Estimating Approximate Incentive Compatibility · 2020. 7. 30. · 𝑤,𝑘 𝐿 ⇒ 𝑤 𝛾ො−𝛾= ෨ 𝐿𝑤+ 𝑁 + 𝑑 𝑁 𝑑 𝑳𝒘𝒌 𝑵 • ≤𝑳𝒘+𝒌

𝜸 𝑖𝑖

γ

𝜸 𝑖𝑖

γ

𝛾

𝛾

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈ℝ

𝐷

1

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗

− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗

𝛾

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈ℝ

𝐷

1

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗

− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗

𝛾

ෝ𝜸

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

𝐹

ො𝛾 = max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈𝐹

1

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗

− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗

𝛾

ෝ𝜸

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

𝐹

𝛾

ෝ𝜸

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

𝐹

𝛾

ෝ𝜸

𝑖

𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖

(𝑁)

𝐹

ො𝛾 − 𝛾 ≤

𝑡𝑖′

𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖

𝑡𝑖′

1

𝑁σ𝑗=1𝑁 𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖

𝑗

𝑡𝑖′

1

𝑁σ𝑗=1𝑁 𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖

𝑗

𝑢1, … , 𝑢𝑁 𝒘,𝒌

𝑤 ≤ 𝑘

1

𝑁σ𝑢𝑖

ෝ𝜸

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿

ෝ𝜸

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝑑

𝑁

𝑑

𝑁

𝑤, 𝑘 𝐿

⇒ 𝑤

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝑑

𝑁

𝑑

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵+

𝑑

𝑁

• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵

•𝑑

𝑁

𝑁

𝑤, 𝑘 𝐿

⇒ 𝑤

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝑑

𝑁

𝑑

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵+

𝑑

𝑁

• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵

•𝑑

𝑁

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝒅

𝑵

• ≤ 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁

•𝒅

𝑵

𝑁

𝑤, 𝑘 𝐿

⇒ 𝑤

𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝑑

𝑁

𝑑

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵+

𝑑

𝑁

• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌

𝑵

•𝑑

𝑁

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝒅

𝑵

• ≤ 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁

•𝒅

𝑵

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘

𝑁+

𝑑

𝑁

𝑤 = 𝑂1

𝑁, 𝑘 = 𝑂 𝑁

(𝑤, 𝑘)

𝑁

𝑁

𝑤, 𝑘 𝐿

⇒ 𝑤

[0, 𝜅]

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders + 𝜅−1

(#samples)

[0, 𝜅]

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders 3/2+ 𝜅−1

(#samples)

[0, 𝜅]

ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders #units 2+ 𝜅−1

(#samples)

•

•

•

••

•

•

•

•