Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

ANALISIS REAL IIKelompok 8

ANGGOTA KELOMPOK: Anzi Lina Ukhtin Nisa (135090401111012) Umi Fauziyah (135090401111040) Nafi’atuz Zahro (135090407111014) R. M. Racel Purnomo (135090407111016)

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

BARISAN FUNGSI

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Diberikan barisan dari fungsi-fungsi kontinu pada Jika seragam pada , maka kontinu pada .

Teorema 10.4.1.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti:

Diberikan sebarang Karena seragam, maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ;

(10.19)

untuk setiap

Ambil sebarang karena kontinu pada untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dengan berlaku ;

(10.20)

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Berdasarkan (10.19) dan (10.20) maka untuk setiap dengan dan setiap berlaku ;

+ += .

Terbukti kontinu di titik . Karena sebarang, maka kontinu pada

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Jika deret fungsi-fungsi kontinu konvergen seragam ke fungsi jumlah pada maka kontinu pada

Teorema 10.4.2.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti :

Deret dikatakan konvergen seragam ke fungsi jika barisan fungsi konvergen seragam ke

Diketahui deret konvergen untuk setiap berlaku Menurut Teorema Cauchy, barisan konvergen

seragam pada . Terbukti bahwa deret konvergen seragam pada

Diketahui kontinu maka , berlaku

kontinu. Karena kontinu dan

berlaku juga untuk

konvergen seragam ke fungsi , menurut definisi konvergen ke fungsi , untuk setiap berlaku

|– |<

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Akan dibuktikan kontinu pada | |

Terbukti kontinu di titik Karena sebarang, maka kontinu pada .

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Contoh 10.4.3.

Diberikan deret fungsi kontinu pada , dengan

, di mana adalah jarak ke bilangan bulat yang terdekatJika , buktikan kontinu pada .

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti :

Pertama perhatikan terlebih dulu bentuk fungsi pembilang, yaitu bahwa

Jadi

Katakan , sehingga

Karena kontinu pada , maka kontinu pada

Karena dan deret bilangan konvergen,

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

maka menurut Teorema 10.3.2., deret konvergen seragam pada Dengan demikian menurut Teorema 10.4.1. fungsi jumlah kontinu pada .

Dimisalkan seragam pada dan titik limit . Jika untuk setiap (10.21) maka barisan konvergen.dan(10.22) atau dengan kata lain(10. 23).

Teorema 10.4.4.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti:

Diberikan karena seragam pada , maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan berlaku

(10.24) .Dengan , maka menurut (10.21) ketaksamaan (10.24) menjadi

(10.25)

untuk setiap .

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Sehingga barisan merupakan barisan Cauchy di dalam .

Oleh karena itu konvergen kesuatu bilangan .

Kembali ke pernyataan awal bahwa seragam pada , maka terdapat sehingga untuk setiap dan setiap berlaku

(10.26) .

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Karena , maka terdapat sehingga untuk setiap dihasilkan

(10.27) |

Kesamaan (10.21) menggambarkan bahwa, untuk setiap dengan

(10.28) |

untuk setiap

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Pilih

Ketaksamaan (10.26), (10.27), (10.28) menjadi

s|

+ + = .

Untuk setiap dan setiap dengan

.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Dengan demikian dapat disimpulkan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Diberikan barisan fungsi terintegral Riemann pada . Jika seragam pada , maka terintegral Riemann pada dan

Teorema 10.5.1.

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Bukti:

, dimisalkan

Maka dan

Berlaku

Atau

Sehingga untuk integral Riemann atas dan bawah dari f memenuhi

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Sehingga

Karena seragam pada , maka sehingga

Maka dikatakan terintegral Riemann

pada dan ditulis

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Selanjutnya ketaksamaan (10.30) dapat dinyatakan sebagai

sehingga diperoleh

Artinya ketaksamaan (1) dipenuhi, yaitu

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Jika terintegral Riemann pada dan deret

Konvergen seragam pada , maka

Akibat 10.5.2.

TERIMA KASIH

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Contoh

Diberikan barisan fungsi , Selidiki apakah barisan tersebut konvergen seragam ke limitnya!