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UNIVERSITÄT SIEGEN
Baudynamik (Master) – SS 2017
2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
2.1 Freie Schwingungen
2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
2.2 Erzwungene Schwingungen
2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1
UNIVERSITÄT SIEGEN
Baudynamik (Master) – SS 2017
2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
2.1 Freie Schwingungen
2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.
Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Diedynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingungdes Systems beschrieben.
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Lösung der Differentialgleichung:
Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
( ) cos sin( )x t A t B t
0 0
00
(0)
(0)
x x A xvx v B
Anfangsbedingungen:
00( ) cos sin( )vx t x t t
Lösung der Differentialgleichung:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Alternative Darstellung der Lösung:
( ) cosx t C t Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
0
0
(0)(0)x xx v
Anfangsbedingungen:
220 0
0
0
/
arctan
C x v
vx
: Schwingungsamplitude: Phasenwinkel
C
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einfluss des Eigengewichtes:
2 0x+ x=Schwingungsgleichung:
cm
Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn dieAuslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.
Eigenfrequenz:
stmgxc
Statische Ruhelage:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Andere Beispiele:
1.) Mathematisches Pendel
sin bei 1
sin 0g+ =l
0g+ =l
2 0+ =
gl
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.) Physikalisches Pendel
sin bei 1
sin 0A +mgl =
0A +mgl =
2 0+ = A
mgl
Trägheitsmoment: A
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2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Freie Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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Federkonstanten
FF c l cl
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel: Stab
Federzahl bzw. Federkonstante:
KraftFederzahlVerschiebung
l l
Fl F EAl cEA l l
F
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Federkonstanten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel: Balken
3
3
48 48 BFl F EIw cEI w l
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Federkonstanten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!
1.) Parallelschaltung
1 2F c x c x c x
xx
1 2c c c
Verallgemeinerung: 1 21
...N
N ii
c c c c c
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!
2.) Reihenschaltung
1 1 2 2
1 2
F c x c x c xx x x
2x x
1 2
F F Fxc c c
Verallgemeinerung:
1x
1 2
1 1 1c c c
11 2
1 1 1 1 1...N
iN ic c c c c
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung
12 1 2c c c
12 3 1 2 3
1 1 1 1 1c c c c c c
12c 3c
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2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Freie Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Dämpfungskraft: dF dx
Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).
Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.
cos( ) : (- cos 2 sin cos )sin( ) : - sin 2 cos sin 0
t D V Et D
Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungs-funktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden.
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
...tan ...V
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2
2tan1D
Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang:
Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang:
2 2 2 2(1 ) 4
EVD
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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Fall 1.) & 2.): V1
Fall 3.): V2
Fall 4.) & 5.): V3
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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(0)V (1)V ( )V m ( )m mV
Fall 1.) und 2.) 1 12D
0 21 2D 2
1
2 1D D
Fall 3.) 0 1 0 1 1
Fall 4.) und 5.) 0 1
2D 1 2
1
1 D
2
1
2 1D D
(0) (1) ( )
Fall 1.) – 5.) 0 2
Charakteristische Werte von V() und ():
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V1: Fall 1.) & 2.)
1
2 2 21
21
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1 2 .
# 0,5 : 1 bei 0, Kurven fallen monoton gegen 0.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Eigenschaften von V2: Fall 3.)
2Maximum 1 ist unabhängig von und immer bei 1!m mV D
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V3: Fall 4.) & 5.)
3
2 2 23
23
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1/ 1 .
# 0,5 : 1 bei , Kurven wachsen monoton gegen 1.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Phasenverschiebung für alle 5 Fälle:# 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz).# 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase.# 1: Hohe Erregerfrequenz, , Ausschlag und Erregung in Gegenphase.
D
Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt!