57585721 Gradjevinska Statika 2 Split 2008

Ante Mihanović Boris Trogrlić

GRAĐEVNA STATIKA II

SAMO ZA INTERNU UPORABU

(Rukopis, nije lektorirano, nije recenzirano)

SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Split 2008.

1. Neodređeni punostijeni nosači 1

Mihanović, Trogrlić Građevna statika II

1. STATIČKI NEODREĐENI

PUNOSTIJENI NOSAČI

1.1 JEDINIČNO STANJE POMAKA

1.1.1 Posmično deformirani štap Čisto posmično deformiranje punostijenog nosača idealizirano je stanje koje se rijetko

pojavljuje. Nastaje kod nosača kod kojih je visina presjeka nosača reda veličine raspona. Oblik deformiranja presjeka naziva se deplanacija. Način deformiranja dijela štapa prikazan je na crtežu 1.1

Crtež 1.1 Posmik na dijelu štapa

Analizira se cjelokupno stanje pravocrtnog štapa izloženog posmičnom deformiranju, izazvanog pomacima krajeva štapa i/ili djelovanjem opterećenja okomito na os štapa. U tu svrhu uvedimo sustav oznaka u lokalnom sustavu štapa kao što je prikazano na crtežu 1.2

Crtež 1.2 Posmično deformiran štap

Pretpostavlja se da je štap: (1) pravocrtan, (2) prizmatičan, (3) konstantnog poprečnog

presjeka, (4) iz Hookevog materijala, (5) dominantno posmično a zanemarivo savojno deformbilan, (6) vrijedi hopteza malih pomaka i deformacija. U nastavku su dane osnovne deformacijske relacije.

2 1. Neodređeni punostijeni nosači

Građevna statika II Mihanovć, Trogrlić

Posmična deformacija je dana izrazom

dxdvp

x =γ (1.1)

Veličina srednjeg posmičnog naprezanja iznosi

dxdv

GG pxx == γτ (1.2)

gdje je G modul posmika.

Veličina poprečne sile u presjeku iznosi

dxdv

GAGAAT pyxyxyx === γτ (1.3)

gdje je Ay površina poprečnog presjeka izložena posmika, a GAy posmična krutost presjeka.

Zakon oprečne ravnoteže na diferencijalnom elementu glasi:

)(xfdxdT

yx −= (1.4)

gdje je )(xf y raspodijeljeno poprečno opterećenje.

Kada se u prethodnu jednadžbu uvrsti relacija (1.3) izlazi

)(2

2

xfdx

vdGA y

py −= (1.5)

Što predstavlja diferencijalnu jednadžbu posmičog deformiranja štapa.

Rješenje izvedene jednadžbe dovodi do veze između pomaka rubova, sila na rubovima i zadanog opterećenja. Najopćenitije gledano rješenje je moguće na dva načina. Jedan način je izravna matematička integracija, što može biti i zahtjevno kada se radi o složenom opterećenju. Drugi način je posredni, putem virtualnoga rada, za što nam uopće nije potrebna diferencijalna jednadžba. U nastavku se izlaže posredni pristup.

Rješenje postavljene zadaće traži se približnim, dakle, numeričkim postupkom. U tu svrhu pretpostavlja se jedno rješenje kao moguće približno rješenje u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) plpp vxnvxnxvxp 201 +=≈ (1.6)

Dakle kao linearna kombinacija dvije funkcije u kojoj su u0 i ul pomaci rubova štapa. Uvjet kompatibilnosti ovako postavljenog rješenja podrazumijeva da je

( ) ( ) 0021 == nln (1.7)

te: ( ) ( ) 10 21 == lnn (1.8)

tada funkcije n1 i n2 postaju jedinične odnosno bazne funkcije.



Najjednostavniji izbor koji zadovoljava postavljene zahtjeve su linearne jedinične funkcije prikazane na crtežu 1.3.

0

1

l x

1n =1-x/l

0

1

l x

2n = x/l

Crtež 1.3 Bazne funkcije

Analitički zapis približnog rješenja pomaka sada ima oblik:

( ) plpp vlxv

lxxv +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 01 (1.9)

Što se može zapisati u matričnom obliku kao

( ) ( ) ( )uN xvv

nnvv

lx

lxxv

pl

p

pl

pp =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 0

210 ,,1 (1.10)

U cilju testiranja približnog rješenja (1.10) uvodi se matrična oznaka za uzdužne sile na rubovima

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=lT

T0s (1.11)

Testiranje približnog rješenja vrši se načelom virtualnog rada. U tu svrhu potrebno je odabrati virtualne pomake. Umjesto bilo kojih, geometrijski mogućih pomaka, za virtualne pomake odabiru se isti pomaci, dani u relaciji (1.10), kojima je predstavljeno približno rješenje.

Iz ravnoteže sustava dobivene načelom virtualnoga rada slijedi jednakost radova vanjskih i unutrašnjih sila. Rad vanjskih sila ima zapis

( ) ( )dxxfxvA yl

pv ∫+= suT (1.12)

U kojem prvi član prestavlja rad rubnih sila na virtualnim pomacima rubova

{ } lplpl

plp TvTvTT

vv +=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 000

0T ,su (1.13)

a drugi član prestavlja rad opterećenja (uzduž štapa) na virtualnim pomacima štapa (poprečnim).

Rad unutrašnjih sila se dobije kao integral rada na diferencijalnom elementu štapa kojeg obavlja poprečna sila



( ) ( )uBuN xGAxdxdGA

dxdv

GAT yyp

yx === (1.14)

gdje je

( ) ( )xx NB ′= (1.15)

polje poprečnih deformacija,

nad virtualnim deformacijama, koje također imaju isti oblik, te je

( ) ( ) dxxGAxAl

yu ∫= uBBu TT (1.16)

Izjednačenje rada vanjskih i unutrašnjih sila daje

( ) ( ) ( ) ( ) dxxGAxdxxfxv yl

yl

p uBBusu ∫∫ =+ TTT (1.17)

Uvede li se odgovarajuća zamjena iz (1.10), prethodna jednadžba prima oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) dxxGAxdxxfx yll

uBBuNusu ∫∫ =+ TTTT (1.18)

Kada se prethodna jednadžba pomnoži s lijeve strane s 1T −u slijedi

( ) ( ) ( ) ( )dxxfxdxxxGA yll

y ∫∫ −= NuBBs T (1.19)

odnosno

fkus −= (1.20)

gdje je

dxnnEAdxBBGAk jl

ijl

iyij ′′== ∫∫ (1.21)

matrica krutosti štapa te,

( ) ( )dxxfxnf yl

ii ∫= (1.22)

vektor sila upetosti.

Nakon što se provedu potrebne integracije, izraz (1.10) prima oblik:



⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

100

1111

ff

vv

lGA

TT

pl

py

l

(1.23)

i prestavlja vezu sila na rubovima s pomacima rubova i opterećenjem, zadovoljavajući uvjete ravnoteže promatranoga štapa.

Analiza jediničnog stanja pomaka štapa

Promatra se neopterećeni štap, tada prethodna relacija ima oblik

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

pl

py

l vv

lGA

TT 00

1111

(1.24)

i pokazuje kolike sile nastaju na rubovima ako postoje pomaci rubova. U slučaju jednakih pomaka nastaje translacija štapa kao krutog tijela i nema sila na rubovima. Pomak jednog od rubova ili različiti pomaci oba ruba, stvara sile na rubovima, a odatle i na samom štapu. Svako stanje pomaka daje ravnotežu. Prethodna relacija pokazuje stanja štapa za bilo kakve konačne pomake rubova.

Valja uočiti kako obrnuti put, određivanje pomaka iz zadanih rubnih sila nije moguće, jer je matrica krutosti singularna. Naravno da jednoj kombinaciji rubnih sila pripada beskonačno mnogo mogućih pomaka rubova.

Primjer 1. Drveni štap.

Promatra se drveni štap duljine 1 m, presjeka 50x5=250.0 cm2, modula posmika G=4000 MPa. Odrediti rubne sile za slučaj da je štap deformiran tako da je lijevi kraj pomaknut za 1 mm prema gore, kao što je prikazano na crtežu 1.4.

kNMNTT

l ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

100100

1.01.0

0001.0

1111

1025.0*40000 (1.25)

Crtež 1.4 Rubne sile pri lijevom pomaku



Analiza stanja pune upetosti. Stanje pune upetosti je ono kod kojega nema pomaka rubova. Sile na štapu stvara

opterećenje pa relacija (1.23) postaje

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫

∫

ly

ly

l dxxfxn

dxxfxn

ff

TT

2

1

2

10 (1.26)

Odakle se vidi da su sile upetosti upravo suprotne od rubnih sila, iz čega je jasno da je sustav u ravnoteži. Iz prethodne relacije se može odrediti rubne sile za bilo kakvo konačno opterećenje štapa.

Primjer 1. Koncentrirana sila.

Potrebno je odrediti sile na rubovima pri opterećenju koncentriranom silom F kao što je prikazano na crtežu 1.5

Crtež 1.5 Rubne sile pri koncetriranoj sili

Integral produkta koncentrirane sile i bazne funkcije jednak je produktu iznosa sile i iznosa funkcije na mjestu djelovanja sile. Odatle slijedi kao opće rješenje:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

lFalFb

TT

l //0 (1.27)

Primjer 2. Jednoliko raspodijeljeno opterećenje. Potrebno je odrediti sile na rubovima pri opterećenju jednolikom raspodijeljenom silom

inteziteta q, kao što je prikazanona crtežu 1.6. Nakon potrebne intergacije izlazi;



⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2/2/0

qlql

TT

l

(1.28)

Crtež 1.6 Rubne sile pri raspodijeljenom opterećenju

Primjer 3. Linearno raspodijeljeno opterećenje.

Potrebno je odrediti sile na rubovima pri opterećenju linearno raspodijeljenim opterećenjem inteziteta q kao što je prikazano na crtežu 1.7. Nakon potrebne integracije izlazi;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

6/3/0

qlql

TT

l

(1.29)

Crtež 1.7 Rubne sile pri linearno raspodijeljenom opterećenju



Primjer 4. Opterećenje silama općeg oblika. Za određivanje rubnih sila u ovom slučaju općeg oblika opterećenja, važno je uočiti

kakva je točnost integrala koje treba izračunati. Razlikujemo egzaktno izarčunate integrale i približno izračunate integrale. Egzaktna točnost može biti posljedica izravne integracije ali može biti i rezultat numeričkog integriranja. Osvrt na točnost predložene metode.

Rezultati primjene predložene metode pokazuju da su rubne sile određene egzaktno u svim slučajevima gdje su i sile upetosti određene egzaktno. 1.1.2 Savijanje štapa u ravnini

Osnovni model savijanja štapa predstavlja slučaj čistog savijanja koje nastaje kada se

dio štapa izloži djelovanju dva koncentrirana momenta bez djelovanja poprečnih sila kao što je prikazano na crtežu 1.8.

Crtež 1.8 Čisto savjanje nosača

Analitički opis se prati uz pretpostavke da je štap: (1) pravocrtan, (2) prizmatičan, (3)

konstantnog poprečnog presjeka, (4) iz Hookevog materijala, (5) vrijedi Navierova (Bernulijeva) hipoteza ravnih presjeka, (6) vrijedi hopteza malih pomaka i deformacija. U nastavku su dane osnovne deformacijske relacije. Veza između momenta savijanja i zakrivljenosti glasi

2

2

dxvdEIM s

zz −= (1.30)

Deriviranjem prethodne relacije slijedi izraz za poprečnu silu pri savijanju nosača

3

3

dxvdEIT s

zz −= (1.31)

Iz ravnoteže krutih tijela slijedi veza

yz f

dxdT

−= (1.32)

Uvrštavanjem prethodnog izraza u jednadžbu (1.30) izlazi



ys

z fdx

vdEI =4

4

(1.33)

Što predstavlja diferencijalnu jednadžbu savijanja nosača. Rješenje jednadžbe je moguće izravnom integracijom ili numeričkim postupkom. U nastavku se izlaže numerički postupak. Približno rješenje jednadžbe traži se u obliku

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) slslsss vxnvxnvxnvxnxvxp ′++′+=≈ 430201 (1.34)

ili skraćeno

( ) ( )uN xxvs ≈ (1.35)

Crtež 1.9 Savijanje nosača



gdje je

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′

′=

sl

l

s

s

vvvv

0

0

u (1.36)

vektor rubnih pomaka, dok matrica N sadrži četiri bazne funkcije prikazane na crtežu 1.9. Uzastopnim deriviranjem baznih funkcija dobiva se

( ) ( )xx NB ′′= (1.37)

Vektor rubnih sila na nosaču izloženog savijanju ima oblik

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

l

l

MTMT

0

0

s (1.38)

Testiranje približnog rješenja danog izrazom (1.35) obavlja se načelom virtualnoga rada pri čemu se i virtualni pomaci biraju u obliku izraza (1.35). Primjena načela virualnoga rada daje jednakost radova vanjskih i unutrašnjih sila odnosno:

( ) ( ) ( ) ( ) dxxEIxdxxfx zl

yl

uBBuNusu ∫∫ =+ TTTT (1.39)

Kada se prethodna jednadžba pomnoži s lijeve strane s 1T −u slijedi

( ) ( ) ( ) ( )dxxfxdxxxEI yll

z ∫∫ −= NuBBs T (1.40)

odnosno

fkus −= (1.41)

gdje je

dxnnEIdxBBEIk jl

izjl

izij ′′′′== ∫∫ (1.42)


( ) ( )dxxfxnf yl

ii ∫= (1.43)




Nakon što se provedu potrebne integracije, izraz (1.41) prima oblik

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′

′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫∫∫∫

dxfn

dxfn

dxfn

dxfn

vvvv

llsimetlllll

lEI

MTMT

y

y

y

y

sl

sl

s

s

z

l

l

4

3

2

1

0

0

2

22

30

0

/4/612./2/6/4/612/612

(1.44)

i predstavlja vezu sila na rubovima s pomacima rubova i opterećenjem zadovoljavajući uvjete ravnoteže promatranog nosača. Analiza jediničnog stanja pomaka nosača. Promatra se jedinično stanje pomaka pri kojem je translacijski pomak na lijevom kraju jednak jedan a svi ostali su nula. Progibna linija odgovara prvoj baznoj funkciji sa crteža 1.9. Opterećenje je izostavljeno. Tada su sile na rubovima

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

2

3

2

3

0

0

/6/12

/6/12

lEIlEI

lEIlEI

MTMT

z

z

z

z

l

l

(1.45)

Neka se prati jedinično stanje pomaka pri kojem je kut zaokreta na desnom kraju jednak jedan a svi ostali pomaci su nula. Progibna linija odgovara četvrtoj baznoj funkciji sa crteža 1.9. Opterećenje je izostavljeno.Tada su sile na rubovima

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

lEIlEIlEI

lEI

MTMT

z

z

z

z

l

l

/4/6/2

/6

2

2

0

0

(1.46)

Analiza stanja pune upetosti. Promatra se slučaj djelovanja koncentrirane sile u sredini raspona iz smjera –y kao što je prikazano na crtežu 1.10.

Crtež 1.10 Sile pune upetosti pri oncentriranoj sili



Tada su sile pune upetosti jednake

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫∫∫∫

8/2/8/

2/

4

3

2

1

0

0

FlFFl

F

Fdxn

Fdxn

Fdxn

Fdxn

MTMT

l

l

(1.47)

Analizira se slučaj djelovanja jednolikog opterećenja q po cijelom rasponu iz smjera –y kao što je prikazano na crtežu 1.11.

Crtež 1.11 Sile pune upetosti za raspodjeljeno opterećenja

Tada su sile pune upetosti jednake

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫∫∫∫

12/2/12/

2/

2

2

4

3

2

1

0

0

qlqlqlql

qdxn

qdxn

qdxn

qdxn

MTMT

l

l

(1.48)

Stanja pune upetosti pri temperaturnom djelovanju Neka je promatrani štap pravokutnog presjeka ukupne visine h. Neka je promjena temperature po visini presjeka linearna. Na vrhu +∆t/2 na dnu -∆t/2. Ovaj tip opterećenja naziva se nejdnolika tempertura. Zbog prijećenih pomaka ruboa nastaju sprijećene temperaturne deformacije iznosa

yht

tt∆

=αε (1.48a)

Gdje je tα temperaturna konstanta materijala a y je udaljenost sloja od neutralne osi po visini presjeka. Pripadna veličina momneta savijanja u bilo kojem presjeku iznosi



htEIM tz

∆= α (1.48b)

Stoga će sile upetosti iznositi

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆−

=

htEI

htEI

tz

tz

α

α

0

0

f (1.48c)

1.1.3 Istodobno savijanje i smicanje štapa u ravnini

Proces se odvija tako da svaki oblik deformiranja zadovoljava svoje prethodno definirane uvjete. Ako se izostavi opterećenje u obliku raspodjeljenih momenata mz, ukupni poprečni pomak kao posljedica zajedničkog deformiranja može se prikazati kao spregnuta vrijednost

( ) ( ) ( )xvxvxv ps += (1.49)

Traži se približno rješenje u obliku sparenih baznih funkcija

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ll vxnvxnvxnvxnxvxp ′++′+=≈ 430201 (1.50)

Pri čemu je

( ) ( ) ( )33221 /2/31

11/1

1lxlxlxxn +−

++−

+=

τττ

( ) ( ) ( ) ( )23233222 //2/2/31

12/1

12lxlxxlxlxllxlxn +−++−

++−

+−=

ττ

ττ

( ) ( ) ( )33223 /2/3

11/

1lxlxlxxn −

++

+=

τττ

( ) ( ) ( ) ( )23233224 ///2/3

11

2/

12lxlxlxlxllxlxn +−+−

+−

+=

τττ

(1.51) te

2/12 lGAEI yz=τ (1.52)

Grafički prikaz prethodnih baznih funkcija dan je na crtežu 1.12



Crtež 1.12 Sparene bazne fukcije savijanja i posmika

Testiranje približnog rješenja danog izrazom (1.50) obavlja se načelom virtualnoga rada pri čemu se i virtualni pomaci biraju u obliku izraza (1.50). Primjena načela virualnoga rada daje jednakost radova vanjskih i unutrašnjih sila odnosno:

( ) ( ) ( ) dxdxxfx ssspppyl

uBDBBDBuNusu ∫∫ +=+ TTTTT (1.53)

gdje su : pB , sB matrice posmičnih i savojnih deformacija respektivno

te pD , sD matrice posmične i savojne krutosti presjeka.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000010000100001

,

1000010000100001

zsyp EIGA DD (1.54)



Razvijeni oblik matrice posmičnih deformacija ima oblik

[ ]jpipp nn ′′= ,B (1.55)

gdje je

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

lx

lxl

lx

lxl

nnnn

p

p

p

p

/21

/1

/121

/11

1

4

3

2

1

ττ

(1.56)

zatim

[ ]jsiss nn ′′′′= ,B (1.57)

gdje je

( )( )( )( )

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+−+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−

+−

+−

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′′′′′

2

2

2

32

2

32

4

3

2

1

/6/20

/6/40

/12/621

/12/6

/12/62

/12/6

11

lxl

lxl

lxl

lxl

lxl

lxl

nnnn

s

s

s

s τ

τ (1.58)

Kada se prethodna jednadžba (1.53) pomnoži s lijeve strane s 1T −u i preuredi slijedi

( ) ( ) ( )dxxfxdx yl

sssppp ∫∫ ++= NuBDBBDBs TT (1.59)

odnosno

fkus −= (1.60)

gdje je

dxnnEIdxnnGAk jsl

iszl

jpipyij ′′′′+′′= ∫∫ (1.61)


( ) ( )dxxfxnf yl

ii ∫= (1.62)




Nakon što se provedu potrebne integracije, izraz (1.59) prima oblik

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′

′

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−−

+

−

+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∫∫

∫

∫

dxfn

dxfn

dxfn

dxfn

v

v

v

v

l

llsimet

lll

llll

EI

M

T

M

T

y

y

y

y

l

l

z

l

l

4

3

2

1

0

0

23

2

2323

0

0

4

612.

264

612612

1

τ

ττ

τ (1.63)

1.1.4 Istodobno uzdužno deformiranje i savijanje

Ove dvije vrste deformiranja su nezvisne jer se odvijaju u ortogonalnim smjerovima. Ukupno stanje ravnoteže dobije se superpozicijom odgovarajućih zakona ravnoteže iz kojih slijedi

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′

′

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∫∫

∫

∫

∫

∫

dxfn

dxfn

dxfn

dxfn

dxfn

dxfn

v

v

u

v

v

u

lEIlEI

lEIsimet

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

M

T

N

M

T

N

ys

ys

xu

ys

ys

xu

l

l

l

zz

x

zz

zzzz

xx

l

l

l

4

3

2

2

1

1

0

0

0

23

2

2323

0

0

0

4

612.

00

2604

6120612

0000

(1.64)

1.1.5 Deformiranje štapa uvrtanjem

Prostorno stanje deformiranja sačinjavaju uzdužno deformiranje, savijanje i posmik u

jednoj ravnini , savijanje i posmik u drugoj ravnini te deformiranje uvrtanjem. Za kompletiranje cjeline neophodna je analiza stanja deformiranja uvrtanjem. U analizi deformiranja uvrtanjem pojavljuju se dvije vrste zadaća. Prva je zadaća jednolikog uvrtanja a druga zadaća nejednolikog uvrtanja. Nejedenoliko uvrtanje pretpostavlja primjenu načela ravnoteže na deformiranom stanju što općenito nazivamo geometrijskom nelinearnosti. U nastavku se izlaže zadaća jednolikog uvrtanja u literature poznatog i pod imenom St. Venant-ovo uvrtanje.

Veza momenta uvrtanja i pripadne kutne deformacije kako je prikazano na crtežu

1.13 ima oblik



dxdGIM xθ

−= (1.65)

gdje je Ix konstanta uvrtanja odnosno moment tromosti uvrtanja presjeka. Samo za osnosimetrične presjeke konstanta uvrtanja je jednaka polarnom momentu tromosti Ix=I0. Umonožak GIx naziva se krutost presjeka na uvrtanje.

Iz ravnoteže krutih tijela slijedi zakon

xx m

dxdM

−= (1.66)

Ako se relacija (1.65) derivira po x uvrsti u relaciju (1.66) dobiva se jednadžba jednolikog uvrtanja

xx mdxdGI =2

2θ (1.67)

Crtež 1.13 Deformiranje uvrtanjem

Matematički oblik prethodne jednadžbe isti je kao i onaj koji opisuje stanje uzdužnog deformiranja i posmičnog deformiranja stoga je i odgovarajuće numeričko rješenje istovjetno. Dakle zakon ravnoteže dovodi do relacije

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫∫

dxmxn

dxmxnl

GIMM

x

x

l

x

xl

x

2

100

1111

θθ

(1.68)



1.1.6 Cjelovito prostorno deformiranje štapa Reducirani opis stanja prostornog deformiranja prikazan je na crtežu 1.14.

Crtež 1.14 Stanje deformiranja u prostoru

Ukupno deformacijsko stanje može se opisati relacijama

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′′

=

22

22

//////

,

dxvddxwddxddxdwdxdvdxdu

dxd

vw

wvu

s

s

p

p

p

p

θθLppεp (1.69)

Veza između utrašnjih sila i deformacija može se opisati u obliku

εDQDεQ 00 == i (1.70)

Gdje je D matrica krutosti presjeka

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000000000000000000000000000000000

0.00000000000000

0

y

z

y

z

x

z

y

x

GAGA

i

EIEIsim

GIGA

GAEA

DD (1.71)



Jednadžbe ravnoteže uz pomoć zakona deformacija mogu se napisati u obliku

0fLpDLDLp =−− 0 (1.72)

Analitičko rješenje integriranjem prethodnim jednadžbi već na jednom štapu predstavlja vrlo složen zadatak. Posebnu poteškoću u postupku predstavlja opterećenje raspodijeljenim momnetima my i mz.

Numerički opis stanja deformacija

U mjesto točknog rješenje za polje pomaka p uvodi se približno rješenje. Uvodi se i pretpostavka da nema opterećenja raspodjeljenim momentima my i mz. Takvo opterćenje se uvijek može nadomjestiti parovima sila. Rješenje se prikazuje u obliku produkta baznih funkcija i diskretnih pomaka čvorova

Nup ≅ (1.73)

Zbog višestrukih tipova deformiranja i baznih funkcija uvodi se jedinstvena numeracija baznih funkcija. Po komponentama polje pomaka približnog rješenja neka je dano kako slijedi:

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≅ll

nnuu

nnuθθ

θ 021

021 ,,, NθNu (1.74a)

[ ] [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′

′==

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′

′=≅

l

l

l

l

wwww

nnnnw

vvvv

nnnnv 0

0

65430

0

6543 ,,,,,,, NwNv (1.74b)

Bazne funkcije n3,..n6, u sebi sadrže povezano posmično i savojno deformiranje a odgovaraju dosadašnjim oznakama, 4321 ,,, nnnn .

