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Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina
Guzmn
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CAPTULO 1. LAS ECUACIONES DEMAXWELL Y ONDAS
ELECTROMAGNTICAS
INTRODUCCIN Qu tienen en comn la luz, las ondas de radio, las
microondas, y los rayos X? Todos son formas de ondas
electromagnticas. Juntos representan una gama enorme de fenmenos
que son muy importantes en nuestro mundo tecnolgico moderno. La
prediccin de la existencia de ondas electromagnticas y una
descripcin de su naturaleza primero fue publicada por James Clerk
Maxwell en 1865. Maxwell era un fsico terico enormemente talentoso
que hizo contribuciones importantes en muchas reas de la fsica
incluyendo electromagnetismo, termodinmica, la teora cintica de
gases, la visin de color, y la astronoma. l es el ms conocido, sin
embargo, por su tratado sobre campos elctricos y magnticos, que
hemos mencionado ya. Su descripcin de ondas electromagnticas, con
una prediccin de su velocidad, es solamente una parte de su trabajo
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL Cuando la corriente no es
constante, la ley de Ampere no es vlida. Podemos ver por qu es as
considerando la carga de un condensador.
Consideremos la curva C. De acuerdo con la ley de Ampere, la
integral curvilnea del campo magntico a lo largo de esta curva es
igual a 0 multiplicado por la corriente total que atraviesa una
superficie cualquiera limitada por dicha curva Esta superficie no
es necesario que sea plana. Se indican en la figura dos superficies
limitadas por la curva C. La corriente a travs de la superficie 1
es I. No existe ninguna corriente a travs de la superficie 2 puesto
que la carga est detenida en la placa del condensador. As pues
existe una ambigedad en la frase corriente a travs de una
superficie cualquiera limitada por la curva. Sin embargo, en el
caso de corrientes constantes, la carga no se almacena en ningn
punto y se tiene siempre la misma corriente sin que importe la
superficie que escojamos. Maxwell se dio cuenta de esta falla de la
ley de Ampere y demostr que la ley poda generalizarse para incluir
todos los casos si la corriente I de la ecuacin se sustitua por la
suma de la verdadera corriente I y otro trmino dI denominado
corriente de desplazamiento de Maxwell. La corriente de
desplazamiento se define por
dtdI Ed= 0 , en donde E es el flujo de
campo elctrico. La forma generalizada de la ley de Ampere es
entonces
( )dt
dIIIdB Ed+=+= 0000 l
Podemos comprender la generalizacin de la ley de Ampere
considerando nuevamente la figura anterior. Denominemos a la suma
dII + corriente generalizada. De acuerdo con nuestros razonamientos
anteriores la misma corriente generalizada debe cruzar cualquier
rea limitada por la curva C. As pues no puede existir ninguna
corriente generalizada que entre o que salga del volumen cerrado.
Si existe una verdadera corriente neta I que entra en el volumen,
deber existir una corriente de desplazamiento igual dI que salga
del volumen. En el volumen de la figura existe una corriente
verdadera neta I que entra en el volumen la cual aumenta la carga
dentro del mismo:
dtdQI =
El flujo de campo elctrico fuera del volumen est relacionado con
la carga por la ley de Gauss:
0fuera neto
QdSnEE == El aumento de carga por unidad de tiempo resulta ser
as proporcional al aumento del flujo neto por unidad de tiempo
fuera del volumen:
dtdQ
dtd E = fuera neto 0
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La figura anterior muestra las superficies S1 y S2 que encierran
una placa de un condensador. En este caso todo el flujo del campo
elctrico atraviesa S2. El campo elctrico entre las placas est
relacionado con la carga por
AQE00
== Siendo A el rea de las placas. El flujo a travs de S2 es
0QEAE ==
La corriente de desplazamiento que atraviesa S2 es
dtdQ
dtdI Ed == 0
Que es igual a la verdadera corriente que atraviesa S1. Una
caracterstica significativa de la generalizacin de Maxwell consiste
en que un campo magntico resulta ser producido por un campo
elctrico variable lo mismo que por corrientes elctricas verdaderas.
No hay ninguna duda de que Maxwell fue inducido a obtener esta
generalizacin por el resultado recproco de que se produce un campo
elctrico mediante un flujo magntico variable lo mismo que por
cargas elctricas. Este ltimo resultado, conocido como ley de
Faraday, precedi a la generalizacin de Maxwell. Ejemplo 1. En una
regin cilndrica del espacio de radio R un campo elctrico est
variando en funcin del tiempo, determine la direccin y magnitud del
campo magntico inducido para r < R. Solucin. De la ecuacin
dSndtEd
dtddB E 0000 ==
l
tenemos que:
dtddB E= 00l
De donde:
dSndtEddB 00 =
l Integrando para r
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Estas ecuaciones establecen que el flujo elctrico total a travs
de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada
por la superficie dividida por . Lo que implica con un anlisis
posterior que las lneas de campo elctrico se originan en cargas
positivas y terminan en cargas negativas (Existen fuentes y
sumideros).
2. Ley de gauss para campo magntico (B )
0= ldB lo que corresponde a:
0= B Esto implica que el flujo magntico a travs de una
superficie cerrada es cero, es decir, el nmero de lneas de campo
magntico que entran a la superficie es igual al nmero de ellas que
salen. Esto significa que en la naturaleza NO existen monopolos
magnticos, slo existen dipolos magnticos. 3. Ley de Faraday
(Induccin Electromagntica) La Ley de Faraday explica cmo un flujo
campo magntico variable en el tiempo puede inducir en un circuito
una corriente elctrica cuya fuerza electromotriz viene dada
por:
dtd B=
En su forma integral se puede expresar como:
dtddE B= l
y en su forma diferencial:
dtBdE
= establece que el rotacional del campo elctrico inducido por un
campo magntico variable es igual a menos la derivada parcial del
campo magntico con respecto al tiempo. 4. Ley generalizada de
Ampere - Maxwell Fue Maxwell, quien modific la Ley de Ampere
introducindole la corriente de desplazamiento que fue una de sus
mayores contribuciones a la electricidad y magnetismo, la corriente
de desplazamiento se debe precisamente a la variacin del campo
elctrico en funcin del tiempo, es decir, que la ecuacin de Ampere
generalizada se escribe de la siguiente forma:
dIIdB 00 += l , donde dtdI Ed = 0
Por lo tanto, la ecuacin anterior la podemos expresar como:
dtdIdB E+= 000 l , que se conoce
como Ley de Ampere-Maxwell. Luego de algunas reducciones, se
puede expresar esta ley en su forma diferencial:
tEJB
+=
000
ONDAS ELECTROMAGNTICAS Qu es una onda electromagntica? Para
entender las ondas electromagnticas, necesitamos repasar los
conceptos de campo elctrico y de campo magntico. Ambos campos
pueden ser producidos por partculas cargadas. El movimiento de la
carga genera un campo magntico, pero un campo elctrico est presente
aun sin movimiento de la carga. Estos campos son una caracterstica
del espacio alrededor de las cargas y son tiles para predecir las
fuerzas en otras cargas, esto ya fue discutido anteriormente.
Suponga que la carga est fluyendo hacia arriba y hacia abajo en dos
alambres conectados a una fuente de corriente alterna, como en la
figura siguiente.
Si la direccin de la corriente cambia lo suficientemente rpido,
una corriente alterna fluye en este dispositivo aun cuando parece
ser un circuito abierto. La carga de un signo comenzar a acumularse
en los alambres, pero antes de que la carga acumulada sea demasiado
grande, la corriente se invierte, la carga regresa, y carga de
signo opuesto comienza a acumularse. Tenemos as una cantidad de
carga cambiante y una corriente elctrica cambiante en los alambres.
Los campos magnticos generados por este dispositivo se pueden
representar por lneas circulares de campo con centro en los
alambres. Este campo, no obstante est cambiando constantemente en
magnitud y direccin como los cambios de la corriente. Por la ley
de
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Faraday, Maxwell saba que un campo magntico que cambia generara
un voltaje en un circuito cuyo plano es perpendicular a las lneas
del campo magntico. Un voltaje implica un campo elctrico, aun en
ausencia de un circuito, un campo magntico cambiante generar un
campo elctrico en cualquier momento en el espacio en el cual el
campo magntico est cambiando. As, esperamos que un campo elctrico
cambiante sea generado por el campo magntico cambiante, segn la ley
de Faraday. Maxwell consider simetra en el comportamiento de los
campos elctricos y magnticos: un campo elctrico cambiante tambin
genera un campo magntico. Maxwell predijo este fenmeno en sus
ecuaciones que describan el comportamiento de campos elctricos y
magnticos. Las mediciones experimentales confirmaron su existencia.
Maxwell se dio cuenta que una onda que implicaba estos campos se
podra propagar a travs del espacio. Un campo magntico cambiante
produce un campo elctrico cambiante, que, a su vez produce un campo
magntico cambiante, y as sucesivamente. En el vaco, el proceso
puede producirse indefinidamente y afectar partculas cargadas a
distancias mucho mayores de la fuente que podra estar con campos
estticos generados por corrientes o cargas no cambiantes. As es cmo
se produce una onda electromagntica. Los alambres en la figura
anterior sirven como antena transmisora para las ondas. Se puede
utilizar una segunda antena para detectar las ondas. Aunque Maxwell
predijo la existencia de tales ondas en 1865, el primer experimento
para producirlas y para detectarlas con circuitos elctricos fue
realizado por Heinrich Hertz (1857 - 1894) en 1888. Las antenas
originales de Hertz eran lazos circulares del alambre en vez de los
alambres rectos, pero l tambin utiliz alambres rectos trabajos
posteriores. l poda detectar una onda producida por el circuito
fuente con otro circuito a una distancia considerable de la fuente.
Hertz descubri las ondas radiales haciendo estos experimentos.
La figura anterior muestra la naturaleza de ondas
electromagnticas simples. Si el campo
magntico est en plano horizontal, como en la figura, el campo
elctrico generado por el campo magntico cambiante est en la
direccin vertical. Estos dos campos son perpendiculares entre si, y
son tambin perpendiculares a la direccin del recorrido alejados de
la antena fuente. Las ondas electromagnticas son por lo tanto ondas
transversales. Las magnitudes de los campos elctrico y magntico se
representan aqu sinusoidalmente y en fase el uno con el otro, pero
patrones son tambin posibles ms complejos. Como los otros tipos de
ondas que hemos estudiado el patrn sinusoidal de la onda se mueve.
La figura muestra las magnitudes y las direcciones en un instante
de tiempo y a lo largo de solo una lnea en espacio. La misma clase
de variacin ocurre en todas las direcciones perpendiculares a la
antena. Como el patrn sinusoidal se mueve, los valores del campo en
todo momento en del espacio aumentan y la disminuyen
alternativamente. Mientras los campos pasan por cero, cambian la
direccin y comienzan a aumentar en la direccin opuesta. Estos
cambios coordinados de los campos elctrico y magntico componen la
onda electromagntica. Maxwell demostr que las ondas
electromagnticas (propagndose a lo largo de una direccin x) en el
espacio libre se describiran por medio de las siguientes
ecuaciones:
2
2
002
2
tE
xE
=
, 22
002
2
tB
xB
=
Ecuacin de onda para yE
=
tE
txE yy
002
2
= 22
00 tE y
+
Comparando esta ecuacin con la ecuacin de la
onda ( ) ( )2,
2
22,
2 1ty
vxy txtx
=
, vemos que yE
obedece a una ecuacin de onda para unas ondas con velocidad
00
1=v
Tomando los valores ms acertados de 0 y de 0 se encuentra que
esta es precisamente la
velocidad de la luz en el espacio libre. As pues, hemos
demostrado que tanto el campo elctrico E como el magntico B
obedecen a una ecuacin de onda para las ondas que se mueven con
velocidad que es la velocidad de la luz.
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En cualquier caso, el campo elctrico y el campo magntico son
perpendiculares al eje x, direccin de propagacin. Como hemos visto,
las ondas electromagnticas son transversales. Para mayor sencillez,
hemos supuesto que el campo elctrico tiene direccin y. Esto
equivale a seleccionar una polarizacin particular para la onda
transversal. Una vez hecha esta seleccin ya no podemos escoger
libremente la direccin del campo magntico. Ejemplo 2. a) Cunto
tiempo tarda la luz en viajar de la Luna a la Tierra, una distancia
de 384000 km? b) La luz de la estrella Sirio tarda 8,61 aos luz en
llegar a la Tierra. Cul es la distancia a Sirio? Solucin.
a) cdt = = 8
8
1000,31084,3
= s28,1
b) El tiempo de viaje de la luz: 8,61 aos =
)hora1()s3600(
)dia1()horas24(
)ao1()dias365()aos61,8(
= 2,72 x 108 s ( )( )88 102,72100,3 == ctd = 8,16x1016 m =
8,16x1013 km Ejemplo 3. Cul del siguiente es una afirmacin
verdadera? A) Todas las ondas electromagnticas viajan a la misma
velocidad en vaco. B) La luz aumenta su velocidad cuando se mueve
desde el aire al agua. C) Algunas ondas electromagnticas tienen
carga elctrica. D) En el vaco las ondas electromagnticas de alta
frecuencia viajan a una velocidad ms alta que las ondas
electromagnticas de baja frecuencia. E) Los electrones son una
clase de onda electromagntica. Solucin. (A) Todas las ondas
electromagnticas viajan a la misma velocidad en vaco.
fc sm103 8 ==
Ejemplo 4. Fantasmas en el televisor. En una imagen de
televisin, se ven imgenes fantasma cuando la seal de la transmisora
viaja el receptor tanto directa como indirectamente, luego de
reflejarse en un edificio o alguna otra masa metlica grande. En un
televisor de 25 pulgadas, el fantasma aparece aproximadamente
1,0 cm a la derecha de la imagen principal si la seal reflejada
llega 0.60 s despus de la seal principal. En este caso, cul es la
diferencia de longitud entre las trayectorias de las dos seales?
Solucin.
tcd = = (3,0x108)(6,0x10-7) = 180 m Ejemplo 5. Una onda
electromagntica sinusoidal con una frecuencia de 6,10x1014 Hz viaja
en un vaco en la direccin + z. El campo B es paralelo al eje de las
y y tiene una amplitud de 5,80x10-4 T. Escriba las ecuaciones
vectoriales de ( )tzE ,
y ( )tzB ,
. Solucin.
( ) jt)kzBtzB cos(, mx = = jt
czfB 2cosmx
( )tzB , = jtz
)1000.3()1010,6(2cos)1080,5( 8
144
)()( kcj(z,t)Bz,tE y =
)(z,tE
=( ) ( )itz 1083,31028,1cos1074,1 1575 Ejemplo 6. Una onda
electromagntica con una frecuencia de 38,0 MHz y una longitud de
onda de 6,15 m viaja en un material aislante con mk muy cercana a
la unidad. a) Cul es la rapidez de propagacin de la onda? b) Cul es
la constante dielctrica del material aislante a esta frecuencia?
Solucin. a) fv = = )m15,6)(1080,3( 7 = sm1034,2 8 b)
( )( )28
28
2
2
1034,2100,3==
vckE = 1,64
VECTOR POYNTING. El vector que nos da la direccin y la magnitud
de la rapidez del flujo de energa electromagntica por unidad de rea
en un punto del espacio, es llamado vector Poynting y se define por
la siguiente ecuacin:
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6
= BES0
1
A partir de esta figura puede observarse que la
direccin de es paralela al vector BE
propagacin en direccin x en este caso. El
vector 0 BE
se conoce como vector Poynting
(en honor de John H. Poynting):
0
= BES El vector Poynting en el sistema MKS, est dado en unidades
de W/m2. INTENSIDAD DE LA ONDA. A continuacin demostraremos que su
valor medio es igual a la intensidad de la onda electromagntica. En
nuestro estudio del transporte de energa por ondas cualquier tipo,
veamos que la intensidad (energa media por unidad de rea y unidad
de tiempo) era, en general, igual al producto de la densidad de
energa (energa por unidad de volumen) por la velocidad de la onda.
La energa por unidad de volumen asociada con un campo elctrico E
es
202
1 EuE = En el caso de la onda armnica dada por la ecuacin (
)tkxEE yy = sen0 tenemos
( )tkxEuE = sen21 2
00
Por sencillez en la notacin se han suprimido los subndices de
las componentes y y z La energa por unidad de volumen asociada con
un campo magntico B es
0
2
2BuB =
Segn las ecuaciones ( )tkxEkB zz = sen0 = ( )tkxBz sen0
tenemos
( ) ( )tkxc
EtkxBuB ==2
20
20
0
20 sen
2sen
2
Pero como 00
2 1=c
( )tkxEuB = 2200 sen21
y vemos que son iguales las densidades de energa elctrica y
magntica. La energa electromagntica total por unidad de volumen
es
( ) ( )tkxc
EtkxEuuu BE ==+=2
20
2022
00 sensen
La energa por unidad de tiempo y por unidad de rea es el
producto de esta energa por la velocidad c:
( )tkxc
Euc =2
0
20 sen
= ( )[ ] ( )
tkxc
EtkxE sensen 0
00
= SEB =0
La intensidad en un punto cualquiera x es el valor medio
temporal de la energa por unidad de tiempo y por unidad de rea. A
partir de la
ecuacin ( )tkxc
Eu =2
20
20 sen vemos que la
densidad de energa es proporcional a ( )tkx 2sen . El valor
medio de esta cantidad en uno o ms ciclos es 1/2. Luego, la
densidad de
energa media vale 20
20
2 cEuB = , y la intensidad
es
cEcuI B
0
20
2== = 222 000 rmsrms BEBE =
= BS Donde
20EErms = es el valor medio cuadrtico de E y
20BBrms = es el valor medio cuadrtico de B.
POTENCIA INSTANTNEA. El mdulo o valor del vector Poynting es la
potencia instantnea por unidad de rea. La velocidad con la cual
fluye energa electromagntica a travs de una superficie cualquiera
es el flujo del vector de Poynting a travs de la misma:
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dAnBEdAnSP 0
==
En donde P es la potencia que atraviesa el rea y
0
= BES es el vector Poynting. La potencia neta radiada por
cualquier volumen es el flujo neto del vector de Poynting a travs
de la superficie que encierra dicho volumen. ENERGA ELECTROMAGNTICA
La densidad de energa elctrica dada por la ecuacin:
202
1 EuE = = EE02
1 La densidad de energa magntica que est expresada por:
0
2
21BuB = =
BB02
1
Para una regin del espacio libre donde existe campo elctrico y
campo magntico la ecuacin de la energa electromagntica es expresada
por:
( )dVuuUV BE += =
dVBBEEV +
00
021
En esta ecuacin hemos combinado campos elctricos y magnticos.
PRESIN DE RADIACIN. A partir de la observacin de que se requiere
energa para establecer campos elctricos y magnticos, hemos
demostrado que las ondas electromagnticas transportan energa. Adems
se puede demostrar que las ondas electromagnticas transportan L
cantidad de movimiento p, con una densidad de cantidad de
movimiento correspondiente (cantidad de movimiento dp por volumen
dV ) de magnitud
220 c
Sc
EBdVdp ==
Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no est
asociada con la masa de una partcula en movimiento en el sentido
habitual. Existe adems una rapidez de flujo de cantidad de
movimiento correspondiente. El volumen dV ocupado por una onda
electromagntica (rapidez c) que pasa a travs de un rea A en un
tiempo dt es AcdtdV = . Cuando se sustituye esto en la
ecuacin 220 c
Sc
EBdVdp == y se reordena, se
encuentra que la rapidez de flujo de cantidad de movimiento por
unidad de rea es
cEB
cS
dtdp
A 01
== (rapidez de flujo de cantidad de movimiento) Esto representa
la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de rea y por
unidad de tiempo. Se obtiene la rapidez promedio de transferencia
de cantidad de movimiento por unidad de rea sustituyendo S por ISm
= len la ecuacin
cEB
cS
dtdp
A 01
== . A esa cantidad de movimiento se debe el fenmeno de la
presin de radiacin. Cuando una onda electromagntica es absorbida en
su totalidad por una superficie, se transfiere a sta la cantidad de
movimiento de la onda. Para simplificar consideraremos una
superficie perpendicular a la direccin de propagacin. Con base en
las ideas expuestas en la seccin 8.1, vemos que la rapidez dp/dt
con la que se transfiere cantidad de movimiento a la superficie
absorbente es igual a la fuerza ejercida sobre la superficie. La
fuerza promedio por unidad de rea debida a la onda, o presin de
radiacin
radp , es el cociente del valor promedio de dp/dt entre el rea
absorbente A. (Utilizamos el subndice rad para distinguir la presin
de la cantidad de movimiento, que tambin se representa mediante el
smbolo p). De acuerdo
con la ecuacin 220 c
Sc
EBdVdp == , la presin
de radiacin es
cI
cS
p m ==rad (presin de radiacin, absorcin total de la onda) Si la
onda se refleja en su totalidad, el cambio de cantidad de
movimiento es dos veces ms grande, y la presin es
cI
cS
p m ==rad cI
cS
p m 22
rad == (presin de radiacin, reflexin total de la onda) Por
ejemplo, el valor de I (o mS ) correspondiente a la luz solar
directa, antes de atravesar la atmsfera terrestre, es de
aproximadamente 1,4 kW/m2. De acuerdo
ecuacin cI
cS
p m ==rad la presin promedio
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correspondiente sobre una superficie absorbente es
8
3
rad 100,3104,1==
cIp = 4,7x10-6 Pa
Segn la ecuacin cI
cS
p m ==rad , la presin promedio sobre una superficie
totalmente
reflectante es el doble de esto: cI2
o 9,4xl06 Pa.
Estas presiones son muy pequeas del orden de 10-10 atm, pero se
pueden medir con instrumentos sensibles. La presin de radiacin de
la luz solar es mucho mayor en el interior del Sol que en la
Tierra. En el interior de las estrellas de masa mucho mayor que la
del Sol y ms luminosas que ste, la presin de radiacin es tan grande
que aumenta considerablemente la presin gaseosa en el interior de
la estrella y de este modo contribuye a evitar que la estrella se
colapse bajo el efecto de su propia gravedad. En ciertos casos la
presin de radiacin proyecta efectivamente parte del material de la
estrella hacia el espacio. Ejemplo 7. Prueba de un transmisor
espacial de radio. Usted es un especialista en misiones de la NASA
que efecta su primer vuelo en el trasbordador espacial. En virtud
de su extensa capacitacin en fsica, se le ha asignado la tarea de
evaluar el comportamiento de un nuevo transmisor de radio a bordo
de la Estacin Espacial Internacional (EEI). Encaramado en el brazo
mvil del trasbordador, usted apunta un detector sensible hacia la
EEI, que est a 2,5 km de distancia, y encuentra que la amplitud de
campo elctrico de las ondas de radio provenientes del transmisor es
de 0,090 V/m, y que la frecuencia de las ondas es de 244 MHz. Halle
lo siguiente: a) la intensidad de la onda de radio donde usted se
encuentra; b) la amplitud de campo magntico de la onda donde usted
se encuentra; c) la potencia de salida total del transmisor de
radio de la EEI. d) Qu suposiciones, en su caso, hizo usted para
efectuar sus clculos? Solucin.
a) 2021
mxcEI = , mV090,0=mxE , luego 25 mW101,1 =I
b) mxmx cBE = Luego
cE
B mxmx = = 3,0 x10-10 T c) )4( 2av rIP = = ( ) 235
)105,2()4(10075,1 = 840 W d) El clculo en la parte (c) asume que el
transmisor emite uniformemente en todas las direcciones. Ejemplo 8.
Una sonda espacial situada a 2,0 x 1010 m de una estrella mide la
intensidad total de la radiacin electromagntica proveniente de la
estrella, la cual resulta ser de 5,0 x 103 W/m2. Si la estrella
irradia de modo uniforme en todas direcciones, cul es la potencia
de salida promedio total? Solucin.
)4( 2rIPm = = ( ) 2103 )100,2()4(100,5 = 2,5x1025 J Ejemplo 9.
La intensidad de un rayo lser cilndrico es de 0,800 W/m2. El rea de
seccin transversal del haz es de 3,0 x l0 m2, y la intensidad es
uniforme en toda la seccin transversal del haz. a) Cul es la
potencia de salida promedio del lser? b) Cul es el valor rms
(eficaz) del campo elctrico en el haz? Solucin. a) La potencia
media del haz es
IAP = = ( ) )100,3(800,0 4 = 2,4x10-4 W
b) Tenemos que, .21 2
rms02
0 cEcEI mx == Luego,
cIE0
rms = = )1000,3)(1085,8(800,0
812 = 17,4 V/m Ejemplo 10. Una fuente intensa de luz irradia
uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 5,0 m de la
fuente de radiacin la presin sobre una superficie perfectamente
absorbente es de 9,0 x 10-6 Pa. Cul es la potencia media de salida
de la fuente? Solucin.
cIp =rad de aqu radcpI = = 2,70x103 W/m2 Luego ( ) 232
)0,5()4(1070.2)4( == rIPm = 8,5x105 W
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Ejemplo 11. Una onda electromagntica sinusoidal emitida por un
telfono celular tiene una longitud de onda de 35,4 cm y una
amplitud de campo elctrico de 5,40 x 10-2V/m a una distancia de 250
m de la antena. Calcule a) la frecuencia de la onda; b) la amplitud
del campo magntico; c) la intensidad de la onda. Solucin.
a) cf = =
354,01000,3 8
= 8,47 Hz
b) c
EB maxmax = = 81000,3
0540,0 =1,80x10
-10T
c) 02
EBSI av == = ( )( )0
10
21080,10540,0
= 3,87x10-6W/m2 Ejemplo 12. Una fuente de luz monocromtica con
una potencia de salida de 60,0 W irradia luz uniformemente en todas
direcciones con una longitud de onda de 700 nm. Calcule mxE y
mxB de la luz de 700 nm a una distancia de 5,00 m de la fuente.
Solucin.
ASP m= = )4(22
0
2max rc
E 20
max 2 rPcE =
( )2 08)00,5(2 1000,3)0,60( =mxE = 12,0 V/m
cE
B mxmx = = 81000,30,12 = 4,00x10
-8T
Ejemplo 13. Si la intensidad de la luz solar directa en un punto
de la superficie terrestre es de 0,78 kW/m2, halle a) la densidad
de cantidad de movimiento (cantidad de movimiento por unidad de
volumen) promedio de la luz solar; b) la rapidez de flujo de
cantidad de movimiento promedio de la luz solar. Solucin. a) La
densidad de cantidad de movimiento
2cS
dVdp m= = ( )28100,3 780 = smkg107,8 215
b) La razn de flujo de la cantidad de
movimiento c
Sdtdp
Aav=1 = 8100,3
780 = 2,6x10
-
6Pa Ejemplo 14. En las instalaciones del Simulador Espacial de
25 pies del Jet Propulsion Laboratory de la NASA, una serie de
lmparas de arco elevadas produce luz con una intensidad de 2500
W/m2 en el piso de las instalaciones. (Esto simula la intensidad de
la luz solar cerca del planeta Venus). Halle la presin de radiacin
promedio (en pascal y en atmsferas) sobre a) una seccin totalmente
absorbente del piso. b) una seccin totalmente reflectante del piso.
c) Halle la densidad de cantidad de movimiento promedio (cantidad
de movimiento por unidad de volumen) de la luz en el piso. Solucin.
a) Luz absorbida:
cS
dtdp
Ap m== 1rad = 8100,3
2500
= 8,33x10-6 Pa 5
6
rad 10013,11033,8=
p = 8,33x10-11 atm
b) Luz reflejada:
cS
dtdp
Ap m
21rad ==
= 8100.3)2500(2
= 1,67x10-5 Pa
5
5
rad 101,0131067,1=
p = 1,65x10-10atm.
El factor 2 se presenta porque la direccin del vector cantidad
de movimiento se invierte con la reflexin. As el cambio en cantidad
de movimiento es dos veces la cantidad de movimiento original c) La
densidad de cantidad de movimiento
2cS
dVdp m= = ( )28100,3 2500
= sm
kg1078,2 214
Ejemplo 15. Una onda electromagntica sinusoidal se propaga en un
vaco en la direccin + z. Si en un instante en particular y en
cierto punto del espacio el campo elctrico tiene la direccin + x y
una magnitud de 4,00 V/m, cules son la magnitud y direccin del
campo
-
Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina
Guzmn
10
magntico de la onda en el mismo punto del espacio y en el mismo
instante? Solucin.
cEB mxmx = = 1,33x10-8 T
BE est en la direccin de propagacin. Para E en la direccin + x
,
BE est en la direccin + z cuando
B est en la direccin
+ y . Ejemplo 16. Se establece una onda electromagntica
estacionaria en el aire con una frecuencia de 750 MHz entre dos
planos conductores separados por una distancia de 80,0 cm. En qu
posiciones entre los planos se podra colocar una carga puntual en
reposo de modo que permaneciera en reposo? Explique su respuesta.
Solucin.
fcx
22
nodos == = )1050,7(21000,3
8
8
= 0,200 m = 20,0 cm Debe haber nodos en los planos, separados
80,0 cm, y hay dos nodos entre los planos, cada uno a 20,0 cm de un
plano. Es a 20 cm, 40 cm, y 60 cm que una carga puntual permanece
en reposo, puesto que el campo elctrico en esos puntos es cero.
Ejemplo 17. Con respecto a una onda electromagntica que se en aire,
determine la frecuencia de una onda cuya longitud de onda es de a)
5,0 km; b) 5,0 m; c) 5,0 m; d) 5,0 nm. Solucin.
a) 5000
103,0
8== cf = 6,0x104Hz
b) 5,0
103,0
8== cf = 6,0x107Hz
c) 6-8
105,0103,0
== cf = 6,0x1013Hz
d) 9-8
105,0103,0
== cf = 6,0x1016Hz
EL ESPECTRO ELECTROMAGNTICO.
Las ondas electromagnticas cubren una amplia gama de frecuencias
o de longitudes de ondas y pueden clasificarse segn su principal
fuente de produccin. La clasificacin no tiene lmites precisos.
Regin del espectro Intervalo de
frecuencias (Hz) Radio-microondas 0 - 3,0x1012 Infrarrojo
3,0x1012 - 4,6x1014 Luz visible 4,6x1014 -7,5x1014 Ultravioleta
7,5x1014 - 6,0x1016 Rayos X 6,0x1016-1,0x1020 Radiacin gamma
1,0x1020 -. Fuente: Leonberger. Revealing the small range of
radio-microwave frequencies. Phys. Educ. Vol. 37, September 2002,
pp. 425-427 CARACTERSTICAS DE LAS DISTINTAS REGIONES DEL ESPECTO
Las ondas de radiofrecuencia Sus frecuencias van de 0 a 109 Hz, se
usan en los sistemas de radio y televisin y se generan mediante
circuitos oscilantes. Las ondas de radiofrecuencia y las microondas
son especialmente tiles por que en esta pequea regin del espectro
las seales producidas pueden penetrar las nubes, la niebla y las
paredes. Estas son las frecuencias que se usan para las
comunicaciones va satlite y entre telfonos mviles. Organizaciones
internacionales y los gobiernos elaboran normas para decidir que
intervalos de frecuencias se usan para distintas actividades:
entretenimiento, servicios pblicos, defensa, etc. La regin
denominada AM comprende el intervalo de 530 kHz a 1600 kHz, y la
regin denominada FM de 88 MHz a 108 MHz. La regin FM permite a las
emisoras proporcionar una excelente calidad de sonido debido a la
naturaleza de la modulacin en frecuencia.
