3 运 输 规 划

3 运 输 规 划教学目的与要求

通过对本章的学习，使学生理解和掌握运输问题的本质，明确运输规划在现代物流管理中的重要地位；搞清运输问题模型的特点，并能正确地建立实际运输问题的数学模型； 熟练掌握求解运输问题的表上作业法；准确、熟练地将产销不平衡问题转化为产销平衡问题并予以解决。

运输规划是一类特殊的线性规划问题，它最早是从物资调运中提出来的，但以后有些其他问题的模型也归结为运输问题。虽然运输问题也是线性规划问题，可以用单纯形法解决，但考虑到运输问题数学模型的特点，人们提出了更简单的求解方法——表上作业法。目前运输规划已成为现代物流管理中一项最基本也最重要的功能。

3 运 输 规 划3.1 运输问题的提出

3.2 运输规划模型

3.3 运输规划的表上作业法

◎ 知识归纳

◎ 习题与思考题

3.1 运输问题的提出3.1.1 运输问题概述 运输是物流系统中最直观的功能要素之一，也是物流的最基本功能，它可以克服空间距离障碍，通过一定时间内商品的空间位移，使商品产生价值增量。

3.1.1.1 运输的地位 (1) 运输是物流的主要功能要素之一 按物流的概念，物流是“物”的物理性运动，这种运动不但改变了物的时间状态，也改变了物的空间状态。而运输承担了改变空间状态的主要任务，运输是改变空间状态的主要手段，运输再配以搬运、配送等活动，就能圆满完成改变空间状态的全部任务。在现代物流观念未诞生之前，甚至就在今天，仍有不少人将运输等同于物流，其原因是物流中很大一部分责任是由运输担任的，它是物流的主要部分。 (2) 运输是社会物质生产的必要条件之一 运输是国民经济的基础和先行。马克思将运输称之为“第四个物质生产部门”，是将运输看成是生产过程的继续，这个继续虽然以生产过程为前提，但如果没有这个继续，生产过程就不能最后完成。所以，虽然运输这种生产活动和一般生产活动不同，它不创造新的物质产品，不增加社会产品数量，不赋予产品以新的使用价

值，而只变动其所在的空间位置，但这一变动则使生产能继续下去，使社会再生产不断推进，所以将其看成一种物质生产部门。 (3) 运输可以创造“场所效用” 场所效用的含义是：同种“物”由于空间场所不同，其使用价值的实现程度则不同，其效益的实现也不同。由于改变场所从而最大限度发挥使用价值，最大限度提高了产出投入比，这就称之为“场所效用”。通过运输，将“物”运到场所效用最高的地方，就能发挥“物”的潜力，实现资源的优化配置。从这个意义上讲，也相当于通过运输提高了“物”的使用价值。 (4) 运输是“第三个利润源”的主要源泉 首先，运输是运动中的活动，它和静止的保管不同，要靠大量的动力消耗才能实现这一活动，而运输又承担大跨度空间转移的任务，所以活动的时间长、距离长、消耗也大。消耗的绝对数量大，其节约的潜力也就大。其次，从运费上看，运费在全部物流费中占最高的比例，一般综合分析计算社会物流费用，运输费在其中占接近 50％的比例，有些产品运费高于产品的生产费，所以节约的潜力是很大的。 此外，由于运输总里程大、运输总量巨大，通过体制改革和运输合理化可大大缩短运输的千米数，从而获得比较大的节约。

3.1.1.2 物流运输 运输需求可以通过三种基本的方式实现。首先，可以使用私营的车队设备；第二，与专业运输公司签订运输合同；第三，一个企业可以向各种提供以单独装运为条件的运输承运人预订服务。这三种形式的运输就是典型的所谓私人运输、合同运输和公共运输。 从物流系统的观点来看，有三个因素对运输来讲是十分重要的，即成本、速度和一致性。 运输成本是指为两个地理位置间的运输所支付的款项以及与行政管理和维持运输中的存货有关的费用。 运输速度是指完成特定的运输所需的时间。 运输的一致性是指在若干次装运中履行某一特定的运次所需的时间与原定时间的一致性，它是运输可靠性的反映。 在物流系统的设计中，必须精确地维持运输成本和服务质量之间的平衡。 本章的运输问题就是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品的调运问题。运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便、更高效的求解方法，用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法是线性规划的一种求解方法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成相关表，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭回路法、位势法或矩形法等方法进行调整，直至得到满意的结果，这种列表求解方法就是表上作业法。这正是单独研究运输问题的目的所在。

