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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
“4ª PRÁCTICA CALIFICADA”
CURSO:
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
TEMA: ARMADURAS EN EL ESPACIO
ALUMNO:
HUAROTO SEVILLA JUAN 20112073D
SECCION:
MC 1516 - E
PROFESOR:
Ing. Ronald Cueva Pacheco
Lima, 19 de Noviembre del 2015
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INDICE
Enunciado del Problema....................................................................3
Solución (Cálculos previos)................................................................4
Análisis...............................................................................................5
Modelado del Cuerpo Real………......................................................7
Matriz de rigidez……………………………………………………8
Diagrama de Flujo..............................................................................9
Uso de Matlab....................................................................................12
Ejecución del Programa.....................................................................14
Conclusiones................................................................................... 19
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CUARTA PRACTICA CALIFICADA(ARMADURA EM EL ESPACIO)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Piden:
Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de la grúa Calcular los esfuerzos en todas las barras de la pluma
DATOS DEL PROBLEMA:
Material: E=3.1*105 N/mm2
Carga: P=30 000 N
Angulo de inclinación: β=60°
Secciones de todas las barras: tubo de 100mmφ
GRÁFICO:
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1. CÁLCULOS PREVIOS:
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Las dimensiones se muestran a continuación, en la siguiente grafica:
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2. ANÁLISIS:
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Figura 1
Figura 2
Figura 3
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3. MODELADO DEL CUERPO REAL:
Tabla de conectividad:
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e NODOS GDL Ae(mm
2) E
e(N/mm
2)
1 1 2 1 2 3 4 5 6 900 *π 3.1 x 105
2 1 3 1 2 3 7 8 9 900 *π 3.1 x 105
3 2 3 4 5 6 7 8 9 900 *π 3.1 x 105
4 1 4 1 2 3 10 11 12 900 *π 3.1 x 105
5 1 6 1 2 3 16 17 18 900 *π 3.1 x 105
6 1 5 1 2 3 13 14 15 900 *π 3.1 x 105
7 4 6 10 11 12 16 17 18 900 *π 3.1 x 105
8 4 5 10 11 12 13 14 15 900 *π 3.1 x 105
9 5 6 13 14 15 16 17 18 900 *π 3.1 x 105
10 2 6 4 5 6 16 17 18 900 *π 3.1 x 105
11 2 5 4 5 6 13 14 15 900 *π 3.1 x 105
12 3 6 7 8 9 16 17 18 900 *π 3.1 x 105
13 6 7 16 17 18 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
14 3 10 7 8 9 28 29 30 900 *π 3.1 x 105
15 2 9 4 5 6 25 26 27 900 *π 3.1 x 105
16 5 8 13 14 15 22 23 24 900 *π 3.1 x 105
17 3 7 7 8 9 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
18 2 10 4 5 6 28 29 30 900 *π 3.1 x 105
19 2 8 4 5 6 22 23 24 900 *π 3.1 x 105
20 5 7 13 14 15 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
21 2 7 4 5 6 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
22 9 8 25 26 27 22 23 24 900 *π 3.1 x 105
23 8 7 22 23 24 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
24 10 7 28 29 30 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
25 9 10 25 26 27 28 29 30 900 *π 3.1 x 105
26 9 7 25 26 27 19 20 21 900 *π 3.1 x 105
27 9 11 25 26 27 31 32 33 900 *π 3.1 x 105
28 8 11 22 23 24 31 32 33 900 *π 3.1 x 105
29 7 11 19 20 21 31 32 33 900 *π 3.1 x 105
30 10 11 28 29 30 31 32 33 900 *π 3.1 x 105
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4. MATRIZ DE RIGIDEZ
1. MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES
Las matrices de rigidez locales están determinados por:
k rse =( EA
l )e [
l2 lm nl −l2 −lm −nllm m2 mn −lm −m2 −mnnl mn n2 −nl −mn −n2
−l2 −lm −nl l2 lm nl−lm −m2 −mn lm m2 mn−nl −mn −n2 nl mn n2
]Como son 30 elementos finitos, tendremos 30 matrices de rigidez locales.
2. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
Determinaremos a través de la conectividad del modelo, utilizando la siguiente fórmula.
K iJ ¿∑ ksre
s❑→
i
r❑→
J
Como se tienen 11 nodos y estamos en el espacio (3 Grados de libertad por cada nodo),
la matriz de rigidez será de 33x33.
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INICIO
Leer datos de entrada.
Para i=1 hasta Nº de nodos
Ingresar coordenadas de los nodos.
Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)
Para i1 hasta 3x Nº de nodos
Cont0
Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)
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5. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: (similar al de armaduras planas)
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Si iCC(i,1)
Cont=1, C2CC1(i,2)C1CC1(i,1)
SI
Si cont1
CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2
SI
NO
CC(i,1)=0;CC(i,2)=0
Para i=1 hasta Nº elementos
Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.
