.Quandofrentedosinaldareunioeliminadoestiverosinalnegativo,trocam-setodosossinaisdostermosinternos.

Exemplos:

a)12*3=36b)(-12)*(-3)=36c)2*(-2)=-4d)(-2)*3=-6

Exemplo:

a)2+[2(3+2)1]=2+[251]=2+[26]b)2+{3[1+(25+4)]+8}=11c){2[3*4:22(31)]}+1={2[12:22*

e)

42

=2

2]}+1={2[64]}+1

f)

20(5)

=-4

11)NmerosPrimosSoaquelesnmerosdivisveissomenteporelesmesmosepor1.

g)

h)

(20)(5)(20)5

=4

=-4

Obs.:Onmero1,pordefinio,noprimo.

MtodoparaobtenodenmerosprimosFaremosissoatravsdeumexemplo:

10)ExpressesnumricasPararesolverexpressesnumricasrealizamosprimeiroasoperaesdemultiplicaoediviso,naordememqueestasestiveremindicadas,edepoisadiesesubtraes.Emexpressesque

Encontreosnmerosprimoscompreendidosentre1e50.

1Passo:Enumera-los12345678910

7

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

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30155

235

30=2*3*5

2Passo:Encontrararaizquadradadomaiornmeroquadradodentreosindicados,ouseja,encontraromaiornmeroqueseconheaaraizquadradaexata.

1

30

Nocaso,

49=7.

21377

21=3*7

3Passo:Extrairdalistaacimaosnmerosmltiplosdosnmeros{2,3,4,5,6,7},nestaordem,ondeo7provmdo2passo.

4Passo:Osnmerosquesobraramsoosnmerosprimosprocurados:{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}.

Obs.:Onmero2oniconmeroprimoepar.

12)DecomposiodeumnmeroemumprodutodefatoresprimosAdecomposiodeumnmeroemumprodutodefatoresprimosfeitapormeiododispositivoprticoquesermostradonosexemplosaseguir.

Exemplos:

121

OBS:Nmeroprimoaqueledivisvelsomenteporelemesmoepelonmero1.

13)Mnimomltiplocomum(m.m.c.)Omnimomltiplocomumavriosnmerosomenornmerodivisvelportodoseles.Exemplo:

a)Calcularom.m.c.entre12,16e45

8

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1206030303010101

\12\45\08\45\04\45\02\45\01\45\01\15\01\05\01\01

2222335720

Agoratomemosasmenorespotnciasdosfatoresemcomumapresentadosacima:m.d.c.(12,18,36)=2.3=6.

Quandoom.d.c.entredoisnmerosiguala1,dizemosqueelessorelativamenteprimos.Exemplo:5e9sorelativamenteprimos,pois5=5.1e9=32.1.Sendo1onicofatorcomumaestesnmeros.

Om.m.c.entre12,16e45720Confirmeosresultadosabaixo.b)m.m.c.(4,3)=12c)m.m.c.(3,5,8)=120d)m.m.c.(8,4)=8e)m.m.c.(60,15,20,12)=60

14)MximoDivisorComum(m.d.c.)Om.d.c.avriosnmerosomaiornmeroqueosdivide.Exemplo:Encontrarom.d.c.entre12,18e36.

Fatorandocadaumdosnmerosemfatoresprimos,temos:12=22.318=2.3236=22.32.

Confirmeosresultadosabaixo:b)m.m.c.(9,6)=3c)m.m.c.(36,45)=9d)m.m.c.(12,64)=4e)m.m.c.(20,35,45)=5

15)Exerccios:

a)2+31=b)25+8=c)138+25=d)2*(-3)=e)(-2)*(-5)=f)(-10)*(-1)=

9

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g)(-1)*(-1)*(-2)=

c.12,18e32

h)

i)

4282

=

=

IV-FRAESORDINRIAS

Definio:Fraoumquocienteindicadoondeodividendoo

j)

205

=

numeradoreodivisorodenominador.

Asfraesqueseroapresentadasaseguir,partemdeumcrculo

k)

(4)*(1)2

=

inteiroqueaoserdivididoempartesiguaisformamasfraes

l)

m)

(1+3-5)*(2-7)1(2+3*4-2*5-3)1

=

=

12

3=0,54

=0,75

n)2{2-2[2-4(3*2:3)+2]}+1=o)8-{-20[(-3+3):(-58)]+2(-5)}=

p)0,5*0,4:0,2=q)0,6:0,03*0,05=

14

1=0,258

=0,125

r)5:10=s)3:81*0,5=t)Calculeom.m.c.eom.d.c.entre:a.36e60b.18,20e30

78

=0,875

1

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Exemplos:

Afraoprpriaquandoonumeradormenordoqueo

======13120denominador:,,,etc.25210Afraoeimprpriaquandoonumeradormaiorqueodenominador,sendopossvelrepresent-laporumnmeromistoereciprocamente.Exemplos:

a)

b)

c)

12342030

1*222*243*5154*52020:1030:10

23

a)

107

=1

37

pois

107

possuiresto3

d)-

48

=-

4:48:4

=-

12

b)

c)

285113

=

=3

25+3523

=

255

+

35

=5

35

pois

285

possuiresto3

17)SomaalgbricadefraesReduzem-seaomenordenominadorcomumesomam-sealgebricamenteosnumeradores.OBS:Omenordenominadorcomumom.m.c.dosdenominadores.

d)2

13

=

73

Exemplos:

e)-1

14

=-

54

a)

12

+

13

=

36

+

26

=

3+26

=

56

+--+=+===543+5-442+=1916241-9+16-24=-=-116)PropriedadeMultiplicandooudividindoostermosdeumafraoporumnmerodiferentedezeroobtm-seumafraoequivalenteinicial.

b)

c)

1522631341243

36

-2=

-66663

--1212121212

=-

1612

43

13

1

12=1*3=3=1133133CampusSertozinho

18)MultiplicaodefraesMultiplicam-seosnumeradoresentresi,damesmamaneirasefazcomosdenominadores.

Exemplos:

a)

b)


12122

(123)=-2*2=-4=-112

*=b)*=-c)*=32=1*1=1d)2=1*2=2=723=13*4=-52=-125)()(219392727a)

13325101114281235

215

c)

1

553151

3

236

e)3=44

4113

*=-d)

(3)*

14

27

314

e)2*3=*3111164545

=

445

=8

45

20)ComparaodeFraesParacompararasfraesdevemosreduzi-lasaomesmodenominador

19)DivisodefraesMultiplica-seafraodividendapeloinversodafraodivisora.

Exemplos:

ecompararosnumeradores,aqualtiveronumeradosmaiorseramaiorfrao.OBS.:abl-seamaiordoqueb

1

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Exemplo:Comparar

67

e

23

:

a)

24

=

Paraisto,calculamosom.m.c.entre7e3:m.m.c.(3,7)=21.Ento,aotransformarosdenominadoresem21,devemosmultiplicarosnumeradorespelofatoresdetransformaes.

b)

c)

9271248

=

=

6*37*3

e

2*718e3*721

1421

Compararasfraes:

+=--+Como18maiorque14,podemosafirmarque:1814>.2121

Ofatordetransformaodafrao3pois3*7=21,eodafrao7,pois3*7=21.

21)Exerccios

Simplifiqueasfraes,oucoloque-asnaformairredutvel:

a)

b)

c)

Resolva:

a)

b)

c)

12,2325,3643,78

1151024331123

=

16

=

1

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*=d)

1235

Simplifique:

**=f)-*-=1+1+1=1+1+e)

3127351265

a)

1

111+1

:-=+b)g)

h)

113=22135

1223V-POTNCIAS

13+

+34

1

4:9+1=17

:*=2:1=An=i)

j)

1212342155

Definio:PotnciadegraundeumnmeroAoprodutodenfatoresiguaisaA.AA...Anvezes

k):=13

+

2142

Aabasedapotnciaenoexpoentedapotncia,quedeterminaseugrau.

33=(-1)=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=1(-1)4=1l)

m)

1+1

1+11+122

2

=

Assim:2=2*2*2=82=84

CASOSPARTICULARES:a)Apotnciadeexpoente1(1grau)igualbase:

1

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5*55*5A1=A;21=2b)Todapotnciade1iguala1:1=1;1=1c)Todapotnciade0iguala0:

Realmente:

55

64

=

6vezes5*5*5*5*5*5*4vezes

=56-4=52

0=0;0=0d)Todapotnciadeexpoenteparpositiva:(-2)4=16;24=16;(-3)=9;3=9e)Todapotnciadeexpoentempartemosinaldabase:3=27;(-3)=-2725=32;(-2)5=-32

22)MultiplicaodepotnciasdemesmabaseMantm-seabasecomumesoma-seosexpoentes.

Exemplo:37:33=34=3*3*3*3=81

24)Multiplicaodepotnciasdemesmograu(semelhantes)Multiplicam-seasbaseseconserva-seoexpoentecomum.

Realmente:2*7=2*2*7*7=(2*7)Exemplo:3*5=3*3*3*5*5*5=(3*5)=15=3375

25)Divisodepotnciasdemesmograu(semelhantes)Dividem-seasbaseseconserva-seoexpoentecomum.

*=Realmente:

2*2*22*2*2=2*=23+2=25

23vezesvezes5vezes

Realmente:

2272

=

2*27*7

=

2277

27

2

Exemplo:5*57=59=5*5*5*5*5*5*5*5*5=1953125

23)DivisodepotnciasdemesmabaseMantm-seabasecomumediminuem-seosexpoentes.

Exemplo:8:2=4=64

26)PotenciaodepotnciaEleva-seabaseaoprodutodosexpoentes.

Realmente:2=2=26.32

32

1

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Exemplo:

(35)2=310=59049

Exemplo:

52=

152

=

15*5

=

125

27)ExpoentenuloTodapotnciadebasediferentedezeroeexpoentezeroigualaunidade.

29)Potnciasde10Efetuam-seaspotnciasde10escrevendodireitadaunidadetantoszerosquantasforemasunidadesdoexpoente.

Realmente:a4:a4=a4-4=a0a4:a4=1

Exemplo:(-5)0=1

a0=1

Exemplos:

a)10=100b)107=10000000c)200=2*100=2*10

28)ExpoentenegativoQualquernmerodiferentedezero,elevadoaexpoentenegativoigualaumafraocujonumeradoraunidadeecujodenominadoramesmabasedapotnciaelevadaaomesmoexpoentecomosinalpositivo.

d)4000=4*10e)300000=3*105f)3*108=300000000

30)NmerosdecimaisTodonmerodecimalequivalenteaumprodutodoqualumfatoro

7=23231223*242423=2-47=22-4=a=nRealmente:

2

3-7

=

124

n1a

1

nmeroescritocomointeiro,eoutroumapotnciadedezcomexpoentenegativo,comtantasunidadesnoexpoentequantassoasordensdecimais.

