Notasi Sigma - osis.man2kotamalang.sch.id
Post on 26-Mar-2022
25 Views
Preview:
Transcript
Notasi Sigma (โ)
Lambang yang dipakai untuk menuliskan operasi penjumlahan secara singkat,jelas,dan
Konsisten
Secara umum notasi sigma dinyatakan sebagai berikut
โ ๐๐๐๐=1 = U1 + U2 + U3 + โฆ + Un
Keterangan :
1 = Batas Bawah i = Indeks
n = Batas Atas Un = Suku ke-n
Contoh :
Nyatakan dengan notasi sigma jumlah bilangan berikut :
A. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
Penyelesaian :
= [2(1)-1] + [2(2)-1] + โฆโฆ + [2(6)-1]
= โ (2๐ โ 1)6๐=1
B. โ (3๐ + 1)9๐=5
= [3x5+1] + [3x6+1] + [3x7+1] + [3x8+1] + [3x9+1]
= 110
Sifat Notasi Sigma :
a. โ ๐๐๐๐=1 = U1 + U2 + U3 + โฆ + U4
Contoh : โ 3๐4๐=1 = 3x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 = 30
b. โ ๐๐๐๐=1 = โ ๐๐๐
๐=1
Contoh : โ 4๐๐5๐=1 = โ 4๐๐5
๐=1 = 60
c. โ ๐ถ๐๐=1 = Cn ; Dimana C suatu konstanta
Contoh : โ 87๐=1 = 7x8 = 56
d. โ ๐ถ ๐๐๐๐=1 = ๐ถ โ ๐๐๐
๐=1
Contoh : โ 8 2๐4๐=1 = 8 โ 2๐4
๐=1 = 20x8 = 160
e. โ (๐๐๐๐=1 + Vi) = โ ๐๐๐
๐=1 + โ ๐๐๐๐=1
Contoh : โ (3๐3๐=1 + 4i) = โ 3๐3
๐=1 + โ 4๐3๐=1 = 7 + 14 + 21 = 42
f. โ (๐๐๐๐=1 + Vi)2 = โ (๐๐)2๐
๐=1 + 2โ ๐๐๐๐=1 + โ (๐๐)2๐
๐=1
Contoh : โ (3๐3๐=1 + 4i)2 = โ (3๐)23
๐=1 + 2โ 3๐3๐=1 + โ (4๐)23
๐=1 = 126 + 36 + 224 = 386
g. โ (๐๐)๐๐=1 = โ ๐๐๐
๐=1 + โ ๐๐๐๐=๐+1
Contoh : โ (3๐)6๐=1 = โ 3๐3
๐=1 + โ 3๐6๐=3+1 = 18 + 45 = 63
h. โ (๐๐)๐๐=1 = โ ๐(๐๐โ1
๐=1โ1 + 1) = โ ๐(๐๐+1๐=1+1 โ 1)
Contoh : โ (3๐)5๐=1 = โ 3(๐5โ1
๐=1โ1 + 1) = โ ๐(๐5+1๐=1+1 โ 1) = 45
i. โ ๐๐๐๐=๐ = Um + โฆ + Un
Contoh = โ 2๐5๐=3 = U3 + U4 + U5 = 3x2 + 4x2 + 5x2 = 24
j. โ ๐ถ๐๐=๐ = n โ m + 1
Contoh : โ 35๐=3 = 5 โ 3 + 1 = 3
Karena tidak ada yang harus dikalikan/difungsikan (indeks) ,hanya ada C(constanta) = 3x0 +
4x0 + 5x0 + 3(constanta) = 3
k. โ (๐ถ๐๐)๐๐=๐ = โ ๐ถ๐(๐๐โ๐
๐=๐โ๐ + r) = โ ๐ถ๐(๐๐+๐๐=๐+๐ - r)
Contoh : โ (5 3๐)5๐=3 = โ 5 3(๐5โ3
๐=3โ3 + 3) = โ 5 3(๐5+3 ๐=3+3 - 3) = 180
Induksi Matematika
Prinsip pembuktian kebenaran suatu pernyataan dengan Induksi Matematika diperlukan Langkah :
1. Langkah Dasar
Pernyataan bernilai benar untuk n = 1
Dengan kata lain : Buktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1
2. Langkah Induksi
Andaikan pernyataan benar untuk n = k
Dengan kata lain : P(n) diasumsikan benar untuk n = k
Dibuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1
Dengan kata lain : Buktikan P(n) benar juga untuk n = k + 1
3. Kesimpulan
Perlu kalian catat: bahwa induksi matematika hanya dipakai untuk mengecek atau membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan atau rumus. Dan induksi matematika tidak
untuk menurunkan rumus.
