This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
PHAÀN II HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Khaùi Nieäm Chung
Hình hoïc hoïa hình cung caáp nhöõng kieán thöùc, nhöõng phöông phaùp bieåu dieãn ñeå giaûi nhöõng baøi toaùn khoâng gian treân maët phaúng. Noù laø cô sôû cuûa veõ kyõ thuaät vaø noù giuùp phaùt trieån khaû naêng tö duy khoâng gian cho hoïc sinh – moät nhaân toá coù tính quyeát ñònh trong hoaït ñoäng saùng taïo cuûa ngöôøi caùn boä kyõ thuaät sau naøy.
Ngöôøi caùn boä kyõ thuaät phaûi naém vöõng nhöõng khaùi nieäm cuûa Hình hoïc hoïa hình thì môùi bieåu dieãn ñöôïc caùc vaät theå treân baûn veõ vaø ñoïc ñöôïc caùc baûn veõ do ngöôøi khaùc veõ.
Caùc kyù hieäu thöôøng duøng trong Hình hoïc hoaï hình:
+ Ñieåm: duøng chöõ caùi in hoa hoaëc soá: A, B, C... 1, 2, 3... + Ñoaïn thaúng: ñaët teân hai ñieåm ôû ñaàu muùt AB, CD... + Ñöôøng thaúng: duøng chöõ thöôøng: a, b, c, d... + Hình phaúng: kyù hieäu thöôøng caùc ñieåm goùc ABC, DFEH... + Maët phaúng: duøng caùc chöõ: mp Q, mp α … + Maët phaúng hình chieáu: P1, P2, P3
Caùc thuoäc tính hình hoïc
+ Caét nhau (x): AB x CD, EF x IK,... + Song song (//): a // P1, AB // CD + Truøng nhau (≡): A ≡ B ; CD ≡ EF + Lieân thuoäc (∈): D ∈ AB; A ∈ mp α + Vuoâng goùc (⊥): AB ⊥ MP HCP2, CD ⊥ EF
Chöõ vieát taét thöôøng duøng
+ MPHC: Maët phaúng hình chieáu + HCTÑ: Hình chieáu truïc ño
Ví duï: Chieáu ñieåm A qua taâm S leân maët phaúng hình chieáu P . Trong khoâng gian laáy maët phaúng P vaø moät ñieåm S khoâng thuoäc P. Chieáu moät ñieåm A baát kyø cuûa khoâng gian töø taâm S leân maët phaúng P laø:
1. Veõ ñöôøng thaúng SA 2. Xaùc ñònh giao ñieåm A’ cuûa ñöôøng SA vôùi
maët phaúng P (hình 1.1)
Ta coù caùc teân goïi:
S: Taâm chieáu.
P : maët phaúng hình chieáu. SA: Ñöôøng thaúng chieáu hay tia chieáu. A’: hình chieáu cuûa ñieåm A töø taâm S leân
maët phaúng P, chuùng ta thaáy A’ khoâng chæ laø hình chieáu cuûa moät ñieåm A maø coøn laø hình chieáu cuûa 1 ñieåm baát kyø cuûa ñöôøng thaúng SA. Ví duï: A’ cuõng laø hình chieáu cuûa B,C (hình 1.2). 1.2 Nhöõng Tính Chaát Cuûa Pheùp Chieáu
Tính chaát 1: Hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng khoâng ñi qua taâm chieáu laø moät ñöôøng thaúng.
MPHC
Hình Chieáu ñieåm A
Ñieåm Khoâng Gian
Taâm ChieáuTia Chieáu
Hình 1.1
Hình 1.2
P
P(Taâm chieáu)
(Ñieåm khoâng gian)
(Hình chieáu ñieåm)
P
A∈d thì hình chieáu A’ cuûa A cuõng thuoäc hình chieáu d’ cuûa d, nhöng ngöôïc laïi neáu A’∈ d’ thì chöa chaéc A∈ d.
Pheùp chieáu baûo toàn tính lieân thuoäc cuûa ñieåm vaø ñöôøng thaúng.
Hình 1.3
Trang 30
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Tính chaát 2: Pheùp chieáu baûo toàn tyû soá keùp cuûa 4 ñieåm thaúng haøng (hình 1.4).
MPHC) A’,B’,C’ñieåm A, B,Cchieáu p (A’, B’, C’ ∈P) SA, SB,SC: ñöôøng
Taâm Chieáu
Ñieåm Khoâng Gian
Hình Chieáu Cuûa Caùc Ñieåm
MPHCchieáu hay tia chieáu.
