El aprendizaje de las matemáticas en los grados … · El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Enseñanza y aprendizaje – División de las matemáticas
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El aprendizaje de
las matemáticas
en los grados
intermedios
(3.o – 5.o)
Enseñanza y aprendizaje – División de las matemáticas
Distrito Escolar Metropolitano de Madison
©2007
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Traducido por Rosy Einspahr
e
v
“Nuestra misión es asegurarnos de que cada studiante tenga el conocimiento y las destrezas
necesarias para el aprovechamiento académico y una ida exitosa.”
Plan estratégico Distrito Escolar Metropolitano de Madison 2004
Directora ejecutiva, Enseñanza y aprendizaje: Lisa Wachtel
Superintendente de las escuelas: Daniel Nerad
Superintendente auxiliar para las escuelas primarias: Susan Abplanalp
Distrito Escolar Metropolitano de Madison (MMSD)
Madison Metropolitan School District 545 West Dayton Street Madison, WI 53703
www.madison.k12.wi.us
Derechos de autor ©2007 por el Distrito Escolar Metropolitano de Madison
Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este documento debe ser reproducida de ninguna manera sin el consentimiento escrito del superintendente del Distrito Escolar Metropolitano de Madison.
ii Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
“Mate-matiando”
Un poema a dos voces.
Los maestros: Los estudiantes: enfocándose en las ideas importantes esperando ansiosos el próximo reto y sabiendo lo que entiende el estudiante, o quizás preocupándose por el próximo reto, reconociendo el poder de la diversidad, confiando en el apoyo de la comunidad, plantean el problema. aceptan el reto. Dándose cuenta de los puntos de partida, Analizando los detalles, comprendiendo la pregunta, observan las estrategias, construyen los modelos— Reflexionan sobre los ¿cómos? hacen dibujos, Preguntan los ¿por qués? de los estudiantes toman notas, y ¿qué pasaría si esto o aquello? hacen tablas, escriben símbolos. Determinan soluciones. Reuniendo a la comunidad Reflexionando sobre los ¿cómos?, y preguntando los ¿por qués? y ¿qué pasaría si
esto o aquello? inician la conversación, se unen a la conversación. Aclaran los conceptos y cálculos Aclaran sus conceptos y cálculos, y evalúan y corroboran la exactitud, fomentan las conexiones. amplían su entendimiento, Desafían a razonar más a fondo Entienden como cada uno resolvió las matemáticas. resuelven las matemáticas. Confiada, competente y exitosamente Confiada, competente y exitosamente enseñan se empeñan y aprenden las matemáticas en el aprendizaje de las matemáticas. juntos.
m. jensen Mayo 2007
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) iii Traducido por Rosy Einspahr
iv Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Reconocimientos
Les agradecemos especialmente a: Los miembros del comité del aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios 3.o-5.o por explorar nuevos métodos para la enseñanza de las matemáticas y por proporcionar retroalimentación constructiva acerca de los contenidos del “Aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios.”
Lianne Burnson Grace Courchane Pamela Ferrill Norma Furger Laura Huber Mazie Jenkins Margaret Jensen Karen Lenoch Andrea Lodato Julie Melton
Carla Nordness Kim O'Donahue Melissa Paton Tammy Roper Kathy Statz Lisa Stein Dawn Stiegert Carrie Valentine Wendy Zucker Susan Roehlk, alt
Los maestros del MMSD y al equipo de recursos de matemáticas por su esfuerzo colaborador en el desarrollo de nuevos métodos de enseñanza que dio como resultado la creación del “Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales” lo cual sirvió como modelo para este esfuerzo. Tom Carpenter, Profesor emérito de la Universidad de Wisconsin-Madison, por compartir generosamente su investigación y mantener una firme creencia en los maestros como aprendices e investigadores al estar al centro de una buena instrucción. Vicki Jacobs, Profesosa de la Universidad Estatal de San Diego, por su apoyo editorial durante la creación de este documento. Ella a través de su trabajo, enfocado en la interpretación del razonamiento matemático de los niños, proporciona a los maestros la orientación profesional necesaria para mejorar la instrucción de las matemáticas en la educación primaria. Mary Ramberg, directora previa del Departamento de Enseñanza y Aprendizaje – Distrito Escolar Metropolitano de Madison, por su apoyo comprometido al trabajo cooperativo de los maestros con el objetivo de mejorar la instrucción en las matemáticas para todos los estudiantes.
TABLA DE CONTENIDOS CAPÍTULO 1 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) ...........1
El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio............................................. 3
CAPÍTULO 2 El contenido y los procesos matemáticos .............................................................1
El contenido matemático..................................................................................... 3 Los procesos matemáticos................................................................................... 4
CAPÍTULO 3 El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje y el papel del maestro.....................1
El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje ............................................................ 3 El papel del maestro ........................................................................................... 5
CAPÍTULO 4 Evaluación ....................................................................................................................1
Evaluación ........................................................................................................ 3 Propósitos y maneras para recolectar información para la evaluación ...................... 4 Evaluaciones orales de operaciones aritméticas..................................................... 5 Los propósitos de las evaluaciones orales de operaciones aritméticas...................... 7 Materiales para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas ......................... 7
Llevar a cabo la evaluación oral....................................................................... 8 Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de conteo................................................................................. 9 Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de relación numérica................................................................10 Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de conteo................................................................................11 Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de relación numérica................................................................12 Evaluaciones orales C y D (Multiplicación) y E (División) – Codificación para las estrategias de conteo y de relación numérica ..............................................13 Evaluación oral B – Sumas ........................................................................15 Evaluación oral C – Restas.........................................................................19 Evaluación oral C – Multiplicación...............................................................23 Evaluación oral D – Multiplicación...............................................................27 Evaluación oral E – División .......................................................................31 Forma del registro del estudiante del desarrollo para el cálculo de las operaciones aritméticas.............................................................................35 Tabla de estrategias para las operaciones aritméticas ..................................36
Ayudando a los estudiantes a desarrollar la fluidez en las operaciones aritméticas37 Operaciones de suma................................................................................37 Operaciones de resta ................................................................................38 Operaciones de multiplicación....................................................................39 Operaciones de división.............................................................................39 Factores y múltiplos..................................................................................40 Desarrollando las estrategias de cálculo mental ...........................................40
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) v Traducido por Rosy Einspahr
vi Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Desarrollando la fluidez para el cálculo de operaciones aritméticas ....................42 Objetivos para la fluidez en las operaciones aritméticas de Kinder a 5.o .........43
Evaluación de problemas tipo CGI ..................................................................44 Datos de la evaluación de los problemas tipo CGI........................................49
Evaluando el entendimiento del valor numérico ...............................................51 Componentes del entendimiento del valor numérico ....................................52
Conceptos de las fracciones ...........................................................................55 Ejercicios rápidos ..........................................................................................67
Evaluación temprana sobre la base de diez .................................................68 Evaluación oral del orden numérico de base de diez ....................................69 Evaluación relacionada con los cálculos de base de diez ...............................70 Evaluación oral del conteo salteado............................................................71 Evaluación oral de estimación de base de diez ............................................72 Evaluación de fracciones doblando papel ....................................................73 Evaluación del tamaño y orden de las fracciones .........................................74 Evaluación para la estimación de fracciones ................................................75
CAPÍTULO 5 Organizándose para la instrucción..........................................................................1
Organizándose para la instrucción........................................................................ 3 Organizándose para el año escolar .................................................................. 4 Planeando para la enseñanza diaria ................................................................. 5 Los objetos manipulables para la enseñanza en los grados intermedios .............. 6
Objetos manipulables para números, operaciones y relaciones algebraicas ..... 6 Objetos manipulables para la geometría ...................................................... 7 Objetos manipulables para la medición........................................................ 7 Otros materiales ........................................................................................ 7
La administración de los objetos manipulables.................................................. 8 Organizar los materiales para concentrar la atención en las ideas matemáticas9
Organización que apoya el trabajo individual, en grupos pequeños y grandes en los grados intermedios ..................................................................................10 Asignación de tiempo durante la hora de matemáticas .....................................10 Estructurando la hora de matemáticas ............................................................11
Las ventajas de organizar la hora de matemáticas .......................................12 Trabajo numérico o inspección de ecuaciones .............................................13 Resolución de problemas...........................................................................13 Fluidez y mantenimiento ...........................................................................14
Tres maneras para organizar..........................................................................15
CAPÍTULO 6 Resolución de problemas ..........................................................................................1
El bloque para la resolución de problemas ............................................................ 3 Grandes ideas para la resolución de problemas: contenido ................................ 6 Grandes ideas para la resolución de problemas: proceso ................................... 7 Los problemas matemáticos en el bloque de resolución de problemas ................ 8
Una secuencia típica para una sesión de problemas matemáticos..................10 Números y operaciones en el bloque de resolución de problemas .................11
Tipos de problemas matemáticos ...................................................................13 Tipos de problemas matemáticos CGI.........................................................15 División con residuos ................................................................................17 Problemas de razón y precio......................................................................18 Comparaciones multiplicativas ...................................................................19 Problemas relacionados: Razón, precio y comparación multiplicativa .............21 Problemas simétricos (Problemas de matriz, área y combinación) .................23 Problemas de pasos múltiples ....................................................................26 Problemas fuera de un contexto.................................................................27
Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico...............................28 Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico .................................................................................................................30 Los estudiantes escriben y resuelven sus propios problemas matemáticos ........33 Estimación ..................................................................................................34 Cálculos mentales........................................................................................36 Estrategias de solución.................................................................................37
Más de una estrategia .............................................................................39 Representando soluciones ............................................................................41
Flechas de valor numérico........................................................................42 Bloques de base de diez ..........................................................................43 Recta numérica vacía ..............................................................................44 Lenguaje con flechas...............................................................................46 Modelo de matriz (para la multiplicación) ..................................................48 Modelo de área (para la multiplicación) .....................................................49 Tabla de proporciones .............................................................................50 Ecuaciones .............................................................................................51 Algoritmos..............................................................................................52 Modelo de barras ....................................................................................54
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones ...................................................................................................55
Tipos de problemas de fracción ................................................................57 Geometría...................................................................................................59
Actividades de geometría con objetos manipulables ...................................60 Geometría en el bloque de resolución de problemas...................................61
Medición.....................................................................................................63 La medición en el bloque de resolución de problemas.................................65
Análisis de datos y probabilidad ....................................................................67 Análisis de datos y probabilidad en el bloque de resolución de problemas ....69
Conversación en el aula ...............................................................................71 Matemáticas y lectoescritura.........................................................................74
Vocabulario matemático...........................................................................76 El problema de enseñar palabras clave......................................................77 Estrategias ineficaces ..............................................................................78 Diarios de matemáticas y la retroalimentación escrita.................................79
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) vii Traducido por Rosy Einspahr
viii Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
CAPÍTULO 7 Trabajo numérico........................................................................................................1
El bloque del trabajo numérico ............................................................................ 3 Grandes ideas para el trabajo numérico: contenido ........................................... 4 Grandes ideas para el trabajo numérico: proceso.............................................. 5 Actividades de enseñanza en el bloque del trabajo numérico ............................. 6
CAPÍTULO 8 Inspección de ecuaciones ..........................................................................................1
El bloque de inspección de ecuaciones ................................................................. 3 Grandes ideas para la inspección de ecuaciones: contenido ............................... 6 Grandes ideas para la inspección de ecuaciones: proceso .................................. 7 Aprendiendo sobre el signo igual ..................................................................... 8
Puntos de referencia para entender el signo igual ....................................... 9 Convenciones para utilizar el signo igual ...................................................11 Evaluando para el entendimiento conceptual .............................................13 Evaluación escrita para la inspección de ecuaciones ...................................15
Actividades de enseñanza en el bloque de inspección de ecuaciones .................16 Dando comienzo con oraciones numéricas de verdadero/falso y oraciones numéricas abiertas ..................................................................................16 Conjuntos de ecuaciones de verdadero/falso y de números abiertos ............18 Ecuaciones con más de una variable .........................................................20 Enseñar el orden de las operaciones .........................................................21 Desarrollando conjeturas .........................................................................23 Conjuntos de ecuaciones para incitar conjeturas ........................................24 Justificación............................................................................................25 Familia de operaciones ............................................................................26
CAPÍTULO 9 Fluidez y mantenimiento............................................................................................1
El bloque de fluidez y mantenimiento ................................................................... 3 Actividades de enseñanza en el bloque de fluidez y mantenimiento .................... 5
CAPÍTULO 10 Intervención..................................................................................................................1
Intervención en la enseñanza .............................................................................. 5 La meta............................................................................................................. 5 Evaluación ......................................................................................................... 6 Pautas del desarrollo .......................................................................................... 6 Instrucciones para administrar las evaluaciones .................................................... 7
Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral) ...................................... 9 Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B .............................15 Prueba A de resolución de problemas ............................................................17 Prueba B de resolución de problemas ............................................................19 Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante ........21 Tarjetas de puntos.......................................................................................23 Tiras de identificación numérica ....................................................................27 Tarjetas de secuencia numérica ....................................................................28
Pautas del desarrollo .........................................................................................33 Proporcionando intervención en la enseñanza ......................................................39
Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas .................................41 Consideraciones para planear las actividades de intervención ................................43 Actividades de intervención para los niveles A1, A2 y B.........................................44 Registro de planeación y progreso ......................................................................47
Apéndice..................................................................................................................................... 1 Páginas de muestra de problemas matemáticos................................................ 3 Cuento de matemáticas. “Una caminata de piedras”.........................................11 Problemas de razón y proporción....................................................................13 Diarios de matemáticas .................................................................................17 ¿Qué observas? (plantilla para retroproyector).................................................19 Tablas numéricas de cien (variaciones) ...........................................................21 Las matemáticas y yo (encuesta del estudiante) ..............................................27 Descriptores de las HABILIDADES (para la competencia en el idioma inglés) .....29 Glosario de matemáticas................................................................................31 Etiquetas para guardar materiales ..................................................................33
Recursos profesionales .......................................................................................................1
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) ix Traducido por Rosy Einspahr
x Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º -5.º) Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje
de las
matemáticas
en los grados
intermedios
CAPÍTULO 1
(3.º-5.º)
Capítulo 1 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio
El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio se basa en los conceptos
enseñados al comienzo de Kinder, tales como el conocimiento numérico básico,
geometría, medición e información.
Durante los grados intermedios, los estudiantes amplían su conocimiento de los
números incluyendo las cuatro operaciones aritméticas. Ellos fundan su
conocimiento del sistema de base de diez y lo utilizan para resolver problemas
más complejos mientras que a su vez aprenden a calcular con precisión,
flexibilidad y eficacia. Hacen conexiones entre números enteros, fracciones,
decimales y comienzan a desarrollar un razonamiento proporcional. Aumentan su
destreza en el uso de una variedad de representaciones para demostrar su
razonamiento y utilizan el sentido numérico cuando justifican sus estrategias de
solución entre ellos dentro de grupos pequeños y en la clase entera.
Los estudiantes de nivel intermedio se basan en su intuición numérica para hacer
conjeturas sobre las propiedades numéricas. Ellos utilizan conexiones entre los
conceptos numéricos y la geometría para demostrar cómo funcionan las
propiedades numéricas. Ellos pulen sus ideas de la geometría a medida que van
trabajando con objetos manipulables para clasificar las figuras según sus
atributos geométricos, perciben figuras desde perspectivas diferentes y aprenden
a transformar figuras mentalmente a través del espacio.
Durante los grados intermedios, los estudiantes incrementan su facilidad con la
medición y los conceptos numéricos mientras hacen estimaciones, eligen las
herramientas y las unidades de medición apropiadas, convierten medidas y
desarrollan fórmulas de medición.
Los estudiantes de los grados intermedios utilizan sus experiencias en la
recolección de información de los grados iniciales para hacer predicciones,
basándose en la información en tablas y gráficas y para identificar las
características importantes en la información tales como el rango, la media, la
mediana y el modo.
A medida que los estudiantes en los grados intermedios profundizan su
conocimiento matemático en todas las áreas de las matemáticas, se sienten con
más confianza y se hacen unos expertos en sus habilidades para resolver una
variedad de problemas más amplia con contextos tanto desconocidos como
conocidos.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 1 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, los estudiantes:
exploran y resuelven una amplia variedad de problemas numéricos, geométricos, de medición e información
desarrollan flexibilidad, precisión y eficacia al trabajar con los números
utilizan notaciones matemáticas inventadas y convencionales
utilizan un vocabulario matemático
explican sus soluciones
Capítulo 1 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, el plan de estudios de las matemáticas:
se enfoca en la resolución de problemas y en las conexiones entre los números, el álgebra, la geometría, la medición, la información y la probabilidad.
provee problemas que permiten a los estudiantes desarrollar nuevas apreciaciones, métodos y destrezas.
exhorta el uso de modelos y representaciones simbólicas para la solución de problemas.
alberga un razonamiento matemático al fomentar explicaciones y demostraciones de las estrategias de solución.
“Los estudiantes que son competentes matemáticamente,
tienen la destreza necesaria para llevar a cabo
procedimientos de una manera flexible, precisa, eficaz y
apropiada.”
Agregado, 2001
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 1 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, los maestros de matemáticas:
consideran la diversidad en el origen de cada estudiante al elegir o diseñar los problemas
Los problemas matemáticos deben:
• tener situaciones o contextos familiares
• tener un lenguaje accesible
• cimentar nuevos conocimientos y habilidades
brindan suficientes oportunidades para que cada estudiante aprenda conceptos nuevos y forjen su dominio en el razonamiento matemático y de cálculo
evalúan el progreso individual con regularidad y redirigen la enseñanza según sea el caso
diseñan, seleccionan o ajustan y suplementan materiales de libros de texto dentro de una secuencia coherente para cubrir los estándares del distrito
brindan un mínimo de sesenta minutos de enseñanza en las matemáticas todos los días.
Capítulo 1 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, los maestros apoyan una comunidad de aprendizaje saludable.
Los maestros:
brindan estructuras en el salón de clases y un plan de estudios que invita a todos los estudiantes a contribuir en el aprendizaje.
La equidad y la accesibilidad requieren de
una enseñanza que asegure el éxito de cada
estudiante.
diferencian la enseñanza para que todos los estudiantes tengan la oportunidad de participar en el aprendizaje, mediante la enseñanza individual, en grupos pequeños o en la clase entera
desarrollan normas en el salón de clases que tratan las ideas de cada estudiante como oportunidades para enseñar y aprender
reconocen y se basan en las experiencias, destrezas y conocimientos que cada uno de los niños aporta a la comunidad
brindan muchas oportunidades para que los estudiantes:
• hagan preguntas
• desarrollen estrategias y explicaciones matemáticas
• compartan ideas
• escuchen, valoren e interpreten el razonamiento de sus compañeros
En este salón de clases, los errores se
aceptan, se respetan y se inspeccionan
como parte natural del aprendizaje
A. Andrews, 2004
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 1 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, los estudiantes:
comunican su razonamiento para:
• hacer sus pensamientos más explícitos
• hacer las estrategias de solución más explícitas
• brindar un registro de su progreso
aprenden a comunicar su razonamiento matemático:
• verbalmente mediante muchas oportunidades para practicar
• utilizando materiales físicos (por ejemplo, bloques de base de diez, sólidos geométricos)
• utilizando símbolos matemáticos y lenguaje a su nivel de grado (por ejemplo, una recta numérica vacía, lenguaje de flechas, tabla de proporción, ecuaciones)
deciden que materiales, modelos o símbolos transmiten mejor sus pensamientos y métodos
aprenden que los materiales físicos pueden transmitir diferentes significados cuando se utilizan en situaciones diferentes (por ejemplo, un bloque “plano” de base de diez podría tener un “valor” de 100 cuando se trabaja con números enteros o “1” cuando se trabaja con decimales)
Capítulo 1 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
En el nivel intermedio, la enseñanza se cerciora de que cada estudiante:
tenga la oportunidad de alcanzar el nivel “Competente” tal y como se define en los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del Distrito Escolar Metropolitano de Madison
desarrolle la aptitud académica necesaria para afrontar la vida diaria y seguir estudiando y utilizar las matemáticas en la preparatoria y más allá.
El dominio matemático incluye:
• entendimiento conceptual—la comprensión de los conceptos matemáticos, operaciones y relaciones.
• fluidez procesal —la destreza para poder llevar a cabo los procedimientos de manera flexible, precisa, eficaz y apropiada
• competencia estratégica—la habilidad de formular, representar y resolver problemas matemáticos
• razonamiento adaptativo—la capacidad para pensar lógicamente, reflexión, explicación y justificación
• disposición productiva—la inclinación habitual para ver a las matemáticas como importantes, útiles y que valen la pena, aunada a una creencia en la diligencia y la eficacia propia.
Las áreas del dominio matemático Agregado, 1999
Razonamiento adaptativo
Competencia estratégica
Disposición productiva
Entendimiento conceptual
Fluidez procesal
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 1 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 1 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Fuson, K. C., Kalchman, M., & Bransford, J. D. (2005). Mathematical understanding: An introduction. In Donovan, M. S., & Bransford, J. D. (Eds.). How Students Learn: Mathematics In the Classroom. (pp. 215-256). Washington, DC: The National Academies Press. Hiebert, J. et al. (1997). Making sense: Teaching and learning math with understanding. Portsmouth N.H: Heinemann. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (Eds.). (2001). Adding it up. Washington, DC: National Academy Press. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (Eds.). (2002). Helping students learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Malloy, C. E. (2004). Equity in mathematics education is about access. In Rubenstein, R. N. & Bright, G. W. (Eds.). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook. (pp. 1-14). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Smith, Margaret (2004). Beyond presenting good problems: How a japanese teacher implements a mathematics task. In Rubenstein, R. N., & Bright, G. W. (Eds.). (pp. 98-106). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stigler, J.W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York, NY: The Free Press.
Piensa matemáticamente
Resuelve problemas
Representa
Comunica
Razona
Haz conexiones
CAPÍTULO 2
El contenido
y los
procesos
matemáticos
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 2 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
EL CONTENIDO MATEMÁTICO
Todas las áreas
de contenido
incluyen
conceptos
numéricos.
Los estándares matemáticos de Kinder a 5.o grado en el Distrito Escolar
Metropolitano de Madison organizan los conceptos matemáticos y el
conocimiento en cuatro áreas de contenido: números, operaciones y relaciones
algebraicas; geometría; medición y analisis de información y probabilidad.
Muchos aspectos de las experiencias matemáticas, sin importar el área de
contenido, están basados en el uso de conceptos numéricos. Durante los grados
intermedios los estudiantes:
resuelven problemas que involucran números, geometría, medición, análisis de información y probabilidad.
resuelven problemas de pasos múltiples incluyendo el porcentaje, el precio y las comparaciones multiplicativas.
trabajan con números grandes y decimales para entender el sistema de base de diez.
resuelven una variedad de problemas que involucran fracciones incluyendo la división (de repartición / partitiva), proporción, equivalencia y operaciones.
incrementan el uso del vocabulario matemático y del lenguaje simbólico para transmitir un razonamiento matemático.
desarrollan fuidez para hacer cálculos y estimaciones.
trabajan con ecuaciones para aprender que el signo igual indica una relación en vez de un signo para calcular.
hacen conjeturas sobre las propiedades básicas de los números que surgen de discusiones de Verdadero/Falso de oraciones numéricas abiertas.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 2 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
LOS PROCESOS MATEMÁTICOS
“Los estudiantes se vuelven más competentes cuando entienden los conceptos
fundamentales en las matemáticas y entienden los conceptos con más facilidad si
tienen la destreza en los procedimientos de cálculo.” (Ayudando a los
estudiantes a aprender las matemáticas, p. 12).
EL RAZONAR MATEMÁTICAMENTE CONLLEVA A
Resolver problemas
Representar problemas y soluciones
Comunicarse
Razonar y comprobar
Hacer conexiones
Los estudiantes competentes en
las matemáticas tienen una
“disposición productiva —una
inclinación habitual para ver a
las matemáticas como algo
importante, útil y que vale la
pena…” Agregado, 2001
El conocimiento matemático no se puede limitar a procedimientos. Los
estudiantes de hoy deben saber como utilizar su conocimiento y destrezas de
manera flexible y eficaz. Ellos deben aprender a participar con disponibilidad
para resolver problemas ya sea que el contexto sea conocido o desconocido y
aprender a construir modelos que representen su interpretación de un problema.
Deben aprender a comunicar su razonamiento e ideas matemáticas claramente.
Necesitan utilizar un razonamiento matemático para resolver problemas y
convencer a los demás de que sus soluciones tienen sentido. Necesitan hacer
conexiones dentro y más allá de las áreas de contenido.
¡Los estudiantes de hoy necesitan desarrollar destrezas para el uso de todos los
cinco procesos para poder razonar matemáticamente!
Capítulo 2 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Los cinco procesos matemáticos son:
• Resolver problemas – desarrollar y adaptar estrategias para resolver problemas que surgen en las matemáticas y en otros contextos.
• Representación – usar representaciones (por ejemplo: objetos, dibujos, palabras y símbolos) para organizar el pensamiento de uno mismo y registrar los pasos que se toman para resolver un problema.
• Comunicación – utilizar el lenguaje matemático para expresar y explicar las ideas matemáticas.
• Razonar y comprobar – desarrollar, probar, representar y justificar conjeturas sobre las relaciones matemáticas.
• Conexiones – ver las conexiones entre las ideas dentro de las matemáticas y entre las matemáticas y las experiencias diarias.
Los estudiantes necesitan más destreza y más entendimiento;
junto con la habilidad para aplicar los conceptos, resolver
problemas, razonar lógicamente y ver las matemáticas como algo
importante, útil y factible.
Cualquier cosa menos, conduce a un conocimiento que es frágil,
desconectado y débil.
Agregado, 2001
Los estándares matemáticos de Kinder a 5.o grado del Distrito Escolar Metropolitano de Madison tienen expectativas en el contenido y proceso específicas al nivel de grado.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 2 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 2 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Barnberger, H. & Oberdorf, C. (2007). Introduction to Connections, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Ennis B. & Witeck, K.S. (2007). Introduction to Representation, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Kilpatrick, J., Martin, G. W., & Schifter, D. (Eds.). (2003). A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Madison Metropolitan School District. (2004). MMSD mathematics grade level K-5 standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://www.madison.k12.wi.us/tnl/standards/math/ National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: An on-line version retrieved March 16, 2006 from http://standards.nctm.org/ National Research Council. (2001). Helping children learn mathematics. Kilpatrick, J., Swafford, J., Findell, B. eds. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division for Behavioral and Social Sciences and Education, Washington DC: National Academy Press. O’Connell, S. (2007). Introduction to Communication, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann O’Connell, S. (2007). Introduction to Problem Solving, Second Edition, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Schultz-Ferrell, K. Hammond, B. & Robles, J. (2007). Introduction to Reasoning and Proof, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Sowder, J., & Schapelle, B. (Eds.). (2002). Lessons learned from research. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Wisconsin Department of Public Instruction. Wisconsin model academic standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://dpi.wi.gov/standards/matintro.html Wisconsin Department of Public Instruction. (2005). Wisconsin knowledge and concepts examination assessment framework. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://www.dpi.state.wi.us/oea/doc/wkce_math_framework05.doc
Enseñar
Planificar
Evaluar
Examinar
CAPÍTULO 3
El ciclo de la
enseñanza y
del aprendizajey el
papel del
maestro
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 3 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje
“La clave para enseñar a los estudiantes es lograr descifrar qué y cómo es que
ellos están pensando mientras se está llevando a cabo la enseñanza y el
aprendizaje. La enseñanza y el aprendizaje se llevan a cabo en un contexto
social como un proceso dinámico y no premeditado. El trabajo de Lev Vygotsky
está basado en esta idea. La premisa básica de su teoría es que, si queremos
estudiar de qué manera aprenden los estudiantes, para examinar el potencial
que tienen para aprender y para mejorar la enseñanza, debemos analizar su
desempeño y su razonamiento mientras participan en actividades de aprendizaje.
Esto es lo que hacen diariamente los maestros que son eficaces.”
Vygotsky in the Classroom Dixon-Krauss
La evaluación brinda una entrada al ciclo de enseñanza y aprendizaje. Tanto las
evaluaciones formales como las informales al comienzo del año son esenciales
para establecer el punto de partida desde el cual el maestro comienza a instruir.
La observación y evaluación diaria y constante continúa a lo largo del año escolar
para identificar los puntos fuertes y las necesidades y establecen cómo ha
cambiado el conocimiento de cada estudiante. Una de las aptitudes más
importantes que tiene el maestro es observar hábilmente a sus estudiantes.
El evaluar el conocimiento de cada estudiante proporciona evidencia para la
efectividad de la instrucción y provee información para la planeación. Basado en
un planeamiento minucioso, se da una instrucción diferenciada para promover el
aprendizaje de cada estudiante. Éste ciclo continúa a medida que el maestro
reevalúa el aprendizaje, evalúa los resultados de los exámenes, reflexiona en las
lecciones enseñadas, planifica y enseña nuevas lecciones.
El diagrama del ciclo de enseñanza y aprendizaje que se presenta a continuación
ilustra la naturaleza recurrente de examinar, evaluar, planificar y enseñar
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 3 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Examinar
El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje para la instrucción
matemática
Observar y examinar diariamente
• ¿Qué es lo que saben mis estudiantes sobre los conceptos matemáticos y los procedimientos?
• ¿Qué me indican las estrategias de solución de mis estudiantes sobre su razonamiento matemático?
Evaluar
Enseñar Identificar los puntos fuertes y las
necesidades
• ¿Acaso mi enseñanza abordó eficazmente los puntos fuertes y necesidades de cada estudiante?
• ¿De qué manera cambió el razonamiento matemático del estudiante?
• ¿Qué es lo que este estudiante entiende ahora comparado con: conocimientos previos, otros estudiantes en mi clase y los estándares del MMSD?
Planear
Proporcionar una instrucción diferenciada
• ¿Qué conocimiento comunica el estudiante?
• ¿Qué podría ayudar a este grupo de estudiantes a hacer sentido de un concepto o anotar su razonamiento?
• ¿He provisto para el rango de estudiantes en mi clase?
Diseñar lecciones para satisfacer las necesidades
• ¿Cuál es el próximo paso más probable para este estudiante?
• ¿Qué tareas (discusión, problemas o práctica) abordan las necesidades de este estudiante?
• ¿Qué configuración de enseñanza (clase entera, grupos pequeños o individual) le servirá mejor al estudiante?
Basadp en Teaching and Learning Cycle escrito por Esser, D., Gleason, C., Kolan, T., Lucas, P. & Rohde, J. (2005). Primary Literacy Notebook. Madison, WI: Distrito Escolar Metropolitano de Madison.
Capítulo 3 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El papel del maestro ¿Cuál es el papel del maestro durante las actividades de resolución de problemas?
La mayoría de la enseñanza matemática se enfoca en la resolución de problemas. Durante las actividades de resolución de problemas el papel del maestro incluye “escuchar”, “razonar matemáticamente”, “observar” “presentar problemas” e “interrogar”
El maestro comienza proporcionando un problema o grupo de problemas y observa el esfuerzo del estudiante para resolverlos. El maestro apoya y guía el crecimiento matemático de cada estudiante al hacerles preguntas sobre su razonamiento y animándolos a que reflexionen en vez de dar un ejemplo, pensar por el estudiante o demostrar métodos para resolver el problema.
Durante la resolución de problemas, el maestro:
presenta un problema o grupo de problemas para que los estudiantes los resuelvan.
espera que los estudiantes resuelvan los problemas de una manera que tenga sentido para ellos y expliquen su razonamiento.
observa como cada estudiante procede para encontrar las soluciones en vez de “pensar por el estudiante” o demostrar cómo resolver un problema.
asiste a los estudiantes para desarrollar representaciones que concuerden con sus estrategias y para demostrar cada paso de su proceso cuando sea apropiado.
ayuda a los estudiantes a aclarar las explicaciones e identificar las conexiones entre las ideas matemáticas.
hace que los estudiantes participen en la comparación y el contraste de soluciones para ayudar a expandir y extender su conocimiento y desarrollar fluidez (estrategias flexibles, precisas y eficaces.)
les pide a los estudiantes que reflexionen sobre los conceptos matemáticos importantes y sobre el conocimiento que han aprendido durante la experiencia en la resolución de problemas.
demuestra confianza en la habilidad e iniciativa de cada estudiante.
examina el progreso de cada estudiante en comparación a otros estudiantes en el salón de clases y a los estándares del MMSD.
diseña o elige el siguiente grupo de problemas para ayudar a los estudiantes a incrementar el conocimiento de ciertos conceptos matemáticos y avanzar hacia estrategias más avanzadas.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 3 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
¿Qué tiende a suceder si un maestro demuestra lo que él piensa antes de que sus estudiantes tengan la oportunidad de trabajar en solucionar el problema?
Regularmente cuando un maestro comienza pensando en voz alta o modelando
las estrategias de solución, los estudiantes:
• se preguntan si el maestro tiene una expectativa preconcebida de los pasos o procedimientos que deben usar para resolver un problema dado.
• se enfocan en tratar de recordar los procedimientos y la información en vez de utilizar el conocimiento y los conceptos matemáticos que saben en maneras flexibles.
• esperan que el maestro impulse o guíe su pensamiento y reconozca la precisión de sus soluciones.
• pierden la confianza en sus propias habilidades.
• participan menos en las discusiones matemáticas y pierden la oportunidad de aprender.
¿Es apropiado enseñar una idea matemática de manera explícita en algún momento?
De vez en cuando en la enseñanza matemática, los estudiantes necesitan
aprender los convencionalismos matemáticos tales como:
• cómo escribir 1/3
• qué número está 5 números antes del 10,000
• qué símbolos representan la multiplicación o la división
• cómo utilizar una recta numérica vacía, lenguaje con flechas o una tabla de proporciones.
Al enseñar los convencionalismos matemáticos, el maestro utiliza las mismas
estrategias de enseñanza que son utilizadas cuando se introducen nuevos
conceptos o procesos de lectoescritura. Por ejemplo, el maestro modela y piensa
en voz alta sobre los atributos de un símbolo o el proceso para generar una
representación convencional. Gradualmente, el maestro les da más
responsabilidad a los estudiantes y espera que sean más independientes en el
uso de estos convencionalismos matemáticos. Tal vez el maestro quiera
averiguar que es lo que piensan los estudiantes sobre el significado de un
símbolo en particular o por qué y cuándo se puede utilizar antes de tener la
expectativa del uso apropiado.
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¿Qué consideran los maestros al seleccionar los problemas?
Los maestros utilizan su conocimiento de las matemáticas y el razonamiento
matemático de cada estudiante al seleccionar los problemas. Los problemas
deben invitar a la participación y ser concientes del conocimiento previo, el
lenguaje, la cultura y los intereses de cada estudiante. Los maestros seleccionan
los problemas que ofrecen de manera más efectiva el aprendizaje de conceptos y
habilidades matemáticas específicas.
Para profundizar su propio conocimiento matemático, los
maestros deberían preguntarse con frecuencia a sí mismos:
“¿Por qué es que esto funciona?”
Al seleccionar los problemas que se van a presentar, los maestros consideran en
cada estudiante, lo siguiente:
El conocimiento y destrezas relacionadas a un tema específico en matemáticas.
Las estrategias y razonamiento.
El uso de modelos y representación simbólica.
La habilidad del lenguaje.
Los maestros de matemáticas de nivel intermedio, proporcionan una serie de
experiencias en la resolución de problemas para fomentar el crecimiento en
todas las áreas matemáticas, enfocándose en las metas descritas en los
estándares del Distrito Escolar Metropolitano de Madison en los niveles de Kinder
a 5.o grado.
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Para más información:
Chappell, M.F., Schielack, J. F., & Zagorski, S. (2004). Empowering the beginning teacher of mathematics: Elementary school. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Dixon-Krauss, Lisbeth. (1996). Vygotsky in the classroom: Mediated literacy instruction and assessment. Boston, MA: Allyn and Bacon. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K.C., Wearne, D. & Hanlie, M. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics Chapter 5. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
CAPÍTULO 4
Observaciones del maestro
Muestras de trabajo
Evaluación
Inventarios informales
Evaluaciones orales de operaciones aritméticas
Evaluaciones orales para la resolución de
problemas
Evaluaciones matemáticas en los grados intermedios
(3.o-5.o)
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EVALUACIÓN
La evaluación puede servir para muchos propósitos, que van desde la evaluación de un programa
(Por ejemplo: WKCE_CRT) hasta conocer el nivel de competencia de un estudiante en particular
(por ejemplo: la fluidez para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas) Los maestros
utilizan las evaluaciones para determinar las metas de enseñanza y reportarles el progreso a sus
colegas y a los padres de los estudiantes.
Todas las evaluaciones están establecidas de acuerdo a un horario, lugar y forma. Un estudiante
puede demostrar competencia dentro de un entorno (por ejemplo: al entrevistarse con el maestro)
y no en otro (por ejemplo: en una discusión con toda la clase). Por esta razón, es importante
utilizar múltiples formas de evaluación para informar a la enseñanza y al reportar el progreso del
estudiante. Al utilizar múltiples formas se obtiene una imagen más precisa de su capacidad.
Existen muchas maneras en las que los maestros recolectan información sobre el progreso de cada
estudiante para alcanzar el nivel matemático competente. La información de la evaluación incluye
observaciones diarias, muestras del trabajo del estudiante, inventarios, listas de lluvia de ideas,
exámenes previos y posteriores formales e informales, entrevistas o exámenes orales y tareas con
lápiz y papel.
El responder a las observaciones diarias es esencial para una buena enseñanza matemática. A
medida que los maestros van dándose cuenta de lo que los estudiantes saben y pueden hacer, y de
qué manera interactúan con los maestros y compañeros, el maestro toma las decisiones con
respecto a la enseñanza que fomente el conocimiento matemático de cada estudiante. Dichas
decisiones hacen que las matemáticas sean accesibles para todos los estudiantes y le permite a un
conjunto de alumnos desarrollar su conocimiento y entendimiento.
Las evaluaciones incluidas en este capítulo le proporcionan al maestro la información sobre lo que
los estudiantes saben y pueden hacer. Se pretende que las evaluaciones, en conjunto con otros
datos de evaluación elegidos por el maestro, informen a la enseñanza. Es imprescindible
determinar el propósito de la evaluación antes de decidir cuales métodos de evaluación y qué
información se debe recolectar.
La siguiente tabla ofrece ejemplos de propósitos y maneras para evaluar el aprendizaje del
estudiante. La carpeta de MMSD titulada “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales
(K-2)” ofrece evaluaciones adicionales para los estudiantes que puedan necesitar desarrollar un
trabajo más competente en los conceptos de los grados iniciales antes de avanzar a los conceptos
a nivel intermedio.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Propósitos y maneras para recolectar información para la evaluación
Con el propósito de: El maestro recolecta información de:
Tener la información más vigente para la planeación y enseñanza específica de día con día.
Observaciones diarias en cualquiera de las siguientes áreas:
−− estrategias individuales del estudiante incluyendo la manera en la que los estudiantes representan y explican sus estrategias de solución
−− respuestas individuales del estudiante a preguntas acerca de sus soluciones
−− números utilizados en los problemas
Demostrar crecimiento a través del tiempo
Muestras del trabajo del estudiante.
Recolectar información acerca del conocimiento previo y de las habilidades sobre un tema específico
Inventarios, listas de lluvia de ideas del estudiante y exámenes previos formales e informales.
Mantener un registro del crecimiento como resultado de una instrucción diferenciada para un tema específico
Inventarios, listas de lluvia de ideas del estudiante y exámenes posteriores informales.
Aclarar el sentido numérico y las estrategias de razonamiento
Las evaluaciones orales de operaciones aritméticas que se encuentran en este capítulo. Estas evaluaciones orales ya completadas también se utilizan para registrar el progreso del estudiante a través del tiempo. Cada año, los maestros le pasan dichas evaluaciones ya completadas al siguiente maestro.
Determinar la capacidad para resolver problemas matemáticos
La evaluación de problemas matemáticos tipo CGI (Instrucción Cognitiva Guiada) y los ejercicios relacionados que se encuentran en este capítulo.
Determinar el conocimiento de los conceptos de base de diez
Los componentes del entendimiento del valor numérico que se encuentran en este capítulo.
Las evaluaciones de las actividades rápidas que se encuentran en este capítulo.
Determinar el conocimiento sobre los conceptos de las fracciones
La evaluación sobre los conceptos de las fracciones que se encuentran en este capítulo.
Las evaluaciones de los ejercicios rápidos que se encuentran en este capítulo.
Determinar el conocimiento y el uso de relaciones equitativas.
El uso de actividades sobre la inspección de ecuaciones, capítulo 8.
Vea la tabla 8.1 Puntos de referencia para entender el signo igual.
Capítulo 4 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluaciones orales de operaciones aritméticas
1. Evaluación oral de suma A Sumas del 0 al 9 y hasta el diez (Estándar matemático del MMSD del primer grado) Disponible en “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2)”
2. Evaluación oral de suma B Sumas hasta el 20 (Estándar matemático del MMSD del segundo grado)
3. Evaluación oral de resta C Diferencias, menos que, igual que y mayor que 3 (Estándar matemático del MMSD del tercer grado)
4. Evaluación oral de multiplicación C 2, 5, 4, y 3 como multiplicador o multiplicando
(Estándar matemático del MMSD del tercer grado)
5. Evaluación oral de multiplicación D Todas las operaciones de multiplicación (Estándar matemático del MMSD del cuarto grado)
6. Evaluación oral de división E Todas las operaciones de división (Estándar matemático del MMSD del quinto grado)
Dentro de cada evaluación oral o entrevista, los cálculos individuales (operaciones
aritméticas) están organizados de acuerdo al nivel de desarrollo de aquellos que requieren
la mínima cantidad de sentido numérico para hacer el cálculo mental a aquellos que
requieren la mayor flexibilidad al trabajar con relaciones numéricas mentalmente.
Se han incluido cinco evaluaciones orales en “El aprendizaje de las matemáticas en los
grados intermedios (3.o-5.o)”. Los maestros de los grados intermedios usarán algunas o
todas las evaluaciones orales dependiendo de lo que se necesite aprender sobre los
estudiantes de manera individual. Todas las seis evaluaciones orales se encuentran
disponibles en la página de Internet del distrito escolar.
Los maestros de primer grado utilizan la evaluación oral de suma A para registrar las
primeras etapas del desarrollo de las operaciones aritméticas. La evaluación oral de
suma B está incluida en este capítulo para aquellos estudiantes que necesiten desarrollar
las estrategias de relación numérica. Este desarrollo comienza en el Kinder cuando los
estudiantes muy a menudo cuentan todo, algunas veces usando sus dedos para demostrar
y contar cada conjunto, para hacer cálculos de un solo dígito. En el primer grado, ellos
desarrollan estrategias de conteo progresivo.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Ya en el segundo grado, la mayoría de los estudiantes utilizan estrategias que están
basadas en relaciones numéricas. Sin embargo, siempre habrá algunos estudiantes de los
grados intermedios que estarán trabajando en relaciones numéricas del 0 al 20,
especialmente en las operaciones aritméticas con números que van “después del 10”.
Los maestros que quieren monitorear el desarrollo de un estudiante con respecto al sentido
numérico y las estrategias que usan para calcular operaciones de resta de un solo dígito,
deben utilizar la evaluación oral de resta C. Los estudiantes tendrán más éxito con la
resta cuando tengan un conocimiento sólido de las relaciones numéricas de parte-todo
(para la suma) y entiendan que la resta puede significar tanto “la diferencia” entre dos
números como “quitar” una cantidad de otra.
Ya en el tercer grado, los estudiantes empiezan a desarrollar un entendimiento
multiplicativo numérico. Utilizan las relaciones numéricas para multiplicar en vez de sumar
repetidamente cierto número o contar salteado. Los maestros utilizan la evaluación oral
de multiplicación C y la evaluación oral de multiplicación D para identificar la
facilidad que tiene un estudiante para trabajar con grupos del mismo número.
Cuando los estudiantes entiendan la relación inversa entre la multiplicación y la división
utilice la evaluación oral de división E para evaluar las estrategias que utiliza un
estudiante para las operaciones de división básica.
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Los propósitos de las evaluaciones orales de operaciones aritméticas incluyen:
aclarar el sentido de las relaciones numéricas del estudiante y las estrategias de razonamiento que utiliza para hacer los cálculos de un solo dígito.
identificar los tamaños de las cantidades numéricas que un estudiante puede calcular mentalmente (el nivel de cálculo mental de un estudiante)
identificar los tamaños de las cantidades numéricas que deben utilizar en las actividades del trabajo numérico, la resolución de problemas y la inspección de ecuaciones
identificar que operaciones utilizar para la práctica independiente de la fluidez y mantenimiento de un estudiante.
comunicar el progreso de un estudiante a sus padres y a sus futuros maestros.
registrar el progreso de un estudiante a través del tiempo (Las escuelas mantienen las evaluaciones orales de operaciones aritméticas en la carpeta azul del PLAA.)
Materiales para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas:
una copia de la evaluación oral del estudiante (sin códigos al pie de la página)
una copia de la evaluación oral del maestro (con códigos al pie de la página)
un lápiz para el maestro, ningún lápiz para el estudiante
¡no utilizar objetos de conteo! (Esta evaluación oral determina el nivel de cálculo mental de un estudiante)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Llevar a cabo la evaluación oral
El maestro comienza con una evaluación oral que está al nivel independiente del estudiante
y continúa hasta que el estudiante utiliza de manera constante el conteo de uno por uno o
una suma repetitiva o la estrategia de conteo salteado. (Esto es semejante a un registro
continuo de lectura hasta alcanzar un nivel que desafíe al estudiante en la identificación de
palabras y estrategias de comprensión.)
Busque un lugar donde usted y el estudiante puedan sentarse uno al lado del otro.
Nota: Ponga una copia de la evaluación oral en frente del estudiante y otra en frente de usted.
Para las sumas del 0 al 9,
un estudiante podría contar con sus dedos por
simple hábito. Verifique algunas
Diga: “Mantén tus manos sobre la mesa, por favor. Así puedo aprender sobre tu razonamiento matemático al ver como y cuando utilizas tus dedos para ayudarte.” sumas que son
mayores que 20 Diga: “Observa cada ecuación. Lo único que tienes que decir en voz alta es el número que va en cada línea.”
para ver si el estudiante puede usar una estrategia de
conteo progresivo. Diga: “Comienza aquí,” (Señale la ecuación que está en la parte superior izquierda de la columna) “y después avanza hacia abajo en la columna.”
No lea la ecuación en voz alta. Si el estudiante lee la ecuación en voz alta, recuérdele que lo único que debe decir en voz alta es el número que va en la línea. ¡El leer la ecuación completa puede resultar bastante cansado para el estudiante!
Escriba sobre la línea de cada ecuación el número que diga el estudiante.
Utilice el sistema de codificación (vea las guías de codificación para cada evaluación oral) para indicar las estrategias del estudiante.
Continúe la evaluación oral siempre y cuando el estudiante utilice las estrategias de relación numérica de manera consistente y que de la misma manera responda en el lapso de 3 a 4 segundos. De vez en cuando, deténgase en ciertas operaciones y pregúntele al estudiante de qué manera está razonando numéricamente para ser capaz de calcular tan rápido. Anote la estrategia utilizando un código (vea las guías de codificación)
Nota: Los maestros aprenden
las estrategias de relación
numérica de los
estudiantes al pedirles
que expliquen su
razonamiento sobre
ciertas operaciones
seleccionadas. Vea las
guías de codificación
para sugerencias.
Detenga la evaluación oral cuando vea que el estudiante utiliza estrategias de conteo consistentemente (las cuatro operaciones) o bien, una estrategia de suma repetitiva (para la multiplicación).
Si a un estudiante le toma más de 3 a 4 segundos para pensar, observe detenidamente al estudiante. Si usted puede determinar que el estudiante está utilizando una estrategia de conteo (vocalizando los números, asintiendo con la cabeza, golpeteando ligeramente el piso con un pie, moviendo los dedos muy sutilmente), entonces, codifíquelo como una estrategia de conteo.
Termine la evaluación oral diciendo, “Gracias por compartir tu razonamiento matemático conmigo.”
Sume el total de las operaciones que no tengan código, así como aquellas que indiquen una estrategia que no sea de conteo. Escriba el total y la fecha en la línea que está en la esquina inferior derecha.
Complete la lista de la clase para ayudar con la planeación para la enseñanza y con el registro del crecimiento a través del tiempo.
Capítulo 4 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de conteo.
Utilice los siguientes códigos para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:
1. la estrategia de conteo del estudiante 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución no es correcta
Conforme vaya escuchando las respuestas del estudiante, utilice los siguientes códigos para marcar cada ecuación.
Estrategias de conteo (Todas las operaciones de suma)
Código Ejemplo El estudiante
ce ce
4 + 5 = 9
cuenta todo
El estudiante utiliza sus dedos para cada sumando y cuenta el total.
sb sb
4 + 5 = 9
muestra ambos conjuntos
El estudiante utiliza sus dedos en grupo para cada sumando y no cuenta el total.
f f
4 + 5 = 9
dedos
El estudiante cuenta progresivamente a partir del número que tiene la letra f escrita arriba y utiliza sus dedos para llevar la cuenta.
c
c 4 + 5 = 9
cuenta
El estudiante cuenta progresivamente a partir del número con la letra c arriba, tal vez dando golpecitos, asintiendo con la cabeza o vocalizando el conteo.
• 5 + 4 = 9• El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta.
4 + 5 = 8
La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de relación numérica
Los maestros quieren saber qué estrategias de relación numérica utiliza el estudiante. Si no puede ver
ninguna evidencia de que el estudiante esté usando alguna estrategia de conteo, debe preguntarle al
estudiante que le explique su razonamiento matemático. Seleccione una operación cercana a los dobles
(por ejemplo: 6+5) una suma con el número 9 (por ejemplo: 7+9), o una suma para forma un 10 (por
ejemplo: 8+6). Dígale al estudiante: “Dime como estás pensando en los números para resolver este
problema”, señalando una ecuación específica. Si el estudiante comparte una estrategia de conteo,
anótela de acuerdo a los códigos de la página anterior. Si el estudiante comparte una estrategia de
relación numérica, como descomponiendo los sumandos, compensando o utilizando una suma que ya
conoce, escriba los símbolos que muestren el razonamiento del estudiante arriba de la ecuación.
En seguida se muestran tres ejemplos:
Estrategias de relación numérica (Todas las operaciones de suma)
Ejemplo El estudiante
6+6+2 6 + 8 = 14
utiliza una operación de dobles (6+6+2)
8+2+4 6 + 8 = 14
descompone un sumando (8+2+4)
10 + 6 - 2 6 + 8 = 14 cambia un sumando y luego resta para compensar el cambio
Definiciones:
Sumando—cualquier número que se suma con otro u otros
Suma—el total o la cantidad total, el resultado de la suma o adición
Estrategia de compensación—cambia los números en la ecuación, calcula y luego ajusta la solución para corregir el cambio que se hizo al principio. Por ejemplo: se da 7+9, el estudiante comparte “7+10 es 17. Tengo que quitarle 1 al 17 porque le agregué 1 al 9.”
Descomponiendo un sumando - utiliza otro nombre para la cantidad para hacer el cálculo más fácilmente. Por ejemplo: 6+8, el estudiante comparte “ 6 es igual a 2+4. 8+2 es igual a 10. 10 y 4 más son 14.”
Capítulo 4 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de conteo
Utilice los siguientes códigos para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:
1. la estrategia del estudiante 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución es incorrecta.
Conforme vaya escuchando las respuestas del estudiante, utilice los siguientes códigos para marcar cada ecuación.
Estrategias de conteo (Todas las operaciones de resta)
Código Ejemplo El estudiante
ce ce
9 – 6 = 3
cuenta todo
El estudiante levanta sus dedos para el minuendo y va bajando dedo por dedo para restar el sustraendo.
sb sb
9 – 6 = 3
muestra ambos
El estudiante utiliza sus dedos en grupo para el minuendo, luego baja el grupo de dedos que corresponde al sustraendo y no cuenta los dedos que le quedaron.
fb fb 9 – 6 = 3
cuenta regresivamente con los dedos
El estudiante cuenta regresivamente la cantidad indicada por el sustraendo, utilizando los dedos para llevar la cuenta. (Por ejemplo: el estudiante cuenta con los dedos mientras va diciendo 8, 7, 6, 5, 4, 3)
cb cb
9 – 6 = 3
cuenta regresivamente El estudiante cuenta regresivamente la cantidad indicada por el sustraendo (Por ejemplo: El estudiante dijo 8, 7, 6, 5, 4, 3)
f f 9 – 6 = 3
dedos
El estudiante cuenta regresivamente del minuendo hacia el sustraendo, o bien progresivamente del sustraendo hacia el minuendo y utiliza sus dedos para llevar la cuenta. (Por ejemplo: El estudiante va alzando cada dedo mientras dice 7, 8, 9)
c c
9 – 6 = 3
cuenta
El estudiante cuenta regresiva o progresivamente hasta o a partir del número con la letra “c” escrita arriba, tal vez golpeteando ligeramente, asintiendo con la cabeza o vocalizando el conteo (por ejemplo: el estudiante dijo 7, 8, 9)
• 9 – 6 = 3• El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta (se pone un punto después)
9 – 6 = 4 La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del
estudiante)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de relación numérica
Los estudiantes que ya van más allá de las estrategias de conteo tal vez han aprendido las estrategias de
relación numérica. Cuando no haya ninguna evidencia del uso de alguna estrategia de conteo, pídale al
estudiante que le explique cómo es que determinó la solución. Seleccione una ecuación que tal vez pueda
ser resuelta usando una operación conocida (Por ejemplo: 9-5) Dígale al estudiante: “Dime cómo estás
pensando en estos números para resolver este problema”, señalando la ecuación específica. Si el
estudiante comparte una estrategia de conteo, anótela de acuerdo a los códigos de la página anterior. Si
el estudiante comparte una estrategia de relación numérica, como una de aquellas enlistadas en la parte
de abajo, escriba los símbolos que muestren el razonamiento matemático del estudiante arriba de la
ecuación. Asegúrese de verificar las restas que pasen del diez (por ejemplo: 14 - 6).
Estrategias de relación numérica (Todas las operaciones de resta)
Ejemplo El estudiante
6 + 8 = 14 14 – 6 = 8
utiliza una operación de suma ya conocida
6 + ? = 14 14 – 6 = 8
determina un sumando faltante
14 – 4 – 2 14 – 6 = 8
descompone el sustraendo
10 – 6 + 4 14 – 6 = 8 descompone el minuendo
Definiciones:
Minuendo—El número del cual se está restando
Sustraendo—El número que se está restando
Diferencia—El número que sobra después de que una cantidad ha sido restada de otra, el resultado de restar.
Capítulo 4 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluaciones orales C y D (Multiplicación) y E (División) – Codificación para las estrategias de conteo y de relación numérica
Utilice los códigos de las tablas que se muestran a continuación para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:
1. la estrategia del estudiante (conteo o relación numérica) 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución es incorrecta.
Si no puede ver ninguna evidencia de que el estudiante esté usando alguna estrategia de conteo, debe
preguntarle al estudiante que le explique cómo resolvió el problema. Señale una ecuación y dígale al
estudiante: “Dime cómo estás pensando en los números para resolver este problema.” Si el estudiante
comparte una estrategia de sentido numérico como dividir un número a la mitad y después duplicarlo,
usar productos parciales, trabajar a partir de una operación ya conocida o alguna otra estrategia, escriba
el código o los símbolos que muestren el razonamiento matemático del estudiante arriba de la ecuación.
Para la evaluación oral C – Multiplicación, tal vez debería preguntarle sobre 6 x 5, 8 x 4 y 9 x 3.
Para la evaluación oral D – Multiplicación, tal vez debería preguntarle sobre 8 x 6, 9 x 7 y 7 x 5.
Estrategias de suma y conteo (Multiplicación)
Código Ejemplo El estudiante
rc rc (18)
8 x 6 = 48
suma unos cuantos repetidamente, después cuenta progresivamente
El estudiante suma repetidamente unos cuantos conjuntos (por ejemplo: 6, 12, 18), después cuenta uno por uno (por ejemplo: 19, 20, 21, 23, 24 y así sucesivamente)
r r
8 x 6 = 48
suma repetidamente
El estudiante suma grupos sin contar
sf sf 8 x 6 = 48
cuenta en múltiplos, usando los dedos
El estudiante cuenta salteado, llevando la cuenta de los grupos con sus dedos.
s s 8 x 6 = 48
cuenta en múltiplos
El estudiante cuenta salteado
• 8 x 6 = 48 • El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta.
8 x 6 = 45
La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Estrategias de relación numérica (Multiplicación)
Código Ejemplo Estudiante
Escriba la estrategia
24 + 24
8 x 6 = 48
explica como dividir a la mitad y después duplicar (por ejemplo: el estudiante calculó 4 x 6 y después duplicó ese producto)
Escriba la estrategia
30 + 18 8 x 6 = 48
explica como sumar productos parciales
(por ejemplo: el estudiante calculó 5 x 6 y 3 x 6 y después agregó sus productos)
Escriba la estrategia
60 - 6 9 x 6 = 54 explica como usar una operación ya conocida
Estrategias (División)
Código Ejemplo El estudiante
rs r
24 ÷ 6 = 4
resta el divisor repetidamente
ra ra
24 ÷ 6 = 4
suma el divisor repetidamente
s s
24 ÷ 6 = 4
cuenta salteado
• 24 ÷ 6 = 4• el estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta (se pone un punto después)
24 ÷ 6 = 3
la respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)
Escriba la estrategia
? x 6 = 24 24 ÷ 6 = 4
explica su razonamiento de manera “inversa” (por ejemplo: ¿Qué número multiplicado por 6 es 24?
Escriba la estrategia
6 x 4 24 ÷ 6 = 4
explica como utilizar una operación de multiplicación ya conocida
Definiciones:
Dividendo—la cantidad que se dividirá
Divisor— La cantidad entre la cual otra cantidad está siendo dividida
Cociente—el resultado de dividir una cantidad entre otra
Factor—uno de los números enteros multiplicados para conseguir cierto número; un número entero que se divide de manera equitativa entre otro número entero
Multiplicando—el número (factor) que se está multiplicando
Multiplicador—el número (factor) por el cual se está multiplicando
Producto—el resultado de multiplicar
Capítulo 4 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
5 + 1 = ____ 3 + 3 = ____ 4 + 6 = ____ 6 + 8 = ____ 5 + 7 = ____
1 + 7 = ____ 3 + 4 = ____ 5 + 5 = ____ 3 + 9 = ____ 5 + 9 = ____
1 + 9 = ____ 3 + 6 = ____ 3 + 7 = ____ 9 + 3 = ____ 8 + 6 = ____
4 + 2 = ____ 0 + 9 = ____ 2 + 8 = ____ 8 + 7 = ____ 9 + 9 = ____
2 + 5 = ____ 3 + 5 = ____ 6 + 6 = ____ 7 + 7 = ____ 4 + 9 = ____
3 + 2 = ____ 4 + 4 = ____ 2 + 9 = ____ 6 + 7 = ____ 8 + 4 = ____
2 + 4 = ____ 5 + 3 = ____ 7 + 4 = ____ 7 + 9 = ____ 6 + 9 = ____
2 + 6 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 6 = ____ 9 + 8 = ____ 7 + 8 = ____
2 + 3 = ____ 4 + 5 = ____ 3 + 8 = ____ 8 + 8 = ____ 9 + 7 = ____
2 + 7 = ____ 6 + 4 = ____ 7 + 5 = ____ 8 + 5 = ____ 5 + 8 = ____
Evaluación oral B – Sumas
Capítulo 4 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de suma B – sumas hasta el 20, del 0 al 9, hasta y después del 10 Nombre ___________________________
5 + 1 = ____ 3 + 3 = ____ 4 + 6 = ____ 6 + 8 = ____ 5 + 7 = ____
1 + 7 = ____ 3 + 4 = ____ 5 + 5 = ____ 3 + 9 = ____ 5 + 9 = ____
1 + 9 = ____ 3 + 6 = ____ 3 + 7 = ____ 9 + 3 = ____ 8 + 6 = ____
4 + 2 = ____ 0 + 9 = ____ 2 + 8 = ____ 8 + 7 = ____ 9 + 9 = ____
2 + 5 = ____ 3 + 5 = ____ 6 + 6 = ____ 7 + 7 = ____ 4 + 9 = ____
3 + 2 = ____ 4 + 4 = ____ 2 + 9 = ____ 6 + 7 = ____ 8 + 4 = ____
2 + 4 = ____ 5 + 3 = ____ 7 + 4 = ____ 7 + 9 = ____ 6 + 9 = ____
2 + 6 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 6 = ____ 9 + 8 = ____ 7 + 8 = ____
2 + 3 = ____ 4 + 5 = ____ 3 + 8 = ____ 8 + 8 = ____ 9 + 7 = ____
2 + 7 = ____ 6 + 4 = ____ 7 + 5 = ____ 8 + 5 = ____ 5 + 8 = ____ Códigos: ce – contó todo; sb – mostró ambos grupos, no contó todo; f – usó sus dedos para contar progresivamente a partir de cierto número; c – contó progresivamente a
partir de cierto número; punto después de la suma – tomó tiempo para pensar; línea arriba de la suma – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de suma B Segundo grado Maestro ________________________ Fecha _______________
Operaciones del 0 al 9 y hasta el 10 Operaciones después del 10 Dedos Cuenta
progresivamente Dedos Cuenta progresivamente Usa estrategias de relación numérica
Nombre Cuenta ambos grupos
A partir del 1o
A partir del más
grande
A partir del 1o
A partir del más
grade
Recuerda A
partir del 1o
A partir del más grande
A partir del 1o
A partir del más grade
Usa un doble
Descompone para formar
10 Compensa
Usa una operación conocida
Recuerda
Capítulo 4 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de suma (Nivel B)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 + 0 6 + 0 7 + 0 8 + 0 9 + 0 10 + 0
1 0 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 + 1
2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 + 2
3 0 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + 3 10 + 3
4 0 + 4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4 7 + 4 8 + 4 9 + 4 10 + 4
5 0 + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5 7 + 5 8 + 5 9 + 5 10 + 5
6 0 + 6 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6 7 + 6 8 + 6 9 + 6 10 + 6
7 0 + 7 1 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 7 5 + 7 6 + 7 7 + 7 8 + 7 9 + 7 10 + 7
8 0 + 8 1 + 8 2 + 8 3 + 8 4 + 8 5 + 8 6 + 8 7 + 8 8 + 8 9 + 8 10 + 8
9 0 + 9 1 + 9 2 + 9 3 + 9 4 + 9 5 + 9 6 + 9 7 + 9 8 + 9 9 + 9 10 + 9
10 0 + 10 1 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + 10 5 + 10 6 + 10 7 + 10 8 + 10 9 + 10 10 + 10
Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral C – Restas
2 – 1 = ____ 8 – 6 = ____ 8 – 3 = ____ 14 – 7 = ____ 16 – 8 = ____
4 – 3 = ____ 9 – 7 = ____ 10 – 5 = ____ 11 – 7 = ____ 12 – 5 = ____
6 – 5 = ____ 10 – 8 = ____ 10 – 4 = ____ 12 – 3 = ____ 18 – 9 = ____
8 – 8 = ____ 6 – 3 = ____ 10 – 6 = ____ 12 – 8 = ____ 16 – 9 = ____
9 – 8 = ____ 9 – 6 = ____ 10 – 3 = ____ 13 – 5 = ____ 13 – 9 = ____
8 – 7 = ____ 7 – 4 = ____ 12 – 6 = ____ 17 – 9 = ____ 17 – 8 = ____
4 – 2 = ____ 8 – 5 = ____ 11 – 9 = ____ 13 – 6 = ____ 14 – 9 = ____
5 – 3 = ____ 10 – 7 = ____ 11 – 6 = ____ 12 – 4 = ____ 12 – 7 = ____
7 – 5 = ____ 8 – 4 = ____ 11 – 5 = ____ 14 – 8 = ____ 15 – 8 = ____
6 – 4 = ____ 9 – 4 = ____ 11 – 8 = ____ 15 – 7 = ____ 16 – 7 = ____
Capítulo 4 Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de resta C – Diferencias menos que, igual que y mayor que 3 Nombre________________________________
2 – 1 = ____ 8 – 6 = ____ 8 – 3 = ____ 14 – 7 = ____ 16 – 8 = ____
4 – 3 = ____ 9 – 7 = ____ 10 – 5 = ____ 11 – 7 = ____ 12 – 5 = ____
6 – 5 = ____ 10 – 8 = ____ 10 – 4 = ____ 12 – 3 = ____ 18 – 9 = ____
8 – 8 = ____ 6 – 3 = ____ 10 – 6 = ____ 12 – 8 = ____ 16 – 9 = ____
9 – 8 = ____ 9 – 6 = ____ 10 – 3 = ____ 13 – 5 = ____ 13 – 9 = ____
8 – 7 = ____ 7 – 4 = ____ 12 – 6 = ____ 17 – 9 = ____ 17 – 8 = ____
4 – 2 = ____ 8 – 5 = ____ 11 – 9 = ____ 13 – 6 = ____ 14 – 9 = ____
5 – 3 = ____ 10 – 7 = ____ 11 – 6 = ____ 12 – 4 = ____ 12 – 7 = ____
7 – 5 = ____ 8 – 4 = ____ 1-1 – 5 = ____ 14 – 8 = ____ 15 – 8 = ____
6 – 4 = ____ 9 – 4 = ____ 11 – 8 = ____ 15 – 7 = ____ 16 – 7 = ____ Códigos: ce – contó todo, quitó, luego contó el conjunto restante; sb – mostró conjuntos, no contó; fb – usó sus dedos para contar regresivamente el sustraendo; cb contó
regresivamente el sustraendo; f – usó sus dedos para contar la diferencia hasta o desde; c – contó la diferencia hasta o regresivamente desde; punto después de la diferencia – tomó tiempo para pensar; línea arriba de la diferencia – incorrecto
Notas: Examinador ________Fecha _____________ Puntaje____/50 Examinador ________Fecha _____________ Puntaje ____/50
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de resta C Tercer grado Maestro ______________________Fecha______________
Operaciones con una diferencia de 1, 2, o 3 Operaciones con una diferencia de 4 o más
Dedos Cuenta Dedos Cuenta Usa estrategias de relación numérica
Nombre Cuenta
todo Re
gres
ivam
ente
d
esd
e
Regr
esiv
amen
te
a
Prog
resiv
amen
te
des
de
Regr
esiv
amen
te
des
de
Regr
esiv
amen
te
a
Prog
resiv
amen
te
des
de
Recuerda
Regr
esiv
amen
te
des
de
Regr
esiv
amen
te
a
Prog
resiv
amen
te
des
de
Regr
esiv
amen
te
des
de
Regr
esiv
amen
te
a
Prog
resiv
amen
te
des
de
Usa una operación de suma conocida
Piensa en el
sumando que falta
Descompone el minuendo
Descompone el sustraendo
Compensa
Recuerda
Capítulo 4 Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Sabe estrategias de sentido numérico para las operaciones de resta (Nivel C)
Diferencia de 0
Diferencia de 1
Diferencia de 2
Diferencia de 3
Diferencia de 4
Diferencia de 5
Diferencia de 6
Diferencia de 7
Diferencia de 8
Diferencia de 9
Diferencia de 10
0 – 0 1 – 0 2 – 0 3 – 0 4 – 0 5 – 0 6 – 0 7 – 0 8 – 0 9 – 0 10 – 0
1 – 1 2 – 1 3 – 1 4 – 1 5 – 1 6 – 1 7 – 1 8 – 1 9 – 1 10 – 1 11 – 1
2 – 2 3 – 2 4 – 2 5 – 2 6 – 2 7 – 2 8 – 2 9 – 2 10 – 2 11 – 2 12 – 2
3 – 3 4 – 3 5 – 3 6 – 3 7 – 3 8 – 3 9 – 3 10 – 3 11 – 3 12 – 3 13 – 3
4 – 4 5 – 4 6 – 4 7 – 4 8 – 4 9 – 4 10 – 4 11 – 4 12 – 4 13 – 4 14 – 4
5 – 5 6 – 5 7 – 5 8 – 5 9 – 5 10 – 5 11 – 5 12 – 5 13 – 5 14 – 5 15 – 5
6 – 6 7 – 6 8 – 6 9 – 6 10 – 6 11 – 6 12 – 6 12 – 6 14 – 6 15 – 6 16 – 6
7 – 7 8 – 7 9 – 7 10 – 7 11 – 7 12 – 7 13 – 7 14 – 7 15 – 7 16 – 7 17 – 7
8 – 8 9 – 8 10 – 8 11 – 8 12 – 8 13 – 8 14 – 8 15 – 8 16 – 8 17 – 8 18 – 8
9 – 9 10 – 9 11 – 9 12 – 9 13 – 9 14 – 9 15 – 9 16 – 9 17 – 9 18 – 9 19 – 9
10 – 10 11 – 10 12 – 10 13 – 10 14 – 10 15 – 10 16 – 10 17 – 10 18 – 10 19 – 10 20 – 10
Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 23 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral C – Multiplicación
1 x 5 = ____ 6 x 2 = ____ 5 x 5 = ____ 0 x 6 = ____ 4 x 9 = ____
2 x 3 = ____ 2 x 9 = ____ 5 x 3 = ____ 4 x 4 = ____ 6 x 3 = ____
3 x 0 = ____ 2 x 7 = ____ 6 x 5 = ____ 7 x 4 = ____ 7 x 3 = ____
2 x 4 = ____ 7 x 2 = ____ 5 x 6 = ____ 6 x 4 = ____ 4 x 8 = ____
7 x 1 = ____ 8 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 4 x 3 = ____ 8 x 3 = ____
5 x 2 = ____ 2 x 8 = ____ 5 x 8 = ____ 4 x 6 = ____ 3 x 6 = ____
2 x 6 = ____ 9 x 2 = ____ 9 x 5 = ____ 4 x 7 = ____ 3 x 8 = ____
2 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 5 x 9 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 3 = ____
3 x 2 = ____ 4 x 5 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 3 x 7 = ____
4 x 2 = ____ 8 x 5 = ____ 7 x 5 = ____ 9 x 4 = ____ 3 x 9 = ____
Capítulo 4 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de multiplicación C - 2, 5, 4, y 3 como multiplicador o multiplicando Nombre________________________________
1 x 5 = ____ 6 x 2 = ____ 5 x 5 = ____ 0 x 6 = ____ 4 x 9 = ____
2 x 3 = ____ 2 x 9 = ____ 5 x 3 = ____ 4 x 4 = ____ 6 x 3 = ____
3 x 0 = ____ 2 x 7 = ____ 6 x 5 = ____ 7 x 4 = ____ 7 x 3 = ____
2 x 4 = ____ 7 x 2 = ____ 5 x 6 = ____ 6 x 4 = ____ 4 x 8 = ____
7 x 1 = ____ 8 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 4 x 3 = ____ 8 x 3 = ____
5 x 2 = ____ 2 x 8 = ____ 5 x 8 = ____ 4 x 6 = ____ 3 x 6 = ____
2 x 6 = ____ 9 x 2 = ____ 9 x 5 = ____ 4 x 7 = ____ 3 x 8 = ____
2 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 5 x 9 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 3 = ____
3 x 2 = ____ 4 x 5 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 3 x 7 = ____
4 x 2 = ____ 8 x 5 = ____ 7 x 5 = ____ 9 x 4 = ____ 3 x 9 = ____
Códigos: rc-sumó repetidamente, luego contó progresivamente; r-sumó repetidamente; sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada, s-contó salteado; punto después del producto –tomó tiempo para pensar; línea arriba del producto – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de multiplicación C Tercer grado Maestro ____________________Fecha _________
2, 5, 4 y 3 como multiplicador o multiplicando
Suma Cuenta en múltiplos Usa estrategias de relación numérica Nombre
Cuenta todo
Suma unos cuantos y
luego cuenta progresiva-
mente
Suma repetida-
mente
Usa sus dedos para llevar la
cuenta salteada
Usa una secuencia
memorizada Usa los dobles
Trabaja a partir de una operación
conocida
Suma los productos parciales
Recuerda
Capítulo 4 Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de multiplicación (Nivel C)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 x 0 1 x 0 2 x 0 3 x 0 4 x 0 5 x 0 6 x 0 7 x 0 8 x 0 9 x 0 10 x 0
1 0 x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1 10 x 1
2 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 x 2 7 x 2 8 x 2 9 x 2 10 x 2
3 0 x 3 1 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 3 5 x 3 6 x 3 7 x 3 8 x 3 9 x 3 10 x 3
4 0 x 4 1 x 4 2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4 6 x 4 7 x 4 8 x 4 9 x 4 10 x 4
5 0 x 5 1 x 5 2 x 5 3 x 5 4 x 5 5 x 5 6 x 5 7 x 5 8 x 5 9 x 5 10 x 5
6 0 x 6 1 x 6 2 x 6 3 x 6 4 x 6 5 x 6
7 0 x 7 1 x 7 2 x 7 3 x 7 4 x 7 5 x 7
8 0 x 8 1 x 8 2 x 8 3 x 8 4 x 8 5 x 8
9 0 x 9 1 x 9 2 x 9 3 x 9 4 x 9 5 x 9
10 0 x 10 1 x 10 2 x 10 3 x 10 4 x 10 5 x 10
Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 27 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral D - Multiplicación
1 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 6 x 4 = ____ 8 x 3 = ____ 9 x 4 = ____
2 x 4 = ____ 5 x 3 = ____ 3 x 4 = ____ 3 x 8 = ____ 8 x 8 = ____
7 x 1 = ____ 4 x 5 = ____ 4 x 3 = ____ 3 x 9 = ____ 6 x 9 = ____
3 x 0 = ____ 8 x 5 = ____ 4 x 6 = ____ 4 x 7 = ____ 7 x 7 = _____
6 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 7 x 4 = ____ 5 x 9 = ____ 7 x 8 = ____
2 x 8 = ____ 5 x 5 = ____ 4 x 8 = ____ 6 x 6 = ____ 9 x 9 = ____
7 x 2 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 4 x 9 = ____ 8 x 9 = ____
2 x 9 = ____ 6 x 5 = ____ 6 x 3 = ____ 7 x 5 = ____ 6 x 7 = ____
8 x 2 = ____ 5 x 8 = ____ 3 x 7 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 7 = ____
0 x 6 = ____ 4 x 4 = ____ 7 x 3 = ____ 8 x 7 = ____ 8 x 6 = ____
Capítulo 4 Página 28 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de multiplicación D - Todas las operaciones de multiplicación Nombre _________________
1 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 6 x 4 = ____ 8 x 3 = ____ 9 x 4 = ____
2 x 4 = ____ 5 x 3 = ____ 3 x 4 = ____ 3 x 8 = ____ 8 x 8 = ____
7 x 1 = ____ 4 x 5 = ____ 4 x 3 = ____ 3 x 9 = ____ 6 x 9 = ____
3 x 0 = ____ 8 x 5 = ____ 4 x 6 = ____ 4 x 7 = ____ 7 x 7 = _____
6 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 7 x 4 = ____ 5 x 9 = ____ 7 x 8 = ____
2 x 8 = ____ 5 x 5 = ____ 4 x 8 = ____ 6 x 6 = ____ 9 x 9 = ____
7 x 2 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 4 x 9 = ____ 8 x 9 = ____
2 x 9 = ____ 6 x 5 = ____ 6 x 3 = ____ 7 x 5 = ____ 6 x 7 = ____
8 x 2 = ____ 5 x 8 = ____ 3 x 7 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 7 = ____
0 x 6 = ____ 4 x 4 = ____ 7 x 3 = ____ 8 x 7 = ____ 8 x 6 = ____
Códigos: rc-sumó repetidamente, luego contó progresivamente; r-sumó repetidamente; sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada; s-contó salteado; punto después del
producto- tomó tiempo para pensar; línea arriba del producto – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 29 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de multiplicación D - Todas las operaciones de multiplicación Maestro ________________Fecha________________
Todas las operaciones de multiplicación
Suma Cuenta salteado Usa estrategias de relación numérica
Nombre Cuenta
todo Suma unos cuantos, luego
cuenta progresivamente
Suma repetidamente
Usa sus dedos para llevar la cuenta
salteada
Usa una secuencia memorizada Usa los dobles
Trabaja a partir de una
operación conocida
Suma productos parciales
Recuerda
Capítulo 4 Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de multiplicación (Nivel D)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 x 0 1 x 0 2 x 0 3 x 0 4 x 0 5 x 0 6 x 0 7 x 0 8 x 0 9 x 0 10 x 0
1 0 x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1 10 x 1
2 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 x 2 7 x 2 8 x 2 9 x 2 10 x 2
3 0 x 3 1 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 3 5 x 3 6 x 3 7 x 3 8 x 3 9 x 3 10 x 3
4 0 x 4 1 x 4 2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4 6 x 4 7 x 4 8 x 4 9 x 4 10 x 4
5 0 x 5 1 x 5 2 x 5 3 x 5 4 x 5 5 x 5 6 x 5 7 x 5 8 x 5 9 x 5 10 x 5
6 0 x 6 1 x 6 2 x 6 3 x 6 4 x 6 5 x 6 6 x 6 7 x 6 8 x 6 9 x 6 10 x 6
7 0 x 7 1 x 7 2 x 7 3 x 7 4 x 7 5 x 7 6 x 7 7 x 7 8 x 7 9 x 7 10 x 7
8 0 x 8 1 x 8 2 x 8 3 x 8 4 x 8 5 x 8 6 x 8 7 x 8 8 x 8 9 x 8 10 x 8
9 0 x 9 1 x 9 2 x 9 3 x 9 4 x 9 5 x 9 6 x 9 7 x 9 8 x 9 9 x 9 10 x 9
10 0 x 10 1 x 10 2 x 10 3 x 10 4 x 10 5 x 10 6 x 10 7 x 10 8 x 10 9 x 10 10 x 10
Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 31 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral E - División
4 ÷ 2 = ____ 40 ÷ 5 = ____ 21 ÷ 3 = ____ 56 ÷ 7 = ____ 36 ÷ 9 = ____
10 ÷ 2 = ____ 15 ÷ 5 = ____ 32 ÷ 4 = ____ 35 ÷ 7 = ____ 48 ÷ 8 = ____
20 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 5 = ____ 27 ÷ 3 = ____ 27 ÷ 9 = ____ 42 ÷ 7 = ____
14 ÷ 2 = ____ 45 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 3 = ____ 54 ÷ 6 = ____ 64 ÷ 8 = ____
25 ÷ 5 = ____ 12 ÷ 3 = ____ 36 ÷ 4 = ____ 36 ÷ 6 = ____ 72 ÷ 8 = ____
18 ÷ 2 = ____ 16 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 6 = ____ 40 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 9 = ____
5 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 4 = ____ 18 ÷ 6 = ____ 56 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 7 = ____
16 ÷ 2 = ____ 18 ÷ 3 = ____ 28 ÷ 7 = ____ 49 ÷ 7 = ____ 81 ÷ 9 = ____
12 ÷ 6 = ____ 9 ÷ 3 = ____ 32 ÷ 8 = ____ 42 ÷ 6 = ____ 48 ÷ 6 = ____
35 ÷ 5 = ____ 28 ÷ 4 = ____ 21 ÷ 7 = ____ 45 ÷ 9 = ____ 54 ÷ 9 = ____
Capítulo 4 Página 32 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de división E - Todas las operaciones de división Nombre________________________________________
4 ÷ 2 = ____ 40 ÷ 5 = ____ 21 ÷ 3 = ____ 56 ÷ 7 = ____ 36 ÷ 9 = ____
10 ÷ 2 = ____ 15 ÷ 5 = ____ 32 ÷ 4 = ____ 35 ÷ 7 = ____ 48 ÷ 8 = ____
20 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 5 = ____ 27 ÷ 3 = ____ 27 ÷ 9 = ____ 42 ÷ 7 = ____
14 ÷ 2 = ____ 45 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 3 = ____ 54 ÷ 6 = ____ 64 ÷ 8 = ____
25 ÷ 5 = ____ 12 ÷ 3 = ____ 36 ÷ 4 = ____ 36 ÷ 6 = ____ 72 ÷ 8 = ____
18 ÷ 2 = ____ 16 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 6 = ____ 40 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 9 = ____
5 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 4 = ____ 18 ÷ 6 = ____ 56 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 7 = ____
16 ÷ 2 = ____ 18 ÷ 3 = ____ 28 ÷ 7 = ____ 49 ÷ 7 = ____ 81 ÷ 9 = ____
12 ÷ 6 = ____ 9 ÷ 3 = ____ 32 ÷ 8 = ____ 42 ÷ 6 = ____ 48 ÷ 6 = ____
35 ÷ 5 = ____ 28 ÷ 4 = ____ 21 ÷ 7 = ____ 45 ÷ 9 = ____ 54 ÷ 9 = ____
Códigos: rs – restó un número repetidamente, ra – sumó un número repetidamente, sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada, s – contó salteado, punto después del cociente – tomó tiempo para pensar, línea arriba del cociente – incorrecto
Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 33 Traducido por Rosy Einspahr
Información de la evaluación oral de división E Quinto grado Maestro _____________________________ Fecha_____________
Todas las operaciones de división
Suma Cuenta salteado Usa estrategias de relación numérica Nombre Suma unos
cuantos, luego cuenta
progresivamente
Suma repetidamente
Usa sus dedos para llevar la cuenta
salteada
Usa una secuencia memorizada
Usa una operación de multiplicación
inversa
Trabaja a partir de una operación de división
conocida
Divide a la mitad y luego
duplica
Recuerda
Capítulo 4 Página 34 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de división (Nivel E) Cociente
de 0 Cociente
de 1 Cociente
de 2 Cociente
de 3 Cociente
de 4 Cociente
de 5 Cociente
de 6 Cociente
de 7 Cociente
de 8 Cociente
de 9 Cociente
de 10
0 ÷ 1 1 ÷ 1 2 ÷ 1 3 ÷ 1 4 ÷ 1 5 ÷ 1 6 ÷ 1 7 ÷ 1 8 ÷ 1 9 ÷ 1 10 ÷ 1
0 ÷ 2 2 ÷ 2 4 ÷ 2 6 ÷ 2 8 ÷ 2 10 ÷ 2 12 ÷ 2 14 ÷ 2 16 ÷ 2 18 ÷ 2 20 ÷ 2
0 ÷ 3 3 ÷ 3 6 ÷ 3 9 ÷ 3 12 ÷ 3 15 ÷ 3 18 ÷ 3 21 ÷ 3 24 ÷ 3 27 ÷ 3 30 ÷ 3
0 ÷ 4 4 ÷ 4 8 ÷ 4 12 ÷ 4 16 ÷ 4 20 ÷ 4 24 ÷ 4 28 ÷ 4 32 ÷ 4 36 ÷ 4 40 ÷ 4
0 ÷ 5 5 ÷ 5 10 ÷ 5 15 ÷ 5 20 ÷ 5 25 ÷ 5 30 ÷ 5 35 ÷ 5 40 ÷ 5 45 ÷ 5 50 ÷ 5
0 ÷ 6 6 ÷ 6 12 ÷ 6 18 ÷ 6 24 ÷ 6 30 ÷ 6 36 ÷ 6 42 ÷ 6 48 ÷ 6 54 ÷ 6 60 ÷ 6
0 ÷ 7 7 ÷ 7 14 ÷ 7 21 ÷ 7 28 ÷ 7 35 ÷ 7 42 ÷ 7 49 ÷ 7 56 ÷ 7 63 ÷ 7 70 ÷ 7
0 ÷ 8 8 ÷ 8 16 ÷ 8 24 ÷ 8 32 ÷ 8 40 ÷ 8 48 ÷ 8 56 ÷ 8 64 ÷ 8 72 ÷ 8 80 ÷ 8
0 ÷ 9 9 ÷ 9 18 ÷ 9 27 ÷ 9 36 ÷ 9 45 ÷ 9 54 ÷ 9 63 ÷ 9 72 ÷ 9 81 ÷ 9 90 ÷ 9
0 ÷ 10 10 ÷ 10 20 ÷ 10 30 ÷ 10 40 ÷ 10 50 ÷ 10 60 ÷ 10 70 ÷ 10 80 ÷ 10 90 ÷ 10 100 ÷ 10
Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 35 Traducido por Rosy Einspahr
Desarrollo para el cálculo de las operaciones aritméticas Estudiante: ________________________ Fecha: _____________
Operaciones de suma Usa estrategias de conteo Usa relaciones numéricas conocidas
Sumas hasta el 10
Sumas hasta el 20
Operaciones de restas
Diferencias de 1, 2, 3
Diferencias mayores que 4
Operaciones de multiplicación
Usa estrategias de conteo o de sumas repetitivas Usa relaciones numéricas conocidas
Múltiplos de 2, 3, 4, 5
Múltiplos de 6, 7, 8, 9
Operaciones de división
Divisores de 2, 3, 4, 5
Divisores de 6, 7, 8, 9
Utiliza las relaciones numéricas para ayudar a calcular operaciones básicas (Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. New York, NY: Longman.)
Ideas importantes para recordar: 1. Las relaciones numéricas se pueden utilizar para que te ayuden a recordar operaciones básicas. 2. Existen patrones y relaciones en las operaciones básicas. Puedes deducir operaciones nuevas o desconocidas basándote
en las que ya sabes. 3. Todas las operaciones se pueden aprender con la ayuda de estrategias eficaces.
Pasos a seguir para aprender las operaciones: 1. Desarrolla un entendimiento sólido de las operaciones y de las relaciones numéricas. 2. Piensa en estrategias eficaces que te ayuden a recordar las operaciones. 3. Decide que estrategias funcionan mejor para ciertos números 4. Practica utilizando estas estrategias
Capítulo 4 Página 36 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Suma
• Usa un doble. Si sabes cuanto es 7+7, úsalo para que te ayude a resolver 8+7 y 6+7.
• Busca los dobles que puedan estar escondidos. Por ejemplo: 5+7 se puede razonar como 5+5+2.
• Haz más fácil la suma del 9. Cambia el 9 por el 10 sumándole 1 (en tu mente). Después suma la otra cantidad. Para terminar, resta 1 de la suma que te dio (para quitar el cambio que hiciste cuando le sumaste 1 al 9 para cambiarlo al 10).
• Esta es otra manera de sumar 9 rápidamente. Observa 9+5. Piensa en el número para formar un 5 que lleve un 1 (1 + 4). Luego suma 9 + 1 para formar el 10 y termina sumándole 4 al 10.
• Haz más fácil la suma del 8. Observa 8+6. Piensa en el número para formar un 6 que use un 2 (2 + 4). Luego suma 8 + 2 para formar el 10 y termina sumándole 4 al 10.
Resta
• Usa lo que ya sabes sobre las sumas. Observa 11 – 6 y piensa, “¿Qué le puedo sumar al 6 para tener un total de 11?”
• Piensa en la resta como una comparación entre dos números. Piensa qué tanto más es un número que el otro. Para 10 – 4, piensa cuanto más necesitas contar para llegar al 10.
• Piensa en la resta como la diferencia entre dos números. Pon los dos números en una recta numérica “imaginaria”. Piensa en la diferencia que hay entre esos dos números.
• Si diez está en medio de los números, piensa regresivamente hasta el 10. Para 15 – 8, piensa 15 – 5 es diez, luego quítale 3 más para llegar al 7.
Multiplicación • ¡Practica el conteo salteado con cada uno de los dígitos! Los niños que
son fanáticos del fútbol americano, a menudo saben la tabla del 7 ¡sin esfuerzo alguno!
• Busca maneras para duplicar. Sabes que 2 x 8 = 16. 4 x 8 es el doble de 2 x 8, por lo tanto 4 x 8 es 16 + 16.
• Observa los patrones. ¡Los múltiplos de 5 terminan ya sea en cero o en 5!
• Usa las operaciones que ya sabes. Si sabes que 6 x 4 = 24, entonces puedes razonar que 7 x 4 es solamente un grupo más de 4.
• Piensa en las operaciones que ya sabes de una manera diferente. Para 6 x 7, piensa en 3 x 7. 3 x 7 = 21, por lo tanto 6 x 7 es 21 + 21.
• ¡Piensa en el 10! Ya sabes cuanto es 10 x 8. Usa esta tabla para ayudarte a resolver rápidamente 9 x 8. Piensa en 10 x 8 y luego réstale 8.
División • Usa las operaciones de multiplicación. Para 32 ÷8, piensa qué número
multiplicado por 8 da 32.
• Acércate lo más que puedas. Para 56 ÷ 7, piensa en un número que se aproxime con lo que ya sabes, tal vez 49 ÷ 7. Luego ajústalo sumando o restando otro grupo de 7. 49 ÷ 7 es 7, por lo tanto 56 ÷ 7 es 8.
• ¡Piensa en mitades! Para 64 ÷ 8, piensa 32 ÷ 8. Después duplícalo.
¡Intenta estas estrategias!
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 37 Traducido por Rosy Einspahr
Ayudando a los estudiantes a desarrollar la fluidez en las operaciones aritméticas
Operaciones de suma
La mayoría de los estudiantes en los grados intermedios ya han desarrollado
fluidez en las operaciones de suma y las recuerdan con facilidad para resolver
problemas de sumas; aquellos que aún no han adquirido la fluidez en las sumas
necesitarán una atención deliberadamente enfocada en aprenderlas.
Herramientas útiles para
visualizar las relaciones numéricas
Antes de trabajar en el desarrollo de la fluidez, los estudiantes necesitan mucha
práctica con los números hasta el 20. Ellos necesitan tiempo para reflexionar
sobre las relaciones numéricas y discutir maneras en que se pueden usar las
relaciones numéricas para calcular. Esta práctica les ayudará a avanzar de contar
de uno en uno a usar las relaciones de parte-parte-todo y las combinaciones
para construir un 10. Las relaciones numéricas se fortalecen con el uso de un
cordel de 20 cuentas, ábacos, tableros de diez y rectas numéricas vacías. Estas
son herramientas poderosas que les ayudan a los estudiantes a visualizar las
relaciones numéricas.
Después de varias experiencias utilizando objetos para apoyar el conteo, los
estudiantes comienzan a utilizar lo que saben sobre los números para desarrollar
estrategias mentales para calcular. Los estudiantes desarrollan estas estrategias
de manera individual, pero existir la siguiente secuencia general de desarrollo
que es compartida por muchos estudiantes:
• contar progresivamente 1, 2 ó 3 sin usar los dedos u objetos • aprender sobre la propiedad del cero (0 + 8 = 8) • entender la propiedad conmutativa (1 + 6 = 6 + 1) • recordar los dobles (5 + 5 = 10) • aprender las relaciones de parte-parte-todo para construir el 10 • usar los dobles para razonar en el cálculo de números cercanos a los dobles
(Por ejemplo: Puesto que sé que 5 + 5 = 10, como 4 es uno menos que 5, entonces 5 + 4 es uno menos que 10. Debe ser 9.)
• Entender el valor de trabajar con, hasta y pasando del 10 −− al descomponer un sumando (Para 8 + 6, piensa en 6 como 2 +
4. Entonces 8 + 2 es 10. Suma el 4 para hacer 14.) −− al compensar para un número cercano al 10 (Para 9 + 7,
pretende que el 9 es 10, suma el 7 y luego corrige la suma restándole 1.)
• Usar operaciones ya conocidas para razonar sobre un cálculo (Para 7 + 5, se que 7 + 3 es 10, 7 + 4 es 11, entonces 7 + 5 es 12.)
cordel de 20 cuentas
tableros de diez
7 10 12
+3 +2
recta numérica vacía
Ábaco
Operaciones de resta
La resta es una operación desafiante para los estudiantes. Ellos necesitan tiempo suficiente para
construir modelos físicos que respalden su desarrollo de las relaciones numéricas involucradas
con “quitar”. También necesitan ampliar y profundizar su entendimiento de la resta para verla
como una comparación para encontrar la diferencia.
Las ideas sobre la comparación comienzan a desarrollarse cuando los estudiantes aprenden a
contar progresivamente, por lo regular en el primer grado.
Los conceptos de los estudiantes sobre las diferencias y su capacidad para determinar las
diferencias tienden a ser más evidentes en el segundo grado. Los maestros facilitan el
aprendizaje sobre como encontrar la diferencia entre dos números al pedirles a los estudiantes
que resuelvan los problemas de comparación, analicen las gráficas de barras y usen la recta
numérica vacía. La siguiente secuencia describe un desarrollo típico de los conceptos y las
habilidades de la resta:
Contar regresivamente 1, 2 ó 3 sin utilizar los dedos
Usar las relaciones de parte-parte-todo (Se que el 8 está compuesto del 5 y del 3. Si quito 5, sé que me quedan 3.)
Comparar dos números y contar progresivamente para determinar la diferencia
Entender el valor de trabajar con, hasta y pasando del 10 al descomponer el sustraendo (Para 14 – 6 primero trabaja hasta el 10 quitando 4, luego quita 2 para que de 8.)
Usar operaciones ya conocidas para razonar sobre un cálculo (Para 15 – 7, pensar, sé que 14 – 7 es 7 entonces 15 – 7 debe ser 8.)
Capítulo 4 Página 38 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Operaciones de multiplicación
Los estudiantes comienzan a modelar los problemas de multiplicación en forma narrada en el
Kinder. Ellos construyen modelos físicos para tener los conjuntos para poder contarlos uno por
uno. A medida que los estudiantes van aprendiendo a contar en series, tales como al contar de 2
en 2 o de 5 en 5, ellos comienzan a usar esas secuencias de conteo para pensar sobre el total de
dos o tres conjuntos. Los estudiantes de los grados iniciales trabajan en la multiplicación al
desarrollar una fluidez con las estrategias del conteo salteado.
Los estudiantes de los grados intermedios aprenden a relacionar un conjunto de operaciones con
otro. (Por ejemplo: 8x5 es lo mismo que 2 veces 4x5). Típicamente, los estudiantes primero
aprenden las tablas de multiplicar del 2 y del 5 y luego se adquieren fluidez con otras tablas de
multiplicar mediante prácticas repetitivas usando una multiplicación ya conocida para calcular una
multiplicación desconocida. Eventualmente, los estudiantes recuerdan la mayoría de las tablas de
multiplicar y usan estrategias de operaciones derivadas solamente para unas cuantas.
Se necesitan los siguientes conceptos y habilidades para adquirir la fluidez con las tablas de
multiplicar:
contar salteado eficazmente con números de un solo dígito (ver la evaluación del conteo salteado en éste capítulo)
relacionar las sumas de los dobles con la tabla del 2.
derivar eficazmente lo que no se sabe de lo que sí se sabe (por ejemplo: tres grupos de seis se puede pensar como dos grupos de seis más otro seis, 3x6=2x6+6)
recordar las operaciones aritméticas.
Operaciones de división
Los estudiantes aprenden que la división “revierte” o “deshace” la multiplicación a través de
muchas experiencias con problemas matemáticos narrados de multiplicación y división. A menudo
los estudiantes resolverán problemas matemáticos de división al construir grupos del divisor para
alcanzar el dividendo y entender de manera intuitiva las operaciones inversas. Por estas razones,
la fluidez con las operaciones de división depende del entendimiento de la relación inversa con la
multiplicación y el conocimiento de las tablas de multiplicar.
Se necesitan los siguientes conceptos y habilidades para desarrollar la fluidez con las operaciones
de división:
dominar las tablas de multiplicar
pensar de manera invertida (p.ej. 36 ÷ 9 como, “nueve por cuánto es treinta y seis”)
practicar con “operaciones cercanas” como 50 ÷ 6 para desarrollar la fluidez
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 39 Traducido por Rosy Einspahr
Factores y múltiplos
El saber los factores de los números 1-100 y los múltiplos de todos los números de un solo dígito
amplía y profundiza el conocimiento de las operaciones de multiplicación y división. Los
estudiantes deben tener repetidas experiencias en la exploración de patrones numéricos para
factores y múltiplos (P.ej. Nombre los primeros diez múltiplos de 5. ¿Qué es lo que observa sobre
los números?) De manera alternativa, proporcione una lista de números para que los estudiantes
los analicen con preguntas como: ¿Cuál de estos números no tiene el 8 como un factor? ¿Cómo
lo sabes? Encierra en un círculo los múltiplos de 9. ¿Cómo lo decidiste? Promueva suficientes
discusiones sobre los patrones y las estrategias de los estudiantes.
Desarrollando las estrategias de cálculo mental
Comience trabajando en desarrollar estrategias de cálculo mental al pedirles a los estudiantes
que compartan ideas sobre las relaciones numéricas. Facilite discusiones que hagan que los
estudiantes reflexionen acerca de la manera en la que usan las relaciones numéricas para
resolver los problemas. Las ideas que ellos pueden compartir incluyen:
Discutir
Más 1 sólo significa pasar al número que va inmediatamente después cuando se cuenta.
Menos 1 sólo significa regresar un número.
No se necesita contar cuando se le suma al 10. Es sólo esa cantidad después del diez.
Cuando se suma 6+5, pienso en 5+5 y sólo se suma uno más porque 6 es uno más que 5.
Es fácil sumar 9. Sólo se hace de cuenta que es un 10, se suma el resto y luego se resta uno, porque se sumó 1 para formar el 10.
Para sumar 9, sólo se toma 1 del otro número. Así se forma el 10. Luego se suma el resto.
Sé que 7+4 es 11 entonces 7+5 tiene que ser uno más que 11.
Para restarle 8 a 14, primero se restan 4 para llegar al 10 y luego se restan 4 más para llegar al 6.
Sé que 2 por 6 es 12, entonces para tener 4 por 6, solamente duplico el 12 debido a que 4 es el doble de 2.
Escriba las ideas de los estudiantes para el uso de las relaciones numéricas en un cartel expuesto
en el salón. Vaya añadiendo más a medida que los estudiantes piensen en otras ideas. Espere
que los estudiantes expliquen sus estrategias.
Capítulo 4 Página 40 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 41 Traducido por Rosy Einspahr
8 10 14
+2 +4
Permítales a los estudiantes trabajar sin presión de tiempo hasta que ya se haya desarrollado
bien su sentido numérico. Si los estudiantes sienten la presión del tiempo, con frecuencia vuelven
al conteo progresivo o a usar sus dedos para llevar la cuenta.
Cuando los estudiantes utilizan estrategias de sentido numérico bien desarrolladas, los maestros:
les ayudan a identificar las operaciones que ellos ya saben y aquellas en las que todavía utilizan estrategias de conteo para calcular.
Fije metas les piden a los estudiantes que fijen metas para encontrar estrategias de sentido numérico
para las operaciones aritméticas que no saben.
hacen que los estudiantes hagan tarjetas con las operaciones aritméticas que no saben.
• mantenga el número de tarjetas pequeño y enfocado, de 8 a 10 tarjetas a la vez.
• escriba los números horizontalmente, 6+8 = ________
• cree una representación con una recta numérica vacía al reverso de cada tarjeta.
proporcionan periodos cortos de instrucción para desarrollar las relaciones numéricas y las estrategias para esas operaciones.
Desarrollando la fluidez para el cálculo de operaciones aritméticas “Afortunadamente,
sabemos bastante sobre cómo ayudar a
los estudiantes a desarrollar el
dominio de las operaciones
aritméticas, y tiene poco que ver con la
cantidad de prácticas o técnicas
de prácticas”
John A. Van de Walle, en Teaching Student-Centered Mathematics (página 94) declara,
“Afortunadamente, sabemos bastante sobre cómo ayudar a los estudiantes a desarrollar el
dominio de las operaciones aritméticas, y tiene poco que ver con la cantidad de prácticas o
técnicas prácticas.” Van de Walle identifica tres componentes o pasos para desarrollar la fluidez
en el cálculo mental de operaciones aritméticas, las cuales son:
1. Ayudar a los estudiantes a desarrollar un firme entendimiento de las operaciones y las relaciones numéricas.
-John A. Van de Walle 2. Desarrollar estrategias eficaces para recordar las operaciones aritméticas.
3. Después, proporcionar práctica en el uso y selección de esas estrategias
Después de que los estudiantes han desarrollado estrategias para el uso de relaciones numéricas
para calcular operaciones básicas, están listos para trabajar en el desarrollo de la fluidez y la
automaticidad. Los juegos de cartas, los juegos de computadora y las hojas de ejercicios que
utilizan números que están al nivel independiente del estudiante en el cálculo mental (como se
determina mediante las evaluaciones orales de operaciones aritméticas), son todos formas para
fomentar la fluidez. Los periodos cortos de práctica llevados a cabo durante semanas y meses,
son efectivos en el desarrollo del dominio en el cálculo de las operaciones aritméticas básicas. Si
los juegos tienen un elemento competitivo, cree grupos de estudiantes que tengan un nivel de
dominio parecido en las operaciones aritméticas.
El progreso en la fluidez de las operaciones debe ser información personal. La instrucción para
apoyar las necesidades individuales es más efectiva que el publicar el progreso de los estudiantes
en la clase para hacer la comparación entre los estudiantes.
La siguiente tabla proporciona las expectativas del nivel de grado para la fluidez de las
operaciones.
Capítulo 4 Página 42 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Objetivos para la fluidez en las operaciones aritméticas de Kinder a 5.o
Grado Desarrollo del sentido numérico (Basado en los estándares del MMSD)
Las letras en negritas indican una nueva expectativa a este nivel de grado.
K No es aplicable (Vea los siguientes grados si el estudiante demuestra un sentido numérico en esos niveles)
1.o
Demuestra fluidez con las sumas de:
• las operaciones del “0 al 9” (sumas menores que 10) • combinaciones para formar 10
Evaluación disponible: Evaluación oral A — Sumas del 0 al 9 y hasta el 10 (vea “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2)”)
2.o
Demuestra fluidez con todas las sumas:
• dobles • dobles ± 1 • operaciones “después del diez” (sumas mayores que 10) • operaciones “del 0 al 9” (sumas menores que 10) • combinaciones para formar 10
Evaluación disponible: Evaluación oral B – Sumas hasta el 20, del 0 al 9, hasta y después del 10.
3.o
Demuestra fluidez utilizando las relaciones de parte-todo, comparación, el concepto de diferencia o recuerda para determinar los resultados de la resta.
Evaluación disponible: Evaluación oral C – Diferencias menos que, igual que y mayor que 3.
Demuestra fluidez en las tablas de multiplicar del (2, 5, 4 y 3 como multiplicador y multiplicando)
Evaluación disponible: Evaluación oral C – 2, 5, 4 y 3 como multiplicador y multiplicando.
4.o
Demuestra fluidez en todas las tablas de multiplicar (2, 5, 4, 3, 9, 6, 7, 8 como multiplicador o multiplicando)
Evaluación disponible: Evaluación oral D — Todas las operaciones de multiplicación
Utiliza la relación inversa para determinar los resultados de una división usando las tablas de multiplicar.
5.o
Sabe todas las operaciones de división básica y los primeros diez múltiplos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 25.
Evaluación disponible: Evaluación oral E – Todas las operaciones de división
Utiliza la relación inversa para determinar los resultados de una división usando las tablas de multiplicar.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 43 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación de problemas tipo CGI
Los siguientes problemas se pueden utilizar para evaluar la habilidad de cada
estudiante para resolver siete tipos de problemas básicos. Los números están a
un nivel en que los estudiantes de los grados intermedios deberían ser capaces
de resolver mentalmente y en más de una manera.
Sin embargo, para los propósitos de esta evaluación, solamente se requiere una
estrategia de solución. Si el estudiante utiliza un algoritmo estándar para resolver
el problema, puede pedirle al estudiante que muestre una segunda estrategia
para que pueda evaluar el sentido numérico del estudiante.
Esta forma de evaluación les pide a los estudiantes que escriban una oración
para responder a la pregunta en el problema en vez de una ecuación. Esto apoya
a los estudiantes a que reflexionen en cuanto a su solución ya que se conecta
con el problema original. La evaluación no les pide a los estudiantes que escriban
una ecuación que “vaya con” el problema ya que hay muchas ecuaciones que se
pueden utilizar para resolver la mayoría de los problemas.
Cuando los estudiantes pueden resolver fácilmente estos problemas básicos
(utilizando el sentido numérico) intente problemas parecidos con diferentes
números (Vea el capítulo 6: Dominios numéricos). Puede ser que algunos
estudiantes sientan que el significado de la situación del problema se vuelve más
difícil con números desconocidos, lo cual es información importante en la
evaluación.
Los maestros también pueden utilizar los tipos de problemas básicos para
evaluar el conocimiento del estudiante referente a nuevos dominios numéricos,
tales como fracciones y decimales.
Para evaluar a los estudiantes que tienen dificultades para resolver los tipos de
problemas matemáticos básicos, utilice las evaluaciones orales de problemas
matemáticos que se encuentran en la carpeta del MMSD titulada El aprendizaje
de las matemáticas en los grados iniciales (K-2).
Vea el capítulo 6: Tipos de problemas para más información sobre los tipos de
problemas.
Capítulo 4 Página 44 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 1. Mariana tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más necesita para tener 65 en total?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 2. Connie tenía 62 monedas. Ella le dio unas a su amigo Marco. Ahora ella tiene 48. ¿Cuántas monedas
le dio a Marco?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 45 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 3. Martín tiene 57 estampillas. 29 son de México. El resto son de Canadá. ¿Cuántas son de Canadá?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 4. Akamu tiene 86 conchas. Lani tiene 49 conchas. ¿Cuántas más conchas tiene Akamu que Lani?
Demuestra una manera para resolver éste problema.
_____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático.
Capítulo 4 Página 46 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 5. Nakato tiene 6 bolsas de plátanos para vender en el mercado. Cada bolsa tiene 15 plátanos.
¿Cuántos plátanos tiene Nakato?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 6. Mbali tiene 45 zanahorias para ponerlas en bolsas para el mercado. Él quiere poner 9 zanahorias en
cada bolsa. ¿Cuántas bolsas va a necesitar para todas sus zanahorias?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 47 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 7. Paki tiene 36 papas para vender en el mercado. Tiene 4 bolsas. Él quiere poner el mismo número de
papas en cada bolsa. ¿Cuántas papas va a poner en cada bolsa?
Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático.
Capítulo 4 Página 48 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 49 Traducido por Rosy Einspahr
Datos de la evaluación de los problemas tipo CGI Maestro _____________________________ Fecha__________
Evaluación de problemas tipo básico Nombres de
los estudiantes
Suma, segundo sumando
desconocido (JCU)
Resta, sustraendo desconocido (SCU)
Parte-parte-todo, parte desconocida
(PPW, PU)
Comparación, diferencia
desconocida (CDU) Multiplicación (M) División con factor
desconocido (MD) División partitiva
(PD)
Registre la estrategia utilizada para cada problema. Vea el capítulo 6: Estrategias
Capítulo 4 Página 50 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3º-5º) Capítulo 4 Página 51 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluando el entendimiento del valor numérico
La evaluación del conocimiento sobre el valor numérico requiere mucho más que
simplemente preguntar qué significan los nombres de los valores numéricos o que
número va en cierta posición. El conocimiento del valor numérico incluye saber que una
sola unidad (dígito) puede tener significados múltiples o diferentes valores. El 3 en 1,367
tiene el valor de 3 centenas (3X100) por su posición, pero también puede significar 30
decenas o 300 unidades aún estando en esa misma posición.
Lo más importante es entender que el valor numérico requiere un razonamiento
multiplicativo en vez de un razonamiento aditivo. Muchos estudiantes piensan en la
multiplicación como una suma repetitiva. Ellos ven a 3X5 y piensan 5+5+5. Sin embargo,
la multiplicación es diferente a la suma porque involucra un razonamiento más
jerárquico. Las investigaciones sugieren que los estudiantes que reconocen que el “4” en
4X5 se refiere a “4 cincos” y que el “5” es un grupo de cinco en vez de 5 unidades
pueden “pensar multiplicativamente.” El “5” es una “unidad de un orden más alto” y
tiene un significado diferente que el “4” (Kamii, 2003).
Hay muchos componentes para el entendimiento del valor numérico. El conocimiento del
valor numérico es complejo y toma años para desarrollarse. Los niños pueden ser
inconsistentes por mucho tiempo y se necesita de un observador cuidadoso para percibir
los cambios en el conocimiento del valor numérico de un estudiante. Los maestros
evalúan el conocimiento del valor numérico de manera informal durante la resolución de
problemas, la inspección de ecuaciones y durante el trabajo numérico.
Para los estudiantes que tienen dificultad con los cálculos para los números mayores que
10:
Evalúe la fluidez de las operaciones utilizando las evaluaciones orales de operaciones aritméticas en éste capítulo (cálculos mentales para dígitos solos)
Utilice el ejercicio del valor numérico Kamii en la sección de ejercicios rápidos de este capítulo.
La siguiente tabla hace un esquema de los componentes del conocimiento del valor
numérico, lo que los estudiantes necesitan saber y poder hacer, preguntas de evaluación
e implicaciones instructivas. Las implicaciones instructivas incluyen sugerencias para las
actividades o el rango numérico para desarrollar el conocimiento sobre el valor numérico.
Componentes del entendimiento del valor numérico
Concepto o habilidad del valor numérico
Estudiantes con este entendimiento: Preguntas de evaluación Implicaciones instructivas
Secuencia de conteo verbal
cuentan de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000 en 1000 a partir de cualquier número.
¿Dónde es que se confunde el estudiante durante la secuencia de conteo?
¿Puede el estudiante pasar fácilmente una decena, centena o millar?
Utilice números que proporcionen oportunidades a los estudiantes para:
contar las decenas progresivamente comenzando del 10, 100, 1000 o iniciando de cualquier decena terminada en cero.
contar las decenas progresivamente comenzando del 10, 100, 1000 o iniciando de cualquier decena, centena o millar terminado en cero, o iniciando de cualquier número
Construye/Cuenta cantidades mixtas
agrupan objetos en decenas, centenas, millares y cambian las unidades cuando cuentan grupos que contienen centenas, decenas, unidades.
¿Cambia el estudiante las unidades a medida que va contando? (p.ej. tres bloques de 10 y 2 de uno son contados así: 10,20, 30, 40, 50… en vez de… 10, 20, 30, 31, 32…)
¿Puede el estudiante hablar fácilmente sobre la barra de cien como 1 centena, 10 decenas y 100 unidades?
Proporcione oportunidades para que los estudiantes cuenten bloques de base de 10 que incluyan unidades, decenas, centenas con más de 10 en al menos uno de estos valores. (p.ej. 3 centenas, 15 decenas, 23 unidades)
Intente la actividad de Contar y Comparar en el capítulo 7: Trabajo numérico
Lee y escribe números
leen y escriben los números correctamente.
¿Qué tipos de números parecen presentar un mayor reto?
¿Sabe el estudiante de los “ceros escondidos”? (p.ej. ciento quince se escribe 115 no 10015).
¿Sabe el estudiante el valor y el nombre del valor numérico para cada posición?
Haga la lectura y la escritura en parejas con el uso de materiales de base de diez para modelar las cantidades
Las tarjetas de flechas de valor numérico pueden ayudarles a los estudiantes a ver los “ceros escondidos”.
Intente la actividad de Apodo, Nombre real en el capítulo 7: Trabajo numérico.
Proporcione oportunidades para discutir y comparar cantidades. (p. ej. 51 es más que el 15, la clave es el valor de la izquierda.)
Secuencias numéricas
colocan estratégicamente los números en una cuadrícula de 100.
Pueden usar una recta numérica vacía para resolver los problemas.
Pueden explicar cómo los números se relacionan con el diez.
¿Ve el estudiante un patrón en la tabla numérica de cien y lo utilizo o busca al azar?
¿Puede el estudiante usar una recta numérica vacía para demostrar como resolvió un problema?
Proporcione una variedad de tablas numéricas de cien (ver el apéndice) para apoyar la flexibilidad en el orden numérico y poder ver las relaciones.
Ordene los números en secuencia del más pequeño al más grande. Utilice números que puedan desafiar a los estudiantes al pensar en el valor numérico (P. ej. 7068, 6807, 6078, 7608, 76.08. 7.60, 7.06).
Capítulo 4 Página 52 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Componentes del entendimiento del valor numérico (continuación)
Concepto o habilidad del valor numérico
Estudiantes con este entendimiento: Preguntas de evaluación Implicaciones instructivas
Entendiendo el valor y la cantidad
explican los significados diferentes de un dígito dentro de un número.
explican los significados posibles de los números “4” y “5” en 4 x 5.
¿Puede el estudiante mantener los conceptos del valor numérico mientras explica las soluciones de los problemas?
Pídales a los estudiantes que nombren el valor y la cantidad (unidades) al explicar las soluciones a los problemas o al usar los algoritmos.
Por ejemplo: El 3 en 1, 345 es 3 centenas. La expresión 4 x 5 se puede pensar como 4 grupos de 5 o 5 grupos de 4.
Representa secuencias numéricas en una recta numérica vacía y utiliza el lenguaje de flechas.
aumentan y disminuyen números mentalmente en cantidades de 10, 100, 1000, etc. a partir de cualquier número.
representan soluciones a los problemas en una recta numérica vacía o utilizan el lenguaje de flechas para representar su pensamiento cuando sea apropiado.
¿Cuáles son los números más difíciles?
¿Puede el estudiante pasar fácilmente una decena, centena o millar y continuar con un conteo adecuado?
Utilice números que proporcionen oportunidades para que los estudiantes:
Aumenten o disminuyan en decenas iniciando del 10, 100, 1000 y luego iniciando de cualquier decena terminada en cero.
Aumenten o disminuyan en cualquier decena, centena, millar iniciando de cualquier decena terminada en cero, centena o millar, después iniciando de cualquier número.
Decenas y decenas dentro de las decenas
fácilmente componen y descomponen el diez.
comparan un número que no es una decena exacta con la decena exacta que va inmediatamente después y antes (p.ej. 164 es 6 antes de llegar al 170 o 4 más que 160).
¿Sabe el estudiante todas las sumas para formar el diez?
¿Puede el estudiante descomponer mentalmente y con facilidad cualquier número menor que diez?
¿Puede el estudiante sumar/restar mentalmente un número de un solo dígito a/de cualquier decena? (p.ej. 30 + 8, 56 – 6)
Utilice números que proporcionen oportunidades para que los estudiantes:
formen una decena dentro de una decena (63 + 7)
comparen un número con una decena exacta (356 comparado con 360)
Utilice juegos para fomentar la fluidez y las habilidades matemáticas mentales.
Agrupa decenas, centenas y millares
agrupan y reagrupan mentalmente las decenas, centenas, millares.
¿Cuáles son los números que presentan mayor reto para componer y descomponer mentalmente?
Utilice los problemas de multiplicación y de división con factor desconocido con grupos de 10.
Haga preguntas sobre los grupos de decenas y centenas (p.ej. ¿Qué número es 7 centenas? ¿Cuánto es 12 decenas? ¿Cuántas decenas se necesitan para formar el 342? ¿Qué es 5 centenas, 25 decenas y 2 unidades?)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 53 Traducido por Rosy Einspahr
Componentes del entendimiento del valor numérico (continuación)
Concepto o habilidad del valor numérico
Estudiantes con este entendimiento: Preguntas de evaluación Implicaciones instructivas
Descomposición y composición numérica
descomponen y componente números en muchas maneras.
¿Usa siempre el estudiante el mismo método para sumar y restar o considera las relaciones numéricas antes de elegir una estrategia?
¿Mentalmente, con qué números puede trabajar el estudiante o con cuáles puede modelar usando los bloques de base de diez o utilizando representaciones por escrito?
Utilice números que proporcionen muchas oportunidades para que los estudiantes:
escriban ecuaciones horizontalmente
trabajen con números que estén cerca de una decena exacta (78, 89), centena (197, 203) o millar (996, 1985)
practiquen encontrar la diferencia entre dos números.
descompongan un número en decenas exactas (120 en 70 y 50)
Relaciones multiplicativas
(Magnitud)
saben que cada posición es 10 veces el valor del lugar a la derecha y que cada posición tiene un valor de 1/10 del lugar a la izquierda.
saben de qué manera la magnitud de un número cambia con cierta operación y número.
saben el tamaño relativo (decenas, centenas, millares) de un número y predicen el resultado de un cálculo.
¿Qué indica la magnitud del estimado realizado por el estudiante sobre su sentido numérico y sobre cada operación?
¿Qué nociones indican el estimado realizado por el estudiante sobre cómo cambian los números a través de las operaciones?
¿Puede un estudiante explicar cómo cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha, y que cada posición tiene un valor de 1/10 de la posición a su izquierda?
¿Usa el estudiante los dobles o multiplica por diez cuando utiliza la tabla de proporciones?
Haga de la estimación una rutina antes de hacer cálculos.
Use todos los tipos de problemas y operaciones con números terminados en uno o más ceros y decimales para los estudiantes mayores.
Proporcione muchas oportunidades para que los estudiantes comparen relaciones numéricas aditivas y multiplicativas a través de la resolución de problemas y del trabajo numérico.
Utilice, “¿Cuántas veces más grande (o más pequeño)? al comparar números.
Enséñeles a los estudiantes como usar una tabla de proporciones para problemas de agrupación y partitivos. Vea el Capítulo 6, p.50 para ideas de práctica.
Estudie una serie de problemas que incluyan el trabajar con números terminados en uno o más ceros.
Utilice las actividades de inspección de ecuaciones.
Capítulo 4 Página 54 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Conceptos de las fracciones
1. Los problemas de nombrar las fracciones implican el nombrar las partes de los enteros o las porciones de un grupo de objetos.
2. Los problemas de compartir/partir implican el compartir o partir en partes iguales las cantidades que dan como resultado partes fraccionales.
3. Los problemas de fracciones como operador implican el uso de las fracciones para describir una parte de un entero o un grupo de objetos.
4. Los problemas de razón implican las relaciones entre los números enteros que son expresados como fracciones.
5. Los problemas de equivalencia implican fracciones equivalentes.
6. Los problemas de operaciones implican el sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones utilizando los métodos derivados de los estudiantes.
Cada categoría de conceptos tiene bastantes niveles de dificultad dependiendo del conocimiento sobre las fracciones, el cual es necesario para entender la situación o para resolver el problema.
Utilice estas evaluaciones de papel y lápiz con estudiantes individuales, con grupos pequeños o con la clase completa.
Pídales a los estudiantes que expliquen su proceso de razonamiento por escrito (usando palabras, dibujos o símbolos) como si se lo estuvieran explicando a alguien que no sabe mucho acerca de las fracciones.
Asegúrese de “entrevistar” a los estudiantes quienes tienen una base lógica o un diagrama incompleto o poco claro. Los estudiantes competentes deben (como mínimo) ser capaces de explicar su razonamiento oralmente utilizando un lenguaje matemático.
Propósitos de las evaluaciones de los conceptos de las fracciones:
Documentar las maneras en que el estudiante trabaja con las fracciones.
Determinar los tipos de modelos que el estudiante crea.
Monitorear el progreso del estudiante a través del tiempo.
Comunicar el progreso de un estudiante a su familia y futuros maestros.
Ilustrar el conocimiento conceptual de un estudiante.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 55 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 4 Página 56 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Nombrando las fracciones
Nombre________________________________ Fecha__________________________
Los dibujos de abajo representan tres tipos de pizza. Cada pizza tiene una forma diferente.
Cameron tenía mucha hambre y se comió la parte sombreada de cada pizza. Da el nombre de la fracción a las piezas que se comió y explica cómo la nombraste.
Pizza de queso
Cameron se comió ________ de la pizza de queso. Explica tu razonamiento
Pizza de salchicha
Cameron se comió ________ de la pizza de salchicha. Explica tu razonamiento
Pizza de pepperoni
Cameron se comió ________ de la pizza de pepperoni. Explica tu razonamiento
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 57 Traducido por Rosy Einspahr
Compartir / Partir
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. 1. Doce (12) personas comparten equitativamente tres (3) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona?
2. Ocho (8) personas comparten equitativamente tres (3) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona? ______
3. Nueve (9) personas comparten equitativamente doce (12) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona? ____
Capítulo 4 Página 58 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Operador
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.
Damon tiene 360 monedas en su colección.
1. 14
de las monedas son de un centavo. ¿Cuántas monedas son de un centavo? __________________
2. 310
de las monedas son de Canadá. ¿Cuántas monedas son de Canadá? ___________________
3. 56
de las monedas son más viejas que Damon. ¿Cuántas monedas son más viejas que Damon? ______
Un mercado local vende queso y carne para sándwiches. Agrega la parte que falta en cada dibujo.
A. El rectángulo de abajo representa 13
de una barra de queso. ¿Qué tan grande era la barra de queso?
B. El rectángulo de abajo representa 56
de una barra de queso. ¿Qué tan grande era la barra de queso?
C. El rectángulo de abajo representa 25
de una barra de queso. ¿Qué tan grande era la barra de queso?
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 59 Traducido por Rosy Einspahr
Equivalencia
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. A. Estás en una fiesta. Te puedes sentar a la mesa ya sea con 4 amigos que comparten un pequeño
pastel en partes iguales, o bien te puedes sentar a la mesa con 5 amigos que comparten un pequeño
pastel en partes iguales. ¿En cuál mesa te tocaría más pastel? __________________________
B. Abena camina 14
de una milla a la escuela. Bevin camina 38
de una milla a la escuela.
¿Quién camina la distancia más larga?________________________
C. Jemiah vive a 34
de milla de la piscina. Hikari vive a 23
de milla de la piscina. ¿Quién vive más cerca
de la piscina? ________________________
D. Lara camina 25 de milla a la biblioteca. Johan camina
710 de milla a la biblioteca.
¿Quién camina la distancia más corta a la biblioteca?________________________
E. Adrián corrió 47
de milla en la clase de educación física. Berta corrió 58
de milla en la clase de
educación física. ¿Quién corrió más lejos? ________________________
Capítulo 4 Página 60 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Operaciones S/R
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. A. Breezy utilizó 1
2 bote de pintura para un proyecto de arte. Bao utilizó 1
4 de bote de pintura para su
proyecto. ¿Cuánta pintura utilizaron Breezy y Bao en total? ____________
B. Hakim compró 56
de una yarda de tela. Él utilizó 23
de una yarda para hacer una bandera.
¿Cuánta tela le sobró? ____________
C. Choua decidió visitar a su abuela que vive a 10 kilómetros de su casa. Él corrió 2 58
kilómetros y
después caminó el resto del camino. ¿Cuántos kilómetros caminó Choua? ____________
Olivia mezcló 35
de un bote de pintura roja con 78
de un bote de pintura azul. ¿Cuánta pintura utilizó
en total? ____________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 61 Traducido por Rosy Einspahr
Operaciones M
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.
La Sra. Long necesita ordenar materiales para las clases de arte del próximo año.
A. Cada niño en una clase de 21 necesita 13
de una bola de estambre.
¿Cuánto estambre va a necesitar la Sra. Long para toda la clase? ____________
B. Cada niño en una clase de 17 utilizará 15
de una bolsa de cuentas.
¿Cuánto va a necesitar la Sra. Long para toda la clase?____________
C. Cada niño en una clase de 18 necesitará 34
de una barra de plastilina.
¿Cuánto va a necesitar la Sra. Long para toda la clase? ____________
Capítulo 4 Página 62 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Operaciones D
Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. 1. Ariana tiene 8 yardas de tela. Quiere hacer papalotes para vender. Un papalote requiere de 3
4 de yarda
de tela. ¿Cuántos papalotes puede hacer? ______________ ¿Cuánta tela le sobró? ___________
2. Bryene tiene 56
5 yardas de hilo. Ella quiere hacer juegos con el hilo. Cada juego requiere de 13
de
yarda. ¿Cuántos juegos puede hacer con el hilo? ________ ¿Cuánto hilo le sobró? __________
3. Carlos tiene 12 yardas de listón. Él quiere hacer moños. Un moño requiere de 23
1 de yardas de listón.
¿Cuántos moños puede hacer? _________________ ¿Cuánto listón le sobró? _______________
4. Mamá hace tartas de manzana. Ella utiliza 34
de una manzana para cada tarta. Si mamá tiene 20
manzanas, ¿cuántas tartas de manzana puede hacer? _____ ¿Cuánto de manzana le sobró?______
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 63 Traducido por Rosy Einspahr
Razón
Nombre_________________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.
Los estudiantes de la escuela primaria St. Clair van a ir a una excursión al museo de arte. Se necesitan 3 acompañantes por cada 24 estudiantes.
1. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para un grupo de 36 estudiantes? ____________
2. Si hay 5 acompañantes disponibles, ¿Cuántos estudiantes podrían ir a la excursión?____________
3. Si hay 18 estudiantes, ¿Cuántos acompañantes se necesitan?____________
Capítulo 4 Página 64 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Razón
Nombre________________________________ Fecha__________________________
Usa dibujos y palabras para demostrar como resolviste los problemas Etiqueta tus respuestas cuidadosamente.
Una receta requiere de 10 cucharaditas de polvo para limonada para hacer 32 onzas de
limonada.
1. ¿Cuántas cucharaditas de polvo necesitarías para hacer 64 onzas de limonada? ____________
2. ¿Cuántas cucharaditas de polvo necesitarías para hacer 16 onzas de limonada? ____________
3. ¿Cuántas cucharaditas de polvo necesitarías para hacer 48 onzas de limonada? ____________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 65 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 4 Página 66 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Ejercicios rápidos
Utilice estas evaluaciones para:
Conceptos de base de 10 – Estos ejercicios tratan el entendimiento de los conceptos de base de diez incluyendo el orden numérico y las operaciones.
Conceptos de las fracciones – Estos ejercicios tratan la representación, el tamaño relativo de las fracciones y la equivalencia sin un contexto.
Estos ejercicios se pueden usar como evaluaciones orales para evaluar a estudiantes de manera
individual o como evaluaciones de lápiz y papel en grupos pequeños o con toda la clase.
Cada ejercicio tiene un rango de números sugeridos para empezar. Utilice unos cuantos a la vez
según sea necesario.
Pídales a los estudiantes que expliquen los procesos de su razonamiento. Algunos ejercicios
funcionan mejor como “evaluaciones orales”.
Asegúrese de pedirles a los estudiantes quienes no tengan un razonamiento o diagramas muy
claros, que expliquen oralmente un poco más a fondo. Los estudiantes competentes deben
(como mínimo) explicar su razonamiento oralmente y por escrito utilizando dibujos, palabras o
símbolos.
Propósitos de los ejercicios rápidos:
Ilustrar los conceptos de base de diez o las fracciones que el estudiante entienda.
Documentar de qué manera un estudiante se involucra con estos conceptos.
Determinar los tipos de modelos o explicaciones que el estudiante crea.
Monitorear el progreso del estudiante a través del tiempo.
Comunicar el progreso del estudiante a su familia y futuros maestros.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 67 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación temprana sobre la base de diez Adaptado de Kamii, C. Young Children Reinvent Arithmetic: Implications of Piaget’s Theory, 1985
Esta evaluación puede permitir la comprensión de los conceptos iniciales de la base de diez a aquellos
estudiantes que tienen dificultades calculando con dígitos múltiples.
1. Pídale al estudiante que dibuje 25 rayitas.
2. Pídale al estudiante que escriba “veinticinco con números” en la misma hoja para demostrar que hay 25 rayitas.
3. Mientras encierra el “5” en el 25 pídale al estudiante que dibuje un círculo que demuestre “esa parte” de las rayitas.
4. Mientras encierra el “2” en el 25, pídale al estudiante que dibuje un círculo que demuestre “esa parte” de las rayitas.
Si el estudiante encierra 2 rayitas, pregúntele por qué no escribió un número para las rayitas que sobraron. Entonces encierre el 25 y pídale al estudiante que explique el número entero en relación al dibujo.
En seguida se presentan algunas posibles respuestas. La última respuesta indica el nivel de conocimiento
sobre la representación necesaria para entender la base de diez.
Nivel Respuesta
1 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera, pero que los dígitos no tienen significado numérico individualmente.
2 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera, pero inventa significados numéricos para cada uno de los dígitos. Por ejemplo, el estudiante piensa que el “5” significa grupos de 5 y que el “2” significa grupos de 2.
3
El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera y que los dígitos individualmente tienen significados relacionados a los grupos de decenas o unidades pero solo entiende parte o está confundido con la manera en que el sistema funciona. La suma de las partes no necesita igualar el entero. Por ejemplo, el estudiante piensa que ambos dígitos individualmente significan unidades o que el “5” representa las decenas y que el “2” representa las unidades.
4 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera y que el “5” representa las unidades, que el “2” representa las decenas, y que el entero debe ser igual a la suma de las partes.
Capítulo 4 Página 68 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral del orden numérico de base de diez Adaptado de S, Griffin, Number Worlds
Esta evaluación proporciona un entendimiento del conocimiento del estudiante sobre el orden numérico y
la diferencia.
Pregúntele al estudiante qué pensó o hizo para contestar cada pregunta. (Por ejemplo: “Pensé en las
decenas y sabía que el número siguiente estaría en los 800.”) Detenga la evaluación oral cuando el
estudiante utilice las estrategias de contar de uno en uno o no pueda contestar fácilmente a la pregunta.
Los números se pueden ajustar hacia arriba o hacia abajo para aprender más acerca del nivel de
enseñanza o nivel independiente del estudiante.
1. ¿Qué número está 4 números antes del 60?________
2. ¿Qué número está 10 números después del 99? ________
3. ¿Qué número está 9 números después del 999?________
4. ¿Cuánto es 10 más que 3794?_______
5. ¿Cuánto es 100 menos que 2037? _______
6. ¿Cuánto es 301–7?______
7. ¿Cuánto es 36–18?_______
8. ¿Cuál diferencia es la más grande, la diferencia entre 99 y 92 o la diferencia entre 25 y 11? ____
9. ¿Cuál diferencia es la más grande, la diferencia entre 48 y 36 o la diferencia entre 84 y 73?_____
10. ¿Cuál está más cerca al 1; -0.2 o 1.8?________
11. ¿Cuál está más cerca al 1; -1.4 o 3.7?________
12. ¿A cuál número se acerca más 148.26 a 150 o a 149?________
13. ¿Cuánto es 126 dividido entre 6? ________
14. ¿Cuánto es 248 dividido entre 4? ________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 69 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral relacionada con los cálculos de base de diez Extraído de las perspectivas internacionales en el aprendizaje y la enseñanza
Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes relacionan un cálculo con otro.
Escriba la primera ecuación 16 + 27 = 43, después pregúntele a un grupo pequeño de estudiantes que expliquen cómo la utilizaron para resolver cada una de las siguientes ecuaciones. Escriba las respuestas y razonamiento de los estudiantes.
Por ejemplo, un estudiante que piensa en 16 + 26 puede decir, “La respuesta sería 42 puesto que 26 es uno menos que 27 y ambos tienen 16.” Esta serie de preguntas también se podrían dar en un formato escrito y darle un seguimiento para aclarar las respuestas confusas.
¿Cómo podrías utilizar 16 + 27 = 43 para ayudarte a resolver los siguientes problemas?
16 + 26 =______, _____________________________________________________________________
27 + 16 =______, _____________________________________________________________________
160 + 270 = ______, __________________________________________________________________
15 + 27 + 15 = ______, ________________________________________________________________
43 – 16 = ______, _____________________________________________________________________
16 + 16 + 27 + 27 = ______, ____________________________________________________________
17 + 26 = ______, ____________________________________________________________________
Capítulo 4 Página 70 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral del conteo salteado
Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca del orden numérico al contar salteado.
Pídale al estudiante que le diga cuales números son los más fáciles para contar salteado. Registre el
conteo de esos números primero. Luego pídale al estudiante que le diga cual le gustaría intentar
enseguida. Cuando el estudiante se toma más de unos cuantos segundos entre los números, pídale al
estudiante que le diga qué estrategia utilizó para llegar al siguiente número. Si el estudiante cuenta de
uno en uno, deténgase e intente otro número. Si el estudiante usa estrategias de sentido numérico,
anote la estrategia y continúe.
Dibuje un pequeño arco (entre dos números) para indicar cuando el estudiante baja la velocidad. Pídale
al estudiante que le diga como supo el número siguiente. Anote la estrategia. Escriba la fecha arriba del
último número en el conteo. Por ejemplo:
7 7 14 21 28 35 42 49 56 cuenta de 1 en 1 para pasar las decenas
5/17
Estudiante___________________________________ Examinador_______________________________
2
3
4
5
6
7
8
9
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 71 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de estimación de base de diez
Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes hacen un estimado de sus
cálculos.
Escriba o demuestre la ecuación, después pídale al estudiante que sin calcular diga si la expresión está en
las decenas (10-99), centenas (100-999), o millares (1000-9999). Por ejemplo, un estudiante que piensa
en 724 + 302 puede decir, “Millares, porque 700 y 300 son 1,000 y el resto de las decenas y unidades
forman más de 1,000.”
Escriba la respuesta y el razonamiento del estudiante. Intente:
724 + 302 ______, ____________________________________________________________________
36+ 54 ______, ______________________________________________________________________
243 + 679 ______, ____________________________________________________________________
134 + 979 ______, ____________________________________________________________________
249 + 457 + 391 ______, ______________________________________________________________
301 – 198 ______, ____________________________________________________________________
3027 – 283 ______, ___________________________________________________________________
11 × 256 ______, _____________________________________________________________________
638 × 5 ______, ______________________________________________________________________
2415/10 ______, _____________________________________________________________________
278/10 ______, ______________________________________________________________________
47,609/100 ______, ___________________________________________________________________
Capítulo 4 Página 72 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación de fracciones doblando papel
Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes visualizan las partes de la
fracción en un modelo bidimensional de papel.
Dele a cada estudiante varias hojas de papel tamaño carta. Repase las técnicas para doblar en mitades,
tercios, cuartos y quintos. Después proporcione una serie de indicaciones sobre cómo doblar el papel
como las que se presentan a continuación.
• Dobla tu hoja a la mitad, después en tercios. ¿Cuántas partes iguales tendrá tu hoja cuando la
abras? Escribe el nombre de las partes en fracción en la parte de afuera de la hoja que se dobló.
• Dobla tu hoja en quintos, después en tercios, después a la mitad. ¿Cuántas partes iguales tendrá
tu hoja cuando la abras? Escribe el nombre de las partes en fracción en la parte de afuera de la
hoja que se dobló.
Intente cualquier combinación de dobleces. Observe quien puede conceptualizar mentalmente cómo los
dobleces cambian el número de partes que resultarán después de doblar y qué nombre en fracción se le
da a cada parte.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 73 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del tamaño y orden de las fracciones
Esta evaluación proporciona un entendimiento sobre el conocimiento de los estudiantes sobre la notación
de fracciones, el tamaño relativo de las fracciones y las relaciones con los puntos de referencia de 1 y ½
sin usar un modelo o un común denominador. Escriba o muestre el par de fracciones y pídale al
estudiante que le diga o escriba cuál es más grande y que le explique por qué. Utilice algunos o todos
según sea necesario.
Intente estas. ¿Cuál número es más grande en cada par?
1 43 ____________________________________________________________________________
310 1
2 ____________________________________________________________________________
47 5
7 ____________________________________________________________________________
16 1
3 ____________________________________________________________________________
58 5
3 ____________________________________________________________________________
34 4
5 ____________________________________________________________________________
35 5
8 ____________________________________________________________________________
37 5
8 ____________________________________________________________________________
98 4
3 ____________________________________________________________________________
46 7
12 ___________________________________________________________________________
89 9
8 ____________________________________________________________________________
58 6
10 ___________________________________________________________________________
Análisis
Busque explicaciones que usen 0, ½, o 1 como aspectos clave o puntos de referencia eficaces que
incluyan una noción de los siguientes conceptos:
• Más de las partes del mismo tamaño tales como 47 vs. 5
7
• El mismo número de partes pero de diferente tamaño tales como 58 vs. 5
3
• Más o menos que un medio o un entero tales como 37 vs. 5
8 o 89 vs. 9
8
• Distancia de un medio o un entero 46 vs. 7
12 o 98 vs. 4
3
Capítulo 4 Página 74 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación para la estimación de fracciones
Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de qué es lo que saben los estudiantes sobre el
cálculo de fracciones sin usar un modelo o un común denominador.
¿Cuáles de las siguientes expresiones es menos que uno? Explica tu razonamiento.
510
+ 36
____________________________________________________________________________
38
+ 5
10 ____________________________________________________________________________
12
+ 35
_____________________________________________________________________________
58
+ 56
_____________________________________________________________________________
Estas expresiones están cerca de un número entero. ¿Qué número es ese? Explica tu razonamiento.
18
3 + 56
2 _______, _________________________________________________________________
910
+ 78
2 _______, __________________________________________________________________
12
6 - 13
2 _______, __________________________________________________________________
12
3 - 9
10 _______, __________________________________________________________________
1213
+ 79
_______, ____________________________________________________________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 4 Página 75 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 4 Página 76 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Kamii, C. (2004). Young Students Continue to reinvent arithmetic 2nd edition. New York, NY: Teachers College Press. Stenmark, J. K., & Bush, William S. (2001). Mathematics assessment: A practical handbook K-2.
Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Sutton, J. & Krueger, A. (2002). EDThoughts: What we know about mathematics teaching and learning. Aurora, CO: Mid-continent Research for Education and Learning. Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades 3-5. Boston, MA: Allyn and Bacon Pearson Education, Inc.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
CAPÍTULO 5
Organizándose
para la
instrucción
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 5 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
ORGANIZÁNDOSE PARA LA INSTRUCCIÓN
Los maestros pueden proporcionar las oportunidades necesarias para que los estudiantes
sean competentes en las matemáticas, mediante la planeación de una instrucción en
secuencia que incluya todas las áreas de las matemáticas como lo requieren los
estándares matemáticos de la escuela primaria del Distrito Escolar Metropolitano de
Madison.
La planeación de la instrucción asegura un enfoque sistemático que apoya un plan de
estudios sólido y conectado que les permite a los estudiantes ver las conexiones entre los
números, la geometría, la medición y la información.
Para éste documento, basamos esta instrucción en el siguiente diagrama.
Instrucción
Resolución de problemas (Instrucción diferenciada en grupos pequeños seguida por trabajo independiente o investigaciones con todo el grupo)
30-45 minutos al día
Trabajo numérico (Toda la clase)
o Inspección de
ecuaciones (Toda la clase o en grupos pequeños)
10-15 minutos al día
Práctica Fluidez y Mantenimiento
(Práctica individual diferenciada)
10-15 minutos al día (se puede asignar como tarea)
El bloque de matemáticas dividido en cuatro partes mantiene la resolución de problemas
como la parte más importante de la instrucción. Los estudiantes aprenden y practican
conceptos numéricos a lo largo del año escolar durante el trabajo numérico y la
inspección de ecuaciones. La fluidez y el mantenimiento les permite recordar a los
estudiantes sobre el aprendizaje previo y les proporciona práctica con conceptos nuevos.
Los maestros pueden organizar ese bloque en cualquier secuencia que satisfaga de
mejor manera las necesidades del estudiante y del horario de la clase.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Organizándose para el año escolar
Los estándares del MMSD proporcionan la base para planear el programa de estudios a
lo largo del año escolar. Los estándares están vinculados con las estructuras de
evaluación del estado de Wisconsin (Wisconsin State Assessment Frameworks) en
conjunto con los principios del consejo nacional de maestros de matemáticas (NCTM por
sus siglas en inglés) del año 2000 y con los estándares matemáticos escolares.
Organizándose para el año escolar incluye:
conocer los estándares del MMSD de acuerdo al nivel del grado (ver el Capítulo 6: Resolución de problemas)
escoger o crear materiales que aseguren que los estudiantes satisfagan los estándares
reconocer y utilizar las interrelaciones entre los temas como parte del plan de instrucción (por ejemplo: se pueden estudiar las fracciones en número, medida y geometría)
evaluar el aprendizaje del estudiante antes, durante y después de estudiar un concepto
anticipar el programa de estudios que cubra los estándares en una forma oportuna.
No hay recomendaciones acerca del orden en que se deben presentar los temas de
estudio. Sin embargo, esos temas que requieren más conocimiento numérico (tales como
“rango” o “promedio” en la unidad de datos) pueden requerir que se dicten más tarde en
el año escolar. Aquellos temas que toman más tiempo para aprender (tales como
fracciones y proporciones) es necesario que se les preste atención durante todo el año.
La planificación anual requiere una evaluación frecuente del progreso y del alineamiento
de la instrucción, de tal manera que el aprendizaje del estudiante se relacione con los
objetivos del distrito y del estado. Si bien, muchos estudiantes solo alcanzarán la
competencia en ciertos parámetros del contenido, es importante que los maestros
encaren las necesidades de aprendizaje individuales de cada estudiante. Algunos
estudiantes necesitarán ajustes en el contenido más allá de los estándares, mientras que
otros necesitarán más estudio para satisfacer los estándares.
Capítulo 5 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Planeando para la enseñanza diaria
Los maestros en los grados intermedios planean para todo lo que impacta la enseñanza. Ellos
consideran asuntos tales como los intereses del estudiante, el arreglo del salón y los horarios
diarios a medida que planean la instrucción de las matemáticas para cada día. Además, los
maestros planean todo el año por adelantado para asegurarse de cubrir todos los temas
contemplados en los estándares y en las evaluaciones.
Hay tres cosas importantes para tener en cuenta al hacer la planeación:
1. los objetivos y las actividades más efectivas para el aprendizaje del contenido de las matemáticas
2. las necesidades de cada estudiante basándose en las evaluaciones
3. cubrir todos los estándares
La efectividad de la instrucción diaria depende de hacer la planeación de los materiales, los
grupos y la cantidad de tiempo necesaria. Cuando planean, los maestros consideran lo siguiente:
objetos manipulables y otros materiales necesarios (por ejemplo: diarios, pizarrones blancos, marcadores de borrado en seco, guías matemáticas de referencia) y formas de organizar los materiales para que los estudiantes puedan tener acceso a ellos.
organización del tipo y tamaño de los grupos y de la manera en que los estudiantes se moverán de grupo en grupo.
asignar la cantidad de tiempo necesaria para enfocarse en la resolución de problemas, inspección de ecuaciones y fluidez y mantenimiento.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Los objetos manipulables para la enseñanza en los grados intermedios
Los objetos manipulables les dan a todos los estudiantes acceso y posesión para
desarrollar los modelos que respaldan sus explicaciones matemáticas. Los maestros
dependen del acceso inmediato a los objetos manipulables para ayudarles a los
estudiantes a materializar sus pensamientos, especialmente cuando las habilidades del
lenguaje están emergiendo. El tener objetos manipulables a la mano es esencial para
edificar el conocimiento de los estudiantes durante la enseñanza de las matemáticas en
los grados intermedios. Los estudiantes utilizan objetos manipulables para:
• crear modelos numéricos (números enteros, fracciones y decimales)
• hablar acerca de las soluciones y justificarlas
• explorar la geometría, la medición y las relaciones numéricas
Los objetos manipulables que se utilizan diariamente deben estar disponibles en cada
salón de clases. Otros materiales, que los estudiantes utilizan ocasionalmente, tales como
balanzas, juegos de figuras geométricas o juegos de herramientas para medir en la
clase, pueden guardarse en un lugar central para que sean compartidos a medida que se
necesiten en las clases. Considere crear una caja de herramientas matemáticas para el
estudiante. Las siguientes recomendaciones de objetos manipulables para los grados
intermedios están basadas en una clase de 30 estudiantes.
Objetos manipulables para números, operaciones y relaciones algebraicas: Los objetos
manipulables ayudan a los estudiantes de
Kinder a 12.º grado a construir modelos
mentales.
□□ tablas numéricas en una variedad de formas (ver el apéndice para ejemplos de décimos, centésimos, comenzando con el uno, cero y vertical)
□□ dados numéricos con puntos y números
□□ flechas de valor numérico – un juego para el maestro para cada salón y 5 juegos para los estudiantes (Vea el Capítulo 6: Representación)
Durante los grados intermedios, los objetos
manipulables proveen modelos fundamentales
para desarrollar el conocimiento de base
de diez y para entender la geometría y la
medición.
□□ bloques de valor numérico (transparentes y que se ensamblan)
50 cubitos de unidades por estudiante
20 barras/palitos de diez por estudiante
5 planos de cien por estudiante
varios cubos de mil (para la clase)
□□ tarjetas numéricas (una pila para cada estudiante, con 4 juegos del 1 al 10)
□□ monedas y billetes de 1 dólar
□□ calculadoras (una por estudiante)
□□ opcional
Reloj de manecillas [Clock-o-Dial] (una por clase)
Relojes miniatura con engranes [Mini Judy-clocks with gears] (solamente para el 3er grado)
Ábaco (3 por clase)
Cordel de 20 cuentas rojas y blancas de ¾” (uno por clase)
Capítulo 5 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Objetos manipulables para la geometría *Indica un objeto útil para la caja de herramientas de un estudiante
□□ Bloques de atributo (8 juegos) – 3er grado
□□ Objetos manipulables para explorar figuras bidimensionales incluyen:
Geoplanos (1 por estudiante + un juego para usar con el retroproyector)
Plantilla de figuras geométricas (una por estudiante)
Pentominós (1 juego para el estudiante + un juego para usar con el retroproyector) La biblioteca nacional de objetos manipulables virtuales, una
biblioteca digital que contiene programas de Java y actividades para las
matemáticas de Kinder al 12.º grado, puede proveer un
acceso fácil a objetos manipulables para los
estudiantes que usan la computadora.
Polígonos transparentes (3 cubetas)
Tangramas (1 juego por estudiante + un juego para usar con el retroproyector)
opcional
Isotiles (varios juegos para grupos pequeños o para instrucción individual)
Juego de Trigram (varios juegos para grupos pequeños o para instrucción individual)
□□ Objetos manipulables para explorar figuras tridimensionales incluyen:
Geoblocks (3 cajas por clase)
sólidos geométricos de plástico (rellenables) (8 juegos)
Marcos Polydron (3 juegos para la clase)
cubos conectables (1,000 por clase) http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html
sólidos geométricos de madera (8 juegos)
□□ *Plantilla geométrica (1 por estudiante)
Objetos manipulables para la medición *Indica objetos útiles para la caja de herramientas de un estudiante
□□ *regla para medir ángulos (una por estudiante)
□□ *compás para trazar círculos (uno por estudiante)
□□ *transportador (uno por estudiante)
□□ *regla(s) (1/8” y cm.) (una por estudiante)
□□ yardas y metros (15 por clase)
□□ fichas cuadradas (7-8 cubetas)
□□ cubos de 1” (7-8 cubetas)
□□ medidor de líquidos (1 juego para demostración)
□□ termómetros (Centígrados & Fahrenheit) (uno por estudiante)
□□ báscula científica y báscula personal
Otros materiales
□□ diarios de los estudiantes (cuadriculados o de rayas)
□□ carpetas para guardar las muestras del trabajo de los estudiantes
□□ pizarrones blancos y marcadores (para mostrar soluciones durante el trabajo numérico o la resolución de problemas)
□□ guías matemáticas de referencia
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
La administración de los objetos manipulables
Los maestros organizan los objetos manipulables para:
• permitir a los estudiantes su acceso y uso independiente
• centrar la atención en las ideas matemáticas
• enfatizar el valor de modelos para entender los conceptos matemáticos
Comunique claramente de qué manera los estudiantes deberán tomar los objetos manipulables y luego ponerlos en su lugar.
• ¿Obtiene cada niño las cosas que necesita o hay una persona encargada de repartir y recoger los objetos manipulables?
• ¿Cuándo se les permite o se espera que los estudiantes consigan los objetos manipulables?
• ¿Cuántos estudiantes compartirán cierto objeto manipulable?
• ¿Están los materiales organizados de tal manera que todos los estudiantes los estén usando para crear modelos y resolver los problemas?
Guarde los objetos manipulables de tal manera que permita su uso de forma individual y por grupos pequeños.
Etiquete los lugares para guardar cada tipo de material.
Guarde los materiales que apoyan las actividades de aprendizaje del momento, en lugares de fácil acceso.
Asegúrese de que los estudiantes sepan cuales materiales pueden utilizar.
Las herramientas matemáticas son
“amplificadores de las capacidades humanas”
-Bruner, 1966
Capítulo 5 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Organizar los materiales para concentrar la atención en las ideas matemáticas
Guarde los bloques de base de diez en bandejas, de tal manera que cada estudiante pueda tener fácil acceso a ellos cuando los necesite. (Vea las etiquetas en el Apéndice)
Coloque todos los objetos manipulables de geometría juntos y marque esa área como Geometría. Haga lo mismo con los materiales para la medición y los números. Esta estructura indica conexiones entre las herramientas y refuerza el vocabulario matemático. (Vea las etiquetas en el Apéndice)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Organización que apoya el trabajo individual, en grupos pequeños y grandes en los grados intermedios
Los estudiantes de todos los grados dependen de las rutinas. Las rutinas les permiten
maximizar el tiempo de instrucción y enfocarse en el razonamiento matemático que
requiere cada actividad, en lugar de enfocarse en situaciones sociales o de
comportamiento que puedan surgir.
Planee una secuencia durante la hora de matemáticas de tal manera que los estudiantes puedan anticipar las actividades y las expectativas.
Determine las maneras para que los estudiantes puedan hacer la transición de un grupo grande a un grupo pequeño a actividades independientes.
Establezca expectativas claras acerca de cómo se va a utilizar cada área del salón durante la hora de matemáticas.
Organice el trabajo individual para que los estudiantes puedan tener acceso a él y entregarlo independientemente. Muchos maestros colocan el trabajo individual en carpetas con compartimientos, en cajas de matemáticas, o en archivos colgantes.
Asignación de tiempo durante la hora de matemáticas Los estudiantes en los grados intermedios:
• empiezan a depender de su entendimiento intuitivo informal para ayudarse a que
tengan sentido para ellos las nuevas situaciones de problemas Se utiliza como
mínimo una hora de
cada día escolar para
la enseñanza de las
matemáticas.
• aumentan su vocabulario para aprender a reflexionar sobre su trabajo y a compartir su razonamiento
• se dan cuenta de los patrones cuando trabajan con números y figuras • aprenden nuevos símbolos matemáticos y comienzan a entender que hay
convenciones en las maneras en que se utilizan esos símbolos • usan su fuerte sentido inquisitivo para empezar a hacer generalizaciones acerca
de las propiedades y operaciones numéricas
Para tener tiempo de desarrollar éste dominio y confianza, la instrucción de las
matemáticas fácilmente toma como mínimo una hora al día. Esta hora se llena con
experiencias agradables que enfocan la atención de los estudiantes en el aprendizaje de
convenciones y conceptos matemáticos importantes. Se requiere de experiencias
repetitivas para obtener un entendimiento conciso de los conceptos, las convenciones, y
las habilidades matemáticas nuevas. Estas experiencias están guiadas por el uso
cuidadoso de problemas interesantes por parte del maestro y de las reflexiones de los
estudiantes sobre sus soluciones. Los estudiantes también tienen tiempo para practicar
sus habilidades y desarrollar fluidez durante esta hora.
Capítulo 5 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estructurando la hora de matemáticas
Los maestros organizan la instrucción de las matemáticas alrededor de los cuatro
componentes del bloque de matemáticas. Los cuatro componentes son: resolución de
problemas, trabajo numérico, inspección de ecuaciones y fluidez y mantenimiento.
• La resolución de problemas es la parte central de la instrucción matemática. Los problemas pueden tener un contexto y requerir de más de una operación para resolverlos. Los problemas pueden también incluir geometría, medición o análisis de información y probabilidad.
• Durante el trabajo numérico los estudiantes tienen la oportunidad de pensar acerca de los números por sí mismos fuera de contexto, lo cual es también un elemento importante en la instrucción de las matemáticas.
• Los estudiantes en tercero, cuarto y quinto grado, desarrollan la habilidad de pensar acerca de las relaciones numéricas a través de la inspección de ecuaciones. Ellos hacen esto por medio del análisis de las maneras en que los problemas de Verdadero/Falso o las ecuaciones numéricas abiertas comunican relaciones de igualdad.
• Cuando los estudiantes son capaces de utilizar su nuevo conocimiento y sus habilidades independientemente, necesitan práctica para poder desarrollar la fluidez. La cuarta parte de la instrucción, fluidez y mantenimiento, se enfoca en el trabajo independiente de las matemáticas.
La tabla 5.1 muestra la cantidad de tiempo que se recomienda asignar a cada una de las
cuatro partes del bloque de matemáticas. Las líneas dentro del diagrama están
punteadas para indicar que las actividades en cada parte pueden cruzar fácilmente a los
otros componentes. Los maestros pueden organizar la secuencia de las partes en la
manera que mejor satisfaga las necesidades de los estudiantes y el horario de la clase.
Instrucción
Resolución de problemas (Instrucción diferenciada en grupos pequeños seguida por trabajo independiente o investigaciones con todo el grupo)
30-45 minutos al día
Trabajo numérico (Toda la clase)
o Inspección de
ecuaciones (Toda la clase o grupo pequeño)
10-15 minutos al día
Práctica Fluidez y mantenimiento
(Práctica individual diferenciada)
10-15 minutos al día (se puede asignar como tarea)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Las ventajas de organizar la hora de matemáticas
El estructurar la hora de matemáticas de esta manera:
• mantiene la atención en los conceptos y procesos matemáticos importantes
• facilita el uso de entornos apropiados para que los estudiantes desarrollen su
competencia (habilidad) dominio (destreza) fluidez (facilidad)
• proporciona tiempo para diferenciar en los grupos pequeños o las necesidades individuales basándose en la información de las evaluaciones.
• proporciona oportunidades para que los estudiantes examinen los mismos conceptos dentro de una variedad de contextos de aprendizaje.
Capítulo 5 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Trabajo numérico o inspección de ecuaciones (alrededor de 15 minutos)
En los grados de 3.o a 5.o, el dedicar quince minutos diarios para pensar acerca de los
números, operaciones y conceptos representados en ecuaciones proporciona una
experiencia consistente que promueve un fuerte desarrollo conceptual en la preparación
para el álgebra. El trabajo numérico y la inspección de ecuaciones:
• les da a los estudiantes la oportunidad de analizar los convencionalismos de las representaciones simbólicas y de considerar las propiedades de los números y de las operaciones durante todo el año, ya sea en una clase completa o en un grupo pequeño.
• desarrolla el conocimiento de descomponer y componer números, operaciones, base de diez, fracciones, e igualdad en un contexto numérico.
• suplementa el trabajo en la resolución de problemas y la fluidez y asegura que se continúe desarrollando el sentido numérico durante todo el año.
Para más detalles, vea el capítulo 7: Trabajo numérico y el capítulo 8: Inspección de ecuaciones.
Resolución de problemas (30 a 45 minutos)
En los grados de 3.o a 5.o, los estudiantes pueden pasar más tiempo trabajando por sí
mismos, con problemas más complejos que se han escogido de acuerdo a su nivel de
instrucción. La resolución de problemas es diferenciada para así satisfacer las
necesidades de aprendizaje individualizadas de cada estudiante. Sin embargo, también
puede incluir la instrucción de nuevos temas para toda la clase o las investigaciones en
geometría, medición y análisis de información.
La resolución de problemas:
• proporciona tiempo para que los estudiantes trabajen independientemente, en parejas o en grupos pequeños.
• proporciona oportunidades para que cada estudiante, en una situación de grupo pequeño, hable acerca de las estrategias para resolver los problemas con la ayuda de un maestro facilitando la conversación.
• proporciona un momento óptimo para la evaluación mientras el maestro observa y escucha a los estudiantes explicar su razonamiento.
• proporciona tiempo para que los estudiantes aprendan a representar y a comunicarles a sus maestros y a sus compañeros sus estrategias para resolver los problemas.
Para más detalles, vea el capítulo 6: Resolución de problemas.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Fluidez y mantenimiento (alrededor de 15 minutos o como tarea)
Los estudiantes en los grados intermedios necesitan la cantidad de tiempo adecuada
para desarrollar la fluidez con las operaciones numéricas, las estimaciones o el cálculo
aproximado y el cálculo mental matemático. Las actividades de fluidez y mantenimiento
pueden ofrecer la práctica que tanto se necesita mientras los estudiantes se reúnen en
grupos pequeños con el maestro. La fluidez y mantenimiento incluye:
• práctica diaria con conceptos al nivel independiente del cálculo mental de cada estudiante, la cual se puede asignar como tarea.
• juegos numéricos, práctica de las operaciones, rompecabezas geométricos y problemas
Para más detalles, vea el capítulo 9: Fluidez y mantenimiento
Capítulo 5 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Tres maneras para organizar
I.
Un maestro comienza la hora de matemáticas involucrando a todo el grupo en
actividades de trabajo numérico o inspección de ecuaciones. En ocasiones los estudiantes
dirigen la clase en las rutinas del trabajo numérico.
Después este maestro presenta varios problemas matemáticos para que los estudiantes
los resuelvan independientemente en la mesa con sus grupos. Cada problema tiene un
rango de opciones numéricas, con una serie que el maestro ha encerrado previamente
en un círculo. Este maestro les pide a los estudiantes que resuelvan primero el problema
con la serie de números encerrados en el círculo. Si les queda tiempo ese día, pueden
intentar resolver las otras series de números.
Cada maestro organizará la hora de
matemáticas de la manera que sea más
efectiva para los estudiantes y su
situación de enseñanza.
El maestro se reúne con los estudiantes en sus grupos pequeños para guiar su desarrollo
de las estrategias de resolución de problemas para el razonamiento numérico y
algebraico.
Una vez que los estudiantes hayan completado el trabajo en los problemas asignados,
pasan a trabajar en las actividades independientes de fluidez y mantenimiento, que
tienen en sus carpetas o en las cajas de matemáticas.
Una vez por semana este maestro evalúa oralmente a cada estudiante en sus
operaciones numéricas básicas, mientras que los otros resuelven rompecabezas
geométricos y juegan con juegos numéricos.
Cuando se va a introducir un tema nuevo (tal como, “plantillas de un cubo abierto”) este
maestro utiliza actividades para toda la clase (tales como, “encontrar todos los
pentominós”), durante la resolución de problemas, para evaluar el conocimiento de los
estudiantes y determinar en cuáles aspectos del tema es necesario dar más énfasis
dentro de los grupos pequeños o individualmente (tal como la congruencia). Es entonces
cuando la resolución de problemas en grupos pequeños apoya las necesidades
específicas de los estudiantes de manera individual.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
II.
Esta escuela usa un programa comprado el cual requiere que se dividan los estudiantes
en dos clases, una con todos los de cuarto grado y la otra con todos los de quinto grado.
Este maestro se queda con todos los estudiantes de 4.o grado pero los estudiantes de 5.o
grado se pasan a un salón de 4/5 y viceversa.
El maestro enfoca la atención de los estudiantes a las actividades de fluidez y
mantenimiento escritos en el pizarrón para que sepan lo que pueden hacer cuando
terminen la asignatura del día. Después, el maestro facilita una actividad de iniciación
relacionada a la lección del día, generalmente trabajo numérico o inspección de
ecuaciones.
Los estudiantes comienzan el trabajo en las páginas asignadas de su libro de resolución
de problemas. Varios estudiantes tienen asignaturas diferentes. Mientras un grupo
trabaja en el mismo tema pero en problemas más avanzados, otro grupo se reúne con el
maestro quien modifica el trabajo de tal manera que el concepto más importante sea
accesible. El maestro promueve el razonamiento de manera independiente, el usar la
lógica y compartir las estrategias, al igual que cómo comunicar su razonamiento
utilizando una notación matemática simbólica. El maestro se reúne con dos grupos cada
día para dialogar acerca de su trabajo y para atraer la atención de los estudiantes al
concepto que trata la lección.
El maestro recoge los libros de ejercicios de los estudiantes que no estén trabajando ese
día en un grupo de matemáticas y escribe una pregunta o comentario sobre un aspecto
en particular del trabajo de los estudiantes. El maestro espera que ellos escriban una
respuesta en su libro de ejercicios. Tan pronto como terminen su trabajo, los estudiantes
pasan a trabajar en actividades de fluidez y mantenimiento.
Capítulo 5 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
III.
Este maestro empieza cada día con un repaso del trabajo de fluidez y mantenimiento o
del trabajo numérico que fue asignado como tarea el día anterior. El maestro facilita una
discusión sobre las estrategias y los estudiantes revisan su trabajo para ver si está
correcto. Después, el maestro asigna los problemas del día.
Estos problemas provienen de una variedad de fuentes incluyendo problemas escritos
por el maestro que se ajustan a un esquema anual de trabajo que cubre los estándares
para 4.o y 5.o grado. En algunos temas, la clase entera trabaja en los mismos problemas,
pero en otros temas, el maestro forma grupos pequeños (basándose en la evaluación)
para darles instrucción dirigida. Los estudiantes tienen un libro de problemas de
matemáticas para el estudiante que deben resolver una vez que hayan terminado el
trabajo asignado.
Dos veces por semana, el maestro extiende la clase de matemáticas 15 minutos con el
propósito de que la clase entera tenga una discusión sobre la inspección de ecuaciones.
Un día a la semana, generalmente el viernes, el maestro evalúa a los estudiantes uno por
uno, mientras que el resto de los estudiantes en la clase juegan juegos matemáticos,
resuelven rompecabezas lógicos o geométricos en grupos pequeños o desarrollan
actividades en la computadora.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 5 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K.C., Wearne, D. & Hanlie, M. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Madison Metropolitan School District. (2006). MMSD K-5 Grade-level Mathematics Standards. Madison, WI.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles & Standards for School Mathematics. Reston, VA: AN online version retrieved April 2, 2007 from http//standards.nctm.org/
National Council of Teachers of Mathematics. (2006). Curriculum Focal Points for Pre-Kindergarten through Grade 8 Mathematics. Reston, VA: AN online version retrieved April 2, 2007 from http//standards.nctm.org/
Ronfeldt, S. and Burns, M. 2003. Third-Grade Math: A Month-To-Month Guide. Math Solutions Publications.
Wisconsin Department of Public Instruction. Wisconsin Knowledge and Concepts Examination assessment Framework. Madison, WI
Guías de referencia para las matemáticas en los grados intermedios:
Cavanaugh, M. (2006). Math to know: Grade levels 3-4. Great Source Education Group, Houghton Mifflin, Inc.
Lilly, M. (2006). Math at hand: Grade levels 5-6. Great Source Education Group Houghton Mifflin, Inc.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
CAPÍTULO 6
Resolución
de
problemas
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 6 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Las actividades de resolución de problemas invitan al estudio de las matemáticas y
proporcionan un contexto en el cual se aprenden los conceptos y las habilidades. A
través de la resolución de problemas los estudiantes aprenden a utilizar su conocimiento
de manera eficiente, lo cual a su vez desarrolla competencia, una creencia productiva en
sus habilidades para trabajar en las matemáticas y prepararlos para la vida diaria. Resolución de problemas
El bloque para la resolución de problemas
incluye la resolución de problemas en todas las áreas de contenido: números, operaciones y relaciones algebraicas; geometría, medición y análisis de datos y probabilidad.
puede llevarse a cabo en la clase completa o en grupos pequeños.
requiere de 30 a 45 minutos de la hora de matemáticas (dependiendo del tamaño del grupo y del propósito)
puede servir para propósitos múltiples, tales como:
• introducir conceptos nuevos
• desafiar a los estudiantes para que desarrollen y apliquen estrategias eficaces
• proporcionar un contexto para mejorar las habilidades
utiliza problemas que:
• emergen del ambiente estudiantil, de un contexto familiar, de una experiencia común o meramente de contextos matemáticos (no de un problema matemático)
• se pueden encontrar en los materiales curriculares escolares
• permiten soluciones de estrategias múltiples
• conducen a la justificación y la generalización
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
El bloque de resolución de problemas les permite a los estudiantes desarrollar un
conocimiento nuevo dentro de un ambiente de apoyo en el salón de clases. Durante la
resolución de problemas, los estudiantes:
identifican y entienden los elementos de problemas desafiantes y exploran nuevas relaciones numéricas
S.Lempp, investigador matemático para la
Universidad de Wisconsin, 2007
Por otro lado, a menudo uno regresa a trabajar en el mismo
problema años más tarde habiendo ya obtenido una
apreciación diferente para ese entonces, lo cual le permite a
uno “ver” una solución que antes nos había fallado.
En matemáticas, cuando uno trata de resolver un problema
abierto, hay una gran probabilidad de que uno no tenga éxito o que solamente
alcance una solución parcial, lo cual hace que algunas veces
sea bastante frustrante trabajar en investigaciones
matemáticas.
desarrollan estrategias de comprensión que se requieren para entender los problemas o ejercicios
comparan estrategias de solución para construir conexiones entre ideas o conceptos
entienden y usan diferentes representaciones para las soluciones
desarrollan justificaciones para sus estrategias de solución, basado en las ideas matemáticas aceptadas
aumentan la flexibilidad, la eficacia y la precisión en el cálculo
comunican las soluciones oralmente y por escrito para que los compañeros de clase y los maestros puedan entender los diferentes aspectos de una solución
aprenden que la perseverancia es un aspecto importante en la resolución de problemas.
le dan un sentido a las matemáticas y toman riesgos intelectuales al hacer preguntas, descubrir generalizaciones, sacar conjeturas y contribuir al debate matemático
El bloque de resolución de problemas les permite a los maestros:
obtener información sobre el conocimiento conceptual y procesal de cada estudiante. Las explicaciones escritas y orales, dibujos y modelos pueden proporcionar evidencia del pensamiento de los estudiantes. Los maestros deben ver más allá de la respuesta y evaluar el razonamiento del estudiante que se encuentra detrás de la solución.
diferenciar la instrucción al:
• escoger o ajustar problemas o ejercicios para que se ajusten a las metas matemáticas de aprendizaje
• agrupar a los estudiantes de manera flexible para cubrir las necesidades de aprendizaje
Capítulo 6 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Las actividades de resolución de problemas retan a los estudiantes a resolver los
problemas en todas las áreas de contenido: números, operaciones y relaciones
algebraicas; geometría, medición; y análisis de datos y probabilidad. Los maestros y los
estudiantes tienen que establecer normas del salón de clases de tal manera que las ideas
de cada uno sean valoradas y que cada estudiante obtenga la confianza y seguridad para
resolver los problemas.
Dependiendo del propósito del ejercicio de resolución de problemas (p. ej. fomentar el
crecimiento en un área de contenido, expandir el entendimiento de un nuevo conjunto
de números) un maestro planea trabajar con un grupo grande, con un grupo pequeño o
con un estudiante durante las actividades de resolución de problemas.
Este capítulo proporciona discusión detallada de los componentes del bloque para la
resolución de problemas incluyendo:
1. TIPOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
2. ESCOGIENDO NÚMEROS PARA DESARROLLAR EL SENTIDO NUMÉRICO
3. UTILIZANDO PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA DESARROLLAR EL CONOCIMIENTO DEL VALOR
NUMÉRICO
4. ESTIMACIÓN
5. CALCULOS MENTALES
6. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN
7. REPRESENTANDO SOLUCIONES
8. UTILIZANDO PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA DESARROLLAR EL CONOCIMIENTO DE LAS
FRACCIONES
9. GEOMETRÍA
10. MEDICIÓN
11. ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD
12. DISCURSO DE LA CLASE
13. MATEMÁTICAS Y LECTOESCRITURA
14. DIARIOS DE MATEMÁTICAS Y RETROALIMENTACIÓN ESCRITA
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Contenido
Números, operaciones y relaciones algebraicas
Entender los números, las formas de representar los números, las relaciones entre números y los sistemas numéricos incluyendo la unificación, los patrones de valor numérico cuando se calcula, el razonamiento proporcional, las fracciones, los decimales y los porcentajes
Entender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras
Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables
Entender los patrones, las relaciones y las funciones
Representar y analizar las situaciones matemáticas y las estructuras utilizando símbolos algebraicos
Utilizar modelos matemáticos para representar y entender las relaciones cuantitativas
Geometría
Analizar las características y propiedades de figuras geométricas bi y tridimensionales y desarrollar argumentos sobre las relaciones geométricas
Especificar lugares y describir las relaciones espaciales utilizando la geometría coordinada y otros sistemas representativos
Aplicar las transformaciones y utilizar la simetría para analizar las situaciones geométricas
Utilizar la visualización, el razonamiento espacial y el modelo geométrico para resolver problemas
Medición
Entender los atributos de medición de objetos y las unidades, los sistemas y procesos de medición
Aplicar las técnicas apropiadas, las herramientas y fórmulas para determinar las mediciones
Análisis de datos y probabilidad
Formular preguntas que puedan encararse con datos y recolectar, organizar y desplegar los datos relevantes.
Seleccionar y utilizar medidas estadísticas de una edad apropiada para analizar los datos.
Desarrollar y evaluar deducciones y predicciones que se basan en los datos.
Entender y aplicar los conceptos básicos de la probabilidad
Capítulo 6 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso
Los Procesos matemáticos para la resolución de problemas incluyen:
Resolución de problemas
Desarrollar un nuevo conocimiento matemático
Resolver problemas que surgen en situaciones diarias
Aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas (p.ej. ilustrar, simplificar, buscar patrones y relaciones, evaluar la sensatez de los resultados, generalizar)
Monitorear y reflejar en el proceso de la resolución de problemas
Formular preguntas para más exploraciones
Representación
Crear y usar representaciones para organizar, modelar, registrar y comunicar ideas matemáticas
Seleccionar y aplicar representaciones matemáticas para resolver problemas
Comunicación
Organizar y consolidar el pensamiento matemático
Comunicar el pensamiento matemático de manera coherente a los compañeros, maestros y otros; utilizando un lenguaje matemático y representaciones para expresar ideas matemáticas de manera precisa.
Analizar y comparar estrategias
Razonamiento y comprobación
Desarrollar y analizar estrategias de resolución de problemas, argumentos matemáticos y justificaciones
Hacer e investigar conjeturas matemáticas
Aprender que el razonamiento y la justificación son aspectos fundamentales de las matemáticas
Conexiones
Leer y entender textos matemáticos y otros materiales de enseñanza y reconocer ideas matemáticas como aparecen en otros contextos
Reconocer y utilizar conexiones entre las ideas matemáticas
Ver las relaciones entre los problemas y los eventos reales
Entender como las ideas matemáticas se interconectan y se construyen una sobre otra para producir un todo coherente.
Aplicar las matemáticas en contextos que incluyen experiencias personales, intereses y eventos actuales
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Los problemas matemáticos en el bloque de resolución de problemas
Los maestros consideran lo siguiente cuando se planea una sesión de resolución de
problemas:
meta matemática de la sesión
composición de los grupos de estudiantes
selección de problemas
estándares matemáticos del MMSD
adaptaciones y extensiones que se puedan necesitar para ciertos niños
El objetivo matemático de la sesión debe vincularse entre lo que el estudiante sabe
(basado en evaluaciones regulares informales y formales) con lo que el estudiante
necesita aprender después.
Para usar las actividades de resolución de problemas de manera eficaz, los maestros
planean la estructura del grupo que se ajusta mejor a los objetivos de aprendizaje.
Algunas actividades se prestan a trabajar con el grupo completo de una sola vez. Sin
embargo, las sesiones enfocadas en grupos pequeños proporcionan oportunidades para
que los maestros observen a sus estudiantes mientras ellos:
1. desarrollan habilidades en la resolución de cierto tipo de problema
2. se enfocan en representar una estrategia de problema y solución
3. trabajan con un conjunto particular de números
Cuando se planea que tipo de problemas plantear, los maestros escogen las actividades
de resolución de problemas de los recursos curriculares de la escuela y también escriben
problemas adaptados a las experiencias y a los intereses de los estudiantes utilizando
situaciones y elecciones numéricas que son familiares para los estudiantes.
Lo más importante es que los maestros reflexionan sobre lo que los estudiantes saben y
hacen; y eligen trayectorias para la enseñanza futura que se ajusten a los objetivos del
aprendizaje. Los maestros extienden o adaptan la experiencia de la resolución de
problemas al escribir problemas para que el estudiante pueda leerlos y resolverlos de
manera independiente.
Las siguientes páginas muestran como un maestro planea la instrucción para cubrir las
necesidades individuales de los estudiantes a través de la enseñanza en pequeños
grupos.
Capítulo 6 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Enfoque de la instrucción—Continuar el trabajo de la multiplicación (empezar con los números de una decena). Motivar el uso de problemas matemáticos para producir como respuesta el modelo, quizás un problema simétrico de matriz al principio. También una lección para introducir la repartición equitativa. Enfocarse en organizar sus dibujos para apoyar su razonamiento.
John, Sari, Paris, Jesus, Brendan Están construyendo estrategias de dígitos múltiples para multiplicar números de un dígito por dos dígitos. Utilizan el lenguaje de flechas algunas veces, pero regularmente la suma repetitiva. Apenas empiezan a entender el sistema de base de diez y la multiplicación.
Trabajo independiente—juegos de operaciones para las tablas del 4 y 6, trabajar con un compañero en problemas matemáticos de fracción en el libro de texto después de tener una sesión en grupo pequeño sobre problemas de repartición.
Trabajo independiente—juegos de operaciones para las tablas del 7 y 8, trabajar con un compañero en los problemas matemáticos de fracción básicos en el libro de texto después de tener una sesión en grupo pequeño sobre problemas de repartición.
Enfoque de la instrucción—Apoyar un área modelo para los problemas de multiplicación (iniciar únicamente con los números de decenas terminadas en cero). Enfocarse en la justificación, dónde se encuentra el 100 en el modelo. Utilizar un problema matemático para obtener el modelo, primero quizás un problema simétrico de matriz. También una lección para introducir la repartición equitativa. Enfocarse en organizar sus dibujos para apoyar su razonamiento
Grupo 4
Grupo 3 Lisa, Natalie, Johan, Misty, Tua, Tessa, Zach (Rachel se incorporó al grupo esta semana) Están construyendo estrategias de dígitos múltiples para multiplicar números de dos dígitos por dos dígitos. Utilizan el lenguaje de flechas para mostrar la suma repetida y las tablas de proporciones pero no están muy seguros en las explicaciones para las multiplicaciones de decenas exactas. Ellos quieren utilizar el truco de “la eliminación de los ceros en común” y no lo pueden justificar.
Trabajo independiente –JCU, SCU, C, utilizando números hasta el 50, rompecabezas de pentominós, operaciones de decenas y descomponer el 7, 8, 9 en dos partes. Enfoque de la instrucción – JCU, SCU, C, M El trabajo numérico debe enfocarse en reforzar las estrategias para “formar un diez”. Podemos usar un tablero de diez para modelar “operaciones después del diez.”Después practicar, practicar, practicar.
Grupo 2 Naomi & Quintin Ellos están trabajando con números hasta el 100. Utilizan bloques de base de diez para resolver pero aún necesitan apoyo para representar sus modelos con dibujos.
Ellos están trabajando en la multiplicación y división de fracciones dentro del contexto de una historia. Prefieren dibujar sus soluciones o escribir explicaciones largas. Trabajo independiente – números de dígitos múltiples, práctica para encontrar factores, trabajar con un compañero en problemas matemáticos de fracciones en el libro de texto. Enfoque de la instrucción – Problemas matemáticos de división. Comparar la división (MD) con fracciones, vs. La división con números enteros. Enfocarse en conceptos erróneos de que la división siempre se hace más pequeña. Ellos tienen un algoritmo flexible para los números enteros. Me pregunto si lo pueden solucionar en fracciones. (Quizás en su lugar debería sugerir una tabla de proporciones) Se intentará utilizar el mismo contexto con todos los problemas haciendo papalotes que requieren 5/6 yardas de tela vs. 3 yardas de tela (¡Necesito más de estos!)¿Cuántos se pueden hacer con 12 yardas de tela?
Jemiah, Rafael, Amanda, Laura N., Marla, Jake, Zach, Laura B. Grupo 1 Notas de planeación – 15 de marzo – Analizar el trabajo de la semana pasada para planear la próxima semana..
Un maestro de 4.o/5.o grado planea la instrucción para la resolución de problemas de la siguiente manera:
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Una secuencia típica para una sesión de problemas matemáticos
El maestro:
selecciona problemas y números basándose en el conocimiento del estudiante de cierto concepto.
verifica la comprensión de los problemas matemáticos. (Los estudiantes pueden volver a decir o hacer preguntas sobre los problemas hasta que se sientan lo suficientemente seguros para empezar a trabajar.)
les puede pedir a los estudiantes que pongan atención a cierto elemento del problema o de la solución que quieren que los estudiantes razonen o que utilicen mientras trabajan en la solución del problema.
les pide a los estudiantes que trabajen independientemente, en parejas o en grupos pequeños para resolver el/los problema(s) y que anoten sus soluciones.
se reúne con estudiantes que trabajan en el mismo problema(s) para discutir y facilita una conversación sobre sus soluciones, enfocándose en uno o dos puntos de enseñanza.
el maestro puede introducir un nuevo método o estrategia para considerarlo en una discusión (siendo cuidadoso de no darle más autoridad que a las soluciones generadas por el estudiante)
planea la próxima sesión basándose en la información recabada durante la discusión y de los trabajos escritos o evaluaciones de los estudiantes.
Los estudiantes:
trabajan en los problemas y anotan sus estrategias de solución de tal manera que otros las puedan interpretar.
piden que se aclaren preguntas entre ellos
entienden y evalúan las soluciones entre ellos para:
• encontrar conexiones entre las soluciones
• hacer generalizaciones
• avaluar la precisión y eficacia
• discutir conceptos
• discutir representaciones y significados de símbolos
reflexionan sobre las estrategias y sus conocimientos de las relaciones numéricas y los conceptos matemáticos
pueden solamente usar estrategias o representaciones nuevas que puedan justificar matemáticamente
La siguiente tabla indica lo que los estudiantes de nivel intermedio deben saber y ser
capaces de hacer en cuanto a los números y a las operaciones como resultado de la
instrucción en la resolución de problemas.
Capítulo 6 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Números y operaciones en el bloque de resolución de problemas
Cuando se planea la instrucción para cada estudiante, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD para guiar la selección de los tipos de problemas y del tamaño de las cantidades numéricas. Los maestros saben que todos los estudiantes van a tomar un camino único para llegar a ser competentes en los tipos de problemas matemáticos, las estrategias de solución y el tamaño de las cantidades numéricas. La siguiente tabla resume los estándares de números y operaciones del MMSD de los grados 3.o a 5.o Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.
Los estudiantes de tercer grado: Leen, escriben y ordenan números enteros hasta el 10,000. Resuelven todos los problemas de tipo CGI Resuelven problemas matemáticos de pasos múltiples Utilizan las siguientes estrategias de manera flexible para calcular:
• incrementar o compensar (utilizando puntos de referencia de decenas, centenas, millares) estándar u otro algoritmo para encontrar sumas de 3 dígitos o números más pequeños y diferencias de 2 dígitos o números más pequeños.
• suma repetitiva, componer/descomponer o duplicar para multiplicar números de 1 dígito por 2 dígitos.
• resta repetitiva, repartir/compartir, medir para dividir con un dividendo hasta 45 y con un divisor hasta el 5
• contar en grupos de 2, 5, 4, 3, 10 • recordar operaciones de suma • recordar operaciones de resta • recordar todas las tablas de multiplicar (con 2, 5, 4, 3 como multiplicador o
multiplicando)
Representan soluciones al: • modelar con objetos o dibujos • utilizar la recta numérica vacía y el lenguaje de flechas • escribir ecuaciones
Resuelven problemas con los valores del dinero de $0.01-$1.00 Investigan los conceptos de fracciones a través de:
• razonar sobre las equivalencias básicas para resolver problemas • relacionar fracciones con puntos de referencia de 0, números enteros, 1/2s
(ordenar fracciones simples) • resolver problemas matemáticos de sumas y restas que implican el uso de las
fracciones que comúnmente se usan (con denominadores iguales) • resolver problemas matemáticos de repartir o compartir de manera equitativa donde la
solución tiene una parte fraccional. (P. ej. 4 niños comparten 5 galletas en partes iguales. ¿Cuánto le toca a cada niño?)
• resolver fracciones como problemas de “operadores” (P. ej. ¿Cuántos huevos hay en 14
de una docena de huevos?) • dibujar partes fraccionarias de un conjunto de objetos o de una sola unidad (P. ej.
galletas, rectángulos) • nombrar y usar la notación de fracción para un conjunto de objetos o para una sola
unidad para ¼ y ½
Nota: Los problemas deben involucrar fracciones de unidad ( 1 1 1 1 1, , , ,2 3 4 6 8
), fracciones que
no sean de unidad (ex. 5 3,6 8
), fracciones impropias (ex. 3 6,2 4
), números mixtos ( 1 22 ,12 3
).
Los estudiantes de cuarto grado también: Leen, escriben, ordenan y comparan, números enteros hasta el 100,000 y decimales (en el contexto de dinero). Resuelven problemas matemáticos de operaciones múltiples. Utilizan de manera flexible las siguientes estrategias para calcular:
• encontrar sumas de 4 dígitos o números más pequeños y diferencias de 3 dígitos o números más pequeños
• multiplicar eficientemente números de 1 dígito por 2 dígitos
• dividir un dividendo de 2 dígitos con un divisor de un solo dígito excepto cero
• recordar todas las tablas de multiplicar
• estimación
Representan soluciones: • tablas de proporciones
Resuelven problemas con valores de dinero de $0.01-$10.00 Investigan los conceptos de fracción a través de:
• relacionar fracciones con puntos de referencia del 25%, 50%, 75%, 100%
• explorar las conexiones entre operaciones con números enteros y operaciones con fracciones
• determinar el lugar aproximado de las fracciones en una recta numérica
Demuestran un entendimiento de los conceptos de fracción “investigados” en el tercer grado.
• nombrar y utilizar notaciones de fracciones para un conjunto de objetos o una sola unidad (P. ej. ¼, ½)
• volver a nombrar fracciones impropias • comparar dos fracciones relacionándolas con
puntos de referencia de 0, números enteros, mitades.
Los estudiantes de quinto grado también:
Leen, escriben, ordenan y comparan, números enteros hasta 1,000,000 y decimales (en el contexto de dinero).
Utilizan de manera flexible las siguientes estrategias para calcular:
• encontrar sumas de 5 dígitos o números más pequeños y diferencias de 4 dígitos o números más pequeños
• multiplicar eficientemente números de 2 dígitos por 3 dígitos
• dividir un número de 4 dígitos por sí mismo o un divisor de un solo dígito excepto el cero
• recordar todas las operaciones de división
• saber los primeros diez múltiplos del 2 al 10 y 25
• estimación
Representan soluciones: • tablas de proporciones
Resuelven problemas con valores de dinero de $0.01-$100.00 Investigan los conceptos de fracción a través de:
• Generar y justificar equivalencias
Capítulo 6 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Tipos de problemas matemáticos
Los maestros utilizan doce tipos básicos de problemas matemáticos para la instrucción.
Estos tipos de problemas cubren una variedad de maneras para estructurar historias de
problemas matemáticos simples que incluyen:
• situaciones de unir y separar
• comparaciones
• situaciones de parte-todo
• agrupar
• dos tipos de situaciones para repartir
Para ejemplos, vea el siguiente cuadro de tipos de problemas CGI
Durante los grados intermedios los tipos de problemas básicos son útiles cuando se
ponen junto con números que no les son familiares a los estudiantes (números muy
grandes o decimales). Sin embargo, los problemas matemáticos deben también reflejar
tanto el crecimiento de la complejidad del lenguaje como de los conceptos apropiados
para los estudiantes mayores. Por ejemplo, en los grados iniciales, la multiplicación y dos
tipos de problemas de división involucran agrupar y repartir colecciones de objetos
discretos que los niños ya están listos para contar. Los estudiantes de los grados
intermedios deben también resolver problemas relacionados que involucren “índices” y
“comparaciones multiplicativas” en vez de colecciones de objetos contables. Estos
problemas promueven el razonamiento proporcional en vez del razonamiento aditivo.
Los estudiantes de los grados intermedios deben tener muchas oportunidades para
resolver los siguientes problemas matemáticos discutidos en este capítulo:
1. Tipos de problemas matemáticos CGI (Instrucción Cognitiva Guiada)
2. División con residuos
3. Problemas de razón matemática
4. Problemas de precio
5. Comparaciones multiplicativas
6. Problemas simétricos (problemas de matriz, área y combinación)
7. Problemas de pasos múltiples
8. Problemas de fracción
Capítulo 6 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
Tipos de problemas matemáticos CGI
Los maestros deben evaluar de qué manera cada estudiante resuelve estos tipos de problemas con contextos y números apropiados para el nivel de grado antes de avanzar a problemas más complejos descritos en este capítulo. Los números utilizados en este cuadro son apropiados para los estudiantes de tercer grado. Enfóquese en desarrollar el dominio de los tipos de problemas que no están sombreados para los estudiantes de los grados intermedios.
(M) MULTIPLICACIÓN (MD) DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (PD) DIVISIÓN PARTITIVA
Connie tiene 3 bolsas de canicas. Hay 15 canicas en cada bolsa. ¿Cuántas canicas tiene Connie en total?
3 15 a× =
Connie tiene 45 canicas. Ella quiere poner 15 canicas en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas puede llenar?
15 45a× = o 4515
a=
Connie tiene 45 canicas. Ella quiere poner las canicas en 3 bolsas con el mismo número en cada bolsa. ¿Cuántas canicas hay en cada bolsa?
a× 3 = 45 o 453
a=
UN
IR
(JRU) SEGUNDO SUMANDO AGREGADO, RESULTADO DESCONOCIDO
Connie tenía 43 canicas. Juan le dio 19 canicas más. ¿Cuántas canicas tiene Connie en total?
43 19 a+ =
(JCU) SUMA, SEGUNDO SUMANDO DESCONOCIDO
Connie tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más tiene que tener para tener 62 en total?
43 62a+ =
(JSU) SUMA, PRIMER SUMANDO DESCONOCIDO
Connie tenía algunas canicas. Juan le dio 19 canicas más. Ahora tiene 62 canicas. ¿Cuántas canicas tenía Connie al principio?
19 62a + =
SEP
AR
AR
(SRU) SEPARACIÓN DEL SUSTRAENDO, RESULTADO DESCONOCIDO
Connie tenía 62 canicas. Le dio 19 a Juan. ¿Cuántas canicas tiene ahora?
62 19 a− =
(SCU) RESTA, SUSTRAENDO DESCONOCIDO Connie tenía 62 canicas. Le dio algunas a Juan. Ahora le quedan 19. ¿Cuántas le dio a Juan?
62 43a− =
(SSU) RESTA, MINUENDO DESCONOCIDO Connie tenía algunas canicas. Le dio 19 a Juan. Ahora le quedan 43 canicas. ¿Cuántas canicas tenía al principio?
19 43a − =
PA
RTE
-PA
RTE
-TO
DO
(PPW-WU) PARTE-PARTE-TODO (TOTAL DESCONOCIDO)
Connie tiene 43 canicas rojas y 19 canicas azules. ¿Cuántas canicas tiene?
43 19 a+ =
(PPW-PU) PARTE-PARTE-TODO (PARTE DESCONOCIDA)
Connie tiene 62 canicas. 43 son rojas y el resto son azules. ¿Cuántas canicas azules tiene Connie?
62 43 a− = o 43 62a+ =
CO
MP
AR
AR
(CDU) COMPARACIÓN, DIFERENCIA DESCONOCIDA
Connie tiene 62 canicas. Juan tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más tiene Connie que Juan?
62 43 a 43 62a+ =− = o
(CQU) COMPARACIÓN, CANTIDAD DESCONOCIDA
Juan tiene 43 canicas. Connie tiene 19 más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Connie?
43 19 a+ =
(CRU) COMPARACIÓN, REFERENTE DESCONOCIDO
Connie tiene 62 canicas. Ella tiene 43 canicas más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?
62 43 a− = o 43 62a + =
Adaptado con el permiso de Carpenter, T.P., Fennema E., Franke, M.L., Levi, L., Empson, S.B. 1999. Children’s Mathematical Thinking. Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.
Capítulo 6 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
División con residuos + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
En la vida real, hay mucho más situaciones que dividen teniendo residuos que aquellas
en donde no. Los estudiantes de los grados intermedios deben tener muchas
experiencias con problemas de división que tengan “residuos.”
El contexto del problema generalmente indica cómo tratar el residuo al responder la
pregunta. Existen cuatro situaciones básicas:
1. Se debe incluir una unidad adicional completa.
156 niños van a una excursión al museo de ciencia. 47 niños pueden viajar en cada autobús. ¿Cuántos autobuses se necesitan para poder llevar a todos los niños al museo? ¿Cuántos deben viajar en cada autobús?
2. El residuo se deja afuera.
Se necesitan 4 huevos para hacer un omelet. ¿Cuántos omelets se pueden hacer con 13 huevos?
La señora Carpenter tiene una bolsa de 235 clavos. Quiere ponerlos equitativamente en 4 recipientes. ¿Cuántos clavos debe poner en cada recipiente?
3. El residuo es la respuesta del problema.
Una compañía de deportes tiene 526 pelotas de tenis, las cuales quiere empacar en tubos con cuatro pelotas de tenis en cada tubo. Si llenan la mayor cantidad de tubos posibles, ¿cuántas pelotas sobrarían?
4. La respuesta incluye una parte fraccional o decimal.
La maestra Long tiene 17 bloques de barro para un proyecto de arte. Ella quiere poner una cantidad igual de barro en cada una de las 4 mesas. ¿Cuánto le tocará a cada mesa si reparte todo el barro?
¿Cuántas decenas hay en 87?
Problemas de razón matemática
+ — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Estos problemas son conceptualmente diferentes que los problemas de agrupar y repartir
(Problemas CGI de multiplicación, medición y división partitiva) ya que involucran una
razón matemática en vez de un número de objetos. Los problemas de razón matemática
no necesariamente tienen objetos contables en ellos aunque las cantidades se pueden
representar con objetos contables. En cada ejemplo de abajo, la razón es el índice de
crecimiento sobre tiempo (milímetros por día):
Una planta crece 3 milímetros cada día. ¿Cuántos milímetros crecerá la planta en 9 días?
Una planta crece 3 milímetros cada día. ¿Cuántos días tomará la planta para crecer 27 milímetros?
Una planta creció 27 milímetros en 9 días. Si la planta creció el mismo tanto cada día, ¿Cuánto crece la planta en un día?
Otras situaciones comunes que involucran razón matemática son:
¿Cuántas millas viaja una bicicleta en 3 horas a una velocidad promedio de 12 millas por hora?
Una niñera gana 6 dólares por hora para cuidar niños. ¿Cuántas horas tiene que cuidar niños para ganar 18 dólares?
Problemas de precio + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Los problemas de precio son un tipo especial de problemas de razón matemática. La
razón matemática es un precio por artículo. Los estudiantes están generalmente
familiarizados con el dinero y resuelven los problemas de precio con las mismas
estrategias que otros problemas de agrupación y repartición.
¿Cuánto cuestan 5 piezas de goma de mascar si cada pieza cuesta 15 centavos?
Cada pieza de goma de mascar cuesta 15 centavos. ¿Cuántas piezas de goma de mascar puedes comprar con 60 centavos?
Si puedes comprar 5 piezas de goma de mascar con 60 centavos, ¿cuánto cuesta cada pieza?
Capítulo 6 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Comparaciones multiplicativas + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Estos problemas involucran una comparación de dos cantidades. La relación entre las
cantidades se describe en términos de cuántas veces más grande es una que la otra. En
el ejemplo de abajo el número “15” cuantifica la relación “multiplicada por tu estatura”
Si pudieras saltar como una rana, podrías saltar 15 veces tu estatura. ¿Qué tan alto podrías saltar?
La siguiente tabla de “Problemas relacionados: razón matemática, precio y comparación
multiplicativa” proporciona más ejemplos de estos tipos de problemas matemáticos.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
Los problemas de razón matemática, precio y comparación multiplicativa (también
llamados problemas de razón y proporción) involucran “razonar de arriba hacia abajo
situaciones en las cuales hay una relación invariante (constante) entre dos cantidades
que están conectadas y varían juntas.” (Lamon, 2006) Las exploraciones con problemas
de razón y proporción deben iniciar en los grados intermedios. Los estudiantes que
tienen muchas experiencias resolviendo estos tipos de problemas utilizando sus propias
estrategias, aprenderán a razonar proporcionalmente y a usar números racionales de
manera flexible y bien entendida en la escuela secundaría y más adelante.
Estos problemas pueden ser bastante desafiantes. Por esta razón, los maestros algunas
veces los reservan como extensiones o desafíos para los estudiantes que tienen un
sentido numérico sólido. Sin embargo, estos problemas son apropiados para el trabajo en
pequeños grupos con todos los estudiantes cuando los problemas están diseñados con
números que correspondan al nivel numérico de fluidez del estudiante.
Los siguientes cuatro problemas proporcionan un ejemplo de un conjunto de problemas.
Refiérase al apéndice para ver más ejemplos de conjuntos de problemas.
Sammy está alimentando a sus peces. Las instrucciones de la caja le dicen que 4 cucharaditas de comida son suficientes para 12 peces. ¿Cuántas cucharaditas de comida pueden alimentar a los 24 peces en la pecera de Sammy?
Shay ha invitado a sus amigos a comer pizza. Él calcula que necesitaría 2 pizzas de 18 pulgadas para 4 personas. ¿Cuántas pizzas necesita comprar si vienen 26 de sus amigos?
Ya es hora de alimentar a los gatos en el albergue de animales. Si 6 latas de comida alimentan a 8 gatos, ¿cuántas latas se necesitan para alimentar a 36 gatos?
Ya es hora de comer en la granja de zorros. Se necesitan cuatro Kg. de carne para 5 zorros. ¿Cuántos Kg. se necesitan para 22 zorros?
Revisa estos cuatro problemas -¿De qué manera son estos problemas semejantes o diferentes? Compara tus estrategias de resolución de problemas para cada problema – ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas estrategias para todos los problemas? ¿Estuvieron algunos más fáciles o más difíciles? ¿Por qué lo piensas así?
Capítulo 6 Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Tipo de problema (M) MULTIPLICACIÓN (MD) DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (PD) DIVISIÓN PARTITIVA
Agrupar/ repartir
Shakira tiene 14 plantas de chícharo. Hay 8 chícharos en cada planta. ¿Cuántos chícharos hay por todos?
p14×8 =
Shakira tiene algunas plantas de chícharo. Hay 8 chícharos en cada planta. En total hay 104 chícharos. ¿Cuántas plantas de chícharo tiene Shakira?
p× =8 104 p=
1048
Shakira tiene 14 plantas de chícharo. Hay la misma cantidad de chícharos en cada planta. En total hay 104 chícharos. ¿Cuántos chícharos hay en cada planta?
p× =14 104 p=
10414
Razón Johan camina 3½ millas en una hora. ¿Cuántas millas camina en 8 horas?
Johan camina 3½ millas en una hora. ¿Cuántas horas le tomará caminar 28 millas?
Johan caminó 28 millas. Le tomó 8 horas. Si caminó a la misma velocidad todo el trayecto, ¿qué tan lejos caminó en una hora?
Precio Un paquete de lápices cuesta $1.98. ¿Cuánto cuestan 12 paquetes?
Un paquete de lápices cuesta $1.98. ¿Cuántos paquetes podrías comprar con $23.76?
La Sra. Martin compró 12 paquetes de lápices. Gastó $23.76. Si cada paquete costó lo mismo, ¿cuánto costó cada paquete?
Comparación multiplicativa
La ballena azul mide alrededor de 22 veces más que el delfín de Héctor. Si el delfín de Héctor mide 5 pies de largo, ¿qué tan larga es la ballena azul aproximadamente?
La ballena azul mide aproximadamente 110 pies de largo. El delfín de Héctor mide alrededor de 5 pies de largo. ¿Cuántas veces más larga es la ballena azul que el delfín de Héctor?
La ballena azul mide 110 pies de largo. Si la ballena azul es 22 veces más larga que el delfín de Héctor, ¿qué tan largo es el delfín de Héctor?
El siguiente cuadro ilustra las diferencias entre los problemas de multiplicación (M), división con factor desconocido (MD) y división partitiva (PD). Los problemas de razón, precio y comparación multiplicativa proporcionan oportunidades para que los estudiantes resuelvan una variedad de problemas que implican diferentes tipos de cantidades. Estos tipos de problemas pueden también incluir fracciones, decimales, aparte de los números enteros. Resolver estos tipos de problemas establece los cimientos para desarrollar el razonamiento proporcional en la escuela secundaria y es importante incluirlos en la instrucción de los grados intermedios.
Problemas relacionados: Razón, precio y comparación multiplicativa
Adaptado con permiso de Carpenter, T.P., Fennema E., Franke, M.L., Levi, L., Empson, and S.B. 1999. Children’s Mathematical Thinking. Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.
Capítulo 6 Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Page 23 Traducido por Rosy Einspahr
Problemas simétricos (Problemas de matriz, área y combinación) + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Los problemas simétricos proporcionan una situación de problema para que los
estudiantes exploren la propiedad conmutativa.
Típicamente, los referentes (etiquetas para cada cantidad) en los tipos de problemas
básicos de agrupación o repartición no son intercambiables. Por ejemplo:
Hay 27 carros. Cada carro tiene 4 llantas, ¿cuántas llantas hay en total?
En este problema, los referentes “carros”, “llantas en cada carro”, y “llantas en total” no
se pueden intercambiar.
Los estudiantes típicamente resuelven este problema modelando o sumando 27 grupos
de 4. Sin embargo, 4 x 27 también contesta el cálculo pero no se justifica fácilmente con
estos referentes.
Los problemas simétricos que tienen referente semejante o intercambiable para cada
cantidad en el problema, les ayuda a los estudiantes de los grados intermedios a
entender la razón por la cual 4 x 27 es lo mismo que 27 x 4. Los siguientes problemas de
área, matriz y combinación son ejemplos de problemas simétricos.
Problemas de área y matriz + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
A diferencia del problema de los “27 carros con cuatro llantas”, los referentes en un
problema de área o matriz son intercambiables. Por ejemplo:
Un panadero tiene un molde de dulce de azúcar que mide 12 pulgadas de un lado y 9 pulgadas del otro lado. Si el dulce se corta en piezas cuadradas de 1 pulgada de un lado, ¿cuántas piezas de dulce de azúcar puede soportar el molde?
Los dos factores en este problema de área, 12 y 9, tienen los mismos referentes. Los
estudiantes pueden modelar este problema antes que tener un concepto formal del
cálculo del área. Con este tipo de problema los estudiantes pueden empezar a justificar
por qué al sumar 12 grupos de 9 es lo mismo que 9 grupos de 12.
Los problemas de área también pueden involucrar división y les pueden ayudar a los
estudiantes a hacer conexiones entre las operaciones inversas de multiplicación y
división. Por ejemplo:
La Sra. Vang quiere sembrar un jardín rectangular de flores. Ella tiene suficiente espacio para que el jardín mida 6 metros de un lado. ¿Qué tan largo necesita hacer el lado adyacente para tener 48 metros cuadrados de jardín?
Los problemas de matriz sugieren el mismo concepto de multiplicación que los problemas
de área. En los problemas de matriz, los objetos separados se organizan en filas y
columnas. Las “filas” y las “columnas” son referentes intercambiables.
El Sr. Wee organizó las sillas para la obra de teatro de la escuela. Él colocó las sillas en 5 filas con 26 sillas en cada fila. ¿Cuántas sillas se colocaron para la obra de teatro?
Capítulo 6 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Problemas de combinación + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Los problemas de combinación involucran hacer combinaciones de conjuntos dados. Este
ejemplo es simétrico.
El Pancake Palace hace 3 tipos de panqués. Tienen 4 diferentes tipos de coberturas. ¿Cuántas combinaciones de panqués y coberturas puedes obtener del Pancake Palace?
Estos problemas son simétricos porque los tipos de panqués y coberturas se pueden
intercambiar cuando se piensa en este problema. No hay diferencia real en pensar en el
número de panqués que podrían combinarse con cada cobertura o el número de
coberturas que podrían combinarse con cada panqué.
Algunos estudiantes tal vez reconozcan que no es necesario hacer todas las
combinaciones para resolver el problema. Otros tal vez necesiten hacer un modelo
organizado.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
Problemas de pasos múltiples + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Los problemas de pasos múltiples proporcionan oportunidades para que los estudiantes
interpreten un lenguaje más complejo y utilicen más de una operación o múltiples
conceptos matemáticos dentro de un solo problema. Por ejemplo:
Una caja de arena que mide 72 pulgadas por 60 pulgadas está llena de 12 pulgadas de arena. Al final del verano solo ¼ de la caja estaba llena. ¿Cuánto de arena se le tiene que agregar para reponer la arena que se perdió durante el verano?
Los problemas de pasos múltiples pueden involucrar una serie de problemas relacionados
que pueden combinar temas de geometría, medición y datos. Por ejemplo, todos los
siguientes problemas se refieren al mismo conjunto de datos:
Los estudiantes entrevistaron a sus compañeros de clase para averiguar aproximadamente cuántos vasos de leche (de 8oz.) tomaban al día. En un salón de quinto grado encontraron: 0, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 3, 2, 5, 1
Encuentra el número promedio (medio) de vasos de leche que la clase toma al día. Explica tus cálculos.
¿Cuál es el rango de vasos de leche que los estudiantes toman al día?
¿Crees que el promedio o el rango son una buena manera de describir la cantidad de leche que un estudiante de quinto grado toma al día? ¿Por qué sí o por qué no?
Haz un histograma de los datos. ¿Qué observas?
Si un galón de leche tiene 128 oz, ¿cuántos días duraría un galón de leche para un estudiante promedio de quinto grado?
Capítulo 6 Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Los problemas de pasos múltiples tal vez involucren una comparación de dos o más situaciones y requieran que los estudiantes tomen una decisión basándose en varios cálculos. Por ejemplo:
Tu vecino necesita hacer algo de trabajo alrededor de la casa y te ha ofrecido el trabajo a ti. El vecino ha ofrecido pagarte utilizando uno de tres planes. Tú planeas terminar el trabajo tan rápido como puedas y calculas que te tomará al menos 6 horas, pero no más de 9 horas para hacer el trabajo. Decide cual es el plan de pago mejor para ti y explica por qué.
Plan A Se te puede pagar una cantidad fija de $55 sin importar cuanto tiempo te tome hacer el trabajo.
Plan B Se te puede pagar $40 por el trabajo más $2 por hora, pero no por más de 8 horas de trabajo.
Plan C Puedes aceptar el trabajo y recibir un pago de $6.50 por hora.
Problemas fuera de un contexto + — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Los números por sí solos sin una historia de contexto se pueden usar como “contexto”
para la resolución de problemas. Ejemplo:
¿Cómo podrías utilizar 55-30 para resolver 55-28?
¿Cómo podrías utilizar 312 x 10 para resolver 312 x 9? ¿Que tal 300 x 9?
El resolver o comparar una serie de ecuaciones construye el sentido numérico mientras
que los estudiantes buscan relaciones entre los dos problemas.
Asegúrese de que los estudiantes entiendan el significado de las operaciones antes de
utilizar ecuaciones fuera de un contexto. Una manera de evaluar el conocimiento del
estudiante es pedirles a los estudiantes que escriban un problema matemático que se
pueda resolver mediante cierta ecuación. Por ejemplo:
Escribe un problema matemático que se pueda resolver mediante 64/4 (64÷4)
Ver el capítulo 4: Evaluación para más ejemplos.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 27 Traducido por Rosy Einspahr
Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico
La observación y evaluación del maestro determinan el campo de dominio numérico en el
que los estudiantes necesitan trabajar para resolver problemas. Los estándares del
MMSD proporcionan expectativas de acuerdo al nivel de grado para el uso competente
de los números en cierto rango. Los estudiantes deben tener un uso flexible de
estrategias dentro de ese rango numérico.
Un enfoque para desarrollar el dominio es proporcionar los mismos problemas
matemáticos con varias opciones numéricas relacionadas.
El Sr. Party tiene ___ bolsas de globos en su tienda. Cada bolsa tiene _____globos. ¿Cuántos globos tiene el Sr. Party en su tienda?
(52, 37) (50, 30) (2, 37) (50, 7)
El utilizar los pares de números de arriba les ayuda a los estudiantes a desarrollar ideas
sobre la propiedad distributiva de la multiplicación. En este caso, cada estudiante decide
qué problema resolver primero. Durante una discusión los estudiantes hablan sobre
cómo utilizar un cálculo para que les ayude a resolver otro cálculo parecido.
Alternativamente, los maestros pueden proporcionar un rango de conjuntos numéricos
apropiados para los estudiantes en la clase. Los maestros les dan a los estudiantes ya
sea la opción de escoger, o bien, dirigen a los estudiantes para que usen cierto conjunto
de números en el problema.
Hay ____ huevos en un cartón. ¿Cuantos huevos hay en ____cartones?
(12, 10) (12, 30) (12, 39) (12, 80) (12, 180) (12, 1,390)
Las gallinas en la granja pusieron ____huevos. ¿Cuántos cartones de docenas de huevos se podrían llenar con estos huevos?
(1,980) (544) (144) (48)
Después los maestros facilitan las discusiones con los estudiantes que ya han resuelto el
problema con el mismo conjunto de números. Los estudiantes pueden resolver los
problemas con las otras opciones de números como desafíos o para practicar una vez
que hayan resuelto “correctamente” el problema asignado.
Capítulo 6 Página 28 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Algunos de los campos de dominio numérico que los maestros consideran cuando
escriben, escogen o modifican problemas matemáticos ya existentes, incluyen:
• Magnitud (.01s, .1s, 10s, 100s, 1,000s, 10,000s, etc.)
• Decenas exactas (números terminados en cero, p.ej. 50, 520, 5230)
• Centenas (números terminados en dos ceros, p.ej. 500, 2500, 12,500)
• Cerca de las decenas (números terminados en 1, 2, 8, o 9 p.ej. 59, 102, 1,348)
• Decimales en contextos de dinero
• Decimales como partes fraccionales (p.ej. .3 de una milla)
• Decimales con equivalentes de fracción (p.ej. .25, .33, .125)
• Decimales cercanos a números enteros (p.ej. 3.9. 45.99, 195.01)
• Números negativos (en un contexto familiar, así como la temperatura o por debajo del nivel del mar)
Un ajuste fácil a los problemas de los libros de texto que son demasiado difíciles para los
estudiantes es eliminar uno o dos dígitos. Los estudiantes pueden resolver el problema
con los números más pequeños primero y una vez que hayan entendido el problema
intentar resolver los problemas con los números más grandes.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 29 Traducido por Rosy Einspahr
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico
El entendimiento de un estudiante en el sistema de base de diez se construye sobre una
amplia base conceptual del tamaño de la cantidad numérica, las relaciones numéricas y
la flexibilidad en descomponer y reconfigurar números. El entendimiento sobre el valor
numérico es mucho más que solamente nombrar el valor de cierto dígito de acuerdo a su
posición.
Kamii (2004) se refiere al entendimiento de la base de diez como “razonamiento
simultaneo”, donde un niño es capaz de ver el número 42 como 4 decenas, 2 unidades,
como 42 unidades y potencialmente, como 3 decenas y 12 unidades. El estudiante sabe
que las diferentes combinaciones son equivalentes.
El conocimiento del valor numérico:
• toma años para desarrollarse. Los niños pueden ser inconsistentes por un largo tiempo. Los niños que pueden trabajar con números menores de 100, a menudo tienen dificultades con los números mayores de 100. A medida que la magnitud numérica cambia, los estudiantes vuelven a retomar de qué manera es que el sistema funciona.
• puede y debe desarrollarse para diferentes componentes de manera simultanea. (e.g. el orden numérico, agrupar en decenas, componer/descomponer números)
• El entendimiento para diferentes componentes se refuerzan mutuamente y no se aprenden de manera secuencial. Ver “Componentes del entendimiento del valor numérico" (Capítulo 4).
La resolución de problemas apoya al desarrollo del conocimiento sobre el valor numérico
porque proporciona práctica para más de un componente a la vez. Elija los problemas, el
tamaño de las cantidades numéricas y las actividades que les ayudan a los estudiantes a
aprender la estructura fundamental de nuestro sistema de valor numérico (base de diez).
Es importante considerar de qué manera las diferentes representaciones (p.ej. los
bloques de base de diez, las tablas numéricas de cien, las rectas numéricas vacías)
promueven el entendimiento de los diferentes componentes en cuanto al valor numérico.
Las siguientes opciones de enseñanza (Bickwidde, 2002) describen cómo el uso
estratégico de los problemas matemáticos y la elección del tamaño de las cantidades
numéricas en los mismos pueden apoyar el desarrollo del valor numérico.
Capítulo 6 Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Combinar la enseñanza de las sumas y restas juntas
Enseñar la suma y la resta de manera integrada, tanto con reagrupación como sin
reagrupación, le ayuda al estudiante a construir un entendimiento amplio del sistema
numérico, deteniendo más rápidamente cualquier concepto erróneo que pudiese
desarrollarse.
Los libros de texto tradicionalmente presentan sumas y restas de manera separada,
moviéndose de un solo dígito, a través de dígitos múltiples sin reagrupar, a cálculos de
dígitos múltiples reagrupando. Sin embargo, los estudios de los patrones de desarrollo
del estudiante han encontrado de manera consistente que los niños pueden construir
conceptos erróneos en una etapa que se vuelve difícil de retomar más tarde cuando se
presentan cálculos más complicados.
Los problemas tipo Suma, segundo sumando desconocido (JCU), Resta, sustraendo
desconocido (SCU) y Parte-parte-todo, total desconocido (PPW, WU) que se usan de
manera intercambiable con tamaños de cantidades numéricas escogidos de manera
estratégica fomentan el crecimiento en el entendimiento de las relaciones entre los
números incluyendo la relación inversa entre la suma, la resta y la base de diez. Las
elecciones de los números pueden incluir números grandes, ceros colocados de manera
estratégica entre los números, números cerca de decenas exactas y decimales para
estudiantes mayores.
Utilizar la multiplicación para desarrollar el entendimiento de la base de diez
Incluir colecciones de centenas, millares y decimales (dinero) dentro de un contexto. Por ejemplo:
La oficina postal vende rollos de 100 timbres. Si venden en promedio 250 rollos de timbres cada mes durante un año, ¿cuántos timbres venderían en un año?
Una tienda de tarjetas tiene 2530 cajas de tarjetas para vender para un día festivo, si cada caja cuesta $5.00, ¿cuánto dinero obtendría la tienda si vendiera todas las cajas?
Las oportunidades repetidas para justificar la multiplicación de números terminados en
cero fomentan el conocimiento de la base de diez. Asegúrese de que los estudiantes
tengan una justificación matemática para sus soluciones. El multiplicar números que
terminan en cero(s) puede dar como resultado el generalizar un patrón sin un
razonamiento matemático que lo sustente.
+ — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 31 Traducido por Rosy Einspahr
Utilizar los problemas de División con factor desconocido (MD) para desarrollar el
entendimiento de la base de diez
Los problemas de División con factor desconocido (MD) llaman la atención a la cantidad
en un grupo. El énfasis en los grupos de diez les ayuda a los estudiantes a ver de qué
manera funciona el sistema de base de diez.
Por ejemplo:
Una compañía que fabrica lápices mecánicos quiere venderlos en paquetes de diez. La compañía produce 12,550 lápices a la semana. ¿Cuántos paquetes de lápices harían en un mes?
+ — × ÷
Tipos de problemas matemáticos
Enfocarse en la magnitud de los números en el problema y en la respuesta
Pídales a los estudiantes que pronostiquen si la respuesta después de hacer un cálculo
estará dentro de las decenas, centenas, millares, etc. Los estudiantes comenzarán a
pensar sobre el concepto recurrente de las decenas dentro de decenas del sistema de
base de diez.
Utilizar objetos manipulables de base de diez de manera diferente
Cambie la unidad de los materiales de base de diez para que los estudiantes piensen
sobre las relaciones entre las cantidades en vez de pensar en cierta etiqueta. Déle al
bloque de diez un valor de uno. Pregúnteles a los estudiantes de qué manera esto
cambia el número asignado a los bloques planos de 100 (ahora de diez) o al cubito
original de una unidad (ahora un décimo).
Capítulo 6 Página 32 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Los estudiantes escriben y resuelven sus propios problemas matemáticos
Los estudiantes de los grados intermedios deben ser capaces de escribir un problema
matemático que se pueda resolver mediante cierta ecuación para cualquiera de las
cuatro operaciones. Esto les brinda a los maestros y a los estudiantes un entendimiento
profundo sobre la relación que existe entre los problemas matemáticos, el tamaño de las
cantidades numéricas y la notación simbólica. Los estudiantes que crean problemas
matemáticos tienen una estrategia de fácil acceso que les ayuda a entender o “visualizar”
las operaciones. Por ejemplo: los estudiantes de tercer grado deben ser capaces de
escribir problemas matemáticos para:
35 + 27 53 − 29
5 x 9 45 ÷ 5
Considere lo siguiente cuando les pida a los estudiantes que escriban problemas
matemáticos:
El idioma del estudiante (¿pueden escribir en inglés y en su primer idioma?)
Tamaño de la cifra numérica en cierta ecuación (rango de instrucción o de fluidez del estudiante)
La experiencia que cada estudiante tiene para resolver cierto rango de problemas matemáticos con una variedad de contextos
Si una solución para el problema es necesaria
Cuando evalúe los problemas matemáticos, reflexione en:
Los tipos de problemas matemáticos que los estudiantes escriben como una (p.ej. División con factor desconocido (MD) o División partitiva (PD), resta, parte-parte-todo(PPW) o comparación)
Las palabras que los estudiantes utilizan para describir las operaciones (p.ej. “en cada grupo” o “tantas veces más que” para la multiplicación)
El entorno o contextos del problema que los estudiantes utilizan con regularidad.
Si un estudiante necesita resolver el problema antes de escribir el contexto del mismo.
Los problemas matemáticos escritos por el estudiante pueden servir como trabajo de
fluidez y mantenimiento. Los estudiantes pueden escribir y editar sus propios problemas
matemáticos para proporcionar hojas para un libro de la clase para la práctica de
problemas. (Ver el apéndice, “Una caminata de piedras”.)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 33 Traducido por Rosy Einspahr
Estimación
“La producción de un estimado o un cálculo aproximado es una destreza importante de
la vida, así como un aspecto significativo del sentido numérico. En el mundo cotidiano del
consumidor y del trabajador, las respuestas estimadas se necesitan más a menudo que
las respuestas exactas. El estimar y verificar la sensatez de las respuestas necesitan un
énfasis en particular si los niños van a darle el uso más eficaz a las calculadoras.” (Hope,
J. & Small, M. 1994)
Las investigaciones han demostrado que los niños pueden construir métodos de
estimaciones que tengan sentido para ellos. (Sowder, J. & Wheeler, M., 1989)
Los estudiantes de los grados intermedios que están desarrollando el conocimiento de la
base de diez deben predecir de manera rutinaria la respuesta aproximada (tamaño
relativo o magnitud) de un cálculo. Los maestros deben establecer una norma en la clase
para hacer de la estimación una rutina.
La estimación también proporciona una manera efectiva para que los estudiantes
aprendan a elegir una estrategia apropiada para cierto conjunto numérico y saber
cuando los resultados tienen sentido. La estimación promueve:
“Las respuestas estimadas no deben verse
como respuestas de “segundo índice”. En la
mayoría de los casos, una respuesta estimada es
suficiente para resolver un problema y en algunos
casos, tal vez sea la única respuesta posible”.
-Interactions Curriculum, 1994
• el sentido numérico
• la elección flexible de un método de cálculo o algoritmo
• la capacidad mental matemática
• menos dependencia de las calculadoras para cálculos simples
Los maestros deben pedirles a los estudiantes que utilicen sus propios métodos para
hacer estimaciones y captar su interés en discusiones para comparar métodos.
Las reglas de rutina no les ayudan a los estudiantes a ser mejores en las estimaciones.
Sin embargo, los estudiantes pueden utilizar métodos comunes como compensar o
reformular el problema para estimar. Ambos utilizan relaciones numéricas para refinar un
estimado. Por ejemplo 27 + 34 se puede enseñar como 20 + 30 + 10 (del 7+4) o
simplemente 30 + 30 (debido a que tanto el 27 como el 34 difieren del 30 por una
cantidad similar pero “opuesta”)
Capítulo 6 Página 34 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para facilitar la estimación:
utilice números dentro del rango de los estudiantes
utilice operaciones que los estudiantes entiendan
pídales a los estudiantes que elijan de un conjunto de tres estimaciones que usted proporcione
pídales a los estudiantes que proporcionen un rango detro del cual estará la respuesta
tenga discusiones sobre la manera en que las operaciones cambian números (tenga en cuenta que la división no siempre hace a un número más pequeño o que la multiplicación hace a un número más grande)
pídales a los estudiantes que hagan sus estimaciones “en voz alta”
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 35 Traducido por Rosy Einspahr
Cálculos mentales
Los estudios han demostrado numerosos beneficios sobre los cálculos mentales (Reys,
1984, Hope, 1986). “El asunto crucial no se trata de cómo se logran los cálculos, sino
saber cuándo y cómo se usa la aritmética para resolver problemas o contestar preguntas
que, de hecho, son importantes en la vida de las personas. El insistir en que todos los
niños tienen que hacer los cálculos con papel y lápiz de manera excelente, pone el
énfasis en el lugar equivocado en cuanto a los medios, en vez de los resultados de los
cálculos”. (Usiskin,1978) El uso de las calculadoras ha causado que los educadores
reexaminen el propósito de los cálculos mentales en la intrucción matemática.
El dominio del cálculo significa que los estudiantes calculan mentalmente, estiman y
utilizan algoritmos escritos para números más pequeños y reservan las calculadoras para
números difíciles de manejar.
El cálculo mental es:
• una destreza práctica de vida
• puede mejorar la eficacia de los cálculos con lápiz y papel.
• la base de la mayoría de los procedimientos de estimación
• conduce a un mejor entendimiento del valor numérico, operaciones matemáticas y relaciones numéricas
Se debe fomentar el cálculo mental. Los maestros pueden ayudarles a los estudiantes a
calcular mentalmente al:
alentar a los estudiantes a utilizar un método que tenga sentido para ellos
utilizar lápiz y papel según sea necesario en parte de un cálculo más difícil
platicar con los estudiantes mientras hacen sus cálculos (los maestros proporcionan sub-cálculos según sea necesario)
Capítulo 6 Página 36 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estrategias de solución
Una estrategia de solución puede consistir de dos componentes:
• la construcción mental de un estudiante (un entendimiento particular de las matemáticas)
• la manera de un estudiante para representar la construcción (cuando se usa)
El análisis del maestro de la construcción mental de un estudiante y la representación del
estudiante (cuando se usa) proporciona un entendimiento profundo sobre el desarrollo
del sentido numérico de un estudiante y guía la instrucción.
Por ejemplo, un estudiante que cuenta progresivamente 5 unidades para resolver 67 + 5
tiene una construcción mental diferente a un estudiante que descompone el 3 y 2, luego
le suma 3 al 67 para formar 70, y 2 al 70 para formar 72. Ambos estudiante pueden
representar su construcción mental con la ecuación 67 + 5 =72.
Sin embargo, es importante mencionar que el representar la solución con esta ecuación
no demuestra que el primer estudiante cuenta progresivamente de uno en uno o que el
segundo estudiante descompone el número cinco. Solamente a través de la observación
y la discusión un maestro sabrá las construcciones mentales que un estudiante tiene.
Hay a menudo más de una manera para representar una construcción mental en
particular. Por ejemplo, el estudiante que “cuenta progresivamente de uno en uno”
podría utilizar una recta numérica vacía con 5 saltos iniciando con 67 y terminando en
72. Alternativamente, ese mismo estudiante podría escribir el número “67” y cada
número que se cuenta “68, 69, 70, 71, 72” o mostrar cinco rayitas de conteo.
o
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 37 Traducido por Rosy Einspahr
El estudiante que descompuso el 5 en 3+ 2 podría utilizar una recta numérica vacía o un
lenguaje con flechas para demostrar la suma de 3 y 2 a 67 en aumentos.
o
El trabajo escrito de un estudiante proporciona un recurso valioso para la discusión y la
evaluación del progreso. Los maestros ayudan a los estudiantes a desarrollar rutinas y
hábitos para registrar sus soluciones.
Más adelante, los estudiantes que desarrollan sus propias estrategias, a menudo
proporcionan nuevos conceptos matemáticos útiles para la discusión en clase. Por
ejemplo, para resolver 235-89 un estudiante que entiende los números negativos puede
representar su razonamiento de la siguiente manera:
Los estudiantes deben desarrollar el uso flexible de estrategias a lo largo de los grados
intermedios y seguir creciendo a niveles más altos de restas (desde el uso de objetos
concretos hasta el uso de símbolos y desde el razonamiento para sumar hasta el
razonamiento proporcional).
Las discusiones sobre el trabajo del estudiante proporcionan oportunidades excelentes
para que los maestros entiendan a sus estudiantes y los efectos de su enseñanza.
Capítulo 6 Página 38 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Más de una estrategia
Los maestros deben captar el interés de los estudiantes en muchas conversaciones sobre
las diferencias y similitudes entre las estrategias presentadas por los estudiantes.
También considere analizar cada estrategia por su precisión, eficacia o generalización.
Una manera de desarrollar flexibilidad, precisión y eficacia con los cálculos mentales es
pedirles a los estudiantes que resuelvan problemas en más de una manera. Cuando se
les pide a los estudiantes que encuentren una segunda estrategia, los números en el
problema seleccionado deben prestarse a diferentes estrategias, tales como involucrar
estrategias de descomposición/composición, compensación o aumento.
La “segunda estrategia” debe comenzar con los números en el problema como si la
solución fuera desconocida en vez de utilizar la respuesta y una operación inversa para
“verificar” la solución. El siguiente problema se presta a una variedad de estrategias de
solución.
Jamal recolectó 178 conchas en la playa. Mark recolectó 52 conchas. ¿Cuántas conchas recolectaron los niños?
Algunas posibles estrategias incluyen:
• 178 + 2 es igual a 180 más 20 es igual a 200 + 30 es igual a 230
• piensa en 52 como si fuera 50 y 50 para 178 es 228 más 2 es igual a 230
• 17 decenas y 5 decenas es 220, 8 y 2 forman otro 10, entonces es igual a 230
• 8 + 2 es diez, y 170 + 50 dan 220, luego se le suma el diez para formar 230
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 39 Traducido por Rosy Einspahr
Considere lo siguiente cuando les pida a los estudiantes que resuelvan los problemas de
una segunda manera:
¿Puede el estudiante representar y hablar sobre las estrategias y hacer comparaciones con respecto a las estrategias de otro estudiante?
¿Cuál es el propósito de pedirle al estudiante que resuelva el problema en más de una manera?
¿Tiene el estudiante el sentido numérico necesario para resolver el problema en más de una manera?
¿El método de usted le ayudará al estudiante a construir el sentido numérico o a desarrollar estrategias más eficaces?
¿El resolverlo de una segunda manera le ayudará al estudiante a verificar la precisión de su primera estrategia?
¿Qué hará el estudiante con la segunda estrategia?
• ¿Comparará el estudiante la segunda estrategia con la primera estrategia?
• ¿Cuáles son los criterios de comparación? (¿eficacia, hacer conexiones y construir el sentido numérico, verificar la precisión?)
Los estándares del MMSD indican el nivel mínimo de dominio para el cálculo mental en
cada nivel de grado.
Nota: Los estudiantes que solamente pueden modelar una solución con bloques o dibujos
no tendrán una segunda estrategia y necesitarán apoyo para desarrollar el sentido
numérico.
Además, los estudiantes que solamente pueden resolver un problema utilizando un
algoritmo memorizado tal vez necesiten apoyo para desarrollar el sentido numérico para
entender o utilizar una segunda estrategia más eficiente. Por ejemplo, los estudiantes
que utilizan el algoritmo estándar para 301-6 o 301-298 tal vez necesiten apoyo para
desarrollar el sentido numérico para la resta.
Capítulo 6 Página 40 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Representando soluciones
Los estudiantes representan sus pasos de razonamiento para resolver problemas
matemáticos de varias maneras. Los propósitos para registrar los pasos de razonamiento
incluyen:
• adquirir conceptos nuevos
• modelar un problema
• resolver problemas que tienen pasos múltiples o que involucran números u operaciones que no son calculadas mentalmente de manera fácil (p.ej. números grandes, fracciones, etc.)
• comunicar soluciones a otros
• analizar estrategias
Los estudiantes deben crear o escoger representaciones que tengan sentido para ellos y
que reflejen su entendimiento. Ellos tal vez necesiten atención enfocada para el
desarrollo de las estrategias para registrar sus propias soluciones y apoyo con el uso de
nuevos métodos.
Cada representación es única en su utilidad y el desarrollo conceptual que apoya. Por
ejemplo, los bloques de base de diez sugieren estrategias de valor numérico, las tablas
numéricas de cien estimulan un patrón secuencial del conteo de diez en diez y una recta
numérica vacía desarrolla una importante organización numérica lineal.
Algunos estudiantes tal vez se vuelvan dependientes de un modelo en particular para
resolver problemas y no desarrollen más conexiones matemáticas. Los maestros podrían
recordarles a los estudiantes que usen lo que ya saben mientras resuelven problemas.
El dominio de los cálculos escritos es una de los muchos objetivos para la instrucción de
las matemáticas. En los grados intermedios, las calculadoras en la escuela primaria
pueden interferir con el desarrollo del sentido numérico y deben reservarse para
exploraciones como el revelar patrones numéricos.
Las siguientes representaciones son apropiadas para apoyar la construcción de conceptos
matemáticos en los estudiantes de los grados intermedios. Si el estudiante no tiene una
representación útil de su estrategia, los maestros pueden modelar una representación.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 41 Traducido por Rosy Einspahr
Flechas de valor numérico
Las flechas de valor numérico les ayudan a los estudiantes a ver los “ceros escondidos”
detrás de un número de dígitos múltiples. A la par con los bloques de base de diez
pueden ayudar a los estudiantes a entender cómo escribir cantidades y descomponer
números utilizando la notación expandida.
Capítulo 6 Página 42 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Bloques de base de diez
Los bloques de base de diez les ayudan a los estudiantes a ver que un grupo de diez
unidades es lo mismo que un solo grupo una decena. De manera parecida, los
estudiantes pueden ver con más facilidad que un “bloque plano de 100” está hecho de
10 decenas y 100 unidades.
Los bloques de base de diez deben estar disponibles para cada sesión de resolución de
problemas y de manera decisiva utilizarlos según sea necesario para resolver o explicar
estrategias de solución.
Enséñeles a los estudiantes a representar el uso de los bloques de base de diez como
símbolos en pizarrones blancos o en papel utilizando los siguientes símbolos:
1 10 100
Hay varias maneras de utilizar estos símbolos para reflejar el proceso de solución de un
estudiante. El siguiente método utiliza la descomposición de una unidad de un valor más
elevado de 100 y 10.
Para demostrar 237-79:
8100
50
Los estudiantes pueden escribir la cantidad debajo de cada grupo de unidades, decenas y centenas que formen la respuesta.
Anime a los estudiantes a mostrar “unidades” y “decenas” en grupos de 5.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 43 Traducido por Rosy Einspahr
Recta numérica vacía
La ‘recta numérica vacía’ es un modelo que refuerza una organización numérica lineal
(recta de conteo mental). Se puede adaptar para satisfacer las necesidades de los
estudiantes a medida que su entendimiento sobre los conceptos del valor numérico va
cambiando desde el uso de objetos hasta el uso de estrategias de cálculo mental.
La recta numérica vacía es particularmente útil para el entendimiento o para “ver” la
diferencia entre dos números. A medida que se desarrolla la fluidez de los conceptos del
valor numérico, la recta numérica vacía proporciona una manera útil para llevar la cuenta
de cada paso en el proceso de la resolución de un problema más complejo.
Abajo se muestran tres maneras de soluciones posibles para un problema de tipo Suma,
segundo sumando desconocido (JCU) utilizando una recta numérica vacía.
Christel tiene 17 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para comprar un cachorro que cuesta 75 dólares?
Capítulo 6 Página 44 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Consejos de enseñanza
• DEMUESTRA EL CONOCIMIENTO DE UN ESTUDIANTE SOBRE EL ORDEN NUMÉRICO Y MAGNITUD Y EL USO DE PUNTOS DE REFERENCIA (DECENAS EXACTAS, CENTENAS, MILLARES)
• SE EMPAREJA MUY DE CERCA A LAS ESTRATEGIAS INTUITIVAS MENTALES DE LOS ESTUDIANTES Y DEBE REFLEJAR SU RAZONAMIENTO EN VEZ DE SER ENSEÑADO COMO UN PROCEDIMIENTO PARA SER UTILIZADO CON TODOS LOS CÁLCULOS.
• LLEVA LA CUENTA DE LOS ERRORES Y LES PERMITE A LOS ESTUDIANTES PENSAR QUÉ HACER DESPUÉS CUANDO CIERTO CÁLCULO ES DEMASIADO DIFÍCIL PARA HACERLO “MENTALMENTE”
• LOS NÚMEROS SIEMPRE DEBEN AUMENTAR DE TAMAÑO DE IZQUIERDA A DERECHA
• “LOS SALTOS” NO NECESITAN SER PROPORCIONALES AL TAMAÑO DE LA CANTIDAD NUMÉRICA.
• REPORTE SOLAMENTE LOS NÚMEROS RELEVANTES EN LA LÍNEA (P.EJ. ETIQUETE LOS PUNTOS DE “ATERRIZAJE” A MENOS QUE SE CUENTE DE UNO EN UNO Y ETIQUETE LOS “SALTOS” MAYORES DE UNO CON UN NÚMERO (LA OPERACIÓN ES OPCIONAL)
• ES ÚTIL PARA DEMOSTRAR EL “CONTEO PROGRESIVO”, LAS ESTRATEGIAS DE INCREMENTAR O COMPENSAR Y PARA DEMOSTRAR SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE SUMA, RESTA, COMPARACIÓN Y LA SUMA REPETITIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN.
• COMIENCE DESDE EL CERO PARA LA MULTIPLICACIÓN
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 45 Traducido por Rosy Einspahr
Lenguaje con flechas
El lenguaje con flechas proporciona otra representación fácil de usar de los procesos de
razonamiento de un estudiante. Los maestros algunas veces se refieren al lenguaje con
flechas como un “tren de razonamiento”.
Para enseñar el lenguaje con flechas, comience con un simple cálculo que el estudiante
pueda hacer “en su cabeza”. Después construya el “tren de razonamiento” que
representa cada paso del proceso de razonamiento del estudiante. Muestre varias
soluciones al mismo problema. Después, compare y contraste para la precisión y la
eficacia.
Abajo se muestran tres posibles soluciones para el siguiente problema de tipo Resta,
sustraendo desconocido (SCU) utilizando el lenguaje con flechas.
Madelyn tiene 132 timbres en su colección de timbres. Ella le dio algunos de sus timbres a Angie. Ahora le quedan 93 timbres. ¿Cuántos timbres le dio a Angie?
Las cantidades de arriba de la flecha están combinadas para determinar cuantos timbres se regalaron.
