Probabilidad y procesos estocásticos
Post on 31-Jan-2016
241 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE ELECTROTECNIA Y COMPUTACIÓNDEPARTAMENTO DE SISTEMAS DIGITALES Y TELECOMUNICACIONES
SISTEMAS DE COMUNICACIONES I
UNIDAD 2: PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCASTICOS
Curso 2005
Prof.: Ing. Marco A. Munguía Mena
CONTENIDO
• Breve Repaso: Probabilidad Y Teoría de Conjunto
• Variables Aleatorias Discretas
• Variables Aleatorias Continuas
• Valor Esperado y Varianza
• Procesos Estocásticos
Curso 2005
PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Curso 2005
Axiomas de Probabilidad
1. La Probabilidad nunca es Negativa: P[A] ≥ 0
2. La Probabilidad del Espacio Muestral es uno: P[S] = 1
3. Las Probabilidades de Eventos que son Mutuamente Exclusivos pueden ser sumadas:
Ai ∩ Aj = Φ cuando i ≠ j
P[A1 U A2 U ….] = P[A1] + P[A2] + ……
PROB. Y TEORIA DE CONJUNTOS (Cont.)
A
B
Curso 2005
Propiedades de Grupos de Conjuntos
Un Grupo de Conjuntos A1, ……, AN son Mutuamente Exclusivos si y solamente si:
Ai ∩ Aj = Φ cuando i ≠ j
Cuando sólo hay 2 conjuntos en el grupo, se dice que los conjuntos son: Disconjuntos.
Un Grupo de Conjuntos A1, ……, AN son Colectivamente Exhaustivos si y solamente si:
A1 U A2 U ….. U AN = S
PROB. Y TEORIA DE CONJUNTOS (Cont.)
Probabilidad Condicional
Curso 2005
La Probabilidad de ocurrencia del evento A dado que ocurrió B es:
[ ] [ ][ ]BPABPBAP =|
Propiedades:
1. P[A|B] ≥ 0
2. P[B|B] = 1
3. Si A = A1 U A2 U … con Ai ∩ Aj =Φ para i ≠ j
P[A|B] = P[A1|B] + P[A2|B] + …
PROB. Y TEORIA DE CONJUNTOS (Cont.)
Curso 2005
Ley Total de la Probabilidad
Si B1, B2, …, Bm son un conjunto de eventos mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos y P[Bi] > 0, entonces:
[ ] [ ] [ ]∑=
=m
iii BPBAPAP
1|
B1 B4
B3B2
A
PROB. Y TEORIA DE CONJUNTOS (Cont.)
Curso 2005
Teorema de Bayes
Para el evento A con P[A] > 0 :
[ ] [ ] [ ][ ]AP
BPBAPABP || =
Para un Event Space B1, B2, …,Bm con P[Bi] > 0, y utilizando la ley de la Probabilidad Total tenemos:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]∑
=
= m
iii
iii
BPBAP
BPBAPABP
1|
||
PROB. Y TEORIA DE CONJUNTOS (Cont.)
Curso 2005
Eventos Independientes
Dos eventos A y B son Independientes, si y solamente si:
[ ] [ ] [ ]BPAPABP =
Los eventos A, B y C son independientes si y solamente si:
• A y B son independientes
• B y C son independientes
• A y C son Independientes
• P[A ∩ B ∩ C] = P[A]P[B]P[C]
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Curso 2005
Definición de Variable Aleatoria
Una Variable Aleatoria es una función, la cual asocia a cada resultado de un experimento un numero real.
Variable Aleatoria Discreta
X es una V.A.D. si el rango de valores de X es un conjunto contable.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Función de Masa de Probabilidad (PMF)
La PMF de una Variable Aleatoria Discreta X es:
donde X es la variables aleatoria y “x” es uno de los resultados del experimento.
