5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES. 5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios. 5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios. 5.3. Definición de raíz 5.4. Propiedades de los radicales. 5.5. Simplificación de un radical. 5.6. Suma de radicales. 5.7. Multiplicación y división de radicales. 5.8. Racionalización. Antecedentes Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx… representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650). A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor al cúbico. El signo de la raíz cuadrada puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien lo escribió como con dos trazos. Rudolf pensó que recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x” 5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir: n n a a 1 n m m n n m b b b 1 Exponentes fraccionarios y radicales Capitulo 5
apuntes para la materia deálgebra Escuela Preparatoria Lázaro Cárdenas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Uruapan, Michoacan Mexico
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.
5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios.
5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios.
5.3. Definición de raíz
5.4. Propiedades de los radicales.
5.5. Simplificación de un radical.
5.6. Suma de radicales.
5.7. Multiplicación y división de radicales.
5.8. Racionalización.
Antecedentes
Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios
utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de
dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático
griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx…
representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con
exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650).
A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra
aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de
coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con
iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor
al cúbico.
El signo de la raíz cuadrada puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien
lo escribió como con dos trazos. Rudolf pensó que recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial
de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x”
5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del
término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división
queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir:
nn aa 1
n m
m
nnm
bbb
1
Exponentes fraccionarios y radicales
Capitulo 5
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 2
5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma
base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades que se multiplican
tienen exponentes negativos o fraccionarios.
a-4 a = a
-3 a
-1 a
-2 = a
-3 4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
aaaa
a3 a
-5 = a
-2 a
3 a
-3 = a
0 = 1 4
1
2
1
4
3
2
1
4
3
aaaa
Recordando las propiedades de los exponentes:
mnnm aaa mnnm aa mmmbaab
nmaa
a nm
n
m
, nmaa
a mn
n
m
, m
m
aa
1
así mismo m
ma
a
1
Ejemplo:
Multiplicar 12
1
2
1
1 32
yyxx por 12
1
2
1
1
yyxx
Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente de x en el
segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer termino y-1
equivale a x0y
-1 y 0 es mayor que el -½.
Tendremos
12
1
2
1
1 32
yyxx
12
1
2
1
1
yyxx
112
1
2
3
2 32
yxyxx
2
3
2
1
112
1
2
3
32
yxyxyx
22
3
2
111 32
yyxyx
22
3
2
1
2
1
2
3
2 2 2
yyxyxx
Ejemplo:
Multiplicar 3
1
3
2
1 baaab por 13
1
233
1
babba
13
1
233
1
3
1
3
2
1
babba
baaba
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 3
23
2
343
4
baabba
13
1
23
2
3 babaab
113
1
23
2
baba
1 3 23
2
43
4
baba
El 1 último se obtiene porque el producto 111003
1
3
1
bababa
La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta
el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen
son negativos o fraccionarios.
32121 aaaa
25353 aaaa
31212 aaaa
3
4
3
11
3
11
3
1
aaaaa
4
1
4
3
2
1
4
3
2
1
aaaa 4
3
2
1
4
1
2
1
4
1
aaa
Ejemplo:
Dividir 73531 2 baabba entre
443322 2 bababa Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:
312213 2 bababa 443322 2 bababa
73531 2 baabba
5431 2 abbba
54 32 abb
6254 242 baabb
73625 2 babaab
73625 2 babaab
Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse presente que 2b-
4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos
2a0b-4 a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2 que es el resultado del cociente.
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 4
Ejemplo:
Dividir:
2
1
2
1
32
xx
2
1
2
1
14
xx 12
1
2
1
31174
xxxx
1 4 2
1
xx
2
1
2
1
108
xx
2
1
2
1
22 8-
xx
12
1
3312
xx
12
1
3312
xx
Al efectuar la división entre de 12 entre 2
1
4x podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos
2
1
2
10
2
1
02
1
33412412
xxxxx
O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el cociente con
el signo cambiado.
5.3 Definición de raíz
La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la
expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de
una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen
un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.
x Significa 2 x .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo 3 x es la
raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.
8 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8
x5 se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x
y
x
2 se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es
y
x
2
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa.
La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como x , es el
número positivo cuyo cuadrado es igual a x.
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 5
Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número
reales. Consideremos 4 ¿A que es igual 4 ? Para evaluar esto, 4 , debemos encontrar un
número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero
debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y 4 no tiene
valor real. Los números como 4 o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números
imaginarios.
Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados
perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno
de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un
radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto.