Comunicações Digitais 1 – Aula 16– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012 1 Aula 16 Transformada de Fourier Rápida (FFT) - DIT Bibliografia OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 2010. ISBN 9780131988422. Páginas 716-737. CARLSON, G. E. Signal and linear system analysis, 2nd ed., John Wiley, 1998, ISBN 0471124656. Pági- nas 703-715. 5. Transformada de Fourier Rápida (FFT) Definimos a TFD como [] [] [] [] 2 1 0 2 1 0 , 0 1 0 caso contrário 1 , 0 1 0 caso contrário N j nk N n N j nk N n xne k N Xk Xke n N xn N π π - - = - = ≤ ≤ - = ≤ ≤ - = ∑ ∑ Mas se denominarmos N j N e W π 2 - = , teremos: [] [] [] [] - ≤ ≤ = - ≤ ≤ = ∑ ∑ - = - - = contrário caso 0 1 0 , W 1 contrário caso 0 1 0 , 1 0 1 0 N n nk N N n nk N N n k X N n x N k W n x k X Para a TFD, em termos de processamento teremos: • Número de multiplicações complexas para 1 coeficiente = N • Número de multiplicações complexas para N coeficientes = 2 N • Número de somas complexas para 1 coeficiente = 1 - N
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Comunicações Digitais 1 – Aula 16– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
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Aula 16 Transformada de Fourier Rápida (FFT) - DIT
Bibliografia
� OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 2010. ISBN
9780131988422. Páginas 716-737.
� CARLSON, G. E. Signal and linear system analysis, 2nd ed., John Wiley, 1998, ISBN 0471124656. Pági-
nas 703-715.
5. Transformada de Fourier Rápida (FFT)
� Definimos a TFD como
[ ] [ ]
[ ] [ ]
21
0
21
0
, 0 1
0 caso contrário
1, 0 1
0 caso contrário
N j nkN
n
N j nkN
n
x n e k NX k
X k e n Nx n N
π
π
− −
=
−
=
≤ ≤ −=
≤ ≤ −=
∑
∑
� Mas se denominarmos Nj
N eWπ2−
= , teremos:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
contrário caso 0
10 ,W1
contrário caso 0
10 ,
1
0
1
0
N
n
nkN
N
n
nkN
NnkXNnx
NkWnxkX
� Para a TFD, em termos de processamento teremos:
• Número de multiplicações complexas para 1 coeficiente = N
• Número de multiplicações complexas para N coeficientes = 2N
• Número de somas complexas para 1 coeficiente = 1−N
Comunicações Digitais 1 – Aula 16– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
2
0 1 2 3 N-2 N-1
X(n)
Xe(n) Xo(n)
• Número de somas complexas para N coeficientes = ( )1−NN
• Número total de operações = NNNNN −=−+ 222 2 .
� Filosofia básica desejada para cálculo eficiente da TFD via FFT: explorar
propriedade de nkNW :
• Periodicidade - ( )( ) nk
NNkmNn
N WW =++ ℓ
• Simetria - ( ) ( )km
NmNk
N WW =+.
� Além disso, veja que uma TFD de dois pontos é muito simples de calcular. Se
{ };x n a b↑
= , { };X k a b a b↑
= + − .
5.1. Algoritmo DIT (dizimação no tempo) raiz – 2
� Caso particular para VN 2= , onde V é um inteiro.
� Dado [ ] 10, −≤≤ Nnnx . Podemos dividir a seqüência em parte par e parte