[ ]xXPxPX ==)(
Propiedades: Para una V.A. X con PMF PX(x) y rango SX:
1. Para cualquier x, PX(x) ≥ 0
2. ∑x ЄSxPX(x) = 1
3. Para cualquier evento B incluido en SX , P[B] esta dado por:
P[B] = ∑ PX(x) xЄB
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Ejemplo de PMF
Un jugador de baloncesto, toma 2 tiros libres, cada tiro es igualmente probable que sea encestado o no. Si cada tiro encestado equivale a un punto. Encuentre la PMF de Y, tal que Y sea el numero de puntos encestados.
Solución
Existen 4 diferentes resultados: bm, mb,mm y bb. Con un simple diagrama de árbol podemos demostrar que cada resultado tiene una probabilidad de ¼ y la V.A. Y tiene 3 posibles valores que corresponden a 3 eventos.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Función de Masa de Probabilidad (PMF)
Curso 2005
{Y=0} = {mm} {Y=1} = {bm,mb} {Y=2} = {bb}
P[Y=0] = P[mm] = ¼, P[Y=1] = P[bm,mb] = ½, P[Y=2] = P[bb] = ¼
La PMF se puede expresar:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
241
121
041
)(
y
y
y
yPY
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Variable Aleatoria de Bernoulli
X es una variable aleatoria de Bernoulli, si su PMF tiene la forma:
⎪⎩
⎪⎨
⎧==−
=lugarotro
xpxp
xPX
0101
)(
donde el parámetro p esta en el rango 0 < p < 1.
Aplicable a todos aquellos experimentos donde sólo se tienen 2 posibles resultados.
Ej.: Lanzar una Moneda, Test de Cktos. Integrados (bueno o malo)
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Variable Aleatoria Binomial
X es una variable aleatoria Binomial, si su PMF tiene la forma:
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
lugarotro
nxppxn
xPxnx
X
0
,.......,2,1,0)1()(
Donde: 0 < p < 1 y n es un número entero tal que n ≥ 1.
Aplicable para conocer el numero de éxitos en n intentos.
Ej.: El numero de bits erróneos en una secuencia de n bits transmitidos en un canal con probabilidad de error p.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Variable Aleatoria Uniforme
X es una variable aleatoria Uniforme, si su PMF tiene la forma:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +=+−=
lugarotro
lkkxklxPX
0
,....,1,)1(
1)(
donde k y l son números enteros tal que k < l
Ej.: Lanzamiento de un dado no alterado
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Variable Aleatoria Geométrica
X es una variable aleatoria Geométrica, si su PMF tiene la forma:
⎩⎨⎧ =−
=−
lugarotroxpp
xPx
X 0.......,2,1)1(
)(1
donde p debe cumplir: 0 < p < 1. Aplicables cuando se quiere conocer el numero de intentos hasta lograr el primer éxito.
Ej.: El numero de exámenes tomados hasta aprobar el curso.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Variable Aleatoria Poisson
Curso 2005
X es una variable aleatoria de Poisson, si su PMF tiene la forma:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
−
lugarotro
xxe
xP
x
X
0
......,2,1,0!)(
αα
donde α > 0, λ es la tasa de arribos y T es el intervalo de tiempo, teniendo que α = λT
Ej.: El número de llamadas que arriban a un conmutador telefónicos
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
PMF Condicional
Dado un evento B, con P[B] > 0. La PMF condicional de la variable aleatoria X se representa por:
[ ]BxXPxP BX |)(| ==
)(),(
)|(
]|[)|(
,|
|
yPyxP
yxP
yYxXPyxP
Y
YXYX
YX
=
===
Para cualquier evento Y = tal que PY(y) > 0, La PMF Condicional de X dado Y = y es:
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
PMF Condicional
Curso 2005
La PMF Condicional de una variable aleatoria X dado el evento B debe de satisfacer:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ∈=
lugarotro
BxBPxP
xPX
BX
0][)(
)(|
Ahora, una variable aleatoria X que resulta de un experimento con event space B1, …, Bm su PMF se expresa por:
][)()(1
| i
m
iBXX BPxPxP
i∑=
=
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Múltiples Variables Aleatorias Discretas
La PMF Conjunta de N Variables Aleatorias se representa así:
]........,,[).......,,( 111...,,1 nnnXX xXxXPxxPn
===
Para N = 2, tenemos:
],[),(, yYxXPyxP YX ===
)()|()()|(),( ||, xPxyPyPyxPyxP XXYYYXYX ==
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Múltiples Variables Aleatorias Discretas
Propiedades:
∑ ∑∈ ∈
=Sxx Syy
YX yxP 1),(,
∑
∑=
=
xYXY
yYXX
yxPyP
yxPxP
),()(
),()(
,
,
1.
2.
3.
4. B es un subconjunto de X,Y. La probabilidad de B es:
),(][),(
, yxPBPByx
YX∑∈
=
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Cont.)
Curso 2005
Variables Aleatorias Discretas Independientes
Dos Variables Aleatorias Discretas son independientes, si y solamente si:
)()|()()|(
)()(),(
|
|
,
yPxyPxPyxP
yPxPyxP
YXY
XYX
YXYX
=
=
=
Por lo tanto podemos deducir que:
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Curso 2005
Variable Aleatoria Continua
Cuando todos los valores que toma una Variable Aleatoria están dentro de un intervalo de los números Reales, se dice que V.A. es Continua.
Por ejemplo: A = {x | 1 < x < 25}
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Diferencias con respecto a V.A. Discretas
Curso 2005
• Espacio Muestral Discreto
- Un Numero finito de Resultados
- Cada Resultado tiene una probabilidad de Ocurrencia
• Espacio Muestral Continuo
- Tenemos un infinito número de Resultados
- Ejemplo: Obtener un número real entre 2 y 4
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Curso 2005
Función de Distribución Acumulativa (CDF)
Consideremos un evento particular en R :
• Evento X ≤ x Valor Superior de X
Variable Aleatoria
• FX(x) = P[X ≤ x] para todo x es llamada: Función de Distribución Acumulativa (CDF)
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Propiedades de la CDF
Curso 2005
0)( =−∞XF
1)( =∞XF
)()(][ 1221 xFxFxXxP XX −=≤<
1.
2.
3.
4. La CDF es una función Creciente de 0 a 1
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
Curso 2005
Para eventos muy pequeños
FX(x)
x
ε
x1
1
FX(x1+ε) – FX(x1) = P[x1 < X ≤ x1+ε]
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
Curso 2005
Si hacemos ε más pequeño y le calculamos el limite tenemos:
)(
)(
)()()( 11
0
11
0
xfdx
xdF
xFxFLimxXxPLim
X
X
XX
=
=
−+=
+≤<→→ ε
εε
εεε
Esta función es llama: Función de Densidad de Probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Propiedades de la PDF
Curso 2005
∫
∫
∫
∞−
∞
∞−
=
<−==≤<
=
≥
=
x
XX
x
xXXX
X
X
XX
duufxF
xxparaxFxFduufxXxP
duuf
xtodoparaxfdx
xdFxf
)()(
)()()(][
1)(
0)(
)()(
2
1
211221
1.
2.
3.
4.
