1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA MAESTRÍA EN INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y ESTADÍSTICA PROCESOS ESTOCÁSTICOS TALLER 2 – AGOSTO 22 DE 2015 Procesos Estocásticos Taller 2 Juan Manuel Amariles. Código: 1088263915 Diego Armando Galindres. Código: 1088262086 1.0 Del taller 1, respecto a las inspecciones que la jefe de la empresa de software hace en forma aleatoria para verificar si los programadores están trabajando o perdiendo el tiempo en cosas no laborales, utilizando las distribuciones Binomial y Pascal: 1.1 Cómo se estima el parámetro del modelo binomial? = . . ⁄ = 3 20 ⁄ = 0.15 1.2 Cuál es el valor esperado de programadores que pierden tiempo en el trabajo? () = () = 20 ∗ 0.15 = 3 1.3 Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente tres programadores perdiendo tiempo? En MatLab P=0.15; n=20; x=3; P3= binopdf(x,n,P) P3 = 0.2428 R/ Por tanto la probabilidad de que exactamente tres programadores estén perdiendo el tiempo es de 24.28%
Algunos ejercicios relacionados con los procesos estocásticos.
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
MAESTRÍA EN INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y ESTADÍSTICA
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
TALLER 2 – AGOSTO 22 DE 2015
Procesos Estocásticos Taller 2
Juan Manuel Amariles. Código: 1088263915
Diego Armando Galindres. Código: 1088262086
1.0 Del taller 1, respecto a las inspecciones que la jefe de la empresa de software hace en forma aleatoria para
verificar si los programadores están trabajando o perdiendo el tiempo en cosas no laborales, utilizando las
distribuciones Binomial y Pascal:
1.1 Cómo se estima el parámetro del modelo binomial?
𝑝 = 𝑁. 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠𝑁. 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠⁄
𝑝 = 320⁄ = 0.15
1.2 Cuál es el valor esperado de programadores que pierden tiempo en el trabajo?
𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝
𝐸(𝑥) = 20 ∗ 0.15 = 3
1.3 Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente tres programadores perdiendo tiempo?
En MatLab
P=0.15; n=20; x=3; P3= binopdf(x,n,P)
P3 = 0.2428
R/ Por tanto la probabilidad de que exactamente tres programadores estén perdiendo el tiempo es de
24.28%
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1.4 Cuál es la probabilidad de que no se encuentre a ninguno de los programadores perdiendo el tiempo?
P=0.15; n=20; PDF0=binopdf(0,n,P)
PDF0 = 0.0388
R/ Por tanto la probabilidad de que exactamente tres programadores estén perdiendo el tiempo es de
24.28%
1.5 Cuál es la probabilidad de que se encuentren uno o más programadores perdiendo el tiempo?
P(x ≥ 1) = 1- PDF0 = 1 - 0.0388 = 0.9612
R/ la probabilidad es de 96.12% que se encuentre 1 o más programadores perdiendo el tiempo
1.6 Cuál es la probabilidad de que toque inspeccionar los 20 programadores para encontrar uno perdiendo
el tiempo?
Para resolver la pregunta se utiliza la distribución geométrica, de la siguiente forma:
X19 = 19; p = 0.15; y = geopdf(X19,P)
y = 0.0068
R/ La probabilidad de que toque inspeccionar los 20 programadores para encontrar uno perdiendo el
tiempo es de 0.68%
1.7 Discuta si las condiciones de Bernoulli se cumplen en este proceso de encontrar programadores
perdiendo el tiempo
R/ si se cumplen las condiciones de Benoulli, ya que en el proceso de encontrar programadores
perdiendo el tiempo, se tiene que:
Existen únicamente dos posibles resultados para cada ensayo: ocurrencia y no ocurrencia del
evento de interés (encontrar al programador perdiendo el tiempo o lo contrario)
La probabilidad de ocurrencia de cada evento es la misma para cada ensayo, esto se da porque
P=0.15, se toma como un parámetro.
Los ensayos sucesivos de un mismo tipo son independientes, ya que el comportamiento de cada
programador en la utilización de su tiempo, no influye en el de los demás.
2.0 Del taller 1, para la muestra de datos de costos de reparación de errores del producto estrella de la
empresa de software:
2.1 Estimar los parámetros de modelos exponencial y normal
Del taller 1 E(c) = 10.5218 Sc= 2.6178 por tanto, Sc2 = 6.8529
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2.2 Hacer la prueba de bondad de ajuste a los modelos exponencial y normal
if KSSTAT<CV display('Se Acepta que los datos siguen distribución Exponencial') else display('Se Rechaza que los datos siguen distribución Exponencial') end
%Grafico de Calificaciones Normales
P=zeros(n,1); for i=1:n if i==1 P(i)=(1/(n+1)); else P(i)=P(i-1)+(1/(n+1)); end end
z=norminv(P,0,1);
subplot(1,2,1),plot(z,sort(x),'.')
Orden=sort(x);
suma=0;
for i=1:n for j=1:i if j==1 suma=suma+(n)*(Orden(j)-0); else suma=suma+(n-j+1)*(Orden(j)-Orden(j-1));
end
end R(i)=suma;
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suma=0; end
S=R/R(n); U=(1:n)/n;
subplot(1,2,2),plot(U,S)
Al correr el algoritmo se encuentra que:
Se Acepta que los datos siguen distribución Normal
Se Rechaza que los datos siguen distribución Exponencial
2.3 Hacer la prueba gráfica de calificaciones normales
Para esto se hizo el siguiente código
p=0.3; n=12; t=1:12;
for i=1:n Ext(i)=(2*p-1)*i; end stairs(t,Ext) xlabel('tiempo') ylabel('E[X(t)]') grid
% pause % close
for t=0:n
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for k=0:t Xt(k+1,t+1)=2*k-t; PXt(k+1,t+1)=binopdf(k,t,p); end end Xt PXt
for t=1:12 k=t+1; subplot(6,2,t),bar(Xt(1:k,t+1),PXt(1:k,t+1))
end
2.4 Hacer la prueba gráfica TTT a la distribución exponencial
La prueba gráfica TTT para la distribución exponencial obtiene los siguientes resultados:
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R/ Así, se puede ver que la gráfica no sigue un comportamiento en zigzag alrededor de la recta de color
verde (recta resultado de hallar la trasformada de la distribución exponencial), por lo anterior se puede
concluir que los datos no siguen una distribución exponecial según la prueba TTT.
3.0 A un conductor de taxi le gusta cometer infracciones de tránsito en forma aleatoria. En un día
cualquiera, en el 70% de las situaciones de manejo a que se enfrenta, comete una infracción.
Utilizando el modelo de caminata aleatoria binomial:
3.1 Cuál es el valor esperado de Xt en t=1, 2, …12. ¿Cómo se interpretan estos resultados?
𝐸(𝑋𝑡) = (2𝑝 − 1)𝑡
𝑝 = 0.3
𝑡 𝐸(𝑋𝑡)
1 -0.4
2 -0.8
3 -1.2
4 -1.6
5 -2
6 -2.4
7 -2.8
7
8 -3.2
9 -3.6
10 -4
11 -4.4
12 -4.8
R/ en la tabla anterior se puede observar el valor esperado del número de infracciones cometidas
a medida que transcurre el tiempo, así en el tiempo t=12, se espera que el taxista haya
cometido 4.8 infracciones.
3.2 Halle la distribución de probabilidad de Xt en t=1, 2, …12. ¿Por qué existen todas estas
distribuciones?
Si k es el número de infracciones que puede haber cometido para un Xt dado, se tiene lo