3.1.2 现代物流中的运输规划问题

一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。如下面的例子。

运价 地区

煤矿

B1 B2 B3 B4 产量

A1

A2

A3

6 3 2 5

7 5 8 4

3 2 9 7

5

2

3

销量 2 3 1 4

表 3.1

解 设 xij 为每天从 Ai矿运往 Bj 地区的煤炭数量（百吨）， S 为总运费（百元），由于总产量为 10（百吨），总销量也为 10（百吨），所以产销平衡，即所有产地的产品正好全部调运出去，所有销地的需求量正好满足。由表 3.1 可知这个运输问题的数学模型为： 目标函数为： min S=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22 +8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 满足产地产量的约束条件为： X 11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34=3 满足销地销量的约束条件为： x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x12+x23+x33=1 x14+x24+x34=4 所以，此运输问题的线性规划模型如下： min S=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22 +8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34

1,2,3,4)=j；1,2,3=0(i≥xij

4=x34+x24+x14

1=x33+x23+x13

3=x32+x22+x12

2=x31+x21+x11

3=x34+x33+x32+x31

2=x24+x23+x22+x21

5=x14+x13+x12+x11

..ts

运输问题模型是线性规划诸多模型中较早引起人们关注的一类特殊模型，由于这类模型在结构上有其特殊性，我们可以用比单纯形法更为简便的算法——表上作业法来求解。此算法不仅适用于运输问题本身，还适用于其他相当多的应用问题，因此得到人们的高度重视和广泛应用。

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3.2 运输规划模型

3.2.1 一般表达式

一般的，设某种物资有 m 个产地（用 A1 ， A2 ， A3 ，…， Am 表示）， n个销地（用 B1 ， B2 ， B3 ，…， Bn 表示），第 Ai 个产地的产量为 ai ，第 Bj 个销地的销量为 bj ，把物资从产地 Ai 运到销地 Bj 的单位运价为 Cij (i=1,2,…,m； j=1,2,…,n) ，这些数据可汇总于产销平衡表（见表 3.2）和单位运价表（见表 3.3）中，有时也把这两表合一（见表 3.4）。

销地产地

B1 B2 B3 … Bn 产量

A1

A2

…

Am

a1

A2

…

am

销量 B1 b2 b3 … bn

表 3.2 产销平衡表

销地产地

B1 B2 B3 … Bn

A1

A2

…

Am

C11 C12 C13 … C1n

C21 C22 C23 … C2n

…

Cm1 Cm2 Cm3 … Cmn

表 3.3 单位运价表

销地产地

B1 B2 B3 … Bn 产量

A1

A2

…

Am

C11 C12 C13 … C1n

C21 C22 C23 … C2n

…

Cm1 Cm2 Cm3 … Cmn

a1

A2

…

am

销量 b1 b2 b3 … bn

表 3.4 产销平衡和单位运价表

设 xij 表示从 Ai 调运到 Bj 的物资数（ i=1,2,…,m； j=1,2,…,n），则可建立如下数学模型。 一般表达式：

),,2,1;,,2,1(0

),,2,1(

),,2,1(

..

min

1

1

1 1

njmixij

njbx

miax

ts

xcS

m

ijij

n

jiij

m

i

n

jijij

(3.1)

3.2.2 表式运输模型 由于运输问题模型的特殊性，还有如表 3.5 所示模型。

销地产地

B1 B2 … Bn 产量

A1

C1n C12 … C1n a1

x11 X12 x1n

A2 C21 C22 … C2n a2

x21 x22 x2n

… … … … … …

Am Cm1 Cm2 … Cnm am

xm1 xm2 xnm

销量 b1 b2 … bn

表 3.5 表式运输模型

表 3.5中， Ai 所在行 Bj所在列对应的表格中，右上角填的是从 Ai 到 Bj的资源的单位运价，左下角填的是从 Ai到 Bj的运量。产销平衡的运输问题的解法——表上作业法就是在表 3.5中进行的。

3.2.3 运输问题的相关概念及定理

3.2.3.1 闭回路的概念

为了给出运输问题的性质以及表上作业法求解的判定和调整，先介绍一个重要的概念——闭回路。 定义：若运输问题的 2r(r≥2) 个变量可以排成： xi1j1xi1j2xi2j2xi2j3…xirjrxirj1(i1, i2,…, ir两两不同 ;j1,j2,…,jr两两不同 ) 则称以此 2r 个变量为顶点构成了一条闭回路。