Hình 1.5
Hình 1.6
inh hoïa.
b. Pheùp c
α
Laø pheùp chieáu trong ñoù ñeàu song song vôùi nhau theo moät
höôùng (s) ñaõ choïn, laäp vôùi maët phaúng hình chieáu moät goùc α naøo ñoù.
+ s: höôùng chieáu + p: maët phaúng hìn+ A’, B’: hình chieáu cuûa ñaët phaúng hình chieáu p . + α: goùc giöõa tia chieáuchieáu. + Pheùpn taâm khi taâm chieáu ôû voâ cöïc.
Trang 31
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
ÖÙng duïng: do khoâng coù söï bieán daïng daøi neân pheùp chieáu song song ñöôïc duøng ñeå ve
g thaúng song song chieáu thaønh
cuøng 6
g pheùp chieáu song song tyû so
õ hình chieáu truïc ño trong minh hoïa.
Pheùp chieáu song song coù nhöõng tính chaát rieâng:
Tính chaát 1: Trong pheùp chieáu song song hai ñöôøn hai ñöôøng thaúng song song. AB // CD → A’B’ // C’D’ neáu AB vaø CD thuoäc moät maët phaúng chieáu thì
A’B’ ≡ C’D’ ( hình 1. ) Tính chaát 2: Tron
á ñôn cuûa ba ñieåm baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu cuûa chuùng (hình 1.7)
/ /
/ /
AC A CCB C B
=
öø hai tính chaát ta suy ra heä quaû.
g song tyû soá cuûa hai ñ
MPHC
Hình 1.7
T
Heä quaû: Trong pheùp chieáu sonoaïn thaúng song song baèng tyû soá cuûa hai ñoaïn
thaúng hình chieáu cuûa chuùng.
CD kAB
= thì / /
/ /
C D kA B
=
. Pheùp chieáu song song vuoâng goùc (pheùp chieáu thaúng goùc)
phaún
ñöôïc öùng duïng
Hình 1.8
c
Khi höôùng chieáu s vuoâng goùc vôùi maët
Hình 1.9
g hình chieáu thì pheùp chieáu ñöôïc goïi laø pheùp chieáu thaúng goùc (hình 1.19)
Trong khoâng gian ngöôøi ta laáy hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau, maët phaúng P1 coù vò trí thaúng ñöùng (maët phaúng hình chieáu ñöùng), maët phaúng P2 coù vò trí naèm ngang (maët phaúng hình chieáu baèng). Hai maët phaúng caét nhau theo giao tuyeán x.
• Maët phaúng chia ñoâi goùc tö II vaø goùc tö IV laø maët phaúng phaân giaùc thöù 2, kyù hieäu G 2.
Nhìn doïc theo truïc x töø beân traùi ta coù caùc kyù hieäu qui öôùc goùc tö ; ñoä cao (+) vaø (-); ñoä xa (+) vaø (-) vaø vò trí maët phaúng phaân giaùc G 1 vaø G 2 (hình 1.13)
b. Heä thoáng ba maët phaúng hình chieáu
Ngöôøi ta söû duïng theâm moät maët phaúng hình chieáu thöù 3 vuoâng goùc vôùi truïc x, kyù hieäu laø P3 (maët phaúng hình chieáu caïnh).
- Maët phaúng P1 caét maët phaúng P2 theo truïc X (Truïc chieàu roäng)
- Maët phaúng P3 caét maët phaúng P1 theo truïc Z (Truïc chieàu cao)
- Maët phaúng P3 caét maët phaúng P2 theo truïc Y (Truïc chieàu saâu, hoaëc xa)
Hình 1.12
Hình 1.13
III
III IV
ñoä xa (-) ñoä xa (+)ño
ä cao
(-)
ñoä c
ao (+
)(goùc tö II) (goùc tö I)
(goùc tö IV)(goùc tö III)
GG
Trang 35
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ba truïc x, y, z caét nhau taïi: ñieåm O (goác toïa ñ
töøng ñoâi m
pha
C) chæ cho pheùp thöïc hieän moät laàn pheùp c
hình ch
vuoân g cuøng moät maët phaún
Hình 1.14
oä)
Ba maët phaúng hình chieáu vuoâng goùcoät:
MPHC ñöùng
MPHC P1⊥ MPHC P2
MPHC P2⊥ MPHC P3
MPHC P3⊥ MPHC P1
Theo TCVN 5-78 qui öôùc duøng saùu maët laøm saùu maët phaúng hình chieáu cô baûn.