=1000010Realmente:0,0025=

2525

4

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=25*10-4


j)34:3*35=k)24*54=

a)0,001=10b)0,002=2*10c)0,00008=8*10d)1,255=1255*10e)2*10=0,002u)=52v)=22*33w)=3Exemplos:

-3

-3

-3

31)Exerccios

a)1=b)04=c)(-2)=d)(-4)=e)(-2)4=f)(-4)4=g)2*25=h)3*3*35=i)35:34=

-5

-3

l)(-3)5*(-5)5=m)153:33=n)(-4)6:26=o)(3)2=p)(2)5=q)(33)2=r)[(3)]=s)(2*3)=t)(3*5*2)4=5

33

342

5

x)(2*3)0=y)4-2=z)2*3-1=

1

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aa)

3

24=

Definio:Denomina-seraizdendicen(ouraizn-sima)deA,aonmeroouexpressoque,elevadopotncianreproduzA.

bb)(2-3*5-2)-4=cc)2x+1*4x=dd)32x*24x=ee)54x:252x=

Exprimir,utilizandopotnciasde10:a)20000=

OBS:Representa-searaizpelosmbolo

n-ndicedaraiz

nAA-radicando-radical

Assim:

b)4800000=c)0,01=

a)

16=4porque4=16

d)0,000045=

Efetuar,utilizandopotnciade10:

b)38=2porque2=8

c)481=3porque34=81

a)

b)

2000*480008028*0,0000320,00002

=

=

32)Propriedadepossvelretirarumfatordoradical,bastantequesedividaoexpoentedoradicandopelondicedoradical.

Exemplos:

RADICAIS

a)

b)

12=

180=

22*3=23

22*325=2*35=65

1

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d)3=3=3==3c)438*54*2=32*542488:42

Reciprocamente,paraintroduzirumfatornoradical,multiplica-seoexpoentedofatorpelondicedoradical.Assim:

Exemplo:a)

b)

c)

2*3=2*3=6

6622

3*5*2=3*5*2=

30

3*222332=

33

d)

45*434

=

4154

=4

152

(43)3=433=427()2b)522*3=522*3533)AdioesubtraoderadicaissemelhantesRadicaisdemesmondiceemesmoradicandososemelhantes.Naadioesubtraoderadicaissemelhantes,operam-seoscoeficienteseconserva-seoradical.

Exemplos:

a)32+52-102=82-102=-22b)332+632-532-32=932-632=332

34)Multiplicaoedivisoderadicaisdemesmondice

35)PotenciaoderadicaisEleva-seoradicandopotnciaindicadaeconserva-seondice.

Exemplo:

a)

2=24*3236)RadiciaoderadicaisMultiplicam-seosndiceseconserva-seoradicando.

Exemplos:

Multiplicam-se(dividem-se)osradicandosed-seaoproduto(quociente)ondicecomum.

a)

3=2*23=43

1

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b)343=243

37)ExpoentefracionrioUmapotnciacomexpoentefracionriopodeserconvertidanumaraiz,cujoradicandoabase,ondiceodenominadordoexpoente,sendoonumeradoroexpoentedoradicando.

a)

b)

c)

1=2

123

2=3

=

1*2=2*2

1*323*3

2*3=3*3

=

2=4

329

6=9

22

=

63

32*3

=

36

aq=qpExemplos:

a)

p

a

d)

2256

=

22*656*6

=

212536

=

2125*6

=

21230

=

1215

b)a2=1

a

2Caso:Odenominadorumasomaoudiferenadedoistermosemqueumdeles,ouambos,soradicaisdo2grau.Nestecaso

c)23=322=34d)463=642

3

38)Racionalizaodedenominadores1Caso:Odenominadorumradicaldo2grau.Nestecasomultiplica-sepeloprprioradicalonumeradoreodenominadorda

multiplica-seonumeradoreodenominadorpelaexpressoconjugadadodenominador.OBS:Aexpressoconjugadadea+bab.Naracionalizaoaparecernodenominadorumprodutodotipo:(a+b)*(ab)=a-bAssim:(5+3)*(53)=5-3=259=16

5+2()()(5)2-(2)2frao.

Exemplo:

Exemplos:

a)

1

=

5-21*()=5-25+2*5-2

=

5-25-2

=

5-23

2

CampusSertozinho


b)2+3=(2+3)*(2-3)=22-(3)222-32-355*()5*()

2

=

2-35*2-3=5*()()4-31

2-3=5*()

l)

333

2=

c)2212()12*36=39)Exerccios

Efetuar:a)5-25+105=

b)32+32-8=

c)33+3-4729=

d)3*6=e)(-32)*(-34)=

Dararespostasobformaderadical,dasexpressesseguintes:a)234=b)212=1=

d)

Racionalizarodenominadordasfraesseguintes:

48f)=2(32)g)=h)32*32=i)3=4

33

6

2

a)

b)

c)

1537

322

=

=

=

j)

3

2=

d)

25-2

=

k)322=

2

CampusSertozinho


e)

54-11

=

41)Operaescomexpressesalgbricas

Simplifique:

1.SomaalgbricaSomentepossvelsomarousubtrairtermossemelhantes

a)

50-82

=

(monmiosquepossuemamesmaparteliteral).Parasomarousubtrairtermossemelhantes(reduzirtermossemelhantes)repete-seaparteliteraleopera-secomoscoeficientes.

b)2352=

Exemplo:

c)

11-2

-

12+1

=

3xy4xy+7xy+5xy=8xy+3xy

VIIOPERAESALGBRICAS

40)ExpressesalgbricasSoindicaesdeoperaesenvolvendoletrasouletrasenmeros.

Exemplos:a)5ax4bb)ax+bx+cc)7ab

OBS:Noexemplo3,ondenoapareceindicaodesomaoudediferena,temosummonmioemque7ocoeficientenumricoeabaparteliteral.

2.MultiplicaoMultiplica-secadatermodoprimeirofatorportodosostermosdosegundofatorereproduzem-seostermossemelhantes.Exemplo:(3ay)*(2ay)=6ay

2

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3.Diviso1Caso:Divisodemonmios:Divide-seocoeficientenumricododividendopelo1coeficientedodivisor,eaparteliteraldodividendopeladodivisor,observando-seasregrasparadivisodepotnciasdemesmabase.2Caso:Divisodepolinmiopormonmio:Divide-secadatermododividendopelomonmiodivisor.Exemplo:(42abx4):(7ax)=6abx42)ProdutosnotveisHcertosprodutosdepolinmios,que,porsuaimportncia,devemserconhecidosdesdelogo.Vejamosalgunsdeles:I.Quadradodasomadedoistermos:

(a+b)=a+2ab+b

Oquadradodasomadedoistermosigualaoquadradodoprimeiromaisduasvezesoprodutodoprimeiropelosegundomaisoquadradodosegundo.

Exemplo:(2+x)=2+2*2x+x=4+4x+x

II.Quadradodadiferenadedoistermos:

2


(a-b)=a-2ab+b

Oquadradodadiferenadedoistermosigualaoquadradodoprimeiromenosduasvezesoprodutodoprimeiropelosegundomaisoquadradodosegundo.

Exemplo:(x3)=x+2*x*(-3)+(-3)=x-6x+9III.Produtodasomadedoistermosporsuadiferena:

(a+b)*(ab)=a2b2

Oprodutodasomadedoistermosporsuadiferenaigualaoquadradodoprimeiromenosoquadradodosegundo.

Exemplo:(1-3)*(1+3)=1-(3)=13=-2

43)FatoraoFatorarumpolinmioescreve-losobaformadeumprodutoindicado.

Fatorcomumdostermosdeumpolinmioomonmiocujocoeficientenumricoomximodivisorcomumdoscoeficientesdos

(x3-3x2y+x)*(x2-y)==2ax(2x+4ax+a)4ax+8ax+2ax=2ax++(3xy+8a2)2=CampusSertozinho

termosdopolinmioecujaparteliteralformadapelasletrascomunscomosmenoresexpoentes.Apresentandoumfatorcomum,opolinmiopodeserescritocomooprodutodedoisfatores:o1ofatorcomumeo2obtidodividindo-seopolinmiooriginalpelofatorcomum.

Exemplos:a)Fatorandoopolinmio4ax+8ax+2axtem-se:4ax8ax2ax2ax2ax2ax

b)Fatorar:5xy+x4y+2x.Ofatorcomumx.Assim:5xy+x4y+2x=x(5y+xy+2)

44)Exerccios

Efetuar:


e)f)(6x2-4x5+2x4-2x2):2x=g)(2a2bc+3a3b3c2abc):abc=h)(x+2)2+(3x-3)2=

i)j)(5ab+3c)*(5ab3c)=

Fatorar:

a)15a-10ab=b)3ax6bx+12x=

VIIIEQUAESDO1GRAU

UMBREVERELATODAHISTRIADAEQUAO

a)

b)

c)

d)

3a2-7ab+4b2-5a2+3ab-4b2=(3xy2-7x2y+3y3)-(2y3-8x2y+3xy2)=(7xy2)*(-8x2y)*(xy)=(a+b+c)*(a-b)=

AsequaesforamintroduzidaspeloconselheirodoreidaFrana,HenriqueIV,ofrancsFranoisVite,nascidoem1540.AtravsdamatemticaVitedecifravacdigossecretosqueeramensagensescritascomasubstituiodeletraspornumerais.DestaformaViteteveuma

2

CampusSertozinho

idiasimples,masgenial:fezocontrrio,ouseja,usouletraspararepresentarosnmerosnasequaes.OsinaldeigualdadefoiintroduzidoporRobertRecorde(matemticoingls)queescreveuemumdeseuslivrosqueparaelenoexistiamduascoisasmaisparecidasqueduasretasparalelas.Umoutro


Incgnita:Quantidadedesconhecidadeumaequaooudeumproblema;aquiloquedesconhecidoeseprocurasaber;enigma;mistrio.(DicionrioSilveiraBuenoEditoraLISA)

Exemplo:

5matemticoingls,ThomasHarriot,gostoudaidiadeseucolegaecomeouadesenharduasretaspararepresentarqueduasquantidades

a)

x-2=1membro

2membro

sverdadeparax=7

soiguais:Exemplo:_________400cm_________4m

Assim,diminuiu-seumpoucoestesinal,=,passandoaus-lonasequaesdeVite.Atosurgimentodestesistemadenotaoasequaeseramexpressasempalavraseeramresolvidascommuitadificuldade.AnotaodeVitesignificouopassomaisdecisivoefundamentalparaconstruodoverdadeiroidiomadalgebra:asequaes.Porisso,FraoisViteconhecidocomooPaidalgebra.

45)EquaoEquaoumaigualdadequesseverificaparadeterminadosvaloresatribudossletras(quesedenominamincgnitas).

b)3x+y=7sverdadeparaalgunsvaloresdexey,comoporexemplox=2ey=1oux=1ey=4.

Osvaloresatribudossincgnitasquetornamverdadeirasasigualdadesdenominam-serazesdaequao.Seaequaocontiverapenasumaincgnitaeseomaiorexpoentedessaincgnitafor1entoaequaoditaequaodo1grauaumaincgnita.

46)Resoluodeumaequaodo1grauaumaincgnitaResolverumaequaodeterminarsuaraiz.Nocasodeumaequaodo1grauaumaincgnita,consegue-seresolv-laisolando-seaincgnitano1membro,transferindo-separao2membroostermosquenocontenhamaincgnitaefetuando-seaoperaoinversa(asoperaesinversasso:adioesubtrao;multiplicaoediviso;potenciaoeradiciao).