Ketaksamaan
Sifat transitif
Contoh :
a. 4 + 6 + 8 + โฆ + (2n + 2) = n2 + 3n
1. Buktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1
n = 1
maka (2n + 2) = n2 + 3n
2x1 + 2 = 12 + 3x1
4 = 4 , bernilai benar
2. P(n) diasumsikan benar untuk n = k
n = k
maka 4 + 6 + 8 + โฆ + (2n + 2) = n2 + 3n
4 + 6 + 8 + โฆ + (2k + 2) = k2 + 3k
3. Buktikan P(n) benar juga untuk n = k + 1
n = k + 1
maka 4 + 6 + 8 + โฆ + (2k+2) + [2(k+1) + 2] = (k+1)2 + 3(k+1)
(K2 + 3k) + 2k + 4 = k2 + 2k + 1 + 3k + 3
K2 + 5k + 4 = k2 + 5k + 4 , Bernilai benar
Kesimpulan :
Terbukti Bahwa 4 + 6 + 8 + โฆ + (2n + 2) = n2 + 3n benar untuk setiap n bilangan asli
Program Linier
1. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel
Langkah penyelesaian :
โข Cari nilai ๐ฅ saat ๐ฆ = 0, dan nilai ๐ฆ saat ๐ฅ = 0
โข Gambar grafik yang menghubungkan kedua titik
โข Arsir daerah yang bersesuaian dengan tanda
Langkah menyusun PtLDV suatu daerah penyelesaian :
โข Menentukan persamaan garis pembatas
Garis memotong (0, ๐) dan (๐, 0) โ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐๐
โข Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketaksamaan
2. Program Linear
โข Model matematika
Merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk
persamaan, pertidaksamaan, dan juga fungsi.
Contoh :
Suatu adonan roti basah dibuat dengan menggunakan bahan 2 kg tepung dan 1 kg
gula. Sementara satu adonan roti kering dibuat dengan memakai 1 kg tepung dan 3
kg gula. Ibu mempunyai persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg.
Apabila pada masing- maisng satu adonan kue basah bisa memberikan keuntungan
Rp75.000,00 serta masing- masing adonan kue kering bisa memberikan untung
Rp60.000,00. Berapakah banyak kombinasi adonan roti yang bisa dibikin untuk
memperoleh keuntungan maksimal?
Jawab :
Misalkan ๐ฅ menyatakan adonan roti basah, dan ๐ฆ menyatakan adonan roti kering
Sehingga didapat model matematika ๐ฅ โฅ 0, ๐ฆ โฅ 0, 2๐ฅ + ๐ฆ โค 6, 2๐ฅ + 3๐ฆ โค 5
Jika garis pembatas utuh (โธบโธบ) dipilih tanda ketidaksamaan โค atau โฅ
Jika garis pembatas putus-putus (โ โ โ) dipilih tanda pertidaksamaan < atau >
โข Fungsi Tujuan
Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan berdasarkan batasan-
batasan yang ada. Fungsi objektif umumnya dinyatakan dengan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ
โข Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan
a. Metode garis selidik
I. Mencari daerah yangmemenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan
II. Mencari persamaan garis selidik ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐, dengan ๐ bilangan
real
Apabila arah geser garis selidik ke arah kanan, maka :
o Apabila titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang
pertama dilewati oleh garis selidik maka nilai minimum diwakili oleh titik
tersebut.
o Apabila titik (๐ฅ2, ๐ฆ2) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang
terakhir dilewati oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakili oleh
titik tersebut. Geser garis selidik yang sudah dibikin pada langkah
nomor 2 atau buatlah garis-garis lain yang sejajar dengan garis selidik
yang sudah dibikin pada arah daerah layak.
Apabila arah geser garis selidik ke arah kiri, maka :
o Apabila titik (๐ฅ1, ๐ฆ1) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang
pertama dilewati oleh garis selidik maka nilai maksimum akan diwakili
oleh titik tersebut.
o Apabila titik (๐ฅ2, ๐ฆ2) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang
terakhir dilewati oleh garis selidik maka nilai minimum diwakili oleh titik
tersebut.
b. Metode Uji Titik Pojok
I. Mencari berbagai garis dari sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi
kendala dari persoalan yang diberikan. II. Mencari berbagai titik pojok yang merupakan koordinat pembatas
daerah yang memenuhi fungsi kendala.
III. Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.
IV. Memperoleh nilai maksimum atau minimum sesuai dengan permasalahan.
Matriks adalah sekumpulan bilangan dalam persegi atau persegi panjang yang diatur
berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung biasa ( ) maupun tanda
kurung siku [ ].
Matriks pada umumnya dinyatakan dengan huruf kapital dan elemen-elemenya dinyatakan
dengan huruf kecil. Misalnya, Jika A adalah sebuah matriks. Maka elemen di dalamnya
dinyatakan dengan ๐๐๐. m merupakan baris ke-m dan n merupakan kolom ke-n dalam matriks.
Matriks A dapat dinotasikan dengan A = (๐๐๐).
Jika suatu matriks terdiri atas m baris dan n kolom maka ๐ ร ๐ menyatakan ukuran atau ordo
dari matriks A. Matriks berordo ๐ ร ๐ biasa ditulis dengan A๐ร๐. Bentuk umum matriks A berordo
๐ ร ๐ dapat dituliskan sebagai berikut.
A = (
๐11 ๐12
๐21 ๐22
โฏ ๐1๐
โฏ ๐2๐
โฎ โฎ๐๐1 ๐๐2
โฎ โฎโฏ ๐๐๐
)
Penting!
Cara membaca elemen matriks ๐11 adalah
๐ satu-satu bukan ๐ sebelas
1. Matriks Baris
Matriks yang terdiri atas 1 baris dan memiliki ordo 1 ร ๐.
Contoh : A = (โ3 5 2). Matriks A berordo 1 ร 3
2. Matriks Kolom
Matriks yang terdiri atas 1 kolom dan memiliki ordo ๐ ร 1.
Contoh : A = (90
โ5). Matriks A berordo 3 ร 1
3. Matriks Persegi
Matriks yang memiliki banyak baris dan kolom yang sama (berordo nxn). Dalam matriks
persegi terdapat dua diagonal. yaitu diagonal utama dan diagonal samping yang mana
dapat dilihat pada matriks di bawah ini.
Contoh : A = (1 โ2 51 3 โ65 7 0
). Matriks A berordo 3x3
1. Matriks nol (๐)
Matriks yang semua elemennya nol (0)
Contoh : ๐ = (0 0 00 0 00 0 0
)
2. Matriks Diagonal (๐ท)
Matriks persegi yang elemen-elemennya nol (0) kecuali elemen pada diagonalnya.
Contoh : ๐ท = (โ5 0 00 1 00 0 7
) atau ๐ท = (9 0 00 0 00 0 0
)
3. Matriks Identitas (๐ผ)
Matriks persegi yang elemen-elemen yang pada diagonal utamanya sama dengan satu
(1) dan elemen-elemen lain sama dengan nol (0).
Contoh : ๐ผ = (1 0 00 1 00 0 1
)
4. Matriks Segitiga Bawah (๐ฟ)
Matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya sama dengan nol (0)
Contoh : ๐ฟ = (โ1 0 08 3 0
11 โ5 2)
5. Matriks Segitiga Atas (๐)
Matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonalnya sama dengan (0)
Contoh : ๐ = (โ7 13 60 9 100 0 1
)
Transpose matriks adalah matriks baru yang terbentuk dari menuliskan elemen-elemen pada
baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom. Transpose matriks ๐ด dapat dinyatakan
dengan ๐ด๐ atau ๐ดโฒ.
Contoh : Jika ๐ด = (3 5 80 13 10
) maka ๐ด๐ = (3 05 138 10
)
Sebuah matriks akan menjadi matriks simetris apabila ๐จ = ๐จ๐ป yang mana matriks A merupakan
matriks persegi.
Contoh : ๐ด = (1 โ5 8
โ5 7 68 6 0
) maka ๐ด๐ = (1 โ5 8
โ5 7 68 6 0
). Karena ๐ด = ๐ด๐ , maka matriks A
merupakan matriks simetris.
Matriks A dan Matriks B dikatakan sama apabila
โข Ordo A dan B sama
โข Setiap elemen di masing
Contoh : ๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
6
21
โ10
50
)
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila ordo matriks sama. Hasil penjumlahan
matriks adalah matriks baru yang elemennya merupakan penjumlahan elemen-elemen seletak
dari kedua matriks yang dijumlahkan. Ordo dari matriks hasil penjumlahan sama dengan ordo
matriks yang dijumlahkan.
Contoh : ๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
5 49 1
). Maka ๐ด + ๐ต = (3 + 5 1 + 4
(โ2) + 9 0 + 1) = (
8 57 1
)
๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
61
โ3). Karena ordo A dan B berbeda maka kedua matriks tidak
dapat dijumlahkan.
Dalam penjumlahan matriks berlaku beberapa sifat :
a. Sifat Komutatif = ๐ด + ๐ต = ๐ต + ๐ด
b. Sifat Asosiatif = ๐ด + (๐ต + ๐ถ) = (๐ด + ๐ต) + ๐ถ
c. Terdapat unsur identitas pada penjumlahan matriks. Yaitu Matriks ๐ (Seluruh
elemennya 0), sehingga = ๐ด + ๐ = ๐
d. Matriks ๐ด memiliki lawan (Invers aditif) matriks โ๐ด . Yang mana elemen didalam
matriks โ๐ด merupakan kebalikan elemen matriks ๐ด. sehingga ๐ด + (โ๐ด) = ๐
Pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila ordo matriks sama. Hasil pengurangan
matriks adalah matriks baru yang elemennya merupakan pengurangan elemen-elemen seletak
dari kedua matriks yang dikurangkan. Ordo dari matriks hasil pengurangan sama dengan ordo
matriks yang dikurangkan.
Contoh : ๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
5 49 1
). Maka ๐ด โ ๐ต = (3 โ 5 1 โ 4
(โ2) โ 9 0 โ 1) = (
โ2 โ3โ11 โ1
)
๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
61
โ3). Karena ordo A dan B berbeda maka kedua matriks tidak
dapat dikurangkan.
Dalam pengurangan matriks sifat komutatif tidak berlaku karena :
๐ด โ ๐ต โ ๐ต โ ๐ด. Contoh :
Diketahui ๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ต = (
5 49 1
).
๐ด โ ๐ต = (3 โ 5 1 โ 4
(โ2) โ 9 0 โ 1) = (
โ2 โ3โ11 โ1
)
Dan ๐ต โ ๐ด = (5 โ 3 4 โ 1
9 โ (โ2) 1 โ 0) = (
2 311 1
)
Dari hasil di atas, terbukti ๐ด โ ๐ต โ ๐ต โ ๐ด.
Perkalian matriks A dan suatu bilangan real k disebut perkalian skalar matriks. Hasil dari perkalian
skalar matriks A dan k merupakan matriks baru yang elemennya merupakan hasil kali elemen k
dan matriks A.
