§2 .3 开腔模式和衍射理论分析方法

深圳大学电子科学与技术学院

§2.3 开腔模式和衍射理论分析方法

Q：在一个没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征态，即不随时间变化的稳态场分布？如果存在，应该如何求出这些场分布？

更关心镜面上的场。激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传播的结果。因此，两个镜面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为另一个镜面上的场所产生，反之亦然。


He-Ne激光器基模

Nd:YAG激光器多模


一、激光的横模 (transverse modes)

• 反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用

• 非选择性损耗将使横截面内各点的场按同样的比例衰减，对场的空间分布不会发生重要影响

• 衍射主要发生在镜的边缘上，将对场的空间分布发生重要影响；而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这种影响将永远存在。


• 为突出特征、简化分析，提出理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所构成。

• 考虑在开腔中往返传播的一列波


• 用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平面开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应）。这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成，这些孔径开在平行放置着的无限大完全吸收屏上，相邻两个孔径的距离等于腔长，孔径大小等于镜的大小。

• 光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等效于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏所吸收（对应于损耗）。


• 每经过一个孔，波的振幅和相位分布就经历一次改变；在经过若干个孔以后，其振幅和相位不可避免地逐次发生畸变，逐渐被改变成这样的形状，以致于它们受到衍射的影响越来越小，或者说，它们逐渐趋于一定的稳定分布状态。当通过的孔阑数足够多时，镜面上场的相对振幅和相位分布将不再发生变化，或者说不再受衍射的影响，在腔内往返一次能够“再现”出发时的场分布。


• 把开腔镜面上经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗，所发生的相移称为往返相移，该相移等于 2的整数倍。

• 并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来（特点 1：非任意性）

• 由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布可能是各不相同的，这预示了开腔模式的多样性。实际的物理过程是，开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的，而自发辐射服从统计规律，因而可以提供各种不同的初始分布。（特点 2：多样性）


• 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因而空间相干性随之越来越增强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用。


• 在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随着初始入射波能量的衰减。

• 在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值条件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。这时，自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大，其结果是：光谱不断变窄，空间相干性不断增强，同时，光强也不断增大，最终形成高强度的激光输出。


• 取激光器的轴向作为 z轴，以谐振腔的中心点为原点，并在与主轴垂直的平面上取 x、 y轴，用 TEMmn 符号来表示各种横向模式。 m、 n分别代表在横截面内的 x、 y轴方向出现的节线数，或，光强为零的那些零点的序数。


• 纵模和横模各自从一个侧面反映了谐振腔内能自再现的光场分布。腔内光波往返传播时，干涉和衍射效应同时存在。

• 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成驻波。用三个正整数m、 n、 q来标志， TEMmnq 。一种模式的振荡频率不仅与纵模序数 q有关，而且与横模序数 m、 n也有关。


• 研究表明：一方面，人们从理论上论证了开腔模的存在，并且用数值和解析的方法求出了各种开腔模式；另外，又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。


二、衍射理论的分析方法（ diffraction theory approach ）

• 求解开腔模式，归结为求解菲涅耳—基尔霍夫衍射积分；公式表明：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其它任意位置处的振幅和相位分布。

sde

yxuik

yxuik

S

)cos1(),(4

),(

意义：观察点 P 处的场可以看作是 S面上各子波源所发出的非均匀球面子波的叠加


Kirchhoff-Fresnel integral

• 已知某一镜面上的场分布，在衍射作用下经腔内一次渡越而在另一个镜面上生成的场

),(1 yxu

sde

yxuik

yxuik

S

)cos1(),(4

),(1

12

就将一个镜面上的场通过菲涅耳—基尔霍夫积分与另一个镜面上的场联系起来。经过 j次渡越后所生成的场 uj+1与产生它的场 uj之间亦应满足类似的迭代关系


sde

yxuik

yxuik

S

jj

)cos1(),(4

),(1

1、考虑对称开腔中的自再现模。按照模式再现概念，当式中的 j足够大时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， uj+1应能将 uj再现出来，即

12

1

1

1

jj

jj

uu

uu

当 j足够大时此即模式再现概

念的数学表达


),(1

)cos1(),(4

),(1 yxusde

yxuik

yxu j

ik

S

jj

sde

yxuik

yxuik

S

jj

)cos1(),(4

),( 11

sde

yxuik

yxuik

S

jj

)cos1(),(4

),(


• 以 v(x,y) 表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场分布函数（即 uj 、 uj+1 ……、），有

)cos1(),,,(4

),,,(),,,(

yxyx

eikyxyxK

yxyxik

满足方程的任意一个分布函数 v(x,y)就描述腔的一个自再现模或横模。一般地， v(x,y)应为复函数，它的模 v(x,y) 描述镜面上场的振幅分布，而其辐角 arg v(x,y) 描述镜面上场的相位分布。

积分方程的核

(Kernel)

sdyxvyxyxKyxvS

),(),,,(),(


),,,(),,,( yxyxikeL

iyxyxK

Lyxyx

aRaL

2),,,()cos1(

,

sdyxvyxyxKyxvS

),(),,,(),(


• Such an integral equation can be shown to posses a discrete set of solutions (eigenmodes), which we denote by vmn(x,y). The function can be shown to approach in the limit of large Fresnel numbers the Hermite-Gaussian solutions. The solution yields also the associated complex eigenvalue mn. mn corresponds physically to the factor by which the amplitude changes in one round trip.


复常数的意义 (complex eigenvalue)

ie 将复常数表示为，代入的定义，得到

i

jjj eueuu )(

11

e-量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减(the loss in mode amplitude per round trip) ，愈大 ,衰减愈甚， 0时，自再现模在腔内能无损耗地传播。表示每经一次渡越模的相位滞后 (the phase shift per round trip) ，愈大，相位滞后愈多。


2

22

2

1

2

111

eu

uu

j

jj

d

愈大，模的单程损耗愈大

自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为 jj uu argarg 1

在对称开腔的情况下，

1arg

自再现模在腔内经单程渡越所经受的相对功率损耗称为模的单程损耗，通常以 d 表示。在对称开腔情况下 ,


• 在腔内存在激活物质的情况下，为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡，还必须满足多光束干涉条件：在腔内一次往返的总相移等于 2的整数倍 (the phase delay per round trip be some integer of 2)，即

• 复常数的模量度自再现模的单程损耗，它的辐角量度自再现模的单程相移，从而也决定模的谐振频率。

21

arg22 q


• 2、在非对称开腔中，按场在腔内往返一次写出模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自再现模在腔内往返一次的功率损耗，它的辐角量度自再现模的往返相移，并从而决定模的谐振频率。


求解思路• 将寻求开腔振荡模的问题归结为求解菲涅耳—基尔霍

夫衍射积分方程这样一个数学问题（积分本征值问题）• 根据各类开腔的具体几何结构，写出方程的具体形式，

根据问题的对称性引入适当的坐标系• 考虑到波长、镜的线度以及腔长的相互数量级关系，将方程简化（将积分核展开，舍去无关紧要的高阶小量）

• 对常见的几何结构，实现变量分离，将关于二元函数的积分方程化成两个单元函数的积分方程

• 求出积分方程的本征值 (m 、 n)与本征函数(vm(x) 、 vn(y) )，得到开腔自再现模的全部特征（包括场分布及传输特性）


nmmn

nmmn yxyx

)()(),(

一般地， vmn(x,y)应为复函数，它的模 vmn(x,y) 描述镜面上场的振幅分布，而其辐角 arg vmn(x,y) 描述镜面上场的相位分布。复常数 mn的模量度自再现模的单程损耗，它的辐角量度自再现模的单程相移，从而也决定模的谐振频率。


例：平行平面腔模的迭代解法

• 平行平面腔的优点：光束方向性极好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模

• 缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损耗也较大，对小增益器件不大适用

• 平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解


利用迭代公式直接进行数值计算。首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布 u1，将它代入上式，计算 u2 、 u3 、 u4等。如此反复运算经过足够多次后，判断能否满足下述关系式

如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自再现模或横模。

1j ju Ku ds

12

1

1

1

jj

jj

uu

uu


• The round-trip wave propagation in a real laser cavity can be studied by carrying out analytical or computer calculations of the manner in which the transverse field pattern of the optical beam changes on repeated round trips within a given resonator. Optical resonator mode calculations of this type were first pioneered in the early 1960s by A.G. Fox and T. Li at the Bell Telephone Laboratories, and are often referred to as “Fox and Li” calculations.


• The Kirchhoff-Fresnel integral formulation of the propagation of electromagnetic field between two planes, can be used to calculate numerically the mode field distribution, the losses, and the round trip phase shift of optical resonators. This method, first employed by Fox and Li has played a key role in the understanding of optical resonator modes and in the practical design of such resonators.

end

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