2

CampusSertozinho


3x-23x+1Exemplos:a)x+2=7x+22=72x=5

23

-

=

4x-65

b)x3=0x3+3=0+3x=3

c)2x=8

2x2

=

82

x=4

1Passo:Eliminam-seosdenominadores,sehouver:m.m.c.(2;3;5)=30

d)

x3

=5

3*x3

=3*5x=15

Logo:15*(3x2)10*(3x+1)=6*(4x6)

2Passo:Eliminam-seosparnteses,efetuandoasmultiplicaes

2x=-8=x=4Seocoeficientedaincgnitafornegativo,convmutilizarasoperaesdossinais:

-2x-8-2-2Seaequaoenvolversimultaneamentedenominadoreseadioousubtrao,oprimeiropassosereliminarosdenominadores,oquesefazmedianteaaplicaodaseguinteregra:

Calcula-seom.m.c.dosdenominadores;divide-seom.m.c.encontradoporcadaumdosdenominadoresemultiplicam-seosresultadospelosrespectivos

indicadas:45x3030x10=24x36

3Passo:Transpem-seostermosquecontmaincgnitaparao1membro,eosindependentes(osquenocontmaincgnita)parao2,efetuandoasoperaesnecessrias:45x30x24x=-36+30+10

4Passo:Reduzem-seostermossemelhantesemcadamembro:-9x=4

5Passo:Divide-seosdoismembrospelovalorqueoxestsendomultiplicado,destamaneiraisola-seaincgnita:

numeradores.

Ospassosseguintessodescritosnoexemploaseguir:

9x9

=

4-9

2

CampusSertozinho

6Passo:Sendoodivisorouodividendonegativo,afraopassaasernegativatambm:


valoresdexeyquesatisfaamsimultaneamentesduasequaes.Porexemplo,osistema:

2x3y=3y=1x=-

49

5x+y=16

temsoluopara

x=3

VERIFICAOOUPROVAREALSubstitui-searaizencontradaemcadaumdosmembrosdaequaodada.Osvaloresnumricosdevemseriguais

47)Sistemadeequaodo1graucomduasincgnitas

Poisapenasestesvaloressatisfazemsimultaneamentesduasigualdades.(Verifique!)Estudar-se-nestaapostilatrsmtodosdesoluoparaumsistema,soeles:Substituio,comparaoeadio.

SUBSTITUIO

ondea,b,c,m,n,p(Reais)exeysoasmx+ny=p5x2y=1Aformagenricadeumsistema:ax+by=c

1)Sejaosistema:

2x+3y=8

equao1equao2

inggnitas.

a.Equaoaduasincgnitas:Umaequaoaduasincgnitasadmiteinfinitassolues.Porexemplo,aequao2xy=

2)Isola-seumadasincgnitasemumadasequaes,porexemplo,ovalordexnaequao1:2x+3y=82x=83y

4verificadaparaumnmeroilimitadodeparesdevaloresdexey;entreestesparesestariam:

x=

83y2

equao3

(x=4;y=4),(x=2;y=0),(x=-1;y=-6),etc.

3)Substitui-sexdaequao2peloseuvalor(equao3):

b.Sistemadeduasequaesaduasincgnitas:resolverumsistemadesuasequaesaduasincgnitasdeterminaros

2

2y=15*8-3y333y7+2y=83*(2)x=CampusSertozinho

equao424)Resolve-seaequao4determinando-seovalordey:5*(83y)4y=24015y4y=219y=38y=2

5)Ovalorobtidoparaylevadoequao3(emquejestisolado)edetermina-sex:

x=2862x=1

6)Asoluodosistema:


2)Isola-seamesmaincgnitanasduasequaes:

x=ex=75

3)Igualam-seossegundosmembrospoisosprimeirossoiguais(x=x):33-3y7+2y75

4)Resolve-seaequaoedetermina-sey:5*(333y)=7*(7+2y)16515y=49+14y29y=16y=4

5)Ovalordeylevadoaqualquerdasequaesemquexestisoladoedetermina-seovalordex:

x=1ey=2

x=

33-3y7

=

333*(4)7

=

33127

=

217

5x2y=71)Sejaosistema:

COMPARAO

7x+3y=33

x=3

6)Asoluodosistema:x=3ey=4

2

a)x+y=4xy=0CampusSertozinho

ADIO

Estemtodoconsisteemsomar,membroamembro,asduasequaescomoobjetivode,nestaoperao,eliminarumadasincgnitasesvantajosonocasodeoscoeficientesdeumadasincgnitasseremsimtricos.

Exemplos:

equao1equao2Somando,membroamembro,vem:


3*1+2y=73+2y=72y=4y=2

48)Exerccios

Resolverasseguintesequaes:a)4x=8b)5x=10c)7+x=8d)32x=7e)16+4x4=x+12f)8+7x13=x275x

2x=4x=2Substituindoovalordexnaequao1(ounaequao2,ficaa

g)

2x3

=

34

=critriodoaluno),vem:2+y=4y=2

h)

i)

13x4109x+2(4x+5)=4x+3

3x+2y=75xy=310x-2y=6=1x212x5x36b)*(2)Somando,membroamembro,vem:

3x+2y=7

j)3*(2x)5*(72x)=104x+5

k)324

13x=13x=1Substituindoovalordexna1equao(ouna2,ficaacritrio

l)

5x+38

34x3

+

x2

=

3195x26

doaluno),vem:

2

=+254=+23y1x2a)=+12yxb)=+19y6x5c)=+12y5xCampusSertozinho

Resolverosseguintessistemasdeequaes:

3x+y=24

7x+2y=1

3x4y=2xy

d)

32

Considereoproblema:Aidadedopaiodobrodaidadedofilho.H10anosatrs,aidadedopaieraotriplodaidadedofilho.Qualaidadedopaiedofilho?

