Top Banner
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
42

2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Jun 27, 2019

Download

Documents

vukhuong
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

2012. október 9 és 11.

Dr. Vincze Szilvia

Page 2: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai

I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények II. Transzcendens függvények Exponenciális és logaritmikus függvények Trigonometrikus és arcus függvények III. Egyéb nevezetes függvények Abszolútérték függvény Előljel- (vagy signum) függvény Egészrész és törtrész függvény

Page 3: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Algebrai függvények

Algebrai függvényeknek nevezzük az olyan függvényeket, amelyeket a négy alapművelet, a természetes kitevőjű hatványozás és a gyökvonás véges számú, egymást követő alkalmazásával adhatunk meg. A.) Azokat az algebrai függvényeket, amelyek képletében csak a négy alapművelet és az egész kitevőjű hatványozás fordul elő, racionális függvénynek nevezzük. B.) Két racionális függvény hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. C.) Irracionális függvényeknek nevezzük azokat az algebrai függvényeket, amelyek nem racionális függvények.

Page 4: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Algebrai függvények: racionális függvények

1.) Konstansfüggvény 2.) Elsőfokú vagy lineáris függvény 3.) Másodfokú függvény 4.) Hatványfüggvény

Page 5: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Az f matematikai függvényt konstans függvénynek nevezzük, ha az értelmezési tartomány minden elméhez az értékkészletnek ugyanazt az elemét rendeljük hozzá. Szokás nulladfokú függvénynek is nevezni.

Konstansfüggvény

f: R R, f(x) = c (c ∈ R)

Page 6: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Elsőfokú függvény

Egy, a valós számok halmazán értelmezett f függvény elsőfokú, ha van olyan a,b ∈ R, a ≠ 0, hogy f(x) = a ∙ x + b

a > 0

Page 7: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Az f matematikai függvényt lineáris függvénynek nevezzük, ha az nulladfokú, vagy elsőfokú. A hozzárendelés szabálya a következő alakban adható meg: f (x) = a ∙ x + b Ha a értéke 0, akkor konstans függvényről beszélünk, és a grafikonja párhuzamos lesz az x tengellyel. Minden más esetben metszi azt. A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes.

Lineáris függvények

Page 8: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Egy a valós számok halmazán értelmezett f függvény másodfokú, ha van olyan a,b,c ∈R, a≠0, hogy: f(x) = a ∙ x2 + b ∙ x + c.

Másodfokú függvény

Page 9: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Hatványfüggvény

f: R R, f(x) = xn (n ∈ N) függvényt hatványfüggvénynek nevezzük. A függvény képét az határozza meg, hogy az n páros vagy páratlan.

Page 10: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Algebrai függvények: irracionális függvény

1.) Az 1/x (hiperbola) 2.) Az 1/x2 függvény

Page 11: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Az f(x) = 1/x függvény

A legegyszerűbb törtfüggvény az f: R \ {0} R, f(x) = 1/x függvény.

Page 12: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Az f(x) = 1/x2 függvény

Page 13: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Algebrai függvények: racionális törtfüggvények

Négyzetgyökfüggvény f: R+ ∪ {0} R, f(x) = x1/2, x≥ 0.

Page 14: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Transzcendens függvények

Transzcendens függvényeknek a nem algebrai függvényeket nevezzük. 1.) Exponenciális és logaritmikus függvények 2.) Trigonometrikus függvények

Page 15: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Exponenciális függvény

Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Egy a valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton ƒ függvényt a-alapú exponenciális függvénynek nevezünk, ha f(x) = ax minden x racionális szám esetén. A grafikon az y-tengelyt a (0;1) pontban metszi.

Page 16: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Logaritmus függvény

Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely az a-alapú exponenciális függvény inverz függvénye alapú logaritmus függvénynek nevezzük, és f(x) = logax módon jelöljük. A grafikon az x-tengelyt az (1;0) pontban metszi.

Page 17: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Az ex és az lnx függvény

Page 18: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Trigonometrikus függvények

Azokat a függvényeket, amelyek az f(x) = sin x és g(x) = cos x függvényekből, valamint a valós számokból véges sok összeadás, kivonás, szorzás és osztás útján állíthatók elő, trigonometrikus függvényeknek nevezzük.

Page 19: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A sin x függvény

Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanennyi radián ívmértékű szög sinusát rendeli sinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=sin x módon jelöljük.

