VECTORES
Un vector es una herramienta geomtrica utilizada para
representar una magnitud fsica definida por su mdulo (o longitud),
su direccin (u orientacin) y su sentido (que distingue el origen
del extremo).Los vectores se pueden representar geomtricamente como
segmentos de recta dirigidos (flechas) en el plano o en el
espacio.Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con
que se desplaza un mvil, ya que no queda definida tan slo por su
mdulo (lo que marca el velocmetro, en el caso de un automvil), sino
que se requiere indicar la direccin hacia la que se dirige. La
fuerza que acta sobre un objeto, ya que su efecto depende, adems de
su intensidad o mdulo, de la direccin en la que opera. El
desplazamiento de un objeto. Notacion:
BIDIMENSIONAL
TRIDIMENSIONAL
ELEMENTOS DE UN VECTOR:
La direccin del vector.- Es la direccin de la recta que contiene
al vector o de cualquier recta paralela a ella.Sentido de un
vector.- El sentido del vector es el que va desde el origen A al
extremo B.Punto de aplicacin: Es el punto sobre el cual se supone
acta el vector.Mdulo de un vector.- El mdulo del vector es la
longitud del segmento AB, se representa por . El mdulo de un vector
es un nmero siempre positivo o cero
Mdulo de un vector a partir de sus componentes
Mdulo a partir de las coordenadas de los puntos
CLASIFICACIONLIBRES.- El conjunto de todos los vectores
equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores
libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.
COPLANARES.- Cuando las rectas que lo contienen estn en un mismo
plano.
PARALELOS.- Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si
las rectas que las contienen son paralelas.
CONCURRENTES.- Los vectores concurrentes tienen el mismo
origen.
UNITARIOS.- Los vectores unitarios tienen de mdulo, la unidad.
Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que
el vectordado se divide ste por su mdulo.
EjemploSi es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector
unitario de su misma direccin y sentido.
OPERACIONES VECTORIALES
Suma y resta de vectoresLa suma de dos vectores libres es otro
vector libre que se determina de la siguiente forma:Se sita el
punto de aplicacin de uno de ellos sobre el extremo del otro; el
vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del
primero y su extremo en el extremo del segundo.Por tanto, el vector
suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la
"saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores
que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos
vectores.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le
denomina resultante.A. SUMA DE VECTORESLa suma de los vectores
podemos realizarla de dos maneras diferentes, analtica y
grficamente.METODO GRAFICO:a) Mtodo del paralelogramo.- Este mtodo
permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer
grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos
coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los
vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando as
un paralelogramo (ver grfico a la derecha). El resultado de la suma
es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen comn de
ambos vectores.
b) Mtodo del polgono.- Consiste en disponer grficamente un
vector a continuacin de otro; es decir, el origen de cada uno de
los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector
resultante es aqul que nace en el origen del primer vector y
termina en el extremo del ltimo.
METODO ANALITICO:1. Para calcular la resultante entre dos
vectores F1 y F2 debemos encontrar uno de los tres lados de un
tringulo oblicuo, cuyos lados conocidos son F1 y F2. .
2. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en cuenta que en el
triangulo oblicuo el ngulo formado por los dos vectores es .
3. Para calcular el ngulo que forma la resultante con respecto a
la horizontal, aplicamos la ley de los senos:
B. PRODUCTO DE VECTORES
A) Producto escalar.- El producto interior o producto escalar de
dos vectores a y b en el espacio tridimensional se escribe a b y se
define comoa b = |a| |b| cos cuando a 0, b 0
a b = 0cuando a = 0 o b = 0
Aqu g (0 g P ) es el ngulo entre a y b (calculado cuando los
vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes).
El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un nmero
real) y esto motiva el trmino producto escalar. El coseno del ngulo
g puede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al
producto interior.