- Moãi maët phaúng hình chieáu (MPH
úng cuûa hình hoäp laäp phöông
hieáu. - Trong baûn veõ kyõ thuaät xaây döïng ngöôøi ta chæ söû duïng heä thoáng ba maët phaúng
ieáu (goùc tö I) hoaëc hai MPHC.(hình 1.15)
Hình 1.15
MPHC baèng
MPHCcaïnh
2. Ñoà Thöùc :
Caùc heä thoáng MPHC ôû daïng khoâng gian. Sau khi thöïc hieän xong pheùp chieáu g oùc, heä thoáng maët phaúng hình chieáu ñöôïc xoay ñeå ñöa veà g, bieåu dieãn baèng caùc truïc goïi laø ñoà thöùc.
Trang 36
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
- Giöõ nguyeân vò trí maët phaúng hình chieáu P1 quay phaúng h
MPHC P2 quanh Ox vaø maët ình chieáu P3 quanh Oz ñeán khi P1 ≡ P2 ≡ P3 (cuøng treân moät maët phaúng) ta coù
Phöông phaùp hình chieáu thaúng goùc ñöôïc duøng roäng raõi trong kyõ thuaät nhaát laø baûn veõ kyõ thuaät xaây döïng vaø baûn veõ cô khí. Phöông phaùp naøy do nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp G. Moângjô (1746-1818) ñeà ra neân coøn goïi laø phöông phaùp Moângiô.
2.1. B
ng heä thoáng MPHC Laàn löôït : + Chieáu thaúng goùc ñieåm A leân MPHC P1 ta ñöôïc hình chieáu ñöùng A1 + Chieáu thaúng goùc ñieåm A xuoáng MPHC P2 ta ñöôïc hình chieáu baèng A2 + Chieáu thaúng goùc ñieåm A sang MPHC P3 ta ñöôïc hình chieáu caïnh A3
Nhö vaäy moät ñieåm trong khoâng gian thöôøng ñöôïc bieåu dieãn baèng 3 hình chieáu treân 3 maët phaúng hình chieáu A (A1, A2, A3).
Ta xeùt caùc vò trí cuûa ñieåm trong heä thoáng maët phaúng hình chieáu.
1. Ñieåm coù vò trí baát kyø
ieåu Dieãn Ñieåm
- Laø tìm hình chieáu cuûa ñieåm tro-
ñoä c
ao
ñoä roängñoä saâu
(ñoä xa)
ñoä s
aâu(ñ
oä xa
)
Duøng caùc tia chieáu vuoâng goùc vôùi caùc MPHC laàn löôït chieáu ñieåm A leân caùc maët P1, P2, P3 ta coù A1, A2, A3 → A (A1, A , A3) naèm treân ñöôøng doùng kheùp kín.
A1A2 ⊥ OX taïi xA OxA: ñoä roäng cuûa ñieåm A
A1A3 ⊥ OZ taïi zA OzA: ñoä cao cuûa ñieåm A
A2A3 ⊥ OY taïi yA OyA: ñoä xa (hoaëc ñoä saâu) cuûa ñieåm A
Hình 2.1
2
Trang 38
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ta coù theå tìm hình chieáu thöù ba cuûa ñieåm khi bieát hai hình chieáu cuûa noù baèng phöông phaùp doùng (ñöôøng doùng laø hình chi
Ñieåm thuoäc maët phaúng hình chieáu naøo thì hình chieáu cuûa noù leân maët phaúng hình chieáu aáy laø chính noù. Hai hình chieáu coøn laïi thuoäc hai truïc taïo maët phaúng hình chieáu aáy.
1
eát luaän: Moãi ñieåm A trong khoâng gian ñöôïc bieåu dieãn baèng caùc caëp ñi3) cuøng naèm treân ñöôøng doùng thaúng goùc vôùi Ox, Oy, Oz. Ngöôïc laïi caùc caëp (A , A , A ) baát kyø cuøng naèm treân ñöôøng doùng kheùp kín laø hình bieåu dieã1 2 3
eåm A xaùc ñònh trong khoâng gian.