IXEQUAESDO2GRAU

Equaodo2graunaincgnitax,todaigualdadedotipo:a.x+b.x+c=0

ondea,b,csonmerosreaiseanonulo(a0).

3


Aequaochamadade2grauouquadrticadevidoincgnitaxapresentaromaiorexpoenteiguala2.Setivermosb0ec0teremosumaequaocompleta.Setivermosb=0ouc=0teremosumaequaoincompleta.

49)ResolvendoEquaesde2Grau

Quandoaequaode2grauforincompletasuaresoluobastantesimples,veja:

1caso:b=0ec=0;temosento:

a.x=0

Exemplo:3x=0x=0x=0S={0}

2caso:c=0eb0;temosento:

a.x+b.x=0

Exemplo:3x-12x=0x.(3x12)=0x=0ou3x12=03x=12x=4S={0;4}

3caso:b=0ec0;temosento:

a.x+c=0

Exemplo:x-4=0x=4x=S={-2;2}

CampusSertozinho

4x=2ex=-2


50)ExercciosDeterminarasrazesdasseguintesequaesquadrticas:a)x27x+6=0b)x2+3x28=0c)3x25x+2=0

Aresoluodaequaocompletade2grauobtidaatravsdeumafrmulaquefoidemonstradaporBhaskara,matemticohindunascidoem1114,pormeiodelasabemosqueovalordaincgnitasatisfazaigualdade:

d)16x2+16x+3=0e)4x216=0f)2x218=0

FrmuladeBhaskarax=

b

b4.a.c2.a

g)3x2=5xh)2x2+8x=0

Afrmulaapresentadaumasimplificaodeduasformulas;veja:

=b24ac>0tm-seduasrazesreaisediferentes=0tm-seduasrazesreaiseiguaisb(amaiordoqueb)a5(7maiordoque5).b)32x>2indicaumconjuntodevaloresdenominadosoluodainequao.Paradeterminar-seoconjunto-soluodeumainequaodo1grauisola-sexno1membrodeformasoluodeumaequaodo1grau,esemprequesemultiplicaroudividirainequaoporumnmeronegativo,inverte-seosinaldadesigualdade.

Exemplos:

CampusSertozinho


4x2

2x+1

1

Sejadoisnmerosgenricosaeb.Arazoentreaeb

a)

x24x2x2

b)

2x2xx

1100

representadapor

ab

,a/boua:b,sendob0.

52)Exerccios

VII-PROPOROProporoaigualdadededuasrazes.

=oua:b=c:doua:b::c:d.Resolverasseguintesinequaes:

Sejaaproporo:

ab

cd

a)2x+11b)3xx+2c)x>5x16d)2(x+1)+3x>57x

Seuselementossedenominam:

a-primeirotermob-segundotermoc-terceirotermo

aeb-extremosbec-meiosaec-antecedentes

e)

25

x

12

4x5

1

d-quartotermo

bed-conseqentes

9logx=12log1,035=>logx=0,1788=>x=1,509EntoM=6000.1,509=9054.PortantoomontanteR$9.054,00

60)Exerccios

01)OcapitaldeR$530,00foiaplicadotaxadejurossimplesde3%aoms.Qualovalordomontanteaps5mesesdeaplicao?

01)OcapitaldeR$530,00foiaplicadotaxadejuroscompostosde3%aoms.Qualovalordomontanteaps5mesesdeaplicao?

02)UmcapitaldeR$600,00,aplicadoaumataxadejurossimplesde20%aoano,gerouummontantedeR$1080,00depoisdecertotempo.Qualfoiessetempo?

4


02)UmcapitaldeR$600,00,aplicadoaumataxadejuroscompostosde20%aoano,gerouummontantedeR$1080,00depoisdecertotempo.Qualfoiessetempo?

03)Qualfoiocapitalque,aplicadotaxadejurossimplesde1,5%aoms,rendeuR$90,00emumtrimestre?

03)Qualfoiocapitalque,aplicadotaxadejuroscompostosde1,5%aoms,rendeuR$90,00emumtrimestre?

04)AquetaxadevemosaplicarocapitaldeR$4500,00,nosistemadecapitalizaosimples,paraquedepoisde4meses,omontantesejadeR$5040,00?

04)AquetaxadevemosaplicarocapitaldeR$4500,00,nosistemadecapitalizaocomposta,paraquedepoisde4meses,omontantesejadeR$5040,00?

05)QuantorendeuaquantiadeRS600,00,aplicadoajurossimples,comtaxade2,5%ams,nofinalde1anoe3meses?

06)UmcapitaldeR$800,00,aplicadoajuroscompostoscomumataxade2%aoms,resultouummontantedeR$880,00apscertotempo.Qualfoiotempodaaplicao?

06)Umcapitalacrescidodosseusjurossimplesde21mesessomaR$7050,00.Omesmocapital,diminudodosseusjurossimplesde13meses,reduz-seaR$5350,00.Ovalordessecapital:

07)UmapessoarecebeuR$6.000,00deherana,sobacondiodeinvestirtodoodinheiroemdoistiposparticularesdeaes,XeY.AsaesdotipoXpagam7%a.aeasaesdotipoYpagam9%a.a.A

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maiorquantiaqueapessoapodeinvestirnasaesx,demodoaobterR$500,00dejurosemumano,:

08)Nosistemadejuroscompostoscomcapitalizaoanual,umcapitaldeR$20.000,00,parageraremdoisanosummontantedeR$23.328,00,deveseraplicadaaumataxa:

09)(Cespe/UnB-TRT6Regio-2002)SuponhaqueumapessoaapliqueR$2000,00pordoismeses,ajuroscompostoscomuma


b)Catetos:soosoutrosdoisladosdotringulo.Nasfigurassocatetos:b,c;y,zes,t.

