2 FUNGSI TRANSENDEN - · PDF fileTeorema 1. Jika a, b > 0, dan r bilangan rasional, maka a. ln 1 = 0 b. ... Perhatikan bahwa, nilai turunan dari invers fungsi f dapat ditentukan tanpa

1 | Kalkulus II Blog: aswhat.wordpress.com Email: [email protected]

2 FUNGSI TRANSENDEN

Fungsi transenden atau fungsi non-aljabar adalah fungsi yang tidak dapat

dinyatakan dalam sejumlah berhingga operasi aljabar. Fungsi transenden yang

biasa dijumpai dalam hal ini terdiri dari fungsi eksponensial, fungsi logaritmik,

fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik. Dalam pembahasan selanjutnya, akan

diuraikan satu persatu mulai dari defenisi, invers, sampai integral dari masing-

masing fungsi transenden tersebut.

2.1. Fungsi Logaritma Natural

Fungsi pertama yang dibahas adalah fungsi logaritma natural atau biasa juga

disebut dengan logaritma asli. Perhatikan Defenisi 1 berikut:

Definisi 1

Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

1

1( ) ln , 0

x

f x x dt xt

Daerah asal fungsi logaritma natural adalah himpunan bilangan real positif. ∎

Perhatikan Gambar 1 berikut yang menunjukkan arti geometri dari ln x.


1

1Luas ( ), 1

x

R dt f x xt

1

1

1Luas (1) 0R dt f

t

1

1

1Luas

1( ), 0 1

x

x

R dtt

dt f x xt

Gambar 1. Bentuk geometri ln x

Jika diketahui f (x) = ln x, maka turunannya adalah

1'( ) , 0f x x

x (1)

Dengan notasi lain, dapat ditulis sebagai berikut:

1ln , 0

dx x

dx x (2)

Secara umum, misalkan u = f (x) > 0. Dengan menggunakan aturan rantai,

maka apabila f dapat didiferensialkan, maka diperoleh

1ln

d du u

dx u dx (3)

Teorema 1.

Jika a, b > 0, dan r bilangan rasional, maka

a. ln 1 = 0

b. ln ab = ln a + ln b

c. ln a/b = ln a – ln b

d. ln ar = r ln a.

Bukti:

a. 1

1

1ln1 0dt

t (berdasarkan definisi 1).


b. Berdasarkan Persamaan (1), maka

1 1ln( ) ln

d dax a x

dx ax x dx

Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga

ln (ax) = ln x + C

Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka ln a = C, sehingga

ln (ax) = ln x + ln a

Selanjutnya, untuk x = b, maka diperoleh

ln (ab) = ln b + ln a = ln a + ln b. (terbukti)

c. Dari (b), ambil a = 1/b, maka

1 1ln ln ln ln1 0b b

b b

Jadi, 1

ln ln bb

Dengan menggunakan (b) diperoleh:

1 1ln ln ln ln ln ln

aa a a b

b b b

d. Dengan cara yang sama seperti bagian b, maka diperoleh

11 1ln( ) ln ( ln )r r

r

d r d dx rx r r x r x

dx x x dx dxx

Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga

ln xr = r ln x + C

Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka diperoleh C = 0. Ini berarti bahwa

ln xr = r ln x

hasilnya ekivalen dengan ln ar = r ln a. (terbukti). ∎

Contoh 1.

Tentukan turunan dari

a. ln x

b. ln(x2 – x – 2)

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b),

maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C, untuk semua x dalam (a,b).


c. 1

ln1

x

x

Penyelesaian:

a. misalkan 1/2u x x , maka

1/2 1/2 1/2

1/2 1/2

1 1 1 1ln .

2 2

d dx x x

dx dx xx x

Bagian b dan c ditinggalkan sebagai latihan. ∎

Misalkan f (x) = ln |x|, maka 1

ln , 0d

x xdx x

. Untuk menunjukkan hal ini,

ditinjau dua kasus.

(1). Apabila x > 0, |x| = x, maka 1

ln lnd d

x xdx dx x

(2). Apabila x < 0, |x| = -x, maka 1 1 1

ln ln( ) ( ) ( 1)d d d

x x xdx dx x dx x x

Aibat dari bentuk turunan itu, ada rumus pengintegralannya, akibatnya

diperoleh:

1ln | | , 0dx x C x

x (4)

Secara umum, untuk suatu fungsi u, maka diperloeh

1ln | | , 0du u C u

u (5)

Contoh 2.

Hitunglah

a. 5

2 7dx

x

b. 3

110

xdx

x

Penyelesaian:

a. Misalkan 2 7u x . Jadi, du = 2 dx. Sehingga


5

2

5 5 1 5 12

2 7 2 2 7 2

5 5ln | | ln | 2 7 |

27 2dx

x

dx dx dux x u

u C x C

b. Bagian b ditinggalkan sebagai latihan. ∎

Daerah domain ln x adalah himpunan bilangan real positif. Jadi grafik y = ln x

terletak di sebelah kanan sumbu y (yaitu dengan x > 0). Perhatikan Gambar 2

berikut:

Gambar 2. Grafik fungsi f (x) = y = ln x.

2.2. Invers Fungsi dan Turunannya

Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk mengecek apakah suatu fungsi

memiliki invers atau tidak adalah dengan melihat apakah fungsi f tersebut

merupakan monoton murni pada daerah asalanya atau tidak. Suatu fungsi f

memiliki invers apabila f monoton murni pada daerah asalnya. Suatu fungsi f

dikatakan monoton murni pada interval I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Contoh 4.

Buktikan bahwa f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers.

Penyelesaian:

Untuk f (x) = x5 + 2x + 1, maka f ’(x) = 5x

4 + 2 > 0 untuk semua x.

Artinya, f naik pada seluruh himpunan bilangan real.

Jadi, fungsi f (x) = x5

+ 2x + 1 memiliki invers. ∎


Perhatikan bahwa, Contoh 4 hanya menunjukkan apakh suatu fungsi memiliki

invers atau tidak. Untuk menentukan fungsi inversnya itu sendiri, maka akan

digunakan Persamaan 6 berikut:

x = f -1

(y) jika dan hanya jika y = f (x) (6)

Contoh 5.

Buktikan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers. Kemudian tentukan invers

fungsinya.

Penyelesaian:

f (x) = 2x + 6 maka f ’(x) = 2 > 0 untuk semua x. Artinya, f monoton murni.

Sehingga f (x) = 2x + 6 memiliki invers.

Selanjutnya,

y = 2x + 6 ⇔ 2x = y – 6 6

2

yx

1 16 6

( ) ( )2 2

y xf y f x

Jadi, fungsi invers dari f (x) = 2x + 6 adalah 1 6( )

2

xf x

. ∎

Misalkan f dapat diturunkan dan monoton murni pada selang I. apabila f ’(x)

≠ 0 pada sesuatu x dalam I, maka f -1

dapat diturunkan di titik y = f (x) pada daerah

hasil f dan berlaku

1 1'( )

'( )f y

f x

(7)

Contoh 6.

Misalkan y = f (x) = x5 + 2x + 1. Maka 1

4

1 1'( )

'( ) 5 2f y

f x x

.

Perhatikan bahwa, nilai turunan dari invers fungsi f dapat ditentukan tanpa harus

terlebih dahulu diketahui nilai dari invers fungsi tersebut. ∎


2.3. Fungsi Eksponen Natural

Fungsi eksponen natural merupakan invers dari fungsi logaritma natural.

Perhatikan Defenisi 2 berikut:

Definisi 2

Invers ln disebut fungsi eksponen natural dan ditulis sebagai exp, yaitu

y = ex ⇔ x = ln y ∎

Berdasarkan Defenisi 2, diperoleh

(1). x = exp (ln x), untuk x > 0 (8)

(2). y = ln (exp y), untuk y ∈ R. (9)

Exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, sehingga grafik y = exp x adalah

grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. Perhatikan Gambar 3

berikut:

Gambar 3. Grafik fungsi logaritma natural dan eksponen natural.

Definisi 3

Bilangan e adalah bilangan real positif yang memenuhi ln e = 1. ∎

Berdasarkan Defenisi 3, karena ln e = 1 maka diperoleh e = exp 1. Bilangan e

biasa disebut dengan bilangan euler yang nilainya e ≈ 2,7182818.


Selanjutnya, perhatikan kembali Teorema 1(d), Persamaan (8), dan Defenisi 3

untuk menunjukkan exp r = er.

exp r = exp (r.1)

= exp (r ln e)

= exp (ln er)

= er

Jadi, secara identik diperoleh exp r = er, untuk r suatu rasional. Jika batasan

tersebut diperluas untuk semua bilangan (billangan rasional maupun irasional),

katakanlah x, maka diperoleh

ex = exp x (10)

Berdasarkan Persamaan (10), maka Persamaan (8) dan Persamaan (9) ditulis

kembali menjadi

(1). x = eln x

, untuk x > 0 (8)

(2). y = ln (ey), untuk y ∈ R (9)

Teorema 2.