2. Ñieåm coù vò trí ñaëc bieät
ình ch
A
∈ Ox ∈ Oy
Hình 2.3
A ∈ MPHC P1 → A ≡ A1
A2 ∈ Ox ∈ Oz
D1 D3 3
D ∈ MPHC P2 → D ≡ D2
Hình 2.2
Trang 39
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
b. Ñieåm thuoäc truïc (thuoäc hai maët phaúng hình chieáu)
Ñieåm thuoäc truïc naøo thì hình chieáu cuûa noù leân hai maët phaúng hình chieáu taïo neân truïc aáy laø chính noù, hình chieáu thöù ba thuoäc goác toïa ñoä O.
3
1
Ñieåm trong khoâng gian ñöôïc xaùc ñònh baèng caùc khoaûng caùch ñoä roäng, ñoä cao, ñoä x aø ñöôïc qui öôùc ghi: A (XA, YA, ZA) → A (X, Y, Z)
Ví d
aùc truïc) sau ñoù xaùc ñònh vò trí hình chieáu ñieåm theo toïa ñoä ñaõ bieát:
XA = 3, YA = 1, ZA = 2 → keû ñöôøng doùng vuoâng goùc vôùi truïc, ñeå xaùc ñònh vò trí A1,A2,A3.
Khi bieát toïa ñoä cuûa ñieåm ta coù theå nhaän xeùt ñöôïc vò trí cuûa ñieåm trong heä thoáng maët phaúng hình chieáu:
+ Ñieåm coù vò trí baát kyø coù ba toïa ñoä khaùc khoâng. + Ñieåm thuoäc maët phaúng hình chie toïa ñoä baèng khoâng.
Ñieåm thuoäc truïc coù hai toïa ñoä baèng khoâng.
Ví du
M ( 4, 0, 2) → Ñieåm coù YM = 0 → ñie = 0 →
.4
Hình 2.5
M ∈ Ox → M1 ≡ M2
M ≡ O N ∈ Oy → N3 ≡ N2
N ≡ O
c. Ñieåm thuoäc goác toïa ñoä O
Ñieåm thuoäc goác toïa ñoä thì caùc hình chieáu cuûa noù ñeàu truøng goác toïa ñoä. 3. Toïa ñoä ñieåm
a so vôùi moác laø goác toïa ñoä v
uï: Döïng ñoà thöùc ñieåm A (3, 1, 2)
- Caùch döïng:
Treân caùc truïc toïa ñoä ñònh ra caùc ñôn vò daøi (tyû leä gioáng nhau cho c
Hình 2
áu coù moät+
ï:
åm thuoäc MPHC P1
N (0, 0, 5) → Ñieåm coù XN = 0, YN ñieåm thuoäc truïc OZ
Trang 40
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Tham khaûo moät soá vò trí ñieåm naèm ngoaøi goùc tö I. Trong heä thoáng nhò dieän P1 vaø P2 ta coù
S1, S2, S3 laø nhöõng höôùng chieáu töông öùng vuoâng goùc vôùi P , P vaø . Maët phaúng P 1 2 G 1
ñöôïc choïn laøm maët phaúng hình veõ (treân ñoù thaønh laäp moâ hình cuûa khoâng gian)
gian thì hình chieáu cuûa noù laø nhöõng ñoacoù vò trí baát kyø trong heä truïc. Hoaëc noùi: ñöôøng thaúng (l 1, l 2) khoâng moãi caëp ñöôøngvuoâng goùcmoät ñö
vôùi truïc x ñeàu laø hình bieåu dieãn cuûa ôøng thaúng xaùc ñònh trong khoâng gian.
A (XA, YA, ZA) B (XB, YB, ZB
Hình 2.11
Hình 2.12
B)
l(A,B) → 1 1 1(A B )⎧⎨
2 2 2(A B )⎩
Trang 43
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Nhaän xeùt: - Khi ñöôøng thaúng coù vò trí baát kyø thì caùc toïa ñoä töông öùng ôû hai ñieåm ñaàu nuùt
khaùc nhau töøng ñoâi moät (XA ≠ XB ; YA ≠ YB; ZB A ≠ ZB) - Ñöôøng baát kyø luoân coù hai giao ñieåm vôùi hai maët phaúng hình chieáu goïi laø veát.
(Hình 1.29 bieåu dieãn ñoaïn AB caét maët phaúng hình chieáu P1 vaø P2)
2. Ñoaïn (ñöôøng) thaúng coù vò trí ñaëc bieät
a. Ñoaïn thaúng song song vôùi moät MPHC
Ñoaïn thaúng song song vôùi maët phaúng hình chieáu naøo, thì hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng hình chieáu aáy nguyeân hình (song song vaø baèng chính noù). Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn song song vôùi hai truïc taïo neân m
aët phaúng hình chieáu aáy.
AB ⁄⁄ MPHC P2 → A2B2 = AB ; A1B1 ⁄⁄ Ox ; A3B3 ⁄⁄ Oy
Hình 2.13: bieåu dieãn ñoaïn AB x MPHC P2 = M (veát baèng) AB x MPHC P1 = N (veát ñöùng)
Hình 2.14
Trang 44
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
a) m ⁄⁄ MPHC P1 b) b ⁄⁄ MPHC P2 c) c ⁄⁄ MPHC P3
(ñöôøng maët) (ñöôøng baèng) (ñöôøng caïnh)
Nhaän xeùt: + Ñöôøng maët → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä xa (Oy) + Ñöôøng baèng → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä cao (Oz) + Ñöôøng caïnh → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä roäng (Ox)
Neáu toïa ñ teân baèng hau thì ñoaïn th
Ví duï: → AB // MPHC P2
C (4, 3, 2), D (2, 3, 2) → Y = Y = 3 → CD // MPHC P1
4 → EF // MPHC P3
Ñoaïn thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu naøo thì hình chieáu cuûa noù leân maët phaúng hình chieáu aáy laø moät ñieåm. Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn thaúng vuoâng goùc vôùi hai truïc neân maët phaúng hình chieáu aáy.
oä hai ñieåm ñaàu nuùt cuûa moät ñoaïn thaúng coù moät caëp cuøngn aúng song song vôùi moät maët phaúng hình chieáu.
A (6, 2, 3), B (1, 3, 3) → ZA = ZB = 3 C D
E (4, 2, 5), F (4, 1, 3) → XE = XF =
b. Ñoaïn (ñöôøng thaúng) vuoâng goùc vôùi moät MPHC (hoaëc song song vôùi hai MPHC kia)
222 BAC ∈ . Nhöng ngöôïc laïi khi coù ñieàu kieän 111 BAC ∈ vaø thì trong khoâng gian chöa chaéc C ñaõ thuoäc AB. Muoán bieát C coù thuoäc AB hay khoâng ta phaûi söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song.
Ñònh lyù: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñieåm C thuoäc ñöôøng caïnh AB laø tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu ñöùng cuûa A, B, C baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu baèng cuûa chuùng.
Ñieàu kieän caàn: C∈AB → C1∈A1B1; C2∈A2B2 → (A1B1C1) = (A2B2C2) Ñieàu kieän ñuû: Neáu AB laø ñöôøng caïnh vaø C laø moät ñieåm sao cho (A1B1C1) =
(A2B2C2) thì C∈AB. (Hình 2.19a)
H
222 BAC ∈
ình 2.18b
Hình 2.17c
Trang 47
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Tìm hình chieáu baèng I2. Aùp duïng tæ soá ñôn ba ñieåm hình chieáu ñöùng
baèng tæ soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu baèng (M1 I1 N1 = M2 I2 N2) (caùch tìm nhö hình 2.19b)
Quy taéc 2: Ñieåm chia ñoaïn thaúng trong khoâng gian theo tyû soá naøo thì treân caùc hình chieáu tyû soá ñoù khoâng ñoåi.
I∈AB → I1 ∈ A1B1
2 ∈ A2B2
I A B
Ví duï: Cho ñieåm I∈MN bieát M1N1; M2N2 vaø I1
I
3 ∈ 3 3
1 1 2 2
1 1 2 2 3 3
A IAI KBI B I B I B I
3 3A I A I K= → = = =
chieáut ún
- ∈MN Keùo daøi → I1∈M1N1 Keùo daøi ; I2∈M2N2
Hình 2.21
H
Hình 2.19b
ình 2.19a
Nhaän xeùt:
- Ñieåm thuoäc ñoaïn thaúng keùo daøi thì hình cuûa ñieåm cuõng thuoäc hình chieáu cuûa ñoaïn
ha g keùo daøi.
I Keùo daøi (hình 2.21)
Hình 2.20
Trang 48
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
- Ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng, neáu bieát moät hình chieáu cuûa ñieåm seõ tìm ñöôïc hình chieáu kia baèng phöông phaùp doùng.
Ví duï: Cho ñoaïn thaúng AB xaùc ñònh ñieåm M AB sao cho nm
MBAM
=∈ (m, n laø
caùc ñoä daøi cho tröôùc).
Giaûi: Vì tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm thaèng haøng baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu cuûa chuùng, neân treân ñoà thöùc, muoán xaùc ñònh ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo
Trong khoâng gian hai ñöôøng thaúng khaùc nhau thì hoaëc laø:
hai ñöôøng thaúng caét nha→
hai ñöôøn→+ Coù moät ñieåm chung voâ haïn
hai ñö eùo h u.ôøng thaúng ch n a→
aø ñöôøng thaúng ta suy ra caùch
ñöôøng doùng- Trö axb = I → a1 x b1 = I1; a2 x b2 = I2
→ Hình 2.23a
Trang 49
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
3141 x 1 3242 x 1222 = J2
→ J J vuoâng goùc vôùi Ox
g o hai ñöôøng thaúng laø ñöôøng caïnh
n(3,4) x m(1,2) = J → 121 = J1
1 2
- Tröôøn hôïp moät tr ng
Hình .2 2 3b
Ví duï: Coù C vaø 22222 KBAxDC = 11111 KBAxD =
Muoán
Caùch 1: Söû duïng hình chieáu thöù 3 neáu CDKDCK
bieát CD coù caét AB hay khoâng ta phaûi xeùt K coù thuoäc CD hay khoâng.
333 ∈→∈ .
Caùch 2: Söû duïng tính chaát baûo toaøn tyû soá h chieáu ( )
D khoâng caét nhau vì caùc hình chieáu
ñôn cuûa ba ñieåm hìn 222111 KDCKDC =
Hình 2.24: AB vaø Cñieåm K khoâng thuoäc CD hoaëccuûa K khoâng chia caùc hình chieáu cuøng teân cuûa CD theo cuøng moät tæ soá. Hình 2.24
2. Hai ñöôøng thaúng song song nhau
→ a // b → a1 // b1; a2 // b2 m (3,4) // n (1,2) 3242 // 1222
3141 // 1121;
Hình 2.25 Trang 50
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng teân cuûa chuùng cuõng song song nhau h
thaúng song song nhau laø hình chieáu cuøng o ñöôøng thaúng song song nhau thì hình
chieáu cuûa chuùng treân cuøng moät MPHC cuõng song song nhau. - Khi caû hai ñöôøng thaúng ñeàu laø ñöôÑieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñö
aëc: hai
øng caïnh ôøng caïnh AB vaø CD song song nhau laø
22
22
11
11
BADC
BADC
=
AB // CD → A1B1 // C1D1 ; A2B2 // C2D2
Vaø 22
2211 CDC=
11 BAD
BA
cuøng thuoäc moät ñöôøng doùng)
u (hai ñöôøng thaúng khoâng cuøng thuoäc moät
asong song nhau) thì hai ñöôøng thaúng
aúng coù moät ñöôøng thaúng laø ñöôøng caïnh, ta söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song ñeå xaùc ñònh hai ñöôøng ôû vò trí cheùo nhau hay caét nhau treân ñoà
laø ñöôøng caïnh, ta söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song ñeå xaùc ñònh hai ñöôøng ôû vò trí cheùo nhau hay caét nhau treân ñoà thöùc (hình 2.25b, hình2.25c)
- Hình 2.26 minh hoïa khoâng gian cuûa ñöôøng thaúng cheùo nhau vaø dieãn taû ñieåm
. Phaúng
g.
huoäc ñöôøng.
α γ (a) (b) (c) (d)
mpα (A,B,C) mpγ (C,a) mp Q (AB x AC) mp P ( AB // CD)
Hình 2.28
Hình 2.29
Trang 52
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ngoaøi ra ngöôøi ta coøn bieåu dieãn maët phaúng baèng giao tuyeán cuûa noù vôùi heä thoáng …; v …(hình 2.28) maët phaúng hình chieáu goïi laø veát. Kyù hi
mpα (veäu: v1 2
1α;v2α)
β
1
T (maët phaúng) coù vò trí baát kyø thì t chuùng laø nhöõng hình phaúng (maët phaúng) coù vò trí baát k
2. Hình phaúng (maët phaúng) vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu
Hình phaúng vuoâng goùc vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù leân MPHC aáy laø moät ñoaïn thaúng. Hai hình chieáu coøn laïi laø hai hình phaúng coù vò trí baát kyø trong heä truïc.
