UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA “6ª PRÁCTICA CALIFICADA” CURSO: Cálculo por elementos finitos TEMA: Estructuras con nodos no articulados ALUMNO: Anampa Vargas Anthony Vicente 20091101D SECCION: MC 516 - D PROFESOR: Ing. Ronald Cueva Pacheco
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
“6ª PRÁCTICA CALIFICADA”
CURSO: Cálculo por elementos finitos
TEMA: Estructuras con nodos no articulados
ALUMNO:Anampa Vargas Anthony Vicente 20091101D
SECCION: MC 516 - D PROFESOR:
Ing. Ronald Cueva Pacheco
Lima, 07 de Diciembre del 2012
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INDICE
Enunciado del Problema....................................................................3
Modelado del cuerpo real..................................................................3
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SEXTA PRÁCTICA CALIFICADA
1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Resolver el problema de la Tercera Practica considerando el peso propio del material.
Considerando:
Secciones: φ 50 mm
Material: E = 3.1 x 105
N/mm2
γ=7.8 gr−f /cm3
Hallar las reacciones en los apoyos y los esfuerzos en cada elemento finito.
2. MODELADO DEL CUERPO REAL
Como los miembros de la armadura tienen sección constante, entonces estos mismos miembros se pueden
tomar como elementos finitos. Luego tendremos 7 elementos finitos.
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El área de cada elemento finito será igual a:
A=πD2
4=π
502
4=1963.4954 mm2
3. UBICACIONES NODALES
El origen de coordenadas está localizado a la izquierda de la armadura, como se puede observar en la
Figura 2. Las posiciones para cada nodo se pueden ser en el siguiente cuadro:
NODO X (mm) Y (mm)
(1) 0 1500
(2) 1500 1500
(3) 3000 1500
(4) 3000 0
(5) 1500 0
4. COORDENADAS NODALES Y COSENOS DIRECTORES
Para cada elemento finito se define:
l=x2−x1
le
m=y2− y1
le
le=√(x2−x1)2+( y2− y1)
2
La matriz de transformación de coordenadas es:
[q ' 1
q ' 2
q ' 3
q ' 4
q ' 5
q '6
]=[l m 0 0 0 0
−m l 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 l m 00 0 0 −m l 00 0 0 0 0 1
]∗[q1
q2
q3
q4
q5
q6
]q ' t=Ltr∗q t
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5. CUADRO DE CONECTIVIDAD
Utilizando las formulas anteriores y guiándonos del grafico obtendremos:
e NODOS GDL Le (mm) l m
1 1 2 1 2 3 4 5 6 1500 1 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 1 0
3 3 4 7 8 9 10 11 12 1500 0 1
4 3 5 7 8 9 13 14 15 1500√2√22
√22
5 4 5 10 11 12 13 14 15 1500 1 0
6 2 5 4 5 6 13 14 15 1500 0 1
7 1 5 1 2 3 13 14 15 1500√2−√2
2√22
6. MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES
Las matrices de rigidez locales se calculan a partir de:
k rse= AE
¿ +E I1
¿3
Para trabajar con la ecuación de rigidez tenemos que transformar esta matriz de rigidez, utilizando:
k ers=Lrt∗ke
rs∗Ltr
7. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
Se determina a través de la conectividad del modelo, utilizando la siguiente fórmula:
K iJ=∑ kers s →i
r →J
Como tenemos 5 nodos y en cada nodo hay 3 grados de libertad, la matriz de rigidez global sera de
15x15.
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8. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
F i=K iJ Q J
Como los nodos (3) y (4) están empotrados, su desplazamiento y giro será cero. Luego el vector
desplazamiento será:
QJT=¿
Entonces tomaremos subsistemas y resolviendo obtenemos:
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9. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento finito, lo dividimos en 2 partes:
σ e=±[σ eM +σ
eN ]
Esfuerzo debido a la flexión
σeM=−( Ey
le2
)[6 z (−q1 m+q2 l)+(3 z−1)l e q3−6 z (−q4 m+q5 l)+(3 z+1) le q6 ]
Es conveniente analizar el esfuerzo en el extremo medio de cada elemento finito, es decir: z=0
Ademas, como nos interesan los esfuerzos máximos, y para el caso de la flexion eso se da cuando está
más alejado del eje neutro, es decir y=D
Esfuerzo debido a la tracción
σeN=−( E
l )e
[−l −m l m ] [q3 s−2
q3 s−1
q3 r−2
q3 r−1]
Para cada elemento finito obtendremos:
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10. DESCRIPCION DEL PROGRAMA
El programa es aplicado para cualquier arreglo de armaduras, de donde como datos de entrada se
ingresará:
- Las coordenadas de cada nodo (en orden desde el nodo 1 hasta el nodo n), todos
respecto del mismo sistema.
- Los nodos correspondientes a cada elemento, en orden.
- Las condiciones de frontera, considerando que para cada nodo se tendrá 3 valores de
deformaciones (2 para cada eje y otra para la torsión), de donde si existe la deformación
se colocará 1, en caso contrario 0.
- El módulo de elasticidad para cada elemento.
- El peso propio del material.
- La condición que deberá cumplir e (0 o 1).
- El área correspondiente para cada elemento.
- Las fuerzas externas aplicadas sobre la armadura (los valores no conocidos como las
reacciones se colocan como ceros).
Como resultado se obtendrá la tabla de conectividad y los grados de libertad para cada elemento
de la armadura, los cosenos directores, la matriz de rigidez, las deformaciones para cada nodo,
las fuerzas externas totales aplicadas y los esfuerzos para cada barra.
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11. DIAGRAMA DE BLOQUES
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12. DIGITALIZACION DEL PROGRAMA
clcclear allformat short gdisp(' ____________________________________')disp(' ')disp(' ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS')disp(' ____________________________________')disp('--------------------------------------------------------------------');disp('Insertar ([mm. N.] o [pulg. lb.])')disp(' ');x=input('Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->');disp(' ');c=input('Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->');disp(' ');disp('Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)')M=input('Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(3nn-2) Q(3nn-1) Q(3nn)]->');disp(' ')E=input('Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->');disp(' ')pe=input('Peso propio del material [N/mm3]->');disp(' ')e=input('Consideración del e ->');disp(' ')A=input('Area para cada elemento [A1;A2..;An]->');disp(' ')diam=input('Diametro ->')disp(' ')F=input('Fuerzas Externas sin reacciones [F1;F2;F3;F4;...;F]->');disp('--------------------------------------------------------------------');%tabla de cosenos directorescosdir=[];for i=1:length(c) le(i)=sqrt((x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))^2+(x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))^2); cosdir=[cosdir;[i le(i) (x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))/le(i) (x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))/le(i)]];end%Tabla de conectividad y GDLgld(:,1)=1:3:2*length(c)-1;gld(:,2)=2:3:2*length(c);gld(:,3)=3:3:2*length(c)+1;T=[];for i=1:length(c) T=[T;[gld(c(i,1),:) gld(c(i,2),:)]];endT=[cosdir(:,1) c T];disp('ELemento