3.2.3.2 运输问题若干定理

定理 1 在产销平衡的运输问题中， m＋ n 个约束条件中独立的只有 m＋ n－ 1个，即有一个约束是多余的。 定理 2 运输问题中变量 xi1j1,xi2j2,…,xi2j2,…,xirjr对应的系数列向量组线性无关的充要条件是它们不含闭回路。 定理 3 运输问题中 m＋ n＋ 1 个变量 xi1j1,xi2j2,…,xirjr(r=m＋ n＋ 1) 是基变量的充要条件是它们不包含闭回路。 定理 4 产销平衡的运输问题必有最优解。以上定理证明略。 返回

3.3 运输规划的表上作业法

运输规划问题求解时，主要涉及到产销平衡与产销不平衡两种情况，因为产销不平衡问题可以通过虚设收发点的方式将其转化为产销平衡的运输问题。因此我们着重介绍产销平衡运输问题的求解方法。 运输问题一般采用表上作业法来进行求解。表上作业法的基本思想跟单纯形法十分类似。它也要先找出一个基本可行解，称为初始方案；然后按一定准则来检验这个方案是否最优；如果不是，则按一定方法加以调整、改进，直到求出最优解为止。因此，表上作业法可分为三个基本步骤： (1)确定初始方案； (2) 进行最优性检验； (3) 调整、改进非最优方案。

3.3.1 初始方案的确定

由上节定理可知，产销平衡运输问题必存在最优解，进而存在基本可行解、基本最优解。而基本可行解包含的基变量的个数为 m＋ n－ 1 ，且不包含闭回路，所以在形如表 3.5 的表格中，要选出不含闭回路的 m＋ n－ 1 个格安排运量，作为基变量，即初始方案。 确定初始方案的方法较多，有左上角法（又称西北角法或阶梯法）、最小元素法、最大差额法（又称 Vogel 法）等，下面我们分别加以介绍。

3.3.1.1 左上角法

左上角法的思想是：先给作业表中左上角那格安排运量，然后画去该格所在行或列；重复进行，直到求出初始方案为止。具体步骤为： （ 1）从运输表中左上角点（ 1 ， 1）开始，先选 x11 为基变量，并令 x11=min{a1 ， b1} ，将 x11 的值填写在产销平衡表中，并将 a1 、 b1均减去 x11； （ 2）若 a1－ x11=0 ，则画去 a1 所在行，否则，画去 b1 所在列； （ 3）再在运输表余下表格中选取左上角上的点，重复上述步骤，直到最后选取xmn 为基变量，这时同时画去最后一行和最后一列。

这些被选取的基变量在运输表中的每一行每一列至少有一个，其个数恰好为 m＋ n－ 1 个，并且不出现闭回路，它们正好构成了一个基本可行解。 下面举例来说明此方法。列出产销平衡表，见表 3.9 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 5

A2 2

A3 3

销量 2 3 1 4

表 3.9 产销平衡表

（ 1）因为左上角为（ 1 ， 1）格，所以取 x11=min{2,5}=2 ，填入表中，表明从产地 A1 调运到销地 B1 2 个单位的物资。同时，因 B1 已经不需要物资了，故画去第一列，修改 a1 的值， a1′=5－ 2=3 ，表示还可以从 A1 调运 3 个单位的物资到销地，结果见表 3.10 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 5 ， 3

A2 2

A3 3

销量 2 3 1 4

表 3.10

（ 2）在余下的方格中，左上角为（ 1 ， 2）格，取 x12=min{3,3}=3 ，于是画去第一行，修改 b2 的值， b2′=3－ 3=0 ，结果见表 3.11 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 2

A3 3

销量 2 3 ， 0 1 4

表 3.11

（ 3）在余下的方格中，左上角为（ 2 ， 2）格，取 x22=min{0,2}=0 。虽然 x22=0 ，但表示 x22 为基变量。画去第二列，修改 a2 的值， a2′=2－ 0=2 ，结果见表3.12 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 0 2

A3 3

销量 2 3 ， 0 1 4

表 3.12

（ 4）左上角为（ 2 ， 3）格，取 x23=min{1,2}=1 ，于是画去第三列，修改 a2的值， a2′=2－ 1=1 ，结果见表 3.13 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 0 1 2

A3 3

销量 2 3 ， 0 1 4

表 3.13

（ 5）左上角为（ 2 ， 4）格，取 x24=min{4,1}=1 ，于是画去第二行，修改 b4 的值， b4′=4－ 1=3 ，结果见表 3.14 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 0 1 1 2 ， 1