-
Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina
Guzmn
11
Las microondas Se usan en el radar y otros sistemas de
comunicacin, as como en el anlisis de detalles muy finos de la
estructura atmica y molecular. Se generan mediante dispositivos
electrnicos. La radiacin infrarroja Se subdivide en tres regiones,
infrarrojo lejano, medio y cercano. Los cuerpos calientes producen
radiacin infrarroja y tienen muchas aplicaciones en la industria,
medicina, astronoma, etc. La luz visible Es una regin muy estrecha
pero la ms importante, ya que nuestra retina es sensible a las
radiaciones de estas frecuencias. A su vez, se subdivide en seis
intervalos que definen los colores bsicos (rojo, naranja, amarillo,
verde, azul y violeta). Radiacin ultravioleta Los tomos y molculas
sometidos a descargas elctricas producen este tipo de radiacin. No
debemos de olvidar que la radiacin ultravioleta es la componente
principal de la radiacin solar. La energa de los fotones de la
radiacin ultravioleta es del orden de la energa de activacin de
muchas reacciones qumicas lo que explica muchos de sus efectos. El
oxgeno se disocia en la ozonsfera por la accin de la radiacin
ultravioleta. Una molcula de oxgeno absorbe radiacin de longitudes
de onda en el intervalo entre 1600 y 2400 (o fotones de energa
comprendida entre 7.8 eV y 5.2 eV) y se disocia en dos tomos de
oxgeno. O2 + fotn O + O El oxgeno atmico producido se combina con
el oxgeno molecular para formar ozono, O3, que a su vez se disocia
fotoqumicamente por absorcin de la radiacin ultravioleta de
longitud de onda comprendida entre 2400 y 3600 (o fotones de energa
entre 5,2 eV y 3,4 eV). O3 + fotn O + O2 Estas dos reacciones
absorben prcticamente toda radiacin ultravioleta que viene del Sol
por lo que solamente llega una pequea fraccin a la superficie de la
Tierra. Si desapareciese de la capa de ozono, la radiacin
ultravioleta destruira muchos organismos a causa de las reacciones
fotoqumicas. La radiacin ultravioleta y rayos X producidos por el
Sol interacta con los tomos y molculas presentes en la alta
atmsfera produciendo gran cantidad de iones y electrones libres
(alrededor de 1011 por m3). La regin de la atmsfera situada a unos
80 km de altura se denomina por este motivo ionosfera. Algunas de
las reacciones que ocurren ms frecuentemente son:
NO + fotn NO+ + e (5,3 eV) N2 + fotn N2+ + e (7,4 eV) O2 + fotn
O2+ + e (5,1 eV) He + fotn He+ + e (24,6 eV) Entre parntesis se
indica la energa de ionizacin. Como resultado de esta ionizacin
tienen lugar muchas reacciones secundarias. Rayos X Si se aceleran
electrones y luego, se hacen chocar con una placa metlica, la
radiacin de frenado produce rayos X. Los rayos X se han utilizado
en medicina desde el mismo momento en que los descubri Roentgen
debido a que los huesos absorben mucho ms radiacin que los tejidos
blandos. Debido a la gran energa de los fotones de los rayos X son
muy peligrosos para los organismos vivos. Rayos gamma Se producen
en los procesos nucleares, por ejemplo, cuando se desintegran las
sustancias radioactivas. Es tambin un componente de la radiacin
csmica y tienen especial inters en astrofsica. La enorme energa de
los fotones gamma los hace especialmente tiles para destruir clulas
cancerosas. Pero son tambin peligrosos para los tejidos sanos por
lo que la manipulacin de rayos gamma requiere de un buen blindaje
de proteccin. Ejemplo 18. Un espejo pequeo con un rea de 5,00 cm2
frente a una fuente de luz monocromtica situada a 3,20 m de
distancia. En el espejo la amplitud de campo elctrico de la luz de
la fuente es de 0,0280 V/m. a) Cunta energa incide en el espejo? b)
Cul es la presin de radiacin promedio que la luz ejerce sobre el
espejo? c) Cul es la salida total de energa radiante te si se
supone que irradia uniformemente en todas direcciones? Solucin. a)
La energa incidente en el espejo es
IAtPt == Energa = AtcE 2021
E = ( ) (1,00))1000,5(028,0)1000,3(
21 428
0
= 5,0x10-10 J b) La presin de radiacin
20rad
2 EcIp == = ( )20 0280,0
= 6,94x10-15 Pa c) La potencia 24 RIP = = 2rad 2 Rcp P = ( )
2158 )(3,20)10(6,941000,32
-
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Guzmn
12
= 1,34x10-4 Pa Ejemplo 19. Un lser pequeo de helio y nen emite
luz visible roja con una potencia de 3,20 mW en un haz de 2,50 mm
de dimetro. a) Cul es la amplitud de los campos elctrico y magntico
de la luz? b) Cul es la densidad de energa promedio asociada con el
campo elctrico y con el campo magntico? c) Cul es la energa
contenida en un tramo del haz de 1,00 m de largo? Solucin. a) La
intensidad del laser
2
4DP
API == = 23
3
)10(2,50)104(3,20
= 652 W/m2
Pero 2021 cEI =
cIE
0
2= = )10(3,00
2(6528
0 = 701 V/m
Y cEB = = 8103.00
701 = 2,34x10
-6T
b) 2041
mxEB Euu mm == = 20 )(70141
= 1,09x10-6 J/m3 Observar el factor adicional puesto que estamos
haciendo un promedio. c) En un metro de haz lser, la energa total
es:
Voltottot uE = = )(2 ALuE = LDuE2
22
4
(1,00))1050,2()1009,1(2 236tot
= E = 1,07x10-11 J Ejemplo 20. Un conductor cilndrico de seccin
transversal circular tiene un radio a y una conductividad g , y
transporta una corriente constante I. a) Cules son la magnitud y
direccin del vector de campo elctrico E en un punto situado dentro
del alambre, a una distancia a del eje? b) Cules son la magnitud y
direccin del vector de campo magntico B en el mismo punto? c) Cules
son la magnitud y direccin del vector de Poynting S en el mismo
punto? (La direccin de S es aqulla en la que fluye energa
electromagntica hacia adentro o hacia afuera del conductor). d) Con
base en el resultado del inciso (c), halle la rapidez de flujo de
energa hacia el volumen que ocupa un tramo de longitud l del
conductor.
(Sugerencia: Integre S sobre la superficie de este volumen).
Compare su resultado con la rapidez de generacin de energa trmica
en el mismo volumen. Comente por qu se puede pensar que la energa
disipada en un conductor portador de corriente, debido a su
resistencia, entra a travs de los lados cilndricos del conductor.
Solucin.
a) 2ag
AggJE
ll === , en direccin de la corriente.
b) IdB 0= l aIB 2 0= en sentido
antihorario mirando a la corriente. c) La direccin del vector
Poynting BES = , con la corriente en la direccin z. Su magnitud
es
0EBS = =
aI
agI
21 0
20
= 322
2 agI
d) Sobre una longitud l , la razn con la que ingresa la energa
es
2
2
32
2 22
alal
aSA
ll ==
La prdida de energa trmica es
, 22
22
aIg
AgIRI
ll == que es exactamente igual al flujo de la energa
electromagntica. Ejemplo 21. Cierto condensador consiste en dos
placas circulares de radio r separadas por una distancia d. Sin
tener en cuenta el pestaeo, demuestre que, durante el proceso de
carga del condensador. La rapidez de flujo de energa hacia el
espacio entre las placas es igual a la rapidez con la que aumenta
la energa electrosttica almacenada en el condensador.
(Sugerencia: Integre S sobre la superficie del
volumen cilndrico vaco comprendido entre las placas).
Solucin.
riB
2
0= , y 0
qEAdAnES ==
2
0rqE = tal que la magnitud del vector
Poynting es
.22 320
3200 dt
dqr
qr
qiEBS === Ahora, la razn del flujo de energa en la regin entre
las placas es:
-
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13
)2( lrSdAnS = = dtdqrq 20l
= dtqd
r)(
21 2
20l
=
2
021 q
Adtd
l
=dt
dUC
qdtd =
2
2
ste es la razn de incremento en la energa electrosttica U
almacenada en el condensador. Ejemplo 22. Se puede usar una espira
circular de alambre como antena de radio. Si una antena de 18,0 cm
de dimetro est situada a 2,0 km de una fuente de 95,0 MHz con una
potencia total de 55,0 kW, cul es la fuerza electromotriz mxima que
se induce en la espira? (Suponga que el plano de la espira de la
antena es perpendicular a la direccin del campo magntico de la
radiacin y que la fuente irradia uniformemente en todas
direcciones). Solucin. La potencia de la antena es
2
0
2max 4
2rcBIAP == Tal que
crPB 2
0max 4
2= =
)1000,3()2500(4)1050,5(2
82
40
= T1042,2 9 maxmax 2 fBBdtdB ==
= )10(2,42)100,95(2 96 = sT44,1
dtdBD
dtdBA
dtd
4
2 ===
= V0366,04
)44,1()180,0( 2 = Ejemplo 23. Se ha propuesto colocar en rbita
terrestre un satlite recolector de energa solar. La potencia
recogida se enviara a la Tierra en forma de un haz de radiacin de
microondas. En el caso de un haz de microondas con un rea de seccin
transversal de 36,0 m2 y una potencia total de 2,80 kW en la
superficie terrestre, cul es la amplitud del campo elctrico del haz
en la superficie del planeta? Solucin.
202
1 cEAPI ==
cIE
0
2= = )1000,3(
)36/1080,2(28
0
3
= .mV242 Ejemplo 24. Linterna al rescate. Usted es el nico
tripulante de la nave espacial interplanetaria T:1339 Vorga, que
lleva a cabo misiones de carga entre la Tierra y las colonias
mineras del cinturn de asteroides. Cierto da usted est trabajando
afuera de la nave, a una distancia de 2,0 UA del Sol. [1 UA (unidad
astronmica) es la distancia promedio de la Tierra al Sol: 149 600
000 km.). Por desgracia, usted pierde contacto con el casco de la
nave y comienza a alejarse hacia el espacio. Entonces intenta
regresar hacia la nave con ayuda de los cohetes de su traje
espacial, pero el combustible se agota y los cohetes dejan de
funcionar antes que usted consiga regresar a la nave. Se halla
usted en una situacin difcil, flotando a 16,0 m de la nave con
velocidad cero respecto a ella. Por fortuna, usted tiene una lmpara
de 200 W, la cual enciende para utilizar su haz como un cohete de
luz que lo impulse de regreso a la nave, a) Si usted, su traje
espacial y la lmpara tienen en conjunto una masa de 150 kg, Cunto
tiempo tardar en regresar a la nave? b) Existe alguna otra forma de
utilizar la lmpara para conseguir el mismo objetivo de regresar a
la nave? Solucin. a) Encontrar la fuerza sobre la persona debido a
la cantidad de movimiento por la luz:
cIp =rad y ApF rad= da cPcAIF /av==
mcP
mFa mx == = )10)(3,00150(
2008
= 4,44x10-9 m/s2 Luego 21200 tatvxx xx += da
xaxx
t)(2 0= = ( ) 91044,4
0,162
= 8,49 x 104 s = 23,6 h La fuerza de la radiacin es muy pequea.
En el clculo hemos no se ha tomado en cuenta cualquier otra fuerza
obre la persona. b) Podras lanzar la linterna en la direccin fuera
de la nave. Por la conservacin de la cantidad de movimiento lineal
te moveras hacia
-
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Guzmn
14
la nave con la misma magnitud de la cantidad de movimiento que
diste a linterna. Ejemplo 25. El inventor Nikola Tesla, del siglo
XIX, propuso transmitir energa elctrica por medio de ondas
electromagnticas sinusoidales. Suponga que se pretende transmitir
energa elctrica en un haz con un rea de seccin transversal de 100
m2. Qu amplitudes de campo elctrico y magntico se requieren para
transmitir una cantidad de potencia equivalente a la que manejan
las lneas de transmisin modernas, las cuales tienen voltajes y
corrientes del orden de 500 kV y 1000A? Intensidad I , corriente i
. Solucin.
IAP = 2021 cE
API ==
cA
VicA
PE00
22 ==
cA
ViE0
2= =
( )( )( ) ( )80
5
1000,310010001000,52
= mV106,14 4
cEB = = T102,05
103,00106,14 4
8
4
=
Ejemplo 26. El espacio interplanetario contiene muchas partculas
pequeas conocidas como polvo interplanetario. La presin de radiacin
proveniente del Sol fija un lmite inferior al tamao de estas
partculas de polvo. Para comprender el origen de este lmite,
considere una partcula esfrica de polvo de radio R y densidad de
masa p. a) Escriba una expresin de la fuerza gravitatoria que el
Sol (masa M) ejerce sobre la partcula cuando sta se halla a una
distancia r del Sol. b) Sea L la luminosidad del Sol, equivalente a
la rapidez con la que emite energa en forma de radiacin
electromagntica. Halle la fuerza que se ejerce sobre la partcula
(totalmente absorbente) debido a la presin de radiacin solar. El
rea pertinente es el rea de seccin transversal de la partcula, no
su rea total. Como parte de su respuesta, explique por qu es as. c)
La densidad de masa de una partcula representativa de polvo
interplanetario es de alrededor de 3000 kg/m3. Halle el radio de
partcula R con el que las fuerzas gravitatoria y de radiacin que
actan sobre la partcula son de igual magnitud. La luminosidad del
Sol es de 3,0
x1026 W. Depende su respuesta de la distancia entre la partcula
y el Sol? Por qu? d) Explique por qu es poco probable hallar en el
Sistema Solar partculas de polvo con un radio menor que el
calculado en el inciso (c). [Sugerencia: Construya la relacin de
las dos expresiones de fuerza halladas en los incisos (a) y (b)].
