𝜸 𝑖𝑖
γ
𝜸 𝑖𝑖
γ
𝛾
𝛾
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈ℝ
𝐷
1
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗
− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗
𝛾
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈ℝ
𝐷
1
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗
− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗
𝛾
ෝ𝜸
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
𝐹
ො𝛾 = max𝑡𝑖,𝑡𝑖′∈𝐹
1
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖′, 𝒕−𝑖𝑗
− 𝑢 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖 , 𝒕−𝑖𝑗
𝛾
ෝ𝜸
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
𝐹
𝛾
ෝ𝜸
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
𝐹
𝛾
ෝ𝜸
𝑖
𝒕−𝑖(1), … , 𝒕−𝑖
(𝑁)
𝐹
ො𝛾 − 𝛾 ≤
𝑡𝑖′
𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖
𝑡𝑖′
1
𝑁σ𝑗=1𝑁 𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖
𝑗
𝑡𝑖′
1
𝑁σ𝑗=1𝑁 𝑢 𝑡𝑖 ,∙, 𝒕−𝑖
𝑗
𝑢1, … , 𝑢𝑁 𝒘,𝒌
𝑤 ≤ 𝑘
1
𝑁σ𝑢𝑖
ෝ𝜸
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿
ෝ𝜸
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝑑
𝑁
𝑑
𝑁
𝑤, 𝑘 𝐿
⇒ 𝑤
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝑑
𝑁
𝑑
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵+
𝑑
𝑁
• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵
•𝑑
𝑁
𝑁
𝑤, 𝑘 𝐿
⇒ 𝑤
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝑑
𝑁
𝑑
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵+
𝑑
𝑁
• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵
•𝑑
𝑁
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝒅
𝑵
• ≤ 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁
•𝒅
𝑵
𝑁
𝑤, 𝑘 𝐿
⇒ 𝑤
𝑁𝑤, 𝑘 𝐿⇒ 𝑤
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝑑
𝑁
𝑑
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵+
𝑑
𝑁
• ≤ 𝑳𝒘 +𝒌
𝑵
•𝑑
𝑁
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝒅
𝑵
• ≤ 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁
•𝒅
𝑵
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂 𝐿𝑤 +𝑘
𝑁+
𝑑
𝑁
𝑤 = 𝑂1
𝑁, 𝑘 = 𝑂 𝑁
(𝑤, 𝑘)
𝑁
𝑁
𝑤, 𝑘 𝐿
⇒ 𝑤
[0, 𝜅]
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders + 𝜅−1
(#samples)
[0, 𝜅]
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders 3/2+ 𝜅−1
(#samples)
[0, 𝜅]
ො𝛾 − 𝛾 = ෨𝑂#bidders #units 2+ 𝜅−1
(#samples)
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