INTEGRAL TAK TENTU Fungsi integral tak tentu dari f(x) diberi notasi: sehingga Rumus Dasar:
INTEGRAL TAK TENTU
Fungsi integral tak tentu dari f(x) diberi notasi: sehingga
Rumus Dasar:
I. Integral dari suatu fungsi linier dalam x
Fungsi linier (5x – 4 ) 6 diintegralkan. mirip dengan dengan x diganti (5x – 4 ). Dimisalkan
z = 5x – 4 integralnya menjadi , .
Maka integralnya menjadi
Contoh :
mirip dengan . Sehingga =
Jadi Integral suatu fungsi linier dalam x hasilnya masih mengikuti kaidah “pangkat” tetapi masih harus dibagi lagi dengan koefisien dari x.
II. Integral dalam bentuk
Contoh : missal z = x2 +3x – 5
.
Integralnya menjadi .
Jadi bentuk menjadi .
III. Integral dalam bentuk . Contoh : dx fungsi yg satu merupakan koefisien deferensial dari fungsi yg satunya.
dx , missal u = tan x .
Jadi Integral bentuk menjadi du.
IV. Integral suatu perkalian – integral perbagian (parsial).
Cara ini adalah dengan mengubah bentuk integral
dv = uv - du.Contoh : dx.Pilih u dan dv. Misal u = x2 dan dv = ln x, maka harus mendapatkan v dengan mengintegralkan ln x. Padahal dx tidak terdapat dalam integral baku (dasar).
Maka pilih u = ln x dan dv = x2 v = = .
Jadi dx = ln x dx
= dx
=
= .
Catatan :
Jika salah satu faktornya berbentuk log / ln, maka log/ln ini yg menjadi u. Jika tidak ada factor loh/ln nya , x (berpangkat) yg menjadi u.
Contoh : dx. u = x2
dv = e3x v = .
Jadi dx = x2 . dx
= dx . u = x
dv = e3x v =
=
=
=
=
Catatan : Jika tidak ada fungsi log/ln maupun fungsi x (berpangkat), maka fungsi
eksponensial yg menjadi u. Contoh :
dx. u = e3x du = 3e3x dx.
dv = sin x v = dx = - cos x.
dx = uv - du. = e3x (- cos x) + dx.
= - e3x cos x + 3 dx. u = e3x du = 3e3x dx.
dv = cos x v = dx = sin x. = - e3x cos x + 3 dx.
= - e3x cos x + 3 dx. bentuk semulaTernyata kembali ke bentuk semula.Dimisalkan A = dx.
Maka A = - e3x cos x + 3 e3x sin x – 9A. 10 A = - e3x cos x + 3 e3x sin x = e3x ( 3 sin x – cos x) + c.
A =
Contoh:
1.
2.3.
4.
Soal- soal Latihan
Tentukan dari
1.
2.
3.
4.
5.
6.7.
8.
9.
10.11.12.13.14.
Tentukan:
15.
16.
17.18.19.
20.
21.
FUNGSI TRANSENDEN
Fungsi Logaritma NaturalFungsi logaritma natural, ditulis sbg ln, didefinisikan dengan:
Domainnya adalah himpunan bilangan riil positif
jika x>1, ln x = luas R jika x<1, ln x = - luas R
Turunan Logaritma Natural
maka
Atau dengan aturan rantai, jika , maka
Contoh
Tentukan dari
a) b) c)
Berdasarkan rumus
diperoleh
Jika x diganti variabel u diperoleh:
Contoh:
1. Tentukan
2. Tentukan
Sifat Logaritma Natural
Apabila a dan b bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional maka:
(i) ln 1=0(ii) ln ab = ln a+ln b
(iii)
(iv)
Pendifferensialan Logaritma
Digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang menyangkut hasil bagi, hasil kali dan pemangkatan.
Contoh:
1. Tentukan dari
2. Tentukan dari
Grafik Logaritma Natural
Daerah definisi ln x adalah himpunan bilangan riil positif, sehingga grafik terletak di sebelah kanan sumbu y.
dengan
Soal latihan
Tentukan jika:
1.2.3.4.
5.
6.
7.
8.
9.
Hitunglah integral-integral berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nyatakan bentuk-bentuk berikut sebagai satu logaritma:
1.
2.
3.4.
Gambar grafik persamaan berikut:1.
2.
