Exponenciális szűrések

Exponenciális Exponenciális szűrésekszűrések

Exponenciális Exponenciális szűrésekszűrésekStatisztika II.Statisztika II.VEGTGAM22SVEGTGAM22S

Simító eljárások (exponenciális szűrés)

A simító eljárások a determinisztikus modellezésnél már jobban figyelembe veszik az idősor véletlen jellegét, belső összefüggéseit is.

Ugyanakkor a „valódi” sztochasztikus modellezésnél egyszerűbb, áttekinthetőbb modelleket állítanak fel. A véletlen hatását simítással (kiátlagolással) igyekeznek kisebbíteni, ezáltal a determinisztikus jelleget emelik ki.

Egyfajta „közbenső” pontosságú és komplexitású modell-családot alkotnak.

Ez a modell-család onnan kapta a nevét, hogy az idősor t-edik elemét a múltbeli elemek exponenciálisan csökkenő súlyokkal vett lineáris kombinációjával becsüli.

Az exponenciális szűrési eljárás keretében több különböző paraméter kombináció beállítása mellett kiszámoljuk a

EXPONENCIÁLIS SZŰRÉS

négyzetes eltérést, és azt a paraméter kombinációt választjuk ki,amely mellett ez az eltérés a legkisebb.

A képletben jelöli a modell becslését a t-edik időpillanatban.

Ez a paraméter azt azt jelzi, hogy a t időpillanathoz tartozómegfigyelés milyen mélységig függ az előző időpontbeli megfigyelésektől, azaz az idősor „emlékezetével” kapcsolatos. Ha = 1, akkor a legutolsó elem korrelálatlan az előző megfigyelésekkel, azaz az idősor emlékezetnélküli. Az = 0 esetén viszont az összes megelőző megfigyelés azonos erősséggel korrelál Xt-vel.

Akkor szerepel ez a paraméter, ha trenddel számolunk a modellben. Ha közel van 1-hez, a trendfüggvényben az Xt-közeli értékek

nagyobb súllyal lesznek figyelembe véve, 0-közeli érték esetén pedig mindegyik érték közel azonos súllyal szerepel a trendfüggvény kiszámításában.



Szezonalitási paraméter. 1 esetén a szezonalitást

leíró függvény előállításában az Xt-közeli értékek

nagyobb súllyal lesznek figyelembe véve, 0 érték esetén pedig mindegyik érték közel azonos súllyal szerepel a szezonalitási függvénykiszámításában.

A paraméter helyett használatos, amikor a trendfüggvény idővel lecseng. Ha 1 a trend lecsengése gyors,

0 esetén pedig lassú.

Az exponenciális szűrés lépései

• Először felállítjuk a dekompozíciós modellt:

.ttttt CITX

• Ezután beállítjuk a modell-komponensek t=0 időponthoz tartozó becsléseit:

0000 CITX

Innen adódik a nulladik hibatag, amivel majd a következő lépésben fogunk korrigálni:

000 XXe

• A korrekciót valamennyi modell-komponensre elvégezzük:

001 ,,, efTT T 001 ,,, efII I

001 ,,, efCC C

1111 CITX

111 XXe

Az exponenciális szűrés lépései

• A második hibatag a következő lépésben játszik majd szerepet a

t=2 időpontbeli becslések korrigálásakor stb. A képletben szereplő

CIT fff ,, korrekciós súlyfüggvények ,,, paraméterei a

legkisebb négyzetek módszerével úgy lesznek meghatározva, hogy a

2

0

N

ttt XXQ

négyzetes eltérés a lehető legkisebb legyen!

Példa exponenciális szűrésre

Az egyszeres simítás a legegyszerűbb modellekben az alábbi rekurzív

összefüggésekkel adható meg. A leírásban .10

00 XX

(pl.

N

ttt XX

NX

0

20 )(

1 ) 000 XXe

00000001 1 XXXXXeXX

11111112 1 XXXXXeXX

02

01 11 XXX

Példa exponenciális szűrésreFolytatva az eljárást, mindegyik időpontra adunk becslést:

11 1 ttt XXX

NtXX

XXXtt

ttt

,...,2,1,11

11

001

32

21

A fenti utolsó összefüggést tömörebben is felírhatjuk:

.11 01

1 XXX tit

t

i

it

Ha most egy pillanatra feltesszük, hogy az idősornak negatív irányban

végtelen a hosszúsága, akkor a fenti összefüggés az alábbi alakot veszi fel:

11

11i

itiiti

it XwXX 11 i

iw

1

1i

iw

, ahol

Megmutatható, hogy:

Az idősor t-edik eleme tehát a múltbeli elemek exponenciálisan csökkenő súlyokkal vett lineáris kombinációjával van megbecsülve! (Innen származik a módszer neve is.)

A következőkben ismertetjük az SPSS-ben az exponenciális szűrés (Exponential Smoothing: Custom Model) paranccsal megvalósítható illesztéseket. A leírásban megadjuk az illesztett modellt és a simítási eljárás rekurzív összefüggéseit is.

Nincs trend, nincs szezonális hatás (Trend Component: None, Seasonal Component: None)

Modell: teb

tX

Becslés:

N

tt

XN

XX1

10

~

0~

11,

10~

1~

XXeeXX

1~

22,

21~

2~

XXeeXX

1~

,1

~~

tX

tX

te

te

tX

tX

Nincs trend, additív szezonális hatás van (Trend Component: None, Seasonal Component: Additive)

Modell: t

et

Ibt

X

0,

1,...,

2,

1II

pI

pI adott szezonális ismétlődések,

ip

pij pj

X

im

1 p hosszú szakasz átlagok, i=1,…, k,

p

Nk

Becslés:

Nincs trend, additív szezonális hatás van (Trend Component: None, Seasonal Component: Additive)

0~

11,

100~

,10

XXep

ISXk

k

ii

m

S

,1

~22

,111

~,

11

21,

101XXeISXe

pIIeSS

,2

~33

,222

~,

21

32,

212XXeISXe

pIIeSS

t

Xt

Xt

et

It

St

Xt

ept

It

It

et

St

S~

11,

~,1

1,

1

Nincs trend, multiplikatív szezonális hatás van(Trend Component: None, Seasonal Component: Multiplicative)

Modell: te

tIb

tX

0,

1,...,

2,

1II

pI

pI adott szezonális ismétlődések,

ip

pij pj

X

im

1 p hosszú szakasz átlagok, i=1,…, k,

p

Nk

Nincs trend, multiplikatív szezonális hatás van(Trend Component: None, Seasonal Component: Multiplicative)

0~

11,

100~

,10

XXep

ISXk

k

ii

m

S

1

~22

,211

~,

1

1111

,1

101

XXep

ISXS

e

pII

pI

eSS

t

Xt

Xt

ept

It

St

Xt

St

e

ptI

tI

ptI

te

tS

tS

~11

,1

~,1,

1

Becslés:

Lineáris trend, nincs szezonális hatás(Trend Component: Linear, Seasonal Component: None)

Modell: tetbb

tX

10

Becslések:

0~

11,

000~

,02

110

,1

00

XXeTSXTXSn

Xn

XT

1~

22,

111~

,101

,1001

XXeTSXeSTeTSS

Lineáris trend, additív szezonális hatás(Trend Component: Linear, Seasonal Component: Additive)

Modell: te

tItbb

tX

10

Becslések:

0~

11,

1000~

,0210

,)1(

00

XXep

ITSXTp

XSpk

mk

mT

1

~22

,2111

~,

11

11,

101,

1001XXe

pITSXe

pIIeTTeTSS

Stb.

Exponenciális trend, additív szezonális hatás(Trend Component: Exponential, Seasonal Component: Additive)

Modell: t

et

Itbbt

X 10

Becslés:

0

~11

,1000

~,

0ln

22

1lnexp

0,

11

ln2

lnexp

0XXe

pITSXT

pmS

k

mmT

1

~22

,2111

~,

11

11,

0

101

,1001

XXep

ITSXep

IIS

eTTeTSS

Stb.