Virtualni pomaci i načelo virtualnoga rada

Virtualni pomaci biraju se istg oblika kao i polje približnog rješenja. Nako provođenja izjednaćenja radova vansjskih i unutrašnjih sila, analogno postupcima kod pojedinačnih slučajeva deformiranja dobiva se matrični zakon ravnoteže

fkus −= (1.75)

u kome je vektor rubnih sila

{ }Tylzlxlzlyllyzxzy MMMTTNMMMTTN ,,,,,,,,,,, 000000=s (1.76)

zatim matrica krutosti



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎢

+

++

+

++

+−

+

+

+

+−

+

++

+

++

+

−

+−

+−

++

++−

++

−

=

y

zy

z

yz

x

z

y

z

y

y

z

y

z

x

y

zy

y

z

y

zy

z

yz

z

y

z

yz

xx

z

y

z

y

z

y

z

y

y

z

y

z

y

z

y

z

xx

lEI

lEI

lGI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lGI

lGI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

ττ

ττ

ττ

ττ

ττ

τττ

ττ

τττ

ττττ

ττττ

14

14

00

01

60

112

16000

112

00000

12

000160

14

01

20

16

0001

4

0000000

01

60

112

0001

60

112

16000

1120

16000

112

0000000000

23

23

2

2

2323

2323

k

(1.77)

vektor pomaka

{ }Tllllll wvwvuwvwvu ′′′′= ,,,,,,,,,,, 000000 θθs (1.78)

te vektor sila upetosti { }Tzyxzyxzyxzyx dxfndxfndxmndxfndxfndxfndxfndxfndxmndxfndxfndxfn∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫= 662552441331 ,,,,,,,,,,,f

(1.79). 1.1.7 Lokalno otpuštanje štapa POPUNITI.

1.2 PRESLIKAVANJE VEKTORA U PROSTORU

1.2.1 Preslikavanje iz lokalnog u globalni sustav

Prethodno izvedene veze između sila na rubovima pomaka i opterećenja obrađene su u lokalnom sustavu samog štapa. U analizi složeneg sustava pojavljuje se potreba preslikavanja vektora iz lokalnog sustava u globalni i obratno. Na jednom kraju štapa postoje translacijske veličine poput pomaka i sila te rotacijske veličine poput kutova zaokreta i momenata. Svaka skupina ima trokomponentni vektor a svaki od njih se preslikava na identičan način.

Neka je jednostavnosti radi promatarni vektor lokalnog sustava postavljen na lokalnu os x kao što je prikazano na crtežu 1.15. Slika jednokomponentnog vektora x u globalno sustavu imati će oblik



xZYX

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1

1

1

coscoscos

γβα

(1.80)

Sukladno tome slika trokomponentnog vektora u globalnom sustavu biti će:

Crtež 1.15 Preslikavanje iz lokalnog u globalni sustav

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zyx

ZYX

321

321

321

coscoscoscoscoscoscoscoscos

γγγβββααα

(1.81)

ili skraćeno

vTV 3= (1.82)

Preslikavanje rubnih pomaka i sila Sile i pomake jednog ruba možemo prikazati kao diname

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=r

t

r

t

uu

uss

s , (1.83)

gdje je

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′′=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

vw

wvu

MMM

TTN

z

y

x

r

z

yt

θ

rt uuss ,,, (1.84)

Slika diname u globalnom sustavu imati će oblik

uTUsTsT

TS 66

3

3 ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ii ,

00

(1.85)

Neka su P i K početni i krajnji čvor štapa tada su sile i pomaci na krajevima



⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=k

p

k

p

UU

USS

S , (1.86)

Te zaključno preslikavanje sila i pomaka jednog štapa iz lokalnog u globalni sustav

uTUsTsT

TS ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ,

00

6

6 (1.87)

1.2.2 Preslikavanje iz globalnog u lokalni sustav

Neka je vektor u globalno sustavu postavljen na globalnu os X, kao što je prikazano na crtežu 1.16.

Crtež 1.16 Preslikavanje iz globalnog u lokalni sustav

Slika jednokomponentnog vektora X u lokalnom sustavu imati će oblik

Xzyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

coscoscos

ααα

(1.88)

Slika trokomponentnog vektora V u lokalnom sustavu biti će

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ZYX

zyx

333

222

111

coscoscoscoscoscoscoscoscos

γβαγβαγβα

(1.89)

ili skraćeno

VTv T3= (1.90)

Slika diname u globalnom sustavu imati će oblik

UTuSTST

Ts T

6T6T

3

T3 ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ii ,

00

(1.91)



Dok će preslik sila i pomaka šatapa iz globalnog u lokalni sustav imati oblik

UTuSTST

Ts TT

T

T

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ,

00

6

6 (1.92)

1.2.3 Jednadžbe ravnoteže u preslikanom globalnom sustavu

Ravnoteža štapa u lokalnom sustavu opisana je relacijom fkus −=

Preslikavanje lijeve i desne strane donosi

( ) ( )fUkTTfkuTS T −=−= (1.93)

a nakon sređivanja dobiva se

TfUTkTS T −= (1.94) odnosno

gg fUkS −= (1.95) Iz matematike je poznato da umnožak TkTT daje simetričnu matricu ako je matrica k simetrična. 1.2.4 Otpuštanje veza na rubovima nosača

U uobičajenim numeričkim primjerima predviđa se mogućnost oslobađanja neke od veza na rubovima nosača s okolinom. Ovim zahtjevom se eliminira (nulira) pripadajuća sila na rubovima. Postupak kojim se to provodi naziva se lokalna eleiminacija. Unaprijed treba naglasiti da se može osloboditi više od jedne veze ali ne bilo koja kombinacija. Iz opisa postupka slijedi što je kinematički dopustivo. Jednadžba ravnoteže KE (1.75) može se zapisati kao

[ ]{ } { }iiji Fuk −= ,s (1.96)

Ako je zadano otpuštanje određenog broja veza, tada se gornji izraz može napisati u obliku

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

o

n

o

n

nnon

nonnn

FF

uu

kkkk

os

(1.97)

Gdje indeksi n i o označavaju neotpušteno i otpušteno respektivno. U gornjoj relaciji zamijenjen je slijed jednadžbi. Iz gornje grupe jednadžbi moguće je izraziti otpuštene pomake kao funkcije neotpuštenih što dovodi do relacije

( ) { }inonoooo F−−= − ukFku 1 (1.98)

Ova relacija je provediva ako je koo regularna matrica. U suprotnome odabrani sustav otpuštanja od KE čini mehanizam. Od ukupno m veza najviše može biti otpušteno m/2.



Među otpuštenima ne smiju biti veze koje prenose translacijske sile na dva kraja u istom smjeru niti dva momenta uvrtanja. Sile u neotpuštenim vezama dobiva se iz gornje grupe jednadžbi izraza (1.97)

0ukFuks nonnnnn −−= (1.99)

Uvrštenjem relacije (1.98) u (1.99) može se eliminirati otpuštene pomake prema

noonoonoononnnn FFkkkkkuks −+−= −−0

11 (1.100)

ili skraćeno

( ) nnnnnnnn FFukks +−+= ˆˆ (1.101)

odnosno

Fuks ˆˆ −= nn (1.102)

Posljednja relacija predstavlja kondezirane jednadžbe ravnoteže KE. One su nepraktične za usporedbu i slaganje globalne ravnoteže. Rješenje je u rastezanju kondeziranih jednadžbi tako da se pojedinu jednadžbu vrati na poziciju neotpuštene veze a ostale jednadžbe popune se nulama tako da se konačno dobije poznati puni oblik jednadžbi. Primjer otpuštanja sile na rubu. Potrebno je napisati jednadžbu ravnoteže grednog nosača s crteža 1.17. Nosač je izližen samo savojnim deformacijama. Presložena jednadžba ravnoteže prema (1.97) ima oblik

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

12/12/2/2/

4.24

6612661212

0 2

2

0

0

2

223

0

qlql

qlql

vvvv

lsimll

llll

lEI

MTT

l

l

l

l (1.103)

Matrica koo je zapravo koeficijent 4EI/l, dakle regularna je. Veličina otpuštenog pomaka mora biti

( )[ ]llo vvlvlEIqlEIlv ′+−−−=′ *2/1*2/3*2/34/4/ 03 (1.104)

Nakon eliminacije otpuštenog pomaka prema (1.100) izlazi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

8/8/58/3

3.33

333

2

0

23

0

qlqlql

vvv

lsiml

l

lEI

MTT

l

l

l

l (1.105)

Razvućeni oblik jednadžbe ravnoteže postaje



⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

8/8/5

08/3

0

33300003303

0

2

0

2

3

0

qlql

ql

vv

v

ll

l

lEI

MT

T

l

l

l

l

(1.105)

2. Metoda pomaka u izvornom obliku 25


2 METODA POMAKA U IZVORNOM OBLIKU

2.1 PUNOSTIJENI NOSAČI U RAVNINI

Sustav punostijenih nosača u ravnini analizira se uz naredne prepostavke. Nosači se deformiraju uzdužno i poprečno, savijanjem i posmikom. Nosači pojedinačno zadavoljavaju slijedeće pretpostavke: (1) nosač je pravocrtan, (2) nosač je prizmatičan, (3) konstantnog je presjeka, (4) izrađen iz Hookeovog materijala, (5) pri savijanju vrijedi hipoteza ravnih presjeka, (6) pomaci i deformacije su mali.