Capítulo 6 Página 46 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Consejos de enseñanza
• PUEDE REVELAR EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE SOBRE EL ORDEN NUMÉRICO Y MAGNITUD
• SE EMPAREJA MUY DE CERCA CON LAS ESTRATEGIAS MENTALES INTUITIVAS DE LOS ESTUDIANTES Y DEBE REFLEJAR SU RAZONAMIENTO EN VEZ ENSEÑARSE COMO UN PROCEDIMIENTO PARA UTILIZARLO CON TODOS LOS CÁLCULOS
• LLEVA LA CUENTA DE LOS ERRORES Y LES PERMITE A LOS ESTUDIANTES PENSAR QUÉ HACER DESPUÉS CUANDO CIERTO CÁLCULO ES DEMASIADO DIFÍCIL PARA HACERLO “MENTALMENTE”
• ESCRIBIR LAS FLECHAS SOLAMENTE DE IZQUIERDA A DERECHA
• SE PUEDE USAR PARA TODAS LAS OPERACIONES Y PARA MÁS DE UNA OPERACIÓN EN UNA SERIE
• EL LARGO DEL “TREN DE RAZONAMIENTO” SE REDUCIRÁ A MEDIDA QUE LOS CÁLCULOS MENTALES DEL ESTUDIANTE MEJORAN PARA CIERTO CONJUNTO DE NÚMEROS Y OPERACION
• NO TERMINE EL TREN CON UN SIGNO IGUAL
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 47 Traducido por Rosy Einspahr
Modelo de matriz (para la multiplicación)
Este modelo puede ayudarles a los estudiantes a ver una conexión entre una suma
repetitiva y la multiplicación, así como desarrollar un entendimiento de la propiedad
conmutativa para la multiplicación.
Los estudiantes hacen el modelo de matriz utilizando cubos de Unifix o con lápiz y papel.
Para el problema:
El maestro de música quiere organizar las sillas en 6 filas con 3 sillas en cada fila. ¿Cuántas sillas necesitará el maestro?
Utilizando símbolos:
X X X X X X
X X X X X X 3
X X X X X X
6
Utilizando cubos de Unifix:
Utilizando un modelo de área (se discute en la siguiente página):
3
6
Capítulo 6 Página 48 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Modelo de área (para la multiplicación)
Un modelo de área les ayuda a los estudiantes a llevar la cuenta de los productos
parciales de un cálculo de dígitos múltiples y a entender la propiedad distributiva.
Introduzca el modelo de área utilizando primero papel cuadriculado. Más adelante los
estudiantes pueden hacer un dibujo general del modelo sin mostrar todas las unidades.
Por ejemplo los estudiantes podrían modelar 16 X 12 en una gráfica de papel como:
Consejos de enseñanza
2 x 10
10 x 610 x 10
2 x 6
10
10 6
2
10 x 10 = 100 10 x 6 = 60 2 x 10 = 20 2 x 6 = 12 100 + 60 + 20 + 12 = 192
• LOS ESTUDIANTES COMIENZAN MODELANDO LA MULTIPLICACIÓN CON UN SOLO DÍGITO, LUEGO 10 X UN SOLO DÍGITO, UNA DECENA EXACTA X UN SOLO DÍGITO, UNA DECENA EXACTA X UNA DECENA EXACTA, UNA DECENA EXACTA X UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS (QUE NO SEA DECENA EXACTA), UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS QUE NO SEA UNA DECENA EXACTA X UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS QUE NO SEA UNA DECENA EXACTA Una
secuencia de modelos: 3 x 4 10x4 30x4 30x40 30x46 35x46
• LOS ESTUDIANTES DEBEN SABER LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN BÁSICAS, 10 X 10 Y ESTRATEGIAS DE CÁLCULOS MENTALES ANTES DE UTILIZAR ESTE MODELO
• MARQUE LOS GRUPOS DE DIEZ EN LA GRÁFICA Y ETIQUETE LOS LADOS DEL ÁREA GRAFICADA
• PÍDALES A LOS ESTUDIANTES QUE REGISTREN LOS PRODUCTOS PARCIALES EN UNA LISTA
• COMPARE ESTA ESTRATEGIA CON LOS OTROS ALGORITMOS PARA ENCONTRAR CONEXIONES
• EVENTUALMENTE LOS ESTUDIANTES TAL VEZ SOLO HAGAN UN DIBUJO GENERAL Y UTILICEN EL MODELO COMO UN ORGANIZADOR GRÁFICO PARA SU RAZONAMIENTO.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 49 Traducido por Rosy Einspahr
Tabla de proporciones
La tabla de proporciones les ayuda a los estudiantes a llevar la cuenta de las relaciones
multiplicativas (proporciones). Es útil para la resolución de agrupaciones y los problemas
de división partitiva (PD) y de división con factor desconocido (MD).
Introduzca la tabla de proporciones con un problema matemático que involucre una
agrupación obvia.
Por ejemplo:
Un carro tiene cuatro llantas. ¿Cuántas llantas habrá en 48 carros?
Tal vez vea a estudiantes que sumen uno o dos grupos a la vez, que dupliquen los
grupos, que usen decenas o una combinación de estas estrategias como se ve abajo
para el siguiente problema de división con factor desconocido (MD):
¿Cuántas llantas tendrían 48 carros?
carros 1 2 4 8 6 1 32 48
llantas 4 8 6 4 8 1 32 6 12 192
carros 2 4 6 8 10 20 30 40 48
llantas 8 16 24 32 40 80 120 160 192
carros 10 0 0 8 2 4 48
llantas 40 0 0 2 8 16 32 19
carros 10 0 8 4 48
llantas 40 0 16 32 192
Consejos de enseñanza
• ÚTL PARA TODOS LOS PROBLEMAS DE AGRUPACIÓN Y PARTITIVOS (MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (MD), DIVISIÓN PARTITIVA (PD)
• LOS ESTUDIANTES DECIDEN DE QUE MANERA LA PROPORCIÓN “CRECE” Y “ENCOGE”
• OBSERVE CÓMO LOS ESTUDIANTES RAZONAN UTILIZANDO LA TABLA
• LAS TABLAS DE PROPORCIONES SE REDUCIRÁN A MEDIDA QUE LOS CÁLCULOS MENTALES MEJOREN BASÁNDOSE EN EL MEJORAMIENTO DEL SENTIDO NUMÉRICO – ASEGÚRESE QUE LOS ESTUDIANTES JUSTIFIQUEN LA ELECCIÓN DE SUS NÚMEROS
Capítulo 6 Página 50 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Ecuaciones
Una secuencia de ecuaciones se puede usar para llevar la cuenta de un cálculo. Por
ejemplo, los estudiantes podrían usar una serie de ecuaciones para representar la
solución de:
Un pastelero podría hacer 6 docenas de galletas en una sola vez (en una tanda). Puede hacer 8 tandas en una hora, ¿cuántas galletas puede hacer en 4 horas?
6 x 10 = 60
6 x 2 = 12
60 x 12 = 72
70 x 8 = 560
2 x 8 = 16
560 x 16 = 576
500 x 4 = 2000
70 x 4 = 280
6 x 4 = 24
2000 + 280 + 24 = 2304
Consejos de enseñanza
• SE PUEDE UTILIZAR UNA SERIE DE ECUACIONES PARA DEMOSTRAR LOS CÁLCULOS PARA TODAS LAS OPERACIONES
• LOS ESTUDIANTES DECIDEN QUÉ ECUACIONES MEJOR REPRESENTAN SU RAZONAMIENTO
• EL MAESTRO PUEDE ACTUAR COMO MODELO AL ESCRIBIR CÓMO LAS ECUACIONES PUEDEN DEMOSTRAR LOS PASOS DE RAZONAMIENTO
• PREGÚNTELES A LOS ESTUDIANTES QUE BUSQUEN CONEXIONES ENTRE LAS ECUACIONES Y OTRAS REPRESENTACIONES
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 51 Traducido por Rosy Einspahr
Algoritmos
Un algoritmo es un “procedimiento finito de paso a paso para lograr cierto ejercicio que
queremos completar”. (Usiskin 1998, p. 7) Más específicamente, “un algoritmo consiste
en una secuencia especificada de manera precisa de pasos que conducirán a una
solución completa para cierta clase de problemas de cálculos”. (Bass, TCM, 2003 p.323)
Antes de enseñar cualquier algoritmo los maestros consideran:
• ¿Qué entendimientos/destrezas necesita un niño para entender el algoritmo?
• ¿Qué entendimientos/destrezas necesita un niño para hacer el algoritmo?
Ha existido mucha confusión en cuanto a si los niños deberían aprender algoritmos
“estándar” o más tradicionales. Las investigaciones han demostrado que el enseñar los
algoritmos estándar demasiado temprano de manera precisa, interfiere con el desarrollo
del conocimiento numérico del estudiante (Kamii, 2004). La pregunta de si se deben
enseñar los algoritmos estándar se trata realmente de una pregunta acerca de si el
estudiante entiende o no las matemáticas que conllevan tales algoritmos.
Los cuatro algoritmos estándar que aprendemos son rápidos de memorizar pero
propensos a errores por la misma razón. Aunque son eficientes, esconden los conceptos
matemáticos necesarios para construir el sentido numérico. Los estudiantes pueden
generalmente justificar su uso solamente como “trucos” o como algo “que mi maestro
me enseñó”. El aprender algoritmos sin un sentido simultáneo, da como resultado una
“competencia” sin fundamentos en las matemáticas.
Los algoritmos sí tienen usos prácticos y una importancia teórica en las matemáticas.
Deben ser juzgados por su fiabilidad, generalidad, eficacia, facilidad de uso preciso y
transparencia. La meta primaria de enseñar algoritmos se debe enfocar en el análisis de
por qué funcionan y la comparación entre algoritmos. El comparar dos o más algoritmos
para cierto cálculo puede conducir a un entendimiento más profundo de las matemáticas
y extender la flexibilidad de un estudiante para elegir un método apropiado para cierto
conjunto numérico.
Los estudiantes se vuelven más discernientes en cuanto a cuáles algoritmos o métodos
utilizar cuando los maestros motivan a los estudiantes a explorar y discutir estrategias
alternativas. Los estudiantes siempre deben explicar de qué manera los métodos o
algoritmos que eligen funcionan y responder preguntas sobre los conceptos matemáticos
que tal vez estén “escondidos” en cualquier estrategia que utilicen.
Capítulo 6 Página 52 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El escribir las ecuaciones de manera horizontal puede incitar al estudiante a utilizar el
sentido numérico y estrategias mentales al animar a los estudiantes a hacer una pausa y
considerar los números antes de resolverlos.
Los maestros deben evaluar frecuentemente para ver si los estudiantes se han vuelto
demasiado dependientes de algunos algoritmos en vez de utilizar el sentido numérico
para determinar la mejor estrategia para cierto conjunto numérico.
Por ejemplo, los estudiantes con un buen sentido del orden numérico no van a usar un
algoritmo para resolver 1000 – 9. Sin embargo, los estudiantes que dependen demasiado
en el algoritmo estándar de la resta “le tomarán prestado” a las decenas, centenas y
millares y a menudo cometen errores en el proceso de este simple cálculo.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 53 Traducido por Rosy Einspahr
Modelo de barras
Este modelo “lineal” representa las varias relaciones que hay en un problema matemático. Los estudiantes tal vez representen el cálculo necesario para llegar a la respuesta dependiendo de los números en el problema.
Pamela tiene 36 libros. Si los pone en 4 estantes de manera equitativa, ¿cuántos pone en cada estante?
Hillary gastó 3/10 de su dinero en un CD. Si el CD costó $12 ¿cuánto dinero le sobró?
Eduardo tiene 56 tarjetas para intercambiar. Alan tiene 17 tarjetas más para intercambiar que Eduardo. Susana tiene 23 menos que Alan. ¿Cuántas tarjetas tiene Susana?
Eduardo
Alan
Susana
12
?
?
36
?
23
17
56
Capítulo 6 Página 54 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones
El entender las fracciones es de vital importancia para el estudio futuro del álgebra y las
matemáticas más avanzadas. La meta de la instrucción de las fracciones es “discutir y
extender los conceptos que emergen mientras los estudiantes resuelven problemas.”
(Saxe y colaboradores, 1999)
De la misma manera que en otras áreas de competencia sobre la enseñanza numérica, el
enseñar las fracciones comienza con la resolución de problemas matemáticos. El utilizar
los problemas matemáticos ayuda a evitar malos entendidos. Las nociones comunes
limitadas que los estudiantes tienen sobre las fracciones en los grados intermedios
incluyen:
• Las fracciones son pedazos
• Las fracciones son siempre más pequeñas que un entero
• Los valores de las fracciones se determinan al contar partes
• Las fracciones son dos números
Para desarrollar los conceptos de las fracciones, los maestros:
escogen o diseñan problemas basados en evaluaciones y los conceptos de fracciones que quieran tratar. Vea los tipos de problemas matemáticos CGI en el Capítulo 6, p. 15 para tipos de problemas y problemas de ejemplo.
seleccionan números que tienen como resultado respuestas con partes fraccionales específicas para satisfacer las metas de enseñanza.
analizan las estrategias que los estudiantes utilizan para resolver los problemas
ayudan a los estudiantes a coordinar conceptos de fracción y símbolos de fracción
Los problemas de “repartición equitativa” proporcionan un buen punto de partida para el
estudio de las fracciones especialmente cuando se diseñan con contextos familiares para
los estudiantes. Estos problemas a menudo resultan en una variedad de soluciones que
conducen a discusiones sobre equivalencia.
Los problemas de “grupos equitativos” y “divisiones” proporcionan el “siguiente paso”
lógico que involucra la combinación de unidades fraccionales parecidas y proporciona
discusión sobre la necesidad de una unidad común.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 55 Traducido por Rosy Einspahr
Los maestros deben introducir los símbolos, el sentido numérico y el uso del lenguaje
matemático que vayan con las estrategias de los estudiantes a medida que resuelven
problemas.
pídales a los estudiantes que utilicen materiales físicos para crear modelos de cantidades fraccionales (que dibujen, que doblen, que corten o que sombreen)
utilice palabras de fracción tales como “dos tercios de una barra de dulce” o “un tercio más un tercio”, antes de escribir símbolos de fracción.
relacione fracciones desconocidas con fracciones bien conocidas, tales como ½ o ¼ (Es mayor que un cuarto pero menor que un medio.” o “Es menor que un quinto.”)
utilice un lenguaje que enfatice la relación de la cantidad fraccional a la unidad, en vez del número de piezas (¿Cuánto de esta pieza cabrá en toda la barra de dulce? en vez de “¿En cuántas piezas esta cortada la barra de dulce?”)
utilice “¿cuánto?” en vez de “¿cuántos? para indicar que se necesita una respuesta de fracción.
Los siguientes tipos de problemas construyen un cimiento sólido en el entendimiento de
las fracciones.
Comparación
División (el total dividido por el número de grupos)
Unir/separar (combinando unidades parecidas y diferentes)
Grupos iguales
División (el total dividido por el tamaño del grupo)
Operador
Equivalencia
Capítulo 6 Página 56 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Tipos de problemas de fracción
Tipo de problema Problemas de ejemplo
Comparación • ¿A quién le tocará más pizza: a un niño en una mesa donde 5 niños están compartiendo una pizza mediana, o en una mesa donde hay 6 niños compartiendo una pizza mediana?
• Susana y Jeremías, ordenaron cada uno una pizza del mismo tamaño. Susana se comió 3/4 de su pizza. Jeremías se comió 5/6 de su pizza. ¿Quién comió más pizza?
Repartición equitativa con una respuesta de > 1:
• Dos niños quieren compartir 5 galletas en partes iguales. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?
• Cuatro niños quieren compartir 10 barras de dulce de tal manera que le toque la misma cantidad a cada uno. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?
División (Total dividido entre la cantidad de grupos)
Repartición equitativa con una respuesta de < 1:
• Hay 1 pastelillo de chocolate para que 4 niños lo compartan en partes iguales. ¿Qué tanto del pastelillo le tocará a cada niño?
• Tres niños quieren compartir 2 barras de dulce en partes iguales. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?
• En una fiesta de cumpleaños, sobran 2/3 de una sandía en la mesa. Hay 4 niños en la fiesta que quieren compartir ésta sandía que sobró. Todos ellos quieren que les toque la misma cantidad y quieren terminársela. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?
Combinando unidades parecidas:
Janie tiene 4/5 de un galón de pintura azul que le sobró después de haber pintado su cuarto. John tiene 3/5 de un galón de la misma pintura azul que le sobró después de haber pintado una mesa. ¿Qué cantidad de pintura azul tienen en total?
Unir/Separar
Combinando unidades diferentes:
• Janie tiene 3/4 de un galón de pintura azul que le sobró después de haber pintado su cuarto. John tiene 3/8 de un galón de la misma pintura azul que le sobró después de haber pintado una mesa. ¿Qué cantidad de pintura azul tienen en total?
• Jason se comió 2/3 de un sándwich de helado y dejó que el resto se derritiera. Pero aún tenía hambre, entonces se comió 5/6 de otro sándwich de helado y dejó que el resto se derritiera. El hermano de Jason le dijo que ya había comido demasiado. Jason no lo creía. ¿Jason comió más o menos que 1 sándwich de helado completo en total? ¿Qué tanto comió Jason?
Eric y su mamá están haciendo bizcochos. Cada bizcocho lleva 1/4 de taza de betún. Harán 20 bizcochos. ¿Qué cantidad de betún necesitarán?
Grupos iguales
Contexto de repartición a la inversa:
Seis amigos compartieron algunas galletas. A cada persona le tocó 2 2/3 de galletas. ¿Cuántas galletas tenían en total?
División (total dividido entre el tamaño del grupo)
• Ollie tiene una máquina para hacer barquillos de nieve. Se necesita 2/3 de taza de hielo para hacer un barquillo de nieve. ¿Cuántos barquillos de nieve puede hacer Ollie con cuatro tazas de hielo?
• Puedes preparar 12 sándwiches de mantequilla de maní con un bote de mantequilla de maní. ¿Cuánta mantequilla de maní necesitas para hacer 15 sándwiches?
Operador Mayra trajo hoy 18 lápices a la escuela. Un tercio de los lápices tenían rayas, el resto eran lápices comunes. ¿Cuántos lápices tenían rayas? ¿Cuántos eran lápices comunes?
Si el equipo de fútbol vendiera 300 boletos para una rifa, tendrían el dinero suficiente para pagar nuevas playeras para el equipo. Hasta ahora los jugadores han vendido 2/3 de los boletos. ¿Cuántos boletos más necesitan vender?
Equivalencia En la clase de arte, el maestro reparte hojas de papel cartoncillo a grupos de niños para un proyecto. En una mesa hay 2 niños. El maestro les da 3 piezas de papel cartoncillo para que las compartan equitativamente entre ellos. En otra mesa hay 6 niños. ¿Cuántas piezas de papel cartoncillo debe darles el maestro para que a cada niño le toque la misma cantidad que a la primera mesa?
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 57 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 6 Página 58 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Geometría
Estos problemas desafían a los estudiantes a desarrollar el razonamiento espacial o el
sentido espacial al trabajar con figuras y formas para descubrir relaciones, ver formas
dentro de formas, clasificar de acuerdo a los atributos (incluyendo la simetría) y
examinar los resultados de voltear, deslizar y girar formas. Típicamente los problemas de
geometría en los grados intermedios incluyen “rellenar el espacio” con pentominos o
tangramas, descomponer y componer formas, entender el punto de vista y las “huellas”
de las formas en tercera dimensión.
Los estudiantes de los grados intermedios también desarrollan definiciones de las clases
de figuras y comienzan a utilizar vocabulario geométrico. Ellos amplían su conocimiento
sobre las propiedades de las figuras y aplican propiedades a todas las clases de figuras y
formas en vez de aplicarlas a modelos individuales y determinan nuevas propiedades. Por
ejemplo, encuentran maneras para clasificar los triángulos en grupos y definir los
diferentes tipos.
Durante los grados intermedios los maestros hacen preguntas que conducen a formular y
examinar hipótesis. Preguntas como “¿Funciona eso todo el tiempo? o ¿Es verdadero
para todos los triángulos o solo para los triángulos equiláteros?” dan lugar a que los
estudiantes expandan su entendimiento sobre la forma.
La geometría en los grados intermedios incluye:
• entender qué hace que las formas sean diferentes y parecidas basándose en las propiedades geométricas
• describir las formas en cuanto a su ubicación en un plano o en el espacio (coordenadas)
• aprender como se pueden mover las formas en un plano (traslaciones)
• “ver” formas desde diferentes perspectivas y entender las relaciones que existen entre figuras bidimensionales y tridimensionales.
• transformar, descomponer y componer formas de manera mental.
Los maestros pueden utilizar los recursos curriculares del distrito escolar para los
problemas de geometría. Al final de este capítulo se enlistan recursos adicionales para
problemas de geometría en la sección de Para más información.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 59 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de geometría con objetos manipulables
Las siguientes actividades introducen formas de 2 y 3 dimensiones y proporcionan
oportunidades para que los estudiantes desarrollen y utilicen un lenguaje geométrico.
Los maestros o estudiantes deben enlistar gráficamente el vocabulario que utilizan
durante la apertura de estas investigaciones y referirse a la lista de vocabulario con
frecuencia.
EXPLORAR – Los estudiantes se van familiarizando con las formas al hacer sus construcciones y al hablar sobre las mismas.
ORDENAR Y CLASIFICAR – Clasifique un conjunto de objetos manipulables y hable sobre dicha clasificación. Haga una lista de las propiedades para el grupo. Alternativamente, organice los diferentes objetos manipulables para que cada uno se relacione con el siguiente de alguna manera. (p.ej. ponga en una fila los pentominos para que cada pentomino tenga solo un cuadrado en una posición diferente que el que está al lado del mismo.
ATRIBUTOS – Los estudiantes necesitan tiempo para aprender los atributos de los objetos manipulables, tales como tamaño, número de lados, simetría, esquinas. Actividades, tales como “Adivina mi figura” (un estudiante construye una figura, el otro estudiante tiene que formar la misma figura al escuchar o leer instrucciones) o “Adivina mi regla” (Diagrama de Venn) proporcione excelentes oportunidades para que los estudiantes desarrollen su vocabulario geométrico.
PARTES FRACCIONALES – Pídales a los estudiantes que encuentren combinaciones de figuras que hagan otras figuras. Después pídales que identifiquen las relaciones fraccionales entre las figuras y que expliquen su razonamiento.
TRANSFORMACIONES – Pídales a los estudiantes que determinen qué figuras se convierten en nuevas figuras a través de una transformación (deslizar, voltear, girar) y qué figuras permanecen igual.
SIMILITUD/CONGRUENCIA – Pídales a los estudiantes que determinen qué figuras, si es que hay alguna, son similares o congruentes a otras figuras.
DIBUJAR – Haga que los estudiantes dibujen tanto figuras bidimensionales como tridimensionales y que vean las relaciones que existen entre los lados.
Capítulo 6 Página 60 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 61 Traducido por Rosy Einspahr
Geometría en el bloque de resolución de problemas
Los problemas de geometría desafían a los estudiantes a pensar sobre las relaciones espaciales, ver formas dentro de otras formas, clasificar por medio de atributos (incluyendo la simetría) y examinar los resultados de las transformaciones, tales como voltear, deslizar y girar figuras. Cuando se planea la instrucción de la geometría para cada estudiante, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de geometría para los grados de 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que “es nuevo” para el nivel de grado. Vea el apéndice para ideas de introducción para los problemas de geometría.
Estudiantes de tercer grado:
Investigan círculos, polígonos (octágono, hexágono, rombo, trapezoide, paralelogramo, cuadrado, rectángulo y triángulo), poliedros (pirámides, cubo, prisma hexagonal, octagonal, triangular, cuadrado y rectangular) y otros sólidos (hemisferio, esfera, cilindro, cono). El estudiante:
• compara los atributos de una clasificación • identifica las propiedades de las formas • nombra las formas y utiliza lenguaje geométrico (P.ej. lado, cara, vértice, orilla) • construye con figuras geométricas o modelos de la computadora (P. ej. Geo-Logo,
tetrominos, geoplanos, pentominos, fichas cuadradas, Geoblocks, bloques de patrón) • predice los resultados de juntar y separar figuras • ordena y clasifica las figuras de acuerdo a su atributos • relaciona modelos geométricos a las formas que se encuentran en el medio ambiente
Dibujan: • las figuras geométricas de los objetos en el medio ambiente • una figura bidimensional (rectángulo, triángulo, cuadrado, círculo) • la vista frontal o superior de un objeto tridimensional.
Investigan la simetría de figuras bidimensionales al: • determinar que movimientos dejan a las figuras de dos dimensiones (que no tienen
patrón) sin ningún cambio. (p.ej. deslizar, rotar a la mitad, rotar un cuarto, voltear hacia arriba o hacia abajo, voltear hacia los lados)
• doblar el papel para hacer una figura con simetría de espejo • utilizar un espejo para identificar todas las líneas de simetría para cierto objeto
Determinan redes múltiples (patrones planos) de un cubo y pirámides cuadradas al:
• construir y destruir figuras • dibujar redes
Especifican ubicaciones, relaciones espaciales y movimiento. El estudiante:
• ubica puntos en los mapas y cuadrículas coordenadas simples con letras y números • representa puntos y figuras simples en mapas y cuadrículas coordenadas simples con
letras y números • resuelve problemas que involucran figura, movimiento y espacio • utiliza palabras tales como ½ vuelta, vuelta completa, paralelo, perpendicular,
intersección, adyacente a, interior de, adelante, atrás, derecha, izquierda, cerca, lejos, sobre, debajo, al lado de y entre
Utilizan modelos geométricos para resolver problemas en otras áreas de las matemáticas tales como número y medición. (P.ej. modelo de área de multiplicación o partes fraccionales, rellenando una caja abierta para determinar el volumen)
Los estudiantes de cuarto grado también: • identifican y describen las figuras tridimensionales
desde múltiples perspectivas
• determinan el número de caras, orillas y vértices (esquinas) dada una ilustración de una figura tridimensional
• comparan atributos de una clasificación • lados paralelos • número de lados (figuras bidimensionales)
• nombran figuras y utilizan lenguaje geométrico (P. ej. Rectas, segmento de recta, paralelo, perpendicular, ángulo recto)
• construyen con figuras geométricas o modelos de la computadora (P. ej. Geoplanos u hojas de puntos)
Demuestran un entendimiento de la simetría de las figuras bidimensionales.
• determinan qué movimientos dejan a las figuras de dos dimensiones (sin patrón) sin ningún cambio (P. ej. giro de 180 grados, 90 grados)
Determinan redes múltiples (patrones planos) de sólidos geométricos.
Especifican ubicaciones, describen relaciones espaciales y movimientos.
• declaran las coordenadas de los puntos, objetos y figuras simples en mapas o un cuadrante de cuadrículas coordenadas
• ubican y grafican puntos en mapas y un cuadrante de cuadrículas coordenadas
• utilizan palabras tales como congruente y similar
Los estudiantes de quinto grado también:
Investigan el entendimiento de los polígonos irregulares (3-, 4-, 5-, 6-, 8-lados):
• clasifican las figuras de dos dimensiones por sus características de ángulos
• nombran figuras y utilizan lenguaje geométrico (P.ej. rayo, recta, segmento de recta, agudo-, obtuso-)
Demuestran un entendimiento de la simetría en las figuras bidimensionales.
• diseñan figuras que tengan al menos una recta de simetría.
• determinan la congruencia y similitud de figuras
Especifican ubicaciones, describen relaciones espaciales y movimientos.
• ubican el cuarto par coordenado cuando se dan tres vértices de un cuadrilátero en un cuadrante de una cuadrícula coordenada.
Capítulo 6 Página 62 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 63 Traducido por Rosy Einspahr
Medición
La medición es el uso más común de los números en la experiencia diaria. El tema sobre la medición une el
número y la geometría. Cuando los estudiantes averiguan cuantas pulgadas cúbicas llenan un contenedor,
utilizan números para comunicarse sobre el espacio tridimensional.
El uso de números para representar la medición requiere de un razonamiento abstracto. A medida que los
estudiantes avanzan de contar objetos concretos a contar espacio, a menudo no se dan cuenta que los
números hacen referencia al espacio total que ellos están contando. Por ejemplo, ellos cuentan las marcas
que hay en una regla o en una taza como si fueran objetos por separado en vez de cantidades continuas.
El punto cero es otro concepto que a los niños a menudo se les escapa. Al proporcionar reglas “que no
funcionan” (parte de una regla sin la marca del cero) proporciona una evaluación rápida del entendimiento
de los estudiantes sobre el punto cero (el punto de partida de una medición) También el pedirles a los
estudiantes que midan una línea torcida sirve como una evaluación fácil sobre los conceptos fundamentales
de la medición.
El manipular unidades para medir la longitud, el peso, la capacidad y el volumen y el aprender a cómo
utilizar las herramientas para medir estos atributos sirve como el enfoque para resolver problemas. La
medición puede ser un tema para los problemas matemáticos.
Por ejemplo, los estudiantes recolectan medidas en un experimento de ciencias para construir una tabla de
datos. Después los maestros utilizan los datos de medición para escribir una serie de problemas
matemáticos.
Las conversiones de medición proporcionan una situación natural de agrupación y repartición para la
resolución de problemas. Los grupos de 16 onzas se vuelven una libra, las pulgadas se convierten en pies y
así sucesivamente. Las múltiples experiencias con conversiones de medición desarrollan un razonamiento
proporcional.
La medición lineal proporciona un contexto excelente para desarrollar el entendimiento de partes
fraccionales. Tanto el nombrar fracciones como combinar o separar partes fraccionales emerge del trabajo
con medida lineal.
La medida del área proporciona un contexto para desarrollar el entendimiento de la multiplicación de dígitos
múltiples y apoya los conceptos algebraicos tales como la propiedad distributiva.
La medición en los grados intermedios incluye:
• entender los atributos y comparar objetos con los mismos atributos
• familiarizarse con unidades comunes utilizadas para medir
• estimar medidas a partir de puntos de referencia personales
• entender las herramientas de medición
• explorar las fórmulas de área y volumen
• entender de qué manera se relacionan el área, el perímetro y el volumen
Los materiales curriculares del distrito escolar tanto para las matemáticas como para las ciencias
son recursos para problemas de medición.
Capítulo 6 Página 64 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 65 Traducido por Rosy Einspahr
La medición en el bloque de resolución de problemas
Los problemas de medición involucran relaciones entre número y forma, entender los atributos de medida de los objetos y unidades, sistemas y procesos de medición. Los estudiantes desarrollan técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar las medidas. Los problemas de medición pueden emerger del trabajo en ciencias. Cuando se planea enseñar los conceptos relacionados con la medición, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de medición de los grados 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.
Los estudiantes de tercer grado: Nombran, discuten, comparan y ordenan objetos de acuerdo a los atributos del peso, capacidad, área, longitud (perímetro) y temperatura a través de la observación o la medida real.
Demuestran entendimiento sobre los conceptos de medición incluyendo: • escoger una herramienta y unidad apropiada (P.ej. pulgadas, centímetros,
millas, pies, yardas, milímetros, tazas, cuartos de galón, galones, litros, libras, onzas, gramos, grados F/C)
• aplicar técnicas de estimación utilizando una medida no estándar • punto cero (cualquier punto puede actuar como el punto de inicio
de una medida) • iteración (repetidamente colocar una unidad al lado de un objeto
para medir su longitud) • subdividir unidades para aumentar la precisión de una medida • la relación entre el tamaño de la unidad y el número de las
unidades necesarias para tomar una medida • la necesidad de unidades idénticas • convencionalismos para comunicar mediciones al identificar la
cantidad y el nombre de la unidad (P. ej. 12 tiras de papel)
Miden la longitud (perímetro), área, capacidad, masa, peso y temperatura. El estudiante:
• resuelve problemas que implican medición • selecciona herramientas y unidades de medición apropiadas
(estándar y no estándar) • mide con precisión con respecto al ½ cm más cercano (WKCE en el 3er grado) • mide el área por medio de la iteración (P.ej. fichas cuadradas
cubriendo una superficie) (WKCE en el 3er grado) • lee un termómetro con respecto a los 5 grados F/C más cercanos
(WKCE en el 3er grado)
Estiman medidas utilizando: • unidades no estándares (P.ej. frascos de estimación, clips, fichas cuadradas)
Dicen la hora con respecto al minuto más cercano utilizando relojes analógicos y digitales. El estudiante:
• traduce la hora entre los relojes analógicos y digitales • registra la hora
Identifican incrementos en el tiempo: • segundos, minutos, días, meses, años • minutos agrupados de cinco en cinco • puntos de referencia de 15, 30, 45 • el conjunto de doce números indica 12 horas
Los estudiantes de cuarto grado también: Nombran, discuten, comparan y ordenan objetos de acuerdo a los atributos de peso, volumen y capacidad líquida, área (regular e irregular)
Demuestran entendimiento sobre los conceptos de medición incluyendo:
• convertir unidades de medición (pulgadas/pies/yardas/tazas/pintas/cuartos de galón/galones)
• escoger una unidad apropiada (millas)
Estiman medidas utilizando: • contextos proporcionales (P.ej. utilizando escalas de
mapas)
Dicen la hora con respecto al minuto más cercano utilizando relojes analógicos y digitales:
• comparan el tiempo transcurrido en situaciones para la resolución de problemas (a través de dos horas contiguas en incrementos de un cuarto de hora)
Convierten unidades (minutos/horas/días/meses/años)
Los estudiantes de quinto grado también:
Demuestran un entendimiento de los conceptos de medición incluyendo:
• propiedad de adicionar (la medida de todo equivale a la suma de la medida de las partes)
• saber que todas las medidas son aproximaciones • saber de que manera las diferencias en el tamaño
de la unidad afectan la precisión • convertir las unidades de medición (milímetros/
centímetros/metros/gramos/kilogramos) Miden ángulos, longitud (perímetro de figuras regulares e irregulares), área (rectángulos y figuras irregulares en una cuadrícula) y volumen.
• medir la longitud y el perímetro con respecto al milímetro más cercano (WKCE en el 5.o grado)
• leer un termómetro con respecto al grado F/C más cercano (WKCE en el 5.o grado)
Estimar medidas utilizando: • puntos de referencia comunes (P.ej. un clip tiene
una masa de alrededor de un gramo) • medidas acostumbradas en los E.U.A.
Capítulo 6 Página 66 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 67 Traducido por Rosy Einspahr
Análisis de datos y probabilidad
El análisis de datos se trata de recolectar información para responder preguntas. Cuando
los estudiantes formulan sus propias preguntas, el análisis de datos se vuelve más
significativo.
Fórmula algebraica
Durante los grados intermedios, los estudiantes expanden su conocimiento sobre qué
información recolectar, cómo organizar la información y cómo interpretar los resultados.
El análisis de datos también proporciona un sitio excelente para el estudio de
representaciones múltiples como objetos, ilustraciones, descripciones verbales, diferentes
tipos de gráficas y posiblemente fórmulas. Los maestros deben captar el interés de los
estudiantes en conversaciones sobre la utilidad de cada representación, así como
conexiones entre las varias representaciones. Las preguntas sobre conjuntos de datos
deben incluir preguntas que promuevan el razonamiento aditivo, “¿Cuántos almuerzos
más hay de los que da la escuela que de los que se traen de casa?” y razonamiento
multiplicativo, “¿Alrededor de cuantas veces más hay de almuerzos que da la escuela que
de los que se traen de casa?”
Durante los grados intermedios, los estudiantes exploran la “forma” de los datos
incluyendo su extensión (rango, variación) y las medidas del centro (promedio, mediana,
modo). Ellos comienzan a predecir de qué manera estas “características” pueden cambiar
cuando las condiciones de la recolección de datos cambian.
Los conceptos de datos incluyen:
• los datos se recolectan y organizan para explorar preguntas
• una muestra (recolección de datos) puede proporcionar un entendimiento profundo, pero requiere de sacar deducciones.
• los datos se pueden analizar de varias maneras
• los datos expuestos de diferentes maneras transmiten información diferente
• los datos por lo regular incitan a más preguntas
Durante los grados intermedios, los maestros dependen de eventos diarios que
proporcionan suficientes oportunidades para explorar la probabilidad. Ellos utilizan el
lenguaje de probabilidad para hablar de eventos futuros y captar el interés de los
estudiantes en experimentos simples.
Representaciónilustrativa o
concreta
Descripción verbal
Gráfica Tabla
Capítulo 6 Página 68 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 69 Traducido por Rosy Einspahr
Análisis de datos y probabilidad en el bloque de resolución de problemas
Cuando se planea enseñar conceptos relacionados con datos y probabilidad, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de datos y probabilidad para los grados de 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.
Los estudiantes de tercer grado:
Diseñan investigaciones para encarar preguntas que conducirán a la recolección de datos y análisis.
• determinar que datos recolectar, cuando y como recolectarlos. • predecir posibles resultados y sus implicaciones
Recolectan y organizan datos a partir de:
• observaciones • encuestas • experimentos
Crean representaciones apropiadas de datos, tales como: • tablas y cuadros • gráficas de barras
Describen los rasgos importantes de un conjunto de datos incluyendo:
• forma • valores altos y bajos (mínimo y máximo) • la diferencia entre los valores altos y bajos (rango) • valor más frecuente (modo)
Discuten posibles conclusiones e implicaciones basadas en los datos. Utilizan datos presentados en diagramas de Venn, tablas, cuadros y gráficas (con dibujo y de barras) para contestar preguntas.
Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o igual de probables) para que ocurran • describen el resultado probable de un evento simple. (P. ej. el volado
de una moneda, el lanzar un dado numérico) • diseñan ruletas justas e injustas
Los estudiantes de cuarto grado también:
Diseñan investigaciones para tratar preguntas que conducirán a la recolección de datos y análisis.
Determinan los rasgos importantes de un conjunto de datos (7 artículos o menos) incluyendo el valor medio (mediana)
Utilizan datos presentados en trazos de línea
Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o igual de probables) para que ocurran.
• examinan predicciones utilizando datos de una variedad de recursos
• utilizan palabras para expresar probabilidad
Los estudiantes de quinto grado también:
Determinan los rasgos importantes de un conjunto de datos (10 o menos artículos) incluyendo el valor promedio (medio)
Crean las representaciones apropiadas de datos tales como los trazos de línea. Predicen los resultados o tendencias de gráficas y tablas Determinan y describen las posibles combinaciones de tres artículos.
Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o iguales de probables) para que ocurran.
• examinan predicciones utilizando datos de una variedad de recursos
• utilizan palabras, porcentajes y fracciones para expresar probabilidad
Capítulo 6 Página 70 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 71 Traducido por Rosy Einspahr
Conversación en el aula
Los maestros y estudiantes necesitan desarrollar una comunidad de aprendizaje donde la
conversación sobre las matemáticas apoye el aprendizaje de todos los participantes. El
papel primordial de esta comunidad es entender y ampliar el razonamiento de cada
miembro.
“Es más fácil apoyar la conversación
productiva cuando los ejercicios matemáticos
dan paso a múltiples estrategias a partir de
ideas matemáticas centrales que son de
interés para los estudiantes.”
Franke. M., y colaboradores
2007
Al proporcionar un bloque de resolución de problemas que incluya exploraciones en
grupos pequeños y discusión permite que tanto los maestros como los estudiantes
aprendan a involucrarse en una conversación productiva que esté dirigida a metas
específicas de aprendizaje para los estudiantes de manera individual. Todas las
conversaciones en el aula ya sea que se den en grupos de estudiantes individuales,
pequeños o grandes, se deben enfocar en entender el razonamiento matemático.
Los maestros notan la diversidad de razonamiento y la utilizan como la base para las
lecciones o extensiones de las matemáticas. Permiten que fluya la discusión según sea
necesario para un cambio en cuanto al entendimiento conceptual. Ellos notan las
maneras en las que los estudiantes participan e invitan a todos los estudiantes a que
participen en la conversación. Esto quiere decir que los maestros animan a que los
estudiantes desarrollen una actitud por sí solos de “necesitar saber”. Este es un ambiente
donde los estudiantes tienen confianza de que todas las ideas son valoradas y que son
ideas de contribución cómoda.
Schifter y Fosnot, 1993.
“…..no importa con que lucidez y paciencia los maestros les
expliquen a sus estudiantes, ellos no pueden entender por
sus estudiantes.” Es este entorno, los estudiantes de manera respetuosa interpondrán sus propias ideas en
las conversaciones y harán preguntas que exijan una justificación. Harán preguntas para
satisfacer su necesidad propia de entender.
Los elementos de conversación en el aula incluyen (Huffer, K.
Ackles, y colaboradores, JRME, 2004)
• hacer preguntas
• explicar
• descubrir ideas matemáticas
• aceptar responsabilidad para aprender
Durante las conversaciones en el aula los maestros entrenan y auxilian a los estudiantes a:
explicar su razonamiento Utilice las estrategias de
razonar, trabajar en parejas y
compartir para apoyar el
desarrollo del lenguaje entre los
estudiantes.
iniciar y solicitar preguntas
hacer los detalles de sus explicaciones más completos
defender y justificar sus respuestas e ideas con un razonamiento matemático
comparar y contrastar ideas
ser responsables para escuchar y co-evaluar estrategias
ayudarse entre sí a solucionar malos entendido y a corregir errores
Toma tiempo para la comunidad del salón de clases desarrollar un ambiente en donde
los estudiantes adopten el papel de líderes en conversaciones sobre las matemáticas. Los
maestros pueden jugar un papel central en desarrollar esta comunidad de aprendizaje.
Los cambios que se dan paso a paso, como los que a continuación se presentan, pueden
afectar las conversaciones del aula que benefician a la comunidad de aprendizaje.
establecer normas del aula para compartir, incluyendo el decirles explícitamente a los estudiantes por qué están compartiendo estrategias
modelar el hacer preguntas que se enfocan en estrategias en vez de respuestas
limitar las preguntas a cosas que no son inmediatamente obvias
auxiliar a los estudiantes a aclarar sus razonamientos y a ser más explícitos en su comunicación
entrenar a los estudiantes a hacer preguntas genuinas en vez de imitar técnicas para hacer preguntas
proporcionar retroalimentación productiva en vez de punitiva
ayudar a los estudiantes a sentirse seguros de que sus errores son puntos para el aprendizaje
Capítulo 6 Página 72 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Los investigadores de la educación matemática (Franke, M. y colaboradores, 2007) han identificado que cinco prácticas hacen del razonamiento estudiantil el enfoque de las discusiones del salón de clases.
1. Anticipar las probables respuestas del estudiante en ejercicios matemáticos
(problemas).
2. Monitorear las respuestas del estudiante en los ejercicios mientras trabajan en
los mismos.
3. Seleccionar ciertas respuestas del estudiante para presentar al compartir.
4. Determinadamente colocar en secuencia las respuestas del estudiante que serán
expuestas y resaltadas.
5. Ayudar a los estudiantes a hacer conexiones matemáticas entre las diferentes
respuestas de los estudiantes.
Cuando los estudiantes esperan ir más allá del simple hecho de reportar la manera en
que resolvieron un problema a hacer preguntas y justificar el razonamiento de cada uno,
ellos aprenden a poner las ideas matemáticas conjuntamente, identificar y explicar los
errores en su razonamiento y desarrollar argumentos y razonamientos matemáticos.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 73 Traducido por Rosy Einspahr
Matemáticas y lectoescritura
El lenguaje que se utiliza en la escuela para las materias académicas proporciona una
conexión entre las matemáticas y la lectoescritura para los estudiantes. Todos los
estudiantes son aprendices del lenguaje académico y se benefician de las estrategias
utilizadas para ayudar a los estudiantes del idioma inglés a adquirir un segundo idioma.
Estudiantes del idioma inglés
La adquisición del idioma ocurre en cuatro áreas: escuchar, hablar, leer y escribir.
Cuando se organiza un salón de clases, es importante considerar que algunos
estudiantes pueden tener niveles variados del dominio del idioma inglés, así como su
conocimiento previo en estas cuatro áreas. Para que los estudiantes puedan tener
dominio en el inglés, es importante darles práctica en cada área a lo largo del día y
durante el bloque de las matemáticas.
Los estudiantes generalmente adquieren primero las habilidades de escuchar. Mientras
que en la primera etapa de la adquisición del lenguaje, el estudiante tal vez solo participe
en su lengua nativa, utilice gestos o modele utilizando objetos manipulables
matemáticos.
Los estudiantes necesitan acceso inmediato a objetos manipulables en todo momento
para sustentar la adquisición del lenguaje.
A medida que los estudiantes aumentan sus habilidades en escuchar ellos hablan con
mayor confianza. La lectura y la escritura son las últimas áreas para solidificar.
Un estudiante que es completamente competente en la lectura y la escritura en el idioma
materno, será más capaz y tendrá más confianza en el inglés.
Capítulo 6 Página 74 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Cuando se les enseña a estudiantes que están adquiriendo un segundo idioma, los
maestros:
utilizan un lenguaje accesible que incluye:
• nuevas palabras utilizadas en muchos contextos
• bajar el ritmo del habla
• enunciar
• reducir el uso de un habla complejo, modismos y lenguaje sofisticado
desarrollan conciencia del nivel de cada estudiante en cuanto a su dominio de escuchar, hablar, leer y escribir para edificar sobre lo que los estudiantes ya hacen (Ver el apéndice para los “Descriptores de las habilidades”)
construyen sobre las matemáticas que los estudiantes ya saben basándose en las evaluaciones
motivan el uso de modelos (objetos manipulables) para explicar el razonamiento matemático
apoyan el aumento del conocimiento del contenido con el uso del idioma materno en el salón. El apoyo incluye:
• aglomerar a los estudiantes con idiomas similares en grupos pequeños para la resolución de problemas y el seguimiento de una discusión
• proporcionar el apoyo de un maestro de recursos bilingües o un especialista de recursos bilingües
• proporcionar traducción escrita cuando sea posible
• permitir a los estudiantes escribir en su lengua materna
Nota: El reporte del maestro generado de la evaluación ACCESS para los estudiantes del
idioma inglés brinda información acerca de dónde se encuentran los estudiantes en cada
una de las cuatro áreas, así como el dominio oral (el escuchar y el hablar combinados) y
la lectoescritura (la lectura y la escritura combinadas).
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 75 Traducido por Rosy Einspahr
Vocabulario matemático
Es importante que los estudiantes sepan y desarrollen confianza en el uso del
vocabulario matemático. Sin embargo, el vocabulario matemático no es simplemente
nombrar un objeto o procedimiento. Por ejemplo, un rectángulo es una clase de figura
en particular que tiene los atributos específicos de un polígono de cuatro lados con dos
conjuntos de lados paralelos y cuatro ángulos rectos; lo cual significa que un cuadrado es
un rectángulo. Las maneras de desarrollar el vocabulario matemático son parecidas al
desarrollo del vocabulario en cualquier área de contenido. Por ejemplo:
utilizar nuevas palabras en muchos contextos
promover conversación intencional sobre el lenguaje matemático en todos los contextos en los cuales los estudiantes se encuentren con dichas palabras
desarrollar el significado como parte de la definición
agregar nuevo vocabulario a un esquema de palabras o un diagrama de Venn en vez de una simple lista de palabras.
utilizar etiquetas apropiadas de manera clara y consistente
incorporar lecciones referentes al vocabulario del contenido, tales como los prefijos de mediciones en latín (centi-, milli-, deci-) según sea necesario
evitar enseñar “palabras clave”
Capítulo 6 Página 76 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El problema de enseñar “palabras clave”
Los maestros algunas veces enfatizan las “palabras clave” para ayudar a los estudiantes
a resolver los problemas matemáticos. Por ejemplo: “en total” sugiere sumar, “sobra”
sugiere restar. La intención es buena: Haga que los estudiantes piensen en la situación.
Sin embargo, desafortunadamente a menudo los niños emplean mal las palabras clave –
examinan ligeramente, solamente buscando las palabras clave o se confían demasiado
en ellas, tomando lo que se intenta como una guía general como una decisión final.
En los siguientes ejemplos, las palabras clave subrayadas potencialmente inducen al
estudiante a cometer un error si no lee todo el problema o si no piensa en la situación.
1. Daniel gastó $1.24. Después Daniel tenía 55 centavos. ¿Cuánto dinero tenía
Daniel al inicio?
2. Cada salón en una escuela tiene 32 niños. La escuela tiene 12 salones. ¿Cuántos
niños hay en la escuela en total?
3. Benjamín dividió sus piezas de dulce de manera equitativa con José y Cleveland.
A cada niño le tocaron 15 piezas de dulce. ¿Con cuántas piezas inició Benjamín?
4. Flo tiene 3 veces más de dinero que Lacy. Flo tiene 84 centavos. ¿Cuánto tiene
Lacy?
5. La mamá de Manny compró algunas cosas en la tienda de comestibles. Ella le dio
a la cajera $10 y recibió $1.27 de cambio. En total, ¿cuánto gastó en la tienda?
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 77 Traducido por Rosy Einspahr
Estrategias ineficaces
Los estudiantes tal vez utilicen las siguientes estrategias cuando tienen poca experiencia
en la resolución de problemas matemáticos o típicamente se confían en que otros les
digan como resolver los problemas. (Universidad estatal Sowder de San Diego)
Estrategias de desesperación
• Encontrar los números y sumar o adivinar que operación utilizar
Estrategias impulsadas por cálculos
• Observar los números. Ellos te “dirán” que operación utilizar.
• Intentar todas las operaciones y escoger la respuesta que sea más razonable.
Estrategias limitadas utilizando cierto grado de significado
• Buscar “palabras clave” aisladas que digan qué operación utilizar. (p.ej. “en total” significaría sumar, “sobrar” significaría restar, “de” significaría multiplicar)
• Decidir ya sea que la respuesta deba ser más larga o más corta que los números que se dan. Si es más larga, intentar tanto + como x y escoger la respuesta más sensata. Si es más corta, intentar tanto – como ÷ y escoger la respuesta más razonable.
Estrategia deseada impulsada por el concepto
• Escoger una estrategia de solución que quede con el contexto del problema matemático.
Capítulo 6 Página 78 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Diarios de matemáticas y la retroalimentación escrita Las recetas más simples para mejorar la educación
tienen que ser “dosis de retroalimentación” Los diarios de matemáticas o cuadernos que proporcionan suficiente espacio para que los
estudiantes trabajen en problemas, les permiten a los estudiantes y a los maestros
mantener un registro permanente del progreso, el cual modela el trabajo de un
matemático.
Marzano, 2003
Un diario de matemáticas tiene tanto los componentes de un cuaderno de trabajo como
un área de trabajo. Los maestros les ayudan a los estudiantes a construir hábitos y
rutinas para llevar la cuenta de su trabajo en sus cuadernos. Los maestros utilizan los
diarios del estudiante como un recurso para proporcionar retroalimentación. (Ver el
apéndice para ejemplos de páginas del diario de matemáticas)
“En las destrezas de la enseñanza, el maestro le dice
al estudiante que hacer y luego “corrige” o “marca” la
respuesta. Una de las maneras más eficaces para captar el interés de los estudiantes en la práctica
reflexiva es que los maestros proporcionen retroalimentación escrita en forma de
preguntas o comentarios, en vez de simplemente corregir el trabajo con marcas y
calificaciones.
En las estrategias de la
enseñanza, el maestro induce al estudiante a comportarse
de manera apropiada y lo motiva a confirmar o corregir
sus propias respuestas – el maestro no usurpa el control,
el cual es crucial para perfeccionar una estrategia.”
Don Holdaway
Los estudiantes aprenden a leer y a responder las preguntas en el diario de matemáticas
o en las páginas del libro de ejercicios y a corregir su propio trabajo. Las preguntas les
pueden requerir a los estudiantes que vean otra vez su solución, que aclaren su
razonamiento, que comparen una solución con una previa, que pidan que un estudiante
intente una estrategia con la cual ya está familiarizado pero no la ha usado por algún
tiempo, que practiquen unos cuantos cálculos rápidos o que busquen un atajo.
Fundaciones de lectoescritura. 1979.
Los estudiantes de los grados intermedios disfrutan estos intercambios escritos que
maximizan el aprendizaje.
• MARCAR LAS PÁGINAS EN EL DIARIO QUE NECESITAN LA RESPUESTA DEL ESTUDIANTE CON UNA PEQUEÑA NOTA O CON UN SÍMBOLO
• PROPORCIONAR RETROALIMENTACIÓN POR ESCRITO PARA CUATRO O CINCO ESTUDIATNES CADA DÍA (MARCAR EL DÍA PARA CADA ESTUDIANTE EN LA PARTE EXTERIOR DEL DIARIO)
• ESPERAR QUE LOS ESTUDIANTES RESPONDAN A LA RETROALIMENTACIÓN COMO PARTE DE SU TRABAJO INDEPENDIENTE
• UTILIZAR PREGUNTAS GENUINAS Y COMENTARIOS POSITIVOS QUE GUÍEN
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 79 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Actividades para generar discusión
Erickson, T. (1989). Get it Together: Math Problems for Groups (Grades 4-12).EQUALS, Berkeley, CA: Lawrence Hall of Science
Fulton, B. & Lombard, B. (2003). The Language of Math: Helping Students Speak, Write, and Think Mathematically. Millville, CA: Teacher to Teacher Press
Lilburn, P. & Rawson, P. (1995). Let’s Talk Math: Encouraging Children to Explore Ideas. Portsmouth, NH: Heinemann
Involucrándose en la discusión
Bickmore-Brand, J. Ed. (1990). Language in Mathematics. Portsmouth, NH: Heinemann
Bushman, L. (2007). Making Sense of Mathematics: Children Sharing and Comparing Solutions to Challenging Problems. Reston, VA: NCTM
Bushman, L. (2003). Share & Compare: A Teacher’s Story about Helping Children Become Problem Solvers in Mathematics. Reston, VA: NCTM
Chapin, S.H., O’Connor, C., Anderson, (2003) Classroom Discussions: Using Math Talk to Help Students Learn Grades 1-6. Portsmouth, NH: Heinemann
Corwin, R.B. & Trafton, P. (1996). Talking Mathematics: Supporting Children’s Voices. Portsmouth, NH: Heinemann
O’Connell, S. (2005). Now I Get It: Strategies for Building Confident and Competent Mathematicians, K-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications
Spiegel, D.L. (2005). Classroom Discussions: Strategies for Engaging All Students, Building Higher-Level Thinking Skills, and Strengthening Reading and Writing Across the Curriculum. New York: Scholastic
Fracciones
Lamon, S.J. (2006). Teaching Fractions and Ratios for Understanding: Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
Litwiller, B., Bright, G. Eds. (2002) Making sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Geometría
Bachman, V. (2003). Third-grade math: A month-to-month guide. Sausalito, CA: Math Solutions Publications
Confer, C. (2002). Math by all means: Geometry grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications
Dana, M. Geometry: Experimenting with shapes and spatial relationships. Grade 3. Grand Rapids, MI: Instructional Fair, Inc. (Out of print, see an elementary math resource teacher) Also available for grade 4 and grade 5.
Findell, C. R., Small, M., Cavanagh, M., Dacey, L., Greenes, C. R. & Sheffield, L. J. (2001). Navigating through geometry in grade 3 – grade 5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Measurement
Bright, G. W. Clements, D.H. (2003). Classroom activities for learning and teaching measurement. 2003 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Capítulo 6 Página 80 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Dacey, L., Cavanagh, M., Findell, C. R., Greenes, C. E., Sheffield, L. J. & Small, M. (2003). Navigating through measurement in grade 3 through grade 5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
NCTM Navigations –best online source for lessons and lesson plans.
Usiskin, Zalman, “Paper and pencil calculations in Calculator—and-Computer Age.” In The Teaching and Learning of Algorithms in School Mathematics, 1998 Yearbook of the National Council of Mathematics
Números, operaciones y relaciones algebraicas
Brickewidde, J. (2002). Children’s Development of Place Value Understanding. Project for Elementary Mathematics. Unpublished manuscript, Hamline University. St. Paul, MN
Carpenter, T. P., Fennema, E., Loef Franke, M., Levi, L., & Empson, S. B. (1999). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann
Coggins, D. Ed. (1999). A mathematics sourcebook for elementary teachers: Key concepts, teaching tips, and learning pitfalls. Novato, CA: Arena Press
Cuoco, John A. Hope A Case Study of a Highly Skilled Mental Calculator Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 18, No. 5 (Nov., 1987), pp. 331-342
Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic: 2nd grade implications of Piaget’s theory. New York: Teacher’s College Press
Lamon, S.J. (2005).Teaching fractions and ratios for understanding. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates
Litwiller, B., Bright, G. Eds. (2002) Making sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 NCTM Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Madison Metropolitan School District (2004). MMSD mathematics Grade Level K-5 standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http:&&www.madison.k12.wi.us&tnl&standards&math&
Pilar, R. (2004). Spanish-english language issues in the mathematics classroom. In Ortiz-Franco, L., Hernandez, N. G., & De La Crus, Y. Changing the faces of mathematics perspectives on Latinos. (pp. 23-33) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Reys, Robert E. Mental computation and estimation: past, present, and future the elementary school Journal, Vol. 84, No. 5, Special Issue: Mathematics Education (May, 1984), pp. 546-557
Small, M., Sheffield, L. S., Cavanagh, M., Dacey, L., Findell, C. R. & Greenes, C. E. (2004). Navigating through problem solving and reasoning in grades 3-5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Sowder, J., & Schapelle, B. (Eds.). (2002). Lessons learned from research. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Sowder, J. & Wheeler, M. (1989). The development of concepts and strategies used in computational estimation. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 130-146
Usiskin, Z. Are Calculators a Crutch?" Mathematics Teacher 71(May 1978):412-413
von Rotz, L., & Burns, M. (2002). Lessons for algebraic thinking. Sausalito, CA: Math Solutions Publications
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 6 Página 81 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 6 Página 82 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Preguntar
Schuster, L. & Anderson, N.C. (2005). Good Questions for Math Teaching: Why Ask Them and What to Ask (Grades 5-8). Sausalito, CA: Math Solutions Publications
Sullivan, P. & Lilburn, P. (2002). Good Questions for Math Teaching: Why Ask Them and What to Ask (Grades K-6). Sausalito, CA: Math Solutions Publications
Lectura
Kenney, J.M. (2005). Literacy strategies for improving mathematics instruction. Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development
Hyde, A. (2006). Comprehending math: Adapting reading strategies to teach mathematics, K-6. Portsmouth, NH: Heinemann
Barton, M.L. & Heidema, C. (2002). Teaching reading in mathematics, 2nd ed: A supplement to teaching reading in the content areas teacher’s manual. Aurora, CO: McREL Eisenhower Regional Consortium for Mathematics and Science
Representación
Cuoco A.A., Curcio, F.R. (2001). Representation in School Mathematics. 2001 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Enseñanza
Chapin, S.H. & Johnson, A. (2006). Math Matters: Understanding the Math You Teach Grades K-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.