62)Relaestrigonomtricasnotringuloretngulo

B

determinadataxamensal,eobtenhaumrendimentoigualaR$420,00,provenientedosjuros.Seessapessoaaplicaromesmovalorpordois

a

c

messesajurossimplescomamesmataxaanterior,elater,nofinaldesseperodo,ummontantedeR$2.400,00.

C

b

A

10)(Cespe/UnB-TRT6Regio-2002)ConsiderequeumcapitaldeR$4000,00ficouaplicadopor2mesestaxadejuroscompostosde10%a.m.Seomontanteobtidofoicorrigidopelainflaodoperodoobtendo-seumtotaldeR$5082,00,entoainflaodoperodofoisuperiora7%.

XIIIRELAESTRIGONOMTRICAS

61)Tringuloretngulo

NotringuloretnguloaoladoconsideremosonguloCformadopeloladobeahipotenusaa.Oladobdenomina-secatetoadjacenteaonguloC.(ocatetoquefazpartedaconstituiodongulo).Oladocdenomina-secatetoopostoaonguloC.Osladosdotringuloeumdosngulos(nooreto),podemserrelacionadospor:

AxzsysenC==cosC=Umtringuloretnguloaquelequetemumnguloreto(90).TYrScbtBCZXaREmumtringuloretngulotemos:a)Hipotenusa:oladoopostoaonguloreto.Nas

catetoopostohipotenusa

catetoadjacentehipotenusa

=

ca

ba

figurasacimasohipotenusas:a,xer.

4

30graus45graus60graus

Seno122232

Co-seno322212

Tangente3313

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tgC=

senCcosC

=

catetoopostocatetoadjacente

=

cb

sen60=

ca

c=asen60

a

60

B

c

c=4*=23mcos60=b=acos60b=4*=2mExistemtabelasquefornecemosdiversosvaloresdesenos,co-senosetangentesdosmaisdiversosngulos.Assim,conhecidoumngulodeumtringuloretnguloeumdoslados,pode-sedeterminarosdemaislados.Aseguirtemosumatabelacomosvaloresdasfunes

32ba12

C

b

A

trigonomtricasparaosngulosde30,45e60.

b)Emumtringuloretnguloahipotenusamede5meumdoscatetos2,5m.Determinaronguloformadopelahipotenusaeporessecateto.Determineooutrocateto.

1)cos=

ca

=

2,55

=

12

databela=60

2)b=asen=5*sen60=5*

32

Exemplos:

b=2,53m

a)Emumtringuloretnguloahipotenusavale4medosngulosagudosvale60.Determineosdois

A

catetosdotringulo.

c=2,5m

b

BCa=5m

4

CampusSertozinho

c)Emumtringuloretnguloosladosvalem3m,4me5m.Determineoseno,oco-senoeatangentedonguloformadoentreoladode3meode5m.


b)Umngulodeumtringulomede30eocatetoqueseopeaestengulovale5cm.Calcularahipotenusaeooutrocateto.

sen=

cos=

4535

=0,8

=0,6

3m

5m

4m

c)Numtringuloretnguloahipotenusamede3cmeumdosngulosagudosvale45.Calcularamedidacomumdoscatetos.

tg=

43

=1,3

d)Numtringuloretngulo,asmedidasdosdoiscatetossoiguais.Calcularamedidacomumdosngulos

Todotringulodelado3,4e5,oumltiplosdestesvalores,denominadoTringuloPitagrico.

63)Exercciosa)Dadootringuloretnguloabaixo,calcular:

agudos.

e)Calcularosngulosformadospeloscatetoscomahipotenusadeumtringuloretngulosabendoqueumdoscatetosametadedahipotenusa.

f)Calcularxeynafiguraaseguir:

2

25

x60

4

i.senii.cosiii.tg

y

6m

4

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XIVPLANOCARTESIANO(SEUPRODUTO,RELAESEFUNES)


y543

64)OseixoscartesianosDoiseixosgraduados,perpendicularesentresi,comorigenscoincidentes,sodenominadoseixoscartesianos.

y(eixodasordenadas)

P1(3,2)P2(1,-2)P3(0,-1)P4(-2,0)

-5

-4

-3

-2P4

-1

P3

211

-1-2P2-3

2

3

P1

4

5

x

5432

-4-5

Oprimeirovalornumricorepresentaaabscissadopontoeosegundo

-5

-4

-3

-2

-1

1

1

2

3

4

5

aordenadadoponto.

origem

x0(eixodasabscissas)-1-2-3-4-5

66)UmaretanoplanocartesianoUmconjuntodepontosrepresentadosemumplanocartesianopoderesultaremumareta.Talfatoacontecequandoatribumososmaisdiversosvaloresaxemumaequaocaracterstica(aseguirrepresentada)eobtemososvaloresdeycorrespondentes.

65)UmpontonoplanocartesianoUmpontosituadoemumplanocartesianotemsuaposiodefinidaporumpardenmeros(coordenadasdoponto).

y=a*x+b

Estaequaodenominadaequaoreduzidadareta,sendoqueaebnecessariamentesovaloresconstantes.

Asuarepresentaogrficanosmostraque:

4

y

CampusSertozinho

a=tg(coeficienteangular).b=valordeyondeareta


c)RetaparalelaaoeixoyOvalordexconstante.

b

interceptaoeixodasordenadas

y

0

x

(coeficientelinear).

0

x

67)Casosparticulares

a)RetaquepassapelaorigemOcoeficientelinear(b)igualazero.

y

Exemplos:

a)Representargraficamenteaequaoy=

3*x.

Aequaofica:y=a*x

Soluo:Ocoeficienteangular3.Comotg60=3,onguloquearetaformacomoeixox60.Ainda,areta

0

x

noapresentacoeficientelinear,isto,aretapassapelaorigem.Representando-a:

b)RetaparalelaaoeixoxOcoeficienteangular(a)igualazero.yAequaoficay=b

0x

y

0

60

x

b)Representargraficamentey=20.