Page 20: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A sin x függvény és inverze

Page 21: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A cos x függvény

Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanennyi radián ívmértékű szög cosinusát rendeli cosinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=cos x módon jelöljük.

Page 22: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A cos x függvény és inverze

Page 23: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A tg x függvény

Azt a ]-π/2, π/2[ intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög tangensét rendeli tangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=tg x módon jelöljük.

Page 24: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A tg x függvény és inverze

Page 25: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A ctg x függvény

Azt a ]0, π[intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög cotangensét rendeli cotangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=ctg x módon jelöljük.

Page 26: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A ctg x függvény és inverze

Page 27: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Egyéb nevezetes függvények

1.) Abszolútérték függvény 2.) Signum (vagy előjel) függvény 3.) Egészrész függvény 4.) Törtrész függvény

Page 28: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Abszolút érték függvény

Az f : R R, függvényt abszolút érték függvénynek nevezzük.

Page 29: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Signum vagy előjel függvény

Az f : R R, függvényt signum vagy előjel függvénynek nevezzük.

Page 30: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Egészrész és törtrész függvény

1.) Egy x ∈ R szám egészrészének a nála nem nagyobb egész számok legnagyobbikát nevezzük. Jele: [x] 2.) Egy x ∈ R szám törtrészének az x - [x] számot hívjuk. 3.) Egészrész függvénynek az a: R R, a(x) = [x] függvényt, törtrész függvénynek t: R R, t(x) = x - [x] függvényt nevezzük.

Page 31: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Egészrész függvény

Page 32: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Törtrész függvény

Page 33: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Lineáris függvények konstans függvény elsőfokú függvény Nem lineáris függvény másodfokú függvény (parabola) négyzetgyökfüggvény abszolútérték-függvény 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény logaritmikus függvény trigonometrikus függvények

Függvénytípusok

Page 34: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

2011. október 9 és 11.

Dr. Vincze Szilvia

Page 35: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

A függvény ábrázolását legtöbbször megkönnyíti az, ha egyszerűbb függvények segítségével, több lépésen keresztül jutunk el a grafikonhoz. Ezt az eljárást függvény-transzformációnak nevezzük. Tegyük fel, hogy az f függvény grafikonját ismerjük a Descartes-féle koordináta rendszerben.

Page 36: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

1.) Eltolás az ordináta (y tengely) mentén

Legyen v rögzített valós szám. Az f + v, vagyis az x ↦ f(x) + v, x ∈ Df, függvény görbéje az f függvény görbéjének y irányú eltolásával nyerhető.

Page 37: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

Példa: Eltolás az ordináta (y tengely) mentén

Ábrázolja a következő függvényeket: f1 (x) = |x| - 3 f2 (x) = x2 + 1 f3 (x) = 2x + 1,5 f4 (x) = lnx - 2

Page 38: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

2.) Eltolás az abcissza (x tengely) mentén

Az x ↦ f (x+u), (x+u) ∈ Df függvény ábrája az f függvény ábrájának az x tengely irányú eltolásával adódik.

Page 39: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

3.) Abcisszatengelyre merőleges k-szoros nyújtás

A k ∙ f(x), vagyis az x ↦ k ∙ f(x), x ∈ Df, k > 0 függvény grafikonja az f függvény grafikonjának y irányú k-szoros nyújtásával kapható meg.

Page 40: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

4.) Az x tengelyre való tükrözés

A -f, vagyis az x ↦ -f(x), x ∈ Df függvény grafikonja az f függvény grafikonjának az x tengelyre vonatkozó tükörképe.

Page 41: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

5.) Az ordinátatengelyre merőleges d-szeres nyújtás vagy zsugorítás

Az x ↦ f (d∙x), d∙x ∈ Df függvény grafikonját az f függvény grafikonjának x-tengely irányú, az Y tengelytől számított 1/d-szeres változtatásával kapjuk. Ez 0 < d < 1 esetén nyújtást jelent, d > 1 esetén zsugorítást.

Page 42: 2012. október 9 és 11. - Üdvözöljük!portal.agr.unideb.hu/media/Elemi_fuggvenyek__fuggvenytranszformacio_2013_21886.pdf · 1/x függvény (hiperbola) exponenciális függvény

6.) Az y tengelyre való tükrözés

Az x ↦ f (-x),

-x ∈ Df függvény grafikonja az f függvény grafikonjának az y-tengelyre vonatkozó tükörképe.