5.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Curso 2005
Variable Aleatoria Uniforme
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤<−−
≤
=⎪⎩
⎪⎨⎧ <≤−=
bx
bxaabax
ax
xFlugarotro
bxaabxf XX
1
0
)(0
1)(
Donde a y b son números reales, además a < b
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Variable Aleatoria Exponencial
Curso 2005
⎩⎨⎧ ≥−
=
⎩⎨⎧ ≥
=
−
−
lugarotroxe
xF
lugarotroxea
xf
ax
X
ax
X
001
)(
00
)(
Para a > 0
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Variable Aleatoria de Rayleigh
Curso 2005
Para a > 0
⎪⎩
⎪⎨⎧ >−=
⎪⎩
⎪⎨⎧ >=
−
−
lugarotroxexF
lugarotroxeaxxf
xa
X
xa
X
001)(
00)(
2
22
22
22
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Variable Aleatoria Gausiana
Curso 2005
Donde µ es un numero real y σ > 0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Φ==
=
∫∞−
−−
−−
σµ
σπ
σπ
σ
µ
σ
µ
xduexF
exf
x x
X
x
X
2
2
2
2
2
)(
2
2)(
2
21)(
21)(
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
PDF Condicional
Curso 2005
La PDF Condicional de una V.A. X dado un subconjunto B de resultados con P[B] > 0 se expresa por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ∈=
lugarotro
BxBPxf
xfX
BX
0][)(
)(|
Para x tal que fX(x) > 0, la PDF condicional de Y dado que X = x es:
)(),(
)|( ,| xf
yxfxyf
X
YXXY =
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Múltiples Variables Aleatorias Continuas
Curso 2005
La CDF y PDF Conjuntas de N Variables Aleatorias se representa así:
n
nXXn
nXX
nnnXX
xxxxF
xxf
xXxXPxxF
n
n
n
∂∂
∂=
≤≤=
L1
1...,,.........1..,,.........
111,......,
),.........().,,.........(
],..........,[)........,,(
1
1
1
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Múltiples Variables Aleatorias Continuas
Curso 2005
Para N = 2, tenemos:
)()|()()|(),(
),(),(
),(),(
],[),(
||,
,2
,
,,
,
xfxyfyfyxfyxfyx
yxFyxf
dvduvufyxF
yYxXPyxF
XXYYYXYX
YXYX
x y
YXYX
YX
==∂∂
∂=
=
≤≤=
∫ ∫∞− ∞−
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Múltiples Variables Aleatorias Continuas
Curso 2005
Propiedades:
),(),(,1),(
0),(),(),()(),()(
1),(0
11,11
,
,,
,
,
,
11yxFyxFentoncesyyyxxSi
FxFyF
yFyFxFxF
yxF
YXYX
YX
YXYX
YXY
YXX
YX
≤≥≥
=∞∞
=−∞=−∞
∞=
∞=
≤≤
Múltiples Variables Aleatorias Continuas
Curso 2005
Propiedades:
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
∫
∫
∫∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
=
=
=
≥
dxyxfyf
dyyxfxf
dydxyxfAP
dydxyxf
yxtodoparayxf
YXY
YXX
AYX
YX
YX
),()(
),()(
),(][
1),(
),(0),(
,
,
,
,
,
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Cont.)
Curso 2005
Variables Aleatorias continuas Independientes
Dos Variables Aleatorias Continuas son independientes, si y solamente si:
Por lo tanto podemos deducir que:
)()|()()|(
)()(),(
|
|
,
yfxyfxfyxf
yfxfyxf
YXY
XYX
YXYX
=
=
=
Definición de Valor Esperado
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA
V.A. Discreta:
Valor Esperado de algunas V.A. Discretas:
1. Bernoulli: E[X] = p
2. Geométrica: E[X] = 1/p
3. Poisson: E[X] = α
4. Binomial: E[X] = np
5. Uniforme: E[X] = (k + l)/2
[ ] ∑∈
==XSx
XX xxPXE )(µ
Definición de Valor Esperado
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
V.A. Continua:
Valor Esperado de algunas V.A. Discretas:
1. Uniforme: E[X] = (b+a)/2
2. Exponencial E[X] = 1/a
3. Rayleigh: E[X] = √(π/2a2)
4. Gausiana: E[X] = µ
[ ] ∫∞
∞−
== dxxfxXE XX )(µ
Propiedades del Valor Esperado
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
1. E[cX] = cE[X]
2. Var [ Constante ] = Constante
3. E[X +c] = E[X] + c
4. E[ X + Y] = E[X] + E[Y]
Valor Esperado Condicional
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Discreto:
Continuo:
[ ] ∑∈
==XSx
YX yxPxyYXE )|(| |
[ ] ∫∞
∞−
== dxyxfxyYXE YX )|(| |
Valor Cuadrático Medio
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Discreto:
Continuo:
[ ][ ] ∑
∑
∈
∈
=
=
X
X
SxX
nn
SxX
xPxXE
xPxXE
)(
)(22
[ ]
[ ] ∫
∫∞
∞−
∞
∞−
=
=
dxxfxXE
dxxfxXE
Xnn
X
)(
)(22
Varianza
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
V.A. Discreta y Continua:
2222 ])[(][]])[[(][ XEXEXEXEXVar X −=−== σ
Desviación Estándar:
)(xVarX =σ
Nota: La Varianza siempre es Mayor que 0 (Cero)
Propiedades de la Varianza
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
1. Si Y = aX + b, donde a y b son constantes, entonces:
Var[Y] = a2Var[Y]
2. Var [ Constante ] = 0
3. Var[-X] = Var[X]
4. Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] + 2E[(X - µX)(Y - µY)]
Varianza
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Varianza de algunas V.A. Discretas:
1. Bernoulli: Var[X] = p(1-p)
2. Geométrica: Var[X] = (1-p) / p
3. Binomial: Var[X] = np(1-p)
4. Poisson: Var[X] = α
5. Uniforme: Var[X] = (l-k) (l-k+2) / 12
Varianza
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Varianza de algunas V.A. Continuas:
1. Uniforme Var[X] = (b-a)2 / 12
2. Exponencial: Var[X] = 1 / a2
3. Rayleigh: Var[X] = (2 – π/2) / a2
4. Gausiana: Var[X] = σ2
Varianza Condicional
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Discreto y Continuo:
2|
22 ]|[]|])|[[(]|[ YXYXEYYXEXEYXVar µ−=−=
La Correlación
La Correlación de X e Y se expresa por:
∫ ∫
∑ ∑∞
∞−
∞
∞−
∈ ∈
==
==
dydxyxfyxXYEr
yxPyxXYEr
YXYX
Sx SyYXYX
X Y
),(][
),(][
,,
,,
Covarianza
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
YX
YX
XYEYXEYXCovµµ
µµ−=
−−=][
)])([(],[
Coeficiente de Correlación
11][][
],[,, ≤≤−= YXYX YVarXVar
YXCov ρρ
Variables Aleatorias Independientes
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
0],[.5][][][.4
][]|[.3][]|[.2
][][][.1
,
,
==+=+
∈==∈==
==
YX
X
Y
YX
YXCovYVarXVarYXVar
SxtodoparaYExXYESytodoparaXEyYXE
YEXEXYEr
ρ
Variables Aleatorias Ortogonales
Curso 2005
VALOR ESPERADO Y VARIANZA (Cont.)
Dos Variables Aleatorias X e Y son Ortogonales si la correlación es igual a CERO.
0][, == XYEr YX
Variables Aleatorias No Correlacionadas
Dos Variables Aleatorias X e Y son No Correlacionadas si la covariancia es igual a CERO.
0],[ =YXCov
Definición
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS
Consideremos un experimento aleatorio especificado por los resultados s de un Espacio Muestral S. Suponga que a cada resultado le asignamos una función de tiempo representada:
X(t,s) -T ≤ t ≤ T
donde 2T es el intervalo de observación total.
En un punto sj de la muestra, la grafica de la función X(t,sj), en función del tiempo t recibe el nombre función de muestra, la cual denotamos como: xj(t) = X(t,sj).
