KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILARLA DEVRE ÇÖZÜMÜtbmyoelektrik.klu.edu.tr/dosyalar/birimler/...( ሶ= ∠ °[ ]). Karmaşık sayılar ile devre çözümü yapılırken kullanılacak

KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILARLA

DEVRE ÇÖZÜMÜ1

2

KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık Sayılar

• Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.

• Karmaşık sayıların genel gösterilişi 𝒁 = 𝑹𝒆 + 𝒋𝑰𝒎

• Re gerçel kısmı, Im sanal kısmı ifade eder.

• Karmaşık sayılara

𝒁𝟏 = 𝟐 + 𝒋𝟐

𝒁𝟐 = −𝟑 + 𝒋 ;

𝒁𝟑 = −𝟐 + 𝒋𝟑 ;

𝒁𝟒 = 𝟏 − 𝒋𝟐 ;

𝒁𝟓 = 𝒋𝟑 ;

𝒁𝟔 = −𝟏

Sanal

Eksen

0

b

a Reel

Eksen

Z=a+jb

Im

ReSanal Sayılar

Ekseni

0

j1

j2

-j1

-j2

j3

-j3

1 2 3-1-2-3

Sanal Sayılar

Ekseni

Z1=2+j2

Z2=-3+j

Z3=-2-j3

Z4=1-j2

Z6=-1

Z5=j3

Im

Re

I.BölgeII.Bölge

III.Bölge IV.Bölge

(180+ (360-

ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR

3

KARMAŞIK SAYILAR

• Karmaşık sayının bulunduğu nokta ile başlangıç

noktasının birleşmesiyle sayının temsil ettiği vektör

elde edilir.

• Analitik düzlemde gösterilen karmaşık sayının

bulunduğu noktanın başlangıç noktasına olan

uzaklığına karmaşık sayının Modülü yada Mutlak

Değeri denir. Karmaşık sayının oluşturduğu vektörün

yatay eksen ile yapılan açıya karmaşık sayının

“Argümanı” denir

Sanal Sayılar

Ekseni

0

j1

j2

-j1

-j2

j3

-j3

1 2 3-1-2-3Reel Sayılar

Ekseni

Z1=2+j2

Z2=-3+j

Z3=-2-j3

Z4=1-j2

Z6=-1

Z5=j3

Im

Re

Sanal

Eksen

0

b

a Reel

Eksen

Z=a+jb

Im

Re

IZI

• ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde verilen karmaşık sayının

Modülü 𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Argüman 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−1𝒃

𝒂


4

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: 𝒁𝟏 = 𝟑 + 𝒋𝟐 ; 𝒁𝟐 = −𝟏 + 𝒋 ; 𝒁𝟑 = 𝟐 − 𝒋𝟒 ; 𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟐 ; 𝒁𝟓 = 𝒋𝟓 ; 𝒁𝟔 = 𝟑 karmaşık

sayılarının modülünü ve argümanlarını hesaplayınız.

Z1 karmaşık sayısının modülü 𝒁𝟏 = 𝟑 + 𝒋𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟎𝟔 I.Bölge(α)

Z1 karmaşık sayısının argümanı 𝝋𝟏 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟐

𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎, 𝟔𝟔𝟕

𝝋𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟗°

Z2 karmaşık sayısının modülü ve argümanı

𝒁𝟐 = −𝟏 + 𝒋 = −𝟏 𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 II.Bölge (180-α)

𝝋𝟐 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟏

−𝟏= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟏

𝝋𝟐 = 𝟏𝟑𝟓°


𝒁𝟑 = 𝟐 − 𝒋𝟒 = 𝟐𝟐 + −𝟒 𝟐 = 𝟒, 𝟒𝟕𝟐 IV.Bölge(360-α)

𝝋𝟑 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟒

𝟐= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟐

𝝋𝟑 = −𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°


5

KARMAŞIK SAYILAR


𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟐 = −𝟑 𝟐 + −𝟐 𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟎𝟔 III.Bölge(180+α)

𝝋𝟒 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟐

−𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎, 𝟔𝟔𝟕

𝝋𝟒 = 𝟐𝟏𝟑, 𝟔𝟗°


𝒁𝟓 = 𝒋𝟓 = 𝟎𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝟓 y ekseni üzerinde

𝝋𝟓 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟓

𝟎= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ∞

𝝋𝟓= 𝟗𝟎° (Bu işlemde hesap makinesi hata verecektir. Ancak tanjant değerinin ∞

olduğu açı değeri 90°’dir.)


𝒁𝟔 = 𝟑 = 𝟑𝟐 + 𝟎𝟐 = 𝟑 x ekseni üzerinde

𝝋𝟔 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎

𝟑= 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟎

𝝋𝟔= 𝟎°


6

KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık Sayıların Gösteriliş Şekilleri

Dik Bileşenler Şeklinde Gösterim

• Karmaşık sayının ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde reel ve sanal kısımlardan oluşmuş gösterimine Dik

Bileşenler Şeklinde Gösterim denir. Reel kısım vektörün yatay izdüşümü, sanal kısım dikey

izdüşümüdür.

Sanal Eksen

0

b

a Reel Eksen

Z=a+jb

Im

Re

IZI

0

Reel Eksen

Sanal Eksen

-b

a

Z=a-jb

Im

Re

IZI

ሶ𝒁𝟏 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ሶ𝒁𝟐 = 𝒂 − 𝒋𝒃


7

KARMAŞIK SAYILAR

Kutupsal (Trigonometrik) Gösterim

• Karmaşık sayının ሶ𝒁 = 𝒁∠𝝋 eklinde yatay ile yaptığı açı (argüman) ve modülü ile gösterimine

Kutupsal (Vektörel) Gösterim denir.

• ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklindeki karmaşık sayının;

Kutupsal Gösterimi

ሶ𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 = 𝒁 ∠𝝋 eşitliğinden 𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ve 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃

𝒂yazılarak

ሶ𝒁 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃

𝒂


Sanal

Eksen

0

b

a Reel

Eksen

Z=a+jb

Im

Re

IZI

8

KARMAŞIK SAYILAR


Örnek: 𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑 𝒁𝟐 = 𝟑 + 𝒋𝟒 𝒁𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝒋𝟓 𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟖 karmaşık

sayılarını kutupsal biçimde gösteriniz.

Z1 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi

𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑 = −𝟏 𝟐 + 𝟑𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏

−𝟏

𝟑

= 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟎, 𝟓𝟕𝟕 II.Bölge(180-α)

𝒁𝟏 = 𝟐∠𝟏𝟐𝟎°

*Hesap Makinesi Kullanımı: (Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayının modül ve argümanının bulunması)

𝒁 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şeklinde verilmiş bir karmaşık sayının modül ve argümanı gerçel ve sanal kısımların işaretlerine dikkat ederek

hesap makinesi yardımıyla aşağıdaki gibi yapılır.

Hesap makinesi ekranında görülen aşağıdaki görüntü için;

Pol(a,b)

r = değer1 (Modül değeri)

θ = değer2 (Argüman değeri) ‘ni verir.

Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) işlem

SHIFT ba ))SHIFT

SHIFT 3-1 ))SHIFT

9

KARMAŞIK SAYILAR


*Hesap Makinesi Kullanımı: (Kutupsal formdaki karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarının bulunması)

𝒓 = 𝒓 ∠𝜽° şeklinde verilmiş bir karmaşık sayının gerçel (X) ve sanal kısımları (Y), argümanı işaretine dikkat ederek hesap

makinesi yardımıyla aşağıdaki gibi yapılır.

Hesap makinesi ekranında görülen aşağıdaki görüntü için;

Rec(r,θ)

X = değer1 (Gerçel değeri)

Y = değer2 (Sanal değeri) ‘ni verir.

Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) işlem

SHIFT ba ))SHIFT

SHIFT 1202 ))SHIFT

Z1 karmaşık sayısının dik bileşen gösterimiሶ𝒁𝟏 = 𝟐∠𝟏𝟐𝟎°= 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝟎° + 𝒋𝟐. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎°

= 𝟐. −𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟐.𝟑

𝟐

ሶ𝒁𝟏 = −𝟏 + 𝒋 𝟑

10

KARMAŞIK SAYILAR


𝒁𝟐 = 𝟑 + 𝒋𝟒 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟒

𝟑

= 𝟓∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏, 𝟑𝟑𝟑 I.Bölge (α)

𝒁𝟐 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑°


𝒁𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝒋𝟓 = 𝟏𝟐𝟐 + −𝟓 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟓

𝟏𝟐

= 𝟏𝟑∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟎, 𝟒𝟏𝟕 IV.Bölge(360-α)

𝒁𝟑 = 𝟏𝟑∠ − 𝟐𝟐, 𝟔𝟐°


𝒁𝟒 = −𝟑 − 𝒋𝟖 = −𝟑 𝟐 + −𝟖 𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏−𝟖

−𝟑

= 𝟖, 𝟓𝟒𝟒∠𝒕𝒂𝒏−𝟏 −𝟐, 𝟔𝟔𝟕 III.Bölge (180+α)

𝒁𝟒 = 𝟖, 𝟓𝟒𝟒∠𝟐𝟒𝟗, 𝟒𝟒𝟒°


11

KARMAŞIK SAYILAR

Dik bileşen gösterim Kutupsal Gösterim

ሶ𝑰 = 𝑨 + 𝒋𝟎 = 𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟎°

ሶ𝑰 = 𝟎 + 𝒋𝑨 = 𝒋𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = −𝑨 + 𝒋𝟎 = −𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠ ∓ 𝟏𝟖𝟎°

ሶ𝑰 = 𝟎 − 𝒋𝑨 = −𝒋𝑨 ሶ𝑰 = 𝑨∠𝟐𝟕𝟎° = 𝑨∠ − 𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ሶ𝑰 = 𝑨∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏𝒃

𝒂

ሶ𝑰 = 𝒂 − 𝒋𝒃 ሶ𝑰 = 𝑨∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏−𝒃

𝒂

0

jb

a

I=a+jb

0

I

b

a

0

I

0

I

0

I

0

-jb

b

I=a-jb

a a

A

A

A

A

A

A


12

KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık Sayının Eşleniği

Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti

değiştirilerek elde edilir.

