LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số lượng giác: 2. Giá trị hàm số lượng giác của các cung đặc 5. Các cung liên quan đặc biệt Cung đối nhau: sin(- x) = - sinx cos(- x) = cosx tan(- x) = - tanx cot(- x) = - cotx Cung bù nhau: sin(- x) = sinx cos(- x) = - cosx tan(- x) = - tanx Chuyên đề: Phương trình lượng giác 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số
lượng giác:
2. Giá trị hàm số lượng giác của các
cung đặc biệt
5. Các cung liên quan đặc biệt
Cung đối nhau:
sin(- x) = - sinx
cos(- x) = cosx
tan(- x) = - tanx
cot(- x) = - cotx
Cung bù nhau:
sin( - x) = sinx
cos( - x) = - cosx
tan( - x) = - tanx
cot( - x) = - cotx
Cung phụ nhau:
sin(/2 - x) = cosx
cos( /2 - x) = sinx
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
1
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015
Cung
Hàm
sinx 1 0
cosx 1 -1
tgx 1||
0
cotgx || 1 ||
3. Công thức cộng
cos (a ± b) = cosacosb sinasinb
sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
4. Công thức nhân đôi, nhân ba
tan( /2 - x) = cotx
cot(/2 - x) = tanx
Cung hơn kém
sin(x ) = - sinx
cos(x ) = - cosx
tan(x ) = tanx
cot(x ) = cotx
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
t = (tham khảo)
7. Công thức biến đổi tích thành
tổng
8. Công thức biến đổi tổng thành
tích
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
2
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015
9. Một số công thức đặc biệt :
II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP1. Phương trình lượng giác cơ bản
Các phương trình đặc biệt
sinx = 0 x = k; sinx = -1 ; sinx = 1
cosx = 0 ; cosx = -1 ; cosx = 1 ;
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
3
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015
tgx = 0 x = k; tgx = -1 ; tgx = 1
cotgx =0 ; cotgx = -1 ; cotgx =1
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)
Phương pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c2 ≤ a2 + b2
Ta có: asinx + bcosx = c
sinx +
sinx + tgαcosx = (Với tgα = , - /2 < α < /2)
sinx + cosx =
sinxcosα + sinαcosx = cosα sin(x + α) = cosα (1)
Với điều kiện đầu bài ta được: cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2
Từ (1) ta được phương trình cơ bản:
* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt (với x ≠ + k2 )
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
4
sin(x + α) = sinβ
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Ta có: a.sinx + b.cosx = c
(b + c)t2 – 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t0, ta sẽ có phương trình
cơ bản:
Ta thử lại xem x = (2k +1) có là nghiệm phương trình không.
* Cách 3: Chia 2 vế cho và đặt
; ; ta đưa về dạng: sin(x + ) =
3. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
Các dạng phương trình:
asinx = b (acosx = b)
atgx = b (acotgx = b)
- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi
lượng giác cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên.
- Cách giải:
+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản
+ Chú ý: |sinu| 1, |cosu| 1
4. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
PT dạng: asin2x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)
Phương trình trở thành:
a.t2 + b.t + c = 0
Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản: Chuyên đề: Phương trình lượng giác
5
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015sinx = t0 (hay cosx = t0)
PT dạng: atg2x + btgx + c = 0 (hay acotg2x + bcotgx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Đặt t = tgx , t R (hay t = cotgx)
Phương trình trở thành:
a.t2 + b.t + c = 0
Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:
tgx = t0 hay (cotgx = t0)
Nhớ để tgx có nghĩa x ≠ /2 +k
5. Phương trình đẳng cấp: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = 0 (1)
Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = d 0
thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )
* Cách 1: Thay sin2x = ; sinx.cosx = ; cos2x = ; Ta
có: a. (1 – cos2x) + b. .sin2x + c. .(1+cos2x) = 0
b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)
Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)
* Cách 2:
Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:
bsinx.cosx +c.cos2x = 0
cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải.
Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:
x ≠ /2 + k cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:
a.tg2x + b.tgx + c = 0
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
6
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015 (Đã biết cách giải)
6. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = -
sinx.cosx = : Phương trình trở thành: bt2 + 2.a.t +2c – b = 0
Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình:
= t0 với
Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx – cosx = cách giải tương tự.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(PT LG cơ bản và PTLG thường gặp)Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
7
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Bài 3: Giải các phương trình sau:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos3x + sinx – sin3x = 0
2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x
3)
4)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 5sin2x – 4sinx – 1 = 0
2) cos2x – 3cosx – 4 = 0
3) 3tg2x – 3tgx - = 0
4) 4cotg2x =
5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x +
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
8
LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Bài 3: Giải các phương trình sau: