احتمالات الحوادث المركبة

احتمال ت الحوادث المركبة

:فيما سبق. درست حساب احتمال بسيط

:وال:ن

- أوجد احتمال حادثتين مستقلتين أو حادثتين غير مستقلتين .

- أوجد احتمال حادثتين متنافيتين أو حادثتين غير متنافيتين .

- الحادثة المركبة

- الحدثتا:ن المستقلتا:ن

- الحادثتا:ن غير المستقلتين

- الحادثتا:ن المتنافيتا:ن

يرغب خالد في السفر. بالطائرة من الرياض إلى جدة

وتشير تقارير شركة الطيرا:ن إلى وصول % من الرحل ت92الطائرا ت في موعدها بنسبة .

% من 1كما تشير إلى فقدا:ن المتعة في الحال ت. فما احتمال وصول طائرة خالد في

موعدها وعدم فقدا:ن أمتعته؟

الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة: تذكر بأ:ن الحادثة الواحدة مثل الطيرا:ن إلى جدة ستسمى حادثة بسيطة. وأ:ن الحادثة المركبة تتكو:ن من حداثتين

بسيطتين أو أكثر. فاحتمال وصول الطائرة في موعدها وعدم فقدا:ن المتعة

مثال على الحادثة المركبة.

وقد ليؤثر وصول الطائرة في موعدها على فقدا:ن المتعة أو

عدمه، وستسمى هاتا:ن الحادثتا:ن؛ حادثتين مستقلتين، ل:ن نتيجة

إحداهما ل تؤثر في نتيجة الخرى .

مفهوم أساسي: احتمال الحوادث

المستقلة

التعبير اللفظي:

إذا كانت الحادثتا:ن أ و ب مستقلتين، فإ:ن احتمال وقوعهما مع ا يساوي حاصل ضرب

.احتمال الحادثة أ في احتمال الحادثة ب

مفهوم أساسي: احتمال الحوادث

المستقلة

الرموز:

(ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب

1مثال

زرقاء 9 كرات سوداء و6يحتوي كيس كرات زوجية: حسحبت منه كرة 4و صفراء وكرتين خضراوين. فإذا

حسحبت كرة ثانية، فأوجد احتمال يعشوائي ا ثم حأيعيدت وسحب كرة سوداء ثم كرة صفراء .

احتمال الحوادث المستقلة

1مثال احتمال الحوادث المستقلة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــالكرة الولى: ح (سوداء) = ــــــــــيعدد الكرات السوداء

يعدد الكرات الكلي

6

21

الكرة الثانية: ح (صفراء) = ــــــــــيعدد الكرات الصفراء

يعدد الكرات الكلي

421

= (ح (سوداء وصفراءاحتمال الحوادث المستقلة (ح (سوداء) × ح (صفراء

642121

24 ـــــــ × ـــــــــ = ــــــــــــ =441

يعوض

% تقريب ا5.4الحتمال يساوي ــــــــــ = 24

441

) حدد اذا كانت الحوادث 1مستقلة أم غير مستقلة :

الحادثة مستقلة

تحقق من فهمك

أ) ح (زرقاء وخضراء)1

% تقريبا4.1ـــــــــــــــ = ـــــــــــــ =2×921×21

18441

مثال خارجي

زرقاء و4كرات سوداء و3يحتوي كيس كرات زوجية: حسحبت منه كرة 3 صفراء وكرتين خضراوين. فإذا

حسحبت كرة ثانية، فأوجد يعشوائي ا ثم حأيعيدت و

) حدد اذا كانت الحوادث 1مستقلة أم غير مستقلة :

الحادثة مستقلة

)سوداء وزرقاءأ) ح (1

ـــــــــــــــ = ـــــــــــــ 4×312×12

12144

يعندما تؤثر نتيجة حادثة ما في نتيجة حادثة أخرى نقول يعنهما:

إنهما حادثتان غير مستقلتين، ففي إذا لم حترجع الكرة التي 1المثال

حسحبت في المرة الولى إلى الكيس،

مفهوم أساسي: احتمال الحوادث

غيرالمستقلة

التعبير اللفظي:

إذا كانت الحادثتان أ و ب غير مستقلتين، فإن احتمال وقويعهما مع ا يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة أ في احتمال وقوع الحادثة ب بعد

. وقوع الحادثة أ

احتمال الحوادث مفهوم أساسي: غيرالمستقلة

الرموز:

. (ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب بعد أ

تأكد

بين إن كانت الحوادث في الئسئلة التية مستقلة أم غير مستقلة، ثم أوجد احتمال كل منها:

5 تفاحات و6تحتوي ئسلة على فواكه: ) 2 دراقات. إذا اختار 5 برتقالت و4موزات و

ماجد عشوائي ا حبة واحدة من الفاكهة وأكلها ثم اختار حبة ثانية. فما احتمال أن يكون قد

اختار موزة ثم تفاحة؟

الحوادث غيرالمستقلة

تأكد

بين إن كانت الحوادث في الئسئلة التية مستقلة أم غير مستقلة، ثم أوجد احتمال كل منها:

% تقريبا11.1غير مستقلة ، ـــــــــ = 338

تسمى الحادثتان اللتان الحوادث المتنافية: ل يمكن وقوعهما مع ا حادثتين متنافيتين. افترض أنك تريد أن تجد احتمال ئسحب بطاقة حمراء أو بطاقة زرقاء من وعاء

يحتوي بطاقات ملونة.

بما أنه ل يمكن أن تكون البطاقة حمراء وزرقاء في الوقت نفسه فتسمى هاتان الحادثتان حادثتين

متنافيتين .

إرشادات للدرائسة

و“ ”أو“ ترتبط”الحتمالت التي تتضمن ”و“ بالحوادث المستقلة وغير المستقلة، في حين ترتبط الحتمالت التي تتضمن ”أو“ بالحوادث

.المتنافية وغير المتنافية

مفهوم أساسي:

الحوادث المتنافية

التعبير اللفظي:

إذا كانت الحادثتان أ و ب متنافيتين فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتمالي

. الحادثتين

مفهوم أساسي:

الحوادث المتنافية

الرموز:

(ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب

مفهوم أساسي: الحوادث غير

المتنافية

التعبير اللفظي:

إذا كانت الحادثتان أ و ب غير متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع

. احتماليهما ناقص احتمال وقوع الحداثتين مع ا

مفهوم أساسي: الحوادث غير

المتنافية

الرموز:

(ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب) – ح (أ و ب

!تنبيه

تقاطع الحوادثعند إيجاد احتمال ت الحوادث غير المتنافية

هنحسب تقاطع الحادثتين مرتين لهنه يوجد في كلتا الحادثتين. لذا يجب الهنتباه إلى أهنه في

.الحقيقة يقع في تقاطعهما مرة واحدة

تأكد بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على

ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم

الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم أوجد الحتمال:

) 8 أو 2) ح (4

الحل

بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد

قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم

أوجد الحتمال:

1متنافيتان ـــــــــ4

تأكد

بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد

قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم

أوجد الحتمال:

) ح (حمراء أو زقرقاء)5

الحل

بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد

قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم

أوجد الحتمال:

1متنافيتان ـــــــــ2

تأكد

بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد

قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم

أوجد الحتمال:

) ح (زوجي أو سوداء)6

الحل

بيضاء 8 سوداء و8 كرا ت حمراء و8يحتوي صندوق على ققرقمت كرا ت كل لون بالقرقام من 8و ، 8 إلى 1 زقرقاء، وقد

قسحبت كرة واحدة عشوائي ا من الصندوق. حدد هل ثم الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتان أم غير متنافيتين، ثم

أوجد الحتمال:

5غير متنافيتان ـــــــــ8