Conectividad GDL')disp(T)disp(' Le l m')disp(cosdir(:,2:end))format short%matriz de rigidez y cargasKT=zeros(3*length(x));PT=zeros(3*length(x),1);for i=1:length(le) l=cosdir(i,3);m=cosdir(i,4); ktw=zeros(6);k=[];kt=zeros(3*length(x)); ltr=[l m 0 0 0 0;-m l 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1]; ktw([1 4],[1 4])=A(i)*E(i)/le(i)*[1 -1;-1 1]; ktw([2 3 5 6],[2 3 5 6])=E(i)*(pi*diam^4/64)/le(i)^3*[12 6*le(i) -12 6*le(i);6*le(i) 4*le(i)^2 -6*le(i) 2*le(i)^2;-12 6*le(i) 12 -6*le(i);6*le(i) 2*le(i)^2 -6*le(i) 4*le(i)^2]; k=ltr'*ktw*ltr; kt(T(i,4:9),T(i,4:9))=k; KT=KT+kt; Fw=zeros(3*length(x),1); fw=[-pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 -pe*A(i)*le(i)^2*l/12 -pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 pe*A(i)*le(i)^2*l/12]; Fwo=ltr'*fw'; Fw(T(i,4:9),1)=Fwo; PT=PT+Fw;enddisp(' ')disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')disp(' ')disp(KT)disp('FUERZAS DE CARGA')disp(PT)
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%condiciones de fronteram=[];for i=1:3*length(x) if M(i)==1 m=[m;[i]]; endendF1=PT+F;for i=1:length(m) for j=1:length(m) kr(i,j)=KT(m(i),m(j)); end f(i)=F1(m(i));endq=inv(kr)*f';Q=M;for i=1:length(m) Q(m(i))=q(i);endFT=KT*Q;disp(' ')disp('DESPLAZAMIENTOS mm o pulg')disp(Q)disp(' ')disp('FUERZAS TOTALES (reacciones y externas) N o Lb')disp(FT)disp('FUERZAS INCOGNITAS A HALLAR')disp(FT-F1)%esfuerzos maximos flexion ({e=0 y y=D/2)for i=1:length(le) ES1(i)=-(E(i)*(diam)/le(i)^2)*([-6*e*cosdir(i,4);6*e*cosdir(i,3);(3*e-1)*le(i);6*e*cosdir(i,4);-6*e*cosdir(i,3);(3*e+1)*le(i)]'*[Q(T(i,4:9))]);enddisp('Esfuerzo Máximo debido a la flexion')disp(ES1)disp(' ')%esfuerzos debidos a la tracciónfor i=1:length(le) ES2(i)=E(i)/le(i)*([-cosdir(i,3);-cosdir(i,4);cosdir(i,3);cosdir(i,4)]'*[Q(T(i,4:5));Q(T(i,7:8))]);enddisp('Esfuerzo debido a la tracción')disp(ES2)disp(' ')disp('ESFUERZOS N/mm2 o Lb/pulg2')disp(ES1+ES2)D=[];DF=[];for i=1:length(c) D=[D;[x(c(i,1),:);x(c(i,2),:)]]; DF=[DF;[x(c(i,1),:)+[Q(T(i,4)),Q(T(i,5))];x(c(i,2),:)+[Q(T(i,7)),Q(T(i,8))]]];endplot(D(1:2,1),D(1:2,2),'LineWidth',3)hold onplot(DF(1:2,1),DF(1:2,2),'r','LineWidth',2.3)for i=3:2:2*length(c)-1 plot(D(i:i+1,1),D(i:i+1,2),'LineWidth',3) plot(DF(i:i+1,1),DF(i:i+1,2),'r','LineWidth',2.3)endhold offgrid onaxis([-max(abs(D(:,1)))/2 3/2*max(abs(D(:,1))) -max(abs(D(:,2)))/2 3/2*max(abs(D(:,2)))])xlabel({['Abscisas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm)'},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');ylabel({['Ordenadas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm.)'},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');title({'GRAFICO';'DEFORMACION EN ARMADURAS PLANAS';['Numero de elementos: ',int2str(length(le))]},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold')legend('Armadura inicial','Armadura deformada',3)set(gcf,'Color', [0.95,0.95,0.95]);
13. EJECUCION DEL PROGRAMA
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____________________________________ ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS ____________________________________--------------------------------------------------------------------Insertar ([mm. N.] o [pulg. lb.]) Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->[0 1500;1500 1500;3000 1500;3000 0;1500 0]; Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->[1 2;2 3;4 3;5 3;5 4;5 2;5 1]; Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(3nn-2) Q(3nn-1) Q(3nn)]->[1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;1;1;1]; Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->[3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5]; Peso propio del material [N/mm3]->7.649187*1e-5; Consideración del e ->0 Area para cada elemento [A1;A2..;An]->[50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4]; Diametro ->50