B) Producto vectorial.- Varias aplicaciones sugieren la
introduccin de otro tipo de multiplicacin vectorial en la que el
producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este producto
vectorial de los dos vectores a y b se escribe.a x b
y es un vector definido como sigue.Si a y b tienen la misma
direccin, son opuestos o uno de ellos es el vector cero, entonces
su producto vectorial es cero (v=0). En cualquier otro caso, v es
el vector cuya longitud es igual al rea del paralelogramo con a y b
como lados adyacentes y cuya direccin es perpendicular tanto a a
como a b y es tal que a, b, v, en ese orden, forman una terna
derecha o triada derecha.
INTERPRETACIONES GRAFICAS rea de un tringulo
Ejemplo
Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1,
1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).
rea del paralelogramo
Geomtricamente, el mdulo del producto vectorial de dos vectores
coincide con el rea del paralelogramo que tiene por lados a esos
vectores.
EjemploDados los vectores y , hallar el rea del paralelogramo
que tiene por lados los vectores y
VOLUMEN Volumen de un tetraedroEl volumen de un tetraedro es
igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.
EjemploObtener el volumen del tetraedro cuyos vrtices son los
puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).
Volumen del paraleleppedoGeomtricamente, el valor absoluto del
producto mixto representa el volumen del paraleleppedo cuyas
aristas son tres vectores que concurren en un mismo
vrtice.EjemploHallar el volumen del paraleleppedo formado por los
vectores:
PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTROProyectar un vector sobre otro
es encontrar el vector que tiene la misma direccin que el vector
que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que
se proyecta:
Es como una sombra:
El vector A se esta proyectando sobre B y el resultado es el
vector verde.
El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por
un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequea que el vector
que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la
proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo,
no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene
la misma direccion............................Proy AB= n B Y a qu
es igual ese numero n? vamos a considerar el triangulo rectangulo
que forman el vector proyeccion, el vector proyectado (A) y la
linea punteada.El vector proyeccion (verde) es el cateto adyacente,
el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto
opuesto del angulo (t) que forman A y la proyeccion. La magnitud
del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el
coseno del angulo.
| Proy AB | = |A| cos t
Pero de la definicion de producto punto tenemos que
El producto punto de dos vectores A y B escrito como A.B es
definido geomtricamente como el producto de sus magnitudes y el
coseno del angulo entre ellos, el resultado es un
escalar.A.B=|A||B| cos tO lo que es igual: A.B = |A| cos t|B|
Sustituyendo esto en la ecuacion que define la proyeccion nos
queda:
| Proy AB | = A.B .......................|B|
EJERCICIOS DE APLICACIN
1. Si tienes los vectores AB y CD paralelos; las coordenadas de
A= (-2; 2; 0) y C= (5; 0; 3);adems D= 2B; se pide hallar el Seno
del ngulo que forman CB y AD.
Solucin: (Analia Escudero)
1. Por definicion de producto vectorial se sabe:
Si AB // CD AB . CD = 0( B A ) . ( D C ) = 0
1. Por propiedad distributiva:
( B A ) . D ( B A ) . C = 0C . ( B A ) = D . ( B A ) C . B C . A
= D . B D . A
1. Por dato:
D = 2BC . B C . A = 2B . B 2B . A
C . B ( 6; 6; 10) = 0 2( 2z; 2z; 2x + 2y( 3y; -5z; -3x; 5y) +
(4z; 4z; 4x + 4y) = ( 6; 6; 10 )
3y + 4z = 6-3x z = 64x + 9y =10B = (-2; 2; 0)D = (-4; -4; 0)
x = -2 ; y = 2 ; z = 0
Ahora: | CB . AD | = | CB || AD | Sen x
Sen x = CB . AD = 172 CB . AD 62 . 22
Sen x = 0,50 = 35,45Rpta: El Seno del ngulo es 0,58 ^ 35,45
2. En la figura se muestra 2 fuerzas actuando sobre un punto de
un gancho. Hallar los angulos directores; coordenada de F2 tal que
la resultante actu a lo largo del eje positivo y y tenga una
magnitud de 500N. (Analia Escudero) z
F2 = ?120
x
60
45F1 = 400N
y
Solucin: Datos: | R | = 800N en el eje positivo y Ry = F1 + F2
(1) 1. Hallando F1 :Cos = F1x F1x = | F1 |. Cos F1x = 200|F1| .Cos
= F1y F1y = | F1 |. Cos F1y = 282,84|F1| .Cos = F1z F1z = | F1 |.
Cos F1z = -200|F1| .F1 = (200; 282,84; -200)
1. Hallando R en forma vectorial : R = 800j
2. Ahora reemplazamos en (1) : 800j = 200i + 282,84j 200k + F2
F2 = -200i + 517,16j + 200k = (-200; 517,16; 200)|F2| = (-200)2 +
(517,16)2 + (200)2 = 589,45
3. Hallando los ngulos directores :Cos = F2x = -200 = -0,33929
|F2| 589,45 = arccos (-0,33929) = 109,834Cos = F2y = 517,16 =
0,8774 |F2| 589,45 = arccos (0,8774) = 28,67Cos = F2z = 200 =
0,33929 |F2| 589,45 = arccos (0,33929) = 70,17
3. Referente a la figura escribir la expresin vectorial para A y
B (Karen Tenorio)
4. La torre est sostenida por tres cables, si las fuerzas en
cada cable son las mostradas. determino la magnitud y los ngulos
coordenado de direccin de la fuerza resultante, considere x=20 m e
y=15 m. (Karen Tenorio)
RESOLUCIN:1. ---------- ecuacin principal1. Hallando : 1.
Hallando : 1. Hallando : 1. Hallando los ngulos directores de la
resultante: . .... .
5. De los vectores A Y B. Si se conoce: A = 2i + 3j ; A B = -23K
; A.B =-2. Calcular la expresin vectorial de B. (Milagros
Quispe)
ResolucinI) SEAN LAS EXPRESIONESA = 2i + 3jB = Xi + YjDE LOS
DATOS:A . B = -2( 2i + 3j ) . ( Xi + Yj ) = -22X +3Y = -2. (1)
A B = -23 K( 2i + 3j ) ( Xi + Yj ) = -23K2YK +3XK = -23K( 2Y -
3X ) K = -23 K( 2Y - 3X ) = -233X 2Y = 23. (2)
RESOLVIENDO (1) Y (2)
2X +3Y = -2 (2) 4X + 6Y = -43X 2Y = 23. (3) 9X 6Y = 69 13X =65 X
= 5
HALLANDO Y EN (1)2(5) + 3Y = -23Y = -12Y = -4
RESPUESTA:
B = 5i - 4j
6. El vector A = i + 2j -3k , multiplicado por B da P = -7i + j
3k; el producto escalar A.B da resultado 19. Hallar el vector B.
(Milagros Quispe)
ResolucinSEA:A = i + 2j 3KB = Xi + Yj + ZkA . B = 19( i + 2j 3k
) . ( Xi + Yj + Zk ) =19X + 2Y 3Z = 19 ..(1)A X B = - 7i + j 3ki j
k1 2 -3 = ( 2Z + 3Y )i - (Z + 3X) j + ( Y 2X)k X Y Z
( 2Z + 3Y )i ( Z + 3X ) j + ( Y 2X ) k = -7i + j 3k 2Z + 3Y = -7
Z + 3X = 1 Y 2X = -3 Z = -3x 1 Y = 2X 3
REEMPLAZANDO: Y , Z EN (1)X + 2(2X 3) 3(-3X 1) = 19X + 4X 6 + 9X
+ 3 = 1914X = 22X = 11/7
Y = 2 (11/7) 3 = 22/7 3 = 1/7Z = -3(11/7) 1 = -33/7 1 =
-40/7
RESPUESTA:B = 11/7 i + 1/7 j 40/7 k
7. Sabiendo que el modulo del vector AC es de 3500. Calcular
vectorialmente los mdulos de los vectores AB y AD para que la
resultante sea vertical.(Virginia Canales)
Resolucin Sean los vectores:A = xi + yj + zkB = ni + mj + wkI) A
