UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Baudynamik (Master) – SS 2017 Beispiele: Ungedämpfte freie Schwingungen 1
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Baudynamik (Master) – SS 2017
Beispiele: Ungedämpfte freie Schwingungen
1
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 1: Eigenfrequenzen und Eigenformen
1m2m
1 2 1, 2 2m m m m m
Steifigkeitsmatrix:2 5
=5 167
k
K3
48EIkl
Massenmatrix: 1
2
0 0=
0 0 2m m
m m
M
K w + M w 0Schwingungsgleichungen:
Lösungsansatz: cos t w A
2
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Ungedämpfte freie Schwingungen
2
2
2
2 57 7=
5 16 27 7
k km
k k m
K - M
2- K M A 0
2 2 4 2 2det( )=14 20 0m km k K - M
21,2
10 8614
km
2 21 2
10 86 10 860,519 , 1,376714 14
k k k km m m m
3
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Zu jeder Eigenfrequenz gehört ein Eigenvektor:
1 1
2 2
AA
11
2
10,327
aa
A
Die beiden Komponenten eines Eigenvektors können nicht eindeutig bestimmtwerden, da sie nicht unabhängig voneinander sind. Eine Komponente davon kannzu 1 normiert werden. Die andere Komponente kann dann aus einer der beidenSchwingungsgleichungen bestimmt werden.
2
1 2 1 1 2 21
2 5z. B.: = 1 aus der 1. Gl.: 0 0,3277 7k ka a m a a a
1. Eigenvektor
4
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Analog für 2 2 : A
2. Eigenvektor12
2
11,528
aa
A
10,327 1
1,528
2. Eigenform1. Eigenform
5
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 2: Normierung und Orthogonalität der Eigenvektoren1m2m
Massennormierung: 1 0=
0 2m
MT1 1T2 2
1,2143
5,6683
m
m
A MA
A MA
Angabe siehe Beispiel 1!
Ingenieurnormierung: 1 0,3271
A 2 1,5281
A
1 11M T
1 1
2 22M T
2 2
0,90751=0, 29701, 2143
0,42001=0,64205,6683
m m
m m
A AAA MA
A AAA MA
6
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Orthogonalität:
Hausaufgaben:
1) Bestimmen Sie die steifigkeitsnormierten Eigenvektoren
2) Überprüfen Sie die Orthogonalität der steifigkeitsnormiertenEigenvektoren:
1 2TM M
1M 1T
M
0
1
A MA
A MA2 1T
M M
2M 2T
M
0
1
A MA
A MA
1K 2K, .A A
1 2TK K
1K 1T
K
0
1
A KA
A KA2 1T
K K
2K 2T
K
0
1
A KA
A KA
7
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 3: Modalmatrix1m2m Angabe siehe Beispiel 2!
Modalmatrix:
1M 2M
0,9075 0, 42001 1= , =0, 2970 0,6420m m
A A
1M 2M
0,9075 0,42001 0,2970 0,6420m
A A
2T T 1
22
1 0 0,
0 1 0
I ω
M K
8
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 4: Freiheitsgrade
Anzahl der Freiheitsgrade = 3 Anzahl der Massen = 2!
1m
2m
EA
1m
2m
EA
Anzahl der Freiheitsgrade = 4 Anzahl der Massen = 2!
1m
2m
EA
Anzahl der Freiheitsgrade = 3 Anzahl der Massen = 2!
• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleich der Anzahl der Massen.
• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme (dehnstarr, dehnbar, etc.).
• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von der statischen Unbestimmtheit undder geometrischen Unbestimmtheit.
9
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 5: Lösung ungedämpfter freier Schwingung1m2m Am Ende des Kragträgers wird eine wirkende Kraft F
plötzlich entfernt. Danach schwingt der Träger frei.
Sonstige Angaben: Siehe Beispiel 1!
3
1 10
3
2 20
(0)35(0)48
Flw wEIFlw wEI
1w2w
F
1 10
2 20
(0) 0(0) 0
w vw v
Anfangsbedingungen:
10
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1 1M 1 2 2M 2 0
1 1M 1 1 2 2M 2 2 0
(0) cos cos(0) sin ( ) sin ( )
c cc c
w = A A ww = A A v 0
Aus den Anfangsbedingungen:
1 2Die 2. Gleichung ist automatisch erfüllt, falls 0!
