ウェーブレット変換とmicelle.org/trash/wavelet/wavelet.pdfフーリエ ウェーブレット 変換方法 FFT WDT (Daubechies) 重み行列 分割 低/中/高 均等 LL2

ウェーブレット変換と画像圧縮

Akira Kubo http://micelle.org

変換 量子化画像

変換で偏りを作る量子化で削る

変換 量子化画像

変換で偏りを作る量子化で削る

フーリエ変換 重み付きQ行列

• フーリエ変換• 離散コサイン変換• ウェーブレット変換• ...

変換

フーリエ ウェーブレット

変換方法 FFT WDT(Daubechies)

重み行列分割

低/中/高均等

LL2/HL2,HH2,LH2,HH2/

HL,HH,LH

圧縮重み付量子化

閾値+重み付量子化

※WDTにはRice Wavelet Toolbox を使用

LL2 HL2HL

LH2 HH2

LH HH

Sample2: 圧縮率

Sample2: 圧縮率

Sample2: MSE

Sample2: MSE

Lenna: 圧縮率

Lenna: 圧縮率

Lenna: MSE

Lenna: MSE

離散フーリエ変換

F (u, v) =1!XY

X!1!

x=0

Y!1!

y=0

f(x, y)e!j2!(uxX + vy

Y )

離散フーリエ変換

無限に長い

F (u, v) =1!XY

X!1!

x=0

Y!1!

y=0

f(x, y)e!j2!(uxX + vy

Y )

f

局所的な分析が苦手

持続時間の短い波（さざ波）とマッチングをとる

0

1

-1

Haarウェーブレット

1

ウェーブレットを拡大縮小、移動して相関をとる

拡大・縮小

0 0

移動

!(t)1

1Haarスケーリング関数

0

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

!(t)1

1Haarスケーリング関数

0

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

s(j)k =

! +!

"!f(t)!j,k(t! k)dt

スケーリング係数

!j,k(t) = 2!j2 (2!jt! k)

!(t)の平行移動・拡大/縮小

!(t)1

1Haarスケーリング関数

0

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

s(j)k =

! +!

"!f(t)!j,k(t! k)dt

スケーリング係数

!j,k(t) = 2!j2 (2!jt! k)

!(t)の平行移動・拡大/縮小

スケーリング関数による近似関数

f(t) ! f0(t) =!

k

s(0)k !0,k(t)

!(t)1

1Haarスケーリング関数

0

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

f0(t) = f1(t) + g1(t)f1(t) = f2(t) + g2(t)

←欠落分

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

...

f0(t) = f1(t) + g1(t)f1(t) = f2(t) + g2(t)

←欠落分

fj(t) =!

k

s(j)k !j,k(t)

...

f0(t) = f1(t) + g1(t)f1(t) = f2(t) + g2(t)

←欠落分

=J!

j=1

gj(t) + fJ(t)

1～JレベルのJ個の解像度で表現

f0(t) = g1(t) + g2(t) + ... + gJ(t) + fJ(t)

f0(t) =J!

j=1

gj(t) + fJ(t)

0

1

-1

Haarウェーブレット

1

f0(t) =J!

j=1

gj(t) + fJ(t)

0

1

-1

Haarウェーブレット

1 gj(t) =!

k

!(j)k "1,k(t)

f0(t) =J!

j=1

gj(t) + fJ(t)

0

1

-1

Haarウェーブレット

1 gj(t) =!

k

!(j)k "1,k(t)

!(j)k =

! +!

"!f(t)"j,k(t)dt

!j,k(t) = 2!j2 !(2!jt! k)

f0(t) =J!

j=1

gj(t) + fJ(t)

0

1

-1

Haarウェーブレット

1 gj(t) =!

k

!(j)k "1,k(t)

!(j)k =

! +!

"!f(t)"j,k(t)dt

!j,k(t) = 2!j2 !(2!jt! k)

f0(t) =J!

j=1

!

k

!(j)k "j,k(t) + fJ(t)

L H

LL HL

LH HH

垂直方向高周波成分

水平方向高周波成分

対角方向高周波成分

原画像(S0)平均化低周波成分

LL2 HL2HL

LH2 HH2

LH HH

垂直方向高周波成分

水平方向高周波成分

対角方向高周波成分

LL2 HL2HL

LH2 HH2

LH HH

Courtesy NASA/JPL-Caltech/Harvard-Smithsonian CfA

6020x2905

Courtesy NASA/JPL-Caltech/Harvard-Smithsonian CfA

414x414

6020x2905

元画像

元画像

（上）JPEG 280KB

（下）JPEG 2000 248KB

三谷政昭：やり直しのための通信数学, CQ出版社, 2008

中野宏毅・山本鎭男・吉田靖夫： ウェーブレットによる信号処理と画像

処理, 共立出版, 1999

参考文献

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http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.1/jp/