3.4 衍射光栅

3.4 衍射光栅

3.4.1 概述

3.4.2 光栅方程

3.4.3 各种衍射光栅及其应用

3.4.1 概述

衍射光栅应用非常广泛，通常都是基于夫朗和费多缝衍射效应进行工作。

最早的光栅是夫朗和费在 1819 年制成的金属丝栅网，现在的一般光栅是通过在平板玻璃或金属板上刻划出一道道等宽、等间距的刻痕制成的。

1. 光栅的概念狭义定义：平行、等宽而又等间隔的多狭缝装置。

广义定义：凡是能够起到周期性分割波振面作用的一切光学元器件。包括晶体光栅、超声光栅、晶体折射率光栅等。

周期性地分割波振面是指：① 周期性分割波振面上的振幅；② 周期性分割波振面上的相位；③ 既周期性分割波振面上的振幅，又周期性分割波振面上的相位。

2. 光栅的分类（ 1 ）按照空间维度划分 a. 平面上的一维光栅 b. 平面上的二维光栅 c. 空间三维立体光栅

（ 2 ）按照对入射光的反射和透射作用划分 a. 反射光栅——平面反射光栅，凹面反射光栅，闪耀 光栅和反射式阶梯光栅； b. 透射光栅——平面透射光栅和透射式阶梯光栅。

（ 3 ）按照衍射屏屏函数的类型划分 a. 振幅光栅 b. 相位光栅 c. 振幅—相位混合型光栅

（ 4 ）按照制备光栅的方法划分 a. 刻画光栅——刀刻光栅和光刻光栅 b. 腐蚀光栅 c. 复制光栅 d. 全息光栅

（ 5 ）按照光栅的面型划分 a. 平面光栅——平面反射光栅和平面透射光栅； b. 凹面光栅——高反射率金属凹面光栅。

（ 6 ）正弦光栅 a. 正弦振幅光栅——屏函数的模按正弦函数形式变化； b. 正弦相位光栅——屏函数的辐角按正弦函数形式变化。

3.4.2 光栅方程 由多缝衍射理论，当光波垂直入射光栅时，衍射图样中亮线位置由下式决定：

d sin = m (m = 0, ±1, ±2, …)

—— 光栅方程

当光波斜入射光栅时，光栅方程的普遍表示式

d (sin sin) = m (m = 0, ±1, ±2, …)

为入射角——入射光与光栅平面法线的夹角；

为衍射角——第 m 级衍射光与光栅平面法线的夹角

1. 透射光栅的衍射

dR2

R1

dsin

dsin

(a)

dR2

R1

dsin dsin

(b)

,2,1,0

)sin(sin

m

md ,2,1,0

)sin(sin

m

md

2. 反射光栅的衍射

d

R2

R1

dsin

dsin

d

R2

R1

dsindsin

,2,1,0

)sin(sin

m

md ,2,1,0

)sin(sin

m

md

3. 光栅方程的本质含义

d sin = m (m = 0, ±1, ±2, …)

光栅方程所确定的是：隶属于各级衍射亮条纹、并且属于不同干涉级的多光束干涉主极大的方位。

从干涉的角度考虑，光栅方程实质上是多光束干涉主极大条件加上缺级条件。

4. 衍射光栅的分光原理d sin = m (m = 0, ±1, ±2, …)

给定光栅常数 d ，当用复色光照射时，除零级衍射光外，不同波长的同一级衍射光不重合，即“色散”，这就是衍射光栅的分光原理。

对应于不同波长的各级亮线称为光栅谱线，不同波长光谱线的分开程度随着衍射级次的增大而增大，对于同一衍射级次而言，波长大者 大，波长小者 小。

3.4.2 各种衍射光栅及应用

1. 透射光栅与反射光栅2. 闪耀光栅3. 光栅光谱仪4. 波导光栅5. 光纤光栅的应用6. 全息光栅

2. 闪耀光栅

由光栅分光原理可知：

各波长零级衍射主极大重合，无色散。不能用于分光；高级次衍射主极大的光能量较少。使光能量不能集中到分光的那一级光谱。

)sin(sinΔ

)sin(sinΔ

d

a

干涉

衍射

当 = ，单缝衍射主极大和干涉零级极大的方向一致。

解决办法：在玻璃上刻画出锯齿形沟槽，构成闪耀光栅

d

反射型

d

衍

干

衍射主极大方向

干涉主极大方向

透射型

反射式闪耀光栅的角度关系

d

0

0

dsin

N ( 光栅面法线 )A ( 入射光方向 )

n( 刻槽面法线 )

B ( 最大强度衍射光方向 )

光栅平面

mdd

2

cos2

sin2)sin(sin

光栅周期为 d ，槽面与光栅平面夹角为 0( 闪耀角 ) ，对于按 角入射的光束，单槽面衍射主极大在 B 方向；而干射主极大条件：

要使 m 级干射主极大条件在单槽面衍射主极大 B 方向，根据角度关系：

00

B 方向是单槽面衍射主极大方向：

所以 00

可求得：

当 m 、、、 d 已知，即可确定 0

这时 B 方向光很强，如同物体光滑表面反射的耀眼光一样。

因此：

22 0

md cossin2 0

当沿槽面法线方向入射时： = = =0 、此时：

M0sin2 md

主闪耀条件。 M 闪耀波长； m 闪耀级次。

可见闪耀波长和级次由闪耀角 0 决定。

bdm 0sin21，

1 0 1 2 3

一级闪耀波长

3. 光栅光谱仪

透射光栅光谱仪

S

里特罗自准直光谱仪

光谱仪多用反射式，特别是闪耀光栅。主要性能指标：

cosd

d

d

m

② 线色散 dl /d—— 波长差 0.1nm 的两条谱线在透镜焦平面上分开的距离

cosd

d

d

d

d

mff

l

① 角色散 d /d—— 波长差 0.1nm 的两条谱线分开的角距离

（ 1）色散本领

（ 2）分辨本领

ΔA

用角距离表示：mNNdm

d

cos

cosΔ

d

dΔ

例如：光栅宽度 60mm ， 1200 条 /mm ， A=72 000

对于 =0.6 m 的红光： = 8.3106m

mNA

根据锐利判据，当 + 的 m 级主极大恰好落在 的 m 级主极大旁的第一级极小值处时， 如果 为光栅能分辨的最小波长差，分辨本领定义为：

（ 3）自由光谱范围——光谱不重叠的区域。

)1()Δ( mm

m

Δ

即波长 的入射光的第 m 级 衍射，只要其谱线宽度小于 = / m ，就不会发生与 的 (m -1) 或 (m +1) 级衍射光重叠的现象。

当 的 m 级光谱与 的 m1 级光谱重叠时，有

光栅在低级次上使用时，自由光谱范围很大，在可见光范围可达几百 nm

4. 波导光栅 波导结构受到周期性微扰：几何形状，折射率、几何形状和折射率。

n0

n2

n1

n0

n1 n2

n3

n0 n1

n2

n3

光栅波矢： /π2K

反射式波导光栅

光栅衍射系数：

2

22

i

d

)~(ch~)~(sh2

Δi

)~(sh~

~

LLk

LK

E

ER

光栅衍射系数：

复传播常数： 222

2

Δi~

kK

)coscos(Δ ddii Kk

di2 )(th kKkKLR

波导光栅的应用

用于光波导输入输出的耦合：

耦合效率可达 100%

变周期光栅

光束会聚耦合器：输出光束会聚到一个点。

波导光栅式波分复用器

1 2 3

5. 光纤光栅

全息光栅制作系统

M1

激光器

2

H

M

M2

6. 全息光栅

例：平面振幅全息光栅

正弦光栅的透射系数

0

2

t(x)