A3 3 3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 3

表 3.14

（ 6）此时，仅余下（ 3 ， 4）格，取 x34=min{3 ， 3}=3 ，画去第三行，第四列。这时所有方格都已画去，并依次确定了 m＋ n－ 1=6 个变量为基变量，结果见表 3.15 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 0 1 1 2 ， 1

A3 3 3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 3

在表 3.15 中，填数字的格就是用左上角法确定的初始基本可行解的基变量的取值 x11=2 ， x12=3 ， x22=0 ， x23=1 ， x24=1 ， x34=3 其余空格处为非基变量，隐含的取值为 0 ，其对应的目标函数值为 S=54 。实际上，上述过程可以放在一个表格中，见表 3.16 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 2 3 5 ， 3

A2 0 1 1 2 ， 1

A3 3 3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 3

表 3.16

②

⑤

① ③ ④ ⑥

表 3.16 中右侧和下面的数字表示的是步骤序号。

为了对该方案进行检验，一般将表 3.16 中的结果填入表 3.17 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5

2 3

A2 7 5 8 4 2

0 1 1

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 1 4

表 3.17

3.3.1.2 最小元素法 所谓“最小元素”，是指运价表中的最小运价 cij 。该法的基本思想是“运价小者优先供应”，即先给运价表中最小运价那格安排运量，然后画去该运价所在行或列；接下去继续这样做，每次总在表中剩余运价的最小元素那格确定运量，直到求出初始方案为止。 现就例 3.1具体说明该法的实现过程，先画出产销平衡和运价表（见表 3.18）。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5

A2 7 5 8 4 2

A3 3 2 9 7 3

销量 2 3 1 4

表 3.18 产销平衡及运价表

然后在表上进行作业，确定初始基本可行解。由线性规划的理论知道，基本可行解的非基变量取值为零，因此，只需确定基变量 xij及其数值，过程如下： （ 1）从表 3.18 中选出数值最小的 cij ，并将它所对应的变量 xij 作为第一个基变量。若有几个 cij 同时最小，则可从中任选一个。在表 3.18 中， c13=c32=2 是最小元素，所以可任选其一，比如选 c13 ，则确定 x13 为第一个基变量。 x13 的值表示从 A1 调运到 B3 的物资数，为了满足约束条件，应取 x13=min{a1,b3}=min{5,1}=1 ，把 1填入表 3.19 的 x13格内，这样 B3 地区的销量已经满足，因此不再需要往B3 调运煤炭，故将 B3 所在列的运价和销量画去，表示 B3列的其余变量 x23 、 x33 只能取 0 值，即都为非基变量。同时，由于 A1 的煤炭已经运出 1 个单位，只剩下4 个单位，所以将 a1 由 5 变为 5－ 1=4 。结果如表 3.19 所示。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5 ， 4

1

A2 7 5 8 4 2

A3 3 2 9 7 3

销量 2 3 1 4

表 3.19

（ 2）在表 3.19 的剩余运价中， c32=2 最小，于是又确定 x32 为基变量，取x32=min{a3,b2}=min{3,3}=3 ，在 x32 的空格中填写 3 。此时， a3=b2=3 ，在这种情况下，可以把第三行其余变量都取 0 值，定为非基变量，也可把第二列其余变量都取 0 值，定为非基变量。现在把第三行的其余变量都定为非基变量，为此画去第三行，同时， b2处由 3 变为 0（注意：虽然 b2 变为 0 ，但表示 B2列还要填基变量），结果如表 3.20 所示。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5 ， 4

1

A2 7 5 8 4 2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 ， 0 1 4

表 3.20

（ 3）在表 3.20剩余的运价中， c12=3 最小，故又确定 x12 为基变量。因 x12=min{4,0}=0 ，故在 x12处填写 0（虽然 x12=0 ，但必须把其填入到表格中，表示x12 也是基变量，只不过取值为 0) ，此时，第二列已经满足，所以画去第二列的运价与销量，得表 3.21 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5 ， 4

0 1

A2 7 5 8 4 2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 ， 0 1 4

表 3.21

（ 4）类似地，取 x24=min{2,4}=2 ，画去第二行， b4 由 4 变为 4－ 2=2 ，见表 3.22 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 5 5 ， 4

0 1

A2 7 5 8 4 2

2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 2

表 3.22

（ 5）取 x14=min{4,2}=2 ，画去第四列，同时， a1 由 4 变为 4－ 2=2 ，见表3.23 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 2 5 5 ， 4 ，20 1

