Instabilità Torsionale e Flesso-Torsionale (Svergolamento)
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Instabilità torsionale e flesso-torsionale (svergolamento)
(aggiornamento 07-01-2010)
Instabilità torsionale (Ballio §9.2.4)
Nelle sezioni doppiamente simmetriche (centro di taglio coincidente col baricentro) l’avvitamento è
una possibile modalità di collasso. Per queste sezioni esso è disaccoppiato dall’instabilità
flessionale e si ha:
0
Tcr I
IG=σ (a)
In particolare questa forma di instabilità va controllata per le
sezioni a croce, per le quali la (a) diviene:
2
2
cr btG
=σ
essendo t lo spessore. Si ha infatti:
330
3
T
bt34)b2(t
1212I
3tb4I
==
=
2
Svergolamento (Ballio §9.3)
Il fenomeno viene anche chiamato:
- Stabilità della flessione piana
- Stabilità laterale
- Stabilità flesso-torsionale
Lo svergolamento è dovuto alla forza di compressione che agisce su una parte della sezione e che
può provocare sbandamento laterale e torsione, senza che il profilo riesca a manifestare le sue
risorse flessionali.
Dipende da:
- rigidezza flesionale intorno all’asse debole
- rigidezza torsionale (IT, Iω)
- lunghezza libera (distanza tra sezioni impedite di traslare orizzontalmente e quindi di
ruotare)
- vincoli esterni
- quota del punto di applicazione del carico
3
Nella figura le travi secondarie impediscono lo sbandamento dell’ala superiore della trave
principale.
Nel caso di trave soggetta a momento costante, con vincoli di appoggio torsionale, il momento
critico elastico è dato dalla relazione:
T
2
2
Tzcr GILEI1GIEI
LM ωπ
+π
= (1)
teorico (forcella)appoggio torsionale
M M
praticoappoggio torsionale
Nel caso di momento variabile lungo l’asta, il valore del momento massimo che determina
l’instabilità è maggiore.
Il punto di applicazione del carico influenza il valore del momento critico: un carico applicato
all’estradosso è più instabilizzante.
Normativa italiana CNR 10011 La CNR 10011/85 indica due metodi approssimati che permettono di evitare il calcolo del
momento critico e considerano critica una distribuzione di momento flettente definita da un
momento equivalente Meq
Meq = 1.3 Mm con la limitazione 0.75 Mmax < Meq < Mmax per travi appoggiate o continue
Meq = Mm con la limitazione 0. 5 Mmax < Meq < Mmax per travi a mensola
essendo Mm il momento medio lungo la trave:
LMdx
Mm∫=
Se il carico è applicato all’estradosso, si deve applicare un ulteriore coefficiente di sicurezza
pari a 1,4.
4
Metodo ω1
admeq1
WM
σ≤ω
=σ
Il coefficiente ω1 è funzione del rapporto fbt
hL
f
y1 bt
hLE585.0
f=ω
Il metodo è applicabile per travi a doppio T laminate o saldate (con rapporti dimensionali definiti) e
deriva dalle considerazioni che seguono.
Se nella (1) si trascura la rigidezza torsionale secondaria EIω/L2 rispetto alla primaria GIT, la
tensione critica si scrive:
WII
EGL
GIEILW
1 TzTzD,cr
π=
π=σ
Per le travi a doppio T del sagomario si ha:
hbt3.0
WII fTz ≅
2fffD,cr mm/N
hLbt121000
hLbt3.080000206000
hLbt3.0EG =⋅π=π=σ
Nello spirito delle tensioni ammissibili si può scrivere:
f
y
f
y1
D,cr
y
D,cr
adm1
1
admD,cr
bthL
E585.0f
bthL
121000f
f
==ω
σ=
σνσ
=ω→ω
σ=
νσ
≤σ
Metodo dell’ala isolata
E’ un metodo a favore di stabilità, applicabile a qualsiasi trave, anche nel caso di corrente
compresso controventato con una trave orizzontale reticolare (ad esempio per le vie di corsa).
Se si trascura la rigidezza torsionale primaria GIT, la stabilità è affidata alla rigidezza flessionale,
intorno all’asse z-z, dell’ala compressa considerata isolata dall’anima (v. figura).