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
La figura (próxima diapositiva) muestra un conjunto de funciones de muestra. Para un tiempo fijo tk dentro del intervalo de información el conjunto de números
{x1(tk), x2(tk), . . ., xn(tk)} = {X(tk,s1), X(tk,s2), . . ., X(tk,sn)}
que constituye una variable aleatoria. Por lo tanto tenemos una familia indexada de V.A. {X(t,s)}, que se le denomina proceso aleatorio. Por simplicidad, usaremos la notación: X(t) para representar un proceso aleatorio.
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Tipos
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Las Cuatro Combinaciones
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Promedios Estadísticos
Media ∫∞
∞−
== dxxfxtXEtktXkkX )()]([)( )(µ
τ
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Varianza
( ) ( )∫∞
∞−
−=−= 22)(
2 )]([])([)()]([)]([ kktXkk tXEtXEdxxftXExtXVark
Covarianza: El comportamiento conjunto de un proceso X(t) en dos instantes de tiempo distintos es contenido en la función de autocovarianza
)()()]()([))]()(())()([(
)]()([),(
τµµττµτµ
ττ
+−+=+−+−=
+=
tttXtXEttXttXE
tXtXCovtC
XX
XX
X
Autocorrelación
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
1. Si el valor de la covarianza es alto quiere decir que X(t) varía muy lento.
2. Si el valor de la covarianza tiende a cero, X(t) varía rápido.
∫∫ +=
=+=
),(all)(),( ),(
)]()([),(
yxtXtX
X
dydxyxfxy
tXtXEtR
τ
ττ
Autocorrelación
Procesos IID (Independent Identically Distributed)
Es Decir
• Todos los X(tk) son mutuamente independientes.
• Todos los X(tk) tienen la misma PDF
LL
LLKKKK
)()()(
)()()(),,,,(
21
2121,,, 2121
kXXX
kXXXkXXX
xfxfxf
xfxfxfxxxfkk
=
=
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Propiedades de la Autocorrelación
1. RX(0) ≥ 0
2. RX(t) = RX(-t)
3. |RX(t)| ≤ RX(0)
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Proceso Estacionario
Un proceso es Estacionario si y solamente si para todo un conjunto de instantes de tiempo t1, ……, tm y cualquier variación de tiempo se cumple:
τ
),,,(
),,,(
21)(,),(),(
21)(,),(),(
21
21
mtXtXtX
mtXtXtX
xxxf
xxxf
m
m
K
K
K
K
τττ +++=
=
Consecuencias
)()()( )()( xfxfxf XtXtX == +τ
Todas las PDF´s marginales son independientes del tiempo
1.
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
XX XEtXEt µµ === ][)]([)(
22)( ][)]([ XtX XVartXVar σσ ===
Por lo tanto:
El Valor Esperado, la Varianza, la Autocorrelación y la Covarianza son independientes del tiempo
2)()(),(
)(),(
XXXX
XX
RCtC
RtR
µτττ
ττ
−==
=
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Proceso WSS (Wide Sense Stationary)
Para mostrar que un proceso es Estacionario es necesario calcular la PDF conjunta, lo cual es difícil de obtener. Un proceso puede ser estimado calculando su Valor Esperado y la Autocorrelación.
Si la Autocorrelación y la Media satisfacen lo propuesto por un proceso Estacionario, podemos llamar a este proceso Estacionarioen el sentido amplio (WSS).
Un proceso que es Estacionario es WSS pero un proceso que es WSS no es necesariamente Estacionario. (Excepción: Proceso Gasussiano)
2)()(),(
)(),()(
XXXX
XX
XX
RCtC
RtRt
µτττ
ττµµ
−==⇒
==
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
La Potencia promedio de un proceso WSS se estima por:
222 )()]([)0( XXX tXER µσ +==
Filtrado de Procesos WSS
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
1.
∫ ∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
==−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⊗=
)0()()]([)]([)(
)()()]()([)]([
hdsshtXEdsstxEsh
dsstxshEtxthEtYE
Xµ
2.