2.1.1 Diskretizacija sustava i neovisni pomaci

Opis pomaka i deformacija linijskog sustava punostijenih nosača racionalan je onda kada se podijeli na više dijelova (konačnih elemenata KE), tako da je svaki novonastali dio pravocrtan. Matematički gledano ti novonastali dijelovi mogu biti i krivocrtni, ali odgovarajuća analiza nadilazi okvire ovog kolegija. Podjelu na takve pravocrtne konačne dijelove osiguravaju čvorovi. Pomaci svih čvorova postaju nezavisni. Među njima postoji minimalan broj osnovnih. Osnovne čvorove čine oni koji se nalaze na mjestima spajanja tri ili više KE ili oni koji se nalaze na mjestu spajanja dva KE ali to mjesto predstavlja diskontinuitet. Njima pripadni broj pomaka naziva se minimalnim brojem. Po prirodi stvari pomaci su diskretni. Translacijski su i/ili zaokreti.

Dodavanjem novih čvorova unutar minimalnih povećava se broj KE te proširuje skup nezavisnih pomaka. U formalizmu diskretizacije i postavljanja sustava jednadžbi to ne donosi ništa novog osim većeg sutava. Veza između rednog broja čvora č i globalnog rednog broja neovisnog pomaka u tom čvoru ima oblik 0,1,2,3 =−= ooči (2.1)

2.1.2 Prikaz odgovora konstrukcije

Postupak obrazlaganja metode pomaka izlaže se na primjeru jednopoljnog jednokatnog okvira prikazanog na crtežu 2.1. Poznate su koordinate čvorova, deformacijska svojstva elemenata te opterećenja elemenata.

Crtež 2.1 Diskretizacija zadanog sustava



Stanje sustava može se razlučiti na nekoliko nezavisnih stanja. Prvo stanje je ono u

kojem se fiktivno pridrže svu nezavisni pomaci zu potpuno djelovanje opterećenja. Ovo stanje tradicionalno se naziva stanje pune upetosti. Slijedeć stanje je ono u kojem nema opterećenja, zadržavaju se fiktivne veze ali se u smjeru prvog nezavisnog pomaka izaziva jedinični pomak. Analogno slijede ostalih n-1 jediničnih pomaka, gdje je n ukupni broj nezavisnih pomaka. Svako stanje pojedinačno ima sačuvan kontinuitet pomaka i samo fiktivnu ravnotežu čvorova koju osiguravaju fiktivne veze. Moguća je i linerana superpozicija ovih stanja koja donosi

nix uuu xnxi11xux o..o..oOO +++= (2.2)

U kojoj je: x - proizvoljno mjesto Ox - veličina koju želimo pratiti na mjestu x Oxu - veličina na mjestu x pri stanju pune upetosti oxi - veličina na mjestu x pri stanju i-tog jediničnog pomaka ui - stvarni pomak koji će se dogoditi.

Općenito svaka linearna kombinacija poštiva neprekinutost pomaka ali ravnotežu uspostavlja uz pomoć fiktivnih veza. Samo posebna stanja, uvjetovana posebno određenim pomacima ravnotežu mogu uspostaviti i bez fiktivnih veza, a to predstavlja rješenje tražene zadaće. U nastavku se postavlja načelo određivanja tih posebnih pomaka.

2.1.3 Stanje pune upetosti

Svi nezavisni pomaci su pridržani kao što je prikazano na crtežu 2.2. Pomoću analize stanja jedničnim pomaka jednog elementa može se za svaki KE odrediti sile na rubovima oznaćavane s f, ali i unutrašnje sile po elementu. Sumiraju li se sve sile na rubovima te hipotetska opterećenja izravno zadana u čvorovima, dobivaju se sile upetosti F cijelog sustava.

Crtež 2.2 Stanje pune upetosti zadanog sustava



2.1.4 Stanje jediničnih pomaka Stanje prvog jediničnog pomaka.

Stanje prvog jediničnog pomaka prikazano je na crtežu 2.3. Nastaje prisilnim izazivanjem jediničnog pomaka u smjeru 1, dok su svi ostali pomaci pridržani. Oako opterećen sustav zadržava neprekidnost pomaka te ravnotežu uz pomoć fiktivnih veza. Sile u fiktivnim vezama koje pritom nastaju predstavlju odgovarajući koeficijent krutosti. Tada je kij sila na mjesti i uslijed j-tog jediničnog pomaka. Zbog uzajamnosti virtualnih radova vrijedi i obrat po kojem je kij sila na mjestu j uslijed i-tog jediničnog pomaka.

Crtež 2.3 Stanje prvog jediničnog pomaka

Na crtežu su prikazani samo oni koeficijenti krutosti koji su različiti od nule. Njihove su konkretne veličine

LEAhEI

LEAhEI

/kk/6kk

//12k

21,44,1

211,33,1

23

11,1

−==

==

+=

(2.3)

Stanje drugog jediničnog pomaka. Ovo stanje je prikazano na crtežu 2.4. Veličine koeficijenata krutosti iznose

Crtež 2.4 Stanje drugog jediničnog pomaka



222,66,2

322,55,2

222,33,2

3212,2

/6

/12kk

/6kk

/12/k

LEIkk

LEI

LEI

LEIhEA

==

−==

==

+=

(2.4)

Stanje trećeg jediničnog pomaka. Ovo stanje je prikazano na crtežu 2.5. Veličine koeficijenata krutosti iznose

Crtež 2.5 Stanje trećeg jediničnog pomaka

LEILEI

LEIhEILEI

hEI

/2kk/6kk

/4/4k/6kk

/6k

23,66,3

223,55,3

23,3

223,22,3

311,3

==

==

+=

==

=

(2.5)

Analogno se mogu konstrirati stanja jediničnih pomaka za preostala tri nezavisna pomaka.

2.1.5 Slaganje globalne ravnoteže

Ravnotežu globalnog sustava uspostavlja se nuliranjem sila u fiktivnim vezama. Prirodno tada fiktivne veze nisu ni potrebne. Veličine sile u fiktivnim vezama izlučene iz stanja jedničnih pomaka i stanja pune upetosti redom iznose



⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

00000

F..F..F

..............

..............

....

S..S..S 1

11

11

11111

n

i

1

n

i

nnninin

niniiii

nnii

ukukuk

ukukuk

ukukuk

(2.6)

U matričnom formalizmu gornji sustav jednadži se može opisati kao FKu = (2.7) što predstavlja jednadžbu ravnotežu globalnog sustava.

Formalno se za članove gornje jednadžbe piše

∑∑∑∑ +=== č

eeeffFuukK ,, (2.8)

Što se u matematici naziva Bulovim transformacijama. U konkretnom primjeru matrica krutosti ima oblik

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

−+

−+

+

=

hI

LI

LI

hA

LI

simhI

LA

hI

LI

LI

LI

hI

hI

LI

LI

LI

hA

hI

LA

hI

LA

hI

E

32

223

32

232

33

22221

21

32

22

321

212

212

31

44

612.

60

12

260

44

6120

612

60

60

12

K(2.9)

Dok sile upetosti ovise o konkretnom opterećenju. 2.1.6 Uvrštavanje rubnih uvjeta

U prethodnom primjeru rubni uvjeti su bili izravno uvršteni. Jednostavno su svi pomaci čvorova 3 i 4 jednaki nula pa za njih nije ni potrebno postavljati jednadžbe ravnoteže.

Budući da u općem slučaju mjesta rubnih uvjeta mogu biti potpuno nepravilno raspoređena u odnosu na ostale nezavisne pomake, u računalnim programima to bi stvaralo nerješiv zadatak. Stoga je nužno sve čvorove u startu proglasiti nevezanima te slagati sustav jednadžbi ravnoteže za sve pomake, nezavisne i pridržane. Dobiveni sustav je kinematički nestabilan prije nego se u njega uvrte rubnu uvjeti. U konkretnom slučaju okvira sustav bi imao 12 jednadžbi s 12 nepoznanica. Rubne uvjete uvrštava se tako da se u retku kojio se odnosi na poznati rubni uvjet na dijagonali matrice krutosti postavi jedinica a ostali članovi u retku nuliraju. Na desnoj starni u vektoru sila upetosti unese se stvarna rubna vrijednost pomaka, nula ili neka konkretna vrijednost. Nuliranje treba izvršiti i u odgovarajućem



stupcu. Isti postupak se primjenjuje na sve rubne uvjete. Tako nastala korigirana matrica krutosti biti će regularna ukoliko je zaista zadan kinematički stabilan sustav.

U konkretnom primjeru razvijeni sustav bi imao oblik

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000

101001000100001000001

.

12

11

10

9

8

7

Fu0K

uuuuuu

sim (2.10)

Gdje su K u i F veličine iz relacije (2.9). 2.1.7 Zadovoljavanje posebnih rubnih uvjeta Posebni rubni uvjeti se javljaju u slučaju slijeganja oslonaca ili deformiranja oslonaca koji su postavjeni na potkonstrukciju. Fiktivni posebni uvjeti nastaju u sluačju razdavajanja konstrukcije na dva međusobno oslonjena dijela. Isto se događa ako se rubni uvjet zadaje u smjeru za kojeg računalnim programom nije predviđeno. Posebne rubne uvjete modelira se dodatnim štapovima koji služe kao oslonci konstrukcije. Položaj tih štapova, duljina, svojstva krutosti biraju se tako da zadovolje , egzaktno ili približno stvarne rubne uvjete. Jednostavan primjer je simuacija slijeganja konstrukcije prikazan na crtežu 2.6. Uspravni štap simulira slijeganje srednjeg oslonca nosača. Svojstva štapa, u ovom sličaju uzdužnu krutost i uljinu valja iz barati tako da pomak srednjeg oslonca doista bude jednak slijeganju koje bi se dogodilo.

Crtež 2.6 Posebni rubni uvjeti



2.1 OKVIRNI NOSAČI U RAVNINI

2.1.1 Okviri s krutim prečkama

Jednokatni jednopoljni okvir Promatra se jednopoljni jednokatni okvir prikazan na crtežu 2.7. Zbog jednostavnosti zanemaruje se uzdužno i posmično deformiranje stupova i prečke a ktome još i savojno deformiranje prečke. Za prečku se tada kaže da je apsolutno kruta a za okvir se kaže da je okvir s krutom prečkom. Zbog načina deformiranja mogući su samo horizontalni pomaci čvorova kata. Pošto je prečka nedeformabilna izlazi da su oba pomaka jednaka te sustav ima samo jedan nezavisni pomak – horizontalni pomak prvog kata.

Crtež 2.7 Jednopoljni jednokatni okvir s krutom prečkom

Iz ravnoteže horizontalnih sila koje djeluju na prečku izlazi:

HuhEIiliHuk ==− 13111

122,0 (2.11)

Odakle je horizontalni pomak

EI

Hhu12*2

3

1 = (2.12)

Povratkom na polazne stupove dobiva se veličina momenata savijanja na vrhu i dnu

4,0

HhM h = (2.13)

32 2. Metoda pomaka u izvornom obliku


Pripadna slika momenata, poprečnih i uzdužnih sila dana je na crtežu 2.7. Karakter djelovanja na okvir je antisimetričan. Kada bi se sila H raspodjelila na dva čvora svaka s iznosom H/2 , radilo bi se o egzaktnoj antisimetriji. Kada se zbroje momneti s vrhova i dna stupa dobiva se ukupna veličina momenta Hh, što je zaparavo jednako napadnom momentu sile H na bazu. Sila H se naziva sila kata a Hh je moment kata. Nul točka momentnog dijagrama na stupovima nalazi se u sredini visine stupa. Iz ravnoteže globalnog sustava izlazi da je veličina uspravnih reakcija

L

HhBA vv 2, m= (2.14)

Uzdužne sile u stupovima čine par sila čiji je iznos

2

HhM p = (2.15)

Uzdužne sile i njihov par sila naziva se okvirno djelovanje. Valja zamijetiti da je moment para neovisan o rasponu L okvira. Međutim veličine uzdužnih sila kao uspravne reakcije obrnuto su proporcionalne raspon L kao što pokazuje relacija (2.14). Dvokatni jednopoljni okvir Neka se okvir izložen sili H na razni prečke drugoga kata kako je prikazano na crtežu 2.8. Promatra se samo savojna deformabilnost stupova. Sustav ima ukupo dva nezavisna pomaka na prvom i drugom katu.

Crtež 2.2 Dvokatni jednopoljni okvir s krutom prečkom



Jednadžna ravnoteže sustava imati će oblik:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−011

12242

13

Huu

hEI

(2.16)

čije je rješenje

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

EIHhEIHh

uu

48/24/

3

3

2

1 (2.17)

Odgovarajuće veličine unutrašnjih sila prikazane su na crtežu 2.8. Na oba kata sila kata iznosi H a moment kata Hh. Okvirno djelovanje prvog kata iznosi 3Hh/2 dok je okvirno djelovanje drugog kata Hh/2 U nastavku se analizira dvokatni jednopoljni okvir s krutim prečkama opterećen silom H u visini prvoga kata kao što je prikazano na crtežu 2.9. Usvajaju se samo savojna deformiranja stupova.

Crtež 2.9 Dvokatni jednopoljni okvir izložen sili na prvom katu


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−Hu

uhEI 0

111224

2

13 (2.18)

čije je rješenje



⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

EIHhEIHh

uu

12/24/

3

3

2

1 (2.19)

Odgovarajuće veličine unutrašnjih sila prikazane su na crtežu 2.9. Radi se zapravo i istim unutrašnjim silama kao i kod jednokatnog okvira. Drugi krat jednostavno translatira kao kruto tijelo prateći prvi kat u translaciji. Najsloženiji oblik držanja dvokatnog okvira nastaje kad je opterećen silama na prvom i drugom katu kako je prikazano na crtežu 2.10. Radi jednostavnosti usvajaju se sile istog inteziteta. Jedino deformiranje je savijanje stupova.

Crtež 2.10 Dvokatni jednopoljni okvir izlože silama na prvom i drugom katu


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−HH

uu

hEI

2

13 11

1224 (2.20)

čije je rješenje

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

EIHhEIHh

uu

24/324/2

3

3

2

1 (2.21)



Odgovarajuće veličine unutrašnjih sila prikazane su na crtežu 2.10. Sila drugog kata iznosi H a moment Hh. Sila prvog kata iznosi 2H a moment kata 2Hh. Moment kata jednak je sili kata pomnoženoj s visinom kata. Višekatni jednopoljni okvir Analizira se četverokatni jednopoljni okvir s krutim prečkama prikazan na crtežu 2.11. Zbog jednostavnosti prate se samo savojne deformacije stupova. U prvom slučaju neka je opterećen samo silom H na četvrtom katu. U mjesto postavljanja pet nezavisnih jednadžbi zadatak se rješava intuitivno na temelju prethodnih spoznaja. 1. Svaki viši kat se prema nižem horizontalno pomiće za relativni odnos kao jednokatni okvir prema podlozi. Stoga su horizontalni pomaci

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

EIHhEIHhEIHh

EIHh

uuuu

24/424/324/2

24/

3

3

3

3

4

3

2

1

(2.22)

2. Zbog jednakih relativnih pomaka katova i momenti na stupovima su isti. Razlikju se samo momenti na najvišoj prečki od onih ostalih.

3. Sve sile kata su jednake H a svi momenti kata su jednaki Hh.

4. Okvirno djelovanje kata je (i-1/2)Hh, pri čemu se katovi broje od vrha.

Ukupno stanje unutrašnjih sila prikazano jena crtežu 2.11.

U slučaju četverokatnog jednopoljnog okviar s krutim prečkama opterećenog sila H na svakom katu kao što je prikazano na crtežu 2.12, vrijednosti poprečnih pomaka su

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++++

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

EIHhEIHh

EIHhEIHh

uuuu

24/)1234(24/)234(

24/)34(24/4

3

3

3

3

4

3

2

1

(2.23)

Redom su sile i momenti kata:

Četvrti kat, sila kata H, moment kata Hh.

Treći kat, sila kata 2H, moment kata 2Hh.

Drugi kat, sila kata 3H, moment kata 3Hh.