A2 7 5 8 4 2

2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 2

表 3.23

（ 6）取最后一个 x11=2 ，画去第一行，第一列，见表 3.24 。 至此，作业表中 xij 的数值全部确定，表 3.24 中黑体数字就是用最小元素法确定的初始基本可行解的基变量值。 x11=2 ， x12=0 ， x13=1 ， x14=2 ， x24=2 ， x32=3,x24=2 其余 xij=0 ，为初始基本可行解的非基变量，其对应的目标函数值为 S=38 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 2 5 5 ， 4 ，2

2 0 1

A2 7 5 8 4 2

2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 ， 0 1 4 ， 2

表 3.24

上述过程可总结为以下步骤： （ 1）单位运价表中找出最小元素 cij ，令 xij=min{ai ， bj}； （ 2）将 xij 的值填写在产销平衡表中，并将 ai 、 bj均减去 xij； （ 3）若 ai－ xij=0 ，则在单位运价表中画去 Ai对应的第 i 行；否则，画去 Bj所在列； （ 4）单位运价表中未画去的部分，重复上述步骤。 可以证明，最小元素法确定的方案肯定不会构成闭回路，因此，它必可作为表上作业法的初始方案。

3.3.1.3 Vogel 法

该法的计算步骤如下： （ 1）对每行每列的运价 cij 分别计算两最小元素之差（取正值），将“行差”记于表右侧，“列差”记于表下端。 （ 2）在所有行差、列差中选一最大差额，若有几个同时最大，则任选其一。 （ 3）在最大差值所在行（列）中选一最小运价，若有几个同时最小，则任选其一确定供需关系和供应数量，然后画去其所在行（列），方法同最小元素法。 （ 4）重复上述步骤，但当只剩下最后一行（列）时，不再计算行差（列差），而直接按最小元素法分配运量，并画去相应的行（列）。 下面仍就例 3.1 加以具体说明。按作业表分别计算行差、列差得表 3.27 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量 行差

A1 6 3 2 5 5 1

1

A2 7 5 8 4 2 1

A3 3 2 9 7 3 1

销量 2 3 1 4

列差 3 1 6 1

表 3.27

从表 3.27 中可知，最大差额为 6 ，它位于第三列，该列的最小运价 c13=2 ，给它所在格内填写运量 x13=1 ，然后画去第三列，重新计算行差（列差没变），见表 3.28 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量 行差

A1 6 3 2 5 5 ， 4 1 ， 2

1

A2 7 5 8 4 2 1 ， 1

A3 3 2 9 7 3 1.1

销量 2 3 1 4

列差 3 1 6 1

表 3.28

从表 3.28 知，最大差额为 3 ，位于第一列，该列最小运价为 c31= 3 ，在（ 3 ，1）处填写运量 2 ，画去第一列，见表 3.29 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量 行差

A1 6 3 2 5 5 ， 4 1 ， 2 ，21

A2 7 5 8 4 2 1 ， 1 ，1

A3 3 2 9 7 3 ， 1 1.1 ， 5

销量 2 3 1 4

列差 3 1 6 1

表 3.29

继续下去，过程见表 3.30 和表 3.31 。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量 行差

A1 6 3 2 5 5 ， 4 1 ， 2 ，21

A2 7 5 8 4 2 1 ， 1 ，1

A3 3 2 9 7 3 ， 1 1.1 ， 5

2 1

销量 2 3 ， 2 1 4

列差 3 1 ， 2 6 1 ， 1

表 3.30

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量 行差

A1 6 2 3 2 5 5 ， 4 ，2

1 ， 2 ，21

A2 7 5 8 4 2 1 ， 1 ，1

A3 3 2 9 7 3 ， 1 1.1 ， 5

2 1

销量 2 3 ， 2 1 4

列差 3 1 ， 2 6 1 ， 1

表 3.31

表 3.32 中填数字的格代表初始基本可行解的六个基变量的取值： x12=2 ， x13=1 ， x14=2 ， x24=2 ， x31=2 ， x32=1 其余 xij=0 ，为非基变量，该方案对应的目标函数值 S=34 。

3.3.2 求出检验数，判别方案是否最优

确定初始方案后，就要对它进行最优性检验，即检验初始基本可行解对应的目标值是否达到最优。在表上作业法中，计算检验数的方法有闭回路法、位势法等。下面分别介绍这两种方法。

