5to-Grado Algebra Santisimo Nino de Maria

lgebra

COLEGIO SANTISIMO NIO DE MARIA5to Grado de Primaria

LGEBRAIntroduccin

El lgebra,es una ramadelasmatemticas en la que se usan letras para representar relaciones aritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son:

RESEA HISTRICA

Lahistoriadellgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia. Los antiguos babilonios resolvan cualquier ecuacin cuadrtica empleando esencialmente los mismos mtodos que hoy se ensean.

Los matemticos alejandrinos Hern y Diofante continuaron con la tradicin de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritmticas de Diofante es de bastante ms nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su vez, acogida en el mundo islmico, en donde se la llam ciencia de reduccin y equilibrio. (La palabra rabe al-abr que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra). En el siglo IX, el matemtico al-Jwarizmi escribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolvi problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x+y+z=10,x2+y2=z2, y xz=y2.

EJERCICIOS PARA LA 1. Escribe dos ejemplos de operaciones con su respectiva solucin, para cada operacin del lgebra.2. En qu pueblos y en qu poca el hombre inici su conocimiento algebraico?3. Investiga sobre el sistema de numeracin egipcio.4. Localiza en un mapa actual el antiguo pueblo de Babilonia.5. Investiga y anota brevemente, Quines fueron los Siete Sabios de Grecia?

NMEROS ENTEROSIntroduccin

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bamb o de madera para representar los nmeros y realizar, en especial, clculos comerciales de una manera prctica, pero tambin para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos segn que representarn cantidades positivas o negativas.

En Europa medieval, los rabes dieron a conocer los nmeros negativos que aprendieron de los hindes, que en el siglo XII utilizaban para representar las prdidas en cuestiones financieras.

En la Matemtica actual el conjunto de los nmeros enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numrica.POSITIVOS QUE NO ALCANZAN

Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razn que tuvo para crear nmeros y form el conjunto de los nmeros naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

Luego, necesit expresar con cifras el conjunto vaco, es decir, identificar que no haba nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareci el 0 (cero), y form as otro conjunto numrico, el de los nmeros cardinales:

No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

Con el conjunto de los nmeros Naturales, el hombre solucion sus problemas, pero, luego se le presentaron nuevas situaciones; as por ejemplo:

Estos amigos inicialmente no tienen dinero, luego:

Oscar ha ganado 850 soles.

Se escribe: + 850 soles

Carlos ha gastado 940 soles.

Se escribe: - 940 soles

Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas.

Para expresar cantidades positivas se utilizan los nmeros naturales con el signo ms (+).Para expresar cantidades negativas se utilizan los nmeros naturales con el signo menos (-).

EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS (Z)

El conjunto de los Nmeros Enteros, que en adelante lo representaremos por Z, est conformado por los nmeros negativos, el cero y los nmeros positivos.

Representacin

Sobre una lnea recta, ubiquemos un punto de referencia (origen) al que le hacemos corresponder el nmero cero. A partir del cero, ubicamos puntos hacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno los nmeros positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

Los nmeros en Z aumentan de izquierda a derecha.

VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO ENTERO

Se llama valor absoluto de un nmero entero al nmero cardinal que resulta de prescindir su signo, tambin se le considera como la distancia del nmero dado al cero. El valor absoluto de un nmero se expresa encerrando este nmero entre dos barras.

El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5.El valor absoluto de -6 es 6, y se escribe |-6| = 6.

El valor absoluto de 0 es 0, y se escribe |0| = 0.

El valor absoluto de +17 es , y se escribe ..

El valor absoluto de -39 es , y se escribe ..

NOTA:

Al valor absoluto tambin se le llama mdulo.OPUESTO DE UN NMERO ENTERO

El opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de -8 es +8.

El opuesto de +15 es -15.

El opuesto de -245 es .

El opuesto de +504 es ...

RELACIN DE ORDEN EN Z

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay nmeros enteros mayores o menores que otros. Un nmero entero es menor que otro, si est colocado a la izquierda de l en la recta numrica; y es mayor, cuando est a su derecha.Ejemplos: Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2.

Ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3.

RECUERDA:

Todo nmero entero positivo es mayor que 0. Todo nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero Todo nmero entero negativo es menor que 0. Todo nmero entero negativo es menor que cualquier nmero ..

EJERCICIOS PARA LA 1. Cmo representaban los chinos las cantidades negativas?.2. Quines llevaron el conocimiento de los nmeros negativos hacia Europa?.

3. Para qu emple los nmeros negativos, el pueblo hind?.

4. Cul es el nmero que separa los nmeros positivos de los negativos?.

5. Cul es el nmero opuesto a -16?.

6. Cul es el nmero opuesto a +214?.

7. Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso de los nmeros negativos..

8. Escribe el valor absoluto de los siguientes nmeros enteros:a) |-37| =b) |+29| =c) |-305| =d) |-6009| =e) |+2015| =

9. Escribe el opuesto de los siguientes nmeros:

El opuesto de -231 es El opuesto de +408 es El opuesto de -75 es ....El opuesto de +4 es ....

10. Utilizando la recta numrica, ordena de mayor a menor, los siguientes grupos de nmeros:a) -7, +5, -3, +1, -8 y +7b) +4, -6, -1, 0, -9 y +3

11. Ordena de menor a mayor, los siguientes grupos de nmeros:a) +12, +7, -13, -21, -5 y +4b) -14, -9, -10, 10, -9, +6 y 15

12. Responde a las siguientes preguntas:a) Si 25 grados sobre cero son representados por +25C. Cmo se representa 4 bajo cero?b) Si 45 km al norte se representa por +45 km. Cmo se representa 30 km al sur?

13. El Everest tiene una altura de 8847 metros y el Sarasara mide 5947 metros. La mayor fosa marina es la de Las Marianas, con 11033 metros de profundidad; otra est al sur de Java, con 7725 metros. Ubica en el dibujo estos accidentes geogrficos, colocando en el rectngulo el nmero entero que le corresponde.

ADICIN DE NMEROS ENTEROS

Para sumar dos nmeros enteros deberemos tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1 Para sumar dos nmeros positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo ms (+).

Ejemplos:

(+4) + (+9) =

(+12) + (+7) =

2 Para sumar dos nmeros negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (-).

Ejemplos:

(-8) + (-10) =

(-2) + (-5) =

3 Para sumar un nmero positivo y un nmero negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del nmero que tenga mayor valor absoluto.Ejemplos:

(+6) + (-10) =

(-8) + (+5) =

4 La suma de un nmero y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).Ejemplos:

(-8) + (+8) =

(+5) + (-5) =

SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS

Para calcular la diferencia de dos nmeros enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

(+3) (5) = (+3) + (+5) =

(-10) (+7) = (-10) + (-7) = ESCRITURA SIMPLIFICADA

(+3) + (-5) = 3 5 = .(-2) + (-8) = -2 8 = .(+7) - (-5) = 7 + 5 = .(-3) - (-4) = -3 + 4 = .(+4) - (+5) + (-8) = 4 5 8 = (-6) - (+7) + (-10) = -6 7 10 = .

EJERCICIOS PARA LA 1. Calcula y representa en la recta numrica:a) (+3) + (+7) =b) (-4) + (-2) =c) (-6) + (+7) =d) (+8) + (-5) =

2. Calcular:a) -5 + 3 =b) 6 4 =c) 9 13 =d) 14 20 =e) -6 + 7 =f) -12 + 10 =g) 36 63 =h) -54 + 79 =i) 164 208 =j) -172 + 305 =

3. Calcular:a) (-5) + (+7) + (-6) =b) (-12) + (+8) + (-2) =c) -14 + 16 21 =d) 36 24 + 15 =e) 24 32 + 5 =

4. Restar:

a) (-12) de (-10)=

b) (+20) de (-14)=

c) (-23) de (+15)=

d) (+16) de (+12)=

5. Efecta:

a) (+8) + (-2) - (+3) =

b) (-13) + (+6) - (-2)=

c) (-4) - (-6) - (+8) + (-17)=

MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSPara multiplicar dos nmeros enteros se presentan tres casos:1 Caso.- Cuando los dos factores son positivos, el producto es positivo.

Ejemplos:

(+4) . (+3) =

(+2) . (+7) =

(+9) . (+5) =

2 Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tiene signo negativo.

Ejemplos:

(-8) . (+5) =

(+2) . (-3) =

(- 4) . (+7) =3 Caso.- Cuando los dos factores son negativos, el producto tiene signo positivo.

Ejemplos:

(-5) . (-7) =

(-6) . (-8) =

(-3) . (-12) =

Recuerda:

EJERCICIOS PARA LA 1. Calcula:a) (+3) . (+7) =b) (-4) . (-2) =c) (-6) . (+7) =d) (+8) . (-5) =e) (-5) . (+3) =f) (+6) . (- 4) =g) (+9) . (-13) =h) (- 4) . (-20) =i) (-6) . (+7) =j) (-19) . (+10) =k) (+36) . (-3) =l) (-54) . (+7) =m) (+16) . (-20) =n) (-12) . (+30) =

POTENCIACIN

Se llama potenciacin de un nmero al producto de dos o ms factores iguales a dichos nmeros.

Trminos:

Exponente

a n = a x a x a x .............x a

a veces

Base

Ejemplo:

Exponente

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 ( Potencia

Base

En: x n = b

x (..........................) : ___________________________________________

n (..........................) : ___________________________________________b (..........................) : ___________________________________________Ejemplos: a) 34 = = ( Se lee: ..b) 25 = = ( Se lee: ..c) 62 = = ( Se lee: ..d) 43 = = ( Se lee: ..e) x . x . x . x . x . x = f) 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = ..g) a x a x a x . . . . . . . . . . . . . . x a =

m veces

Casos especiales de la potenciacin

a) Exponente 0 (cero): ..

Ejemplos:

a) 80 = b) 270 = .

c) 9270 = .

b) Exponente 1 (uno): .......Ejemplos:

d) 251 =

e) 731 = .

f) 1171 = .

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) 34 = ____________________( Se lee: _______________

2) 25 = ____________________( Se lee: _______________

3) 62 = ____________________( Se lee: ______________4) 43 = ____________________( Se lee: _______________5) 45 = ____________________( Se lee: _______________ Expresa como potencia:6) 7. 7. 7 = ..7) 9. 9. 9. 9. 9 = .

8) x . x . x . x = .9) 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = .10) a x a x a x a x . . . . . . . . . . x a = .

m veces Hallar:

11) 59 = .12) 693 = .13) (97 x 63) = .14) 91 = .15) 1971 = .

16) Completa el cuadro:341022425

Base

Exponente

Potencia

17) Completa:

nnN1n2n3n4n5n6

5

6

49

18) Hallar el resultado: 52 x 23 =

34 x 22 =

53 x 9 =

71 x 26 =

450 x 231 =

19) Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda. 33 = 3 x 3 x 3 ( )

72 = 7 x 7 ( )

1001 ( 102 ( )

63 = 6 x 3 ( )

25 = 32 ( )

EJERCICIOS PARA LA Efecta:1) 73 =

2) 26 =

3) 35 =

4) 25 =

5) (9 x 28) =

6) 1731 =

7) 851 x 58 =

8) 23 x 31 x 7 =

9) x . x . x . y . y =

10) 8. 8. 8. 8 =

11) 10. 10. 10. 10. 10. 10 =

12) ((23 . 52( . 41( =

13) (1340 . 181) =

14) Completa el cuadro:

32519

Base

Exponente

Potencia

15) Completa:

nnn1n2n3n4n5n

11

2

125

100

16) Relaciona las potencias con sus resultados:

800

a. 23 x 6 (

49

b. 4 x 32 (

48

c. 52 x 25 (36

d. 26 x 34 (

5184

e. 72 x 29 (

RAZ CUADRADA

La raz cuadrada de un nmero es otro nmero que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

Ejemplo:

= 8 porque 82 = 64

= 6 porque 62 = 36

Radicando

ndice

; porque x = a2

Signo radical

Raz

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1) 52 = _____________ porque

= ________________

2) 32 = _____________ porque

= ________________

3) 72 = _____________ porque

= ________________

4) 92 = _____________ porque

= ________________

( Calcula y completa:

5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raz cuadrada de ______ es _______

52 = _________ ( ( = ___________

6) 7 al cuadrado es igual a ______ la raz cuadrada de ________ es _______

72 = ___________ ( ( = ____________

7) 10 al cuadrado es igual a _______ la raz cuadrada de ________ es ______

102 = ___________ ( ( = ____________

* Halla la raz cuadrada de:8) (25 =

9) (49 =

10) (36 =

* Halla el resultado de las siguientes operaciones

11) 23 +(81 - (25 =

12) (121 . (9 52 =

13) (16((4 + 570) =

14) (36 ((9 - 20 =

15) (100 x 52 82 =

EJERCICIOS PARA LA Halla la raz cuadrada de:

1) (100 =

5) (144 =

2) (81 =

6) (64 =

3) (16 =

7) (9 =

4) (400 =

8) (121 =

Efecta y halla el resultado:

1) (25 + (36 - (9 =

a) 3

b) 8

c) 7

d) 9

e) 11

2) 5((64) 62 =

a) 34

b) 36

c) 40

d) 4

e) 6

3) 4 . (144 - (100 =

a) 48

b) 38

c) 28

d) 58

e) N.A.

4) ((49 + 270) (22 =

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5) (52 - (121((49) =

a) 14

b) 25

c) 7

d) 2

e) 1

6) ((8 x 10 (1) =

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) N.A.

7) (250 225 =

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 5

8) (36 . (16 . (9 =

a) 72

b) 68

c) 46

d) 82

e) 96

9) ((49- (36) . 720 =

a) 72

b) 27

c) 1

d) 0

e) N.A

10) (16 + 32). (4 =

a) 48

b) 32

c) 24

d) 16

e) 26

11) ((14 + 5 x 10) =

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

12) ((12)2 =

a) 10

b) 11

c) 8

d) 9

e) 12

13) (4 . (9 =

a) 36

b) 18

c) 9

d) 6

e) 3

14) (4 x 9 =

a) 36

b) 18

c) 6

d) 9

e) 3

15) (64 . (81 = (36 ( (36a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

e) N.A

LEYES DE EXPONENTES

1) Multiplicacin de bases iguales

Ejemplo:

22. 23 = ___________ = ______

2) Divisin de bases iguales

Ejemplo:

25 ( 23 = ___________ = ______

3) Exponente nuloSi en un caso resulta que m = n entonces tendramos:

Por lo tanto:4) Exponente negativo

Siguiendo con el ejemplo anterior (3), si en un caso resulta que m = 0.

Tendramos:

Por lo tanto:

( a 0

EJERCICIOS PARA LA CLASE1) Expresa como potencia:

a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =

b) 3 . 3 . 3 =

c) x . x . x . x . x . x . x =

d) m . m . m . p . p . p . m . p =

e) q . q . q . q . ....... q . q =

25 factores2) Halla la potencia de:

a) 53 =

b) 34 =

c) 26 =

3) Halla la potencia usando la primera ley:a. 24 . 22 . 2 =

b. 33 . 32 . 30 =

4) Simplifica:a) 4 . 42 . 35 . 4 . 3 =

b) m2 . p5 . m3 . p3 . m . p =

c) x2 . x5 . x . x =

d) xa . xb =

e) p10 : p7 =

f) n4 : n3 =

g) z13 : z7 =

h) q7 : q5 =

5) Efectaa) 540 . 6 =

b) (17 . 23)0 =

c) (5m)=

d) (a . b . c)0 =

e) x3.y.x-2 =

6) Escriba V si es verdadero y F si es falso: a) 210 . 2 = 212

( )

b) 5 . 510 = 511

( )

c) 74 = 28

( )

d) x4 . x44 = x44

( )e) x3 . y2 = (x.y)6

( )

f) m3 . m = m4

( )

EJERCICIOS PARA LA 1) Efecta

a) a15 . a7 =

b) m5 . m3 . m8 =

c) x . x . x2 =

d) p . p . p =

e) z13 : z7 =

f) c14 : c12 =

g) q29 : q17 =

h) (4m + 5) =

i) (720 : 716) =

j) q . m2 . n-3 =

k) p2 q 3 =

l) a . b5 . c-4 =

m) m8 . m =

2) Expresa como potencia:a) 2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 =

b factores

b) b . b . b . c . c . c . b . b . c . b =

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) =

d) 55 : (5 . 5 . 5) =

e) (3 . 3 . 3) : (4 . 4) =

3) Escribe V o F segn corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla estudiada las bases deben ser iguales)

a) 23 . 32 = 65

( )

b) m3 . m5 = m15 ( )

c) q9 : q3 = q3 ( )

d) x21 : x7 = x14 ( )

e) x12 : x7 = x5 ( )

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El lgebra es una rama de la matemtica, que estudia la cantidad del modo ms general posible y las operaciones que con ella se realiza en los diferentes conjuntos numricos.

Para este estudio, el lgebra emplea CONSTANTES y VARIABLES.

CONSTANTEEs un smbolo que admite un solo valor conocido o ya definido, por Ejemplo:

3 ; -7 ; 8 ; 0,5 ; etc. VARIABLE

Es un smbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresin de la que forma parte.

Ejemplo:

x ; y ; z ; ..... ; etc.

EXPRESIN ALGEBRAICA (E.A.)

Es un conjunto finito de constantes y variables (nmeros y letras) con exponentes racionales y fijos, relacionados por las operaciones de adicin, sustraccin, y multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.

Ejemplo:

5x ; 3x2 ; 2x y ; 4x3y + z

Es un conjunto finito porque las constantes y variables se pueden enumerar hasta la ltima.

Ejemplo:

1) 4x5 - 3x2y + x9 Si es E. A.

2) 1 + 2x + 3x3 +...... No es E. A.

Los exponentes en una E. A. deben ser nmeros racionales.

Ejemplo:1) 2x8 3x - x

Si es E. A.

2) +

No es E. A. Los exponentes deben ser fijos. No pueden ser variables.

Ejemplo:1) 6x4 5y6 Si es E. A.

2) 2x + 3x No es E. A.

TRMINO ALGEBRAICO

Es una expresin algebraica cuyas bases NO estn relacionadas por las operaciones de adicin o sustraccin.

Ejemplos:

a) 6x4y5 (Es un trmino algebraico, porque las bases no estn relacionadas

por las operaciones de adicin o sustraccin alguna.b) (2x8 + y5) ( No es un trmino algebraico, porque las bases x e y estn rela-

cionadas por la adicin. Elementos de un trmino algebraico

1 Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-).2 Coeficiente. Es un nmero que va junto a la parte literal. Ejemplos: 3y5 ( Coeficiente: 3

17m9 ( Coeficiente: 17

x2 ( Coeficiente: x14 ( Coeficiente: 1

3 Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables del trmino.Ejemplos: 6m6 ( parte literal: m

8a2b3 ( parte literal: a y b

23x2yz ( parte literal: x ; y ; z

4Exponente: Son los nmeros escritos en la parte superior derecha de cada letra.Ejemplos: 20a3 ( exponente de a : 3

25b12 ( exponente de b : 12

5x ( exponente de x : 1

EJERCICIOS PROPUESTOS1) Coloca ( V ) si es una expresin algebraica y ( F) si no lo es:

a) 5x3 + 2y zm ( )

b) 2x5 + (y 3 ( )

c) x2 + 3x3 + 5x4+ . . . . ( )

d) 5x (5 + 2y (2 ( )

e) 8X3 ( 6y5 ( )

f) 5x + 3y ( )

g) 3z2 ( )

h) 9 y ( )

2) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuntos trminos algebraicos hay y cules son.a) -3yz + x + zm

b) 11ab + 3ax by2c) 52xyz - m2 + 5y3 - zmx

d) 3y + xy + 2x2 - mxy 8me) 15x2 + 6bx + c - 2my2 8xz 9a

f) 8xy + 3yz 5xz + x2 - z3 + 4yz2 + z

g) 5x2 ( y3 2x y + (2y )(2x) - 8x2y

h) 12 ( ab2 + 5b2 8a3b + b2 + 2a2b

3) Completa el cuadro:

Trmino

algebraicoSignoCoeficienteParte

literalExponente

3x2

- 8m5

35z

X6

7y5

-12m

12m-2

-105x15

-87q8

TRMINOS SEMEJANTESSi dos o ms trminos tienen la misma parte literal, entonces son trminos semejantes:

Ejemplos:a) 5x8 ; 0,2x8 ; - x 8

b) 5m; 2m; -4m; 10m

c) _______________

d) 5x2y3 ; 4x3y2

no son trminos semejantes

Reduccin de trminos semejantes

Si descubrimos que dos o ms trminos son semejantes, estos pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal.

Ejemplos:

a) Reducir: 8x2 +5x2 = (8 + 5)x2 = ______________________

b) Reducir: 5y4 3y4 6y4 = (5 - 3 - 6)y4 = ______________

c) Reducir: -6a4 + 3b2 + 4a2 - 6b2 = (- 6 + 4)a2 + (3 6)b2 = _______________

Cuidado:Al sumar o restar los coeficientes de los trminos semejantes, recurrimos a la regla de signos para la suma y resta de nmeros enteros.

Signos de coleccin

Si estos signos de coleccin se

encuentran unos dentro de otros.

Se van eliminando desde

adentro hacia afuera

Para suprimir signos de coleccin se procede del siguiente modo:

a) Si delante de un signo de coleccin aparece el signo +, eliminamos tal signo de coleccin y los signos + o de los trminos interiores no cambian.

Ejemplo:

+(2x3 5x2 x + 2) = 2x3 5x2 x + 2

+(4x + 7y 8z) = _________________

b) Si delante de un signo de coleccin aparece el signo ( - ) eliminamos tal signo de coleccin, y los signos + o de los trminos interiores cambian.

Ejemplo:

-(5a4 3b2 6c + 1) = -5a4 + 3b2 + 6c-1

-(-3x + 8y - z) = __________________

ACTIVIDADES PROPUESTAS1) Se tienen los nmeros: (-3) ; (+7) ; (-5) ; (+16) y las variables x e y Escribe 5 diferentes trminos algebraicos con los nmeros y variables dadas.

Ejemplo : -3x16

2) Escribir 4 trminos semejantes para cada uno de los 5 trminos escritos en el caso (1).

3) Luego de efectuar la indicacin (2) reducir cada grupo de trminos semejantes a uno solo.

4) Reducir las expresiones mostradas a continuacin.

a. 15bc 7a + 12a - 12bc =

b. -4m + 3n -9m + 10n =

c. (12abc + 24pq) - (13abc 6pq) =

d. (3x2 + (4x x2) + 2x 3x2) +5x

e. (x2 - x + 1) ( x2 + x + 1 ) =f. 2(x2 + 1) - x2 + 2 =

g. (2a).(3b) - (7ab + ab) =CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las E. A. se clasifican en: Monomios y PolinomiosI. Monomios:

Es la E. A. que consta de un slo trmino.

Ejemplo:

3x ;

-7y2 ;

xy3 ;

0,7ab ; x2yz3II. Polinomio:

Es la E. A. de dos o ms trminos.

Ejemplo:

4x 3y ; 5x2 - 3y + xy ;

3xy + 5y 3x + 6

a) Binomio: Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.Ejemplo:

3x2 y

8x2y + y

2x + 3

b) Trinomio: Es la expresin algebraica que consta de tres trminos.Ejemplo:

3x2 7xz + z3

2a2 - 3ab + b2

3a2 + 5b3 c2 Grado de una variable

El grado de una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo:

En el trmino: 7x2y3 Grado de la variable x: 2 o segundo grado.

Grado de la variable y: 3 o tercer grado.

Grado de un monomio

El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.

El grado relativo o con respecto a una letra o variable esta dado por el exponente de dicha letra.Ejemplo: 9x3y2 El grado relativo con respecto a x es 3 o tercer grado.

El grado relativo con respecto a y es 2 o segundo grado.

El grado absoluto de un trmino algebraico esta dado por la suma de los exponentes de la parte literal.

Ejemplo:

El grado absoluto de: 9x3 y2 es:

3 + 2 = 5

El grado absoluto de: 5x8 y5 z-6 es:

8 + 5 6 = 7 Grado de un polinomio

El grado de un polinomio puede ser relativo y absoluto.

El grado relativo o con respecto a una letra es igual al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio.

Ejemplo 1:

En el polinomio: 3x2 - 5x3 y4 + 7x5 y3 Grado relativo con respecto a x es: ___________ Grado relativo con respecto a y es: ___________

Ejemplo 2:

En el polinomio: 5xyz3 +8x2 y3z 2x3y4z2 Grado relativo con respecto a x es: ___________ Grado relativo con respecto a y es: ___________ Grado relativo con respecto a z es: ___________ El grado absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino de mayor grado absoluto.