)()()(
)()()(
))]()(())()([()]()([),(
τττ
τ
ττττ
X
X
Y
Rhh
dudvuvRvhuh
txthtxthEtYtYEtR
⊗−⊗=
+−=
+⊗+⊗=+=
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Densidad Espectral de Potencia
ττπτ
τ
dfjR
RFfS
X
XX
)2exp()(
)}({)(
−=
==
∫∞
∞−
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
−
=
=
dfefGtg
dtetgfG
ftj
ftj
π
π
2
2
)()(
)()(
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
=
=
dffGg
dttgG
)()0(
)()0(
Recordando Fourier
La Potencia promedio de un proceso X(t) se puede también expresar como:
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
∫∞
∞−
= dffSR XX )()0(
Si a la Autocorrelación del Proceso de salida le aplicamos la transformada de Fourier se obtiene:
)(|)(|)()()()(
)()()()(
2* fSfHfSfHfHfS
RhhR
XXY
XY
==
⇓
⊗−⊗= ττττ
Función de Correlación Cruzada
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
¿Cuál es la relación entre X(t1) y Y(t2)?
)]()([),( ττ += tYtXEtRXY
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Propiedades de la Correlación Cruzada
1. Si X(t) y Y(t) son WSS entonces:
2.
3. Densidad Espectral Cruzada
4. Si X(t) es WSS y es el proceso de entrada de un filtro LTI, se tiene que Y(t) (WSS) y se puede expresar:
)(),( ττ XYXY RtR =
)()( ττ −= YXXY RR
{ } ∫∞
∞−
−== τττ τπ deRRFfS fjXYXYXY
2)()()(
)()()()()()( FSfHfSRhR XXYXXY =⇔⊗= τττF
• Los Valores de Muestra X(t1), X(t2), …, X(tk) tienen una PDF gaussiana conjunta (multivariate).
• PDF Conjunta esta descrita por:– vector µX=[µX(t1), µX(t2), …, µX(tk)]T
– Matriz de Covarianza C
)()(),(),( jXiXijiXijiXij tttttRtttCC µµ−−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−= − )()(
21exp
)2(1),,( 1
2121)(,),( 1 XT
XkktXtX xxfk
µµπ
xCxC
KK
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Proceso Gaussiano
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Casos Especiales
N = 1 V.A. Gaussiana
N = 2 Bivariate PDF Gasussiana
21
211
1
2)(
21
1)(2
1)( σµ
σπ
−−
=x
tX exf
221
)1(2
))((2
21)(),(12
),(
2
2
2
22
21
22112
1
11
21 ρσπσ
ρ
σµ
σσµµρ
σµ
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−
xxxx
tXtXexxf
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Proceso Blanco
El termino Proceso Blanco es usado para denotar un proceso en elcual todas las componentes de frecuencia tienen igual potencia, es decir si su DSP es constante para todas las frecuencias.
)(2
)(
2)(
0
0
τδτN
R
NfS
n
n
=
=
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Muestreo y Proceso limitado en Banda
• Un Proceso de Banda Limitada ocupa un BW finito
• Si W es el ancho de banda del proceso entonces para todo valor de
frecuencia mayor que W la DEP es igual a cero.
• Las muestras se toman a intervalos regulares Ts, donde Ts ≤ 1/2W
Si X(t) es un proceso limitado en banda entonces SX(f) tiende a cero cuando la |f| ≥ W. Entonces tenemos:
WTdonde
kTtWckTXtXE
s
kss
21
0))(2(sin)()(2
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− ∑
∞
−∞=
Curso 2005
PROCESOS ESTOCASTICOS (Cont.)
Proceso Pasabanda
X(t) es un proceso Pasabanda, si su DSP tiende a cero para |f-f0| ≥ W donde W < f0
⎩⎨⎧ <++−
==Otro
ffffSffSfSfS XX
XsXc 0||)()(
)()( 000
top related