Misalkan a, b ∈ R. Maka

a. e0 = 1.

b. ea . e

b = e

a + b

c. ea / e

b = e

a – b

d. (ea)b = e

ab

Bukti:

a. Karena ln 1 = 0, maka e0 = 1.

b. exp(ln )a b a be e e e

exp(ln ln )aa b bee e e

exp( )a be a be

ba abe e e

c. Bagian c dan d ditinggalkan sebagai latihan ∎


Ingat kembali bahwa exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers

sehingga fungsi exp x = ex dapat diturunkan.

y = ex ⇔ x = ln y, untuk y > 0 dan x ∈ R

dari sini, diperoleh

1dx

dy y

Selanjutnya:

1 1'

1xdy

y y edxdx

ydy

Dengan demikian, turunan fungsi eksponen natural ex adalah e

x juga. Secara

umum, jika u = f (x) dapat diturunkan, maka

u ud de e u

dx dx (10)

Contoh 7.

Tentukan turunan terhadap x dari y = xe

Penyelesaian:

Misalkan u x , maka

1 21'

2 2

xx xd e

y e x e xdx x

∎

Berdasarkan Persamaan (10), maka x xe dx e C . Secara umum jika x

diganti dengan u, maka diperoleh:

u ue du e C (11)

Contoh 8.

Tentukan 4xe dx

Penyelesaian:


Misalkan u = -4x, maka 4du

dx atau du = -4dx. Sehingga:

4 4 41 1 1 14

4 4 4 4

x x u u xe dx e dx e du e C e C ∎

2.4. Fungsi Eksponen Umum dan Fungsi Logaritma Umum

Pada sub bab sebelumnya, telah ditunjukkan bagaimana penyelesaian untuk

suatu eksponensial dengan pangkat rasional dan irasional. Dengan menggunakan

relasi berikut:

ar = exp (ln a

r) = exp (r ln a) = e

r ln a (12)

akan coba didefenisikan suatu bentuk eksponen dengan bilangan dasar yang

bukan e, katakanlah ax untuk suatu a > 0 dan x merupakan sebarang bilangan real.

Perhatikan Definisi 4 berikut,

Definisi 4

Untuk a > 0 dan x bilangan real sebarang, maka ax = e

x ln a. ∎

Berdasarkan Definisi 2, maka diperoleh

lnln( ) ln( ) lnx x aa e x a (13)

Persamaan 13 memperbaiki batasan yang berlaku pada Teorema 1(d) yang tidak

hanya berlaku pada bilangan rasional saja melainkan dapat diperluas untuk

sebarang bilangan real x. Perluasan batasan ini dibutuhkan untuk membuktikan

sifat-sifat bilangan berpangkat ax.

Teorema 3.

Apabila a > 0, b > 0, x dan y bilangan real, maka berlaku:

a. axa

y = a

x + y

b. x

x y

y

aa

a

c. (ax)y = a

xy

d. (ab)x = a

xb

x


e.

x x

x

a a

b b

Bukti:

Akan dibuktikan bagian (b) dan (c) saja. Sementara yang lain akan ditinggalkan

sebagai latihan.

b. ln

ln ln ( ) ln

ln

x x ax a y a x y a x y

y y a

a ee e a

a a

c. ln lnxyx y a xy a xya e e a ∎

Teorema 4.

lnx xda a a

dx

Bukti:

ln ln ln lnx x a x a xd d da e e x a a a

dx dx dx ∎

Secara umum, untuk x = u, maka

lnu ud da a a u

dx dx

Akibatnya diperoleh

, 0, 1ln

uu a

a du C a aa

Contoh 9.

Tentukan 3 xd

dx

Penyelesaian

Dengan memisalkan u = x , maka diperoleh

1

21 1 3 ln 3

3 3 ln3 3 ln3 3 ln32 2 2

xx x x xd d

x xdx dx x x

∎


Definisi 5.

Andaikan a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = a

log x ⇔ jika x = a y. ∎

Pada umumnya suatu logaritma biasa menggunakan angka 10 sebagai

bilangan pokoknya. Namun, dalam matematika lebih lanjut, angka 10 tersebut

diganti dengan bilangan e sebagai bilangan pokoknya. Perhatikan bahwa:

elog x = ln x (14)

Misalkan y = a log x, maka x = a

y, sehingga

ln x = y ln a (15)

Sehingga, dari Persamaan (15) dapat disimpulkan bahwa

lnlog

ln

a xx

a , dengan a > 0 dan a ≠ 1. (16)

Selanjutnya, bentuk turunan dari Persamaan (16) adalah:

1

logln

adx

dx x a (17)

Contoh 10.

Jika y = log (x4 + 13), tentukanlah turunannya terhadap x.

Penyelesaian:

34 3

4 4

1 4log 13 4

13 ln10 13 ln10

d xx x

dx x x

. ∎

2 FUNGSI TRANSENDEN - · PDF fileTeorema 1. Jika a, b > 0, dan r bilangan rasional, maka a. ln 1 = 0 b. ... Perhatikan bahwa, nilai turunan dari invers fungsi f dapat ditentukan tanpa

Documents