Dik bileşen gösterim ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃

Karmaşık Sayının Eşleniği ሶ𝑨∗ = 𝒂 − 𝒋𝒃

Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur.

Kutupsal Gösterim ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋

Karmaşık Sayının Eşleniği ሶ𝑨∗ = 𝑨∠ − 𝝋


13

KARMAŞIK SAYILAR

Dik Bileşen ve Kutupsal Gösterilişlerin Birbirine Çevrilmesi

• Dik bileşenler şeklindeki ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 karmaşık sayının kutupsal ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 şekline dönüştürülmesi

Dönüşüm için genel formül ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃

𝒂

Karmaşık sayının modülü ሶ𝑨 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Yatay ile yapılan açı (argümanı) 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒃

𝒂

Kutupsal şeklindeki ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 karmaşık sayının dik bileşenler ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 şekline dönüştürülmesi

işlemi aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.

ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 şeklindeki karmaşık sayının dik bileşenler şekline

dönüştürülmesi için yatay (a) ve dikey (b) izdüşümleri trigonometrik

ifadelerden yararlanılarak aşağıdaki gibi bulunur.

𝒂 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋 (Yatay Bileşen)

𝒃 = 𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋 (Dikey Bileşen)ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋

𝒂

+ 𝒋𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋𝒃

Sanal Eksen

0

b

a Reel Eksen

A=a+jb

Im

Re

IAI


14

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°; ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°; ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎° ; ሶ𝒁𝟒 = 𝟏𝟑∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°; ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°;ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎° sayılarını dik bileşenler biçimine dönüştürünüz.

ሶ𝑨 = 𝑨∠𝝋 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝝋𝒂

+ 𝒋𝑨. 𝒔𝒊𝒏𝝋𝒃

ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°= 𝟏𝟑. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°= 𝟏𝟑. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏𝟑. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕

ሶ𝒁𝟏 = 𝟗, 𝟏𝟗𝟏 + 𝒋𝟗, 𝟏𝟗𝟏

ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°= 𝟐, 𝟐. cos𝟔𝟎° + 𝒋𝟐, 𝟐. sin𝟔𝟎°= 𝟐, 𝟐. 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟐, 𝟐. 𝟎, 𝟖𝟔𝟔

ሶ𝒁𝟐 = 𝟏, 𝟏 + 𝒋𝟏, 𝟗𝟎𝟔

ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎°= 𝟏, 𝟖. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎°= 𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟓

ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟓𝟓𝟗 + 𝒋𝟎, 𝟗


15

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: ሶ𝒁𝟏 = 𝟏𝟑∠𝟒𝟓°; ሶ𝒁𝟐 = 𝟐, 𝟐∠𝟔𝟎°; ሶ𝒁𝟑 = 𝟏, 𝟖∠𝟑𝟎° ; ሶ𝒁𝟒 = 𝟏𝟑∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°; ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°;ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎° sayılarını dik bileşenler biçimine dönüştürünüz.

ሶ𝒁𝟒 = 𝟏, 𝟖∠ − 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°= 𝟏, 𝟖. 𝒄𝒐𝒔 −𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟏, 𝟖. 𝒔𝒊𝒏 −𝟓𝟑, 𝟏𝟑°= 𝟏, 𝟖. 𝟎, 𝟖 + 𝒋𝟏, 𝟖. (−𝟎, 𝟔)

ሶ𝒁𝟒 = 𝟏, 𝟎𝟖 − 𝒋𝟏, 𝟒𝟒

ሶ𝒁𝟓 = 𝟔, 𝟖𝟗∠𝟑𝟔, 𝟖𝟕°= 𝟔, 𝟖𝟗. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟔, 𝟖𝟕° + 𝒋𝟔, 𝟖𝟗. 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟔, 𝟖𝟕°= 𝟔, 𝟖𝟗. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟔, 𝟖𝟗. 𝟎, 𝟖

ሶ𝒁𝟓 = 𝟒, 𝟏𝟑𝟒 + 𝒋𝟓, 𝟓𝟏𝟐

ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟕∠ − 𝟕𝟎°= 𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝒄𝒐𝒔 −𝟕𝟎° + 𝒋𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝒔𝒊𝒏 −𝟕𝟎°= 𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝟎, 𝟑𝟒𝟐 + 𝒋𝟎, 𝟐𝟎𝟕. 𝟎, 𝟗𝟒

ሶ𝒁𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟏 − 𝒋𝟎, 𝟏𝟗𝟓


16

KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklindeki gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal

şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için kutupsal biçim dik bileşen şekline çevrilmelidir.

Dik bileşenler şeklindeki karmaşık sayıların toplama yada çıkarma işleminde, gerçel kısımlar

kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır yada çıkarılır.

ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.

Toplama İşlemi

ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 + (𝒄 − 𝒋𝒅)ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒄 + 𝒋(𝒃 − 𝒅)

Çıkarma İşlemi

ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 − 𝒄 − 𝒋𝒅ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = 𝒂 − 𝒄 + 𝒋 𝒃 + 𝒅


17

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: ሶ𝑨 = −𝟐 + 𝒋 ve ሶ𝑩 = 𝟒 + 𝒋𝟑

Toplama işlemi

ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = −𝟐 + 𝒋 + 𝟒 + 𝒋𝟑= −𝟐 + 𝟒 + 𝒋 𝟏 + 𝟑

ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟐 + 𝒋𝟒ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟒, 𝟒𝟕𝟐∠𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°

Çıkarma işlemi

ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = −𝟐 + 𝒋 − 𝟒 + 𝒋𝟑= −𝟐 − 𝟒 + 𝒋 𝟏 − 𝟑

ሶ𝑨 − ሶ𝑩 = −𝟔 − 𝒋𝟐ሶ𝑨 + ሶ𝑩 = 𝟔, 𝟑𝟐𝟒∠ − 𝟏𝟔𝟏, 𝟓𝟔𝟓°

Örnek: ሶ𝑬 = 𝟑, 𝟓∠ − 𝟔𝟎° ve ሶ𝑭 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗

ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟑, 𝟓∠ − 𝟔𝟎° + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟑, 𝟓. 𝒄𝒐𝒔 −𝟔𝟎° + 𝒋𝟑, 𝟓. 𝒔𝒊𝒏 −𝟔𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟑, 𝟓. 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟑, 𝟓 −𝟎, 𝟖𝟔𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗= 𝟏, 𝟕𝟓 − 𝒋𝟑, 𝟎𝟑𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟓𝟎𝟗

ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟖 − 𝒋𝟐, 𝟓𝟐𝟐ሶ𝑬 + ሶ𝑭 = 𝟑, 𝟏𝟗𝟗∠ − 𝟓𝟐, 𝟎𝟑𝟒°


18

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: ሶ𝑪 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° ve ሶ𝑫 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°

Toplama işlemiሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°

= 𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟓. 𝒔𝒊𝒏𝟓𝟑, 𝟏𝟑°𝑪

+ 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°𝑫

= 𝟓. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟓. 𝟎, 𝟖 + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟑 + 𝒋𝟒 + 𝟐 + 𝒋𝟐ሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟓 + 𝒋𝟔ሶ𝑪 + ሶ𝑫 = 𝟕, 𝟖𝟏∠𝟓𝟎, 𝟏𝟗𝟒°

Çıkarma işlemiሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° − 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠𝟒𝟓°

= 𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑, 𝟏𝟑° + 𝒋𝟓. 𝒔𝒊𝒏𝟓𝟑, 𝟏𝟑°𝑪

− 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°𝑫

= 𝟓. 𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟓. 𝟎, 𝟖 − 𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝒋𝟏, 𝟒𝟏𝟒. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟑 + 𝒋𝟒 − 𝟐 − 𝒋𝟐ሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟏 + 𝒋𝟐ሶ𝑪 − ሶ𝑫 = 𝟐, 𝟐𝟔𝟑∠𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°


19

KARMAŞIK SAYILAR

Çarpma İşlemi

Dik bileşen gösterilişte çarpmanın dağılma özelliğinden yararlanılır.

ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃 ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.

ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂 + 𝒋𝒃 . 𝒄 − 𝒋𝒅 = 𝒂. 𝒄 + 𝒂. −𝒋𝒅 + 𝒋𝒃. 𝒄 + 𝒋𝒃. −𝒋𝒅

ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂𝒄 − 𝒋𝒂𝒅 + 𝒋𝒃𝒄 − ณ𝒋𝟐

−𝟏

𝒃𝒅

ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 + 𝒋 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅

Kutupsal gösterilişte çarpma işlemi için modüller çarpılırken açılar toplanır.

ሶ𝑪 = 𝑪∠𝜶 ሶ𝑫 = 𝑫∠𝜷 karmaşık sayıları verilmiş olsun.

Çarpım işleminin sonucu ሶ𝑪. ሶ𝑫 = 𝑪∠𝜶.𝑫∠𝜷 = 𝑪.𝑫∠(𝜶 + 𝜷)


20

KARMAŞIK SAYILAR

Örnek: ሶ𝑨 = 𝟓𝟎∠𝟏𝟎° ve ሶ𝑩 = 𝟏𝟎∠𝟓𝟎°

ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝟓𝟎∠𝟏𝟎°. 𝟏𝟎∠𝟓𝟎°= 𝟓𝟎. 𝟏𝟎∠ 𝟏𝟎° + 𝟓𝟎°

ሶ𝑨. ሶ𝑩 = 𝟓𝟎𝟎∠𝟔𝟎°

Örnek: ሶ𝑪 = −𝟐 + 𝒋 ve ሶ𝑫 = 𝟑 + 𝒋𝟒

ሶ𝑪. ሶ𝑫 = −𝟐 + 𝒋 . 𝟑 + 𝒋𝟒= −𝟐 . 𝟑 + −𝟐 . 𝒋𝟒 + 𝒋. 𝟑 + 𝒋. 𝒋𝟒= −𝟔 − 𝒋𝟖 + 𝒋𝟑 + 𝒋𝟐. 𝟒 = −𝟔 − 𝒋𝟖 + 𝒋𝟑 − 𝟒

ሶ𝑪. ሶ𝑫 = −𝟏𝟎 − 𝒋𝟓ሶ𝑪. ሶ𝑫 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟖∠ − 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑𝟓°

Örnek: 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟐 + 𝒋 𝟐 = 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟐𝟐+ 𝟐

𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏

𝟐

𝟐

= 𝟐∠𝟑𝟎° . 𝟒∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟏 = 𝟐∠𝟑𝟎°. 𝟐∠𝟒𝟓°

= 𝟐. 𝟐∠(𝟑𝟎° + 𝟒𝟓°) = 𝟒∠𝟕𝟓°


21

KARMAŞIK SAYILAR

Bölme İşlemi

Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir.

Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. ሶ𝑨 = 𝒂 + 𝒋𝒃ve ሶ𝑩 = 𝒄 − 𝒋𝒅 karmaşık sayıları verilmiş olsun.

ሶ𝑨

ሶ𝑩=

𝒂+𝒋𝒃

𝒄−𝒋𝒅=

𝒂+𝒋𝒃

𝒄−𝒋𝒅

𝒄+𝒋𝒅

𝒄+𝒋𝒅=

𝒂.𝒄+𝒂.𝒋𝒅+𝒋𝒃.𝒄+𝒋𝒃.𝒋𝒅

𝒄𝟐+𝒅𝟐=

𝒂𝒄+𝒃𝒅 +𝒋 𝒃𝒄−𝒃𝒅

𝒄𝟐+𝒅𝟐

Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Kutupsal gösterilişte bölme

işlemi için modüller bölünürken açılar çıkarılır.

ሶ𝑪 = 𝑪∠𝜶 ሶ𝑫 = 𝑫∠𝜷 karmaşık sayıları verilmiş olsun.

ሶ𝑪

ሶ𝑫=

𝑪∠𝜶

𝑫∠𝜷=

𝑪

𝑫∠(𝜶 − 𝜷)

Örnek:𝟕,𝟎𝟕∠𝟒𝟓°

𝟓∠𝟖𝟎°=

𝟕,𝟎𝟕

𝟓∠(𝟒𝟓° − 𝟖𝟎°) = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒∠ − 𝟑𝟓°

Örnek:𝟑+𝒋

𝟐+𝒋𝟐=

𝟑+𝒋

𝟐+𝒋𝟐.𝟐−𝒋𝟐

𝟐−𝒋𝟐=

𝟔−𝒋𝟔+𝒋𝟐−𝒋𝟐𝟐

𝟐𝟐+𝟐𝟐=

𝟔−𝒋𝟔+𝒋𝟐+𝟐

𝟖=

𝟖−𝒋𝟒

𝟖= 𝟏 − 𝒋𝟎, 𝟓

Örnek:𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°

−𝟑+𝒋𝟒=

𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°

−𝟑 𝟐+𝟒𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏𝟒

−𝟑

=𝟐𝟓∠𝟓𝟑,𝟏𝟑°

𝟓∠𝟏𝟐𝟔,𝟖𝟕°

=𝟐𝟓

𝟓∠𝟓𝟑, 𝟏𝟑° − 𝟏𝟐𝟔, 𝟖𝟕° = 𝟓∠ − 𝟕𝟑, 𝟕𝟒°


22

KARMAŞIK SAYILAR – Devre Çözümleri

Karmaşık Sayıların Alternatif Akım Devrelerine Uygulanması

• Sinüssel alternatif büyüklüklerin vektörle gösterilmesi, alternatif akım devrelerinin çözümünde

büyük kolaylık sağlar.

• Karmaşık sayıların kullanımı ile vektörel işlerin çözümünde karşılaşılan zorluklar giderilmiş olur.