1 1M 2 2M 0c c A A w
T T T1M 1M 1M
1 0
1 1M 2 2M 0c c A M A M A MA A w
T3
1 01M 0,364 Flc mEI
MwA
Lösungsweg 1: Konventionelle Methode
1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )c t c t w = A A
Ungedämpfte freie Schwingungen
11
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3
1M 1 2M 2( ) 0,364 cos 0,006 cos Flt m t m tEI
w = A A
Einsetzten der 4 Konstanten liefert:
Analog:T
3
2 02M 0,006 Flc mEI
MwA
Ungedämpfte freie Schwingungen
12
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Lösungsweg 2: Modaltransformation
w = q
2 q q 0
21 1 1
22 2 2
0
0
q q
q q
1 1 1 1 2 2 2 2cos , cosq b t q b t
Die 4 Konstanten können aus den 4 Anfangsbedingungen bestimmtwerden.
13
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Anfangsbedingungen:
w = q -1
1 T T 1 T ( ) q = w = Mw M I = M
31 T
02
0,3640,006
b Flmb EI
= Mw
1 1 1 1 T0
2 2 2 2
(0) sin 0(0)
(0) sin 0q bq b
q = Mw
1 2Die 2. Gleichung ist automatisch erfüllt, falls 0!
1 1 1 T0
2 2 2
(0) cos(0)
(0) cosq bq b
q = = Mw
14
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Ungedämpfte freie Schwingungen
311
22
0,364cos( )0,006cos( )
tq t Flmtq t EI
q =
11M 2M 1M 1 2M 2
2
3
1M 1 2M 2
= 0,364 cos 0,006 cos
qq q
q
Flt t mEI
w = q A A A A
A A
Bemerkung:
Die Anpassung an die Anfangsbedingungen kann auch nach der Rücktrans-formation durchgeführt werden!
11M 2M 1M 1 2M 2
2
1 1M 1 1 2 2M 2 2
= cos cos
qq q
q
b t b t
w = q A A A A
A A
0
0
(0)(0)
w ww v 1 2 1 2, , ,b b
15
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Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 6: Rayleigh-Verfahren für diskretes System1m2m Bestimmung der 1. Eigenfrequenz mit dem Rayleigh-
Verfahren.
Angaben: Siehe Beispiel 1!
3
1
3
2
3548
FlwEIFlwEI
1w2w
F
Rayleigh-Quotient:T
2T
A KAA MA
Statische Biegelinie:
2
1
516
ww
15
16
A
16
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
T12 5 1 15155 16 0 07 16 16 16 16
16
k k k k
KA A KA
T1 1 11 0 51 1,19535 5 50 2 16
16 8 8m m m m
MA A MA
T2
T
/16 0,05231,1953k k
m m
A KAA MA
Zum Vergleich: Ergebnis aus dem Zweimassenschwinger
21 0,0519 k
m
17
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Ungedämpfte freie Schwingungen
, ,EI l M
Beispiel 7: Rayleigh-Verfahren für kontinuierliches System
Bestimmung der 1. Eigenfrequenz mit dem Rayleigh-Verfahren.
Massenbelegung: Mml
Rayleigh-Quotient:
2
2 02
0
( )
( )
l
l
EI W x dx
m W x dx
Biegelinie: 2( )W x ax Die geometrischen (wesentlichen)RB sind erfüllt:
(0) 0(0) 0
WW
18
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Ungedämpfte freie Schwingungen
2 22
0 052 2
2 2
0 0
( ) 2 4
( )5
l l
l l
EI W x dx EI a dx EI a l
lm W x dx m ax dx m a
22
2 02 2 5 4
0
( ) 4 20/ 5( )
l
l
EI W x dx EI a l EIma l mlm W x dx
Zum Vergleich: Exaktes Ergebnis
21 412,39 EI
ml
19
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Ungedämpfte freie Schwingungen
, ,EI l M
Beispiel 8: Ritz-Verfahren für kontinuierliches System
Bestimmung der Eigenfrequenzen mit dem Ritz-Verfahren.