3.3.2.1 闭回路法

前面我们已经知道：所谓的闭回路，是指在已给定调运方案的运输表上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向左或向右转 90°（当然也可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，直到回到出发的那个空格。 可以证明：每一空格均对应唯一的一条闭回路，其中闭回路上除空格外其余拐角点均为基变量。 所谓闭回路法，就是在代表非基变量的空格（其调运量为零）对应的闭回路上作运量的调整，首先在此空格处运量加上 1 ，其次在闭回路的顶点上依次减 1 ，加1 ，减 1 ，…，最后我们计算出由于这些变化给整个运输方案的总运费带来的变化。

3.3.2.2 位势法

对一切 i 、 j 有 xij（ cij－ ui－ vj） = 0 因此，在 m＋ n－ 1 个基变量 {xij}处，应有 ui＋ vj=cij(3.2) 在非基变量处，应有 cij－ ui－ vj≥0(3.3) 首先，在基变量处， ui＋ vj=cij 等价于求 m＋ n－ 1 个方程、 m＋ n 个未知数的线性方程组的解。我们只要让其中的一个变量为自由未知变量，就可求出所有的 ui 和 vj 的值。其次，在非基变量处，我们可以计算出 λij=cij－ ui－ vj 的值。由松弛互补定理知，解 xij 是最优解的充分必要条件为 λij≥0（见式 3.2）。因此，我们将 λij=cij－ ui－ vj 定义为所有变量 xij 的检验数。 由式 3.2 知，基变量对应的检验数显然全为 0 ，因此，只需计算非基变量的检验数即可。这种计算检验数的方法就是位势法。 下面我们仍以例 3.1 中最小元素法求出的初始方案（见表 3.36）为例说明求解过程。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 2 5 5

2 0 1

A2 7 5 8 4 2

2

A3 3 2 9 7 3

3

销量 2 3 1 4

表 3.36

我们先给 u1 赋一个任意值 c ，即令 u1=c ，在基变量 xij处，有 ui+vj=cij ，即：在 x11处，有 u1+v1=c11 ，即 c+v1=6 ，求出 v1=6-c；在 x12处，有 u1+v2=c12 ，即 c+v2=3 ，求出 v2=3-c；在 x13处，有 u1+v3=c13 ，即 c+v3=2 ，求出 v3=2-c；在 x14处，有 u1+v4=c14 ，即 c+v4=5 ，求出 v4=5-c；在 x24处，有 u2+v4=c24 ，即 u2+5-c=4 ，求出 u2=-1+c；在 x32处，有 u3+v2=c32 ，即 u3+3-c=2 ，求出 u3=-1+c；

利用 u1 、 u2 、 u3 、 v1 、 v2 、 v3 、 v4 的值，再计算非基变量的检验数：λ21=c21-u2-v1=7-(-1+c)- (6-c)=2；λ22=c22-u2-v2=5-(-1+c)- (3-c)=3；λ23=c23-u2-v3=8-(-1+c)- (2-c)=7；λ31=c31-u3-v1=3-(-1+c)- (6-c)=-2；λ33=c33-u3-v3=9-(-1+c)- (2-c)=8；λ34=c34-u3-v4=7-(-1+c)- (5-c)=3；

从上述结果可知，非基变量的检验数与自由未知变量的取值（ u1=c）无关，所以在实际计算时，一般令 u1=0 ，同时，为了简化计算，将 u1 、 u2 、 u3 的值分别放在表 3.36 的右方，将 v1 、 v2 、 v3 、 v4 的值分别放在表 3.36 的上方（见表3.37），同时，可将产量所在列、销量所在行去掉。之后，先计算（ ui+vj）的值（称为位势表，见表 3.38），再计算 cij-(ui+vj) 的值（称为检验数表，见表 3.39），将检验数填入表 3.36 中，为了避免与基变量的取值混淆，检验数用括号括起来，由于基变量的检验数为零，所以不必写出。显然，用位势法求得的检验数与用闭回路法求得的检验数是一样的。 由于 λ31=-2 ，所以，该方案不是最优方案，需要调整。

销地产地

B1 B2 B3 B4

A1 6 3 2 2 5

2 0 1

A2 7 5 8 4

(2) (3) (7) 2

A3 (-2)

3 2 (8) 9 (3) 7

3

表 3.37v1=6 v2=3 v3=2 v4=5

u1=0

u2=-1

u3=-1

表 3.38 位势表 ui+vj

6 3 2 5

5 2 1 4

5 2 1 4

表 3.39 检验数表 cij-(ui+vj)