4

CampusSertozinho

Soluo:Comoyconstantearetadeveserperpendicularaoeixoy.


y54

Q

3

20

y

-5

-4

-3

-2

-1

21

1

2

P3

4

5

x

0

x

-1-2

S

R

-3-4

68)Exercciosa)SitueospontosA,B,CeDnoplanocartesianoaseguir.y

-5

c)Qualarepresentaogrficadaretadeequao

543

y=

3x2

A(0,-2)B(4,0)C(1,3)D(-2,-3)

-5

-4

-3

-2

-1

21

-1-2-3

1

2

3

4

5

x

a.

y

0

60

x

-4-5

y

30

x

b)DascoordenadasdospontosP,Q,ReSdafiguraaseguir.

-2

b.

4

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y

2

y0

545

x

60

0

x

5

c.

b.

y

y

60

5

0

x

d.

-2

c.

0

x

y

2

y

30

0

x

05

x

e.

d.

d)Ogrficodaretay=5:

y5

y

e.

45

0

x

05

x

a.

4

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XVINOESDEGEOMETRIAPLANAEESPACIAL

GEOMETRIAPLANA

69)DefinioeapresentaodaGeometriaPlanaGeometriaPlanapossuicomosuaprincipalcaractersticapertenceraoR2,isto,possuiduasdimensessendoestasxeycomoemumplanocartesiano,tambmconhecidascomobase(b)ealtura(h).OBS:obdabaseeohdaalturaprovemdoinglsondebase=baseealtura=height.

NaGeometriaPlanapodemosencontrararea(A)eopermetro(P)dasfiguras,onde:


70)Apresentaodasfigurasplanasesuasfrmulas

Quadrado

A=b*hmascomob=leh=lA=l*llogoA=l

P=l+l+l+lP=4*l

Retngulo

A=b*h

PodemosdefinirPermetroscomosendoocomprimentodocontornodeumafigura.

reaoregiodoplanolimitadopelopermetro

P=2*a+2*b

Todafiguraplanapossuiumafrmulaparaencontrarovalordeseupermetroesuarea,veja:

Losango

5

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A=

D*d2

A=

b*h2

P=4*l

P=a+b+c

TringuloEqiltero

Paralelogramo

A=

l234

A=b*h

P=2*a+2*b

P=3*l

Crculo

Trapzio

A=

(B*b)*h2

A=*r2

P=a+b+c+d

TringuloQualquer

Circunferncia

5

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A=2**R

GEOMETRIAESPACIAL

71)DefinioeapresentaodaGeometriaEspacialGeometriaEspacialpossuicomosuaprincipalcaractersticapertencer

Pirmide

aoR,isto,possuitrsdimensessendoestasx,yezcomonoespao,tambmconhecidoscomobase(b)ealtura(h)eespessura

V=

13

*B*h

(e).

NaGeometriaEspacialpodemosencontrarovolume(V)earealateral(S),onde:

Bareadabasedapirmide

Cilindrocircularreto

72)ApresentaodasfigurasespaciaisesuasfrmulasCubo

V=b*h*e

V=*r*h

S=2**r*h

S=6*l

5

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EXERCCIOS:

1)Determineareadasseguintesfiguras(emcm):

r

a)

b)

Conecircularreto

V=

13

**r2*h

S=*r*r2+h2

Esfera

c)d)

V=

43

**r3

S=4**r2

5

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e)

2)Temosumtringuloeqilterodelado6cm.Qualopermetroequalareadestetringulo?3)Umtrapziotemabasemenoriguala2,abasemaioriguala3eaalturaiguala10.Qualareadestetrapzio?4)Sabendoqueareadeumquadrado36cm,qualseupermetro?5)Calculeareaeopermetro(emmetros)dosretngulosdescritos:a)a=25eb=12b)a=14eb=106)Acharareatotaldasuperfciedeumcilindroreto,sabendoqueoraiodabasede10cmeaalturade20cm.

7)ApirmidedeQuops,conhecidacomoaGrandePirmide,temcercade230mdearestanabaseealturaaproximadade147m.Qualoseuvolume?

8)Acasquinhadeumsorvetetemaformadeumconereto.Sabendoqueoraiodabasemede3cmeaalturade12cm.Qualovolumedacasquinha?

5

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9)ConsidereaTerracomoumaesferaderaio6.370km.Qualsuareasuperficial?Descobrirareadasuperfciecobertadegua,sabendoqueelacorrespondeaaproximadamente3/4dasuperfcietotal.

10)Umlquidoqueestnumrecipienteemformadeconeserdespejadoemoutrorecipientequepossuiformacilndrica.Seoraiodabasedosdoisrecipientesfor25cmeaalturadosdoisfor1m,quealturaatingirolquidonocilindro?

11)Umpedaodecartolinapossuiaformadeumsemicrculoderaio20cm.Comessacartolina,ummeninoconstriumchapucnicoeocolocacomabaseapoiadasobreumamesa.Qualadistnciadobicodochapumesa?Dica=comumsemi-crculoseoriginaumconeeqiltero.

12)Asreasdasbasesdeumconecircularretoedeumprismaquadrangularretosoiguais.Oprismatemaltura12cmevolumeigualaodobrodovolumedocone.Determinaraalturadocone.

13)Umapirmidetemaalturamedindo30cmereadabaseiguala150cm.Qualareadaseosuperiordotroncodestapirmide,obtidopelocortedestapirmideporumplanoparalelobasedamesma,sabendo-sequeaalturadotroncodapirmide17cm?

5

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5

622 Apostila Matemativa

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