Lampert, M.L. (2001). Teaching problems and the problems of teaching. New Haven: Yale University Press
Marzano, R.J. (2006) Classroom Assessment & Grading that Work. Association for Supervision & Curriculum Development
Sakshaug, L.E., Olson, M., & Olson, J. (2002). Children are mathematical problem solvers. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
Van de Walle, J.A. & Lovin, L.H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades3-5. Boston, MA: Pearson Education, Inc
Vocabulario
Block, C.C. & Mangieri J.N. (2006). The vocabulary-enriched classroom: Practices for improving the reading performance of all students in grades 3 and up. New York, NY: Scholastic Inc.
Graves, M. (2006). The vocabulary book: learning & instruction. New York, NY: Teacher’s College Press
Murray, M. (2004). Teaching mathematics vocabulary in context: Windows, doors, and secret passageways. Portsmouth, NH: Heinemann
Escritura
Newmann, V. (1994). Math Journals: Tools for Authentic Assessment. San Diego, CA: Teaching Resource Center
Whitin, P. & Whitin, D.J. (2000). Math is Language Too: Talking and Writing in the Mathematics Classroom. Reston, VA: National Council of Teachers of English
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
CAPÍTULO 7
Trabajo
numérico
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 7 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
TRABAJO NUMÉRICO
Las actividades de trabajo numérico desafían a los estudiantes a desarrollar un sentido
numérico incluyendo cómo son los números grandes en comparación con otros números,
el sistema de base de diez, el cálculo mental y la resolución de problemas sin un
contexto.
Trabajo El trabajo numérico puede incluir actividades tales como: encontrar diferentes maneras
de componer o descomponer un número, determinar una función relacionando dos
conjuntos numéricos, patrones numéricos, patrones en tablas numéricas, estimar antes
de hacer un cálculo o investigar estrategias eficaces para los cálculos de tipos específicos
de números (p. ej. sumar números terminados en 8 o 9 o las muchas maneras de
descomponer una fracción)
El trabajo numérico es más productivo cuando se convierte en una rutina. Debido a que
el trabajo numérico a menudo involucra actividades con múltiples puntos de partida y la
búsqueda de un conjunto diverso de respuestas, los maestros con frecuencia lo utilizan
como una actividad para toda la clase. El repetir las mismas actividades eligiendo
diferentes números desarrolla la fluidez.
El bloque del trabajo numérico
se enfoca en desarrollar el sentido numérico sin un contexto
se puede plantear como un problema o una serie de problemas
utiliza actividades que a menudo tienen múltiples puntos de partida o más de una respuesta
acomoda a los estudiantes con un rango de destrezas y habilidades
promueve la comunicación y el hacer conexiones
apoya el razonamiento algebraico
apoya el aprendizaje en un grupo heterogéneo grande
requiere de 10 a 15 minutos de una hora de matemáticas
se puede intercambiar con la Inspección de ecuaciones
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Contenido
Las grandes ideas del contenido matemático para las actividades del trabajo numérico incluyen:
Números, operaciones y razonamiento algebraico
Aprender que los números tienen muchas representaciones Desarrollar el uso flexible de métodos para calcular Desarrollar el conocimiento de las relaciones numéricas y de operación Aprender y aplicar conceptos del valor numérico Reconocer y generalizar patrones cuando se está contando, calculando y
resolviendo problemas Resolver problemas de dinero
Geometría
Determinar cuantas figuras de una forma pueden formar otra Dividir figuras geométricas en partes fraccionales Entender las clases de figuras geométricas Redes Transformaciones
Medición
Entender que la medición es un proceso de comparación Escoger una unidad útil Contar el número de unidades y unidades parciales utilizadas para medir
(utilizando tanto fracciones como decimales) Investigar la relación entre las unidades (p.ej. 12 pulgadas es lo mismo que 1 pie
o ¼ de libra es lo mismo que 4 onzas) Investigar la medida de los ángulos
Análisis de datos y probabilidad
Recopilar y graficar los datos Analizar los datos Formular preguntas
Capítulo 7 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso Las grandes ideas del proceso matemático para las actividades del trabajo numérico incluyen:
Resolución de problemas
Desarrollar nuevo conocimiento matemático Involucrarse en encontrar muchas maneras para resolver problemas en una
variedad de contextos “únicamente numéricos” Reflexionar sobre nuestro propio entendimiento de las relaciones numéricas
Razonamiento y comprobación
Explicar el razonamiento que utilizamos para sacar una conclusión. Describir patrones (p.ej. los patrones en una tabla de multiplicar o múltiplos en una tabla numérica de cien)
Hacer e investigar conjeturas matemáticas (p.ej. cuando se multiplican dos números nones, la respuesta siempre es un número non)
Representación
Crear o seleccionar y aplicar representaciones para organizar, registrar, comunicar y comparar ideas
Aprender a utilizar formas convencionales de representar ideas matemáticas (p. ej. expresiones, ecuaciones y operaciones)
Comunicación
Compartir estrategias de solución utilizando dibujos, modelos, números y lenguaje matemático
Analizar el razonamiento matemático de otros
Conexiones
Discutir en qué se parecen y diferencian nuevas ideas de las ideas vistas previamente
Discutir en qué se parecen y diferencian dos representaciones numéricas
Para información específica de un nivel de grado en cuanto a los procesos y contenidos matemáticos, consulte los estándares matemáticos del MMSD para los niveles de Kinder a 5.o grado.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de enseñanza en el bloque del trabajo numérico Las actividades del trabajo numérico son más eficaces cuando se convierten en rutinas
diarias. Si los estudiantes están familiarizados con el formato de las actividades, pueden
enfocar mejor su atención en aprender sobre las relaciones numéricas y los conceptos
involucrados en las actividades en vez de enfocarse en cómo hacer los ejercicios.
“El entender los números es un precursor para
calcular de manera eficaz y flexible
con el sistema numérico basado
en diez.”
Los maestros seleccionan las actividades del trabajo numérico que mejor satisfagan las
necesidades de sus estudiantes. Cuando se comienza a enseñar cierta actividad de
trabajo numérico, el maestro tal vez guíe a la clase a través de la actividad por un
periodo de varios días. A medida que los estudiantes participan más
independientemente, el maestro comienza a formular preguntas más profundas para
cambiar el enfoque desde aprender la actividad en sí a aprender acerca de las relaciones
numéricas y los conceptos matemáticos.
Un libro de consulta sobre las matemáticas para
maestros de primaria y secundaria
Editorial Arena, 1999
Hay una amplia variedad de actividades que proporcionan excelentes experiencias del
trabajo numérico. Éstas incluyen juegos y práctica con cálculos mentales. El uso repetido
de los mismos tipos de actividades puede desarrollar fluidez y seguridad, así como
ampliar el conocimiento del estudiante. Las guías curriculares y los programas comprado
también tienen ideas para el trabajo numérico.
Las actividades del trabajo numérico tienden a ser de naturaleza divergente y tienen en
cuenta múltiples respuestas, prestándose así a actividades para toda la clase. Sin
embargo, los maestros pueden usar estas actividades con pequeños grupos o con
estudiantes individuales dependiendo del tamaño de los números y los niveles de
competencia de los estudiantes, o utilizarlas para la fluidez y el mantenimiento.
Los maestros encontrarán ideas para las actividades del trabajo numérico en los recursos
curriculares de la escuela. Este capítulo incluye algunas sugerencias para aprender
fácilmente las actividades del trabajo numérico, para comenzar:
−− Suma ( o resta) mi número −− ¡Monedas del día! −− Compara −− Comparar representaciones del lenguaje con flechas −− Comparar las representaciones en la recta numérica
vacía −− Contar y comparar −− Contar salteado de a _______ y lanzar −− Diferencia de −− Estimación −− Juegos de fluidez y mantenimiento −− El juego de 24 −− Adivina la clasificación
−− Patrones de la tabla numérica de cien −− Apodo, nombre real −− Patrones numéricos −− Número del día o “combinaciones para formar” −− Descubre el número −− Leyendo e interpretando gráficas −− Leyendo literatura de matemáticas −− ¿Qué sabes acerca de ______? −− ¿Qué observas? −− ¿Cuál es la regla? (Máquina de funciones) −− ¿Qué número no pertenece? −− Escribir problemas matemáticos
Capítulo 7 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Suma (o resta) mi número Propósito: sumar y restar mentalmente un solo dígito de un número de dígitos múltiples.
NIVEL DE GRADO
3.O
Pasos a seguir:
Designar un orden para tomar turnos con esta actividad.
El maestro escribe un número para comenzar (39) y un estudiante escoge “mi” número para sumarlo o restarlo y lo da a conocer a la clase (9) y dice, “suma (o resta) mi número.”
El siguiente estudiante suma (o resta) ese número al número que está en el pizarrón (39+9=48).
Se continúa alrededor de la clase sumando (o restando) el mismo número (48+9, 57+9, 66+9…)
Se continúa hasta que todos los estudiantes hayan tenido un turno.
Una persona puede registrar el conteo en el pizarrón para utilizarlo para discutir los patrones observados.
Variación: Utilizar fracciones o decimales.
¡Monedas del día!
NIVEL DE GRADO 3.O
Propósito: saber y sumar los valores de las monedas
Pasos a seguir:
Los estudiantes trabajan juntos para encontrar la mayor cantidad de maneras que puedan para crear “el número del día” con monedas.
Los estudiantes comparten uno o dos de su lista y discuten su estrategia.
Variación: Encuentra la selección que utilice la menor cantidad de monedas, la mayor cantidad de monedas de 5¢ (nickels), etc.
Compara
NIVEL DE GRADO 3.o – 5.o
Propósito: comparaciones
Pasos a seguir:
Escriba dos números en el pizarrón y pídales a los estudiantes que escriban tantas relaciones como puedan entre esos dos números (p.ej. para comparar 10 de 50 ellos podrían escribir 10 es 40 menos que 50, ambos son pares, ambos son múltiplos de 10, 10 es 1/5 de 50).
Repita la actividad varias veces con diferentes números.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Comparar las representaciones en la recta numérica vacía
NIVEL DE GRADO
3.O
Propósito: representar las operaciones de suma o resta con ecuaciones y la recta numérica vacía
Pasos a seguir:
Escriba dos representaciones en rectas numéricas vacías lo suficientemente grandes para que las vea todo el grupo.
Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones en las rectas numéricas vacías se parecen y haga una lista de sus respuestas.
Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones en las rectas numéricas vacías se diferencian y haga una lista de sus respuestas.
Pídales a los estudiantes que escriban una serie de ecuaciones que indiquen la representación de la recta numérica vacía.
Comparar representaciones del lenguaje con flechas
NIVEL DE GRADO 3.o – 4.O
Propósito: representar cálculos con ecuaciones y lenguaje con flechas
Pasos a seguir:
Escriba dos representaciones con lenguaje con flechas lo suficientemente grandes para que las vea todo el grupo.
Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones del lenguaje con flechas se parecen y enliste sus respuestas.
Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones del lenguaje con flechas se diferencian y enliste sus respuestas.
Pídales a los estudiantes que escriban una serie de ecuaciones que indiquen la representación del lenguaje con flechas.
Capítulo 7 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Contar y comparar
NIVEL DE GRADO
3.o – 4.O
Propósito: valor numérico
Pasos a seguir:
Reparta bolsas de plástico con colecciones surtidas de 15 bloques de valor numérico.
Pídales a los estudiantes que cuenten el número de bloques en la bolsa y que indiquen el valor de la bolsa (cuantos cubos de unidades están representados) P.ej. una bolsa con 3 centenas, 10 decenas y 2 unidades tiene 15 bloques y un valor de 402. Una bolsa con 11 decenas y 4 unidades tiene 15 bloques y un valor de 114.
Discutan las razones para los diferentes valores.
Variación: proporcione bolsas con colecciones de cualquier número de bloques. Los estudiantes suman dos bolsas utilizando lápiz y papel. Después se confirma el conteo con los bloques de valor numérico o se comparan los valores de dos bolsas para encontrar la diferencia.
Contar salteado de a ________ y lanzar Propósito: fluidez con múltiplos
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Pasos a seguir:
Un grupo pequeño se para en un círculo
Se lanza un dado numérico ya preparado para determinar la cantidad por la cual se contará salteado.
El estudiante lanza una bolsita rellena de bolitas o una pelota a un compañero de clase quien dice el siguiente número.
El juego continúa hasta que todos los estudiantes hayan tomado un turno sumando ese número.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Diferencia de
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Propósito: diferencias
Pasos a seguir:
Pídales a los estudiantes que escriban pares de números con cierta diferencia entre ellos (p.ej. diferencia de 7) para un predeterminado número de minutos.
Comparta respuestas y repita varias veces. (p.ej. 32/39, 54/61. 1009, 1016, etc.)
Variación: Utilice diferencias decimales y fraccionales
Estimación
NIVEL DE GRADO 3.O
Propósito: visualizar cantidades
Pasos a seguir:
Busque dos frascos que sean transparentes y exactamente iguales.
Ponga una colección de artículos en un frasco y una cantidad pequeña apropiada (2, 3, 4 y 10) en otro frasco para usarlo como referencia. Dígales a los estudiantes cuantos objetos hay en el frasco de referencia.
Pídales a los estudiantes que piensen que tanto espacio ocupa la cantidad del frasco usado como referencia. Ellos deben utilizar ese entendimiento para ayudarles a pensar sobre la cantidad que se encuentra en el frasco de estimación.
Una vez que los estudiantes haya compartido su razonamiento, cuente la cantidad contenida en el frasco de estimación.
Los estudiantes determinan el estimado más cercano y más lejano y comparten sus estrategias de cálculo.
Patrones de factor Propósito: factores para números hasta el 100
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Pasos a seguir:
Pídales a los estudiantes que sombreen “el conteo salteado” de un número (2-9) en una tabla numérica de 100 (utilizando un marcador fosforescente)
Los estudiantes discuten o enlistan los patrones que notan
Pídales a los estudiantes que sombreen otro “conteo salteado” utilizando un color diferente en la misma tabla. Discutan.
Repítalo con un tercer “conteo salteado”
Capítulo 7 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Juegos de fluidez y mantenimiento Propósito: relaciones numéricas y estrategias de operaciones
Pasos a seguir:
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Enseñe las reglas para los juegos en el bloque de fluidez y mantenimiento
Vea el capítulo 9, bloque de fluidez y mantenimiento para las reglas del juego.
El juego de 24
NIVEL DE GRADO 4.o – 5.o
Propósito: desarrollar el sentido numérico
Pasos a seguir:
Este es un juego comprado que proporciona un gran desafío mental matemático
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Adivina la clasificación Propósito: clasificación numérica
Pasos a seguir:
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Ponga un diagrama de Venn en el pizarrón con reglas escondidas para cada círculo. Las reglas pueden ser cosas tales como números nones y divisibles entre 5, o figuras con ciertas características tales como “cerradas” y “una serie de líneas paralelas”.
Los estudiantes toman turnos adivinando un número o una figura dibujada.
El maestro pone el número o la figura en el lugar correcto en el diagrama de Venn, el cual incluye el conjunto universal afuera de los círculos para que cada número u objeto adivinado tenga un lugar.
A medida que el conjunto de números aumenta en cada área del diagrama de Venn, los estudiantes pueden primero adivinar y luego hacer una conjetura sobre la etiqueta del círculo después de adivinar un nuevo número o figura.
Se continúa jugando hasta que se puedan determinar las etiquetas para cada círculo.
Verifique para asegurarse que cada número o figura en el diagrama satisfaga el criterio de clasificación.
Variación: Utilice compuestos, primos, múltiplos o factores
Patrones de la tabla numérica de cien Propósito: patrones
Pasos a seguir:
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Pídales a los estudiantes que busquen patrones en la tabla numérica de cien. (Vea el apéndice donde hay diferentes tablas numéricas para utilizarlas en una variedad de niveles de grado.)
Mantenga una tabla que describa los patrones.
Intente con números pares/nones, múltiplos, factores.
Capítulo 7 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Apodo, nombre real
NIVEL DE GRADO
3.O
Propósito: nombrar números (funciona mejor para trabajo numérico en grupos
pequeños)
Pasos a seguir:
Haga una tabla con tres columnas – los números de conteo iniciando en 1, los nombres de los números (“apodos”) y los nombres reales (cantidad y valor para cada posición)
Rellene la tabla a medida que los estudiantes proporcionen la información. P.ej. 17, diecisiete, una decena y siete unidades (Nota: Los números del 1 al 10 solamente tienen números reales.)
Desafíe a los estudiantes para que den un apodo cuando se les da el nombre real y viceversa.
Patrones numéricos
NIVEL DE GRADO 3.o – 5.o
Propósito: patrones que se repiten y crecen
Pasos a seguir:
Escriba un patrón numérico lo suficientemente grande para que lo vea todo el grupo. Por ejemplo: 1, 5, 9, 13,…
Pídales a los estudiantes que piensen sobre la manera en que los números cambian de un número a otro. (En la secuencia 1, 5, 9, 13…, cada número es 4 más que el número anterior.)
A medida que los estudiantes comparten sus ideas, verifíquelas para ver si funcionan de manera consistente de un número al siguiente.
Los estudiantes identifican la regla y continúan con el patrón. (En la secuencia 1, 5, 9, 13, la regla es +4.)
Variaciones: Utilice fracciones o decimales en el patrón para estudiantes más avanzados.
Extensión: Una vez que los estudiantes identifiquen el patrón cambiante, pregúnteles si cierto número se encontraría en el patrón, si se continuara con el patrón.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Numero del día o “combinaciones para formar”
NIVEL DE GRADO 3.o – 4.O
Propósito: componer/descomponer números y relaciones y las relaciones entre operaciones.
Pasos a seguir:
Escriba un número meta en el pizarrón
Los estudiantes escriben la mayor cantidad de expresiones matemáticas diferentes que puedan pensar para el número meta en un lapso de 3 a 5 minutos
El maestro registra unos cuantos ejemplos en el pizarrón (o los estudiantes muestran sus expresiones escritas en el pizarrón)
El maestro enfatiza algunas ideas nuevas observadas (p.ej. fracciones, números negativos o números cuadrados)
Los estudiantes vuelven a hacer la actividad con el mismo número o un número diferente con el propósito de extender su dominio de números, operaciones o representaciones.
Capítulo 7 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Descubre el número
NIVEL DE GRADO 3.O
Propósito: lenguaje del orden numérico
Pasos a seguir:
Un estudiante escoge un número entre 1 y 100 y lo deja escondido. (Exhiba una recta numérica o una tabla numérica de cien a plena vista)
La clase toma turnos haciendo preguntas para reducir las posibilidades y encontrar el número utilizando vocabulario de orden, tales como “antes,” “después”, en medio de, mayor que, menor que.
Marque y cuente las preguntas necesarias para determinar el número. No se permiten las conjeturas al azar.
Repítalo varias veces.
Variación: Proporcione a los estudiantes sus propias tablas numéricas o rectas numéricas para eliminar números.
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Leyendo e interpretando gráficas Propósito: contar, representar y comparar cantidades
Pasos a seguir:
Utilice la infinidad de oportunidades que tenga para crear gráficas tales como: graficar el conteo de los almuerzos, tipos de zapatos, autores favoritos, etc.
Plantee preguntas con respecto a la información.
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Leyendo literatura de matemáticas Propósito: sentido numérico
Pasos a seguir:
Tener a disposición una variedad de libros con conceptos matemáticos.
Los estudiantes escriben una página con sus respuestas. (P.ej. hacer una página nueva para este libro o ¿cuáles son tres ideas numéricas que recuerdas de este libro?)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
¿Qué sabes acerca de ___________?
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Propósito: relaciones numéricas
Pasos a seguir:
El maestro les pide a los estudiantes que compartan lo que saben sobre cierto número que se les da y escribe sus respuestas en un cartel.
Evoque respuestas de todos los estudiantes.
Las respuestas pueden ser una referencia personal, tales como mi hermano tiene 10 años.
Motive oraciones que indiquen una relación, tales como 10 es 2 más que 8.
Exhiba carteles que hayan sido creados con anterioridad en el año para comparar respuestas y ver el avance.
¿Qué observas?
NIVEL DE GRADO 3.o – 4.O
Propósito: modelar números en una cuadrícula de 10 x10 y expresiones equivalentes.
Pasos a seguir:
Sombree una porción de una cuadrícula de 10x10 (Vea el ejemplo en el apéndice)
Pídales a los estudiantes que escriban expresiones que representen lo que “ven” en el cartel que puede incluir el área no sombreada. Comparta ejemplos.
Repita la actividad varias veces.
¿Cuál es la regla? Máquina de funciones
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o
Propósito: patrones
Pasos a seguir:
Ingrese cualquier número de uno o dos dígitos, proporcione como salida un cambio en la cantidad basado en una función apropiada de acuerdo al nivel de grado tal como n÷2 o 3xn.
Haga que los estudiantes ofrezcan números para ingresar.
Los estudiantes observan las relaciones y deciden la regla que la máquina está siguiendo.
El estudiante que descifre la relación decide la siguiente función y proporciona las salidas.
Capítulo 7 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
¿Qué número no pertenece?
NIVEL DE GRADO
3.o – 5.o Propósito: relaciones numéricas
Pasos a seguir:
Escriba un conjunto numérico en el pizarrón así como este:
6 15 10 12
Pregúnteles a los estudiantes “¿Qué número no pertenece a los demás?”
Los estudiantes explican su elección tales como:
o 10, porque no se puede dividir entre 3 o 15, porque no es un número par o 6 porque es menor que 10
Estos tipos de problemas son muy complejos. Son divertidos para hacerlos de
vez en cuando. El trabajar en ellos desarrolla la perseverancia. Estos problemas desafían a los estudiantes a que piensen a partir de más de una perspectiva.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 7 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 7 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Bresser, R. & Holtzman, C. (2006). Minilessons for Math Practice: Grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications Dana, M. Inside-out math problems: Investigate number relationships & operations. Grand Rapids, MI: Instructional Fair, Inc. Hope, J.A., Reys, B.J., Reys, R.E. (1987). Mental Math in the Middle Grades: Blackline Masters. Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications. Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic 2nd edition. New York, NY: Teachers College Press. Richardson, K. (1999). Developing number concepts: Place value, multiplication, and division. Parsippany, NJ: Pearson Education, Inc. Sheffied, Stephanie. (2002). Lessons for introducing place value. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Trafton, P. R., & Thiessen, D. (1999). Learning through problems: Number sense and computational strategies. Portsmouth, NH: Heinemann. Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades 3-5. Boston, MA: Allyn and Bacon Pearson Education, Inc. Wheatley, G. H., & Reynolds, A. M. (1999). Coming to know number: A mathematics activity resource for elementary school teachers. Tallahassee, FL: Mathematics Learning.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
CAPÍTULO 8
Inspección
de
ecuaciones
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 8 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
Las actividades de inspección de ecuaciones se enfocan en aprender de qué manera el
signo igual expresa relaciones de igualdad. Los estudiantes:
• discuten oraciones de verdadero/falso u oraciones numéricas abiertas (ecuaciones)
• utilizan relaciones numéricas para razonar sobre las relaciones de igualdad
• reconocen patrones y hacen conjeturas sobre las propiedades numéricas
• justifican su razonamiento matemáticamente
Las actividades de inspección de ecuaciones pueden proporcionar una experiencia para
toda la clase debido a los muchos puntos de partida.
El bloque de inspección de ecuaciones
se enfoca en conceptos de igualdad y el significado del signo igual
involucra a los estudiantes en el análisis de los símbolos convencionales de números, operaciones y relaciones
motiva a los estudiantes a que busquen y utilicen relaciones numéricas así como cálculos para confirmar las relaciones de igualdad
se puede utilizar de manera intercambiable con el bloque de trabajo numérico
utiliza alrededor de 15 minutos de una hora de matemáticas
se lleva a cabo como una actividad heterogénea en grupos pequeños o para toda la clase.
Inspección de ecuaciones
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 8 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
La inspección de ecuaciones proporciona otro escenario para que los estudiantes
“aprendan a articular y justificar sus propias ideas matemáticas, que razonen a través de
sus propias explicaciones matemáticas, así como las de otros y que proporcionen un
fundamento lógico para sus respuestas.” (Carpenter y colaboradores 2003) Estas
destrezas son esenciales para tener éxito en las matemáticas y otros estudios
relacionados con las matemáticas. A través de las actividades de inspección de
ecuaciones los estudiantes también comienzan a reconocer el razonamiento y la
comprobación como partes fundamentales de las matemáticas.
La inspección de ecuaciones proporciona un medio para que los maestros capten el
interés de los estudiantes en aprender las ideas principales o grandes ideas de las
matemáticas. Los estudiantes aprenden a hacer conexiones entre la aritmética que han
aprendido a lo largo de la escuela primaria y el álgebra con la que se enfrentarán en la
escuela secundaria y más adelante.
Capítulo 8 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Las discusiones breves y enfocadas pueden funcionar bien con toda la clase para la
inspección de ecuaciones. Sin embargo, las sesiones en grupos pequeños pueden
proporcionar un entorno más productivo cuando el objetivo de la lección sea:
ayudar a unos cuantos estudiantes a entender el significado del signo igual
desarrollar conceptos particulares
trabajar con un conjunto de números en particular
proporcionar más oportunidad para desarrollar las destrezas del lenguaje y la comunicación tales como escuchar, cuestionar o contribuir a las discusiones.
Las discusiones en grupos pequeños proporcionan más oportunidad para que los
estudiantes individuales compartan sus propios razonamientos sobre las ecuaciones,
hagan preguntas aclaratorias y reflexionen sobre el razonamiento de cada uno para
desarrollar el sentido numérico.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 8 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Contenido
Las ideas del contenido matemático para las actividades del bloque de inspección de ecuaciones incluyen:
Números, operaciones y relaciones algebraicas
Analizar ecuaciones para entender el signo igual como un símbolo matemático de igualdad en vez de una señal para calcular
Entender y utilizar una notación simbólica convencional
Representar la idea de una variable como una “cantidad desconocida” utilizando una letra o un símbolo
Desarrollar y utilizar relaciones numéricas
Ver una ecuación entera a través del signo igual antes de responder
Justificar conjeturas sobre las propiedades numéricas
Entender y utilizar las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas
Utilizar las relaciones numéricas para calcular con mayor fluidez
Capítulo 8 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso
Las grandes ideas del proceso matemático para las actividades del bloque de inspección de ecuaciones incluyen:
Resolución de problemas
Reflexionar sobre las propias estrategias para continuar dándole sentido a la experiencia de resolución de problemas.
Desarrollar el hábito de volver a razonar la solución para asegurar su precisión
Representación
Aprender formas convencionales de representar operaciones y relaciones numéricas
8 5 4a+ = +
Comunicación
Compartir estrategias de solución utilizando palabras y lenguaje simbólico
Aprender vocabulario matemático
Razonamiento y comprobación
Explicar el razonamiento que uno utiliza para sacar una conclusión
Buscar patrones y explicarlos matemáticamente
Generalizar a partir de ejemplos para hacer conjeturas sobre las propiedades de los números
Justificar las generalizaciones
Conexiones
Entender la conexiones entre las operaciones
Entender el sistema numérico de base de diez y el sistema del valor numérico
Entender los métodos para hacer cálculos
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 8 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Aprendiendo sobre el signo igual Ya desde el Kinder, los maestros introducen el signo igual. Ellos aprenden que el signo
igual significa “lo mismo que.” Los maestros motivan a los estudiantes a decir, “5 es lo
mismo que 3+2” en vez de “5 da 3+2.” Los maestros son cuidadosos al escribir
expresiones y ecuaciones solamente después de que los estudiantes hayan entendido los
números dentro de ellas como cantidades y los símbolos de las operaciones como
acciones; y las escriben en más de una manera, por ejemplo: 5=3+2 y 3+2=5.
En el primer grado, los estudiantes desarrollan su entendimiento sobre cómo representar
oraciones de igualdad e inspeccionan ecuaciones tales como:
*a
=
= +
+ = +
+ = +
7 78 3 58 2 2 74 2 2
*denota una ecuación falsa
Los estudiantes de segundo grado amplían su entendimiento sobre las ecuaciones.
Comienzan a utilizar relaciones, así como cálculos para razonar sobre la veracidad de las
oraciones de igualdad. Inspeccionan ecuaciones tales como:
+ = ++ = ++ = + ++ = +
8 4 7 58 6 7 77 8 7 7 17 8 8 7
Los estudiantes a menudo aprenden que el signo igual indica una señal para calcular o
que “la respuesta viene después”, en vez de una relación entre dos cantidades. Por tal
razón, es importante escribir ecuaciones con números y operaciones a la derecha del
signo igual.
Durante los grados de 3.o a 5.o, los estudiantes refinan y amplían su entendimiento sobre
los conceptos de base de diez, fracciones y operaciones; ellos utilizan su conocimiento
sobre las operaciones aritméticas, las propiedades básicas y las relaciones numéricas en
vez de cálculos para razonar sobre ecuaciones tales como:
-a
g gy
+ = ++ =+ + =× × =
25 47 2667 28 29 66
4 1675 45 0
Capítulo 8 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Los siguientes puntos de referencia indican los niveles de entendimiento sobre el
significado del signo igual. No todos los niños siguen el mismo camino, sin embargo,
estos puntos de referencia sirven como indicadores de un cambio en las concepciones
intelectuales de un estudiante sobre el signo igual. Los estudiantes también pueden tener
diferentes concepciones dependiendo de los números, operaciones y colocación de los
números desconocidos en una ecuación dada.
Tabla 8.1 Puntos de referencia para entender el signo igual
Hablando sobre el significado
Los estudiantes comunican sus propias ideas sobre el significado del signo igual. A este punto, los estudiantes tal vez no tengan nociones correctas pero se sientan cómodos al expresar su razonamiento.
Algunas nociones erróneas que se han visto comúnmente sobre el significado del signo igual en las respuestas para la ecuación 8 4 5a+ = + incluyen:
“la respuesta viene después” (la respuesta que se da es 12),
“todos los números van juntos para formar “ ” (la respuesta que se da es 17), a
“la ecuación está incompleta” (la respuesta que se da es 12 y 17).
Aceptando nuevas formas
Los estudiantes aceptan como oraciones numéricas verdaderas aquellas que no siguen la forma de a b c+ = .
Por ejemplo:
12 8 4= + 12 12= 8 4 12 0+ = + . + = +8 4 4 8
El verdadero significado
Los estudiantes reconocen que el signo igual representa una relación entre dos números iguales. Comparan expresiones en ambos lados del signo igual y llevan a cabo cálculos en cada lado del signo igual.
Por ejemplo, para la ecuación 8 4 5a+ = + , un estudiante a este punto de referencia suma 8 + 4 para obtener 12, luego resta 5 del 12 para obtener la respuesta.
Utilizando la relación del
“igual”
Los estudiantes pueden comparar expresiones en ambos lados del signo igual sin hacer cálculos.
Por ejemplo, para la ecuación 8 4 5a+ = + , un estudiante a este punto de referencia compara el 4 con el 5 y sabe que la respuesta tiene que ser uno menos que 8.
Adaptado con la autorización de Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Razonando
matemáticamente: Integrando aritmética y álgebra en la escuela primaria. Portsmouth, NH: Heineman.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 8 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Los estudiantes de los grados intermedios también hacen y discuten conjeturas sobre las
propiedades básicas de los números (p.ej. la propiedad del cero, conmutativa, base de
diez) que surgen de discusiones sobre oraciones numéricas de verdadero/falso u
oraciones numéricas abiertas. Ellos avanzan sus ideas sobre la justificación y
comprobación mientras que explican por qué las conjeturas que hacen son siempre
verdaderas.
Para ver información específica sobre contenido matemático al nivel del grado, consulte los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD.
Propiedad distributiva: Toma uno de los factores y pártelo o divídelo y multiplica esos dos nuevos números por el otro factor.
Capítulo 8 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Convenciones para utilizar el signo igual
El signo igual es una convención. Al trabajar con los estudiantes sobre el significado de
esta convención, los maestros ayudan a los estudiantes a aprender a utilizar el signo
igual consistentemente y a llegar a tener dominio en el razonamiento de relación.
Sin embargo, el signo igual a menudo se utiliza para propósitos que no están
relacionados con su significado matemático. Evite utilizar el signo igual para:
enlistar edades o alguna otra característica numérica de personas o cosas tales como: enero = 31, febrero = 28
designar el número de objetos en una colección, por ejemplo: las monedas, pennies = 5 dimes = 12
representar una línea de cálculos tales como:
30 30 60 15 75+ = + = , o
30 30 60 15 75+ → + =
En vez de eso, utilice flechas así como en:
30 30 60 15 75+ → + → , o
30 1530 60 75+ +⎯⎯→ ⎯⎯→
demostrar la igualdad utilizando ilustraciones o dibujos (reserve el uso del signo igual únicamente para los números)
Así: 3 3 no así: ♥ ♥ ♥ = 3 =
Nota: Así mismo evite el uso de una balanza como un sustituto o metáfora para el signo
igual. Esta metáfora comúnmente utilizada representa de manera errónea el significado
de “balance” y el significado matemático del signo igual. Los estudiantes aprenderán el
significado correcto del signo igual y aprenderán a utilizar símbolos matemáticos de
mejor manera cuando se utilicen en ecuaciones.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 8 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 8 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Propósito 3er grado 4.o grado 5.o grado
¿Ven los estudiantes el signo igual como la expresión de una relación entre dos cantidades en ecuaciones de las siguientes formas?
• a b c d+ = +
• a b c= +
3 4 55 6 2
4 5 32 3
7 3
yy
yy
y
+ = ++ = ++ = += += +
36 24 2525 26 32
24 25 2332 27
59 27
yy
yy
y
+ = ++ = ++ = += += +
256 289 290290 291 355
289 290 254283 217
500 217
yy
yy
y
+ = ++ = +
+ = += += +
¿Calculan automáticamente los estudiantes de izquierda a derecha o consideran las relaciones útiles dentro de una ecuación antes de calcular una ecuación de la siguiente forma?
a b b a+ − =
25 59 59
Tabla 8.2 Evaluando para el entendimiento conceptual Utilice las siguientes series de ecuaciones para captar las concepciones de los estudiantes sobre la igualdad. Para cada ecuación pregúnteles a los estudiantes, “¿Cuál tiene que ser el valor de la letra (o casilla) para hacer que esta oración numérica sea verdadera?” Estos proporcionan un punto de partida para las sesiones de inspección de ecuaciones. En este capítulo se incluye una evaluación escrita.
67 28 67y
y+ − =+ − =
5 7 7
26 8 81 3 3
72 4 4
889 118 118y
y
y+ − =
+ − =
+ − =
. . .. . .
10 5 3 335 6 89 89. . .3 99 99
yy
y
+ − =+ − =
+ − =
¿Calculan automáticamente los estudiantes de izquierda a derecha o consideran las relaciones útiles dentro de una ecuación antes de calcular ecuaciones de las siguientes formas?
• ( )1a b b c+ − − =
• ( )1a b b c+ − + =
54 37 3643 28 29
yy
+ − =+ − =
345 76 75436 27 28
yy
+ − =+ − =
. . .. . .
3 5 1 9 1 889 58 26 27
yy
+ − =+ − =
¿Aprovechan los estudiantes las relaciones numéricas familiares?
25 47 7598 65 2
yy
+ + =+ + =
y
yy
+ + =+ + =
× × =
25 47 7598 69 27 45 0
. .
. .2 50 47 5067 98 2 0232 58 0
yy
y
+ + =+ + =
× × =
¿Pueden los estudiantes resolver ecuaciones con variables repetidas de manera precisa?
g gh ha a a
+ ++ − =
+ =15
163 11
4 163 11
155 234 16
g gh ha a af f fp p p p
+ + =+ − =+ + =+ + + =+ + + = +
2 4 162 3 113 153 5 233 4 16
ghafp p
+ =− ==+ =+ = +
+
Adaptado con permiso de Jacobs, V. R. y colaboradores. Capacitación profesional enfocada en el razonamiento algebraico de los niños en la escuela primaria, JRME: Volumen 38, Asunto 3, pp.258-288
Traducido por Rosy Einspahr
Continuación de la tabla 8.2 Evaluando para el entendimiento conceptual Utilice los siguientes ejercicios de opción múltiple con estudiantes de 5.o grado para evaluar su entendimiento sobre las expresiones algebraicas y los niveles de justificación. Se pueden utilizar para evaluar a los estudiantes de manera individual, pero funcionan mejor cuando se da un seguimiento con una discusión con todo el grupo.
¿Pueden los estudiantes representar problemas escritos en palabras con oraciones numéricas apropiadas para las relaciones aditivas?
1. Hay 5 carros más que camionetas en el estacionamiento de la escuela. Si “c” es el número de carros y “t” es el número de camionetas, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre el número de carros y el número de camionetas?
) ) ) ) a c t b t c c t c d c
2. Juan tiene 5 canicas más que Pedro. Si “p” representa las canicas de Pedro y “j” representa las canicas de Juan, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre las canicas de Juan y las canicas de Pedro?
t+ = + = + = × =5 5 5 5
) ) ) ) a p j b j p c j p d j+ = + = + = =5 5 5 5
¿Pueden los estudiantes representar problemas escritos en palabras con oraciones numéricas apropiadas para las relaciones multiplicativas?
1. Hay 6 veces el número de estudiantes que de maestros en la escuela Linwood. Si “s” representa el número de estudiantes y “t” el número de maestros, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre el número de estudiantes y el número de maestros?
) ) ) ) a t s b t s c t s d t s+ = × = × = + =6 6 6 6
2. Stephanie tiene 4 veces el número de dulces que Isabel. Si “ i ”representa los dulces de Isabel y “s” representa los dulces de Stephanie, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre los dulces de Stephanie y los dulces de Isabel?
) ) ) ) a i s b i s c s i d s i+ = × = + = × =4 4 4 4
¿De qué manera generan los estudiantes su propia justificación para una conjetura?
Cuando multiplicas dos números, se obtiene el mismo resultado aunque se cambie el orden de los números que multiplicas. Por ejemplo, 2 x 3 es lo mismo que 3 x 2. Esta idea funcionará para cualquier conjunto de números.
¿De qué manera podrías convencer a otros que esta idea es siempre verdadera?
¿Qué categoría de justificación eligen los estudiantes?
Las siguientes respuestas ilustran ejemplos de justificaciones de por qué la declaración es siempre verdadera. ¿Quién piensas que dio la mejor explicación para probar esta declaración y por qué? Tomás: Cuando multiplicas un número por otro número, obtienes lo mismo que cuando multiplicas el segundo número por el primer número – simplemente puedes
invertir los números. El orden no importa cuando multiplicas y esto debe funcionar para todos los números.
Arturo: El año pasado mi maestra me enseño a hacerlo. Ella me dijo que lo podía utilizar cuando resolviera problemas porque algunas veces eso hace las cosas más fáciles. También dijo que debe funcionar para todos los números.
Digamos que yo construyo 5 filas con 4 bloques en cada fila – esGrant: o es 5 veces 4. Pero simplemente puedo voltear el número de bloques y luego tener 4 filas con 5 bloques en cada fila – eso es 4 veces 5. No agregué ni quité ningún bloque por lo tanto es el mismo número en ambos lados. Esta idea debe funcionar para todos los números.
Pasé mucho tiempo haciendo esEduardo: to. Hice este tipo de problema con 50 conjuntos diferentes de números. Por ejemplo, hice 3 veces 5 es 15 y 5 veces 3 es 15. También hice 45 x 53 y obtuve el mismo resultado que 53 x 45. Cada vez que lo hice funcionó. Ya que lo intenté varias veces, creo que debería funcionar para todos los números.
3 x 5 = 15 5 x 3 = 15 sí
sí 45 x 53 = 2,385
2 x 36 = 72
53 x 45 = , 2,385
36 x 2 = 72 sí
9 x 10 = 90 10 x 9 = 90 sí Adaptado con permiso de Jacobs, V. R. y colaboradores. Capacitación profesional enfocada en el razonamiento algebraico de los niños en la escuela primaria, JRME: Volumen 38, Asunto 3, pp.258-288
Capítulo 8 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha___________________________
Inspección de ecuaciones – Evaluación
1. 7 + 5 = 5 + 7 verdadero falso
Explica tu razonamiento:
2. 29 + 17 -17 = 29 verdadero falso
Explica tu razonamiento:
3. 15 + 25 = 29 + 14 verdadero falso
Explica tu razonamiento:
4. 89 = 89 verdadero falso
Explica tu razonamiento:
5. Pon un número en la casilla para hacer la oración numérica verdadera. 8 + 5 = + 7
Explica tu razonamiento:
Actividades de enseñanza en el bloque de inspección de ecuaciones
Las actividades de inspección de ecuaciones involucran primordialmente una discusión
sobre el significado de los símbolos utilizados en el estudio de las matemáticas. La
necesidad de obtener respuestas de los estudiantes que incluyan un rango de
interpretaciones hace que este bloque sea más benéfico como una actividad para toda la
clase o en pequeños grupos. El intercambio de ideas dentro de un entorno grupal apoya
a los estudiantes a medida que se cuestionan entre ellos sobre el razonamiento que hay
detrás de sus repuestas.
Dando comienzo con oraciones numéricas de verdadero/falso y oraciones numéricas abiertas
Una de las maneras más fáciles para averiguar lo que los estudiantes saben sobre el
signo igual es pedirles que respondan a varias oraciones numéricas de verdadero/falso u
oraciones numéricas abiertas y que expliquen su razonamiento a un compañero o que lo
hagan por escrito antes de tener la discusión.
Las sesiones de inspección de ecuaciones tal vez tomen más tiempo inicialmente. A
medida que se desarrollan las normas para la discusión, la duración de la sesión cambia
basándose en lo que los estudiantes saben y la meta de la lección.
El siguiente conjunto de ecuaciones sienta las bases para seguir las discusiones sobre la
inspección de ecuaciones. Ellos revelan específicamente los conceptos que los
estudiantes tienen sobre el signo igual. Utilice parte del conjunto o todo el conjunto para
una sesión de inspección de ecuaciones.
Oraciones numéricas de verdadero/*falso
Oraciones numéricas abiertas
*
3 5 108 3 537 375 6 5 67 8 8 724 47 47 23
+ == +=
+ = ++ = ++ = +
*7 8 15 29 5 149 5 14 09 5 0 149 5 14 1
+ = ++ =+ = ++ = ++ = +
3 5
8 5375 5 67 8 5
47 47 24
aaa
aa
a
= += +=
+ = ++ = ++ = +
Capítulo 8 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Consejos de enseñanza
• Primero utilice ecuaciones de verdadero o falso. Las ecuaciones sin variables a
menudo son más fáciles de entender.
• Recuerde incluir ecuaciones falsas así como ecuaciones verdaderas debido a que suelen ser más fáciles de justificar para los estudiantes debido a la disparidad evidente en la igualdad. = +100 70 3
• Comience evaluando lo que los estudiantes ya saben sobre el significado del signo igual. Las ecuaciones de la página 16 provocarán una conversación sobre el significado del signo igual.
• Tal vez usted quiera que los estudiantes se comprometan con su idea al escribir V o F y una breve explicación en una página de respuesta, o bien, pedirles a los estudiantes que platiquen con un compañero.
• Pídales a varios estudiantes que expliquen o lean sus explicaciones. Si los estudiantes no están de acuerdo, deje un tiempo para debatir pero no les explique. Ayúdeles a ver que tienen que estar de acuerdo sobre los términos matemáticos. Es aceptable seguir adelante cuando no se llegue a ningún acuerdo.
• Utilice las oraciones “numéricas abiertas” como una actividad de seguimiento.
• Cambie al uso de las letras minúsculas después de usar una casilla como un símbolo para una variable. Es posible que los estudiantes quieran escoger qué letras utilizar y deben evitar aquellas que se confundan con otros símbolos matemáticos tales como x o 0.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
Cuando se planea una discusión de verdadero/falso o de números abiertos:
considere los puntos de referencia para el desarrollo del razonamiento relacional y trabaje hacia el entendimiento y el uso de relaciones equivalentes (vea la tabla 8.1)
establezca expectativas o normas para responder a oraciones numéricas (P.ej. tiempo para pensar, compartir en parejas, escribir primero)
diseñe o escoja ecuaciones específicas o secuencias de ecuaciones en respuesta al razonamiento de los estudiantes sobre el signo igual, relaciones numéricas u operaciones (vea la tabla 8.3 )
sepa qué evitar cuando utilice el signo igual (vea las convenciones en la página 11)
considere mantener un registro visual (en un cartel de papel) de las ecuaciones que ya se han discutido para que los estudiantes puedan reflexionar sobre el trabajo anterior y vean el progreso a través del tiempo.
Tabla 8.3 Conjuntos de ecuaciones de verdadero/falso y de números abiertos *denota una ecuación falsa
Propósito Ejemplos de ecuaciones Conjunto A
Ejemplos de ecuaciones Conjunto B
Ejemplos de ecuaciones Conjunto C
Entender el significado del signo igual como una igualdad en vez de una orden para calcular
**
+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +
8 7 1515 8 715 158 3 8 37 5 5 77 5 12 16 9 15 6
**
+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +
9 5 1414 9 514 1411 6 11 68 5 5 88 5 13 18 5 13 8
*
**
+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +
16 4 2020 16 420 2018 3 18 523 7 7 2323 7 30 123 7 30 23
aa
a
+×+×=×+=×+=×
)()( 6262651474
992
Desarrollo de las operaciones aritméticas
aaa
++=+++=+++=+
375777871959
25575546
341114
++=++=+
+=+++a
Observar el aditivo inverso y la identidad
*z
+ − =+ − =
42 9 9 4353 8 54
a− + =192 32 32
a
+ − =
= + −
= + −
1 19 94 4
1 1 1 12 22 2 4 4
5 1 16 3 3
. . . *. . .. . .
ja
+ − =+ − =− + =
7 8 20 20 7845 6 2 67 2 6734 2 68 34 2
Observar los números con una diferencia de 1 o 2
t
s
+ = ++ = ++ = + +
23 48 2299 101 100 10053 68 67 52
*
bc
+ = + −+ = ++ = +
39 73 74 38376 84 85692 45 44 691
*
. . .. . . .
a+ = +
+ = ++ = +
1 2 24 3 3 4
2 3 35 2 6 3 5 236 25 15 16 14 16 37 25
. .
. . .. . .
pr
s
+ = + ++ = + +
+ + = + +
35 60 44 40 35 4467 98 67 98 120 14 1 0018 5 199 25 1 25 18 200
Observar el valor numérico
**
+ + = ++ + = + + ++ = +
45 5 50 90 1056 67 23 50 60 10 6340 306 600 10
**
k
+ + = + ++ + = ++ = +
358 130 2 400 80 9456 298 302 156 900567 89 560
+
Capítulo 8 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Tabla 8.3: Continuación
Propósito Ejemplos de ecuaciones Conjunto A
Ejemplos de ecuaciones Conjunto B
Ejemplos de ecuaciones Conjunto C
Notar la propiedad distributiva
( )
( ) ( )( ) (( )
× = × + ×× = × + ×× = × + ×
6 3 3 3 3 34 15 4 10 4 523 9 20 9 3 9
) ( ) ( )
( ) ( )*( ) ( ) ( )
× = × + ×× = × + ×× = × + × + ×
12 3 10 3 2 36 8 12 8 12 84 9 4 3 4 3 4 3
( ) ( ) ( )( ) ( )*( ) ( ) ( )
a
b
× = × + × + ×× = × + ×× = × + × + × +
26 13 20 10 20 3 615 67 10 60 5 735 72 30 70 5 70 30 2
Relacionar la suma con la multiplicación
yzv
+ + + = ×+ + = ×+ + = ×
8 8 8 8 812 12 12 615 15 15 5
+ = ×× = + +× = + + +
14 14 4 73 7 7 7 77 4 7 7 7 7
( ) ( )a
× + = ×× = × + ×× = × +
3 6 3 3 76 4 4 2 2 23 6 2 6
*
Trabajar con variables
h hi i i
j j j jk k
= + += + + +
+ + + =+ + =
13 335 5
1615 25
b bk k km m m m
j j j
= ++ + =+ + + = +− + = + +
111812 24
75 5 70
u uc c cq q
b b b
= + + ++ + + =+ + =+ + = +
36 3 34 16
8 1632 42
Trabajar con multiplicaciones
( )
*( )
c+ + = × −
× = +× − = ×× = × −
10 10 10 3 9 35 40 5
4 10 4 4 84 9 4 10 4
*
ab
aa
× = × ++ = ×× = × −× + = ×
6 4 5 48 3 67 9 7 108 5 8 6
w w
yz
× = + −× = × +× = × +
2 9 26 8 5 87 8 7 7
Más ideas sobre el valor numérico
Nota: Los problemas con dos o más variables tienen muchas soluciones.
( )( )
gb
= × +× + =× + × =
347 100 4710 8 408
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
( ) ( )h 1000 4 10 2040 a b
( ) ( ). ( ) ( . )
b t rm p
× + + + == × + ×
10 100 4758576 8 10 1× + =10 87
)
( . ) .t s1 8 6
. ( ) ( .. ( )
b c pm g= × + + ×
= × +× + =
576 25 100 013 5 10 .
Utilizar más de una operación
p+=
3 84
j× − =6 3 21
0
m× − =3 5 1
y y+ = × −15 2 3
g g+ × = × −25 3 5 7
d d− = −5 3
m m× − × + =6 2 4 12
a ×=
5 63
r+ = +23 27 33
w w× + = + ×6 43 10 9
z +=
7 92
t + − = +45 15 32 28
s s× + × = +2 5 15 13
t t= − + ×16 4 3
r r× = −3 20
Trabajar con más de una variable t v+ = +2 3 k t = 7 d n× + =2 14 −
Ecuaciones con más de una variable
Pasos a seguir:
Proporcione un problema matemático o una ecuación con más de una variable. Por ejemplo:
Michelle compró nueve peces. Ella los quiere poner en dos estanques en su patio trasero. ¿Cuáles son las diferentes maneras en las que ella puede colocar los peces en los estanques?
Pídales a los estudiantes que enlisten todas las maneras de dividir los nueve peces entre los dos estanques.
Pídales a los estudiantes que sugieran una ecuación que represente el problema.
Desafíe a los estudiantes para resolver el mismo problema con números más grandes (p.ej. 15, 23) y buscar una generalización.
Discuta y resuelva las ecuaciones (vea la tabla anterior) con más de una variable.
Discuta la idea de que dos variables diferentes pueden tener el mismo valor (p.ej. 6 , tanto a como b pueden valer 3) pero una variable repetida
debe tener el mismo valor (p.ej 11a b+ =
a a+ = , cada a debe valer 5 12
).
Utilice ejemplos de la tabla 8.2 para discusiones adicionales.
Capítulo 8 Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Enseñar el orden de las operaciones
Cuando una oración numérica incluye más de una operación, lleve a cabo las operaciones en el
siguiente orden:
1. operaciones dentro de paréntesis (en el orden dado por las siguientes dos reglas)
2. multiplicación y división de izquierda a derecha
3. suma y resta de izquierda a derecha
Enseñar “el orden de las operaciones” funciona mejor cuando surge una verdadera necesidad
matemática. Las convenciones del orden de las operaciones aplican en casos donde sí importa el
orden de los cálculos. Sin convenciones, 4 6 5+ × se puede interpretar de dos maneras:
( )4 6 5 10 5 50+ × = × = ( )4 6 5 4 30 34+ × = + =
Los estudiantes generalmente resuelven de derecha a izquierda incluso después de aprender la
regla convencional del orden de las operaciones. Los estudiantes de los grados intermedios
deben aprender a utilizar los paréntesis para indicar que parte de una ecuación calcular primero.
Los estudiantes de quinto grado pueden comenzar a utilizar el orden de las operaciones en
operaciones más largas como:
( )8 25 3 2 52 6 2 4 4 315 5 3 4
ab
c
+ ÷ × − =× + × + ÷ =− + × =
El orden de las operaciones solamente aplica a las ecuaciones en donde sí hace una diferencia en
que orden se hacen los cálculos. Hay muchas situaciones donde el orden no importa. Por
ejemplo:
8 4 2× ÷
Los maestros también pueden proporcionar situaciones de ecuaciones de verdadero/falso para
estudiar esta situación. Por ejemplo, ¿es la siguiente ecuación verdadera o falsa?
( ) (6 5 2 6 5 2× ÷ = × ÷ )
Siempre de un seguimiento con una discusión acerca del razonamiento que desencadena la
respuesta y proporcione modelos para ayudar a explicar si es necesario.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Los estudiantes deben tener experiencias que sugieran una necesidad para las convenciones. Por
ejemplo, los estudiantes tal vez tengan ideas diferentes sobre la respuesta para:
s× + =3 5 2
Los estudiantes podrían determinar donde poner el paréntesis en la siguiente ecuación para
convertirla en una oración falsa.
× + = × +3 5 2 3 5 2
Consejos de enseñanza
• Los estudiantes deben estar acostumbrados a trabajar con oraciones numéricas simples que involucren multiplicación y división antes de aprender las tres convenciones del “orden de las operaciones.”
• Los estudiantes deben tener buen sentido numérico antes de aprender las convenciones sobre el orden de las operaciones.
• Los paréntesis son los más fáciles de aprender y de utilizar. Enseñe el uso de los paréntesis primero. Generalmente los estudiantes de 3.o a 5.o solamente necesitarán saber esta convención.
• Motive a los estudiantes a participar en una discusión sobre la necesidad de los paréntesis a través del uso de oraciones numéricas de verdadero/falso incluyendo operaciones múltiples.
• Pídales a los estudiantes que escriban sus propias ecuaciones de verdadero/falso y que incluyan paréntesis.
• Introduzca convenciones sobre “el orden de las operaciones” a medida que surjan las necesidades partiendo de su trabajo con oraciones numéricas de verdadero/falso u oraciones numéricas abiertas.
Capítulo 8 Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Desarrollando conjeturas
Pasos a seguir:
Siga el protocolo de las oraciones de verdadero/falso y las oraciones numéricas abiertas utilizando ecuaciones que representen propiedades básicas de operaciones numéricas o clases de números como los números pares/nones.
Incite una conversación acerca de cada ecuación en un conjunto relacionado de ecuaciones (Vea la tabla 8.4)
Plantee una pregunta sobre todo el conjunto. Por ejemplo, “¿Qué observan sobre este grupo de ecuaciones?” o “¿Pueden hacer una conjetura sobre lo que pasa cuando se le suma un cero a un número?” o “¿Resulta ser siempre esto una verdad?” Los estudiantes sugieren una oración numérica abierta para representar la conjetura.
Exhiba la conjetura para discusiones adicionales sobre su validez al proporcionar nuevas ecuaciones que utilicen un nuevo campo numérico tales como fracciones, decimales o números grandes.
Pídales a los estudiantes que exploren operaciones con números pares y nones que resulten de conjeturas sobre la manera en que funciona una clase de números. Por ejemplo, “¿Qué sucede cuando sumas dos números pares? ¿Dos números nones? ¿Un número par y un número non?
Si eliges cualquier número y lo multiplicas por cualquier otro número y luego lo divides por el mismo número, obtienes el número con el que empezaste.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 23 Traducido por Rosy Einspahr
Tabla 8.4 Conjuntos de ecuaciones para incitar conjeturas
Conjunto de ecuaciones * Denota una oración numérica falsa
Posible conjetura y oración numérica del estudiante:
Propiedad numérica para discutir:
**
*c
+ =+ =+ =+ =
799 0 80048 2 4850 0 50039 39
Cuando le sumas cero a un número, obtienes el número con el que empezaste. 0a a=
Suma que involucra 0 (Identidad aditiva) +
**
c
− =− =− =
− =
536 0 53648 9 48570 0 57
0 654
Cuando le restas cero a un número, obtienes el número con el que empezaste. Resta que involucra 0 0a a− =
, ,*
. . *c
× =× =× =
× =
5 467 1 5 46748 1 498 4 1 8 5
1 76
Cuando multiplicas un número por 1, obtienes el número con el que empezaste. 1a a=
Multiplicación que involucra 1 × (Identidad multiplicativa)
*c ct d
× =× =
× =× =
345 0 028 0 28
00
Cuando multiplicas un número por 0, obtienes cero. a× =0 0
Multiplicación que involucra 0 (Propiedad de producto cero)
45 67 67 45156 78 156c
+ = ++ = +
Cuando sumas dos números, puedes cambiar el orden de los números que sumas. a b
Propiedad conmutativa para la suma o adición b a+ = +
17 28 28 1739 46 39c× = ×× = ×
Cuando multiplicas dos números, puedes cambiar el orden de los números que multiplicas y obtener el mismo número. a b b a× = ×
Propiedad conmutativa para la multiplicación
Capítulo 8 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
Justificación
Pasos a seguir:
El maestro facilita la discusión sobre una conjetura al preguntar, “¿Es esto verdad siempre?” o “¿Es esto verdad para todos los números?”
Los estudiantes trabajan juntos para desarrollar un razonamiento para su respuesta y explicarlo a la clase.
El maestro respalda la discusión e indaga con los estudiantes para que desarrollen explicaciones que conduzcan a un nivel más elevado de justificación.
Los niveles de justificación incluyen:
1. recurrir a la autoridad
2. justificación por medio de un ejemplo
3. argumentos que pueden ser generalizados
Ejemplos de justificaciones del estudiante en el salón de clases con respecto a su conjetura:
“Cuando se multiplican dos números no importa el orden en que los multiplicas”
1. “Eso lo aprendimos en tercer grado” (recurrir a la autoridad)
2. “Lo intenté varias veces y siempre funciona.” (justificación por medio de un ejemplo)
3. “Hice un modelo con cubos y observé que no tienes que contarlos. Si volteas el modelo de un lado es 3x5 y del otro lado es 5x3 y sabes que todo está ahí, entonces son lo mismo.” (generalización)
Capítulo 8 Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Familia de operaciones
Pasos a seguir:
El maestro escribe tres números en el pizarrón lo suficientemente grandes para que los vea toda la clase.
