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PLANO CARTESIANO

COORDENADAS Las Coordenadas son grupos de números que

describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

UN POCO DE HISTORIA

El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes, un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen").

El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:

El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.

PLANO CARTESIANO

El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas

El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas

X

y

DEFINICIÓN DE ABSCISA Y ORDENADA

Abscisas: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

PAR ORDENADO Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para

localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Los ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes

CUADRANTES

SIGNOS DE LOS PARES ORDENADOSEN LOS CUADRANTES

( x, y )

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + )( - , + )

( - , - ) ( + , - )

Origen

Ejemplo de Par Ordenado

Ejemplo:

En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

GRÁFICA DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales.

Par Ordenado ( 3 , 5)

X

Y

Origen

0

1 2 3 4

12345

( 3 , 5 )

Ejercicios resueltos:

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano:

A ( 2 , 3)

B (-3 , 4)

C (-3 , -2)

D ( 3 , 0)0 X

Y

1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1-1

-2

-3

-4

1

2

3

4( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

( -3 , 4 )

( -3 , -2 )

A

D

B

C

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas

Ejemplo # 1

y = - 3x + 5

Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5

( x, y )

( 0 , 5 )

Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )

Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

X Y

0 5

1 2

5 -10

-1 8 X

Y

2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6 8

10

-2

-4

-6

-8

-10

(0, 5)

(1, 2)

(5, 10)

(-1, 8)

Continuación I

Gráficamente estos fueron los pares

ordenados que se formaron.

Ejercicio # 2 y = 4x + 2

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )

( x, y )

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )

Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )

X Y

0 2

1 6

-1 -2

Variable independiente

Variable dependiente

Continuación II

X Y

0 2

1 6

-1 -2X

Y

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

1

23456

-1-2

-3-4-5-6

Continuación III

(1,6)

(0,2)

(-1,-2)

Los pares ordenados formados son estos.

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

Si x = 0

2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10

5y / 5 = 10/ 5 y = 2

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

5 0Si x = 5

2( 5 ) + 5y = 1010 + 5y = 10 5y = 10 - 10

5y = 0

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

Si x = -5

2( -5 ) + 5y = 10

-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10

5y = 20

5y/5 = 20/5 y = 4

X Y

0 2

5 0

-5 4

Continuación, ejercicio anterior

X

Y

X Y

0 2

5 0

-5 4

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1-1-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

Continuación B

Estos son los pares ordenados que se formaron.

(0,2)

(5,0)

(-5,4)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SOBRE UN EJE

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas: |x2 – x1|

Ejemplo: La distancia entre los puntos (- 4, 0) y (5, 0) es 5 – (-4) = 9 unidades

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA

Ejemplo:En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros?

Solución:Construimos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra en la siguiente figura.

Las longitudes de los catetos son:

7)5(2 363

Recordemos que el teorema de Pitágoras establece:

“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

94937 22

6.758

Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximadamente de 7.6 kilómetros.

Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como se muestra en la figura.

Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:

12 xxAC

12 yyCB

Además la distancia que se busca es la comprendida por el segmento:

ABdAB

El punto C servirá de referencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el teorema de Pitágoras.

222 ABCBAC

Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sustituyendo se tiene:

12 xxAC

12 yyCB

2

12

2

12

2yyxxd AB

Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para eliminar los cuadrados.

2

12

2

12 yyxxd AB

Ejercicio.

Calcular la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.

Solución: Paso 1 Traza un plano cartesiano

Paso 2 Coloca en él los puntos dados y únelos para visualizar la distancia a calcular.

Paso 3 Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada.

22 1233 ABd

45ABd

O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene:

22 2133 BAd

45BAd

Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas, recuerda que esto te evitará cometer errores.

Ejemplo: A (2, 1) B (-3, 2)

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los puntos A(7, 5) y B (4, 1).

d = 5 unidades

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA Dividir un segmento AB en una relación dada r es el

determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación,

se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por:

CCCCr

2

1

1;1

,1

2121

rr

ryyy

r

rxxx

Demostración

Considere la figura

Por triángulos semejantes

Factorizando

Finalmente se tiene:

Al despejar x12 xxrxrx

21)1( rxxrx

r

rxxx

1

21

rCC

CC

2

1

xx

xxr

2

1

Análogamente para y

Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)

Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en la razón r = ¾.

r

ryyy

1

21

SoluciónLa coordenada x, según la expresión

Análogamente para la coordenada y,

Las coordenadas del punto A serán

75

43

1

343

1

x

715

43

1

343

6

y

7

15,

7

5

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

Punto medio de un segmento de recta

Un caso particular que encontramos, es cuando r = 1, en las ecuaciones:

Que se conoce como punto medio

Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

221 xx

x

221 yy

y

Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C(3, 6) y D(-4, -2).

Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene:

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:

2

1

2

43

x

22

26

y

2,

2

1A