Biegelinie:
1 2
2 3
1 1 2 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x
x xW x a x a x a al l
Die geometrischen (wesentlichen)RB sind erfüllt:
(0) 0
(0) 0
W
W
20
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Ungedämpfte freie Schwingungen
1 22 3
2( ) , ( ) 6 xx xl l
11 1 1 30
12 1 2 30
21 12 3
22 2 2 30
( ) ( ) 4
( ) ( ) 6
6
( ) ( ) 12
l
l
l
EIk EI x x dxlEIk EI x x dxl
EIk kl
EIk EI x x dxl
11 1 10
12 1 20
21 12
22 2 20
1( ) ( )51( ) ( )6
16
1( ) ( )7
l
l
l
m m x x dx ml
m m x x dx ml
m m ml
m m x x dx ml
21
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Ungedämpfte freie Schwingungen
3
4 6 1/ 5 1/ 6,
6 12 1/ 6 1/ 7EI mll
K M
2- K M a 0 2Det - 0 K M
2 2 24 4 4 21 1 -0,9714EI 12 035 36
ml ml EI
2 21 24 412,480 , 1211,5195EI EI
ml ml
Zum Vergleich: Exaktes Ergebnis
2 21 24 412,39 , 484EI EI
ml ml
22
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ungedämpfte freie Schwingungen
12
113
2
4 6 1/ 5 1/ 6 06 12 1/ 6 1/ 7 0
aEI mll a
21- K M a 0
Eigenvektoren:
1 :
2 21 1 23 3
1 14 1 6 05 6
EI EIml ml al l
2 0,384a 2 3
1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 1 0,384x xW x a x a xl l
23
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ungedämpfte freie Schwingungen
12
123
2
4 6 1/ 5 1/ 6 06 12 1/ 6 1/ 7 0
aEI mll a
21- K M a 0
Analog:
2 :
2 1,216a 2 3
2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 1 1,216x xW x a x a xl l
1. Eigenform 2. Eigenform2 ( )W x
1( )W x
24
UNIVERSITÄT SIEGEN
21
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ungedämpfte freie Schwingungen
Diskret(1 Masse)
Diskret(2 Massen)
Rayleigh(diskret)
Rayleigh(kontinu.)
Ritz(kontinu.)
Exakt
2,45 3,16 3,17 4,47 3,53 3,52
16,26 34,81 22,0
4
EIml
/ 2l, ,EI l M
/ 2l
mm
/ 4l, ,EI l M
/ 4l/ 4l/ 4l
mm 2m
Vergleich:
Einmassenschwinger: Zweimassenschwinger:22 M mM m m
l l
44 M mM m ml l
Bemerkung:
Falls die i-te Eigenfrequenz zu bestimmen ist, dann immer i+1 Terme im Ritz-Ansatz verwenden!
25
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Baudynamik (Master) – SS 2017
Beispiel: Gedämpfte freie Schwingungen
26
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Gedämpfte freie Schwingungen
Beispiel 9: Gedämpfte freie Schwingungen
1m2m1 2 1, 2 2m m m m m
Angaben: Wie im Bsp. 1!
Jetzt aber mit Dämpfung:
1 2 0,05 5%D D
w = q
21 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 2
2 0
2 0
q D q q
q D q q
1 21 1 1 1 2 2 2 2cos , cost t
d dq c e t q c e t
Lösung: mit der Modaltransformation
Einmassenschwinger!
27
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Gedämpfte freie Schwingungen
2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 , 1 , , d dD D D D Mit:
Die 4 Konstanten können aus den 4 Anfangsbedingungen bestimmtwerden.