Contoh : ๐ด = (3 1
โ2 0) dan ๐ = 2. maka ๐๐ด = 2 (
3 1โ2 0
) = (2 ร 3 2 ร 1
2 ร (โ2) 2 ร 0) = (
6 2โ4 0
)
Dalam perkalian skalar matriks, berlaku sifat :
a. Sifat Distributif : (๐1 + ๐2)๐ด = ๐1๐ด + ๐2๐ด dan ๐(๐ด + ๐ต) = ๐๐ด + ๐๐ต
b. Sifat Asosiatif : ๐1(๐2๐ด) = ๐1๐2๐ด
Perkalian matriks dapat dilakukan apabila banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak
baris matriks kedua (๐ด๐๐ฅ ร ๐ต๐ฅ๐). Hasil dari perkalian matriks adalah jumlah dari hasil perkalian
elemen pada matriks A baris i dan matriks B kolom j. Ordo dari hasil perkalian matriks ๐ด๐๐ฅ ร ๐ต๐ฅ๐
adalah ๐ ร ๐.
Contoh : ๐ด = (3 50 โ1
) dan ๐ต = (4 1 67 โ2 3
)
Maka ๐ด ร ๐ต = (3 50 โ1
) ร (4 1 67 โ2 3
) = (3 ร 4 + 5 ร 7 3 ร 1 + 5 ร (โ2) 3 ร 6 + 5 ร 3
0 ร 4 + (โ1) ร 7 0 ร 1 + (โ1) ร (โ2) 0 ร 6 + (โ1) ร 3)
= (12 + 35 3 + (โ10) 18 + 15
0 + (โ7) 0 + 2 0 + (โ3))
= (47 โ7 33โ7 2 โ3
)
Sifat-sifat dalam perkalian matriks :
a. Sifat Komutatif tidak berlaku : ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด
b. Sifat asosiatif : (๐ด๐ต)๐ถ = ๐ด(๐ต๐ถ)
c. Sifat distributif : ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ต๐ถ dan (๐ด + ๐ต)๐ถ = ๐ด๐ถ + ๐ต๐ถ
๐ด(๐ต โ ๐ถ) = ๐ด๐ต โ ๐ด๐ถ dan (๐ด โ ๐ต)๐ถ = ๐ด๐ถ โ ๐ต๐ถ
d. Sifat Asosiatif : ๐๐ด๐ต = (๐๐ด)๐ต = ๐ด(๐๐ต)
e. Sifat Identitas : ๐ด๐ผ = ๐ด. (I merupakan matriks identitas)
Perpangkatan pada matriks hanya terjadi apabila matriks yang dipangkatkan adalah matriks
persegi.
Contoh : Jika ๐ด = (3 1
โ2 0). Maka ๐ด2 = ๐ด๐ด = (
3 1โ2 0
) (3 1
โ2 0) = (
3 ร 3 + 1 ร (โ2) 3 ร 1 + 1 ร 0โ2 ร 3 + 0 ร (โ2) โ2 ร 1 + 0 ร 0
)
Sifat-Sifat dalam perpangkatan Matriks :
a. ๐ด๐๐ด๐ = ๐ด๐+๐
b. (๐ด๐)๐ = ๐ด๐๐
c. ๐ด๐ = ๐ด ร ๐ด๐โ1
d. ๐ด0 = 1
Determinan dan Invers Matriks
1. Determinan matriks dengan ordo ๐๐๐
Misalkan matriks tersebut adalah ๐ด = (๐ ๐๐ ๐
), maka determinan matriks ๐ด dinyatakan
sebagai
det ๐ด = |๐ด| = |๐ ๐๐ ๐
| = ๐๐ โ ๐๐
2. Determinan matriks dengan ordo ๐๐๐