Pídales a los estudiantes que utilicen tres números con un símbolo de operación y un signo igual para expresar una relación verdadera de igualdad, por ejemplo 8, 7 y 56 o 12, 5 y 60.
Después de varios segundos de haber pensado, pídales a los estudiantes que compartan sus razonamientos, escribiendo en una lista el mayor número de oraciones numéricas verdaderas que se les ocurran.
Los estudiantes comparten las razones de sus decisiones, trabajando junto con otros para determinar que las oraciones numéricas (ecuaciones) que ellos crearon tienen sentido.
Continúe la discusión para todas las ocho ecuaciones.
El maestro escribe un nuevo conjunto de tres números, decidiendo qué relación numérica o qué relación de la propiedad numérica enfatizar basándose en los puntos tratados durante la discusión de los estudiantes.
Para más información: Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Pensando matemáticamente: Integrando aritmética y álgebra en la escuela primaria. Portsmouth, NH: Heineman.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
CAPÍTULO 9
Fluidez
y
mantenimiento
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 9 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
El trabajo de fluidez y mantenimiento debe siempre estar al nivel independiente
del estudiante, determinado mediante las observaciones del maestro en el
trabajo diario, las evaluaciones informales creadas por el maestro, las
evaluaciones orales de operaciones aritméticas (Vea el capítulo 4), evaluaciones
orales de resolución de problemas y evaluaciones posteriores. La fluidez y el
mantenimiento: Fluidez y mantenimiento
• refuerzan los conceptos y las habilidades
• construyen la eficacia y precisión
• refuerzan el vocabulario
Las actividades proporcionan experiencias para revisar el conocimiento, los
conceptos y las destrezas a partir de todas las áreas de contenido: números,
operaciones y relaciones algebraicas; geometría; medición y análisis de datos y
probabilidad.
El bloque de fluidez y mantenimiento
Las actividades deben estar de acuerdo al nivel
independiente de cada estudiante.
utiliza actividades que tienen tamaños de cantidades numéricas dentro del nivel de cálculo mental independiente de cada estudiante (Ver las evaluaciones orales de operaciones aritméticas)
utiliza 15 minutos de una hora de matemáticas o se asigna como tarea
puede ocurrir mientras un maestro se reúne con un grupo pequeño durante la resolución de problemas.
apoya el aprendizaje en pequeños grupos o como trabajo independiente.
Cuando se asigna la fluidez y el mantenimiento como tarea es importante
considerar factores que hagan efectiva a la tarea. La tarea “puede enriquecer el
aprovechamiento mediante la extensión del aprendizaje más allá del día escolar.”
(Marzano, R., & Pickering, J., 2007) Sin embargo, la tarea de fluidez y
mantenimiento:
tiene que estar al nivel independiente del estudiante
puede fomentar un mejor logro, así como las actitudes y hábitos positivos sólo cuando se asigna de manera apropiada.
debe requerir alrededor de 15 minutos
permite la participación apropiada de los padres (hacer preguntas y aclarar o resumir)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página3 Traducido por Rosy Einspahr
Las tareas asignadas para la fluidez y el mantenimiento deben involucrar la
práctica de una destreza o proceso que los estudiantes puedan hacer
independientemente pero no de manera fluida
Los maestros deben vigilar cuidadosamente la cantidad de tarea asignada y
ayudar a los estudiantes a que aprendan a controlar su realización. Los
estudiantes necesitan pautas claras sobre qué hacer cuando no entiendan o no
puedan completar la asignatura.
La retroalimentación sobre la tarea es importante y ayuda a los estudiantes a
reflexionar sobre su progreso.
Capítulo 9 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de enseñanza en el bloque de fluidez y mantenimiento
Los maestros encontrarán ideas para las actividades que puedan mejorar la fluidez o
mantener el dominio en los recursos curriculares de la escuela. Este capítulo incluye
algunas sugerencias para el fácil aprendizaje de juegos de fluidez que involucran
operaciones numéricas.
Otras sugerencias para las actividades en el bloque de fluidez y mantenimiento incluyen:
• juegos de tarjetas (utilice tarjetas numéricas en vez de cartas de juego)
• rompecabezas de figuras (P.ej. tangramas, pentóminos)
• rompecabezas lógicos
• práctica mental matemática diaria
• hojas de práctica para resolver problemas (al nivel independiente del estudiante)
• recopilar datos para tareas que requieran hacer gráficas.
• juegos de operaciones aritméticas o rompecabezas de geometría en páginas de Internet
Los siguientes juegos y actividades descritos en este capítulo se pueden adaptar
fácilmente para un rango determinado de estudiantes. Ellos proporcionan ejemplos de
práctica adecuada de acuerdo al nivel para el bloque de fluidez y mantenimiento.
−− Saludo
−− Pum, Zas, Juaz
−− Cerca del 100
−− Dígitos
−− Diferencias
−− Toque ganador
−− Cuatro en fila
−− Productos
−− Rio
−− Juniper verde
Para más información:
Marzano, Robert.J, and Pickering, Debra J. (2007.) Special topic: The case for and against homework. Responding to changing demographics. Educational Leadership, 64 (60, 74-79 Hope, J.A., Reys, B.J., Reys, R.E. (1987.) Mental math in the middle grades: Blackline Masters, Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic: 2nd grade implications of Piaget’s theory. New York, N.Y: Teachers College Press
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página5 Traducido por Rosy Einspahr
Saludo
Tema Identificar el factor que falta
Jugadores 3
Materiales Tarjetas numéricas hechas a mano (6 de cada número del 1 al 9) o
cartas de juego (se quitan del 10 a la K)
Objetivo Ser el primer jugador en decir el sumando o factor faltante
Juego Un jugador actúa como el árbitro. Reparta todas las cartas en dos
montones boca abajo en frente de los dos jugadores. Cuando el árbitro
diga, “Comiencen” cada jugador toma la carta de hasta encima y sin
verla, se la coloca en la frente mostrando el número para que el otro
jugador lo pueda ver. El árbitro declara el total y cada jugador trata de
ser el primero en determinar cual es su tarjeta basándose en el
número que está en la tarjeta que el otro jugador está mostrando.
Variación Ajústelo de acuerdo a las operaciones que los estudiantes necesitan
practicar. Por ejemplo: Sumas de 7 o 15, múltiplos de 5.
Capítulo 9 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Pum, Zas, Juaz
Tema Múltiplos y base de diez
Jugadores Grupo pequeño o grande
Materiales Ninguno
Objetivo Continuar el juego el mayor tiempo posible sin cometer ningún error
Juego El grupo se sienta en un círculo alrededor de una mesa. La primera
persona dice el número 1. La persona a la izquierda dice 2 y así
sucesivamente. Cada vez que alguien llega a un número que tiene un
7, o que es un múltiplo de 7, tiene que decir, “Juaz” en vez de decir el
número (p.ej. 7, 14, 17, etc.)
Una vez que el grupo ya tenga bien definido el concepto y lo esté
haciendo bien, agregue Zas. “Zas” se tiene que decir para cualquier
número que tenga un 10 o que sea múltiplo de diez. Algunos números
serán tanto múltiplos de 10 como múltiplos de 7 (p.ej. 70) – en este
caso la persona tiene que decir “Zas, Juaz.”
Cada vez que alguien diga la palabra incorrecta se debe comenzar
nuevamente desde el uno.
Variación Para realmente retar al grupo, agregue Pum, lo cual se dice cada vez
que haya un cinco en el número o que el número sea un múltiplo de 5.
Muchos números serán tanto múltiplos de 5 como de 10, en tal caso el
jugador tiene que decir, “Pum Zas.” Si el número es un múltiplo de 5,
10, y 7, el jugador debe decir, “Pum, Zas, Juaz”
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página7 Traducido por Rosy Einspahr
Cerca del 100 (o 1000)
Tema Componiendo y comparando números
Jugadores 2-3
Materiales Tarjetas numéricas hechas a mano (6 de cada número del 1 al 9) y
hoja de puntaje para el juego Cerca del 100
Objetivo Llegar lo más cerca posible al 100 (o 1000)
Juego Reparta seis cartas boca arriba a cada jugador para el juego de Cerca
del 100 (ocho para el juego de Cerca del 1000). Los jugadores toman
turnos haciendo dos números de 2 dígitos (dos números de 3 dígitos)
que al sumarlos estén lo más cerca posible al 100 (1000).
Escriba los números y el total en la hoja de puntaje de Cerca del 100
(1000)
Cada jugador calcula su propio puntaje el cual es la diferencia entre el
total que crearon y 100 (1000). Descarte las cartas ya usadas y
reparta nuevas cartas para reemplazarlas. Después de cinco rondas,
sume el total de los puntajes. El jugador que tenga el menor puntaje
es el ganador.
Consejo de
enseñanza
El juego Cerca del 100 es bastante desafiante para los estudiantes que
apenas comienzan a entender los conceptos de base de diez. Los
estudiantes tienen que ser capaces de descomponer los números
fácilmente y mantener su razonamiento organizado. El juego Cerca del
100 desarrolla la capacidad de hacer cálculos mentales. Asegúrese de
observar la manera en que los estudiantes están utilizando su
conocimiento sobre las operaciones aritméticas para jugar este juego.
Pídales que expliquen sus estrategias entre ellos utilizando el lenguaje
de decenas y unidades.
Capítulo 9 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje cerca del 100. Fecha__________________________
Nombre______________________________________________________________ JUGADOR 1 Puntaje de la ronda 1ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 2ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________
3ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 4ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 5ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ Puntaje total: _________
Nombre______________________________________________________________
JUGADOR 2 Puntaje de la ronda 1ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 2ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________
3ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 4ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 5ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ Puntaje total: _________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página9 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje cerca del 1000 Fecha__________________________
Nombre______________________________________________________________ JUGADOR 1 Puntaje de la ronda 1ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 2ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________
3ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 4ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 5ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ Puntaje total: _________
Nombre______________________________________________________________
JUGADOR 2 Puntaje de la ronda 1ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 2ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________
3ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 4ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 5ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ Puntaje total: _________
Capítulo 9 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Dígitos
Tema Componer, comparar y calcular diferencias
Jugadores 2 ó 3
Materiales Tarjetas numéricas (6 de cada número del 1 al 9) y hoja de puntaje de
dígitos.
Objetivo Encontrar las diferencias entre un número meta (100 ó 1000) y un
número de 2 ó 3 dígitos.
Juego Decidir un número meta (100 ó 1000). Repartir a cada jugador una
tarjeta más que los dígitos del número meta. Los jugadores utilizan los
números para formar un número tan cercano como sea posible al
número meta. Registrar y encontrar la diferencia entre el número meta
y el número que se formó. Sacar el total de los puntajes después de
tres rondas. El puntaje más bajo gana.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página11 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje de dígitos (100) Fecha________________________
JUGADOR ________________________________________________________________________ Juego 1 Diferencia
1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 2 Diferencia
1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 3 Diferencia
1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Capítulo 9 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje de dígitos (1000) Fecha_______________________
JUGADOR ___________________________________________________________
Juego 1 Diferencia
1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 2 Diferencia
1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 3 Diferencia
1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página13 Traducido por Rosy Einspahr
Diferencias
Tema Componer, comparar y calcular diferencias
Jugadores 2
Materiales Tarjetas numéricas (6 de cada número del 1 al 9) y hoja de puntaje de
diferencias.
Objetivo Encontrar las diferencias entre dos números de 2 dígitos (o dos
números de 3 dígitos)
Juego Repartir cuatro tarjetas boca arriba a cada jugador. Formar dos
números de 2 dígitos lo más cerca posible entre ellos utilizando las
cuatro tarjetas y registrarlos en la hoja de puntaje. Encontrar la
diferencia entre los dos números mentalmente y registrarlo. Después
de tres rondas los jugadores sacan el total de sus diferencias. El total
más pequeño gana.
Capítulo 9 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje de diferencias Fecha____________________________
(Números de 2 dígitos) JUGADOR ________________________________________________________________________
Juego 1 Diferencia
1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 2 Diferencia
1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 3 Diferencia
1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________
Puntaje total: _________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página15 Traducido por Rosy Einspahr
Hoja de puntaje de diferencias Fecha____________________________
(Números de 3 dígitos) JUGADOR ________________________________________________________________________
Juego 1 Diferencia
1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 2 Diferencia
1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Juego 3 Diferencia
1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________
Puntaje total: _________
Capítulo 9 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Toque ganador
Tema Multiplicación
Jugadores 2 ó 3
Materiales Tablero del juego Toque ganador, 16 fichas etiquetadas
Objetivo Tener el menor número de fichas cuando el juego termine.
Juego Todas las dieciséis fichas se colocan boca abajo, se mezclan bien y
cada jugador toma dos fichas para comenzar el juego.
El primer jugador escoge una ficha y la coloca en el casillero
correspondiente a sus dos factores. Por ejemplo, 25 se debe colocar
en la columna etiquetada ‘5’ que se intercepta con la fila etiquetada ‘5’.
En seguida el primer jugador toma una ficha de la pila que está boca
abajo para volver a tener dos fichas. Los jugadores toman turnos
colocando una ficha a la vez en el tablero. Para poder hacer la jugada,
la ficha tiene que compartir un lado de una ficha que ya esté colocada
en el tablero. En este ejemplo, la segunda ficha que se juegue debe
tener el 5 como uno de los factores. El tocar una de las esquinas no es
suficiente.
Si el jugador no tiene una ficha que se pueda jugar, el jugador pierde
un turno y toma una ficha de la pila que está boca abajo y la deja en
su colección. No la puede jugar durante este turno. Si un jugador pone
una ficha en una casilla equivocada, la persona que detecte el error es
la que tiene el turno en seguida y la persona que cometió el error
recoge su ficha.
El juego termina cuando ya no se puedan jugar más fichas (cuando ya
no se pueda tocar otra ficha).
Consejo de
enseñanza
Los niños deben utilizar su propio razonamiento y discusión con otros
para descifrar los productos. No proporcione una tabla de multiplicar.
Introduzca nuevos tableros a medida que los estudiantes adquieran
dominio con los tableros más fáciles.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página17 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 18 Traducido por Rosy Einspahr
Toque ganador hasta el 6
3 4 5 6
3
4
5
6
Fichas para el juego Toque ganador hasta el 6
9 12 15 18
12 16 20 24
15 20 25 30
18 24 30 36
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
Toque ganador hasta el 7
3 4 5 6 7
3
4
5
6
7
Capítulo 9 Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Fichas para el juego Toque ganador hasta el 7
9 12 15 18 21
12 16 20 24 28
15 20 25 30 35
18 24 30 36 42
21 28 35 42 49
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Toque ganador hasta el 8
3 4 5 6 7 8
3
4
5
6
7
8
Capítulo 9 Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Fichas para el juego Toque ganador hasta el 8
9 12 15 18 21 24
12 16 20 24 28 32
15 20 25 30 35 40
18 24 30 36 42 48
21 28 35 42 49 56
24 32 40 48 56 64
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 23 Traducido por Rosy Einspahr
Toque ganador hasta el 9
3 4 5 6 7 8 9
3
4
5
6
7
8
9 Capítulo 9 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Fichas para el juego Toque ganador hasta el 9
9 12 15 18 21 24 27
12 16 20 24 28
32
36
15 20 25 30 35
40
45
18 24 30 36 42
48
54
21 28 35 42 48
56
63
24 32 40 48 56
64
72
27 36 45 54 63
72
82
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila
Tema Tablas de multiplicar
Jugadores 2
Materiales Tablero de juego Cuatro en fila, 36 fichas transparentes de dos colores
diferentes (18 de cada color), dos clips.
Objetivo Colocar cuatro fichas del mismo color en una fila vertical, horizontal o
diagonalmente.
Juego Cada jugador toma dieciocho fichas del mismo color. Para comenzar el
juego, el primer jugador toma dos clips y los coloca sobre dos de
cualquiera de los números que se encuentran enlistados abajo del
cuadro, como el 4 y el 5. En seguida el mismo jugador multiplica estos
números y coloca una de sus dieciocho fichas en cualquiera de los 20
(4×5).
El segundo jugador mueve uno de los dos clips que ahora están en el
4 y el 5. Si el segundo jugador mueve uno de ellos del 4 al 3, esta
persona puede colocar una de sus dieciocho fichas en cualquiera de los
15 (3×5). En cada turno subsiguiente, un jugador debe mover uno de
los dos clips a un número diferente. Se pueden colocar dos clips en el
mismo número, para formar 5×5, por ejemplo. El jugador que primero
forme una fila de cuatro fichas del mismo color, vertical, horizontal o
diagonalmente es el ganador.
Consejo de
enseñanza:
Las páginas incluidas son ejemplos y se pueden usar para enfocar el
esfuerzo de los estudiantes en unas cuantas combinaciones al nivel
correcto de dificultad. Cuando un tablero se vuelva demasiado fácil o
cuando esté muy difícil, haga una página nueva para introducir un
nuevo conjunto apropiado de factores y productos que concuerden con
el conocimiento del estudiante.
Capítulo 9 Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila (factores 2-5)
6 9 20 15 8 10
12 8 25 4 6 16
4 15 9 10 20 4
16 4 8 25 12 30
12 20 25 15 6 4
6 16 8 9 25 10Factores:
2 3 4 5
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 27 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila (factores 3-6)
24 9 20 15 30 18
12 30 25 36 24 16
36 15 9 18 20 36
16 36 30 25 12 30
12 20 25 15 24 36
24 16 30 9 25 18Factores:
3 4 5 6
Capítulo 9 Página 28 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila (factores 4-7)
24 49 20 35 30 42
28 30 25 36 24 16
36 35 49 42 20 36
16 36 30 25 28 30
28 20 25 35 24 36
24 16 30 49 25 42Factores:
4 5 6 7
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 29 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila (factores 5-8)
48 49 56 35 30 42
40 30 25 36 48 64
36 35 49 42 56 36
64 36 30 25 40 30
40 56 25 35 48 36
42 64 30 49 25 42Factores:
5 6 7 8
Capítulo 9 Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Cuatro en fila (factores 6-9)
48 49 56 63 54 42
54 72 81 36 48 64
36 63 49 42 56 36
64 36 72 81 54 30
54 56 25 63 48 36
72 64 72 49 81 42Factores:
6 7 8 9
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 31 Traducido por Rosy Einspahr
Productos
Tema Tablas de multiplicar
Jugadores 2
Materiales Tablero del juego Productos, 18 fichas transparentes de dos
colores diferentes, dos indicadores o clips.
Objetivo Colocar cuatro fichas en una fila de manera vertical, horizontal,
diagonal o hasta que todas las casillas hayan sido cubiertas.
Juego Para comenzar el juego, el jugador 1 mueve un indicador (clip)
a un número en la lista de factores que se encuentran en la
parte inferior del tablero. En seguida el jugador 2 mueve el otro
indicador a cualquier número en la lista de factores (incluyendo
el número marcado por el jugador 1). Se determina el producto
de los dos números marcados y el jugador 2 lo cubre.
El jugador 1 mueve cualquier indicador a otro número y cubre el
nuevo producto con una ficha transparente.
El juego continúa hasta que un jugador cubra cuatro casillas en
una fila de manera vertical, horizontal, diagonal o hasta que
todas las casillas estén cubiertas.
Adaptado de la aplicación Web recuperada el 3 de abril del 2007:
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=29
Capítulo 9 Página 32 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Productos (0-36)
0 1 2 3 5
6 8 9 10 12
14 15 Espacio libre 16 18
20 21 24 25 27
28 30 32 35 36
0 1 2 3 4 5 6
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 33 Traducido por Rosy Einspahr
Productos (1-81)
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 12 14
15 16 18 20 21 24
25 27 28 30 32 35
36 40 42 45 48 49
54 56 63 64 72 811 2 3 4 5 6 7 8 9
Capítulo 9 Página 34 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Rio
Tema Múltiplos
Jugadores 3
Materiales Fichas para los diez múltiplos del 2 al 9 (vea las siguientes
páginas), quince indicadores transparentes u objetos de conteo
(5 indicadores para cada uno de tres colores diferentes), un
cubo numérico de diez lados.
Objetivo Ser el primer jugador en quedarse sin indicadores.
Juego Escoja un múltiplo para practicar (diez fichas). Esparza las fichas
en medio de la mesa. Cada jugador toma cinco indicadores.
Ejemplo: “Practiquemos los cuatros”. El primer jugador lanza el
cubo numérico y si cae un 5, el jugador pone un indicador en la
ficha marcada ‘20’ (5×4). En seguida el segundo jugador lanza el
cubo numérico y si cae un 8 el jugador pone un indicador en el
‘32’ (8×4). Si el tercer jugador lanza un 5, la ficha marcada con
el ‘20’ ya tiene un indicador, por lo tanto el jugador lo tiene que
tomar. El tercer jugador ahora tiene seis indicadores y el primer
jugador tiene cuatro. El juego continúa hasta que una persona
ya no tenga ningún indicador.
Consejo de
enseñanza:
Este es un buen juego introductorio. La mayoría de los
estudiantes de tercer grado comienzan utilizando la suma
repetitiva en vez de la multiplicación. A medida que continúan
jugando Rio, se vuelve más fácil encontrar productos cuando se
multiplica por 2 y 10. Después perfeccionan los múltiplos de 5,
etc. Aumente el nivel de dificultad a medida que los estudiantes
vayan dominando cada nuevo nivel. Mantenga registros
adecuados sobre cuales grupos de operaciones sabe cada
estudiante, para que de esa manera pueda relacionar a los
estudiantes con el juego de acuerdo a su nivel de práctica
independiente.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 35 Traducido por Rosy Einspahr
Fichas para el juego Rio
2 4 6 8 10
12 14 16 18 20
3 6 9 12 15
18 21 24 27 30
4 8 12 16 20
24 28 32 36 40
Capítulo 9 Página 36 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
5 10 15 20 25
30 35 40 45 50
6 12 18 24 30
36 42 48 54 60
7 14 21 28 35
42 49 56 63 70
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 37 Traducido por Rosy Einspahr
8 16 24 32 40
48 56 64 72 80
9 18 27 36 45
54 63 72 81 90
Capítulo 9 Página 38 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Juniper verde 50 (100)
Tema Factores y múltiplos
Jugadores 2
Materiales Tableros del juego Juniper verde (uno para cada juego)
marcador fosforescente o lápiz.
Objetivo Utilizar una estrategia para forzar al oponente fuera del juego.
Juego El primer jugador comienza marcando un número par. Los
jugadores toman turnos marcando cualquier número restante
que sea un factor o un múltiplo del número anterior
seleccionado por el oponente.
El juego continúa hasta que ya no se pueda marcar ningún
factor o múltiplo.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 39 Traducido por Rosy Einspahr
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Juniper VERDE 50
Capítulo 9 Página 40 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Juniper VERDE 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página 41 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 9 Página 42 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Para más información:
Marzano, R. J. & Pickering, D. J. (2007). The case for and against homework: Responding to changing demographics. Educational Leadership, 64 (60), 74-79. Hope, J. A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1987). Mental math in the middle grades: Blackline Masters. Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications. Kamii, C. & Anderson, C. (2003). Multiplication Games: How We Made and Used Them. In Teaching Children Mathematics, 135-141. Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic: 2nd grade implications of Piaget’s theory. New York: Teachers College Press.
CAPÍTULO 10
Intervención
Evaluaciones del
desarrollo numérico
Pautas del desarrollo
Estrategias para una intervención efectiva
Actividades de intervención
Registro de planeación y progreso
ÁBACO
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Este trabajo se hizo posible gracias al generoso apoyo de: La Fundación Comunitaria de Madison que entendió la importancia de que todos los niños salgan de la escuela primaria como estudiantes competentes en las matemáticas y proporcionaron los fondos iniciales para conseguir los materiales, los servicios de un consultor y la liberación del tiempo para el trabajo inicial dirigido a los maestros de primer grado. El Proyecto de la Diversidad en la Enseñanza de las Matemáticas (DIME por sus siglas en inglés), un proyecto del Centro Nacional para la Fundación de las Ciencias en la Enseñanza y el Aprendizaje, que patrocinó el relevo de un equipo de maestros de los grados intermedios de sus responsabilidades en el salón de clases para desarrollar este proyecto de intervención. Angela Andrews, nuestra consultora de la Universidad Nacional Louis, cuya experiencia, ideas y conocimientos nos guiaron a medida que ampliamos la iniciativa de intervención de los grados iniciales a los grados intermedios Y sobre todo a: Los 16 maestros de primaria quienes dejaron sus salones para reunirse con nosotros a lo largo del año escolar, así como a los muchos más que conforman los equipos de enseñanza en cada una de las escuelas primarias. Su dedicación a los niños y su disposición para intentar nuevas ideas en nombre de todos sus estudiantes de matemáticas es realmente lo que hace estupendo ser parte del Distrito Escolar Metropolitano de Madison.
Capítulo 10 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
CAPÍTULO 10 TABLA DE CONTENIDOS
Intervención en la enseñanza .............................................................................. 5 Evaluación ......................................................................................................... 6 Instrucciones para administrar las evaluaciones .................................................... 7
Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral) ....................................... 9 Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B .............................15 Prueba A de resolución de problemas............................................................17 Prueba B de resolución de problemas............................................................19 Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante .......21 Tarjetas de puntos ......................................................................................23 Tiras de identificación numérica....................................................................27 Tarjetas de secuencia numérica....................................................................28
Pautas del desarrollo .........................................................................................33 Proporcionando intervención en la enseñanza......................................................39 Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas .................................41 Consideraciones para planear las actividades de intervención................................43 Actividades de intervención para los niveles A1, A2 y B.........................................44 Registro de planeación y progreso ......................................................................47
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 10 Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
INTERVENCIÓN EN LA ENSEÑANZA
La meta La meta de esta iniciativa de intervención es proporcionar a los maestros estrategias de
enseñanza para ayudar a los estudiantes de los grados intermedios a llegar a ser
competentes en las matemáticas y beneficiarse de la enseñanza al nivel de grado.
Para satisfacer las necesidades específicas de aprendizaje del estudiante, los maestros:
averiguan lo que cada estudiante ya sabe
determinan lo que cada estudiante necesita saber
planean una secuencia apropiada de las actividades de aprendizaje
monitorean el progreso del estudiante
Este capítulo complementado con capacitación profesional proporciona a los maestros las
evaluaciones y actividades de aprendizaje correspondientes para dirigir el conocimiento
numérico.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación Un estudiante que obtiene el puntaje “mínimo” o “básico” en el WKCE o que recibe un “1”
en dos o más secciones de la boleta de calificaciones puede necesitar intervención. Se
incluyen dos tipos de evaluaciones en este capítulo. Las “pruebas” que se dan oralmente
proporcionan información para el sistema de control de la información del estudiante del
MMSD. “Las evaluaciones orales” que también se dan oralmente proporcionan
información más detallada sobre el conocimiento numérico del estudiante. Se pueden
encontrar evaluaciones adicionales en esta carpeta y en el capítulo 4 de El aprendizaje de
las matemáticas en los grados iniciales (K-2) (LMPG por sus siglas en inglés)
Con el propósito de enterarse lo que un estudiante sabe sobre…
El maestro recolecta información de:
El conocimiento numérico
Las evaluaciones orales de operaciones aritméticas A-E, Capítulo 4, p.5-36
Evaluación del conocimiento numérico (Evaluación oral), Capítulo 10, pp.9-13
La prueba del conocimiento numérico de los niveles A1, A2 y B, Capítulo 10, p.14
La resolución de problemas
La prueba de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp.17-20
La evaluación de problemas tipo CGI, Capítulo 4, pp.44-48
Las evaluaciones orales para la resolución de problemas , LMPG – Capítulo 4, pp.75-85
El conocimiento sobre el valor numérico
Las pruebas de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp. 17-20
La evaluación temprana sobre la base de diez, Capítulo 4, p. 68
El conocimiento sobre las fracciones
La prueba de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp.17-20
La evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante Capítulo 10, p.21
Pautas del desarrollo Los maestros utilizan la información de estas y otras evaluaciones para guiar la
enseñanza. Las pautas del desarrollo en las páginas 33 a la 38 proporcionan una
secuencia aproximada para el desarrollo del conocimiento numérico. Cada tabla enlista
los componentes del desarrollo numérico en cierto nivel.
Capítulo 10 Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Instrucciones para administrar las evaluaciones
Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral)
Esta evaluación se administra individualmente. No es necesario administrar toda la evaluación en una
sesión. Un guión de la evaluación oral precede a cada sección. Si bien no es crítico decir exactamente lo
que se indica en el guión, deberán anotarse las variaciones que proporcionen una estructura de apoyo
extra para el estudiante (p.ej. hacer hincapié en el vocabulario, insertar adjetivos como pistas o señalar
los materiales), ya que pueden proporcionar pistas en relación a la toma de decisiones sobre la
enseñanza en el futuro.
Materiales incluidos en esta sección pp.23-27:
Tiras de identificación numérica
Tarjetas de secuencia numérica
Tarjetas de puntos
Materiales adicionales necesarios:
Objetos de conteo en dos colores
Tela o papel para cubrir los objetos de conteo
Bloques de base de diez y/o tableros de diez
Pruebas del desarrollo numérico y resolución de problemas:
La evaluación del desarrollo numérico (evaluación oral) evalúa los conceptos numéricos a nivel
principiante. Utilice las pruebas del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B pp.17-20 para evaluar
los mismos conceptos numéricos con números más grandes. La prueba de resolución de problemas
evalúa el uso del conocimiento del estudiante para resolver problemas matemáticos que se le dan
oralmente.
Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante:
La evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante p. 21 puede ayudar a
identificar los conceptos fundamentales de las fracciones que los estudiantes necesitan para tener éxito
en los grados 4.o y 5.o
Capítulo 10 Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral)
Nombre:___________________________________________________Puntaje_____________
Escuela: __________________________ Maestro(a): ___________________________________
Fecha de la evaluación oral: ___________________ Examinador: _________________________
Los puntos para cada ejercicio se aplican para monitorear el progreso. 1. Secuencia numérica progresiva Diga: “Comienza a contar desde el ___ y yo te digo cuando te detengas.”
Nivel 1: (a) 1 (al 32) ___________________________ (b) 8 (al 17) ___________________________
(c) 22 (al 30) __________________________
Nivel 2: (a) 47 (al 53) __________________________ (b) 77 (al 83) __________________________
Nivel 3: (a) 96 (al 112) _________________________
Nivel 1: Máximo de 3 puntos (1 punto, cada uno para la a, b y c) Puntaje____________ Nivel 2: Máximo de 2 puntos (1 punto, cada uno para la a y b) Nivel 3: Máximo de 1 punto para este nivel 2. El número que va después Diga: “Dime el número que va inmediatamente después del____. Por ejemplo, si yo digo 1, ¿tu dices ______?”
Nivel 1: 2 5 9 12 19
Nivel 2: 49 29 50 80 59 79 39
Nivel 3: 109
Niveles 1-3: Máximo de 3 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje____
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
3. Secuencia numérica regresiva Diga: “Cuenta regresivamente empezando del 10…”
Nivel 1: (a) 10 (bajando hasta el 1) ________________ (b) 15 (bajando hasta el 10) ______________
Nivel 2: (a) 22 (bajando hasta el 16) _______________ (b) 33 (bajando hasta el 26) ______________
(c) 62 (bajando hasta el 56) ________________ (d) 85 (bajando hasta el 77) ______________
Nivel 3: (a) 112 (bajando hasta el 99) ________________
Nivel 1: Máximo de 2 puntos (1 punto, cada uno para la a y b) Puntaje____________ Nivel 2: Máximo de 3 puntos (1 punto, cada uno para la a, b, c y d) Nivel 3: Máximo de 1 punto para este nivel 4. El número que va antes Diga: “Dime el número que va inmediatamente antes del ______. Por ejemplo, si yo digo 2, ¿tu dices _____?”
Nivel 1: 3 5 9 14 20
Nivel 2: 41 89 60 69 100
Nivel 3 110
Niveles 1-3: Máximo de 3 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____
5. Identificación de números Diga: “¿Qué número es éste?”
Nivel 1: 8 3 5 7 9 2 4 6 1 10
Nivel 2: 24 29
Nivel 3: 12 20 83 14 81 13 21 15
Nivel 4: 340 213 850 620 380
Niveles 1-4: Máximo de 4 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____
Capítulo 10 Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
6. Secuencias numéricas (Diga: “Por favor, pon estos números en orden del más pequeño al más grande, empezando aquí.” Señale al lado izquierdo del área de trabajo. Pídale al estudiante que identifique los números en orden después de haberlos puesto en secuencia. Registre lo que el estudiante dice.
Nivel 1: 1-10 ________________________________________________
Nivel 2: 8-17 ________________________________________________
Nivel 3: Tarjetas de decenas del 10-100 ________________________________
Nivel 4: 64-73 ________________________________________________
Niveles 1-4: Máximo de 4 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____ 7. Conteo súbito (Diga: “Voy a mostrarte unos puntos rápidamente, quiero que me digas cuántos hay.” Muestre cada patrón de puntos de 1 a 2 segundos.)
Nivel 1: (patrones de puntos regulares) 2 4 3 5 6
Nivel 2: (patrones de puntos irregulares) 3 4 5 6
Nivel 3: (patrones de puntos regulares) 7 8
(patrones de puntos irregulares) 7 8
No hay puntaje
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
8. Ejercicios de suma (Nota: Use un color para el conjunto cubierto y un color diferente para el conjunto de objetos agregados.)
Nivel 1, parte 1: Cuenta un conjunto de 18 objetos (del mismo color)____________________
Nivel 1, parte 2: Diga: “Tengo ______objetos debajo de aquí (muestre los objetos y después cúbralos). Voy a deslizar por debajo uno más (el estudiante debe ver el objeto deslizándose por debajo). ¿Cuántos hay debajo ahora?”
(a) 3 y después deslice uno más _________________
(b) 7 y después deslice uno más _________________
(c) 11 y después deslice uno más ________________
Nivel 1: Máximo 4 puntos (1 punto por cada uno) Puntaje____________
Nivel 2: Diga: “Tengo ______ objetos debajo de aquí y ________objetos más aquí. (Deje los objetos de
conteo expuestos en posición adyacente para cubrirlos y agite su mano sobre ambos conjuntos.) ¿Cuántos hay en total?”
(a) 3 cubiertos, 1 expuesto __________________
(b) 4 cubiertos, 2 expuestos __________________
(c) 5 cubiertos, 4 expuestos __________________
(d) 12 cubiertos, 3 expuestos _________________
(e) el número 22 cubierto, 2 expuestos _________________
Nivel 2: Máximo 5 puntos. (1 punto por cada uno ) Puntaje____________
Nivel 3: Diga: “Tengo ________objetos debajo de aquí (muestre y luego cubra el conjunto) y tengo _________ objetos debajo de aquí. (Muestre y luego cubra el conjunto.) ¿Cuántos hay en total? Agite su mano sobre ambos conjuntos cubiertos
(a) 5 + 2 __________________
(b) 7 + 5 __________________
(c) 15 + 3 ___________________
(d) número 25 + 3 (objetos) _____________________
Nivel 2: Máximo 4 puntos (1 punto por cada uno) Puntaje____________
Capítulo 10 Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
9. Ejercicios con un sumando faltante El maestro cubre los objetos de conteo y le pide al estudiante que mire para otro lado. Diga: “Aquí hay _______. Voy a poner algunos más aquí debajo. Ahora hay ______. ¿Cuantos más puse aquí debajo?” Nota: Utilice las fichas bicolores con el conjunto original de un color y las que se agregan de otro color.
(a) 4 a 5 (secretamente ponga 1 debajo) ______________________
(b) 5 a 7 (secretamente ponga 2 debajo) ______________________
(c) 6 a 9 (secretamente ponga 3 debajo) ______________________
(d) 15 a 17 (secretamente ponga 2 debajo) ____________________
Partes a-d: Máximo 4 puntos. (1 punto por cada uno si todos están correctos.) Puntaje____________ 10. Ejercicios de decenas y unidades Dependiendo de cómo esté el estudiante familiarizado con la herramienta, puede usar cubos organizados en palitos de diez, tableros de diez, bloques de base de diez o una ilustración de estos para evaluar éste entendimiento.
1ª parte: Coloque 4 cubos de unidades enfrente del estudiante. Pregúntele “¿Cuántos son?” Luego
coloque un grupo de diez, una barra de diez o un tablero de diez al lado de los cubos de unidades.
Pregúntele, “Ahora, ¿cuántos hay?” Continúe colocando decenas hasta llegar al 74. Encierre las respuestas
correctas que le dé.
4 14 24 34 44 54 64 74
2ª parte: Coloque la siguiente secuencia de cubos, bloques de base de diez, tableros de diez o una
representación de los mismos en una fila enfrente del estudiante: 10, 3, (10, 10), 4, 3, 10, 2, (10, 10).
Cubra todos. Lentamente descubra cada conjunto y pídale al estudiante que agregue esa cantidad al total.
Encierre las respuestas correctas que le dé.
Totales: 10 13 33 37 40 50 52 72
3ª parte: Coloque la siguiente secuencia de cubos, bloques de base diez, tableros de diez o una
representación de los mismos en una fila enfrente del estudiante: 4, 10, 20, 12, 25. Cubra todos.
Lentamente descubra cada conjunto y pídale al estudiante que agregue esa cantidad al total. Encierre las
respuestas correctas que le dé.
4 14 34 46 71
Partes 1-3: Máximo 3 puntos. (1 punto por cada parte que esté correcta) Puntaje___________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 10 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B
Estudiante: ______________________ Fecha__________Examinador ______________
Ejercicio Puntos Conteo progresivo a partir de cualquier número
Dentro del 1000 (1 punto) P.ej. “Empieza a contar del 396” (Detenga al estudiante en el 413)
Dentro del 10,000 (2 puntos.) P. ej. “Empieza a contar del 4,989” (Detenga al estudiante en el 5,012)
Identificación del número que va (3 por encima de) después de cierto número.
Dentro del 1000 (1 punto) P.ej. “¿Que número va tres números después del 698”
Dentro del 10,000 (2 puntos) P.ej. “¿Qué número va tres números después del 2,489?”
Conteo de memoria de 10 en 10
A partir de cualquier número de 2 dígitos (1 punto) P.ej. empieza desde el 13 y cuenta en series
de 10 hasta el 63.
A partir de cualquier número de 3 dígitos (2 puntos) P.ej. empieza desde el 598 y cuenta en
series de 10 hasta el 648.
Conteo regresivo a partir de cualquier número y después de decenas y centenas.
Dentro del 100 (1 punto) P.ej. “Cuenta comenzando del 63” (Detente en el 49)
Dentro del 1000 (2 puntos) P.ej. “Cuenta comenzando del 214” (Detente en el 196)
Identificación del número que va (3 por encima de) antes de cierto número
Dentro del 100 (1 punto) P.ej. “¿Qué número va 3 números antes del 51?”
Dentro del 1000 (2 puntos) P.ej. “¿Qué número va 3 números antes del 511?”
Lectura de números
Entre el 100 y 1000 (1 punto) P. ej. 315 y 756
Entre el 1,000 y 10,000 (2 puntos) P.ej. 5,028 y 9,206
Ordenar los números del menor al mayor
Entre el 100 y 1000 (1 punto) P.ej. Secuencia 218, 303, 330, 456, 465
Entre el 1,000 y 10,000 (2 pts.) P.ej. Secuencia 5,012, 5,210 y 5,102
Componer y descomponer números
Dentro del 20 (1 punto) Encuentra cuatro expresiones que te den un igual de (o maneras para formar un) 13
Dentro del 100 (2 puntos) P.ej. Encuentra cuatro expresiones que te den un igual de (o maneras para formar un) 25
Total
Capítulo 10 Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre: _____________________________ Fecha: _____________ Examinador: __________________
Prueba A de resolución de problemas Materiales:
Lápiz y papel
Cubos de Unifix
Instrucciones: Lea cada problema al estudiante utilizando el nombre del estudiante en el problema. Si el estudiante no puede resolver el
problema mentalmente, ofrézcale los cubos de Unifix, papel y lápiz.
Registre la estrategia del estudiante.
Asigne: 0 puntos si el estudiante no puede resolver el problema 1 punto si el estudiante puede ilustrar la solución del problema con un dibujo o bloques.
2 puntos si el estudiante utiliza cualquier estrategia que vaya más allá del modelo directo o si sabe una operación aritmética.
Problemas matemáticos Puntos JRU (Segundo sumando agregado, resultado desconocido)
_______ tenía 10 marcadores. El maestro le dio 6 más. ¿Entonces, cuántos marcadores tenía _______ ?
Estrategia:
SRU (Separación del sustraendo, resultado desconocido)
_______ tenía 12 monedas. Le dio 3 a un amigo. ¿Cuántas monedas le quedaron a _______?
Estrategia:
M (Multiplicación)
_______ tiene 4 tazas. Hay 10 uvas en cada taza. ¿Cuántas uvas tiene ________ en total?
Estrategia:
MD (División con factor desconocido)
_______ tenía 30 libros para poner en un librero. Puso 10 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes utilizó?
Estrategia:
Capítulo 10 Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Prueba A de resolución de problemas (continuación)
Problemas matemáticos Puntos JCU (Suma, segundo sumando desconocido)
_______ tiene 20 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para tener 26 dólares en total?
Estrategia:
CDU (Comparación, diferencia desconocida)
________ tiene 46 calcomanías. Sara tiene 40 calcomanías. ¿Cuántas más calcomanías tiene _______que Sara?
Estrategia:
PPW, WU (Parte-parte-todo, total desconocido)
_____ tenía 10 globos rojos y 8 globos azules. ¿Cuántos globos tenía _____ en total?
Estrategia:
SCU (Resta, sustraendo desconocido)
_______ tenía 15 flores. Le dio algunas a una amiga y le quedaron 12. ¿Cuántas flores le dio ________ a su amiga?
Estrategia:
PD (División partitiva)
______ tiene 12 juguetes. Tiene que colocarlos en 3 estantes y quiere poner la misma cantidad en cada estante. ¿Cuántos juguetes va a poner en cada estante?
Estrategia:
PD División partitiva (con una fracción en el resultado)
Hay un pastelillo de chocolate en un plato. 4 amigos van a compartir el pastelillo. Cada amigo va a recibir la misma cantidad. ¿Qué cantidad de pastelillo le tocará a cada amigo? Auxílielo si es necesario: ¿Cómo llamarías al número de la parte que le toca a cada amigo? (2 puntos si responde correctamente)
Estrategia:
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre: _____________________________ Fecha:_____________ Examinador:__________________
Prueba B de resolución de problemas Materiales:
Lápiz y papel
Bloques de base de diez
Instrucciones: Lea cada problema al estudiante utilizando el nombre del estudiante en el problema. Si el estudiante no puede resolver el
problema mentalmente, ofrézcale los bloques de base de diez, papel y lápiz.
Registre la estrategia del estudiante.
Asigne: 0 puntos si el estudiante no puede resolver el problema 1 punto si el estudiante puede modelar la solución del problema con un dibujo, bloques o utilizando una estrategia de conteo.
2 puntos si el estudiante utiliza una estrategia de sentido numérico que no involucre el conteo de uno en uno.
Problemas matemáticos Puntos JRU (Segundo sumando agregado, resultado desconocido)
______ tenía 25 dólares. Después ganó 75 dólares más. ¿Cuántos dólares tenía _____ entonces?
Estrategia:
SRU (Separación del sustraendo, resultado desconocido)
_____ tenía 54 monedas en una colección. Le dio 19 a un amigo. ¿Cuántas monedas le quedaron a ________?
Estrategia:
M (Multiplicación)
Dos arañas treparon a la pared. Cada araña tiene 8 patas. ¿Cuántas patas tienen las dos arañas en total?
Estrategia:
MD (División con factor desconocido)
______tenía 30 libros para poner en un librero. Puso 5 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes utilizó?
Estrategia:
Capítulo 10 Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Prueba B de resolución de problemas (continuación)
Problemas matemáticos Puntos JCU (Suma, segundo sumando desconocido)
_______ tiene 65 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para tener 100 dólares en total?
Estrategia:
CDU (Comparación, diferencia desconocida)
_______ tiene 100 estampillas en una colección. Sara tiene 48 estampillas en su colección. ¿Cuántas estampillas más tiene ____________ que Sara?
Estrategia:
PPW, PU (Parte-parte-todo, parte desconocida)
_______ cultivó 71 plantas con flores en su jardín. 36 tenían flores rosas y el resto tenían flores amarillas. ¿Cuántas plantas tenían flores amarillas?
Estrategia:
SCU (Resta, sustraendo desconocido)
_______ tenía 61 clips. Le dio algunos a su maestro. Ahora le sobraron 29. ¿Cuántos clips le dio _________ a su maestro?
Estrategia:
PD (División partitiva)
_______ tiene 30 juegos. Tiene que colocarlos en 6 estantes. Quiere poner la misma cantidad de juegos en cada estante. ¿Cuántos juegos pondrá en cada estante?
Estrategia:
PD División partitiva (con una fracción en el resultado)
Hay 10 pastelillos de chocolate en un plato. 8 amigos van a compartir los pastelillos. Cada amigo recibirá la misma cantidad. ¿Qué cantidad de pastelillos le tocará a cada amigo? Auxílielo si es necesario: ¿Cómo le llamarías al número de la parte que le toca a cada amigo? (2 puntos si responde correctamente)
Estrategia:
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante –Grados 4.o y 5.o
Nombre______________________________________________Fecha___________ 1. Los dibujos de abajo representan tres tipos de pizza. Cada pizza tiene una forma diferente. ¿Cómo a
qué fracción equivale la parte que está sombreada? ¿Cómo escribes esa fracción?
_________ _________ _________
2. Tú estás en una fiesta. Podrías sentarte ya sea a la mesa donde 4 amigos comparten un pastel pequeño en partes iguales o puedes sentarte a la mesa donde 5 amigos comparten un pastel pequeño en partes iguales. ¿En cual mesa te tocaría más pastel? ¿Por qué?
3. Doce (12) personas comparten tres (3) sándwiches en partes iguales. ¿Cuánto le toca a cada persona?
4. Daviette tiene 8 monedas en su colección. ¼ de las monedas son pennies (monedas de un centavo). ¿Cuántas monedas son pennies?
5. Si Grant tiene 3 peces y la mitad de sus mascotas son peces. ¿Cuántas mascotas tiene Grant en total?
6. Breezy utilizó ½ de un bote de pintura para un proyecto de arte. Bao utilizó ¼ de un bote de pintura para su proyecto. ¿Cuánto utilizaron Breezy y Bao en total?
Capítulo 10 Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 23 Traducido por Rosy Einspahr
Tarjetas de puntos (pág. 1 de 4)
Capítulo 10 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Tarjetas de puntos (pág. 2 de 4)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
Tarjetas de puntos (pág. 3 de 4)
Capítulo 10 Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Tarjetas de puntos (pág. 4 de 4)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 27 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico Tiras de identificación numérica, niveles 1-4
8 3 5 7 9 2 4 6 1 10
24 29
12 20 83 14 81 13 21 15
340 213 850 620 380
Capítulo 10 Página 28 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico Secuencia numérica, nivel 1
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 29 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico Secuencia numérica, nivel 2
8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
Capítulo 10 Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico Secuencia numérica, nivel 3
10 20 30 40 50
60 70 80 90 100
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 10 Página 31 Traducido por Rosy Einspahr
Evaluación del desarrollo numérico Secuencia numérica, nivel 4
64 65 66 67 68
69 70 71 72 73
Capítulo 10 Página 32 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 33 Traducido por Rosy Einspahr
Pautas del desarrollo preescolar o Pre-K El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.
Pre K Pre K-K Nivel K
Resolución de problemas matemáticos
Resuelve problemas que forman parte de las rutinas diarias utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 5
Resuelve problemas que forman parte de las rutinas diarias utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 20
Resuelve problemas utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 30
Actividades y control de progreso
Aprendizaje informal a través del juego.
Control de progreso (no es aplicable)
Aprendizaje informal a través del juego. Control de progreso (no es aplicable)
Resolución de problemas matemáticos con la guía del maestro.
Prueba A de resolución de problemas
Representación
Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección – no necesariamente con correspondencia 1 a 1
Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección -- con correspondencia 1 a 1 pero quizá no sea preciso con colecciones más grandes.
Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección hasta el 30 con correspondencia 1 a 1
Actividades y control de progreso
Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable.
Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable. Evaluación A de representación
Fracciones
Utiliza estrategias informales para resolver problemas de repartición equitativa con colecciones de hasta 10 artículos entre 2 personas.
Utiliza estrategias informales para resolver problemas de repartición equitativa con colecciones de hasta 20 artículos entre 2 personas; sabe que las reparticiones justas tienen el mismo número.
Resuelve problemas de repartición equitativa que involucran “la mitad” pero tal vez no use los términos estándares para nombrar las partes.
Actividades y control de progreso
Aprendizaje informal a través del juego o situaciones de repartición. El control de progreso no es aplicable.
Aprendizaje informal a través del juego o situaciones de repartición. El control de progreso no es aplicable.
Aprendizaje informal a través del juego o situaciones de repartición. El control de progreso no es aplicable.
Valor numérico Cambiar varios artículos pequeños por uno más grande.
Intercambiar varios artículos pequeños por uno más grande.
Intercambiar varios artículos pequeños por uno más grande.
Pre K Pre K-K Nivel K
Actividades y control de progreso
Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable.
Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable.
Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable.
Conocimiento numérico
Conteo progresivo: puede contar de memoria hasta el 10 pero no tiene correspondencia 1 a 1 de manera consistente.
Conteo progresivo: puede contra el 1 al 20, puede nombrar el número que va inmediatamente después para los números del 1 al 20 pero tal vez tenga que empezar desde el 1 para poder hacerlo.
Conteo regresivo: Puede contar desde el 10, puede nombrar el número que va antes con los números del 1 al 5, pero tal vez tenga que contar desde el 1.
Identificación numérica: Del 1 al 10 consistentemente, del 11 al 20 inconsistentemente.
Secuencia/Orden numérico: del 1 al 20
Descomponer/componer: Puede realizar el conteo súbito en los patrones regulares de puntos hasta el 6.
Conteo de objetos: Puede contar conjuntos hasta de 10 objetos con precisión.
Conteo progresivo: puede contar del 1 al 30 comenzando desde cualquier número, puede nombrar el número que va inmediatamente después para los números del 1 al 30.
Conteo regresivo: Puede contar regresivamente de manera consistente del 10 al 1 comenzando desde cualquier número. Puede contar regresivamente de manera inconsistente del 30 al 0. Puede nombrar de manera inconsistente el número que va directamente antes del 1 al 30 pero tal vez tenga que contar a partir de un número más pequeño.
Identificación numérica: del 1 al 30 consistentemente
Secuencia/Orden numérico: del 1 al 30
Descomponer/componer: Puede realizar el conteo súbito en los patrones de dedos, utiliza pares de puntos para determinar la cantidad.
Conteo de objetos: Puede contar conjuntos hasta de 30 objetos con precisión.
Actividades y control de progreso
Capítulo 10 en El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales. Evaluación del desarrollo numérico
Capítulo 10 en El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales. Evaluación del desarrollo numérico
Capítulo 10 en El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales. Evaluación del desarrollo numérico
Capítulo 10 Página 34 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Resolución de problemas y el uso de estrategias El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.
Estrategias de solución Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B
Resuelve problemas matemáticos tipo JRU, SRU, Multiplicación y División con factor desconocido (con números hasta el 5)
Resuelve problemas matemáticos con números hasta el 10 incluyendo: problemas de tipo JRU, SRU, M, JCU, SCU, CDU, PPW-WU, MD, PD
Resuelve problemas matemáticos con números hasta el 1000 incluyendo: problemas tipo JRU, SRU, M, JCU, CDU, SCU, PPW-PU, MD, PD
Modelo directo Modela problemas directamente. Modela problemas directamente. Modela problemas directamente.
Conteo Cuenta progresivamente 1, 2, o 3 desde el primer sumando dentro del 30. Cuenta regresivamente no más de 3 cuando el minuendo es diez o menos.
Cuenta progresivamente 1, 2 o 3 hasta el 100. Cuenta regresivamente 1, 2 o 3 desde números hasta el 100. Cuenta de 2 en 2, de 5 en 5 o de 10 en 10.
Relaciones numéricas y operaciones numéricas.
Utiliza relaciones numéricas para las sumas hasta el diez (operaciones de suma) Suma 10 a un número de un solo dígito utilizando el cálculo mental.
Sabe o deriva fácilmente operaciones de sumas y restas. Mentalmente suma o resta diez de cualquier número del 10 al 100. Mentalmente suma o resta cualquier decena exacta de números del 10 al 100. P.ej. 56+30, 72+40. Descompone un número de un solo dígito cuando suma o resta dentro del 100, p.ej. 48 + 6 = (48 + 2) + 4 o 56 – 9 = 56 - 6 -3 Utiliza la suma repetitiva o conteo salteado para resolver X2, X5, X10
Actividades Vea las actividades para el nivel A 1 Vea las actividades para el nivel A 2 Vea las actividades para el nivel B
Control de progreso Prueba A de resolución de problemas
y/o Evaluación oral de sumas A
Prueba A de resolución de problemas y/o
Evaluación oral de sumas A
Prueba B de resolución de problemas y/o
Evaluación oral de sumas B
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 35 Traducido por Rosy Einspahr
Pautas del desarrollo de fracciones (intervención solamente para los grados 4.o/5.o)
El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.
Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B
Componentes
Resuelve problemas de repartición equitativa que resultan en “mitad” Nombra una parte como “una mitad” correctamente.
Resuelve problemas de división partitiva o repartición equitativa cuando la solución tiene una unidad de fracción. Identifica unidades de fracción utilizando palabras (p.ej. “un cuarto”)
Resuelve fracciones como problemas con operador (p.ej. ¿Cuánto es ¼ de 12?) Identifica y escribe unidades de fracción.
Estrategias de solución No aplica Dibuja partes fraccionales de un
conjunto o una sola unidad. Dibuja partes fraccionales de un
conjunto o una sola unidad.
Actividades Vea las actividades de
intervención para el nivel A 1
Vea las actividades de intervención para el nivel A 2
Vea las actividades de intervención para el nivel B
Herramienta para el control de progreso
Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba A de resolución de problemas.
Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba A de resolución de problemas.
Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba B de resolución de problemas.
Evaluación de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante
Capítulo 10 Página 36 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Pautas del desarrollo del valor numérico
El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.
Level A 1 Level A 2 Level B
Componentes Reconoce que 23 y 32 son cantidades diferentes y puede contar conjuntos de uno en uno para concordar con el número.
No es capaz de reconocer que el dígito en el lugar de las decenas representa un grupo de diez en un modelo.
Al darle un conjunto de bloques de base de diez, el estudiante puede contar el conjunto utilizando decenas y unidades.
Relaciona números con el 10
Al darle un número de dos dígitos, el estudiante puede reunir un conjunto de bloques de base de diez para que coincida con el número.
Suma diez a un número de un solo dígito utilizando el cálculo mental.
Relaciona números con la decena más cercana.
Al darle un conjunto de bloques de base de diez, el estudiante puede contar el conjunto utilizando centenas, decenas y unidades.
Al darle un número de tres dígitos, el estudiante puede reunir un conjunto de bloques de base diez para que coincida.
Suma diez a un número de dos dígitos utilizando el cálculo mental.
Suma 20 o 30 a un número de dos dígitos utilizando el cálculo mental
Puede combinar unidades en grupos de diez y las “unidades” sobrantes (p.ej. 23 unidades equivale a dos grupos de diez y 3 unidades) – primero modelando y después pasando al cálculo mental.
Puede descomponer un número en decenas y unidades (p.ej. 43 = 10+10+10+10+3) primero modelando y después pasando al cálculo mental.
Actividades Vea las actividades de intervención para el nivel A 1
Vea las actividades de intervención para el nivel A 2
Vea las actividades de intervención para el nivel B
Control de progreso
Evaluación temprana sobre la base de diez.
Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10
Prueba A de resolución de problemas.
Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10
Prueba A de resolución de problemas.
Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10 Prueba B de resolución de problemas.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 37 Traducido por Rosy Einspahr
Pautas del desarrollo del conocimiento numérico El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.
Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B
Componentes Conteo progresivo—1-100 comenzando desde cualquier número; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-100)
Conteo regresivo—30-0 (comenzando desde cualquier número); nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes (1-30)
Identificación numérica: 1-100
Secuencia/Orden numérico: 1-100
Descomponer/componer números hasta el 10
Conteo súbito conceptual para cantidades hasta el 10
Conteo progresivo—1-1000 comenzando desde cualquier número; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-1000); conteo de memoria de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, cuenta de memoria de 10 en 10 a partir de cualquier número de 2 dígitos.
Conteo regresivo—100-0 (comenzando desde cualquier número), nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes(1-100)
Identificación numérica: 1-1000
Secuencia/Orden numérico: 1-1000
Descomponer/componer números hasta el 20
Conteo progresivo—1-1000 comenzando desde cualquier número de 10 en 10 y de 100 en 100; conteo de uno en uno a partir de cualquier número hasta el 10,000; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-10000)
Conteo regresivo—1000-0 (comenzando desde cualquier número), nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes (1-1000)
Identificación numérica: 1-10,000
Secuencia/Orden numérico: 1-10,000 Descomponer/componer números hasta el 100
Actividades Vea las actividades de
intervención para el nivel A 1
Vea las actividades de intervención para el nivel A 2
Vea las actividades de intervención para el nivel B
Herramienta para el control de progreso Evaluación del desarrollo numérico Lista de control de la observación
del maestro Lista de control de la observación del
maestro
Capítulo 10 Página 38 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 39 Traducido por Rosy Einspahr
Proporcionando intervención en la enseñanza
Utilice las “Pautas de desarrollo” localizadas en las páginas 33-38 para identificar
contenido matemático específico y rangos numéricos para cada estudiante. Las
sugerencias para la planeación y actividades de intervención específicas se
encuentran en las páginas 44-46.
