Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Přednáška 02 Množiny, relace

jiri.cihlar@ujep.cz

Matematika I. KIG / 1MAT1

O čem budeme hovořit:

• Rovnost a inkluse množin

• Operace s množinami

• Vlastnosti množin

• Vázané kvantifikátory

• Kartézský součin množin

• Binární relace v množinách

Rovnost a inkluse množin

Co to jsou množiny?

Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to:

soubor určitých objektů, u kterého je možné rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do souboru patří či nepatří.

Příklady:

• Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků: například { 1; a; # }.

• Množinu můžeme určit charakteristickou vlastností jejích prvků:

například { x; x > 100 }.

Kdy se dvě množiny sobě rovnají?Kdy jsou ve vztahu inkluse?

Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se skládat z týž prvků, tedy definujeme:

A = B (x) x A x B

Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být každý prvek množiny A také prvkem množiny B, proto definujeme:

A B (x) x A x B

Věta o rovnosti množin

Inklusi si představíme snadno:fakt, že množina A je „částí“ množiny B, přesněji množina A je podmnožinou množiny B, znázorníme takto:

A B B A A = B

Zřejmě platí tato věta:

Jak jí dokážeme?

AB

Operace s množinami

Průnik množin

Průnik množin A, B bude budeme označovat

A B .Je to množina takových prvků, které náleží oběma těmto množinám.

Definice x A B x A x B

A B = { x ; x A x B }

A B V

Sjednocení množin

Sjednocení množin A, B bude budeme označovat

A B .Je to množina takových prvků, které náleží alespoň jedné z těchto množin.

A B V

Definice x A B x A x B

A B = { x ; x A x B }

Rozdíl množin

Rozdíl množin A, B bude budeme označovat

A B .Je to množina takových prvků, které náleží první množině, ale zároveň nenáleží druhé množině.

A B V

Definice x A B x A x B

A B = { x ; x A x B }

Univerzální třída a prázdná množina

Definice

x V x = x x x x

V = { x ; x = x } = { x ; x x }

Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se označuje V a nazývá se univerzální třída . Množina, která neobsahuje žádný prvek, se označuje a nazývá se prázdná množina .

Doplněk množiny

Rozdíl V A budeme nazývat doplňkem množiny A a označovat A .Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do původní množiny nepatří.

Definice x A x A

A = { x ; x A }

A V

Vlastnosti množin

Jak dokazovat věty o vlastnostech množin?

Dokažme například větu:

A ( B C ) ( A B ) ( A C )

Máme dvě možnosti.1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii: (x) x A ( B C ) x ( A B ) ( A C )

atd.

2) Užijeme tzv. Vennovy diagramy:

A B

C

V

Důležité věty o vlastnostech množin

A B = B A ( A B ) C = A ( B C )A B = B A ( A B ) C = A ( B C )

( A B ) C = ( A C ) ( B C )( A B ) C = ( A C ) ( B C )

A = A A = A A = A V = A = A

( A B ) = ( A ) ( B ) ( A B ) = ( A ) ( B )

A B A A A B A B B B A B

A B A B = A A B A B = B

Vázané kvantifikátory

Vázané kvantifikátory

V matematice často používáme nejenom formule (x) (x) nebo (x) (x) ale také formule tvaru (xA) (x) nebo (xA) (x) . Jejich význam je tento:

(xA) (x) (x) xA (x) (xA) (x) (x) xA (x) Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory!Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči některým logickým spojením „distributivní“!

Kartézský součin množin

Uspořádané dvojice

V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic bodů v rovině.)

Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme z nich vytvářet uspořádané dvojice, například:

a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd.

V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým členem dvojice.

Kartézský součin tříd (množin)

Definice:

Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich kartézský součin A B takto:

A B = { a;b ; aA bB }

Příklad:

Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2} jsou kartézské součiny tohoto tvaru:

K L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }L K = { 1;a; 1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c }

Představa kartézského součinuZ množin K = {a;b;c}, L = {1;2}

je vytvořen kartézský součin:

K L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }

K

KxLL

a b c

1

2

Důležité věty o kartézském součinu

A B B A

K ( A B ) = (K A) (K B)K ( A B ) = (K A) (K B)K ( A B ) = (K A) (K B)

K = K =

A B K A K B

Binární relace v množinách

Binární relace v množinách A, B

Definice: Množinu R nazýváme binární relací v množinách A, B právě tehdy, když R A B .

Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo kartézskými grafy.

xa

yb

z

BA

x

a

y

b

z

B

A

Úmluvy o zápisech

Jestliže platí x R y , zapisujeme to x y R .

Příklady:

Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2 3 < .

Protože platí 5 5 , zapisujeme to 5 5 .

Protože platí 3 9 , zapisujeme to 3 9 . Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8 3 < .

Protože neplatí 4 7 , zapisujeme to 4 7 .

První a druhý obor relace R

Definice: Nechť je dána relace R A B .

Prvním oborem relace R nazýváme množinu

⃞R = xA (yB) x R y , druhým oborem relace R nazýváme množinu

R ⃞ = yB (xA) x R y . Jak určíme oba obory z grafů relace R ?

xa

yb

z

BA

x

a

y

b

z

B

A

Inverzní relace R-1 k relaci R

Definice:x R-1 y platí právě tehdy, když y R x .

Tedy x y R-1 právě tehdy, když y x R .

Z toho plyne, že je-li R A B , pak R-1 B A .

Příklady: Binární relace > je inverzní k binární relaci < .

Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární relaci „být násobkem“ .

Jak vypadají grafy inverzní relace?

Doplňková relace –R k relaci R

Definice:x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y .

Tedy x y (–R) právě tehdy, když x y R .

Příklad: Binární relace je doplňková k binární relaci > .

Jak vypadají grafy doplňkové relace?

Relace složená z dvou relací R a S

Definice:Nechť jsou dány relace R a S. x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z z S y.

Příklad: Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je

složená relace z binárních relací „být matkou“ a „být otcem“ .

Jak zkonstruovat grafy složené relace?

Co je třeba znát a umět?

• Vztahy rovnosti a inkluse množin,

• definice a vlastnosti množinových pojmů (průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk),

• důkazy vlastností pomocí logických tautologií či Vennových diagramů,

• vázané kvantifikátory,

• kartézský součin množin a jeho vlastnosti,

• pojem binární relace v množinách,

• spojnicový a kartézský graf relace,

• obory relace,

• inverzní, doplňkové a složené relace.

Děkuji za pozornost