Misalkan ๐ด = (
๐1 ๐2 ๐3
๐4 ๐5 ๐6
๐7 ๐8 ๐9
) , untuk memudahkan perhitungan, buatlah salinan
๐1 ๐2
๐4 ๐5
๐7 ๐8
di kanan matriks seperti berikut ini
|
๐1 ๐2 ๐3
๐4 ๐5 ๐6
๐7 ๐8 ๐9
|
๐1 ๐2
๐4 ๐5
๐7 ๐8
Maka det ๐ด = ๐1๐5๐9 + ๐2๐6๐7 + ๐3๐4๐8 โ ๐7๐5๐3 โ ๐8๐6๐1 โ ๐9๐4๐2
3. Sifat sifat determinan
a. Determinan matriks ๐ด sama dengan determinan matriks ๐ด๐ก
|๐ด| = |๐ด๐ก|
b. Determinan matriks ๐ด๐ต sama dengan determinan matriks ๐ด dikali determinan matriks
๐ต
|๐ด๐ต| = |๐ด||๐ต|
c. Determinan matriks ๐ดโ1 sama dengan seper determinan matriks ๐ด
|๐ดโ1| =1
|๐ด|
d. Jika setiap elemen pada matriks ๐ด yang berordo ๐ ๐ฅ ๐ dikali dengan ๐, maka
determinan matriks baru adalah determinan matriks ๐ด dikali ๐๐
|๐๐ด| = ๐๐|๐ด|
4. Invers matriks
Invers matriks ๐ด dilambangkan ๐ดโ1. Misalkan ๐ด = (๐ ๐๐ ๐
)
๐ดโ1 =1
|๐ด|๐ด๐๐ ๐ด =
1
๐๐ โ ๐๐(
๐ โ๐โ๐ ๐
)
Jika det ๐ด = 0, maka matriks ๐ด tidak memiliki invers atau disebut matriks singular
Sifat invers Matriks โ ๐ด๐ดโ1 = ๐ดโ1๐ด = ๐ผ
5. Persamaaan matriks
Invers matriks juga digunakan jika ada pembagian dalam matriks
Jika ๐ด, ๐ต, dan ๐ ketiganya adalah matriks, maka
a. ๐ด๐ = ๐ต berlaku ๐ = ๐ดโ1๐ต
b. ๐๐ด = ๐ต berlaku ๐ = ๐ต๐ดโ1
6. Menyelesaikan SPLDV atau SPLTV menggunakan matriks
Matriks juga dapat digunakan dalam menyelesaikan SPLDV atau SPLTV
Contoh pada SPLDV berikut :
3๐ฅ + 5๐ฆ = 4 โฆ (1)
5๐ฅ โ ๐ฆ = 16 โฆ (2)
Dalam bentuk matriks, persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan sebagai berikut
(3 55 โ1
) (๐ฅ๐ฆ) = (
416
)
Matriks (3 55 โ1
) disebut matriks koefisien, yaitu matriks yang unsur-unsurnya
merupakan koefisien dari variabel-variabel pada persamaan (1) dan (2).
Matriks (๐ฅ๐ฆ) disebut matriks variabel, yaitu matriks yang unsur-unsurnya merupakan
variabel variabel pada persamaan (1) dan (2).
Matriks (4
16) disebut matriks konstanta, yaitu matriks yang unsur-unsurnya merupakan
konstanta pada persamaan (1) dan (2).
