Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesibekirdizdaroglu.com/ceng/Downloads/yskc.pdf · Karmaşık Sayılar •Karmaşık sayılar, deformasyon biçim bozulması
Post on 01-Jul-2020
7 Views
Preview:
Transcript
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
Bekir DİZDAROĞLU Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
www.bekirdizdaroglu.com
Karmaşık Sayılar
𝐼 ∈ 𝐿2 ℂ karmaşık düzlemde tanımlı gri düzeyli bir imgeyi
göstersin ve 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 gerçel kartezyen koordinatlarda 𝐼
imgesinin pikselleri 𝐼 𝑧 ile temsil edilsin, burada 𝑧 = 𝑥 + 𝐢𝑦
ve eşleniği 𝑧 = 𝑥 − 𝐢𝑦 olarak alınır.
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥 + 𝐢𝑦 = ℜ 𝑓 + 𝐢ℑ(𝑓) 𝑥 =𝑧 + 𝑧
2 𝑦 =
𝑧 − 𝑧
2𝐢
𝜕𝑓
𝜕𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑧 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧 =
1
2
𝜕𝑓
𝜕𝑥+ 𝐢
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧=
1
2
𝜕𝑓
𝜕𝑥− 𝐢
𝜕𝑓
𝜕𝑦
Karmaşık Sayılar
• Kuvvet serisi yaklaşımı
𝑓 𝑧, 𝑧 = 𝑧𝑗𝑧 𝑙
𝑗! 𝑙!
∞
𝑙=0
∞
𝑗=0
𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧
𝑙 𝑓 0 (1)
Karmaşık Sayılar
• Karmaşık sayılar, deformasyon (biçim bozulması) işlemini gerçekleştirmekten başka bir şey değildir.
• “Döndürme, öteleme ve ölçekleme işlemlerini yapar” diye bir tanımlama getirilebilir.
Karmaşık Sayılar
z=x+iy
z=-y+ix
z=1
ℑ eksen
∅
ℜ eksen
Bir nesnenin karmaşık sayı düzleminde deformasyona
uğratılması: Nesne, saat yönünün tersinde ∅ = tan−1 𝑦/𝑥
açısına bağlı olarak döndürülmüş, 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 değerine
göre de ötelenmiş ve ölçeklenmiştir
Karmaşık Sayılar
• Döndürme
𝑅 ∅ = cos ∅ sin ∅−sin ∅ cos ∅
Özvektör_1 Özvektör_2
𝑥cos ∅ + 𝑦sin ∅ + 𝐢 − 𝑥sin ∅ + 𝑦cos ∅ =
cos ∅ − 𝐢 sin ∅ 𝑧 = 𝑒−𝐢∅𝑧
𝑒𝐢∅𝑧
z karmaşık sayı eşleniğinin açısıyla döndürülmesi
Karmaşık Sayılar
• Gri düzeyli bir imgeyi döndürdüğümüzde aşağıdaki eşitlik verilebilir:
• Gri düzeyli bir imgenin (i,j). karmaşık türevi:
𝑔∅𝐼 𝑧 = 𝐼 𝑒−𝐢∅𝑧
𝑔∅𝑓 𝑧 = 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧
𝑙 𝑔∅𝐼 𝑧 = 𝑒−𝐢∅ 𝑗−𝑙 𝑓(𝑒−𝐢∅𝑧)
𝑓 = 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧
𝑙 𝐼
Karmaşık Sayılar
• i=j=1 alınırsa,
𝜕𝑧𝜕𝑧 𝐼 = 1 2 × 𝜕𝐼 𝜕𝑥 − 𝐢 𝜕𝐼 𝜕𝑦 1 2 × 𝜕𝐼 𝜕𝑥 + 𝐢 𝜕𝐼 𝜕𝑦
= 𝜕2𝐼 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝐼 𝜕𝑦
2 4 = 𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝑦𝑦 4
= ∆𝐼/4
Laplace işleci (Isı denklemi)->Alçak Geçiren Süzgeç Davranışı gösterir
Karmaşık Sayılar
• Öteleme
• f karmaşık fonksiyonunu öteleme
𝑇𝑢 = 𝑒𝑢𝜕𝑧 = 𝑢𝑗
𝑗!
∞
𝑗 =0
𝜕𝑧𝑗 ve 𝑇 𝑢 = 𝑒𝑢 𝜕𝑧 =
𝑢 𝑗
𝑗!
∞
𝑗 =0
𝜕𝑧 𝑗
𝑒𝑢𝜕𝑧𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧 + 𝑢 𝑒𝑧 = 𝑧𝑗 𝑗!
∞
𝑗 =0
𝑇𝑢𝑇 𝑢 𝑓 𝑧, 𝑧 = 𝑓 𝑧 + 𝑢, 𝑧 + 𝑢
Gauss Fonksiyonu
• Gauss Fonksiyonunun Karmaşık Türevi:
• Türev alma işlemi karmaşık değerli değişkenlerin birbirinden bağımsız olmasıyla gerçekleştirilmektedir.
𝜕𝑧𝑗𝑒− 𝑥2+𝑦2 = 𝜕𝑧
𝑗𝑒−𝑧𝑧 = −𝑧 𝑗𝑒−𝑧𝑧 (1)
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• Karmaşık süzgeç:
𝐹∅ 𝑧 = 𝛽𝑗 ∅
𝑁−1
𝑗 =0
𝑘𝑗 𝑧
𝛽𝑗 ∅ = 𝑒𝐢∅𝜗𝑗 𝑘𝑗 𝑧
Yön bağımlı ağırlık katsayıları Döndürme yönünden bağımsız temel süzgeçler
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• Gri düzeyli imgeyi karmaşık süzgeçle katlama
• Karmaşık türev alma işlemine dayalı yönlendirilebilir süzgeç fonksiyonu
𝐹∅ ∗ 𝐼 𝑧 = 𝛽𝑗 ∅
𝑁−1
𝑗=0
𝑘𝑗 ∗ 𝐼 𝑧 (1)
𝐹∅ 𝑧 = 𝑒−𝐢∅ 𝑗−𝑙
𝑁−1
𝑙=0
𝛼𝑗𝑙 × 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧
𝑙𝑘
𝑁−1
𝑗 =0
𝑧 (1)
Açılım katsayıları
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• Gabor süzgeci,
– Gauss fonksiyonunun karmaşık bir sinüs dalgasıyla çarpımından elde edilmektedir
– Kenar gibi imge özniteliklerinin etkili bir şekilde çıkartılması işleminde kullanılmaktadır
𝐹𝑢𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑇𝑢𝑇 −𝑢 𝑒
−𝑧𝑧 = 𝑒− 𝑧+𝑢 𝑧 −𝑢
= 𝑒−𝑧𝑧 +𝑧𝑢 −𝑢𝑧 +𝑢𝑢
𝑘 𝑧 = 𝑒−𝑧𝑧
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• Gabor süzgeci, alınırsa,
𝐹𝑢𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑒𝑢𝑢 𝑒−𝐢2ℑ 𝑢𝑧 𝑒−𝑧𝑧
ℑ 𝑧 = 1 2𝐢 × 𝑧 − 𝑧
Süzgecin döndürme yönünü ve şeklini belirler: Gerçel değer olursa, sadece süzgecin şekli belirlenir.
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• Gabor süzgeci,
𝐹∅ 𝑧 = 𝑒𝑢𝑢 𝛼𝑗𝑙 𝜕𝑧
𝑗𝜕𝑧
𝑙𝑒−𝑧𝑧
𝑁−1
𝑙=0
𝑁−1
𝑗=0
= 𝑒𝑢𝑢 𝑢𝑗 −𝑢 𝑙
𝑗! 𝑙!𝜕𝑧
𝑗𝜕𝑧
𝑙𝑒−𝑧𝑧
𝑁−1
𝑙=0
𝑁−1
𝑗=0
Sabit, ihmal edilebilir.
𝑇𝑢 = 𝑒𝑢𝜕𝑧 = 𝑢𝑗
𝑗!
∞
𝑗 =0
𝜕𝑧𝑗 ve 𝑇 𝑢 = 𝑒𝑢 𝜕𝑧 =
𝑢 𝑗
𝑗!
∞
𝑗 =0
𝜕𝑧 𝑗 𝐹𝑢
𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑇𝑢𝑇 −𝑢 𝑒−𝑧𝑧 = 𝑒− 𝑧+𝑢 𝑧 −𝑢
Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi
• 2-boyutlu imgeler için merkezi sonlu farklar yaklaşımı kullanılarak birinci dereceden türev alma işlemi
𝑇ü𝑟𝑒𝑣 𝑖ş𝑙𝑒𝑐𝑖 = 0 𝐢 01 0 −10 −𝐢 0
Gabor Süzgeci (İşlem Adımları)
• İmge Gauss süzgecinden geçirilmekte • Fourier dönüşümü yaklaşımı kullanılarak ilgili işlemler
frekans bölgesinde yapılmakta • Ters Fourier dönüşümü yardımıyla süzgeçlenmiş imge elde
edilmekte • İmgenin açılım katsayılarına bağlı olarak karmaşık türevleri
hesaplanırken aynı zamanda bu değerler katsayılarıyla çarpılmaktadır.
• Süzgecin çıkışından elde edilen – sanal kısmın maksimum değerli konumlarından imgenin kenar
öznitelikleri elde edilir – gerçel kısmın maksimum değerli konumlarından ise imgedeki
çizgi öznitelikleri açığa çıkmaktadır
𝛼𝑗𝑙
Gabor Süzgeci
(a) (b)
(d)
(c)
(e)
a) Lena test imgesi. Gabor süzgeci: Süzeç fonksiyonun b) gerçel kısmı ve c)
sanal kısmı. Süzgecin çıkışı: d) gerçel kısım ve e) sanal kısım.
Temel Gauss süzgecinin genişliği 3, süzgecin şeklini
belirleyen parametre 𝑢 = 2 ve 𝑁 = 12 alındığında elde edilen
Gabor süzgecine ait fonksiyonun sanal ve gerçel kısımları ve
Lena test imgesi için elde edilen sonuçlar
Gabor Süzgeci
farklı parametre değerlerine bağlı olarak süzgeç çıkısının sanal
kısmı
top related