5
b
z
zeqN y
z
y
z
L
f
t f
Neq
Si verifica quindi l’ala a carico di punta soggetta alla forza assiale Neq:
dM
SI
MdAN eq
yy
eq
alaeq ≅=σ= ∫
Si verifica l’asta col metodo ω o χ, con la curva di stabilità c o d, usando come lunghezza di libera
inflessione la luce L e come momento d’inerzia quello dell’ala intorno all’asse z:
iL
12bi
12btI f
3ff
z1 =λ→=→=
Eurocodice 3 edizione 1992 §5.5.2 – Instabilità flesso-torsionale delle travi
Rd,cLTRd,b1Myy,plwLTRd,b MM/fWM χ=→γβχ=
Il coefficiente χLT di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale è uguale al coefficiente χ per carico
di punta e si ricava in funzione della snellezza adimensionale LTλ , analoga alla snellezza λ per
carico di punta:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ=λ puntadicaricoper
NN
MM
cr
pl
cr
plLT
Mcr è il momento critico di svergolamento calcolato in campo elastico. Nell’appendice F sono
riportate le formule per vari casi di carico; per momento costante vale la (1). Altre formule sono
reperibili in letteratura. In casi particolarmente complessi si può ricorrere ad un’analisi di buckling
con un programma agli elementi finiti, discretizzando la trave con elementi plate.
Si devono adottare i valori di χ della curva a per sezioni laminate e della curva c per sezioni saldate.
Se 4.0LT <λ non è necessaria la verifica a svergolamento.
6
NTC – D.M. 14-1-2008 Le Norme Tecniche per le Costruzioni e l’EC3:2005 usano un approccio simile a quello
dell’EC3:1992, senza però fornire le formule per il calcolo del momento critico elastico.
7
Se si assume β= 1, la (4.2.51), a parte il fattore f di distribuzione del momento
flettente, coincide con l’espressione di χ per la verifica a carico di punta. Anche
l’espressione di LTΦ con 2,00,LT =λ coincide con l’espressione di Φ per la verifica
a carico di punta. A favore di sicurezza si possono quindi usare i valori di χ. Se
invece si usa β=0,75 e 4,00,LT =λ si ottengono valori maggiori di χLT.
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ESEMPIO 1 Calcolare il carico massimo ammissibile (applicato all’estradosso) per la trave di figura
Wy,el = 836 cm3
h = 250 mm
bf = 260 mm
tf = 12.5 mm
σadm = 156 N/mm2
fyk = 235 N/mm2
CNR 10011 metodo ω1
.K.OMM7.10
qLM75.0
23.9qLM3.1M
12qLL
8qL
32
L1M
maxeq
2
max
2
meq
22
m
<<=
==→==
Poiché il carico è applicato all’estradosso, il coefficiente ω1 va moltiplicato per 1.4
m/kN73.510
1.6223.9qkNm1.625.14.1
4.130M
50.1769206000585.0
235769tb
hL
kNm4.130836156WM4.1
2admeq
1ff
admeq1
=⋅
=→=⋅
≤
=⋅
=ω→=
=⋅=σ≤ω
Se la trave fosse controventata il carico ammissibile sarebbe quasi doppio:
m/kN4.10100
8361568L
W8q 2adm
adm =⋅⋅
=σ
=
CNR 10011 metodo dell’ala isolata
kN1751089.2
)5.12260(156NAN
89.2)ccurva(13312/260
10000iLalasnellezza
3eqadm
f
eq
z
=⋅⋅
≤→σ≤ω
=ω→===λ
−
Fe 360 (S 235)
L=10 m
q
R R
Particolare appoggi HE 260 A
9
m/kN84.3100
6.4123,9q
kNm6.4110)5.12250(175dNM
adm
3eqeq
=⋅
=
=−⋅=≤ −
Il metodo dell’ala isolata dà risultati molto più cautelativi.
Eurocodice 3:1992
)baricentroalrispettoqdiordinata(mm125z459.0C132.1C1k1k:con
zC)zC(EI
GI)kL(II
kk
)kL(EICM
g21w
g22
g2z
2T
2
z
w
2
w2z
2
1cr
=====
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+π
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π=
22
4T
6w
4z
N/mm07698G N/mm210000 Etorsionaleinerziamom.cm37.52I
toingobbamendicostanteosettorialeinerziamom.cm516400Iinerziamom.cm3668I
==
=
=
=
{ } kNm2.1831038.5732925563914095760236132.1M 6cr =−++⋅= −
2.216108.919235WfM 3plykpl =⋅⋅== − kN
605.0)acurva(086.12.1832.216
MM
cr
plLT =χ→===λ
m/kN64.65.1
qqm/kN97.9100
6.1248q
kNm6.12405.1
2.216605.0MM
EdadmEd
Rd,cLTRd,b
==→=⋅
=
=⋅=χ=
Il carico ammissibile è leggermente superiore a quello ottenuto col metodo ω1 (qadm=5.73
kN/m).
La verifica può essere eseguita immediatamente con il programma Profili.
10
Il coefficiente k determina la lunghezza di libera inflessione kL dell’ala compressa nel suo piano:
vista in pianta
k=0.5 k=0.7
Il coefficiente kw tiene conto del vincolo all’ingobbamento delle sezioni di estremità e anch’esso
assume i valori 0.5 (2 vincoli) 0.7 (1 vincolo). Realizzare un vincolo all’ingobbamento pienamente
efficiente è difficile e quindi si assume solitamente kw=1.