Direnç, Bobin ve Kondansatörün Karmaşık Sayı Şeklinde Gösterilmesi

• Direnç, karmaşık sayı düzleminde reel eksen,

• Bobin ve kondansatör ise sanal eksen üzerinde gösterilir.

0

XL

R

XC

0

jXL

R

-jXC

Sanal Eksen

Reel Eksen

Direnç ElemanıDik Bileşen

Gösterim

Kutupsal

Gösterim

Omik Direnç 𝑹 𝑹∠𝟎

Endüktif Reaktans 𝒋𝑿𝑳 𝑿𝑳∠𝟗𝟎°

Kapasitif Reaktans −𝒋𝑿𝑪 𝑿𝑪∠ − 𝟗𝟎°


23


Karmaşık Sayılarla Devre Çözümü

Direnç Devresi

Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽]) gerilim kaynağından sadece omik dirence gerilim uygulandığında devre

akımı devre gerilimi ile aynı fazlı yani sıfır fazlı olur ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar ile devre

çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle aynıdır.

Devre akımı ሶ𝑰 =ሶ𝑽

ሶ𝑹=

𝑽∠𝟎°

𝑹∠𝟎°

ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)

ሶ𝑰 = 𝑰 𝑨 (Dik bileşen gösterim)R 0°

V 0°

I 0°


24


Örnek: Şebeke geriliminin uygulandığı 40W’lık akkor flamanlı ampulün çekeceği akımı direncini

1294,12 alarak hesaplayınız. (Gerilim sıfır fazlı kabul edilecek)

𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑽𝑷 = 𝟒𝟎𝑾

Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde omik direnç Sıfır fazlı vektör olarak

gösterilir.

𝑹 = 𝟏𝟐𝟗𝟒, 𝟏𝟐𝛀 Dik bileşen gösterim

𝑹 = 𝟏𝟐𝟗𝟒, 𝟏𝟐∠𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim


ሶ𝑹=

𝟐𝟐𝟎∠𝟎°

𝟏𝟐𝟗𝟒,𝟏𝟐∠𝟎°

ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟏𝟕∠𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟏𝟕𝑨 (Dik bileşen gösterim)

NOT: Sadece dirençlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı sıfırdır. Akımın

açısının sıfır olması sıfır fazlı olduğunu gösterir.

1294,12 0° 220 0° V

I

40W Ampul

25


Bobin Devresi

Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽] ) gerilim kaynağından iç direnci ihmal edilmiş bir bobine gerilim

uygulandığında devre akımı devre geriliminden 90° geri fazlı ve akımın açısı eksi (-) işaretli olur.

( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝟗𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar ile devre çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller

klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle aynıdır.


ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑳=

𝑽∠𝟎°

𝑿𝑳∠𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = −𝒋𝑰 𝑨 (Dik bileşen gösterim)

BOBİNjXL

I -

V °

XL 90°

NOT: Sadece bobinlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı gerilimden 90° geri

fazlıdır. Akımın açısının negatif işaretli oluşu geri fazlı olduğunu gösterir.


26


Örnek: Endüktif reaktansı 20 olan bobine 220V’luk kaynaktan alternatif gerilim

uygulandığında geçecek olan akımı karmaşık sayıları kullanarak bulunuz. Gerilim sıfır fazlı kabul

ediniz.

Verilenler 𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑿𝑳 = 𝟐𝟎𝛀

Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde endüktif reaktans 90° ileri fazlı vektör

olarak gösterilir.

𝒋 ሶ𝑿𝑳 = 𝒋𝟐𝟎𝛀 Dik bileşen gösterimሶ𝑿𝑳∠𝟗𝟎° = 𝟐𝟎∠𝟗𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim


ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑳=

𝟐𝟐𝟎

ሶ𝒋𝟐𝟎=

𝟐𝟐𝟎∠𝟎°

𝟐𝟎∠𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = 𝟏𝟏∠ − 𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = −𝒋𝟏𝟏𝑨 (Dik bileşen gösterim)

j20

I

220 ° V

20 90°


27


Kondansatör Devresi

Sıfır fazlı ( ሶ𝑽 = 𝑽∠𝟎° [𝑽]) gerilim kaynağından bir kondansatöre gerilim uygulandığında devre akımı

devre geriliminden 90° ileri fazlı ve akımın açısı artı (+) işaretli olur. ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟗𝟎° [𝑨]). Karmaşık sayılar

ile devre çözümü yapılırken kullanılacak olan formüller klasik devre çözümü için kullanılan formüllerle

aynıdır.


− ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑪=

𝑽∠𝟎°

𝑿𝑳∠−𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = 𝑰∠𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝒋𝑰𝑨 (Dik bileşen gösterim)

-jXC

KOND.