3. Hình phaúng (maët phaúng) song song vôùi moät MPHC
Hình phaúng song song vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù leân MPHC ñoù song song vaø baèng chính noù (baèng hình thaät). Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn thaúng song song vôùi hai truïc taïo neân MPHC ñoù.
- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P1: goïi laø maët phaúng maët
- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P2: goïi laø maët phaúng baèng
- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P3: goïi laø maët phaúng caïnh
(Vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng hình chieáu coøn laïi)
iaûi: ì EFGH ⊥ P2 neân hình chieáu baèng cuûa giao tuyeán truøng v
ñöôïc K2I2 doùng le
Ñieåm I1 phaûi tìm baèng phöông phaùp gaén ñieåm (gaén I thuoäc KM, bieát K2M2 doùng leân tìm K1M1 caét E1F coù I1 xeùt thaáy khuaát nhö hình veõ 2.57
Trang 66
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ví duï 3: cho maët phaúng R (v1R,v2P) vaø án cuûa hai maët phaúng bieát mpQ ⊥ P1.
Vì hai maët phaúng bieåu dieãn baèng veát ta coù ngay hai ñieåm chung M vaø N. Tìm hchieáu cuûa MN, roài noái laïi coù giao tuyeán hai hphaúng caét nhau (Hình veõ 2.58)
Nhaän xeùt: Khi moät trong hai yeáu t
tröôøng hôïp ñaëc bieät thì ta coù ngay hì chiao tuyeán ôû m tìm hình chieáu coøn laïi
aén ñieåm.
án mp(ABC) x mp(M ⊥ P
haønh moät ñieåm (ñieåm giao cuûa hai hình phaúng ôû MPHC P2) doùng leân ta ñöôïc I1K1 (giao tuyeán laø phaàn giôùi haïn giöõa hai hình
Hình 2.57
maët phaúng Q (v1Q, v2Q) tìm giao tuye
neân ình ình
oá ôû ieáu nh
g oät MPHC, Hình 2.58
Hình 2.59
cuûa giao tuyeán baêng phöông phaùp doùng hoaëc g
b. Caû hai yeáu toá ôû tröôøng hôïp ñaëc bieät:
Ví duï 4: Tìm giao tuyeNPQ) = IK bieát (ABC)⊥ P , MNPQ 2 2
Do hai hình phaúng vuoâng goùc vôùi MPHCneân giao tuyeán IK cuõng vuoâng goùc vôùi P
P2 2.
I2K2 trôû t
phaúng)
Xeùt thaáy khuaát hình 2.59
Trang 67
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Ví duï 5: Tìm giao tuyeán hai hình phaúng mp R (v1R, v2R), mp Q (v1Q, v2Q) bieát mp R vaø mp Q cuøng vuoâng goùc vôùi P1 → mp R x mp Q = MN (Hình veõ 2.60a)
(a) (b)
Hình 2.60b bieåu dieãn tröôøng hôïp maët phaúng Q caét maët phaúng R, khi maët phaúng R vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu P1; maët phaúng Q vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu P2
c. Caû hai yeáu toá ôû tröôøng hôïp baát kyø
Trong tröôøng hôïp naøy chöa coù ngay hình chieáu giao tuyeán ôû MPHC naøo. Do vaäy ta phaûi tìm ít nhaát hai ñieåm chung, noái laïi seõ ñöôïc giao tuyeán.
í duï 6: Tìm giao tuyeán hai hình phaúng BC x DEHF
õ 2.61
Hình 2.60
VA
Giaûi: - Tìm giao ñieåm ED x mp (ABC) = I
- Tìm giao ñieåm HF x mp (ABC) = K Noái IK ta ñöôïc giao tuyeán Xeùt thaáy khuaát hình ve
Caùc ñieåm I vaø K cuûa giao tuyeán coù theå laø nhöõng ñieåm höõu haïn hay nhöõng ñieåm vo ø ñieåm voâ taän thì hai mp P vaø mp Q caét nhau theo ñöôøng thaúng voâ taän, töùc laø hai maët phaúng song song vôùi nhau.
nh giao ñieåm ñöôøng thaúng vaø maët
ûi tìm.
a aùp duïng baøi toaùn tìm giao tuyeán cuûa maët phaúng ñaëc bieät vaø p aúng baát kyø ñaõ hoïc.