Ingobbamento parzialmente impedito
11
NTC e Eurocodice 3:2005 Le NTC e l’EC3 prevedono per le travi laminate con sezione a doppio T l’uso della curva di
instabilità b, più gravosa rispetto alla curva a, ma il cui effetto è mitigato dalla possibilità di usare
per il calcolo di χLT i valori 0,LTλ =0,4 e β=0,75.
Secondo le NTC la snellezza LTλ va calcolata in base al valore del momento critico elastico Mcr
corrispondente alla distribuzione uniforme.
Mcr=200,7 kNm 038,1MM
cr
plLT ==λ
Usando la curva di instabilità b e calcolando χLT con 0,LTλ =0,4 e β=0,75 si ottiene:
( )[ ]=λβ+λ−λα+=Φ LT2
0,LTLTLTLT 15,0 1,0125
LT2
LT2
LT
LT1
λβ−Φ+Φ=χ =0,6764
Il coefficiente riduttivo χLT va amplificato col fattore f di distribuzione del momento flettente:
[ ] [ ]22LTc )8,0038,1(0,21)94,01(5,01)8,0(0,21)k1(5,01f −−−−=−λ−−−= =0,973
47,3f
1695,0973,0
6764,0f 2LT
mod,LTLT
=λ
<==χ
=χ
m/kN63,75,1
qqm/kN4,11100
1,1438q
kNm1,14305,1
2,216695,0MM
EdadmEd
Rd,cmod,LTRd,b
==→=⋅
=
=⋅=χ=
Il carico ammissibile è superiore a quello ottenuto al punto precedente (6,64 kN/m). Con questa
impostazione non si tiene però conto del fatto che il carico è applicato all’estradosso. Il confronto
va quindi eseguito nel caso di carico applicato al baricentro, per il quale si ha Mb,Rd=140,6.
12
Circolare 2-2-2009
Questa formula è evidentemente applicabile solo al caso di diagramma del momento variabile
linearmente.
Ad esempio per MB=0 si ha ψ=1,75 e il momento critico diventa:
21144Tz Nmm10708,51037,5280769103668210000GJEJ ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
119,11037,5280769
1051640021000010000
1GJEJ
L1 4
62
T
2
cr
=⋅⋅
⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+ ω
kNm3,35110/119,110708,510000
75,1M 611cr =⋅⋅
π⋅=
con:
13
22
4T
6w
4z
N/mm07698G N/mm210000 Etorsionaleinerziamom.cm37.52I
toingobbamendicostanteosettorialeinerziamom.cm516400Iinerziamom.cm3668I
==
=
=
=
Questo valore è in discreto accordo con quello più affidabile ricavabile con la formulazione
dell’EC3 edizione 1992, implementato nel programma profili, che fornisce Mcr=377 kNm.
14
CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO CON PROGRAMMA
AGLI ELEMENTI FINITI Le versioni più recenti di numerosi programmi commerciali agli elementi finiti contemplano,
nell’analisi di buckling, oltre all’instabilità flessionale (instabilità euleriana), anche l’instabilità
flesso-torsionale.
Se si schematizza la trave con elementi “beam”, che sono implementati secondo la teoria classica
delle travi e quindi trascurano la rigidezza bi-flessionale (non è presente il momento d’inerzia
settoriale Iw fra le caratteristiche meccaniche della sezione), si otterrà una stima generalmente a
favore di sicurezza del momento critico. Si tenga inoltre presente che normalmente, se si caricano i
dati delle sezioni dalle librerie dei profili contenute nei programmi, non vengono caricati i valori dei
momenti di inerzia torsionali IT, che vengono invece calcolati con la formula approssimata
∑= 3/btI 3T , senza tener conto del contributo dei raccordi che non è affatto trascurabile nel
calcolo di TI .
Nella mesh di figura la trave dell’esempio 1 è discretizzata con 10 elementi beam. I vincoli sono le
tre traslazioni e la rotazione torsionale agli estremi. Si applica all’asse baricentrico un carico
distribuito di 18,18 kN/m che determina un valore del momento massimo Mmax=227,2 kNm,
momento critico elastico nel caso di carico applicato al baricentro (non è possibile modellare
l’effetto del carico applicato all’estradosso). Questo valore del momento critico è fornito dal
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programma profili in base alla formula generale contenuta nell’edizione 1992 dell’EC3, e coincide
anche col valore dato dal programma LTBeam (vedi più avanti).