Prvi kat, sila kata 4H, moment kata 4Hh.

Popćeno kazano, silu kata čini zbroj svih horizontalnih sila na tom katu i iznad njega.

Moment kata daje sila kata pomnožena sa visinom kata.

Moment kata prenose stupovi. Zbroj momenata na vrhu i dnu svih stupova jednak je momentu kata.



Crtež 2.11 Višekatni jednopoljni okvir izložen sili na vrhu



Crtež 2.12 Višekatni jednopoljni okvir izložen sili na svakom katu

Višekatni višepoljni okviri



Karakteristično stanje višepoljnih okvira uočljivo je na jednostavnom jednokatnom dvopoljnom okviru. Usvaja se samo deformiranje stupova savijanjem. Opterećen je jednom horizontalnom silom kako je prikazano na crtežu 2.7. Iz ravnoteže horizontalnih sila koje djeluju na prečke izlazi

EI

Hhu12*3

3

1 = (2.24)

Sila kata je jedanka H. Moment kata iznos Hh. Raspodjela momenta kata po stupovima daje moment na vrhu i dnu svakog stupa iznos od

6,0

HhM h = (2.25)

Okvirno djelovanje čine uzdužne sile svih stupova kata. Dijagrami unutrašnjih sila prikazani su na crtežu 2.7.

Crtež 2.7 Jednokatni dvopoljni okvir

Slično prethodnom ravna se i višekatni dvopoljni okvir. Prati se četverokatni dvopoljni okvir s opterećenjem i deformabilnosti prikazanim na crtežu 2.8.



Crtež 2.8 Četerokatni dvopoljni okvir

Nepravilni višepoljni okviri.



U nastavku se analizira višepoljni nepravilni okvi prikazan na crtežu 2.9. I dalje vrijedi načelo sile kata, momenta kata i okvirnog djelovanja kata. Zboj jednostavnosti prikazani su samo pomaci i dijagram momenata.

Crtež 2.9 Nepravilni tropoljni okvir

Vurendel nosači



Pripadaju skupini grednih nosača ali po prirodi djelovanja funkcioniraju kao okviri s krutim prečkama kao što je vidljivo na crtežu 2.10. Uspravnice su apsolutno krute a horizontale izložene samo savijanju. Za zadano opterećenje pomaci i dijagram momenata prikazani su na crtežu. Određen su logikom postupaka izloženih za okvir s krutim prečkama.

Crtež 2.10 Vurendel nosač

2.2 GREDNI NOSAČI U RAVNINI



2.2.1 Jednorasponski nosači Konzolni nosač

U ovom slučaju pokazuje se jednostavnost primjene metode pomaka. Prati se samo savojno deformiranje jednostavnog konzolnog nosača prikazanog na crtežu 2.11. Sustav ima dva nezavisna pomaka. Translaciju i zaokret rubnog čvora. Jednadžbe ravnoteže imaju oblik

. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

0/4/6/6/12

2

12

23 Fuu

llll

EI (2.26)

Odakle izlazi

. EIFluEIFlu 2/,3/ 22

31 −=−= (2.27)

Crtež 2.11 Konzolni nosač

Jednostavna greda Prati se samo savojno deformiranje jednostavne grede prikazana na crtežu 2.12.

Sustav ima dva zaokreta kao nezavisne pomake. Jednadžbe ravnoteže imaju oblik

. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12/12/

/4/2/2/4

2

2

2

1

qlql

uu

llll

EI (2.28)

Odakle izlazi

. EIqluEIqlu 72/,72/ 22

21 =−= (2.29)

Crtež 2.12 Jednostavni gredni nosač

2.2.2 Nosači preko dva polja



Potpuno uklješteni nosač

Promatra se nosač preko dva polja prikazan na crtežu 2.13. Zbog jednostavnosti prati se samo savojno deformiranje. Ako se prate čvorovi na rubovima polja sustav ima jedan nezavisni pomaka i to kut zaokreta nad srednjim osloncem. Zbog simetrije opterećenja i sustava veličina kuta zaokreta je nula, tako da stanje pune upetosti daje konačno rješenje prikazano na crtežu 2.13.

Crtež 2.13 Nosač preko dva polja uklješten na rubovima

Nosač zglobno pridržan na rubovima.

Promatra se nosač preko dva polja zglobno pridržan na rubovima prikazan na crtežu 2.13. Zbog jednostavnosti prati se samo savojno deformiranje. Ako se prate čvorovi na rubovima polja, sustav ima ukupno tri nezavisni pomaka i to kuteve zaokreta. Zbog simetrije opterećenja i sustava veličina kuta zaokreta nad srednjim osloncem je nula. Konačno rješenje prikazano na crtežu 2.13.

Crtež 2.13 Nosač preko dva polja zglobno pridržan na rubovima.

Jednadžne ravnoteže imaju oblik



. ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

12/0

12/

/4/2/80/2/4

2

2

3

2

1

ql

ql

uuu

lsimll

llEI (2.30)

Odakle izlazi

. EIqluuEIqlu 48/,0,48/ 332

31 ==−= (2.31)

2.2.3 Nosači preko više polja

Nosač preko tri polja

Analizira se nosač preko tri polja prikazan na crtežu 2.14. Zbog jednostavnosti prati se samo savojno deformiranje. Sustav ima ukupno četiri nepoznata kuta zaokreta. Za slučaj simetričnog opterećenja jednadžbe ravnoteže imaju oblik:

.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12/00

12/

/4./2/80/2/800/2/4

2

2

4

3

2

1

ql

ql

uuuu

lsimll

llll

EI (2.32)

Odakle je

. EIqluuEIqluu 72/,40/ 332

341 =−=−=−= (2.31)

Crtež 2.14 Nosač preko tri polja.

3. Punostijeni nosači u prostoru 45


3 PUNOSTIJENI NOSAČI U PROSTORU

3.1 Formulacija metode pomaka Formulacija metode pomaka prikazuje se na prostornom jednokatnom okviru

prikazanom na crtežu 3.1. Slijedi se logika prikazana na ravninskim zadaćama. Pojednični nosači moraju udovoljavati istim pretpostavkama pretpostavkama: (1) nosač je pravocrtan, (2) nosač je prizmatičan, (3) konstantnog je presjeka, (4) izrađen iz Hookeovog materijala, (5) pri savijanju vrijedi hipoteza ravnih presjeka, (6) pomaci i deformacije su mali.

Svaki slobodni čvor ima šest nezavisnih pomaka. Svaki zasebni nosač postavljen je između dva čvora te ima zadana svojstva krutosti te pripadajuće opterećenje. Svojstva krutosti naznačuje opća oznaka D u kojoj su sublimirani slijedeći podaci: E,G,Ax,Ay,Az,Ix,Iy,Iz. Podatke o opterećenju sadrži opća oznaka f u kojoj su sublimirani slijedeći podaci : fx,fy,fz,mx,my,mz.

Slijedeća je veza između rednog broja čvora i rednog broja globalnog nezavisnog

pomaka 0,1,2,3,4,5,6 =−= ooči (3.1)

Crtež 3.1 Prostorni jednokatni okvir - diskretizacija

Analogno postupku kod ravinskih punostijenih nosača, i ovdje se stanje sustava promatra razdvojeno na stanje pune upetosti i stanja jedničnih pomaka. Konkretan sustav je odabran prema crtežu 3.1.

Stanje pune upetosti.



Svi nezavisni pomaci pridržani su fiktivnim vezama. Za svaki element su poznata deformacijska svojstva i opterećenje. Stanje deformacija zadržava neprekinutost dok se ravnoteža uspostavalja pomoću fiktivnog pridržanja. Sile fiktivnog pridržana su sile upetosti a čine ih rubne sile pojedinih elemenata zbrojene s eventualnim opterećenjima zadanim izravno na čvorove.

Crtež 3.2 Prostorni jednokatni okvir - stanje pune upetosti

Stanje prvog jediničnog pomaka.

U smjeru prvog pomaka ostvaren je jedinični pomak dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.3. Sustav zadržava neprekinutost pomaka i ravnotežu uz pomoć fiktivnih veza. Sile u fiktivnim vezama su koeficijnti krutosti. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti

x

y

y

y

xy

lEAkk

lEIkk

lEIkk

lEIkk

hEIkk

lEA

lEI

hEIk

81,1919,1

25

1,1212,1

35

7,17,1

25

1,66,1

21

1,55,1

83

53

11,1

6

12

6

6

1212

−==

==

−==

==

==

++=

(3.2)

Koeficijenti koji nisu naznačeni na crtežu 3.3 jednak su nuli.