Idővel gyengülő trend, nincs szezonális hatás(Trend Component: Damped, Seasonal Component: None)

Modell: tetbb

tX

10

Becslés:

0~

11,

000~

,02

110

,)1(

10

XXeTSXTXST

XT

XT

1~

22,

111~

,101

,1001

XXeTSXeTTeTSS

Stb.

Idővel gyengülő trend, additív szezonális hatás(Trend Component: Damped, Seasonal Component: Additive)

Modell: te

tItbb

tX

10

Becslés:

0~

11,

1000~

,0210

,)1(

10

XXep

ITSXTp

mSpk

Xk

XT

1~

22,

2111~

,1

2111

,1

101

,1

2001

XXep

ITSXep

II

eTTeTSS

Nyomtatók napi energia-felvételét tartalmazó idősor elemzése

A Trends chapter 4.sav állományban egy cég számítógépes nyomtatóinak napi energia-felvételei vannak rögzítve:


Az ábra megszemléléséből az alábbi következtetések vonhatók le: A soron nem érzékelhető trendhatás, az értékek véletlenszerűen szóródnak az átlagérték körül. Nem lehet kizárni a szezonális hatást, hiszen napi adatokról van szó. Elképzelhető, hogy 7, 30 vagy 365 hosszúságú ciklusok vannak a sorban, azaz számolni lehet heti, havi vagy esetleg éves ciklussal. Az idősornak van emlékezete olyan értelemben, hogy mindegyik érték közel van az őt közvetlenül megelőző értékekhez. Ezt a jelenséget a matematikában úgy lehet kifejezni, hogy pozitív autókorrelációt várunk.


Hajtsunk végre exponenciális szűrést (simítást) a

Analyze / Forecasting / Create Models

Paranccsal!

Először próbálkozzunk a Simple beállítással, amikor is sem trendet, sem szezonális hatást nem tételezünk fel.

Dependent variable: amount, Method: Exponential Smoothing, Criteria: Model Type Nonseasonal: Simple.

A Statistics és Plots füleknél a megadott összes lehetőség fakkját pipáljuk ki: , (OK).


Az paraméterre (ebben a modellben ez az egyetlen paraméter) a becslés 0,802-re adódott. Ez azt jelenti, hogy az Xt érték becsléséhez a hozzá közeli értékeket, tehát Xt-1 Xt-2-őt kell a legnagyobb súllyal figyelembe venni a becslő sor előállításakor.

A hibatagok ACF és PACF értékeire egy grafikont is kapunk, amiről leolvasható, hogy az értékek a tűréshatáron belül esnek.



Az eredeti és a becsült idősorok együttes ábrája a konfidencia sávval együtt:

Ellenőrizzük le a maradéksort is!


Látható, hogy sem trend, sem szezonális hatás nem érzékelhető, vagyis megszemlélés alapján fehérzajnak látszik. A normalitást ellenőrző P-P grafikon pontjai gyakorlatilag az átló mentén helyezkednek el,


Alkalmazzuk előrejelzésre a modellünket! Az =0,802 beállítás mellett, a 150-180 napokra kérjünk előrejelzést! Ehhez még egyszer le kell futtatni a modellt, de most a következő plusz beállításokat is tegyük meg: Save/Variables Predicted values, Options: First case after end of estimation period through a specified date, Date: observation 180.

Ennek hatására keletkezik egy új változó (neve: Predicted_amount_Model_1), ami a modell előrelelzett értékeit tartalmazza, de az esetszám nem 149 lesz, hanem 180.

Rajzoltassuk ki az eredeti (amount) és az előre jelzett (Predicted_amount_Model_1) idősorokat a Analyze/Forecasting/Sequence Charts… paranccsal:


Látható, hogy a jövőre vonatkozó előrejelzés egy konstans, hiszen a modellünkben sem trend, sem szezonális hatás nem szerepelt. Az alkalmazott modellben a becsült idősor lényegében az analizált idősor két nappal előre történő eltoltja lett. A maradéksor szórása elég jelentős (kb. kétharmada az eredeti sor szórásának), ami arra utal, hogy a becslés még nem magyarázza elég jól a jelenséget, azaz a predikció nem tűnik elég megbízhatónak.

Exponenciális szűrések

Documents