Cara 1
Penyelesaian (๐ฅ๐ฆ) dapat menggunakan persamaan matriks seperti pada nomor 5, yaitu
(๐ฅ๐ฆ) = (
3 55 โ1
)โ1
(4
16) = โ
1
28(
โ1 โ5โ5 3
) (4
16) = โ
1
28(
โ8428
) = (3
โ1)
Sehingga ๐ฅ = 3 dan ๐ฆ = โ1
Cara 2
Pada persamaan
๐1๐ฅ + ๐1๐ฆ = ๐1
๐2๐ฅ + ๐2๐ฆ = ๐2
Penyelesaian ๐ฅ dan ๐ฆ adalah
๐ฅ =๐ท๐ฅ
๐ท=
|๐1 ๐1
๐2 ๐2|
|๐1 ๐1
๐2 ๐2|
๐ฆ =๐ท๐ฆ
๐ท=
|๐1 ๐1
๐2 ๐2|
|๐1 ๐1
๐2 ๐2|
Sehingga penyelesaian pada contoh diatas adalah
๐ฅ =๐ท๐ฅ
๐ท=
|4 5
16 โ1|
|3 55 โ1
|=
โ84
โ28= 3
๐ฆ =๐ท๐ฆ
๐ท=
|3 45 16
|
|3 55 โ1
|=
28
โ28= โ1
Contoh pada SPLTV berikut :
๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 2
2๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 9
โ๐ฅ + 9๐ฆ + 2๐ง = 2
Dalam bentuk matriks, SPLTV tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
(1 1 12 1 โ1
โ1 9 2) (
๐ฅ๐ฆ๐ง
) = (292
)
Maka penyelesaian ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง adalah
๐ฅ =๐ท๐ฅ
๐ท=
|2 1 19 1 โ12 9 2
|
|1 1 12 1 โ1
โ1 9 2|
=81
27= 3
๐ฆ =๐ท๐ฆ
๐ท=
|1 2 12 9 โ1
โ1 2 2|
|1 1 12 1 โ1
โ1 9 2|
=27
27= 1
๐ง =๐ท๐ง
๐ท=
|1 1 22 1 9
โ1 9 2|
|1 1 12 1 โ1
โ1 9 2|
=โ54
27= โ2
TRANSFORMASI GEOMETRI
Translasi (pergeseran)
Bergeser T (๐๐
):
X : (+) kekanan , (-) kekiri
Y : (+) keatas , (-) kebawah
Rumus/konsep dasar :
A (x,y) digeser sebesar T (๐๐
) maka bayangannya Aโ (x + a,y + b)
Ex :
1. B (2,3) digeser sebesar T (4
โ5) maka bayangannya (Bโ) adalah
Bโ (2 + 4 , 3 - 5) = Bโ (6,-2)
2. Garis 3x + y digeser kekanan sebanyak 2 satuan dan kebawah sebanyak 3 satuan,
bagaimana garis bayangan tersebut
3x + y digeser sebesar T (2
โ3)
x + 2 = xโ x = xโ - 2
y - 3 = yโ y = yโ + 3
3 ( x โ 2 ) + ( y + 3 ) = 6
3x + y = 9
Jadi dapat di ambil kesimpulan bahwa pada pergeseran garis maka nanti berlawanan
dinilainya (dikali -1) ex :
Pergeseran T (2,-3) maka Ketika disubtitusikan ke persamaan menjadi 3 ( x โ 2 , y + 3 )
= 6
Refleksi : pencerminan
A. Alternative menggunakan matrix
Ex : sumbu x (๐ ๐๐ โ๐
) (๐๐
) = (๐
โ๐)
B. dengan membuat koordinat kartesius (sumbu x/sumbu y) lalu dicerminkan
terhadap sumbu yang diminta
Ex : Sumbu x (sebagai acuan cermin) maka terjadi pencerminan dengan
perpindahan koordinat y dengan jarak ke cermin yang sama sehingga didapat
pencerminan sumbu x
A (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x menjadi Aโ (x,-y)
1. Refleksi terhadap sumbu x
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu x maka bayangannya adalah Aโ (x,-y)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu x maka bayangannya adalah Aโ (3,-4)
2. Refleksi terhadap sumbu y
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu y maka bayangannya adalah Aโ (-x,y)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu x maka bayangannya adalah Aโ (-3,4)
3. Refleksi terhadap sumbu y = x
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu y = x maka bayangannya adalah Aโ (y,x)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu y = x maka bayangannya adalah Aโ (4,3)
4. Refleksi terhadap sumbu y = -x
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu y = -x maka bayangannya adalah Aโ (-y,-x)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu y = - x maka bayangannya adalah Aโ (-4,-3)
5. Refleksi terhadap sumbu x = a
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu x = a maka bayangannya adalah Aโ (2a-x,y)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu x=3 maka bayangannya adalah Aโ (2x3 โ 3,4) = Aโ
(3,4)
6. Refleksi terhadap sumbu y = a
A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu y = a maka bayangannya adalah Aโ (x,2a - y)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap sumbu x=3 maka bayangannya adalah Aโ (3,3x2 - 4) = Aโ
(3,2)
7. Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (โ1 00 โ1
) (๐๐
) = (โ๐โ๐
)
Ex :
A (3,4) direfleksikan terhadap titik pusat (0,0) maka bayangannya adalah
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (โ1 00 โ1
) (๐๐
) = (โ๐โ๐
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (โ1 00 โ1
) (34
) = (โ3โ4
)
Jadi titik bayangannya adalah (-3,-4)
Rotasi : Berputar
Apabila arah perputaran rotasi pada sebuah benda searah dengan jarum jam, maka
sudut yang dibentuk yaitu -ฮฑ.