3.4.
Hitung x dari:
FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA
Fungsi yang mempunyai invers: (korespondensi satu-satu)
Fungsi yang tidak mempunyai invers:
Teorema :Apabila monoton murni (naik/turun) pada daerah asalnya, maka memiliki invers.
Contoh: Buktikan bahwa memiliki invers.Penyelesaian: sehingga fungsi monoton naik pada seluruh himpunan x, jadi memiliki invers
Membatasi daerah asal fungsi
Contoh:1. tidak mempunyai invers
agar mempunyai invers maka daerah asal dibatasi hanya pada
2. tidak mempunyai invers
agar mempunyai invers maka daerah asal dibatasi hanya pada
Apabila memiliki invers maka juga memiliki invers, yaitu . Jadi dapat dikatakan bahwa dan merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan:
Langkah-langkah menemukan fungsi invers:Langkah 1: Nyatakanlah x dengan y dari persamaan Langkah 2: Nyatakanlah bentuk dalam y yang telah ditentukan tersebut sebagai Langkah 3: Gantilah y dengan x dan x dengan y, sehingga diperoleh
Contoh :
Tentukan jika
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
Turunan Fungsi Invers
atau
Contoh:Tentukan jika
Soal-soal Latihan:Buktikan bahwa f memiliki invers dengan membuktikan bahwa f monoton murni.1.2.
3.
4.5.
6.
Tentukan
1.
2.
3.4.
5.
6.
7.8.9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Batasilah daerah asal f, agar f memiliki invers, kemudian tentukan . (Gambarlah f terlebih dahulu.)1.2.
Tentukan dari1.2.3.
FUNGSI EKSPONEN ASLI
Definisi:Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sbg exp, yaitu:
Dari definisi di atas diperoleh:(i) . (ii)
Bilangan e adalah bil. riil positif yang bersifat
Jika a dan b rasional, maka:
Turunan dan integralnya
Contoh:
Tentukan jika:
1.2.
3. Jika , tentukan di mana f naik dan f turun. Tentukan juga interval f cembung/cekung. Tentukan pula titik minimum/maksimum.
4. Hitung 5. Hitung
LatihanSederhanakan bentuk-bentuk berikut:1.2.3.4.5.6.7.8.
Tentukan dari:
9.10.11.12.13.14.15.16.17.
18.
19.20.
Tentukan interval grafik naik/turun, interval di mana grafik cembung/cekung, tentukan nilai ekstrimnya dan buatlah sketsa grafiknya:
21.22.23.24.
Hitung integral berikut:
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33. Buktikan bahwa
turun untuk x>0
FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN LOGARITMA UMUMDefinisi:Untuk a>0 dan x bilangan riil:
Teorema AApabila a>0, b>0, x dan y bilangan riil, maka:
(i)
(ii)
(iii)(iv)
(v)
Teorema B
Contoh:
Tentukan dari:
1.2.
3. Hitung
Fungsi loga
Merupakan fungsi logaritma dgn bilangan dasar a
Definisi: Jika a bilangan positif dan , maka
Catatan :
Contoh : Tentukan dari
Latihan:
Tentukan dari
1.2.3.4.5.6.7.8.9.
10.11.12.13.14.15.
Hitunglah x
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.8.
Hitunglah9.10.
11.
12.
Hitunglah dari
1.2.
Tentukan fungsi invers dari
buktikan terlebih dahulu bahwa f(x) memiliki invers.
FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSFungi invers sinus dan kosinus
Contoh:Hitung
1.
2.
3.
4.
INVERS TANGEN
LatihanHitunglah:
1.
2.
3.
4.
Untuk soal nomor 5 – 10 nyatakan dengan x sebagai fungsi invers trigonometri arc sin, arc cos, arc tg.5.
6.
7.
8.
9.
10.
Hitunglah:
11.12.13.14.15.
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERS FS TRIGONOMETRI
RUMUS INTEGRAL
Contoh:
Hitunglah dari:
1.
2.3.
Latihan
Tentukan dari:
1.2.3.
4.
5.6.7.8.9.
10.
11.12.13.14.15.16.17.18.
19.
20.
Tentukan integral dari21.22.23.24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Fungsi Sinus Hiperbolik , Cosinus Hiperbolik didefinisikan sbb:
Kesamaan dasar
Grafik:
Turunan Fungsi Hiperbolik