Anfangsbedingungen:
w = q -1
1 T T 1 T ( ) q = w = Mw M I = M
1 1 1 1 11 T0
2 2 2 2 22
sin cos(0) 0(0)
sin cos(0) 0d
d
cqcq
q = = Mw
1 1 1 T0
2 2 2
(0) cos(0)
(0) cosq cq c
q = = Mw
28
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Gedämpfte freie Schwingungen
Aus der 2. Gleichung:
1 11 2
1 1
2 22 2
2 2
tan1
tan1
d
d
DDDD
1 2 2,87
31 1 T
02 2
cos 0,364cos 0,006
c Flmc EI
= Mw
Aus der 1. Gleichung:
31
2
0,3640,006
c Flmc EI
=
29
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Gedämpfte freie Schwingungen
1
2
3
1 1
3
2 2
0,364 cos 2,87
0,006 cos 2,87
td
td
Flq e t mEIFlq e t mEI
11M 2M 1M 1 2M 2
2
qq q
q
w q A A A A
1 2
3
1M 1 2M 20,364 cos 2,87 0,006 cos 2,87t td d
Fle t e t mEI
w A A
30
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Gedämpfte freie Schwingungen
1 2
1 2
1 2
3
1M 1 2M 20 0
3
1M 1 2M 2
0,364 cos 2,87 0,006 cos 2,87
= 0,364 cos 0,006 cos
t td d
t t
Fle t e t mEI
Flt t meE
eI
w A A
A A
Näherung:
Vergleich mit der ungedämpften freien Schwingung:
3
1M 1 2M 2= 0,364 cos 0,006 cos Flt t mEI
w A A
31
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Baudynamik (Master) – SS 2017
Beispiel: Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
32
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
Beispiel 10: Ungedämpfte erzwungene Schwingung
1 2 1, 2 2m m m m m
Erregerkräfte:
Lösung:
*1 1
*2 2
cos( )
cos( )
F F t
F F t
* *1 1 1
* *2 2 2
cos( )cos( ) cos( )
cos( )F F t F
t tF F t F
*F F
Gesamtlösung: h p w w w
Homogene Lösung: siehe Bsp. 5!
Anfangsbedingungen: 0(0) , (0)=w w w 0
1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )h c t c t w = A A
1m2m 1F2F
33
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
1.) Direkte Methode
2 * *-
dyn
p K
K M w F
Partikularlösung:
* cos(p p tw = w
* 1 *p dyn
w K F
p p Kw Mw F
2
2
2
2 57 7=
5 16 27 7
dyn
k km
k k m
K K - M
2
1
2
16 5217 7
5 27 7
dyn
k km
k k m
K
34
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
det dyn = K
2
12 2 2 2
21 2
16 521 7 7
5 27 7
dyn
k km
k k m
K
Da 0 (siehe Bsp. 5!): =
2 2 2 21 2
2*
* 1 * 1*2 2 2 2
2 21 2
16 521 7 7
5 27 7
p dyn
k km Fk k Fm
w = K F
35
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
Gesamtlösung:
Anfangsbedingungen:
*1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( ) cosh p pc t c t t w w w = A A w
0(0) :w w *1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) pc c A A w w
*1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) pc c A A w w
(0) :w 0 1 1 1M 1 2 2 2M 2sin( ) sin( )c c A A 0
1 2 0
36
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
Aus der 1. AB:
T T T1M 1M 1M
*1 1M 2 2M 0
1 0
pc c A M A M AA A wM w
*1 1M 2 2M 0 pc c A A w w
T1M
*1 0 pc A M w w
Analog: T2M
*2 0 pc A M w w
Nachteil der direkten Methode:Man muss immer die inverse dynamische Steifigkeitsmatrix bilden, was beigroßen Matrizen recht schwierig ist!