Ejemplo 1:

En el polinomio:3x2y3 5x3y4 + 7x5y3

Grado absoluto del monomio: 5 + 3 = 8

Grado absoluto del monomio: 3 + 4 = ____

Grado absoluto del monomio: ____ + ____ = ____

( El grado absoluto del polinomio 3x2y3 5x3y4 + 7x5y3 es 8 u octavo gradoEjemplo 2: En el polinomio

6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5

Grado absoluto del monomio: ___

Grado absoluto del monomio: _______

Grado absoluto del monomio: ________

Grado absoluto del monomio: ________(El polinomio 6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5 tiene por grado absoluto ____ o sptimo grado.

ACTIVIDADES PROPUESTAS1) Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes:

a) 3x2y

( __________ ; __________

b) 6z2y

( __________ ; __________

c) 9z7y9

( __________ ; __________

d) z3 y2( __________ ; __________

e) 0,2ab4c5 ( __________ ; ___________

2) Identifica los trminos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes:

a) 2a 3ab2 + 5ab + 6ab2b) x4y + 2 xy4 3x4y x4y

c) a2b2 2ab2 + 3ab2 + 4a2b 7ab2d) 8xy3 5y3x 11 xy3 + 16x2ye) 5x2a 2xa2 + 3x2a 3x2a + 7x2a2 3ax3) De qu grado es cada uno de los monomios siguientes(a) 4x2y3 ( __________ ; __________

b)-12a3b4 ( __________ ; __________

c) 6x4y2z ( __________ ; __________

d) 8x3yz6 ( __________; __________

e) 3x2y6 ( __________ ; __________

f) 5x7y4z2 ( __________ ; __________

g) 0,6x2yz4 ( __________ ; __________

h) 0,83ab3c2 ( __________ ; __________

4) En el polinomio: a3b2c10 8a2b2c5a) Grado relativo con respecto a a es: ___________

b) Grado relativo con respecto a b es: ___________

c) Grado relativo con respecto a c es: ___________

5) Halla el grado absoluto de cada uno de los polinomios siguientes.

a) 2x3y + 3x4y2 0,4x2y5 + 2x3y4

( G.A.__________________b) x4yz4 5x3y2z + 5xyz8 - 0,2x2y3z3

( G.A.__________________c) 6x2y 8x3y4 + 3x6y8- 4 x7y6

( G.A __________________

d) 2xyz6 3xy2z3 + 7x2y4 2xyz8

( G.A __________________

e) x3y2z 7x3yz2 + 3xyz8 0,7x2z3y

( G.A __________________

VALOR NUMRICOHallar el valor numrico de un monomio o de un polinomio es reemplazar cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo 1:

Cul es el valor numrico de 5ab? Si a = 3 y b = 4Solucin:

Reemplazando:

5ab = 5( ).( ) = _________Ejemplo 2:

Hallar el valor numrico de: 2(c + bc ( a2

Siendo: a = 2 ; b = 3 y c = 16

Solucin:

Reemplazando los valores de a, b y c

2(c + bc ( a2 = 2(_______ + ( ).( ) ( ________ =

= __________ + _________ ( ________ =

= _______________________________

Ejemplo 3:

Hallar el valor numrico del polinomio: 3x2 + 5x 6; cuando x = 2

Solucin:

Reemplazando: x = -2

3x2 + 5x 6 = 3( )2 + 5 ( ) 6 =

= ________ + ________ - _________=

= ___________________

Ejemplo 4:Hallar el valor numrico de: 2x3 6 ,

si x = 3

5x2

Solucin:

Reemplazando: 2x3 6 = 2( )3 6 = _________ = _____

5x2 5( )2

EJERCICIOS PARA LA 1) Halla el valor numrico de cada uno de los polinomios siguientes:

a) x = -1( 5(-1)3 3(-1)2 + 2(-1) + 1 = - 5 3 2 + 1 = - 10 + 1 = - 9b) x = 2(

c) x = 3 (d) x = 1(e) x = -1(f) x = -2(

2) Sabiendo que: x = 2; y = -1; a = 2; c = -2; halla el valor numrico de cada polinomio.

a) 3x2y + 8x 7 = 3(2)(-1)2 + 8(2) 7 = _______________b) 3ac2 cy

=

c) x2y3 7y + xy =

d) 5c3 3xy + y3 =

e) 5ac 3ac2 + xy2 =

OPERACIONES CON MONOMIOS

Recuerda:- 25 xy2

Observacin:

Dos o ms trminos algebraicos son semejantes si __________________ _____________________________________________________________ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS

Para sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados.Ejemplos:a) 2a + 5a + 7a = ( 2 + 5 + 7 ) a = b) 15y2 + 28y2 + 7y2 = ( 15 + 28 + 7 ) y2 = c) 12xyz + 9xyz + 13xyz = .d) 25a 13a = ( 25 13 ) a = ..

e) 18x 13x x =

f) -5x2 + 2x2 9x2 + 4x2 =

MULTIPLICACIN DE MONOMIOS

Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican sus coeficientes; luego, se escriben en orden alfabtico todas las letras de los monomios dados, poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplos:a) (3x).(5x) =

b) (2y).(3x).(5z) =

c) (3mx).(2m).(5x) =

d) (11).(2mx).(3) =

e) (2ab).(2a).(2b).(ab) =f) (ab).(-3a).(-5b) =

EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar:

a) 6x3 13x3 =

b) 180xy + 78xy =

c) 12x2y + 6x2y + 12xy 20xy 7 x2y =

d) 18xz 36xz + 19xz =e) 2m + 3n 5m + 6n =

f) 12abc + 8bca 15cab =

g) -9mx 7xm + 17mx =

2) Halla el resultado de:

Recuerda:

am.an = am+na) (5a2b3).(4ab5) =

b) (-7x).(-5x) =

c) (ab).(2bc).(3ac) =

d) (3mn).(4n3).(5m2) =

e) (3a).(5b).(-4a) =

f) (12ab).(-10ba).(-2ac) =

g) (-2a).(3a).(-4a).(5a) =

h) (a2 b) (-b2c) (-c2a) =

i) (-x).(3y)(2x2)(-5xy) =

POTENCIAS DE MONOMIOS

La potencia de monomios es una multiplicacin de factores monomios iguales.Ejemplos:

a) (2x)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 =

b) (3a)3 = 3a . 3a . 3a = 3 . 3 . 3 . a . a . a =

c) (-2m12)4 = (-2)4.(m12)4 =

d) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 =

e) (-3xy2)2 = (-3)2 . x2 . (y2)2 =

f) (3mn2p3)5 =

g) (-5ab5c8)4 =

DIVISIN DE MONOMIOS

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuacin se escriben las letras en orden alfabtico, ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplos:

a)

b)

c)

EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar las siguientes potencias de monomios:a. (5xy2)3 =

b. (3ab2c3)3 =c. (10p2q8)4 =

d. (2b2 c3)5 =

e. (-2x2)3 =

f. (-5x6)2 =

g. (x2y3z)4 =2) Halla el cocientea) (28x5) ( (4x3) =

b) (-28x2y) ( (7x) =

c) (49ab3) ( (7ab) =

d) (96p5q3r2) ( (3pq2r)=

e) (450mn5) ( (50mn3) =

f) (36mx2) ( (4mx) =

g) (63a2b3) ( (7ab2) =

h) (187x11b13 ) ( (11x5b9 ) =

i) (390m17n14 ) ( (13m16 ) =

PLANTEO DE ECUACIONESQu debemos saber?

ENUNCIADO ABIERTO

Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por diferentes valores se transforma en una proposicin.

Ejemplos de enunciados abiertos:

(a) x = 8(b) x ( 7(c) 3 + x = 8

(d) 2x 1 = 7(e) x + 7 ( 12(f) 10 x ( 5

(g) (h)(i)

PROPOSICION

Es una expresin de nuestro lenguaje, a la que se puede calificar como verdadero o falso. Ejemplos:

PROPOSICIONES VERDADERASPROPOSICIONES FALSAS

(a) 5 ( 3(b) 6 ( 8

(c) Miguel Grau naci en Piura(d) 4 es numero impar

(e) La capital de Per es Arequipa (f) 32 = 6

(g) 28 : 4 = 7(h) 5 x 6 = 35

(i)(j)

(k)(l)

Plantear una Ecuacin

Plantear una ecuacin significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresin matemtica mediante una ecuacin.

Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor de algo. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCGNITA y se le representa por una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje comn puede ser traducida a lenguaje matemtico.

Por ejemplo:

Enunciado abierto:FORMA VERBALFORMA SIMBLICA

Un nmero aumentado en 4

Un nmero disminuido en 9

El doble de un nmero

La mitad de un nmero

La cuarta parte de un nmero

El doble de un nmero aumentado en 3

La edad de Ivn hace 6 aos

La edad de Lourdes dentro de 4 aos

La suma de tres nmeros consecutivos es 18

La suma de dos nmeros pares consecutivos es 26

El doble de la edad de Alexandra es 16 aos

La mitad de la edad de Daniel aumentada en 5 aos es 23 aos

El dinero que tiene Diana disminuido en s/.140

Enunciado abierto:FORMA SIMBLICAFORMA VERBAL

3x

X2 + 5

(x + 5)2

(2x)3

x + y + z

x

4x3

3x + 4

3(x + 4)

EJERCICIOS PARA LA 1) Traducir los siguientes enunciados a la forma simblica:

FORMA VERBALFORMA SIMBLICA

Un nmero aumentado en 15

Un nmero disminuido en 8

El doble de un nmero, aumentado en 5

El doble de un nmero aumentado en 5

El quntuplo de un nmero, disminuido en 7

Cinco veces un nmero disminuido en 7

El dinero de Vanesa aumentado en S/.15

La edad de Lourdes hace 4 aos

El doble del dinero de Manuel

La suma de dos nmeros es 18

La tercera parte de un nmero disminuido en 13

El cuadrado de un nmero aumentado en 16

La mitad de un nmero disminuida en 14

2) Da un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones:

FORMA SIMBLICAFORMA VERBAL

x + 11

x 13

2x 13

2(x 13)

x + y

3x 6

4x = 20

x2 - 1

(x - 1)2

ECUACIONES

Igualdad

Son dos expresiones aritmticas o algebraicas, que tienen el mismo valor.

Por ejemplo:

a) Una decena = 10 unidades

b) 5 + 2 = 17 10

c) 5x = 20

Partes de una ecuacin

En una ecuacin encontramos dos partes llamadas miembros de la ecuacin, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

2 x = 10

1 Miembro

2 Miembro Raz de una ecuacin

Es el nmero que al reemplazar a la variable de la ecuacin, la transforma en una proposicin verdadera.Ejemplos:

* Halla la raz de las siguientes ecuaciones:a) x 9 = 16

b) x + 3 = 41

c) x + 17 = 41

d) x 32 = 30

e) 5x + 32 = 92

f) 4x 15 = 33

g) 3x 30 = x + 8

h) 40 + x = 3(10 + x)

i) 10x 24 = 2x + 8

Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simblica.a) La suma de dos nmeros es 32, si uno de ellos excede al otro en 2 unidades. Hallar dichos nmeros.

b) El doble de un numero aumentado en 21 es 51, cual es el numero?

c) La edad de Ivn hace 9 aos era 17 aos; que edad tiene Ivn ahora?

d) La suma de tres nmeros consecutivos es 33, cuales son los nmeros?

EJERCICIOS PARA LA 1) Halla la raz de cada ecuacin:a) x + 12 = 26

b) 3x + 21 = 45

c) 7x 17 = 32

d) 56 + x = 5 (8+ x)

e) (3x 4) = 2x + 12

f) 7(x-3) = 21

g) 6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simblica.a) La suma de dos nmeros pares consecutivos es 30, Cules son los nmeros?

b) El triple de un nmero aumentado en 6 es igual al doble del mismo nmero aumentado en 14. Cules son los nmeros?

c) La mitad de un nmero aumentado en 7 es 16. Cul es el nmero?

d) La tercera parte de un nmero disminuido en 12 es 33. Cul es el nmero?

e) Los 2/3 de un nmero ms 5 es igual a dicho nmero aumentado en una unidad. Cul es el nmero?

ECUACIONESPARTE III

1) Resolver:

a) x + 17 = 29

b) x + 7 = 22

c) x + 5 = 18d) x + 9 = 14

2) Halla la raz de las siguientes ecuaciones:a) 3x 8 = 38

b) 2x + 2 = 24

c) 4x + 6 = 26

d) 3x 5 = 19

e) 7x 6 = 43

f) 5x 2 = 43

g) 2x 8 = 6

h) 15x 9 = 69

3) Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones.

a) Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 aos tendra 62 aos. Qu edad tiene mi padre?

b) Cul es el nmero que disminuido en 52 es igual a 30?

c) Cul es el nmero que multiplicado por 11 y disminuido en 15 es igual a 73?

d) Cul es el nmero que aumentado en 35 es igual a 50?

e) El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 aos seria 29 aos. Qu edad tiene Pedro?

f) La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 aos y la edad del hijo es 22 aos. Qu edad tiene el padre?

EJERCICIOS PARA LA CASAa) Desarrolla las siguientes ecuaciones:1) x + 9 = 20

2) n 10 = 18

3) 2x + 28 = 52

4) 12a + 14 = 154b) Desarrolla los siguientes problemas, primero plantea tus ecuaciones.

1) Cul es el nmero que aumentado en 15 da 60?2) Cul es el nmero cuyo triple disminuido en 6 da 9?3) Cul es el nmero que aumentado en 12 da 54?4) Si la edad de Mara le disminuyera 17 aos entonces tendra 15 aos. Qu edad tiene Mara?5) Cul es el nmero que aumentado en 24 da 63?6) El duplo de un nmero aumentado en 15 aos da 31. Cul es el nmero?7) Si al duplo de un nmero le disminuyo 9 aos da 17. Cul es el nmero?8) Si a la edad que tiene mi madre le disminuyera 9 aos tendra 18 aos. Qu edad tiene mi madre?

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos indicados que tiene una forma determinada, de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operacin.

Por su gran utilidad es conveniente retenerlos en la memoria. Los ms importantes son:

EJERCICIOS PARA LA CLASE1) Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.a) (a + b)2 =

b) (x + 9)2 =

c) (7 - m)2 =

d) (p + q)3 =

e) (a + 3).(a + 2) =

f) (x + 9).(x + 11) =

g) (x - 6)2 =

h) (x + 3) (x + 5) =

i) ( 9 + x) (9 - x) =

j) ( 7 + 5) (7 - 5) =

2) Escribe el producto notable equivalente.

a) x2 + 8x + 16 =

b) x2 22x + 112 =

c) a2 182 =

d) x2 + 16x + (9).(7) =

e) (x + 13).(x - 13) =

f) m2 + 9x + (5).(4) =

g) z2 + 12x + 32 =

h) m2 16m + 64 =

i) a2 + 14a + 49 =

j) x2 81 =

3) Completa convenientemente para expresar como producto notable

a) x2 + 12x = x2 + 2.(6).x + 62 62 = (x + 6)2b) y2 18y = y2 2(9).y + 92 92 = c) 14 + a2 = d) m2 26m = e) x2 + x = f) y2 + 9 =

EJERCICIOS PARA LA 1) Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.

a) (m + 5)2 =

b) ( p - 4)2 =

c) (3 + x)2 =

d) (8 - q)2 =

e) (a + 3).(a + 2) =

f) (x + 9).( x + 11) =

g) (x 6)2 =

h) (x + 3).(x + 5) =

i) (9 + x).(9 - x) =

j) (7 + 5).(7 - 5) =2) Escribe el producto notable equivalente.

a) x2 + 8x + 16 =

b) x2 22x + 112 =

c) a2 82 =

d) x2 + 16x + (9).(7) =

e) (x + 13).(x - 13) =

f) m2 + 9x + ( 5).(4) =

g) z2 + 12x + 32 =

h) m2 16m + 64 =

i) a2 + 14 + 49 =

j) x2 81 =

3) Completa convenientemente para expresar como producto notable

a) x2 + 12x =

b) y2 18b =

c) 14a + a2 =

d) m2 26m =

e) x2 + x =

f) y2 + 9 =

PRODUCTOS NOTABLES II1) Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.

a) (m + 5)2 =

b) (m - 4)2 =

c) (3 + x)2 =

d) (8 - q)2 =

e) (x + 7).(x + 8) =

f) x2 4 = 2) Escribe el producto notable equivalente

a) x2 + 4x + 2 =

b) x2 6x + 9 =

c) 25 + 10x + x2 =

d) 16 8m + m2 =

e) (x + 4).(x - 4) =

f) x2 4 =

g) (x + 5).(x + 6) =

3) Completa convenientemente para expresar como producto notable.

a) x2 + 10x =

b) y2 6y =

c) 8m + m2 =

d) a2 + 36 =

EJERCICIOS PARA LA CASA1) Desarrollar:

a) (x - 8)2 + 16x =

b) (x + 5)2 25 5x =

c) (x + 12) (x - 12) + 144 =

d) (x + 4).(x + 3) 12 7x =

e) (a + 8).(a - 8) a2 + 60 =

2) Completa para poder expresar como producto notable

a) x2 + 4x =b) 25 + 10x =

c) a2 5 =

d) m2 + 19m =

e) b2 + 5m =

3) Expresa como producto notable

a) x2 + 12x + 35 =

b) m2 49 =

c) a2 + 10a + 24 =

d) m2 + 5m + 6 =

e) 1 2p + p2 =

f) x2 + x + 1 =

INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad de nmeros naturales que contiene una o ms variables, es decir, cantidades no conocidas.

Resolver una inecuacin consiste en hallar el conjunto solucin que satisfaga la desigualdad propuesta; para ello, es necesario que se apliquen las diferentes propiedades de las operaciones.