+ B = 5i + j + 3k (x + n)i + (y + m)j + (z + w)k = 5i + j + 3k x +
n = 5 y + m = 1 z + w = 3 n = 5 - xy= 1 m z = 3 - w
II) A x B = 10i - j + 17k
i j k x y z = (y.w z.m)i - (x.w z.n)j + (x.m y.n)k = -10i - j +
17k
n m wy.w z.m = -10 x.w z.n = -1 x.m - y.n = 17
III) A . B = - 4
(xi + yj + zk)( ni + mj + wk ) = - 4 x.n + y.m + z.w = - 4
(1)
En la ecuacin: En la ecuacin: En la ecuacin:y.w z.m = -10z + w =
3y + m = 1(1-m)w (3 w)m = -10z + (3m 10) = 3y = 1 - m
w-mw-3m+mw = -10 z = 13 3m
w = 3m - 10
En la ecuacin:En la ecuacin: x.w z.n = 1x + n = 5 x.(3m 10) (13
3m)(5 x) = 1n = 5 - x 3mx 10x (65 13x 15m + 3mx) = 1n = 5- (22 5m)
3mx 10x 65 + 13x +15m 3mx = 1n = 5m - 17
3x + 15m = 66 x + 5m = 22
x = 22 5m
Reemplazando en (1) : x.n + y.m + z.w = - 4 (22 5m)(5m 17) + (1
m)m + (13 3m)(3m 10) = - 4 110m 374 25m + 85m + m - m + 39m -130 9m
+ 30m = - 4 -35m + 265m 500 = 0 7m - 53m + 100 = 0 7m -25 m-4m =
25/7 m = 4Hallando x , y , z , n y w: X = 22 5(4) x = 2 y = 1 4 y =
-3 z = 13 3(4) z = 1 n = 5(4) 17 n = 3 w = 3(4) 10 w = 2Entonces
dichos vectores seran:A = 2 i - 3 j + kB = 3 i + 4 j + 2 k
8. Sabiendo que el modulo del vector AC es de 3500. Calcular
vectorialmente los mdulos de los vectores AB y AD para que la
resultante sea vertical. (Virginia Canales)
YA24m
D 8m C 12m o18m6mX Z 8m B
ResolucinDatos:A = (0, 24, 0)B = (8, 0, 6)C = (8, 0, -12)D =
(-18, 0, 0)
AC = 3500F = AB + AC + ADI) Hallamos los componentes de cada
vector:AB = AB x (UAB ) AB = AB 8i-24j-6k 26
AB = AB(4/13i -12/13j +3/13k)
AC = 3 5008i-24j-12k 28
AC = 1000i 3000j -1500k
AD = AD -18i-24j+0k 30
AD = AD(-3/5i-4/5j)
II) FR E al eje y Fx = 0 y Fz = 0
Eje x : 4/13AB + 1000 3/5AD = 0Eje z: 3/13AB 1500 + 0 = 0
(4/13)6500 + 1000 = 3/5AD3/13AB = 1500 2 000 + 1000 = 3/5AD AB =
6500 3 000x5 = AD 3AD = 5 000
Respuesta:AB = 6500 AD = 5000
9. El vector a es perpendicular al eje Y y al vector b= (-3; 8;
4), y forma un ngulo obtuso con el eje Z. Hallar los componentes
del vector a sabiendo que su modulo es 15u. (Pablo Arteaga)
a1ZB (-3; 8; 4) j: VECTOR UNITARIO DEL EJE Y = 15 -Y j (0; 1;
0)
X SOLUCION: a2 a= (K.j) x b a=K.n ; n=j x b a=K. (4; 0; 3) n=
(0; 1; 0) x (-3; 8; 4) =. n=i - j + k 15=. 5 n= (4.1-8.0)i (0-0)j +
(8.0+ 3)k =3 n=4i+3k n= (4; 0; 3) K1=+3 K2=-3 Pero como el vector
forma un ngulo obtuso: 90