37
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
2.) Modaltransformation
2 T1 1 1 1M
2 T2 2 2 2M
p p
p p
q q
q q
A F
A F
Partikularlösung:
p pw = q
( ) cos( )p t t q q
T *1 1M2 2
1
T *2 2M2 2
2
1
1
q
q
A F
A F
38
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Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
T *1 1 1M2 2
1
T *2 2 2M2 2
2
1cos cos
1cos cos
p
p
q q t t
q q t t
F
F
A F
A F
2T T T
1M 1M 2M 2M iM iM2 2 2 2 2 211 2
1 1 1p
i i
w F F F
1 2 1 2Bestimmung der Konstanten , , und :c c
Wie bei der direkten Methode zuvor!39
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Baudynamik (Master) – SS 2017
Beispiel: Gedämpfte erzwungene Schwingungen
40
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
Beispiel 11: Gedämpfte erzwungene Schwingung
1 2 1, 2 2m m m m m
Erregerkräfte:
Lösung:
*1 1
*2 2
cos( )
cos( )
F F t
F F t
* *1 1 1
* *2 2 2
cos( )cos( ) cos( )
cos( )F F t F
t tF F t F
*F F
Die direkte Methode ist komplizierter in diesem Fall, da sie die Lösung derkomplizierten Eigenwertgleichung benötigt! Die Modaltransformation ist hierbeidagegen einfacher wegen der Annahme der modalen Dämpfung.
Anfangsbedingungen: 0 0(0) , (0)=w w w v
1m2m 1F2F
1 2 0,05 5%D D Modale Dämpfung:
41
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
Gesamtlösung:h p w w w
Homogene Lösung: siehe Bsp. 9!
1 21 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )t t
h d dc e t c e t w = A A
Partikularlösung: Modaltransformationp pw = q
2 T1 1 1 1M
2 T2 2 2 2
1 1 1
M2 2 2
2
2p pp
ppp
q q
q q
D q
D q
A F
A F
Einmassenschwinger!
42
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
T *1 1 1M 12
1
T *2 2 2M 22
2
1 cos
1 cos
p
p
q V t
q V t
A F
A F
1 11 2
1
2 22 2
2
2tan12tan1
D
D
1 221 1 1
2 222 2 2
1
1 4
1
1 4
VD
VD
1 21 2
,
11M 2M 1M 1 2M 2
2
T * T *1 21M 1M 1 2M 2M 2
1 22
T *iM iM
1
cos cos
cos
pp p p p
p
ii
i i
qq q
q
V Vt t
V t
w q
F F
F
43
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Gedämpfte erzwungene Schwingungen
Gesamtlösung:
Anfangsbedingungen:
0(0) :w w0
1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) (0)p
pc c w
A A w w
1 1M 1 2 2M 2 0 0cos( ) cos( ) pc c A A w w
1 21 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( ) ( )t t
h p d d pc e t c e t t w w w A A w
T1 1 1M 0 0 1
T2 2 2M 0 0 2
cos( )
cos( )
p
p
c f
c f
A M w w
A M w wvgl. Bsp. 10! (I)
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
0(0) :w v
1 1
2 2
1 1M 1 1 1 1 1 1
2 2M 2 2 2 2 2 2
T * T *1 21M 1M 1 2M 2M 2
1 2
( )
( ) cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
sin sin
p
t th p d d d
t td d d
t
t c e t e t
c e t e t
V Vt t
w
w w w A
A
F F
0
1 1M 1 1 1 1
2 2M 2 2 2 2
T * T *1 1 1M 1M 1 2 2 2M 2M 2 0
(0) cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
sin sinp
d
d
c
c
V V
v
w A
A
F F v
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
1 1M 1 1 1 1 2 2M 2 2 2 2 0 0cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) pc c A A v v
1M
2M
T1 1 1 1 1 0 0
T2 2 2 2 2 0 0
cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
p
p
c
c
A M v v
A M v v(II)
1 2 1 2(I) und (II) bilden 4 Gleichungen für 4 Unbekannten , , und !c c
1M
2M
T T1 1M 0 0 1 1 1 0 0
T T2 2M 0 0 2 2 2 0 0
sin( )
sin( )
p d p
p d p
c
c
A M w w A M v v
A M w w A M v v
(I) in (II) eingesetzt:
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
(III)
1M
2M
T T1 1 0 0 1 1M 0 0 1
1
T T2 2 0 0 2 2M 0 0 2
2
1sin( )
1sin( )
p pd
p pd
c g
c g
A M v v A M w w
A M v v A M w w
(I)2 + (II)2: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
c c f g
c c f g
2 21 1 1
2 22 2 2
c f g
c f g
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Gedämpfte erzwungene Schwingungen
11
1
22
2
tan( )
tan( )
gfgf
(III) / (I):
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