Observemos los siguientes ejemplos:

1. Hallar el valor de la variable en la inecuacin: x + 3 < 5

Solucin:

x + 3 < 5

Inecuacin dada

x + 3 < 3 + 2

definicin de adicin

x < 2

propiedad de cancelacinRespuesta: El conjunto solucin es cualquier nmero menor de 2: C. S. = {0,1}

Comprobacin:

Sustituyendo en la inecuacin dada cualquiera de los valores del conjunto solucin tenemos que:

Si: x = 1; entonces: x + 3 < 5

1 + 3 < 5

4 < 5

2. Hallar el valor de la variable en la inecuacin: x 4 > 6

Solucin:

x 4 > 6

Inecuacin dada

x 4 > 10 4definicin de sustraccin

x > 10

Propiedad de cancelacinRespuesta:

El conjunto solucin es cualquier nmero mayor de 10: C.S. = {11, 12, .....}Comprobacin:

Reemplazando en la inecuacin dada cualquiera de los valores del conjunto solucin:

Si: x = 11; entonces: x 4 > 6

11 4 > 6

7 > 6

Resolucin de inecuaciones en forma: x a < b

Resuelve la siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones

1) x + 4 < 7

pasos

razones2) x + 7 < 9

pasos

razones3) x + 5 < 8

pasos

razones4) x + 2 < 4

pasos

razones5) n + 10 < 24

pasos

razones6) y 27 < 32

pasos

razones7) y 78 < 100

pasos

razones8) z 7 < 14

pasos

razones9) n 21 < 378

pasos

razones10) x 33 < 66

pasos

razones Resolucin de inecuaciones en forma: x a > b

Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones.1) z + 73 > 9

pasos

razones1) y + 105 > 202

pasos

razones2) a + 96 > 126

pasos

razones3) x + 5 > 368

pasos

razones4) n + 33 > 128

pasos

razones5) z + 73 > 99

pasos

razones6) x 38 > 128

pasos

razones7) y 110 > 428

pasos

razones8) n 78 > 327

pasos

razones9) z 56 > 243

pasos

razones Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones

a) Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 aos. Si Daniel tiene 8 aos, Qu edades podra tener Felipe?

b) Dos canastas juntas contienen ms de 386 panes. Si en una de ellas se guardan 221 panes, Cuntos panes podran estar guardados en la otra canasta?

c) Dividir el nmero 884 en dos partes tales que una parte, como mnimo, exceda a la otra en 98 unidades.

INECUACIONES II

Inecuacin es una desigualdad formada por constantes y variable. As, son inecuaciones:

x 3 < 6;

2x + 1 > 3;

4x 2 < 10;

5x + 2 > 22; etc.

Resolver una inecuacin es hallar su conjunto solucin, pero como la solucin es en N, se debe tener en cuenta que el conjunto solucin sean nmeros naturales. El procedimiento para resolver inecuaciones es el mismo que para resolver ecuaciones.

EJERCICIOS RESUELTOSResolver:

1) 3x + 4 > 2x + 6

2) 5(x + 2) < 3x + 20

3) 2(x - 2) > 3 (2x - 4)

4) 2x 3 < 5 + x

5) 4x + 2 > 2 (x + 3)

6) 3(2x - 1) < 4 (x + 2) + 1

7) 4x 12 < x

C. S. = { }

Por qu no son solucin 2, 1 y 0?

8) 6(x - 4) > 3 (x + 2)

C. S. = { }

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver:1) 2x + 3 > x + 8

2) 3x + 5 < x + 9

3) 5x 3 < 18 2x

4) 4x 1 > 15 4x

5) 6x + 8 < 5x +9

6) 7x + 9 > 6x + 13

7) 9x 20 < 5x + 4

8) 2x + 10 >14

9) 5x + 8 > 23

10) 4x 5 < 7

11) 3x 6 < 9

12) 2x + 6 > 8

13) 6x + 1 < 13

14) x + 8 < 12

15) x + 10 > 16

METODOS DE SOLUCIN DE INECUACIONES

Una inecuacin puede resolverse por el mtodo de Transposicin de trminos o aplicando Propiedades.

Ejemplos:1) Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando propiedades.

a) 8x < 40PASOS

RAZONES

C.S. = {.........................}

b) 3x 6 < 33

PASOS

RAZONES

C. S. = {.................................}

c) 5x + 2 > 17

PASOS

RAZONES

C.S. = {...........................}

d) 7x 5 < 23

PASOS

RAZONES

C. S. = {...................................}

2) Resuelve las siguientes inecuaciones transponiendo trminos.

a) 4 + 3x > 16

b) 25 < 2x + 11

C. S. = {............................}

C. S. = {.............................}

c) 2a + 11 > 23 2a

d) 10x 5 > 8x + 15

C. S. = {.......................}

C. S. = {......................}

EJERCICIOS PROPUESTOS1) Resuelve aplicando propiedades.

a) 5x > 30

b) 4x < 20

c) 7x < 42

d) 13x > 130

2) Halla el conjunto solucin de los siguientes problemas.

a) El triple de mi edad es menos de 36 aos. Cul puede ser mi edad?

b) El doble de un nmero es mayor que 19 y menor que 21. Cul es el nmero?

c) Cuatro veces un nmero est entre 48 y 53. Cul es el nmero?

3) Resuelve transponiendo trminos.

a) 16 < 3x 14

b) 3x ( 555

c) 3x 5 ( x + 5

4) Resuelve aplicando el mtodo que desees.

a) 16x ( 64

b) 9x ( 108

c) 7x + 5 ( 26

d) 3x 10 ( 8

Adicin,

Sustraccin,

Multiplicacin,

Divisin y

Clculo de potencias y races

a b = a + ( - b )

Regla de Signos

(+) . (+) = (+)

Regla de Signos

(-) . (+) = (-)

(+) . (-) = (-)

Regla de Signos

(-) . (-) = (+)

El producto es positivo

Si los dos factores tienen

El producto es negativo

(+) . (+) = +

(- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = -

(- ) . (+) = -

Diferente signo

Igual signo

b0 = 1 ; b ( 0

b1 = b

EMBED Equation.3

Cuando multipliquemos bases iguales, el exponente del resultado ser la suma de los exponentes dados.

am. an = _____

Cuando dividamos bases iguales, el exponente del resultado se obtiene restando los exponentes dados.

EMBED Equation.3 ( a 0

a0 = 1 ( a 0

- 12x3

Signo

Exponente

Parte literal

Coeficiente

Recuerda

Los principales signos de coleccin son:

Parntesis( )

Corchetes ( (

Llaves( (

(x + y)2 = __________________________

(x y)2 = __________________________

(x + y).(x y) = _______________ (diferencia de cuadrados)

(x + a).(x + b) = ____________________________

lgebra Prof. Alexander R. Huanqui Bedregal 1

_1169706886.unknown

_1169708181.unknown

_1169815623.unknown

_1169815860.unknown

_1169816173.unknown

_1169801747.unknown

_1169708005.unknown

_1169584025.unknown

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_1169497915.unknown

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_1169497877.unknown