x

正弦光栅的衍射

zm=0

m= 1

m=1

作 业

15 ， 16 ， 19 ，26

12. 波带片

22201

20

aaA

(1) 菲涅耳波带片

已经讨论过环状菲涅耳波带，假设露出的波带数为 20个，则 P0点的光强为：

假设把 2 、 4 、 6 、、 20 等 10个偶数波带挡掉而不通光，只让 1 、 3 、 5 、、 19 等 10个奇数波带通光，则 P0点的光强为：

1193120 10aaaaA 约 400倍

这种把奇数波带或偶数波带挡住所制成的特殊光阑称为菲涅耳波带片，如图所示。

遮挡奇数波带 遮挡偶数波带

(2) 菲涅耳波带片对轴上物点的成像规律

距菲涅耳波带为 R 的点源 S 照明，根据

0

02 Rr

rRN

N

经变换得到：

20

11

N

N

rR

R0 相应于物距，即观察点到波带片的距离。而焦距为：

N

f NN

2

(3) 菲涅耳波带片的焦距

普通透镜成像是利用折射原理，而波带利用折射原理，相位差 2整数倍度可产生相干叠加，从而表现为多焦距。

除了 P0点之外 ( 主焦点 ) ，还有一系列光强较小的亮点( 次焦点 ) ，相应的焦距为：

5,3,11 2

mNm

f Nm

如图： F1 为上述 P0点，波带是以 F1 为中心划分的，相邻波带到达 F1 的光程差为 /2 。对于 F3点，相邻波带到达 F3 的光程差为 3/2 。偶数波带已遮挡，相邻透光波带的光程差为 3 ，即为一焦点。