I

V

XC -


28


Örnek: Kapasitif reaktansı 636,62 olan bobine 220V’luk kaynaktan alternatif gerilim

uygulandığında geçecek olan akımı karmaşık sayıları kullanarak bulunuz. (Gerilim sıfır fazlı kabul

edilecek)

Verilenler 𝑽 = 𝟐𝟐𝟎∠𝟎° 𝑿𝑪 = 𝟔𝟑𝟔, 𝟔𝟐𝛀

Alternatif akım devrelerin karmaşık sayılarla çözümünde endüktif reaktans 90° geri fazlı

vektör olarak gösterilir.

−𝒋 ሶ𝑿𝑪 = −𝒋𝟐𝟎𝛀 Dik bileşen gösterimሶ𝑿𝑪∠ − 𝟗𝟎° = 𝟐𝟎∠ − 𝟗𝟎° 𝛀 Kutupsal gösterim


− ሶ𝒋 ሶ𝑿𝑪=

𝟐𝟐𝟎

− ሶ𝒋𝟔𝟔𝟐,𝟔𝟐=

𝟐𝟐𝟎∠𝟎°

𝟔𝟔𝟐,𝟔𝟐∠−𝟗𝟎°

ሶ𝑰 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟐∠𝟗𝟎° 𝑨 (Kutupsal gösterim)ሶ𝑰 = 𝒋𝟎, 𝟑𝟑𝟐𝑨 (Dik bileşen gösterim)

NOT: Sadece bobinlerden meydana gelmiş olan devrede akımın açısı gerilimden 90°

ileri fazlıdır. Akımın açısının pozitif işaretli oluşu ileri fazlı olduğunu gösterir.

-jXC

KOND.

I

V

XC -


29


Karmaşık Sayılarla Güç Hesabı

Karmaşık sayılarla alternatif akım devrelerinin güç hesabı için aktif, reaktif ve görünür güçlerin

karmaşık düzlem üzerinde gösterilir. Aktif güç reel eksen, reaktif güç sanal eksende ve görünür güç

her iki gücün bileşkesi olarak gösterilir. Görünür güç gerilim ile akımın eşleniğinin çarpımı ile

hesaplanır.

Görünür güç ሶ𝑺 = ሶ𝑽. ሶ𝑰∗ (Kutupsal gösterim)ሶ𝑺 = ሶ𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 (Dik bileşen gösterim)

ሶ𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋

0

QL

P

QC

0

jQL

P

-jQC

Sanal Eksen

Reel Eksen

Sanal Eksen

0

jQL

P Reel Eksen

S=P+jQL

Im

Re

ISI

0

Reel Eksen

Sanal Eksen

-jQC

P

S=P-jQC

Im

Re

ISIEndüktif devrede güç ሶ𝑺 = ሶ𝑷 + 𝒋 ሶ𝑸 Kapasitif devrede güç ሶ𝑺 = ሶ𝑷 − 𝒋 ሶ𝑸


30


Karmaşık Sayıların Seri Devrelere Uygulanması

Seri Direnç – Bobin (R-L) Devresi

• Omik direnç ile iç direnci ihmal edilmiş bobinin seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.

• Gerçek bobin de kendi başına Seri RL devresidir.

• Seri RL devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı

kadar geri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝝋 [𝑨]) olur.

• Devre açısı φ, akımın açısıdır. Açının işareti negatif olduğundan devre ENDÜKTİF olarak

çalışır.


ሶ𝒁

Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 (Dik bileşen gösterim)

ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑿𝑳𝟐 ∠𝒕𝒂𝒏−𝟏

𝑿𝑳

𝑹(Kutupsal gösterim)

Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹

Bobin gerilimi 𝑽𝑳 = 𝑰. 𝒋𝑿𝑳

Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳

𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋

R

jXL

L

I -

V 0°


31



Seri Direnç - Kondansatör (R - C) Devresi

• Omik direnç ile kondansatörün seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.

• Seri RC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı

kadar ileri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝝋° [𝑨]) olur.

• Devre açısı φ, empedansın açısıdır. Devre KAPASİTİF olarak çalışır.


ሶ𝒁

Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 − 𝒋𝑿𝑪 (Dik bileşen gösterim)

ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑿𝑪𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏

−𝑿𝑪


Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹

Kondansatör gerilimi 𝑽𝑪 = 𝑰. −𝒋𝑿𝑪

Güç Hesabı ሶ𝑺 = 𝑷 − 𝒋𝑸𝑪

𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋

R

-jXC

C

I

V


32



Seri Direnç – Bobin - Kondansatör Devresi

• Omik direnç, bobin ve kondansatörün seri bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.

• Seri RLC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen akım, bobin ve kondansatörün

reaktansına göre gerilimden φ açısı kadar geri, ileri yada sıfır fazlı olur. Devre açısı φ, devre

akımının açısıdır.

• Devrenin çalışma durumu, reaktansların durumuna göre endüktif, kapasitif ve omik olabilir.