L’analisi di buckling agli elementi finiti fornisce il moltiplicatore critico mcr=0,739 (Mcr=167,9). Il
valore è notevolmente inferiore all’unità perché l’analisi con elementi beam trascura la rigidezza bi-
flessionale e inoltre il programma usa per il momento d’inerzia torsionale il valore IT=37,02 cm4
anziché 52,37. Se si trascura la rigidezza bi-flessionale EIw, la trave si comporta come se avesse una
sezione rettangolare di piccolo spessore, per la quale il Timoscenko, nel volume “Theory of elestic
stability” fornisce la formula (6.39) del carico critico:
kN8,1351010000
1002,37807691036682100003,28L
GJEJ3,28)qL( 3
2
44
2Tz
cr =⋅⋅⋅⋅⋅
== −
Il valore del momento critico è quindi Mcr=169,8 kNm, in buon accordo col risultato dell’analisi
agli elementi finiti.
Per poter tener conto della rigidezza bi-flessionale, è necessario modellare la trave con elementi
“plate”.
Con il carico distribuito di 18,18 kN/m applicato al baricentro, l’analisi di buckling fornisce il
moltiplicatore critico mcr=0,865 (Mcr=196,5 kNm). Questo valore del momento critico è inferiore al
valore di 227,2 kNm dato dal programma profili. Il motivo è legato al fatto che nel modello agli
elementi finiti non si possono inserire i raccordi fra anima ed ali che fanno aumentare notevolmente
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la rigidezza torsionale primaria legata al momento d’inerzia torsionale IT. Nel programma profili si
può però inserire un profilo definito dall’utente, nella tipologia “Saldati Simmetrici”, con i dati
dell’HE260A, ma senza raccordi.
In questo modo si ha IT=37,02 cm4 e per la verifica a svergolamento si ha Mcr=198,7 kNm, in buon
accordo col valore (Mcr=196,5) ricavato con l’analisi FEM.
Se nell’analisi FEM il carico viene applicato all’estradosso, si ottiene mcr=0,675 (Mcr=153,4), valore in buon accordo con quello (Mcr=155,5) fornito dal programma profili:
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CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO COL PROGRAMMA
LTBeam E’ disponibile gratuitamente in internet il programma LTBeam per il calcolo del momento critico
elastico di travi variamente vincolate e caricate. Il programma è stato sviluppato da CTICM (Centre
Technique Industriel de la Construction Métallique - France) nell’ambito di un programma europeo
di ricerca parzialmente finanziato dalla Comunità Europea per il Carbone e l’Acciaio (ECSC
Project N° 7210-PR183 : "Lateral torsional buckling of steel and composite beams" - 1999-2002).
Si presentano le schermate per il calcolo del momento critico dell’esempio 1 con carico distribuito
applicato all’estradosso.
18
Il valore del momento critico coincide praticamente con quello dato dal programma profili (Mcr=183,2).
19
ESEMPIO 2 Verificare a svergolamento secondo le NTC (D.M. 14-1-2008) la mensola di figura. Acciaio S275.
L=2 m
q 150
200
15
20 Poiché l’ala è tesa, non si può applicare il metodo dell’ala isolata.
Per il calcolo del momento critico elastico non si possono usare le formule dell’Eurocodice
(edizione 1992) che non valgono nel caso delle mensole.
Per il calcolo del momento critico si può ricorrere ad un programma agli elementi finiti. Con la
mesh di figura si ottiene Mcr=438 kNm.
Con il programma LTBeam si ottiene un valore leggermente maggiore (Mcr=496 kNm).
Poiché la sezione ha modulo di resistenza a flessione Wy=216000 mm3, il momento critico di 496
kNm determinerebbe una tensione σcr=2296 MPa >> fy. L’instabilità avviene quindi in campo
plastico.
Snellezza adimensionale (usiamo per semplicità il Wel):
20
926,0)ccurva(346,0496
4,59496
10275216000M
fWLT
6
cr
yyLT =χ=χ→==
⋅⋅==λ
−
L’instabilità riduce quindi la resistenza a flessione al 92%:
kNm4,5205,1
4,59926,0MM Rd,cLTRd,b =⋅=χ=
Allo stato limite ultimo la trave può portare il carico:
m/kN2,262/4,522LM2q 22Rd,bEd =⋅=⋅⋅=
Si noti che se si esegue l’analisi di buckling sulla mesh con elementi beam, si ottiene in questo caso
una stima a sfavore di sicurezza con Mcr=731 kNm.
21
Aste inflesse (Ballio §9.5.3.2) Spesso le condizioni reali di vincolo sono più favorevoli di quelle ideali.
Le travi secondarie costituiscono un vincolo elastico per quelle principali
I carichi possono avere un effetto stabilizzante anche se applicati all’estradosso
Le vie di corsa devono spesso essere controventate con tralicciatura
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