¿Quién debería proporcionar la intervención en la enseñanza?
Las decisiones con respecto a la intervención en la enseñanza son responsabilidad
del maestro o del equipo de instrucción. Sin embargo, se pueden reclutar a otros
adultos o estudiantes para llevar a cabo la intervención.
¿Cuándo debemos ofrecer intervención?
No hay respuesta única de cuándo o con qué frecuencia los maestros deben
proporcionar intervención. Los equipos de instrucción en comunicación con los
estudiantes y familias decidirán sobre un método apropiado.
¿Cuáles son algunos ejemplos de métodos de enseñanza?
Prestar apoyo para que el estudiante tenga acceso al aprendizaje
La intervención puede tomar la forma de tiempo extra, menos problemas para
resolver o práctica de estrategia.
Ventajas: Pequeñas consideraciones para estudiantes en particular puede crear mayor crecimiento estudiantil.
Consideraciones: Los maestros tienen que diseñar o escoger actividades que se enfoquen en los conceptos subyacentes que los estudiantes necesitan para progresar tomando en cuenta su conocimiento previo y sus necesidades personales de aprendizaje.
Instrucción dirigida durante la clase de matemáticas
La intervención puede tomar la forma de instrucción dirigida a estudiantes
individuales o grupos pequeños diseñada para satisfacer el desarrollo conceptual o
de destreza del estudiante.
Ventajas: La intervención específicamente se dirige a las necesidades de aprendizaje del estudiante. Los estudiantes tienen más éxito desempeñándose dentro de la zona cercana a su desarrollo.
Consideraciones: El maestro debe personalizar la instrucción basada en las evaluaciones del conocimiento y las destrezas de cada estudiante. Se debería hacer hincapié en el aprendizaje acelerado.
Instrucción adicional dentro del día escolar
En este escenario, se identifica el tiempo adicional dentro del día escolar para la
instrucción.
Ventajas: El estudiante recibe instrucción dirigida necesaria para su progreso y también participa con compañeros durante el periodo regular de matemáticas.
Consideraciones: Con este método, se hace necesario priorizar el tiempo de manera diferente. Los equipos de instrucción, los padres y estudiantes deben reconocer que se perderán otras oportunidades mientras reciben esta “doble dosis” de matemáticas durante el día.
Antes de que la clase estudie un tema
Justo antes de que la clase comience una unidad de estudio, la intervención podría tomar
la forma de enseñanza previa de conceptos fundamentales relacionados con la unidad.
Ventajas: El estudiante adquiere los conocimientos previos como preparación para la enseñanza en la clase.
Consideraciones: El maestro debe hacer una evaluación previa al estudiante y planear lecciones específicas para el estudiante antes de que el resto de la clase comience la unidad.
Capítulo 10 Página 40 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas
1. Determinar el contenido y el nivel conceptual
Utilice los estándares matemáticos del nivel Kinder a 12.o grado del MMSD y las pautas
de desarrollo en este capítulo para determinar el contenido esencial de las matemáticas
que el estudiante necesita y el nivel apropiado para comenzar la instrucción.
2. Utilizar contextos familiares
Utilice contextos de historias que sean familiares para los estudiantes.
3. Proporcionar tiempo suficiente
Permítales tiempo suficiente a los estudiantes para lidiar con nuevas ideas y darle
sentido a un nuevo aprendizaje.
4. Promover la comunicación
Proporcione muchas oportunidades para expresar su razonamiento verbalmente. Utilice
la estrategia de razonar por parejas—los estudiantes primero recolectan sus propias
ideas y después platican con un compañero antes de compartir con todo el grupo.
5. Compartir estrategias para hacer “cálculos mentales”
Pídales a los estudiantes que intenten resolver cálculos mentales más fáciles y que
compartan sus estrategias mentales con sus compañeros de clase.
6. Enseñar maneras de representar soluciones
Enseñe una variedad de opciones de representación tales como una recta numérica
vacía, el lenguaje con flechas, tablas de proporciones u oraciones numéricas sucesivas.
Motive a los estudiantes para utilizar el método que tenga mayor sentido para su
proceso de razonamiento. Después, entreviste al estudiante en cuanto a su trabajo
escrito para confirmar que lo que escribió en realidad representa su razonamiento. Para
más información referente a la representación de la enseñanza vea las páginas 45-55 y
el manual del Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2), Capítulo 6,
páginas 109-116.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 41 Traducido por Rosy Einspahr
Capítulo 10 Página 42 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
7. Discutir conexiones
Pídales a los estudiantes que platiquen sobre las conexiones que hacen entre los
conceptos matemáticos y con ejemplos del mundo real.
8. Discutir vocabulario nuevo
Enseñe vocabulario dentro del contexto de una actividad de aprendizaje. El lenguaje
común tal como “mitad”, “igual”, “par”, “non” y “producto” tiene definiciones
matemáticas únicas. Hable acerca de diversos significados y utilice nuevo vocabulario de
manera consistente. Motive a los estudiantes a utilizar el nuevo vocabulario para
desarrollar lenguaje académico.
9. Proporcionar práctica dirigida
Tenga múltiples juegos y actividades para cualquier concepto que los estudiantes estén
leyendo. Escoja o diseñe juegos al nivel independiente de los estudiantes para que
desarrollen juegos estratégicos y tengan abundante práctica provechosa.
10. Controlar el progreso frecuentemente
Fije metas específicas de aprendizaje a corto plazo. La intervención en la enseñanza no
es un currículo paralelo menos riguroso para algunos estudiantes. La intervención en la
enseñanza requiere la examinación y evaluación frecuentes. El objetivo de toda la
intervención debe ser acelerar el aprendizaje para que coincida con el de sus
compañeros del nivel de grado.
Consideraciones para planear las actividades de intervención
La planeación para la intervención comienza con la evaluación y descripción del
conocimiento de cada estudiante basándose en las Pautas de desarrollo en las páginas
33-38.
Los Componentes dentro de las pautas son puntos de referencia que describen la manera
en que los niños típicamente desarrollan los conceptos numéricos. Utilice las Pautas de
desarrollo en relación con las actividades de intervención que figuran en las siguientes
páginas para planear la enseñanza.
Es posible que el plan de intervención de un estudiante necesite enfocarse
simultáneamente en múltiples componentes del conocimiento numérico. Por ejemplo, un
estudiante podría necesitar instrucción en el conteo progresivo, conteo regresivo e
identificación numérica. Dentro del componente del “conteo progresivo” tal vez el
estudiante necesite comenzar a trabajar a un nivel de conteo de memoria de dos en dos.
Conocimiento numérico Pautas de desarrollo A 2
Componentes
Conteo progresivo
1 – 1000 comenzando a partir de cualquier número
Nombrar un número que vaya después o antes de cualquier número (1-1000)
Contar de memoria de 2 en 2
Contar de memoria de 5 en 5
Contar de memoria de 10 en 10
Contar de memoria de 10 en 10 a partir de cualquier número de 2 dígitos.
Comience con lo que “ya se conoce” acerca del niño y trabaje en la comprensión, la
articulación de patrones y en incrementar la confianza del estudiante. La intervención en
la enseñanza requiere evaluación periódica bien informada. Los maestros analizan estas
evaluaciones para hacer cambios graduales y reflexionar sobre la eficacia de la enseñanza
hasta la fecha.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 43 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de intervención para el nivel A1 A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel A1. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.
Actividades de problemas matemáticos
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Desarrollando actividades cubiertas, pp. 184-187 Conteo progresivo con tarjetas numéricas y actividades cubiertas, pp. 185-186 Conteo regresivo de uno en uno, pp. 110-111 Trabajo numérico (Más juego para el conteo progresivo de 1, 2 o 3), pág. 153 Actividades para apoyar la resolución de problemas, pp. 192-193
Actividades de representación
Estrategias de solución, Capítulo. 6, pág. 37 Representando soluciones, Capítulo 6, pág. 45
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Enseñar a los estudiantes las maneras para escribir sus “pasos de razonamiento”, pág. 109 Utilizar la recta numérica vacía para representar las estrategias de conteo, pp. 110-114 Comparar las representaciones en la recta numérica vacía, pág. 130
Actividades de fracciones:
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones, Capítulo 6, pp. 55-56
Actividades de valor numérico
Componentes del entendimiento sobre el valor numérico (vea el conteo secuencial verbal), pp. 52-54 ¿Qué notas? Capítulo 7, pág. 16 ¿Qué sabes acerca de? Capítulo 7, pág. 16 Apodo, nombre real, Capítulo 7, pág. 13 Tarjetas de valor numérico con flechas, Capítulo 6, pág. 42 (Las tarjetas se encuentran en El
aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2), pp. 222-224)
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Construyendo cinco y diez (extensión de 10 más un solo dígito), pág. 188, (También pp. 185, 186, & 225) Formando números (utilice las tarjetas de flechas para ayudar a los estudiantes a ver los ceros
escondidos), pág. 180
Actividades de conocimiento numérico
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Contar un poco más, pág. 131 Capítulo 10
Formando números, pág. 180 Relacionar las tarjetas numéricas y clasificación de números, pág. 181 Actividades de secuencia, pp. 182-183 Actividades para apoyar la composición y descomposición de números,pp. 187-191
Capítulo 10 Página 44 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de intervención para el nivel A2
A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel A2. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.
Actividades de problemas matemáticos
Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico (Comience con los números en las pautas de desarrollo. Para los problemas de suma, extiéndalos a sumandos en las decenas.), Capítulo 6, pp. 28-29
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico (ajuste los números según sea necesario), pp. 30-32
Actividades de representación
Representación para los bloques de base de diez, Capítulo 6 pág. 43 Recta numérica vacía, Capítulo 6, pp. 44-45 Ecuaciones (oraciones numéricas), Capítulo 6, pág. 51
Actividades de fracción
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones, Capítulo 6, pp. 55-56
Tipos de problemas de fracción, Capítulo 6, pág. 57
Actividades de valor numérico
Tabla de los componentes del valor numérico: Secuencia de conteo verbal, Construye/Cuenta cantidades mixtas, Lee y escribe números, Secuencias numéricas, Decenas y decenas dentro de las decenas, Capítulo 4, pp. 52-53
Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9 Apodo, nombre real, Capítulo 7, pág. 13
Actividades de conocimiento numérico
¿Qué sabes acerca de?, Capítulo 7, pág. 16 Descubre el número, Capítulo 7, pág. 15 Tabla de los componentes del valor numérico (Vea las actividades del valor numérico para este
nivel.) Capítulo 4, pp. 52-54
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Después y antes, pág. 128 Contar un poco más, pág. 131 Suma, pág. 153 (Este juego se puede jugar como suma o resta 1-3, sin contar.)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 45 Traducido por Rosy Einspahr
Actividades de intervención para el nivel B A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel B1. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.
Actividades de resolución de problemas (Vea las actividades de intervención para el nivel A2)
Estimación, Capítulo 6, pp. 34-35 Cálculos mentales, Capítulo 6, pág. 36
Actividades de representación
Representando soluciones, Capítulo 6, pág. 41 Flechas de valor numérico, Capítulo 6, pág. 42 Bloques de base de diez, Capítulo 6, pág. 43 Recta numérica vacía y consejos de enseñanza, Capítulo 6, pp. 44-45 Lenguaje con flechas y consejos de enseñanza, Capítulo 6, pp. 46-47 Modelo de matriz y modelo de área para la multiplicación, Capítulo 6, pp. 48-49 Ecuaciones, Capítulo 6, pág. 51 Trabajo numérico, Comparar las representaciones en la recta numérica vacía y el lenguaje
con flechas, Capítulo 7, pág. 8
Actividades de fracción
Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones, Capítulo 6, pp. 55-56
Tipos de problemas de fracción, Capítulo 6, pág. 57
Actividades de valor numérico
Componentes del entendimiento del valor numérico: Secuencias numéricas desde los números más pequeños hasta los más grandes, Descomposición y composición numérica, Capítulo 4, pp.52-54
¿Cuál es la regla? (Cambie el número de ingreso sumando 10 o cualquier número terminado en ceros.) Capítulo 7, pág. 16
Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Buscar decenas, pág. 134 Apúrate a llegar a la decena, pp. 155-156
Actividades de conocimiento numérico
Componentes del entendimiento del valor numérico: Secuencia de conteo verbal, Construye/Cuenta cantidades mixtas, pp 52-54
Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9
En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):
Número meta 20, pág. 159
Capítulo 10 Página 46 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 10 Página 47 Traducido por Rosy Einspahr
Registro de planeación y progreso
Lo que sabe el estudiante Meta a corto plazo Actividad (incluir el
rango numérico) Resultados de la instrucción
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Capítulo 10 Página 48 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2008 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TRABAJO NUMÉRICO
INSPECCIÓN DE ECUACIONES
FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO
Apéndice
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr
Apéndice Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 3 Traducido por Rosy Einspahr
Páginas de muestras de problemas matemáticos
Las siguientes páginas proporcionan ejemplos de maneras para crear hojas de problemas
matemáticos. Cuando cree dichas páginas considere lo siguiente:
espacio para resolver
de qué manera los estudiantes o los maestros indicarán las elecciones de números
número de estrategias de solución
nivel de enseñanza o fluidez y mantenimiento
espacio para que los estudiantes escriban únicamente su respuesta o una oración
conjuntos de problemas relacionados en una página
título del conjunto de problemas para una referencia fácil
Nombre_________________________________ Fecha___________________________
Barcos
Hay ________ estudiantes nuevos de primer grado y los estudiantes de primer grado siempre cruzan el
lago en barco para llegar a Hogwarts. Si cada barco puede llevar a 4 estudiantes, ¿cuántos barcos
necesita conseguir Hagrid para que todos los estudiantes de primer grado puedan cruzar el lago?
24 48 148
Mi estimación para la respuesta de este problema es: ______________
Muestra una manera para resolver el problema. Muestra otra manera para resolver el problema. _____________________________________________________________________________________
Escribe una oración que responda a la pregunta de tu problema matemático.
Apéndice Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 5 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_________________________________ Fecha___________________________
Las papas matemáticas
El Sr. Tomás tiene __________ papas en cada página de su libro titulado “Las papas de las
matemáticas”. Su libro tiene ________ páginas. ¿Cuántas papas tuvo que dibujar?
25, 14 20, 10
5, 4 20, 4
Apéndice Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre________________________________ Fecha___________________________
Montaña rusa
Una montaña rusa puede llevar a 48 personas al mismo tiempo. Cada vagón puede llevar a 6 personas.
¿Cuántos vagones de largo tiene la montaña rusa?
Yo creo que la respuesta para este problema es entre ___________ y __________.
Muestra una manera para obtener la respuesta a este problema. Muestra otra manera para obtener la respuesta a este problema.
Escribe una oración que responda a la pregunta en este problema:
_____________________________________________________________________________________
Natación
Carlos nadó 75 veces lo largo de la piscina. Mark solamente nadó 56 veces lo largo de la piscina.
¿Cuántas veces más tendría que nadar Mark lo largo de la piscina para nadar el mismo número de veces
que Carlos?
Yo creo que la respuesta para este problema es entre ___________ y __________.
Muestra una manera para obtener la respuesta a este problema. Muestra otra manera para obtener la respuesta a este problema.
Escribe una oración que responda a la pregunta en este problema:
_____________________________________________________________________________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 7 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre________________________________ Fecha___________________________
Número de páginas leídas
Carol 492
David 363
Talia 2,005
Xiang 1,899
a) ¿Cuántas páginas más leyó Talia que Carol?
b) ¿Cuántas páginas leyeron en total Carol y David?
c) ¿Cuántas páginas menos leyó Xiang que Talia?
Número de veces que se metió una pelota en la canasta de básquetbol.
Con la palma hacia arriba Con la palma hacia abajo
Keenan 28 52
David 13 26
Talia 6 17
Xiang 19 50
Maurice 12 95
a) ¿Cuántos lanzamientos más con la palma hacia abajo hizo Maurice que Talia?
b) ¿Las personas lanzan mejores tiros con la palma hacia abajo o con la palma hacia arriba? Explica.
c) ¿Quién metió el mayor número de canastas en total?
Nombre_________________________________ Fecha___________________________
Fiesta de ponche
Los estudiantes de quinto grado en la escuela primaria Mark trajeron la siguiente lista de bebidas para
hacer ponche para una fiesta.
Jugo de piña: 1.36L
Jugo de naranja Minute Maid: 0.95L Jugo de toronja: 1.89L Jugo de uva: 1.5L Jugo de naranja Tropicana: 2.84L Sprite: 0.75L Gatorade: 0.95L Jugo de arándano rojo: 1.14L Jugo de manzana: 1.36L
¿Cuál es la menor cantidad de ponche que puedes hacer al mezclar 3 de las bebidas?
Muestra tu estrategia de solución abajo.
¿Cuál es la mayor cantidad de ponche que puedes hacer al mezclar 2 de las bebidas?
Muestra tu estrategia de solución abajo.
Apéndice Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 9 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre _______________________________ Fecha ___________________________
Colecciones
1. Esteban tiene 60 camionetas de juguete. 15 usan baterías. ¿Qué fracción de las camionetas usan
baterías? Muestra tus pasos de razonamiento:
2. Fabio tiene 80 animales de plástico. 16 son lagartijas. ¿Qué fracción son las lagartijas? Muestra tus
pasos de razonamiento:
3. Gaspar tiene 24 estampillas en su colección. 6 son de Canadá y el resto son de España. ¿Qué fracción
corresponde a la de España? Muestra tus pasos de razonamiento:
4. Herminie compró uvas como merienda. 53 eran verdes y el resto eran negras. Si ella compró 150
uvas, aproximadamente ¿qué fracción eran negras? Muestra tus pasos de razonamiento:
Apéndice Página 10 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre _____________________________ Fecha__________________________
Diversión con frutas
Problema Estimación Respuesta
Treinta y tres granadas con 210 semillas en cada una. ¿Cuántas semillas son en total?
Dieciséis naranjas con 12 gajos en cada una. ¿Cuantos gajos son en total?
Veinticinco racimos de plátanos con 12 en un racimo. ¿Cuántos plátanos son en total?
Tres árboles con 128 naranjas japonesas en cada uno. ¿Cuántas naranjas japonesas hay en total?
Quince limones para 1 tarta de limón. ¿Cuántos limones para 5 tartas?
Dieciocho matas de piña. Seis piñas en cada mata. ¿Cuántas son en total?
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 11 Traducido por Rosy Einspahr
Cuento de matemáticas. Una caminata de piedras.
Nombre_________________________________ Fecha___________________________
Lee este problema matemático hasta el final. Después crea un plan para resolverlo.
Un día decidí tomar una caminata. Mientras me dirigía afuera de la casa, tomé una bolsa de papel.
Comencé a recolectar piedras para mi colección de piedras. Ya había caminado 824 pasos y por cada dos
pasos recolecté 3 piedras.
Ya me estaba cansando y me detuve para ver mis piedras. Las clasifiqué en grupos de piedras brillantes,
opacas, lisas y ásperas. Cada grupo tuvo el mismo número de piedras cuando terminé. Dejé las piedras
opacas y continué mi camino.
Caminé por 49 minutos. Mi bolsa se estaba volviendo pesada, así que por cada 7 minutos que había
caminado saqué una piedra de mi bolsa y la tiré.
Me di la vuelta y me dirigí a casa. Cuando regresé a casa saqué mis piedras en la terraza. Perdí una
cuarta parte de mis piedras a través de las grietas de la terraza.
Mi amigo vino y trajo sus piedras. El tenía la mitad de la cantidad que yo tenía, pero las pusimos todas
juntas y compartimos.
Decidimos poner las piedras en montones de brillantes, opacas, ásperas, lisas y fuera de lo común.
Tuvimos el mismo número de piedras en cada montón.
Mi amigo se llevó a casa las piedras brillantes, opacas y ásperas. Yo puse las piedras lisas y fuera de lo
común en mi bolsa. Cuando entré con las piedras a casa mi mamá me preguntó, “¿Cuántas piedras tienes
en tu bolsa?”
¿Cuántas tengo? _________________
¿Qué harías para resolver este problema?
¿Actuarías la solución?_____
¿Dibujarías la solución?_____
¿Representarías el problema con oraciones numéricas? _____
¿De qué manera comprobarías que tu respuesta es correcta?
¿Harías un dibujo? _____
¿Usarías símbolos matemáticos?_____
¿Explicarías las oraciones numéricas por escrito?_____
Ahora resuelve el problema y lleva la cuenta en tu hoja de respuestas a medida que avanzas.
Apéndice Página 12 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Escribiendo un cuento de matemáticas
Ahora escribe tu propio cuento de matemáticas acerca de una colección. Necesitará tener
aproximadamente 7 eventos. Cada evento debe estar conectado con el evento anterior. El cuento debe
utilizar la unión (suma) o combinación, la separación (resta), formar grupos y partes fraccionales. Hazlo
difícil pero no tan difícil, similar al cuento A Una caminata de piedras. Resuelve tu cuento de
matemáticas dos veces para asegurarte que tenga una solución con un número entero (a menos que
algunas piedras se rompan en partes). Cuando termines con tu primer borrador necesitarás un editor.
Le voy a pedir a ________________ que edite mi cuento. Por último, dale un título a tu cuento.
Mi cuento se tratará acerca de recolectar: _____________________________
Lista de revisión para la edición:
Mi historia tiene: Yo Revisión del editor
aproximadamente 7 eventos
unión (suma) o combinación
separación (resta)
formar grupos
partes fraccionales
un título
ortografía y puntuación correcta
una pregunta matemática al final del cuento
una solución
Cuento de matemáticas escrito por ____________________________________________ El título de mi cuento es:________________________________________________________ La respuesta a la pregunta matemática en mi cuento es: ____________________________________
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 13 Traducido por Rosy Einspahr
Problemas de razón y proporción
Parte 1
Intenta resolver cada uno de los siguientes problemas en diversas maneras. Enfócate en el
razonamiento para resolver cada problema.
1. Tienes una fiesta y ordenaste pizza para compartir con todos. Hay 12 personas en la fiesta y tú
ordenaste 4 pizzas. Tres personas más se unen a la fiesta. ¿Qué tanto menos de pizza le toca a cada
persona de lo que originalmente habías planeado, si las personas extras quieren compartir en partes
iguales?
2. Julia utilizó exactamente 15 latas de pintura para 18 sillas. ¿Cuántas sillas puede pintar con 25 latas
de pintura?
3. El comité del parque Mayville quiere construir nuevos parques. Descubrieron que 15 robles les dan
sombra a 21 mesas de picnic cuando construyeron el parque en la calle Raymond. En la calle Charles
harán un parque más grande y tienen las posibilidades de comprar 91 mesas de picnic. ¿Cuántos
robles deben sembrar para darles sombra a todas las mesas nuevas?
4. Jayda y Manuel están haciendo limonada. Jayda utilizó 10 tazas de limón y 5 cucharaditas de azúcar.
Manuel utilizó 7 tazas de limón y 3 cucharaditas de azúcar. ¿Qué limonada saldrá más dulce o sabrán
ambas igual? ¿De qué manera puede Jayda ajustar su receta para que sepa igual a la limonada de
Manuel?
5. Tu escuela está haciendo una rifa para recaudar fondos. Carolina compró 15 boletos. Se vendieron
en total 88 boletos. En otra rifa para el equipo de básquetbol, Sandy compró 12 de un total de 62
boletos. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué? ¿Qué te indica la probabilidad? ¿Qué
significa?
6. Cuando Mariana tenía 12 años, sembró un árbol de arce de 3 pies de altura en su jardín delantero. A
mediados del verano daba una sombra de 15 pulgadas de largo. Ahora el árbol da una sombra de 45
pulgadas de largo. ¿Qué tan alto es el árbol ahora? Si el árbol ha crecido a un ritmo constante desde
que Mariana lo plantó y ahora ella tiene 15 años de edad, ¿cuánto ha crecido por año?
7. Un lago está sobre poblado de peces (hay 2400) y no hay suficiente comida para todos ellos. Para
disminuir la población, el departamento de recursos naturales atrapó a 400 peces en un día. Hay otro
lago, más pequeño que el primero con el mismo problema. Contiene 1800 peces. ¿Cuántos peces se
necesitan atrapar para reducir la población en la misma proporción que el lago grande?
Revisa estos siete problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus
estrategias de solución para cada uno de ellos - ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas
estrategias para todos los problemas?
Razón y proporción, parte 2
1. Aquí están el Sr. Bajo y el Sr. Alto. La altura del Sr. Bajo se midió con clips y midió 8 clips.
Cuando los medimos con cerillos, el Sr. Bajo midió 4 cerillos, pero el Sr. Alto midió 6 cerillos.
¿Cuántos clips se necesitan para medir al Sr. Alto?
2. Estos dos rectángulos tienen la misma forma, pero uno es más grande que el otro. Si se te diera la
altura del más pequeño, ¿cómo encontrarías la altura del rectángulo más grande?
3. Si 3 personas pagan $26.25 para ir al cine, ¿cuánto pagarían 8 personas?
4. Tanto el salón de la maestra Brown como de la maestra Hart tienen el mismo número de estudiantes.
En el salón de la maestra Brown, por cada tres niños hay cinco niñas. En la clase de la maestra Hart,
por cada niño hay tres niñas. ¿En qué clase esperarías ver más niñas? Explica tu respuesta.
5. Una receta hace sopa para ocho personas y requiere de 3 pintas de agua. Decides cambiar las
cantidades para hacer sopa para seis personas y le agregas 2 pintas de agua. ¿Tu sopa está más
espesa o más líquida que la receta original? ¿Por qué lo crees así?
6. La víbora Sam mide 4 pies de largo. Cuando crezca completamente, medirá 6 pies de largo. La víbora
Spot mide ahora 5 pies de largo pero cuando crezca completamente, medirá 7 pies de largo. ¿Qué
víbora está más cerca de crecer completamente?
7. Dos familias van conduciendo al parque acuático el Arca de Noé. Ambas familias salen al mismo
tiempo de la misma calle. El conductor del carro rojo maneja un promedio de 186 millas en 3 horas y
el conductor del carro azul maneja un promedio de 320 millas en 5 horas. Si cada carro maneja a un
ritmo constante durante todo el viaje, ¿quién llegará primero al parque?
Revisa estos siete problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus
estrategias de solución para cada uno de ellos - ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas
estrategias para todos los problemas?
Apéndice Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 15 Traducido por Rosy Einspahr
Razón y proporción, parte 3
Primer conjunto de problemas
a) A un estudiante le toma 3 horas resolver 9 problemas matemáticos. Si le toma el mismo tiempo
resolver cada problema. ¿Cuánto tiempo le tomaría resolver 18 problemas?
b) Un grupo de estudiantes está organizando una excursión y estiman que les tomará 5 horas para
caminar 7 km. ¿Cuánto tiempo les tomará a los estudiantes caminar 21 km? ¿Qué suposición
necesitas hacer para resolver este problema? ¿Son realistas esas suposiciones?
c) Sandy está planeando irse de mochilera al norte de Wisconsin este verano. Ella estima que en 8
horas podría cubrir 12 km. ¿Cuántas horas tiene que caminar si la caminata es de 42 km?
d) Lisa compró pasas cubiertas de chocolate para una fiesta de la clase. Dos libras de los dulces
costaron $3. ¿Cuántas libras de dulces compró Lisa por $17?
Segundo conjunto de problemas
a) En un programa para después de la escuela hay 5 niñas por cada 15 niños. ¿Cuántas niñas hay si hay
45 niños?
b) Al diseñar un programa para después de la escuela en la escuela Greenhill, hay 2 niños por cada 4
niñas. ¿Cuántos niños debe haber en el programa si hay 22 niñas?
c) Una constructora está construyendo nuevos apartamentos, los cuales serán apartamentos de dos
recámaras y tres recámaras. Se decidió que por cada 6 apartamentos de tres recámaras debería
haber 14 apartamentos de dos recámaras. ¿Cuántos apartamentos de tres recámaras se necesitan si
van a haber 35 apartamentos de dos recámaras?
Revisa estos siete problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus
estrategias de solución para cada uno de ellos - ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas
estrategias para todos los problemas? ¿Fueron algunos más fáciles o más difíciles? ¿Por qué lo crees
así?
Razón y proporción, parte 4
1. Una de las bebidas que se sirven en la cafetería de la escuela es el ponche de frutas. El
cocinero mezcla 5 latas de jugo de piña por cada 6 latas de jugo de naranja. ¿Cuántas latas
de jugo de piña se necesitan si el cocinero utiliza 19 latas de jugo de naranja?
2. Hay 25 estudiantes en tu clase, incluyéndote a ti. En tu cumpleaños tu mamá hizo 5 libras de
galletas para que las compartieran entre los estudiantes. ¿Cuánto le tocó a cada persona?
3. ¿Cuál tiene más niñas, la familia de cinco con dos niñas y tres niños o la familia de cuatro
con dos niñas y dos niños?
4. Aquí hay dos galletas con chispas de chocolate. ¿Como podrías decidir qué galleta está más
chocolatada sin probar las galletas?
5. Si 3 pizzas sirve a 9 personas, ¿cuántas pizzas se necesitarán para servir a 108 personas?
6. ¿Cuál es la mejor oferta? El jugo de naranja cuesta $1.70 por un paquete. El jugo de
manzana cuesta $1.10 pero el paquete es más pequeño que el jugo de naranja.
7. ¿Cuál es la mejor oferta, dos libras de manzanas por $4.26 o tres libras de manzanas por
$7.87?
8. Jill quiere comprar un reproductor de discos compactos que cuesta $210. Su mamá acordó
en pagar $5 por cada $2 que Jill ahorrara. ¿Cuánto contribuirá cada uno?
Revisa estos ocho problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus
estrategias de solución para cada uno de ellos - ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas
estrategias para todos los problemas?
Apéndice Página 16 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
DIARIOS DE MATEMÁTICAS DIARIOS DE MATEMÁTICAS
Los diarios de matemáticas proporcionan un lugar de fácil acceso para que los estudiantes resuelvan
problemas. Los diarios de papel cuadriculado proporcionan una cuadrícula fácil de usar para modelar
problemas y mantener el trabajo organizado en una página. Además, los diarios proporcionan un registro
de trabajo y un lugar estupendo para que el estudiante y el maestro se comuniquen. Los diarios
(cuadernos) de matemáticas son más útiles cuando se establecen algunas normas para su uso. Los
siguientes dos ejemplos permiten tanto el uso de espacio independiente como un espacio más formal
para comunicarse con otros. Proporcione explicaciones simples sobre las maneras de utilizar el diario.
Los diarios de matemáticas proporcionan un lugar de fácil acceso para que los estudiantes resuelvan
problemas. Los diarios de papel cuadriculado proporcionan una cuadrícula fácil de usar para modelar
problemas y mantener el trabajo organizado en una página. Además, los diarios proporcionan un registro
de trabajo y un lugar estupendo para que el estudiante y el maestro se comuniquen. Los diarios
(cuadernos) de matemáticas son más útiles cuando se establecen algunas normas para su uso. Los
siguientes dos ejemplos permiten tanto el uso de espacio independiente como un espacio más formal
para comunicarse con otros. Proporcione explicaciones simples sobre las maneras de utilizar el diario.
Write as many addition problems whose answeretween 24 + 18 and 37 + 15 as possible. Try to o it without solving the problems first.
s are bd
Escribe la mayor cantidad de problemas de sumas posibles cuyas respuestas estén entre el 24 + 18 y el 37 + 15. Intenta hacerlo sin antes resolver los problemas.
23 + 18 25 + 18 28 + 18 26 + 18 29 + 18 27 + 18 30 + 18 31 + 18 32 + 18 33 + 18 34 + 18 37 + 14 37 + 13 keep going down
continúa hacia abajo
Entiendo cómo razonaste sobre este problema. Intenta encontrar 5 más con fracciones en los mismos. ¿Qué observas?
I saw a pattern and just kept adding one more to 27 until the ones 13 so it didn’t go past 37+15. The numbers could go down from 14. I didn’t try fractions.
Vi un patrón y simplemente continué sumando uno más a 24 hasta que las unidades llegar13 para que no se pasara de 37+15. Los números podrían ir
on al
hacia abajo comenzando desde el 14. No intenté las fracciones. desde el 14. No intenté las fracciones.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 17 Traducido por Rosy Einspahr
9/23/09
Razonamiento: estupendo uso de símbolos o palabras para ayudar a otros entender el razonamiento del estudiante.
Comentarios del maestro escritos en la página o en una nota adhesiva.
Experimentos: desordenado para el estudiante
Planteamiento del problema: estupendo para comunicarse con otros
Apéndice Página 18 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Mom makes small apple tarts using three-fourths ofapple for each small tart. She has 20 apples.
an How many
n she make? small apple tarts ca
10/15/07
Strategy # 1
Strategy # 2
Mom can make 26 apple tarts with an apple leftover to snack on.
23 tartas
Estrategia:
Mamá hace tartas pequeñas de manzana utilizando tres cuartas partes de una manzana para cada tarta pequeña. Ella tiene 20 manzanas. ¿Cuántas tartas pequeñas de manzana puede hacer? Estrategia:
½ manzana
Conté 26 tartas
Problema: estupendo (para comunicarse con el maestro y los compañeros de clase). Los estudiantes piensan sobre el problema a medida que lo escriben, dividen el resto de la página en dos partes y etiquetan la estrategia 1 y la estrategia 2 en cada parte.
Estrategias: Resuelva en maneras que tengan sentido para el estudiante, para intentar nuevos métodos, comience con los números en el problema para ambas estrategias, si las respuestas no coinciden, pídales a los estudiantes que averigüen por qué o que lo intenten de una tercer manera, el hecho de que esté desordenado está bien siempre y cuando los estudiantes puedan escribir con limpieza cuando se les pida y puedan usar símbolos de manera apropiada.
manzanas por 2 tartas
3 manzanas por 4 tartas
6 manzanas por 8 tartas 12 manzanas por 16 tartas 18 manzanas por 24 tartas más 1 ½ manzanas para hacer 26 tartas con ½ manzana de sobra para comer!
Mamá puede hacer 26 tartas de manzana con una manzana de sobra para comer.
Escribe una oración que responda a la pregunta en el problema para asegurarte que ya has contestado el problema.
Caja de estimación: un número que muestre cual crees que será la respuesta aproximada, algunas veces te daré algunas opciones para pensar y agregar una etiqueta, verifica para ver que tan cerca estuviste después de haberlo resuelto.
¿Qué observas? *(plantilla para retroproyector)
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 19 Traducido por Rosy Einspahr
¿Qué observas? Página de ejemplo
Sombree un grupo de
decenas y algunas
unidades.
Expóngalo como una
transparencia para el trabajo
numérico
¿Cuántos están sombreados en total? 36
10 + 10 + 10 + 5 + 1 20 + 15 + 1
(6 × 4) + (4 × 3) 12 + 4 + 20
4 + 4+ 4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 3 + 3 20 + 10 + 6
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 100 – 50 – 10 – 4
(7 × 5) + 1 100 - 64
Apéndice Página 20 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 21 Traducido por Rosy Einspahr
Tablas numéricas de cien (Variaciones)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Apéndice Página 22 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 23 Traducido por Rosy Einspahr
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
Apéndice Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
-99 -98 -97 -96 -95 -94 -93 -92 -91 -90
-89 -88 -87 -86 -85 -84 -83 -82 -81 -80
-79 -78 -77 -76 -75 -74 -73 -72 -71 -70
-69 -68 -67 -66 -65 -64 -63 -62 -61 -60
-59 -58 -57 -56 -55 -54 -53 -52 -51 -50
-49 -48 -47 -46 -45 -44 -43 -42 -41 -40
-39 -38 -37 -36 -35 -34 -33 -32 -31 -30
-29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 25 Traducido por Rosy Einspahr
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 15
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20
Apéndice Página 26 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2
0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3
0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5
0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6
0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7
0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8
0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.9
0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1
1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.2
1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3
1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4
1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.5
1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6
1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.7
1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.8
1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.9
1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 27 Traducido por Rosy Einspahr
Nombre_____________________________ Fecha_____________________________
Las matemáticas y yo (encuesta del estudiante)
Escribe sí (o S) en el espacio vacío si estás de acuerdo con la oración y no (o N) si no estás de acuerdo con la oración. Explica por qué sí estás de acuerdo o por qué no estás de acuerdo. 1. ________ Algunas personas son aptas para las matemáticas y algunas no. ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ________ Siempre debes saber cómo contestar un problema. ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. ________ Las matemáticas requieren de una buena memoria. ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. ________ Me gusta trabajar en matemáticas a solas. ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5. ________ Las matemáticas siempre se hacen trabajando intensamente hasta que se resuelve el
problema. ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
6. ________ Existe una manera ideal para resolver un problema ¿Por qué?
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7. ________ Me gusta trabajar en matemáticas con otros. ¿Por qué?
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8. ________ Los matemáticos resuelven problemas rápidamente, en su mente. ¿Por qué?
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9. ________ Existe una llave mágica para resolver las matemáticas. ¿Por qué?
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10. ________ Tu imaginación te ayuda con las matemáticas. ¿Por qué?
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11. ________ Está bien contar con los dedos. ¿Por qué?
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12. ¿Cómo te sientes respecto a las matemáticas en este momento?
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13. ¿Cuál es tu tema favorito en las matemáticas?
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¡Gracias por escribir sobre las matemáticas y sobre ti!
Apéndice Página 28 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 29 Traducido por Rosy Einspahr
Descriptores de las HABILIDADES (para la competencia en el idioma inglés)
© Estado de Wisconsin • 2006 ACCESS para estudiantes del idioma inglés (ELLs)™ Guía de interpretación para los informes de puntajes
Los descriptores de las HABILIDADES les ofrecen a los maestros y administradores que trabajan con estudiantes del
idioma inglés un rango de expectativas para el desempeño estudiantil dentro de un nivel de competencia en el
idioma inglés de los estándares WIDA de competencia en el idioma inglés.
Los descriptores de las HABILIDADES son de naturaleza amplia, enfocándose en las funciones del lenguaje
generalmente encontradas en el entorno escolar, en vez de habilidades del lenguaje relacionadas con temas
académicos específicos. Una característica distintiva de estos descriptores, aunque no se menciona explícitamente, es
la presencia de apoyo visual o gráfico para permitirles a los estudiantes del idioma inglés el acceso al idioma y
contenido que se requiere para tener éxito en la escuela. Dado el carácter amplio de estos descriptores y el hecho de
que no se distinguen por grupos de nivel de grado, los educadores necesitan tener en cuenta la variabilidad del
desarrollo cognitivo de los estudiantes, las diferencias de edades y nivel de grado, así como su diversidad de
experiencias educativas.
Los descriptores de las HABILIDADES son una extensión de las definiciones de desempeño para los estándares de
competencia en el idioma inglés. Los descriptores aplican a ACCESS para los puntajes de ELLs™ y pueden asistir a
los maestros y administradores en la interpretación de significado de los informes de puntajes. Además los
descriptores pueden ayudar a explicar las rúbricas de hablar y escribir asociadas con el examen de competencia en el
idioma inglés.
En sí los descriptores no son estrategias de enseñanza o de evaluación. Son ejemplos de lo que los estudiantes del
idioma inglés pueden hacer para demostrar comprensión al escuchar y leer, así como la producción en hablar y
escribir dentro del entorno escolar. A diferencia de las tendencias de los indicadores de desempeño del modelo, los
descriptores no facilitan la transición de un nivel de competencia del idioma inglés al siguiente, lo que significa que
no forman un área de desarrollo que abarca un tópico o tema en común. Más bien, cada nivel de competencia en el
idioma inglés debe ser visto como un conjunto de descriptores independientes.
Presentado en formato de matriz similar a los estándares de competencia del idioma inglés, los educadores deben
tener la facilidad de examinar los descriptores a lo largo de las áreas del idioma para los cinco niveles de
competencia en el idioma inglés. El nivel 6 de competencia en el idioma inglés, Alcanzando, está reservado para
aquellos estudiantes que ya han alcanzado una equivalencia con sus compañeros que son competentes en el inglés.
En su mayor parte, los descriptores provienen del marco de referencia de los estándares de competencia en el
idioma inglés para una evaluación de amplia escala que sirve de anclaje para el examen de competencia en el idioma
inglés. Se exhorta a los maestros a suplementar estos puntos importantes con otros adicionales del marco de
referencia para la instrucción y evaluación del salón de clases. De esta manera, los educadores tendrán un
complemento total de lo que los estudiantes del idioma inglés tienen HABILIDAD a medida que avanzan en la
adquisición continua de un segundo idioma.
Los estándares de WIDA de competencia en el idioma inglés para los estudiantes del idioma inglés en los grados
Kinder a 12.o (2004) se pueden encontrar en la página web del Consorcio WIDA (www.wida.us).
ApéndiTraduc
Language Domain Level 1-Entering Level 2-Beginning Level 3- Developing Level 4-Expanding Level 5-Bridging
Listening • Point to stated pictures, words, phrases
• Follow one-step oral directions
• Match oral statements to objects, figures, or illustrations
• Sort pictures, objects according to oral instructions
• Follow two-step oral directions
• Match information from oral descriptions to objects, illustrations
• Locate, select, order information from oral descriptions
• Follow multi-step oral directions
• Categorize or sequence oral information using pictures, objects
• Compare and contrast functions, relationships from oral information
• Analyze and apply oral information
• Identify cause and effect from oral discourse
• Draw conclusions from oral information
• Construct models based on oral discourse
• Make connections from oral discourse
Speaking • Name objects, people, pictures
• Answer wh- questions
• Ask wh- questions • Describe pictures,
events, objects, people
• Restate facts
• Formulate hypotheses, make predictions
• Describe processes, procedures
• Re/ tell stories or events
• Discuss stories, issues, concepts
• Give speeches, oral reports
• Offer creative solutions to issues, problems
• Engage in debates • Explain phenomena,
give examples, and justify responses
• Express and defend points of view
Reading • Match icons and symbols to words, phrases, or environmental print
• Identify concepts about print and text features
• Locate and classify information
• Identify facts and explicit messages
• Select language patterns associated with facts
• Sequence pictures, events, processes
• Identify main ideas • Use context clues to
determine meaning of words
• Interpret information or data
• Find details that support main ideas
• Identify word families, figures of speech
• Conduct research to glean information from multiple sources
• Draw conclusions from explicit and implicit text
Writing • Label objects, pictures, diagrams
• Draw in response to oral directions
• Produce icons, symbols, words, phrases to convey messages
• Make lists • Produce drawings,
phrases, short sentences, notes
• Give information requested from oral or written directions
• Produce bare-bones expository or narrative texts
• Compare/ contrast information
• Describe events, people, processes, procedures
• Summarize information from graphics or notes
• Edit and revise writing • Create original ideas
or detailed responses
• Apply information to new contexts
• React to multiple genres and discourses
• Author multiple forms of writing
Level 6: Reaching
ce Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 ido por Rosy Einspahr
CAN DO descriptors for the levels of English Language Proficiency For the given level of English language proficiency level, English language learners can:
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 31 Traducido por Rosy Einspahr
Glosario de matemáticas Conjetura– una declaración que ha sido propuesta como una afirmación verdadera. Los estudiantes de los grados intermedios hacen conjeturas sobre ideas matemáticas que son nuevas para ellos. P.ej. patrones, propiedades numéricas, operaciones con números pares y nones. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Fluidez para calcular – la habilidad para calcular de manera flexible, precisa y eficaz
La flexibilidad requiere del conocimiento de más de un método para resolver un tipo de problema en particular (dependiendo de la operación y del tamaño de la cifra numérica) para escoger la estrategia más apropiada para ese problema y verificar resultados.
La precisión depende del conocimiento de las operaciones aritméticas y las relaciones numéricas, verificar nuevamente y llevar un registro cuidadoso.
La eficacia requiere una estrategia que es fácil de llevar a cabo y hace uso de resultados intermedios o sub-productos para resolver un problema.
Geometría coordinada – el estudio de la geometría que utiliza un sistema coordinado como el plano coordinado (eje x-, y-). Justificación – el razonamiento que se encuentra detrás de una idea matemática o solución a un problema. Lenguaje con flechas – un método para registrar los pasos de un cálculo. La operación y el número están escritos arriba de una flecha para mostrar cada paso en la estrategia. Algunas veces se refiere como a un “tren de razonamiento.” El lenguaje con flechas se puede usar con cualquier operación o serie de operaciones. (Véase el capítulo 6: Representación) Magnitud – un estimado de tamaño o magnitud expresado como el diez elevado a cierta potencia. Esta es una de tantas definiciones. Máquina de funciones – una “máquina” imaginaria que cambia los números de acuerdo a una función. Las máquinas de funciones asignan cada valor de INGRESO y valor de SALIDA para determinada función. Las funciones de los grados intermedios incluyen todas las operaciones, los dobles, las mitades. (Véase el capítulo 7: Trabajo numérico) Oración numérica abierta – una ecuación que tiene una o más variables designadas por letras o un casillero. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Oración numérica de verdadero/falso – una ecuación (sin variables). Se utiliza para la inspección de ecuaciones. Los estudiantes determinan si la ecuación es verdadera o falsa y justifican su razonamiento. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Propiedad asociativa – una operación es asociativa si se pueden agrupar números en cualquier forma sin cambiar el resultado. La suma y la multiplicación son asociativas con números enteros, decimales y fracciones. P.ej. (6+5)+3=6+(5+3), (2x6)x4=2x(6x4). Propiedad conmutativa – una operación es conmutativa si se puede cambiar el orden de los números involucrados sin cambiar el resultado. La suma y la multiplicación son conmutativas con números enteros, decimales y fracciones. La resta y la división no son conmutativas. 8+3=3+8, 4x6=6x4
Razonamiento aditivo – estrategias basadas en la suma y las propiedades de la suma.
Razonamiento multiplicativo – estrategias basadas en multiplicación y las propiedades de la multiplicación. Razonamiento proporcional – razonamiento utilizando relaciones multiplicativas entre números. Recta numérica vacía – una línea recta (sin marcas ni números) que se utiliza para demostrar una organización numérica lineal (de derecha a izquierda). Las marcas o los números se agregan a la recta para demostrar los pasos del cálculo (Véase el capítulo 6: Representación). Es útil para demostrar estrategias de cálculo o explorar relaciones numéricas como diferencia o números “entre” números consecutivos. Relaciones cuantitativas – relaciones numéricas. Sentido numérico – algunas características del sentido numérico incluyen el conteo súbito de cantidades pequeñas, notar patrones numéricos, contar, comparar números, descomponer/componer números, entender operaciones, organización numérica lineal, razonamiento relacional, razonamiento aditivo, razonamiento multiplicativo. Situaciones de parte-todo – un entorno de un problema donde un conjunto está compuesto de dos o más subconjuntos. P.ej. el conjunto es globos; los subconjuntos son verde, amarillo, rojo y azul. Transformaciones geométricas (isometrías) – Existen solamente cinco cambios geométricos que conservan la mayoría de las propiedades de una figura incluyendo el tamaño. Estos son los deslizamientos (traslaciones), vueltas (reflexiones), giros (rotaciones), ausencia de cambio (identidad), huellas (reflexión de deslizamiento). Trazos de línea – una manera fácil de organizar los datos a lo largo de una recta numérica donde las X se escriben arriba del número para representar la frecuencia del valor de esa información. Unificar – la construcción de una unidad de referencia a partir de cierta relación de proporciones.
Apéndice Página 32 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
El aprendizaje de las matemáticas en los grados in Apéndice Página 33 Traducido por Rosy Einspahr
termedios (3.º- 5.º)
Números y operaciones
calculadoras
cubos
numéricos Geometría
flechas de valor
numérico Polígonos
transparentes (Power PolygonsTM)
dinero
sólidos
geométricos
bloques de valor
numérico
Geoblocks
Etiquetas para guardar materiales
cubos conectables
fichas cuadradas
Marcos
Polydron
bloques de patrón
espejos
pentominós
geoplanos
cubos de madera
tangramas
bloques de atributo
Apéndice Página 34 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
Medición
herramienta de medición
básculas cinta de
medir
reglas
sólidos geométricos (rellenables)
reglas para
medir ángulos compás
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 35 Traducido por Rosy Einspahr
Apéndice Página 36 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr
transportadores
yarda/metro
cubos de 1” y 1 cm
plantilla
geométrica
Recursos
profesionales
Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º)
Recursos profesionales Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010
Bickmore-Brand, J. (Ed.). (1990). Language in Mathematics. Portsmouth, NH: Heinemann. Bushman, L. (2007). Making Sense of Mathematics: Children Sharing and Comparing Solutions to Challenging Problems. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bushman, L. (2003). Share & Compare: A Teacher’s Story about Helping Children Become Problem Solvers in Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bachman, V. (2003). Third-grade math: A month-to-month guide. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Barton, M. L. & Heidema, C. (2002). Teaching Reading in Mathematics (2nd ed.). A supplement toTeaching Reading in the Content Areas teacher’s manual. Aurora, CO: McREL Eisenhower Regional Consortium for Mathematics and Science. Block, C. C. & Mangieri J. N. (2006). The vocabulary enriched classroom: Practices for improving the reading performance of all students in grades 3 and up. New York: Scholastic. Bright, G. W. & Clements, D. H. (2003). Classroom activities for learning and teaching measurement, 2003 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bresser, R. & Holtzman, C. (2006). Minilessons for Math Practice: Grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Carpenter, T. P., Fennema, E., Loef Franke, M., Levi, L. & Empson, S. B. (1999). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann. Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann. Chapin, S. H., O’Connor, C. & Anderson, N. C. (2003). Classroom Discussions: Using Math Talk to Help Students Learn Grades 1-6. Portsmouth, NH: Heinemann. Chapin, S. H. & Johnson, A. (2006). Math Matters: Understanding the Math You Teach Grades K-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Chappell, M. F., Schielack, J. F. & Zagorski, S. (2004). Empowering the beginning teacher of mathematics: Elementary school. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Coggins, D. (Ed.). (1999). A mathematics sourcebook for elementary teachers: Key concepts, teaching tips, and learning pitfalls. Novato, CA: Arena Press. Confer, C. (2002). Math by all means: Geometry grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Corwin, R. B. & Trafton, P. (1996). Talking Mathematics: Supporting Children’s Voices. Portsmouth, NH: Heinemann. Cuoco A. A. & Curcio, F. R. (2001). Representation in School Mathematics, 2001 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Dacey, L., Cavanagh, M., Findell, C. R., Greenes, C. E., Sheffield, L. J. & Small, M. (2003). Navigating through measurement in grade 3 through grade 5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Recursos profesionales Página 3
Dana, M. Inside-out math problems: Investigate number relationships & operations. Grand Rapids, MI: Instructional Fair. (Out of print, see an elementary math resource teacher) Dana, M. (1998). Math Practice Games. Grand Rapids, MI: Instructional Fair. (Blackline resource for Grades 1, 2, 3, 4, & 5 available from a math resource teacher) Dixon-Krauss, L. (1996). Vygotsky in the classroom: Mediated literacy instruction and assessment. Boston: Allyn and Bacon. Erickson, T. (1989). Get it Together: Math Problems for Groups (Grades 4-12). Berkeley, CA: EQUALS / Lawrence Hall of Science. Findell, C. R., Small, M., Cavanagh, M., Dacey, L., Greenes, C. R. & Sheffield, L. J. (2001). Navigating through geometry in grade 3 – grade 5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Fosnot, C. T. & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work: Constructing multiplication and division. Portsmouth, NH: Heinemann. Fosnot, C. T. & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Portsmouth, NH: Heinemann. Fosnot, C. T. & Dolk, M. (2002). Young mathematicians at work: Constructing fractions, decimals, and percents. Portsmouth, NH: Heinemann. Franke, M., Kazemi, E. & Battey, D. (2007). Understanding Teaching and Classroom Practice in Mathematics. In Lester, Jr., F. K. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Charlotte, NC: Information Age Publications.
Fulton, B. & Lombard, B. (2003). The Language of Math: Helping Students Speak, Write, and Think Mathematically. Millville, CA: Teacher to Teacher Press. Fuson, K. C., Kalchman, M. & Bransford, J. D. (2005). Mathematical understanding: An introduction. In Donovan, M. S. & Bransford, J. D. (Eds.), How Students Learn Mathematics In the Classroom. 215-256. Washington, DC: The National Academies Press. Graves, M. (2006). The vocabulary book: learning & instruction. New York: Teacher’s College Press. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K.C., Wearne, D. & Hanlie, M. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Holdaway, D. (1979). The Foundations of Literacy. Gosford, NSW, Australia: Scholastic. Hope, J. A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1987). Mental Math in the Middle Grades: Blackline Masters. Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications. Hyde, A. (2006). Comprehending math: Adapting reading strategies to teach mathematics, K-6. Portsmouth, NH: Heinemann. Kamii, C. (2004). Young Students Continue to reinvent arithmetic (2nd ed.). New York: Teachers College Press. Kenney, J. M. (2005). Literacy strategies for improving mathematics instruction. Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development.
Recursos profesionales Página 4 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010
Kilpatrick, J., Martin, G. W. & Schifter, D. (Eds.). (2003). A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, C. R. (Eds.). (2001). Adding it up. Washington, DC: National Academy Press. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, C. R. (Eds.). (2002). Helping students learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Lamon, S. J. (2005). Teaching fractions and ratios for understanding. Mahwah, NJ: Lawrence Elbaum Associates. Lampert, M. L. (2001). Teaching problems and the problems of teaching. New Haven: Yale University Press. Lilburn, P. & Rawson, P. (1995). Let’s Talk Math: Encouraging Children to Explore Ideas. Portsmouth, NH: Heinemann. Litwiller, B. & Bright, G. (Eds.). (2002) Making sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Madison Metropolitan School District. (2004). MMSD mathematics grade level K-5 standards. Retrieved May 14, 2009 from http://mathweb.madison.k12.wi.us/standards Madison Metropolitan School District. (2004). Strategic Plan. Madison, WI. Malloy, C. E. (2004). Equity in mathematics education is about access. In Rubenstein, R. N. & Bright, G. W. (Eds.). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook. (pp. 1-14). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Murray, M. (2004). Teaching mathematics vocabulary in context: Windows, doors, and secret passageways. Portsmouth, NH: Heinemann. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: An on-line version retrieved March 16, 2006 from http://standards.nctm.org/ Newmann, V. (1994). Math Journals: Tools for Authentic Assessment. San Diego, CA: Teaching Resource Center. O’Connell, S. (2005). Now I Get It: Strategies for Building Confident and Competent Mathematicians, K-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Pilar, R. (2004). Spanish-English language issues in the mathematics classroom. In Ortiz-Franco, L., Hernandez, N. G. & De La Crus, Y. Changing the faces of mathematics perspectives on Latinos (pp. 23-33). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Richardson, K. (1999). Developing number concepts: Place value, multiplication, and division. Parsippany, NJ: Pearson Education. Richardson, K. (2002). Math time: The learning environment. Peabody, MA: Educational Enrichment, Inc. Didax Educational Resources.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Recursos profesionales Página 5
Ronfeldt, S. (2003). Third-grade math: A month-to-month guide. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Sakshaug, L. E., Olson, M. & Olson, J. (2002). Children are mathematical problem solvers. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Schuster, L. & Anderson, N. C. (2005). Good Questions for Math Teaching: Why Ask Them and What to Ask (Grades 5-8). Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Sheffied, S. (2002). Lessons for introducing place value. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Schifter, D. & Fosnot, C. T. (1993). Reconstructing mathematics education: Stories of teachers meeting the challenge of reform. New York: Teachers College Press. Small, M., Sheffield, L. S., Cavanagh, M., Dacey, L., Findell, C. R. & Greenes, C. E. (2004). Navigating through problem solving and reasoning in grades 3-5. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Smith, M. (2004). Beyond presenting good problems: How a Japanese teacher implements a mathematics task. In Rubenstein, R. & Bright, G. W. (Eds.). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook (pp. 98-106). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Sowder, J. & Schapelle, B. (Eds.). (2002). Lessons learned from research. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Spiegel, D. L. (2005). Classroom Discussions: Strategies for Engaging All Students, Building Higher-Level Thinking Skills, and Strengthening Reading and Writing Across the Curriculum. New York: Scholastic. Stenmark, J. K. & Bush, William S. (2001). Mathematics assessment: A practical handbook K-2. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York: The Free Press. Sullivan, P. & Lilburn, P. (2002). Good Questions for Math Teaching: Why Ask Them and What to Ask (Grades K-6). Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Sutton, J. & Krueger, A. (2002). EDThoughts: What we know about mathematics teaching and learning. Aurora, CO: Mid-continent Research for Education and Learning. Trafton, P. R. & Thiessen, D. (1999). Learning through problems: Number sense and computational strategies. Portsmouth, NH: Heinemann. Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. New York: Longman. Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades K-3. Boston: Allyn and Bacon Pearson Education. von Rotz, L. & Burns, M. (2002). Lessons for algebraic thinking. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Wheatley, G. H. & Reynolds, A. M. (1999). Coming to know number: A mathematics activity resource for elementary school teachers. Tallahassee, FL: Mathematics Learning.
Recursos profesionales Página 6 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010
White, D. Y. (2000). Reaching all students mathematically through questioning. In Strutchens, M. E., Johnson, M. L. & Tate, W. F. Changing the face of mathematics: Perspectives on African-Americans (pp. 21-32). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Whitin, P. & Whitin, D. J. (2000). Math is Language Too: Talking and Writing in the Mathematics Classroom. Reston, VA: National Council of Teachers of English. Wisconsin Department of Public Instruction. Wisconsin model academic standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://dpi.wi.gov/standards/matintro.html Wisconsin Department of Public Instruction. (2005). Wisconsin knowledge and concepts examination assessment framework. Madison, WI: Retrieved May 14, 2009 from http://dpi.wi.gov/oea/pdf/math_framework.pdf Wood, T., Nelson, B. S. & Warfield, J. (2001). Beyond Classical Pedagogy. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Recursos profesionales Página 7
Recursos profesionales Página 8 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010
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