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Para i=1;3xNº nodos
Si i==CC(i,1)
Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];
Para i=1 hasta Nº de elementos
Calcula esfuerzos
Imprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos
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6. USO DEL MATLAB:
DIGITACION DEL PROGRAMA
%finitos03.m
clc
clear
%datos
A=input('Ingrese el vector area de cada elemento finito en mm2 ')
E=input('Ingrese el vector modulo de young de cada elemento finito en N/mm2 ')
x=input('Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm ')
y=input('Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm ')
F=[-5000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;-3000];%la posiciones del 5 al 8 son incognitas pero los he puesto como ceros para que los pueda leer el matlab
%calculo de los elementos faltantes de la tabla de conectividad
NODOS=[1,2;2,3;3,4;3,5;4,5;5,2;5,1];
GDL=[1,2,3,4;3,4,5,6;5,6,7,8;5,6,9,10;7,8,9,10;9,10,3,4;9,10,1,2];
for i=1:7
L(i)=sqrt((x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))^2+(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))^2);
l(i)=(x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))/L(i);
m(i)=(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))/L(i);
end
%calculo de la matriz de rigidez
k=zeros(10);
aux=zeros(10);
for i=1:7
aux(GDL(i,1:4),GDL(i,1:4))=E(i)*A(i)/L(i)*[l(i)^2,l(i)*m(i),-l(i)^2,-l(i)*m(i);l(i)*m(i),m(i)^2,-l(i)*m(i),-m(i)^2;-l(i)^2,-l(i)*m(i),l(i)^2,l(i)*m(i);-l(i)*m(i),-m(i)^2,l(i)*m(i),m(i)^2];
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k=k+aux;
aux=zeros(10);
end
%calculo de Q
Q=inv(k([1:4,9,10],[1:4,9,10]))*F([1:4,9,10]);
Q=[Q(1:4);0;0;0;0;Q(5:6)];
%calculo del vector F
F=k*Q;
%calculo de esfuerzos
for i=1:7
esf(i)=E(i)/L(i)*[-l(i),-m(i),l(i),m(i)]*Q(GDL(i,1:4));
end
%esfuerzos
display('Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: ')
esf
%reacciones
display('Las reacciones en los apoyos en N son')
F(5:8)
%gràfico de la armadura sin fuerzas externas
xx=[x,x(1),x(2),x(5),x(3)];
yy=[y,y(1),y(2),y(5),y(3)];
xxx=[x+Q(1:2:9)',x(1)+Q(1),x(2)+Q(3),x(5)+Q(9),x(3)+Q(5)];
yyy=[y+Q(2:2:10)',y(1)+Q(2),y(2)+Q(4),y(5)+Q(10),y(3)+Q(6)];
plot(xx,yy,xxx,yyy,'r')
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7. EJECUCION DEL PROGRAMA:
Ingrese el vector área de cada elemento finito en mm2 [1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495]
A =
1.0e+003 *
Columns 1 through 6
1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635
Column 7
1.9635
Ingrese el vector modulo de Young de cada elemento finito en N/mm2 [3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5]
E =
Columns 1 through 5
310000 310000 310000 310000 310000
Columns 6 through 7
310000 310000
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Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm [0,1500,1500*2,1500*2,1500]
x =
0 1500 3000 3000 1500
Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm [1500,1500,1500,0,0]
y =
1500 1500 1500 0 0
Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son:
esf =
2.5465 2.5465 0 3.6013 -2.5465 -1.0186 0
Las reacciones en los apoyos en N son
ans =
1.0e+004 *
1.0000 // EJE X DEL NODO (3)
0.5000 // EJE Y DEL NODO (3)
-0.5000 // EJE X DEL NODO (4)
0 // EJE Y DEL NODO (4)
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-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
x
y
Figura 1
Aplicando 1000 veces las fuerzas para notar las deformaciones:
-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Figura 2
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Para visualizar las nuevas posiciones de los nodos ampliamos la figura en la parte de los nodos.
Línea azul: posición inicial
Línea roja: posición final
Figura 3
Figura 4
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Figura 5
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8. CONCLUSIONES
El elemento finito 7 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero es muy
importante para la estabilidad de la estructura ya que dentro de su
cuerpo se cancelan los desplazamientos de los nodos 1 y 5.
El esfuerzo en la barra 7 es cero debido a que no hay una fuerza vertical
en el nodo 1.
La orientación del elemento finito 7 antes era de -45° Luego de aplicar
las fuerzas externas su orientación cambio y su longitud se mantuvo
constante.
El elemento finito 3 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero también es
importante para asegurar que la estructura este en un plano horizontal.
Los elementos finitos 5 y 6 (vea la figura 2) están en compresión.
El elemento finito 4 (vea la figura 2) es el que soporta el mayor esfuerzo
3.6013 N/mm2 esto es debido a que uno de sus extremos están
empotrados en la pared y prácticamente toda la fuerza recae sobre él.
Con este elemento habría que hacer el diseño.
Este problema es imposible para la estática (hiperestático) ya que tiene 4
incógnitas y solo tres ecuaciones de equilibrio. Es posible su solución
mediante los métodos finitos.
Las reacciones encontradas 10000N (eje x del nodo (3)) 5000N (eje y del
nodo (3) -5000N (eje x del nodo (4)) y 0N (eje y del nodo (4)) cumplen
con las tres condiciones de equilibrio por lo tanto están bien.
Todos los problemas de armaduras planas tienen como mínimo 2 apoyos
rígidos pero también pueden tener más de dos apoyos. En este tipo de
problemas podemos distinguir dos tipos de incógnitas las de
desplazamientos y las de fuerzas, si el número de apoyos rígidos
aumentan entonces las incógnitas de fuerzas aumenta y disminuyen las
incógnitas de desplazamientos y por lo tanto se mantiene constante el
número de incógnitas totales que para nuestro problema es 10.
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