Crtež 3.3 Prostorni jednokatni okvir – stanje prvog jediničnog pomaka

Stanje drugog jediničnog pomaka.

Analogno prethodnom stanju u smjeru drugog pomaka ostvaren je jedinični pomak dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.4. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti

Crtež 3.4 Prostorni jednokatni okvir – stanje drugog jediničnog pomaka



28

2,2424,2

38

2,2020,2

52,88,2

28

2,66,2

21

2,44,2

53

83

12,2

6

12

6

6

1212

x

x

y

x

yx

lEI

kk

lEI

kk

lEA

kk

lEI

kk

hEI

kk

lEA

lEI

hEI

k

−==

−==

−==

==

==

++=

(3.3)

Crtež 3.5 Prostorni jednokatni okvir – stanje drugog jediničnog pomaka

Stanje trećeg jediničnog pomaka.

Analogno prethodnom stanju u smjeru trećeg pomaka ostvaren je jedinični pomak dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.5. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti

x

x

y

y

y

x

x

y

lGI

kk

lEI

kk

lEI

kk

lEI

kk

lGI

lEI

hEIk

84,2222,4

25

4,1212,4

54,1010,4

25

4,66,4

8514,4

6

2

6

44

−==

−==

==

==

++=

(3.4)

Crtež 3.5 Prostorni jednokatni okvir – stanje trećeg jediničnog pomaka



Stanje četvrtog jediničnog pomaka.

Analogno prethodnim stanjima u smjeru četvrtog pomaka ostvaren je jedinični zaokret dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.6. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti

Crtež 3.6 Prostorni jednokatni okvir – stanje četvrtog jediničnog pomaka

x

x

y

y

y

x

x

y

lGI

kk

lEI

kk

lEI

kk

lEI

kk

lGI

lEI

hEI

k

84,2222,4

25

4,1212,4

54,1010,4

25

4,66,4

8514,4

6

2

6

44

−==

−==

==

==

++=

(3.4)

Stanje petog jediničnog pomaka.

Analogno prethodnim stanjima u smjeru petog pomaka ostvaren je jedinični zaokret dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.7. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti



Crtež 3.7 Prostorni jednokatni okvir – stanje petog jediničnog pomaka

28

5,2121,5

85,2323,5

55,1111,5

5815,5

6

2

44

x

x

y

x

y

x

x

lEI

kk

lEI

kk

lGI

kk

lGI

lEI

hEI

k

−==

==

−==

++=

(3.5)

Stanje šestog jediničnog pomaka.

Analogno prethodnim stanjima u smjeru šestog pomaka ostvaren je jedinični zaokret dok su svi drugi pomaci potpuno pridržani prema crtežu 3.8. Slijedeće su vrijednosti koeficijenata krutosti

x

x

y

y

x

xy

lEI

kk

lEI

kk

lEI

kk

lEI

kk

hGI

lEI

lEI

k

86,2323,6

28

6,2121,6

56,1212,6

25

6,77,6

1856,6

2

6

2

6

44

==

==

==

==

++=

(3.6)



Crtež 3.8 Prostorni jednokatni okvir – stanje šestog jediničnog pomaka

Na sličan način se mogu prikazati stanja preostalih jediničnih pomaka.

3.2 Uspostava ravnoteže sustava

Ravnoteža se uspostavlja poništavanjem sila u fiktivnim vezama. Dolazi se do istih općih relacija opisanih kao (2.6), (2.7) i (2.8). Cjeloviti izraz za ravnotežu promatrane zadaće ima 24 jednadžbe s 24 nepoznanice te ga nije praktično zapisivati u otvorenom obliku.



3.3 Primjeri okvira s krutim prečkama

Jednokatni okvir simetrično opterećen Promatra se jednokatni kvir s krutim prečkama prikazan na crtežu 3.9. Usvaja se

deformabilnost stupova savijanjem i uvrtanjem. Savojna krutost stupova ista je oko obe lokalne osi. Geometrijske karakteristike i opterećenje zadani su prema crtežu 3.9. Sustav i opterećenje simetrični su sredinom okvira u ravnini x-z. Zbog simetrije postoji samo horizontalni translacijski pomak u smjeru osi x. Jednostavno je zaključiti da sustav fukcionira kao dva ravninska okvira paralelni sa ravninama x-z. Rješenja za pomak iznosi

EI

Hhu1042 4

2 = (3.8)

dok su momenti, poprečne sile i uzdužne sile identična su onima u ravninskoj zadaći, i prikazani su na crtežu 3.9

Crtež 3.9 Prostorni jednokatni okvir s krutim prečkama

Jednokatni okvir nesimetrično opterećen

U nastavku se izlaže analiza jednokatnog okvira s krutim prečkama izložen djelovanju nesimetričnom horizontalnom opterećenju kao što je prikazano na crtežu 3.10. Sustav će imati dva karakteristična pomaka translaciju u1 i rotaciju u2. Ako se sustav rastavi na translacijsko simetično opterećenje i osno simetričnostanje kako je prikazano na samom crtežu postupak se bitno pojednostavnjuje. Translacijski dio istovjetan je onome iz prethodnog primjera te se neće ponovo obrazlagati. Za osnosimetrični dio opterećenje uvode se slijedeće pretpostavke. Stupovi se deformiraju savijanjem i uvrtanjem sve ostale deformacije su zanemarene. Nadalje neka je savojna krutost stupova oko obje lokalne osi ista i jedanka EI. Krutost na uvrtanje stupova pojednostavljeno će biti prikazana kao GIx .



Zbog jednostavnosti usvaja se da je G=E/2 te Ix=4I. Posljedica djelovanja para sila biti će rotacija kata. Jednažba ravnoteže prima oblik

Crtež 3.10 Prostorni jednokatni okvir nesimetrično opterećen

Hauh

GIahEI x 24128 2

23 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + (3.9)

Nako što se uvrste zamjene za G, Ix i a, izlazi

EI

Hhu1042 4

2 = (3.10)

Iz tog reješenja slijedi da su momenti savijanja na dnu i vrhu stupova u oba smjera

104

324,

HhM yx = (3.11)



te momenti uvrtanja konstantni uzduž svakog stupa iznosa

104

34HhM z = (3.12)

Zbog ravnoteže čvora oko osi z veličina odgovarajući momenata u čvorovima prečki iznosi

104

32HhM zp = (3.13)

Iz ovog slučaja može se zaključiti da je dominirajući način prijenosa horizontalnih sila okvira s krutim prečkama savijanjem.

Jednokatni okvir dijagonalno opterećen

Neka se jednokatni kvir s krutim prečkama dijagonalno opterećen kako je prikazan0 na crtežu 3.11. Sila se može rastaviti u dva horizontalna smjera. Svaki smjer se nadalje može razmatrati rastavljen na simetričnu i antisimetričnu komponentu. Antisimetrične komponente iz dva smjera se poništavaju. Ostaju simetrične komponente iz dva ortogonalna smjera. Ukupni pomak je dijagonalan i iznosi

EIHhu

4832

1 = (3.14)

Veličine momenata, poprečnih i uzdužnih sila prikazane sun a crtežu 3.11.

Crtež 3.11 Prostorni jednokatni okvir dijagonalno opterećen



Jednokatni okvir - središte krutosti kata

U nastavku se analizira jednokatni okvir nesimetrične konstrukcije iz jednog smjera izložen djelovanju jedne sile, kao što je prikazano na crtežu 3.12. Zbog nesimetrije sustava kat ima translacijski i rotacijski pomak, osim ako se namjerno sila ne postavi tako ekscentrično da izostane rotacijski pomak. Uvjet za takvo deformiranje da sila prolazi središtem krutosti. Središte krutosti je mjesto hvatišta elastičnih sila svih nosivih dijelova koji podupiru prečke, u ovom slučaju svih stupova. Zbog simetrije iz smjera y središte se nalazi u osi kvadrata kojeg čine prečke. Iz smjera x ima ukupno pet elastičnih sila na vrhu stupova svaka iznosa 12EI/h3. Rezultanta tih sila je od središta osi kvadrata udaljena za 5/ae = (3.15)

čime je zaključno poznato središte krutosti. Veličina translacijskog pomaka iznosi

EI

Hhu60

3

1 = (3.16)

Pripadajući dijagrami unutrašnjih sila prikazani su na crtežu 3.12.

Crtež 3.12 Prostorni jednokatni okvir - središte krutosti kata

Višekatni okvir izložen uvrtanju



57585721 Gradjevinska Statika 2 Split 2008

Documents