0 0 0 0

2 3 7 0

-2 0 8 3

3.3.3 方案的调整

当作业表中存在负检验数时，譬如表 3.36 中就存在一个负检验数 λ31=-2 ，若用闭回路法定义的检验数来解释，这表明若让 λ31对应的非基变量 x32 从零增加到1吨，可使总运费相应减少 200元，从而表明表 3.36 所示方案非最优。这时需要调整非最优方案，以求出另一个方案，使总运费减少。调整时仍采用闭回路法。 因为让 x32 从 0 增加到正值能使总运费减少，所以首先确定让 x32 入基。但是，究竟让 x32 增加多少呢？这就要看其闭回路了。故先按表 3.36画出 x32 的闭回路（见表 3.40）。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 2 5 5

2 0 1

A2 7 5 8 4 2

(2) (3) (7) 2

A3 3 2 9 7 3

(-2) 3 (8) (3)

销量 2 3 1 4

表 3.40

如前所述，若让 x32 从 0 增加到 θ ，这时为保持它所在行、列的运量仍分别与产、销量平衡，则在 x32 的闭回路上，所有偶点的值都要加 θ ，所有奇点的值都要减 θ ，但运量的值不能为负值，所以奇点的值不能减少到负值，因此入基变量的增加值 θ取决于奇点的值。另一方面，让一个非基变量入基，相应就要让一个基变量出基，也就是说，至少要有一个基变量从原有的值减少到 0 ，而这也只能从奇点中寻找。综上所述，应当在入基变量 x32 所在闭回路上的所有的奇点中选择数值最小的那个作为出基变量，并且取它的值作为调整量 θ ，即在偶点处应该增加奇点处应该减少的量。

由于表 3.40 所示 x32 的闭回路上，奇点中数值最小的是 x11=2 ，所以令 x11出基，取调整量 θ= 2 ，并让闭回路上所有偶点的值都加上 2 ，奇点的值都减去 2 ，这样就得到一个新的调整方案（见表 3.41）。其中出基变量 x11=0 ，不再标记 0 ，而留作空格，因为调整后它已经变为一个非基变量了。

销地产地

B1 B2 B3 B4 产量

A1 6 3 2 2 5 5

(2) 2 1

A2 7 5 8 4 2

(4) (3) (7) 2

A3 3 2 9 7 3

2 1 (8) (3)

销量 2 3 1 4

表 3.41

进一步求出表 3.41 中空格的检验数，由于所有检验数均为非负，因此从表 3.41可得到例 3.1 的最优解： x12=2 ， x13=1 ， x14=2 ， x24=2 ， x31=2 ， x32=1

即： A1煤矿运 200吨煤炭到地区 B2 ，运 100吨煤炭到地区 B3 ，运 200吨煤炭到地区 B4 ， A2煤矿运 200吨煤炭到地区 B4 ， A3煤矿运 200吨煤炭到地区 B1 ，运 100吨煤炭到地区 B2 。最少总费用为 S=3×2+2×1+5×2+4×2+3×2+2×1=34（百元）注意到表 3.41 所示最优方案与前面用 Vogel 法得出的初始方案（见表 3.32）完全一致。 下面给出闭回路法调整非最优方案的一般步骤。 （ 1）入基变量的确定 按 min{λij|λij<0}=λst确定 xst 入基。 若有多个 λst 同时最小，则选其中最小运价 min{cst}对应的那个变量入基；又若有多个这样的 cst 同时最小，则从中任选一个 cst对应的 xst 入基。 （ 2）出基变量的确定 在入基变量 xst 的闭回路上，按 θ=min{xij|xij 为奇点 }=xpq 确定 xpq 出基，同时也就确定 xpq 的值 θ 为调整量。 若有多个奇点 xpq 的值同时最小，则选其中最大运价 max{cpq} 所对应的那个 xpq 出基；又若有多个这样的 cpq 同时最大，则从中任选一个 cpq对应的 xpq 出基。 （ 3）非最优方案的调整 在入基变量 xst 的闭回路上，所有偶点的值都减去 θ ，所有奇点的值都加上 θ ，其他基变量的值不变，其中出基变量的格子留作空格，这样就得到一个新方案。下面举一个例题，完整地求出其解。