F1F3F1 F5 F3F5

波带片

222

23

23

2

21

21

2

)2

(

)2

3(

)2

(

mNff

Nff

Nff

mmN

N

N

Nm

f Nm

21

(4) 菲涅耳波带片的制作和应用

制作方法：对给定波长和波带片焦距，决定各带的斑半径：

NN fN

或方形波带边缘位置： NNNN fNyfNx

应用主要是准直，采用条形和方形波带片，在七焦点上形成平行于波带的亮线或十字线。

条形和方形波带片如图所示。

条形波带片 方形波带片

§3.5 全息术

一、简介二、发展过程

三、基本原理

四、全息照相的技术要求

反射镜

照相底板

物体

一、简介

参考光束

物光波 实像

照明光波

观察者

虚像

直射光束

两步成像术：干涉的记录，衍射的再现

普通照相是将物体表面反射或散射的光或物体本身发出的光，通过照相镜头成像在感光胶片上。感光胶片上记录的只是物体光强度的变化，所以，得到的是物体的平面像。

与普通成像的区别：

全息照相采用一种“无透镜”的两步成像法，它能在感光胶片上同时记录物体的全部信息（物光的振幅和相位），因而具有获得立体像的优点。

第一代全息图——英国科学家 Gabor—1948 年提出

二、发展过程

起源：最初的目的是提高电子显微镜的分辨率，思想来源于布拉格 X 射线显微镜。

电子显微镜优于光学显微镜，分辨率高达 0.07nm 。

源于结晶学中应用 X 射线的学术界。 ( 只能记录辐照度而不能记录位相信息 ) 。 盖伯论证了衍射波的相位可以通过与一个标准的参考波比较而确定。

盖伯的方法以汞弧灯照明针孔得到需要的空间相干性。目的是以电子束制图，用光波重现，从而得到放大 100000 倍的效果。

但问题在于衍射波与参考波有几乎相同的相位，而只是振幅有变化。孪生波的问题也难以消除。

☺ 汞灯记录的同轴全息图

第二代全息图

利斯等人（ Leith 和 Uptnieks ）用简单的方式消除了孪生波，从而重新激起了人们对全息术的兴趣。

受到通信理论的启发，将物体衍射的波前与一个离轴的参考波进行叠加，消除了共轴孪生波；使大部分入射光不能透过的物体以及明暗连续变化的物体都能够实现波前重现。

光学部件的缺陷会对全息的效果造成影响。

物体大小不再有限制； 漫反射物体全息（部件的影响不再明显，能够将多个全息图叠加在底板上）；

激光器的出现为全息的发展提供了机遇。使得记录漫反射、三维的物体成为可能。

☺ 激光记录、激光再现原始像和共轭像分离的离轴全息图，体全息

第三代全息图

激光记录、白光再现的全息图。 包括：反射全息、像面全息、彩虹全息及合成全息等；

激光的高度相干性对仪器要求较为严格，且相干噪声大，给全息术的实际应用带来不便。

Benton ， 1969年 —— 彩虹全息

第四代全息图

多色光记录、白光再现的真彩色全息图

全息术使用波段：可见光、电子波、 X 射线、微波和声波等。应用很广泛—— 全息光学元件、立体显示、光学高密度信息存储以及全息干渉计量。

三、基本原理(1) 干涉记录（利用干涉方法拍摄全息图 / 全息照片）

B

物

RE~

oE~

相干光源发出的一部分光照射到物体上，从物体上反射或散射后照射到感光胶片上——物光波。

相干光源的另一部分直接照射到感光胶片上，——参考光波。

记录干涉图样的胶片经过适当的曝光、冲洗处理后，就是一张全息图（全息照片）。拍摄过程是一个记录或存贮信息的过程。

物光和参考光在感光胶片上发生相干叠加，产生的干涉图样即记录了物体振幅和相位分布的全部信息。

B

物

RE~

oE~

分析：

),(iRR

),(iOO

e),(~

e),(~

yx

yx

R

o

yxEE

yxEE

O(x, y), R(x, y) 分别为物光波和参考光波相位分布。

EO(x, y) , ER(x, y) 分别为物光波和参考光波振幅分布；

设感光胶片平面为 xy 平面，物光波和参考光波在该平面上的复振幅为

在感光胶片平面上两光波干涉产生的光强度分布为

*)~~

)(~~

(),( RoRo EEEEyxI

),(),(*),(*),( yxio

yxiR

yxio

yxiRoR

oRoR eEeEeEeEII

)cos(2 oRoRoR EEII

把照相底板适当曝光冲洗后，得到一张全息图。（适当冲洗——冲洗后底板的透射系数与曝光时在底板上的光强成线性关系，为简单其透过率 T I ）

)cos(2 oRoRoR EEIIT

简单起见比例系数取 1 。

全息照片既包含了振幅，又包含了相位，即所有信息。

当用一个相干参考光照明全息图时，记录了干涉图样的全息图宛如一块复杂的光栅将发生衍射，在衍射光波中包含着原来的物光波，当迎着物光波的方向观察时可看到物体的再现像，这是一个物光波再现即成像的过程。

设再现波与参考光波（不携带信息）完全相同。

(2) 衍射再现（通过对全息图的衍射，再现物体图像）

衍射光：

),(*o

),(22R

),(o

2R

),(RoR

),(

),()(yxiyxi

yxiyxi

oR

oR

eyxEeE

eyxEEeEII

RD ETE

~~

第一项代表再现光波，第二项代表物光波，第三项代表一个沿特定方向传播的物光的共轭平面波。再现时迎着代表物光的光波方向观察，就能看到物体在原来位置的虚像。

RD ETE~~

照明光波

透射光波

虚像 实像

),(*o

),(22R

),(o

2R

),(RoR ),(),()( yxiyxiyxiyxi oRoR eyxEeEeyxEEeEII

记录过程中： ☞光源为相干光源

四、全息照相的技术要求

☞高亮度（解决条纹可见度 V 的问题）

再现过程中： ☞底板分辨率应有相应高的分辨本领。全息图实际上记录的为物光和参考光在底板上形成的干涉条纹。 为提高成像分辨率，干涉条纹密度必须很大，所以底板的分辨本领要高，即衍射光栅的分辨本领大。

单色反射全息图

彩虹全息图

彩色反射全息图

作 业

29 ， 30 ， 31 ， 32