Transcript
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich występujących
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły.
Podatność liniową wyrażamy w [m/N], natomiast podatność obrotową w [rad/Nm].
Np. podatność liniowa:
EA
Nll
El
l
A
NZ prawa Hook’a:
co daje:
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Ponieważ podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły (N=1) więc ostatecznie:
EA
llfN 1
Odwrotność podatności to jej sztywność:
fk
1
Metoda sił z podporą sprężystąMetoda sił z podporą sprężystą
Rozwiązać metodą sił
Krok1 Krok1 –– stopień statycznej stopień statycznej
niewyznaczalnościniewyznaczalności
Trzy więzy są nadmiarowe ale dwa dodaliśmy razem:
3-2 = 1
układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny
Układ podstawowy wariant 1Układ podstawowy wariant 1
Dodajemy fikcyjny przegub
Układ podstawowy wariant 2Układ podstawowy wariant 2
Zastępujemy podporę sprężystą
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1
Obliczanie układów statycznie wyznaczalnych ze sprężystą podporą
nie różni się od rozwiązywania układu bez takiej podpory
Rozwiązanie wariant 1 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 1 siły rzeczywiste
SB – siła w podporze sprężystej
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
5.10
5.10
0.65
5.20
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 1 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 1 siły rzeczywiste
MF
Rozwiązanie wariant 1 siła XRozwiązanie wariant 1 siła X11=1=1
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
25.0
25.0
25.2
25.0
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 1 siła XRozwiązanie wariant 1 siła X11=1=1
1M
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 Równanie kanoniczne metody sił:
01111 FX
gdzie:
1111
11 REJ
MM pod
FpodF
F REJ
MM1
11
BBF
BB
SVR
SVR1
Na rysunkach:
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 01111 FX
ale:
k
S
k
V
k
RfR BBpod 1
11
k
SS
EJ
MM
k
RR
EJ
MM BBFFFF
1111
gdzie przypominam:
f- podatność,
k- sztywność
Stąd ostatecznie:
k
SS
EJ
MM
k
RR
EJ
MM BB11111111
Rozwiązanie wariant 1 ostatecznieRozwiązanie wariant 1 ostatecznie
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
555.13
555.13
503.13
445.17
0
Uwaga:
Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)
rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice
– skąd, dokąd!
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2
Zauważmy, że pozbycie się podpory sprężystej prowadzi do
„klasycznego” układu podstawowego
Rozwiązanie wariant 2 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 2 siły rzeczywiste
SB – siła w podporze sprężystej
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
0
0
0.159
0.31
0
Dla przypomnienia: powyższe uzyskujemy jak
dla klasycznej belki wspornikowej
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 2 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 2 siły rzeczywiste
MF
Rozwiązanie wariant 2 siła XRozwiązanie wariant 2 siła X11=1=1
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
1
1
0.9
1
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 2 siła XRozwiązanie wariant 2 siła X11=1=1
1M
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 Równanie kanoniczne metody sił !!!!:
k
XX F
11111
gdzie:
EJ
MM 1111
EJ
MM FF
11
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 ...1111 FX
Gdzie zgubiło się zero?
k
XfXpodporyzenieprzemieszc 11
Bo jest to podpora sprężysta, o tyle się więc
podda pod wpływem obciążenia X1 , we
wzorze przypominam:
f- podatność,
k- sztywność
Rozwiązanie wariant 2 ostatecznieRozwiązanie wariant 2 ostatecznie
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
555.13
555.13
503.13
445.17
0
Uwaga:
Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)
rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice
– skąd, dokąd!
Wiemy już co to jest Zasada Prac
Przygotowanych. Zasadę tę można
wykorzystać do obliczania reakcji i sił
wewnętrznych w układach prętowych.
Zajmijmy się więc przykładami
Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych
postacioweGA
T
gdzie odkształcenia przygotowane to również:
ogólnie
linioweEA
N
kątoweEJ
M
y
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych
i s
i dssusp )()(
gdzie praca sił zewnętrznych
k
kkP
j
jjR
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
całkowita praca sił czynnych (skupionych) na
przemieszczeniach wirtualnych
całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszczeniach
wirtualnych (osiadaniach),
całkowita praca obciążeń ciągłych na
przemieszczeniach wirtualnych
Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania
Poszukując wartości reakcji
podporowych usuwamy odpowiednie
więzy i nadajemy układowi
geometrycznie zmiennemu
przemieszczenia wirtualne właściwe
poszczególnym reakcjom.
Niewiadome reakcje wyznaczamy z
równań prac wirtualnych dla ciał
sztywnych.
Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania
W celu obliczenia wartości sił wewnętrznych, t.j. momentu zginającego, siły tnącej lub siły normalnej w dowolnym przekroju uzewnętrzniamy szukaną siłę wewnętrzną, zakładając przegub lub teleskop.
Tak powstałemu układowi o jednym stopniu swobody nadajemy wirtualne przemieszczenie i z równania prac wirtualnych sił zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach wyliczamy szukaną wartość siły wewnętrznej.
Metoda KinematycznaMetoda Kinematyczna
Opisany na poprzednich slajdach
sposób postępowania przy
obliczaniu wymienionych wielkości
statycznych nosi nazwę
metody kinematycznej.
Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następujące reakcje:
MA, RA, RB
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
Postępujemy podobnie do znajdowania linii wpływu. Poszukując danej reakcji zwalniamy związany z nią więz. Np. chcąc obliczyć moment reakcji…
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
Teraz należy wymusić jednostkowe przemieszczenie (tu: obrót) wirtualne i…
napisać równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
0221
212
21 qlqlqlM A
Skąd taka postać ZPP?
Było:
DYGRESJADYGRESJA
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
Ale to
Jest równe zeru, gdyż belka przemieszcza się jak
mechanizm, nie doznaje więc odkształceń!
Teraz weźmy reakcję RA…
równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
022
2212 qll
qlqlRA
Teraz weźmy reakcję RB…
równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
02
3
22
212 qll
qlqlRB
Ostatecznie
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
2
2
qlR
qlR
qlM
B
A
A
Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następującą reakcje: R2
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
Wymuszamy przemieszczenie jednostkowe w kierunku reakcji R2
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
Wyznaczamy równanie prac wirtualnych:
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
)1(
00100
5
54211
l
a
b
cu
gdzie
uPRRHR
Zadanie projektoweZadanie projektowe Wyznaczyć reakcje korzystając z zasady prac
przygotowanych dla trzech belek ciągłych przegubowych o
co najmniej dwu przegubach, statycznie wyznaczalnych.
Jedna z belek powinna być obciążona siłą skupioną, druga
momentem skupionym, trzecia obciążeniem ciągłym
(stałym).
top related