Solucin.
a) 2rmGM
F SG = = 34 3
2
Rr
GM S
= 23
34
rRGM S
b) Si se asume que la radiacin del sol es interceptada por la
seccin transversal de la partcula, podemos escribir la fuerza sobre
la partcula como:
cIAF = =
cR
rL 2
24
= 22
4crLR
c) Si la fuerza de la gravedad y la fuerza de la presin de la
radiacin en una partcula del sol son iguales, podemos resolver para
el radio de la partcula:
FFG = 22
2
3
434
crLR
rRGM S =
cGM
LRS16
3=
)10(3,0)mkg(3000)10(2,0)10(6,716)109,3(3
833011
26
= R
m109.1 7=R d) Si la partcula tiene un radio ms pequeo que lo
encontrado en la parte (c), entonces la presin de la radiacin
supera la fuerza gravitacional y tiene como resultado una
aceleracin alejndose del sol, de esta manera quita tales partculas
del Sistema Solar. Ejemplo 27. La NASA est considerando seriamente
el concepto de navegacin solar a vela. Un velero solar utiliza una
vela grande, de poca masa, y la energa y la cantidad de movimiento
de la luz solar para impulsarse. a) Cmo debe ser la vela:
absorbente o reflectante? Por qu? b) La produccin total de potencia
del Sol es de 3,9 x 1026W. De qu tamao debe ser una vela para
impulsar un vehculo espacial de 10000kg contra la fuerza
gravitatoria del Sol? Exprese su resultado en kilmetros cuadrados.
c) Explique por qu su respuesta al inciso (b) es independiente de
la distancia respecto al Sol.
-
Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina
Guzmn
15
Solucin. a) La transferencia de la cantidad de movimiento es
siempre mayor cuando se utilizan superficies reflectoras (considere
una bola que choca con una pared, la pared ejerce una mayor fuerza
si la bola rebota en lugar de pegarse). Tal que en navegacin solar
es mejor utilizar una vela reflectora. b) La ecuacin para la
repulsin viene de equilibrar la fuerza gravitacional y la fuerza de
la presin de la radiacin. Segn lo visto en el problema anterior, lo
ltimo es:
crLAF 2rad 4
2= As: radFFG =
crLA
rmGM S
22 42= L
mcGMA S2
4= 26
83011
10(2)3.9)10(3,0)(10000)10(2,0)10(6,74
=
A
26 m10648=A = 2km6,48 c) Esta respuesta es independiente de la
distancia del sol desde que la fuerza gravitacional y la presin de
la radiacin disminuyen con el cuadrado de la distancia, y la
distancia se cancela del problema
.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. a) Demostrar que la ecuacin ( )tkxEE yy
= sen0 puede escribirse en la forma ( )ctxkEE yy = sen0 , siendo
kc
= . En qu sentido se mueve esta onda? b) Sustituir esta funcin
en la ecuacin
2
2
002
2
tE
xE yy
=
y demostrar que se satisface esta ecuacin si
00
1=c .
c) Utilizar los valores conocidos de 0 y 0 en unidades SI para
demostrar que
00
1 vale
aproximadamente 3x108 m/s. Respuesta a) La onda se est moviendo
en la direccin x. 2. a) Demostrar que el valor medio cuadrtico del
campo elctrico en una onda a relacionado con la intensidad I por
cIErms 0= b) Demostrar que
cE
B rmsrms = . 3. Una onda electromagntica tiene una intensidad I
=100 W/m2. Hallar rmsE y rmsB . Respuesta
rmsE = 194 V/m, rmsB = 6,47 mG
4. Demostrar que el vector de Poynting
0
= BES tiene unidades de W/m2. 5. La amplitud de una onda
electromagntica es
0E = 400 V/m. Hallar a) 0B , b) la densidad de energa
electromagntica total media y c) la intensidad. Respuesta a) 13,3
mG, b) 7,08x10-7 J/m3, c) 212 W/m2. 6. Un haz de lser tiene un
dimetro de 1,0 mm y una potencia media de 1,5mW. Hallar la
intensidad del haz y rmsE y rmsB . Respuesta I = 1,91 kW/m2, rmsE =
849 V/m, rmsB = 28 mG
7. a) Deducir la ecuacin t
Ex
B yz=
00 .
(b) Eliminar E de las ecuaciones
tB
xE zy
=
00 y t
Ex
B yz=
00 para
obtener la ecuacin de onda correspondiente a zB .
8. Una fuente o foco puntual emite radiacin uniformemente en
todas direcciones.
-
Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina
Guzmn
16
a) Demostrar que si m es su potencia media, la
intensidad a una distancia r es 24 rP
I m= . b) Si la intensidad de la luz solar que incide sobre las
capas superiores de la atmsfera terrestre es 1400 W/m2, hallar la
emisin de potencia del Sol c) Hallar rmsE y rmsB debido al Sol en
las capas superiores de la atmsfera terrestre. Respuesta b)
3,9x1026 W c) rmsE = 726 V/m, rmsB = 24,2 mG 9. Suponer que un foco
incandescente de 100 W es un foco puntual que radia uniformemente
en todas direcciones. a) Hallar la intensidad del foco a 1,0 m. b)
Suponiendo que la onda es plana, hallar rmsE y rmsB a esta
distancia. 10. Por un conductor cilndrico largo de radio a y
resistividad circula una corriente constante I
distribuida uniformemente en toda su seccin recta. a) Utilizar
la ley de Ohm para relacionar el
campo elctrico E en el conductor con
I, y a. b) Hallar el campo magntico
B en el exterior y
junto al conductor. c) En ar = (superficie del conductor)
utilizar los resultados de las partes (a) y (b) para calcular
el vector Poynting 0
= BES . Qu sentido
tiene S ?
d) Hallar el flujo de S a travs de la superficie
del conductor de longitud L y rea aL2 y demostrar que la
potencia que entra en el conductor es igual a RI 2 , siendo R la
resistencia.