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5. Schwingungen und Wellen5.1. Allgemeine Schwingungslehre
Schwingungen Universalphänomen
• Mechanik• Akustik• Elektrodynamik• Atomphysik
5.1.1. Harmonische Schwingung
q abstrakte „Auslenkung”
V(q) Potential mit Minimum in q0 ( o.B.d.A. q0 0 , V(q0) 0 )
kleine Auslenkungen Taylorentwicklung um q0 0
3221 qOq0Vq0V0VqV
0 0 k 0
qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )
qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )
q
V(q)
2qqV
qkqVqF Hookesches Gesetz
Bewegungsgleichung:
qFq
positive Prop.-Konstante 2
0qωq 2 Schwingungsgleichung
tωsinAtq harmonische Schwingung
Amplitude Anfangsphase Tπ2νπ2ω
PeriodeFrequenz
Beispiel: Federpendel
Ruhelage x = 0
m
Auslenkung xF D x
xq xDFxm
0xx m
D 2ω
m1
mDω mπ2T D
m
φ m g
φ
m
L
Fm g sin
φ
Beispiel: Fadenpendel
q sinmgFLm
0sinL
g 2ω
anharmonische Schwingung! ≪ 1 harmonische Näherung sin
5.2.2. InterferenzWellengleichung ist linear in Superpositionsprinzip gültig
Wellen überlagern sich additiv Interferenzeffekte
Stationäre Interferenzmuster falls
const.(t)
Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit vλ
ν1T
Beispiel: Wasserwellen
ii) Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen)
i) Interferenz mit reflektierter Welle
5.2.3. Reflexion und BrechungHuygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt.
Ebene Welle als Überlagerung
von Kreiswellen
Kreiswelle als Überlagerung
von Kreiswellen
Folgerung a) Reflexion an ebener Wand
ebene Wand
EinEin AusAus
ebene Welle
α α
Einfallswinkel Ausfallswinkel
Folgerung b) Brechung an Grenzflächen
α
β
Medium 1: v1
Medium 2: v2
v
v
sinβ
sinα
2
1 v
v
sinβ
sinα
2
1
Brechungsgesetz
Folgerung c) Stehende Wellen
z
Medium 1Medium 2
11 k
ωv
22 k
ωv zktωcosA 1
Reflexion & PhasensprungTransmission
φzktωcosB 1
Spezialfall: Totalreflexion A B
φzktωcoszktωcosAξ
Totalreflexion A B 2
φ2φ zkcostωcosA2
φzktωcoszktωcosAξ
zeitabhängige Amplitude
feste räumliche Form stehende Welle
Stehende Welle:
z
Feste räumliche Form
KnotenKnoten BäucheBäuche
Totalreflexion A B 2
φ2φ zkcostωcosA2
φzktωcoszktωcosAξ
zeitabhängige Amplitude
feste räumliche Form stehende Welle
πφ0ξ0z
Fall 1: festes Ende
z 0
z
Fall 2: offenes Ende
z 0
z
0φ0ξ0z
5.2.4. Beugung Wellenablenkung durch Hindernisse
Ebene Welle
λ
dα
Beugungsmuster im UnendlichenBeugungsmuster im Unendlichen
α
I2·
0. Ordnung
1. Ordnung
2. Ordnungdα
λ/2d/2
d
λαΔsinαΔ
d
λαΔsinαΔ
Folgerung:
Unschärferelation: λαΔd
Ortsunschärfe Winkelunschärfe
Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich-zeitig beliebig genau festgelegt werden.
Folgerung: Beugungseffekte () nur wichtig falls d ≲ . Für d ≫ wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.
5.2.5. Schalla) Schall in Festkörpern:Elastische Longitudinalwelle
Elastische Rückstellkräfte Wellen
zt
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Elastizitätsmodul: E
z
ρ
Ev
z
ξ
ρ
E
t
ξ2
2
2
2
Schallgeschwindigkeit
zzt
z
Elastische Transversalwelle
ρ
Gv
z
ξ
ρ
G
t
ξ2
2
2
2
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Torsionsmodul: G
Schallgeschwindigkeit
b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten):keine Scherkräfte nur longitudinale Druckwellen
longitudinale Auslenkung (z-Richtung)
K Kompressionsmodul2
2
2
2
z
ξ
ρ
K
t
ξ
Folgerung: Schallgeschwindigkeitρ
Kv
≲ 1 kHz T const. K p GasdruckBoyle-Mariotte
isotherm
kein Wärmeaustausch
≳ 1 kHz adiabatisch K p
Adiabatenindex:
4,1C
Cκ
V
p Luftvgl. Kap. 6
Also:
νhadiabatisc
0νisotherm v
ρpκ
ρp
Beispiel: Kundtsche Staubfiguren
ν
d LGlasrohr in Luft
Metallstab
Feste Einspannung
L/2Piezo-Kristall
Koppel-Platte
z
L
longitudinale Grundschwingung des Stabes
Pulver Gas / 2
Schallbauch Schallknoten
Tafelrechnung
E
K
ρ
ρ
2L
λ
v
v
Gas
StabGas
Stab
Gas
Spezialgebiet: Akustik Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz 16 kHz)
Einige wichtigen Begriffe:
I Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell)
Imin() Hörschwelle bei der Frequenz
Lst Lautstärke νI
νIlg10Lst
min10 Phon1Lst
Referenzwert: mW10kHz1I 212min
5.2.6. Doppler-Effekt
Quelle bewegt( vQ < v )
Quelle bewegt( vQ < v ) Beobachter bewegtBeobachter bewegt
vQ
Q B
T T
B < 0
Q
0 0
B
vBv
νB > ν0
1
νν
v
v0
B Q
1
νν
v
v0
B Q
1νν vv
0BB 1νν v
v0B
B
Relativgeschwindigkeit ≪ v Resultat für beide Fälle gleich
Quelle mit Überschallgeschwindigkeit:
Quelle bewegt( vQ > v )
Quelle bewegt( vQ > v )
vQ > v
Q B
v
vsinβ
Q
v
vsinβ
Q
Machscher Kegel
eben
e (Sch
ock)W
elle
βv·Δt
vQ·Δt
Anwendungen:• Überschallknall• Bugwelle eines Schiffes• Cherenkovstrahlung