â taän. Neáu caû hai ñieåm ñeàu la
3. Moät vaøi baøi toaùn a. Ta xeùt hai baøi toaùn vò trí cô baûn: xaùc ñò
Giaûi: - Vì ñöôøng thaúng d ñi qua A vaø caét ñöôøng thaúng p neân d laø moät ñöôøng thaúng
cuûa moät maët phaúng (A,p). - Töông töï ñöôøng thaúng d qua A vaø caét ñöôøng thaúng q neân d laø moät ñöôøng
thaúng cuûa maët phaúng (A, q).Do ñoù d laø giao tuyeán cuûa: mp (A, p) x mp (A, q) = d - Hai maët phaúng ñaõ coù moät ñieåm A chung, ta chæ caàn tìm theâm moät ñieåm
chung nöõa. - Baøi toaùn ñöa veà tìm giao ñieåm B cuûa ñöôøng thaúng p x mp (A,q) hoaëc q x mp
(A,p).
Trang 70
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
- (giao ñieåm ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng)
g ñöôøng thaúng d song song vôùi ñöôøng thaúng l vaø caét hai ñöôøng thaúng cheùo nhau p vaø q.
- Noái AB ta coù ñöôøng thaúng d caàn tìm (Hình veõ 2.64)
Baøi toaùn 2: Döïn
α β
l
l
l
Giaûi: Baøi toaùn laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn 1 khi A laø ñieåm voâ taän. Do ñoù ñöôøng
thaúng d caàn tìm laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng. Maët phaúng α chöùa p vaø song song vôùi l vaø maët phaúng β chöùa q vaø song song vôùi l.
Caùc böôùc thöïc hieän:
α- Qua O ∈ p döïng ñöôøng thaúng u // l → mp (p x u) // l
o tuyeán cuûa mp
- Qua O’ ∈ q döïng ñöôøng thaúng v // l → mp β (v x q) // l
- Tìm gia α x mp β = d
Do giao tuyeán d caàn tìm seõ song song vôùi l neân ta chæ caàn tìm moät ñieåm chung cuûa hai maët phaúng α vaø maët phaúng β (ñieåm B) töø B keû ñöôøng thaúng song song vôùi l ñoù chính laø ñöôøng d phaûi döïng.
- AB laø caïnh huyeàn tam giaùc vuoâng ABA vuoâng ôû A , coù caïnh BA song so0 0 0 ng aø baèng A2B vaø caïnh AA coù ñoä daøi baèng hieäu ñoä cao hai ñieåm A vaø B.
- Töông töï: Vì AB cuõng laø caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng BAB0 vuoâng ôû B0 vaø coù ca
- Do ñoù vieäc xaùc ñònh ñoä daøi ñöa veà vieäc veõ caïnh hu
Thöïc hieän treân ñoà thöùc: + Xaùc ñònh hieäu ñ
Trang 72
GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH
Thöïc hieän treân ñoà thöùc:
• Coá ñònh ñieåm A1 keû A1 n // Ox.
• Laáy A1 laøm taâm quay cung troøn coù baùn kính A1B1 (cung troøn caét A1 n cho ta ñieåm )
• Töø B2 keû B2m // Ox
• Gioùng xuoáng B2m coù
• Noái A2 vaø coù A = AB (Sau khi dòch chuyeån A // MPHC P2)
uû ñeå moät goùc coù moät caïnh song song vôùi MPHC laø moät goùc vuoâng, laø hình chieáu thaúng goùc cuûa no laø moät goùc vuoâng.
maët a ñöôøng maët cuûa maët phaún
2
1 ⊥ m1 vaø d2 ⊥ b h
i ñöôøng thaúng caét n u
Khi maët phaúng Q song song vôùi truïc x thì ñöôøng thaúng d vuoâng goùc seõ laø ñöôøng aïnh. Nhöõng ñöôøng baèng vaøø ñöôøng maët cuûa Q seõ song song nhau (song song vôùi truïc
X). M i xeùt ñieàu kieän ñeå d vuoâng gocù vôùi ñöôøng thaúng khaùc
Hình 2.67
*1A
*1A *
2A *2A 2 *
2A*A
Baøi toaùnÑònh lyù cô sôû ñeå giaûi baøi toaùn naøy laø ñònh lyù veà hình chieáu thaêûng goùc maø ta