ሶ𝒁

Devrenin empedansı ሶ𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 − 𝒋𝑿𝑪 (Dik bileşen gösterim)

ሶ𝒁 = 𝑹𝟐 + (𝑿𝑳 − 𝑿𝑪)𝟐∠𝒕𝒂𝒏−𝟏

𝑿𝑳−𝑿𝑪


Devre empedansını ifade eden denklemde sanal kısmın işareti pozitif ise devre endüktif, negatif ise

devre kapasitiftir.

Direnç gerilimi 𝑽𝑹 = 𝑰. 𝑹Bobin gerilimi 𝑽𝑳 = 𝑰. 𝒋𝑿𝑳

Kondansatör gerilimi 𝑽𝑪 = 𝑰. −𝒋𝑿𝑪

Güç Hesabı ሶ𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 − 𝒋𝑸𝑪

𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

R

L

CV

I

-jXC

jXL


33


Karmaşık Sayıların Paralel Devrelere Uygulanması

Paralel Direnç Bobin Devresi

• Omik direnç ile iç direnci ihmal edilmiş bobinin paralel bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.

• Paralel RL devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı

kadar geri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠ − 𝝋 [𝑨]) olur. Devre açısı φ, empedansın açısıdır.

• Devre ENDÜKTİF olarak çalışır.


ሶ𝒁

Devrenin empedansı𝟏

𝒁=

𝟏

𝑹+

𝟏

𝑱𝑿𝑳(Dik bileşen gösterim)

Direnç akımı 𝑰𝑹 =𝑽

𝑹

Bobin akımı 𝑰𝑳 =𝑽

𝑱𝑿𝑳

Güç Hesabı 𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳

𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋

I

V

R LIR IL

jXL

BOBİN


34



Paralel Direnç Kondansatör Devresi

• Omik direnç ile kondansatörün paralel bağlantısı ile elde edilen devrelerdir.

• Paralel RC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, gerilimden φ açısı

kadar ileri fazlı ( ሶ𝑰 = 𝑰∠𝝋° [𝑨]) olur. Devre açısı φ empedansın açısıdır.

• Devre KAPASİTİF olarak çalışır.


ሶ𝒁


𝒁=

𝟏

𝑹+

𝟏

−𝑱𝑿𝒄(Dik bileşen gösterim)

Direnç akımı 𝑰𝑹 =𝑽

𝑹

Kondansatör akımı 𝑰𝑪 =𝑽

−𝑱𝑿𝑪

Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 − 𝒋𝑸𝑪

𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

𝑺 = 𝑽. 𝑰. 𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝒋𝑽. 𝑰. 𝒔𝒊𝒏𝝋

I

V

RC

IR IC -jXC


35



Paralel Direnç Bobin Kondansatör Devresi

• Omik direnç, iç direnci ihmal edilmiş bobin ve kondansatörün paralel bağlantısı ile elde edilen

devrelerdir.

• Paralel RLC devrelerin karmaşık sayı ile çözümünden elde edilen devre akımı, bobin ve

kondansatörün reaktansına göre gerilimden φ açısı kadar geri, ileri yada sıfır fazlı olur. Devre açısı

φ empedansın açısıdır.

• Devrenin çalışma durumu reaktansların durumuna göre endüktif, kapasitif ve omik olabilir.


ሶ𝒁


ሶ𝒁=

𝟏

𝑹+

𝟏

𝑱𝑿𝑳+

𝟏

−𝒋𝑿𝑪

Direnç akımı ሶ𝑰𝑹 =𝑽

𝑹

Bobin akımı ሶ𝑰𝑳 =𝑽

𝑱𝑿𝑳

Kondansatör akımı ሶ𝑰𝑪 =𝑽

−𝑱𝑿𝑪

Devre Akımı ሶ𝑰 = ሶ𝑰𝑹 + ሶ𝑰𝑳 + ሶ𝑰𝑪

Güç Hesabı 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸𝑳 − 𝒋𝑸𝑪

𝑺 = 𝑽. 𝑰∗

I

V

RXCIR IC XLIL

C L


36

KAYNAKLAR

YAĞIMLI, Mustafa; AKAR, Feyzi; Alternatif Akım Devreleri & Problem Çözümleri, Beta

Basım, Ekim 2004

MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; COŞKUN, İsmail; Elektroteknik Cilt I, 1998

MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; Elektroteknik Cilt II, 1998

RIEDEL, Susan A; NILLSON, James W; Elektrik Devreleri, Palme Yayıncılık, Ankara

2015

KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILARLA DEVRE ÇÖZÜMÜtbmyoelektrik.klu.edu.tr/dosyalar/birimler/...( ሶ= ∠ °[ ]). Karmaşık sayılar ile devre çözümü yapılırken kullanılacak

Documents