Begitu juga sebaliknya , Apabila arah perputaran rotasi pada sebuah benda berlawanan
arah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk yaitu ฮฑ.
1. Rotasi dengan Pusat o (0,0) sebesar ฮฑ
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
) (๐๐
)
Ex :
Sebuah titik A (3,1) di putar 90 derajat dengan pusat (0,0), apa titik bayangannya ?
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
) (๐๐
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos 90 โ sin 90sin 90 cos 90
) (31
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (0 โ11 0
) (31
) = (โ13
)
Jadi titik bayangannya adalah (-1,3)
2. Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar ฮฑ
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
) (๐ โ ๐๐ โ ๐
) + (๐๐
)
Ex :
Sebuah titik A (3,1) di putar 90 derajat dengan pusat (2,1), apa titik bayangannya ?
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
) (๐ โ ๐๐ โ ๐
) + (๐๐
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (cos 90 โ sin 90sin 90 cos 90
) (3 โ 21 โ 1
) + (21
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (0 โ11 0
) (10
) + (21
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (01
) + (21
) = (22
)
Jadi titik bayangannya adalah (2,2)
Bisa dengan cara B (3,1) dirotasi 90 derajat dengan pusat (2,1) menjadi (2,2)
โ2 โ 1 โ2 โ 1 +2 + 1
(1,0) dirotasi 90 derajat dengan pusat (0,0) menjadi (0,1)
(0 โ11 0
) (10
) = (01
)
Dilatasi (perkalian)
1. Dilatasi titik A(a, b) pada pusat O(0,0) dengan faktor skala m
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (๐ 00 ๐
) (๐๐
) = (๐๐๐๐
)
Ex :
Sebuah titik A (2,3) di Dilatasi 3 kali dengan pusat (0,0), apa titik bayangannya ?
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (๐ 00 ๐
) (๐๐
) = (๐๐๐๐
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (3 00 3
) (23
) = (3๐ฅ23๐ฅ3
) = (69
)
Jadi titik bayangannya adalah (6,9)
2. Dilatasi titik A(a,b) terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m
Ex :
Sebuah titik A (5,1) di Dilatasi 3 kali dengan pusat (2,-2), apa titik bayangannya ?
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (๐ 00 ๐
) (๐ โ ๐๐ โ ๐
) + (๐๐
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (3 00 3
) (5 โ 2
1 โ (โ2)) + (
2โ2
)
Aโ = (๐โฒ๐โฒ
) = (3 00 3
) (33
) + (2
โ2) = (
99
) + (2
โ2) = (
117
)
Jadi titik bayangannya adalah (11,7)
Bisa dengan cara A (5,1) di Dilatasi 3 kali dengan pusat (2,-2) menjadi (11,7)
โ2 + 2 โ2 + 2 +2 โ 2
(3,3) di Dilatasi 3 kali dengan pusat (0,0) menjadi (9,9)
top related