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PLANO CARTESIANO
COORDENADAS Las Coordenadas son grupos de números que
describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.
UN POCO DE HISTORIA
El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes, un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.
SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen").
El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:
El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.
PLANO CARTESIANO
El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas
El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas
X
y
DEFINICIÓN DE ABSCISA Y ORDENADA
Abscisas: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.
Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.
PAR ORDENADO Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para
localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.
Los ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes
CUADRANTES
SIGNOS DE LOS PARES ORDENADOSEN LOS CUADRANTES
( x, y )
X
Y
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante III Cuadrante IV
( + , + )( - , + )
( - , - ) ( + , - )
Origen
Ejemplo de Par Ordenado
Ejemplo:
En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).
GRÁFICA DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales.
Par Ordenado ( 3 , 5)
X
Y
Origen
0
1 2 3 4
12345
( 3 , 5 )
Ejercicios resueltos:
Localiza los siguientes pares ordenados en el plano:
A ( 2 , 3)
B (-3 , 4)
C (-3 , -2)
D ( 3 , 0)0 X
Y
1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1-1
-2
-3
-4
1
2
3
4( 2 , 3 )
( 3 , 0 )
( -3 , 4 )
( -3 , -2 )
A
D
B
C
Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas
Ejemplo # 1
y = - 3x + 5
Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5
( x, y )
( 0 , 5 )
Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )
Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )
X Y
0 5
1 2
5 -10
-1 8 X
Y
2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2 0
2
4
6 8
10
-2
-4
-6
-8
-10
(0, 5)
(1, 2)
(5, 10)
(-1, 8)
Continuación I
Gráficamente estos fueron los pares
ordenados que se formaron.
Ejercicio # 2 y = 4x + 2
Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )
( x, y )
Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )
Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )
X Y
0 2
1 6
-1 -2
Variable independiente
Variable dependiente
Continuación II
X Y
0 2
1 6
-1 -2X
Y
0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
1
23456
-1-2
-3-4-5-6
Continuación III
(1,6)
(0,2)
(-1,-2)
Los pares ordenados formados son estos.
Ejercicios resueltos con dos variables
* Despejar para y *
2x + 5y = 10
X Y
0 2
Si x = 0
2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10
5y / 5 = 10/ 5 y = 2
* Despejar para y *
2x + 5y = 10
X Y
0 2
5 0Si x = 5
2( 5 ) + 5y = 1010 + 5y = 10 5y = 10 - 10
5y = 0
* Despejar para y *
2x + 5y = 10
Si x = -5
2( -5 ) + 5y = 10
-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10
5y = 20
5y/5 = 20/5 y = 4
X Y
0 2
5 0
-5 4
Continuación, ejercicio anterior
X
Y
X Y
0 2
5 0
-5 4
0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1-1-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
Continuación B
Estos son los pares ordenados que se formaron.
(0,2)
(5,0)
(-5,4)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SOBRE UN EJE
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas: |x2 – x1|
Ejemplo: La distancia entre los puntos (- 4, 0) y (5, 0) es 5 – (-4) = 9 unidades
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA
Ejemplo:En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros?
Solución:Construimos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra en la siguiente figura.
Las longitudes de los catetos son:
7)5(2 363
Recordemos que el teorema de Pitágoras establece:
“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
94937 22
6.758
Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximadamente de 7.6 kilómetros.
Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como se muestra en la figura.
Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:
12 xxAC
12 yyCB
Además la distancia que se busca es la comprendida por el segmento:
ABdAB
El punto C servirá de referencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el teorema de Pitágoras.
222 ABCBAC
Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sustituyendo se tiene:
12 xxAC
12 yyCB
2
12
2
12
2yyxxd AB
Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para eliminar los cuadrados.
2
12
2
12 yyxxd AB
Ejercicio.
Calcular la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.
Solución: Paso 1 Traza un plano cartesiano
Paso 2 Coloca en él los puntos dados y únelos para visualizar la distancia a calcular.
Paso 3 Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada.
22 1233 ABd
45ABd
O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene:
22 2133 BAd
45BAd
Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas, recuerda que esto te evitará cometer errores.
Ejemplo: A (2, 1) B (-3, 2)
Ejemplo:
Calcular la distancia entre los puntos A(7, 5) y B (4, 1).
d = 5 unidades
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA Dividir un segmento AB en una relación dada r es el
determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación,
se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por:
CCCCr
2
1
1;1
,1
2121
rr
ryyy
r
rxxx
Demostración
Considere la figura
Por triángulos semejantes
Factorizando
Finalmente se tiene:
Al despejar x12 xxrxrx
21)1( rxxrx
r
rxxx
1
21
rCC
CC
2
1
xx
xxr
2
1
Análogamente para y
Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)
Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en la razón r = ¾.
r
ryyy
1
21
SoluciónLa coordenada x, según la expresión
Análogamente para la coordenada y,
Las coordenadas del punto A serán
75
43
1
343
1
x
715
43
1
343
6
y
7
15,
7
5
r
rxxx
1
21
r
ryyy
1
21
Punto medio de un segmento de recta
Un caso particular que encontramos, es cuando r = 1, en las ecuaciones:
Que se conoce como punto medio
Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:
r
rxxx
1
21
r
ryyy
1
21
221 xx
x
221 yy
y
Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C(3, 6) y D(-4, -2).
Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene:
Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:
2
1
2
43
x
22
26
y
2,
2
1A
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