PODPORY SPRĘŻYSTE

PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich występujących


Podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły.

Podatność liniową wyrażamy w [m/N], natomiast podatność obrotową w [rad/Nm].

Np. podatność liniowa:

EA

Nll

El

l

A

NZ prawa Hook’a:

co daje:


Ponieważ podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły (N=1) więc ostatecznie:

EA

llfN 1

Odwrotność podatności to jej sztywność:

fk

1

Metoda sił z podporą sprężystąMetoda sił z podporą sprężystą

Rozwiązać metodą sił

Krok1 Krok1 –– stopień statycznej stopień statycznej

niewyznaczalnościniewyznaczalności

Trzy więzy są nadmiarowe ale dwa dodaliśmy razem:

3-2 = 1

układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny

Układ podstawowy wariant 1Układ podstawowy wariant 1

Dodajemy fikcyjny przegub

Układ podstawowy wariant 2Układ podstawowy wariant 2

Zastępujemy podporę sprężystą

Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1

Obliczanie układów statycznie wyznaczalnych ze sprężystą podporą

nie różni się od rozwiązywania układu bez takiej podpory

Rozwiązanie wariant 1 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 1 siły rzeczywiste

SB – siła w podporze sprężystej

kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

5.10

5.10

0.65

5.20

0

Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.

z równania momentów globalnego względem punktu A

oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)

względem przegubu 2.

Wykres momentów gnących


MF

Rozwiązanie wariant 1 siła XRozwiązanie wariant 1 siła X11=1=1

kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

25.0

25.0

25.2

25.0

0







1M

Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 Równanie kanoniczne metody sił:

01111 FX

gdzie:

1111

11 REJ

MM pod

FpodF

F REJ

MM1

11

BBF

BB

SVR

SVR1

Na rysunkach:

Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 01111 FX

ale:

k

S

k

V

k

RfR BBpod 1

11

k

SS

EJ

MM

k

RR

EJ

MM BBFFFF

1111

gdzie przypominam:

f- podatność,

k- sztywność

Stąd ostatecznie:

k

SS

EJ

MM

k

RR

EJ

MM BB11111111

Rozwiązanie wariant 1 ostatecznieRozwiązanie wariant 1 ostatecznie

kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

555.13

555.13

503.13

445.17

0

Uwaga:

Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)

rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice

– skąd, dokąd!

Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2

Zauważmy, że pozbycie się podpory sprężystej prowadzi do

„klasycznego” układu podstawowego


SB – siła w podporze sprężystej

kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

0

0

0.159

0.31

0

Dla przypomnienia: powyższe uzyskujemy jak

dla klasycznej belki wspornikowej



MF


kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

1

1

0.9

1

0







1M

Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 Równanie kanoniczne metody sił !!!!:

k

XX F

11111

gdzie:

EJ

MM 1111

EJ

MM FF

11

Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 ...1111 FX

Gdzie zgubiło się zero?

k

XfXpodporyzenieprzemieszc 11

Bo jest to podpora sprężysta, o tyle się więc

podda pod wpływem obciążenia X1 , we

wzorze przypominam:

f- podatność,

k- sztywność

Rozwiązanie wariant 2 ostatecznieRozwiązanie wariant 2 ostatecznie

kNVS

kNV

kNmM

kNV

H

BB

B

A

A

A

555.13

555.13

503.13

445.17

0

Uwaga:

Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)

rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice

– skąd, dokąd!

Wiemy już co to jest Zasada Prac

Przygotowanych. Zasadę tę można

wykorzystać do obliczania reakcji i sił

wewnętrznych w układach prętowych.

Zajmijmy się więc przykładami

Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych

postacioweGA

T

gdzie odkształcenia przygotowane to również:

ogólnie

linioweEA

N

kątoweEJ

M

y

sss

i s

i

k j

jjkk

dxxxMdxxxTdxxxN

dssuspRP

)()()()()()(

)()(

Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych

i s

i dssusp )()(

gdzie praca sił zewnętrznych

k

kkP

j

jjR

sss

i s

i

k j

jjkk

dxxxMdxxxTdxxxN

dssuspRP

)()()()()()(

)()(

całkowita praca sił czynnych (skupionych) na

przemieszczeniach wirtualnych

całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszczeniach

wirtualnych (osiadaniach),

całkowita praca obciążeń ciągłych na

przemieszczeniach wirtualnych

Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania

Poszukując wartości reakcji

podporowych usuwamy odpowiednie

więzy i nadajemy układowi

geometrycznie zmiennemu

przemieszczenia wirtualne właściwe

poszczególnym reakcjom.

Niewiadome reakcje wyznaczamy z

równań prac wirtualnych dla ciał

sztywnych.

Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania

W celu obliczenia wartości sił wewnętrznych, t.j. momentu zginającego, siły tnącej lub siły normalnej w dowolnym przekroju uzewnętrzniamy szukaną siłę wewnętrzną, zakładając przegub lub teleskop.

Tak powstałemu układowi o jednym stopniu swobody nadajemy wirtualne przemieszczenie i z równania prac wirtualnych sił zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach wyliczamy szukaną wartość siły wewnętrznej.

Metoda KinematycznaMetoda Kinematyczna

Opisany na poprzednich slajdach

sposób postępowania przy

obliczaniu wymienionych wielkości

statycznych nosi nazwę

metody kinematycznej.

Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następujące reakcje:

MA, RA, RB

PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1

Postępujemy podobnie do znajdowania linii wpływu. Poszukując danej reakcji zwalniamy związany z nią więz. Np. chcąc obliczyć moment reakcji…


Teraz należy wymusić jednostkowe przemieszczenie (tu: obrót) wirtualne i…

napisać równanie prac przygotowanych:


0221

212

21 qlqlqlM A

Skąd taka postać ZPP?

Było:

DYGRESJADYGRESJA

sss

i s

i

k j

jjkk

dxxxMdxxxTdxxxN

dssuspRP

)()()()()()(

)()(

Ale to

Jest równe zeru, gdyż belka przemieszcza się jak

mechanizm, nie doznaje więc odkształceń!

Teraz weźmy reakcję RA…

równanie prac przygotowanych:


022

2212 qll

qlqlRA

Teraz weźmy reakcję RB…

równanie prac przygotowanych:


02

3

22

212 qll

qlqlRB

Ostatecznie


2

2

qlR

qlR

qlM

B

A

A

Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następującą reakcje: R2


Wymuszamy przemieszczenie jednostkowe w kierunku reakcji R2


Wyznaczamy równanie prac wirtualnych:


)1(

00100

5

54211

l

a

b

cu

gdzie

uPRRHR

Zadanie projektoweZadanie projektowe Wyznaczyć reakcje korzystając z zasady prac

przygotowanych dla trzech belek ciągłych przegubowych o

co najmniej dwu przegubach, statycznie wyznaczalnych.

Jedna z belek powinna być obciążona siłą skupioną, druga

momentem skupionym, trzecia obciążeniem ciągłym

(stałym).

PODPORY SPRĘŻYSTE

Documents