3.3.4 产销不平衡的运输问题

前面讲的表上作业法的计算与理论，都是以产销平衡，即

为前提的。但在实际问题中产销往往是不平衡的。为了应用表上作业法计算，就需要把产销不平衡的问题转化为产销平衡的问题。

n

j

m

i

bjai11

当产大于销 时，运输问题的数学模型的表格形式如表 3.48 所示。

n

j

m

i

bjai11

销地

产地

B1 B2 …… Bn 产量

A1 C1n C12 …… x1n C1n ≤ A1

x11 x12

A2 C21 C22 …… C2n ≤ A2

X21 x22 x2n

…… …… …… …… …… …… ………

Am Cm1 xm2 Cm2 … Cnm

≤ am

xm1 xnm

|| || ||

销量 b1 b2 ……

bn

表 3.48 表式运输模型

因为产量大，销量小，所以销地需求量都能满足，列约束为“ =” ，而产品不一定全部运出去，故行约束为“≤”。现在增加一个假想的销地（实际上是库存） Bn+

1,该

销地总销量为 , 由于是假想的销地，实际上没有调运，故其

单位运价为 ci,n+1=0 ，设运量为 xi,n+1(i=1,2,…,m) ，将其列入表 3.48 的 Bn列后，得表 3.49 。

m

i

n

jjin bab

1 11

销地

产地

B1 B2 …… Bn Bn+1 产量

A1 C1n C12 …… x1n C1n C1,n+

1

= A1

x11 x12X1,n+1

A2 C21 C22 …… C2n C2,n+

1

= A2

X21 x22 x2n X2,n+1

…… …… …… …… …… …… …… ………

Am Cm1 xm2 Cm2 … Cnm Cm,n+1 = am

xm1 xnm Xm,n+1

|| || || ||

销量 b1 b2 ……

bn Bn+1

表 3.49 加入虚销地的运输问题

由于虚设了销地 Bn+1 ，故行约束变为了“ =” ，注意到 x1,n+1+x2,n+1+…+xm,n+1=bn+1, 所以第 n+1 个列约束也变为“ =” 。这样表 3.49 就转 化为一个产销平衡的运输问题。我们可以按前面介绍的方法求解。 返回

知识归纳

1. 运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。

2. 一般表达式：

),,2,1;,,2,1(0

),,2,1(

),,2,1(

..

min

1

1

1 1

njmixij

njbx

miax

ts

xcS

m

ijij

n

jiij

m

i

n

jijij

表达式运输模型为如表 3.53 所示。

销地

产地

B1 B2 …… Bn 产量

A1 C1n C12 …… x1n C1n a1

x11 x12

A2 C21 C22 …… C2n a2

X21 x22 x2n

…… …… …… …… …… ………

Am Cm1 xm2 Cm2 … Cnm am

xm1 xnm

销量 b1 b2 ……

bn

表 3.53

3. 运输规划问题求解时，主要涉及到产销平衡与产销不平衡两种情况，即

为产销平衡， 为产销不平衡。产

销不平衡问题可以通过虚设收发点的方式将其转化为产销平衡的运输问题。 4. 运输规划问题一般采用表上作业法进行求解。表上作业法可分为三个基本步骤： （ 1）确定初始方案； （ 2）进行最优性检验； （ 3）调整、改进非最优方案。 确定初始方案的方法较多，有左上角法（又称西北角法或阶梯法）、最小元素法、最大差额法（又称 Vogel 法）等。 进行最优性检验的方法有：闭回路法、位势法等。 调整、改进非最优方案采用闭回路法。

m

i

n

jji ba

1 1

m

i

n

jji ba

1 1

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习题与思考题 3.1 判断下列表中给出的调运方案能否作为表上作业法求解的初始方案？为什么？

（ 1） 销地 运量产地

B1 B2 B3 B4 B5 产量

A1 25 25

A2 20 10 30

A3 20 20

A4 5 25 30

销量 20 20 30 10 25

表 3.54

（ 2） 表 3.55

销地 运量产地

B1 B2 B3 B4 B5 产量

A1 25 35 20 80

A2 30 10 40

A3 30 15 15 60

A4 20 20

销量 50 40 30 60 20

3.2 判断下列表格中哪些是闭回路，哪些不是。 （ 1） 表 3.56 （ 2） 表 3.57

B1 B2 B3 B4 B5

A1

A2

A3

B1 B2 B3

A1

A2

A3

3.3 表 3.58 给出了物资平衡和单位运价表，试求出最优解。

中点起点

B1 B2 B3 B4 供应量

A1

A2

A3

10 5 6 7

8 2 7 6

9 3 4 8

25

25

50

需求量 15 20 30 35 100

表 3.58

3.4 解下表所表述的运输问题 (注意：总供应量与总需求量不相等 )。

终点起点

1 2 3 4 供应量

1 7 9 12 5 100

2 6 8 15 5 150

3 12 6 9 7 120

4（虚拟）

0 0 0 0 30

需求量 100 100 100 100

表 3.59

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