El aprendizaje de las matemáticas en los grados … · El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Enseñanza y aprendizaje – División de las matemáticas

El aprendizaje de

las matemáticas

en los grados

intermedios

(3.o – 5.o)

Enseñanza y aprendizaje – División de las matemáticas

Distrito Escolar Metropolitano de Madison

©2007

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Traducido por Rosy Einspahr

e

v

“Nuestra misión es asegurarnos de que cada studiante tenga el conocimiento y las destrezas

necesarias para el aprovechamiento académico y una ida exitosa.”

Plan estratégico Distrito Escolar Metropolitano de Madison 2004

Directora ejecutiva, Enseñanza y aprendizaje: Lisa Wachtel

Superintendente de las escuelas: Daniel Nerad

Superintendente auxiliar para las escuelas primarias: Susan Abplanalp

Distrito Escolar Metropolitano de Madison (MMSD)

Madison Metropolitan School District 545 West Dayton Street Madison, WI 53703

www.madison.k12.wi.us

Derechos de autor ©2007 por el Distrito Escolar Metropolitano de Madison

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este documento debe ser reproducida de ninguna manera sin el consentimiento escrito del superintendente del Distrito Escolar Metropolitano de Madison.

ii Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

“Mate-matiando”

Un poema a dos voces.

Los maestros: Los estudiantes: enfocándose en las ideas importantes esperando ansiosos el próximo reto y sabiendo lo que entiende el estudiante, o quizás preocupándose por el próximo reto, reconociendo el poder de la diversidad, confiando en el apoyo de la comunidad, plantean el problema. aceptan el reto. Dándose cuenta de los puntos de partida, Analizando los detalles, comprendiendo la pregunta, observan las estrategias, construyen los modelos— Reflexionan sobre los ¿cómos? hacen dibujos, Preguntan los ¿por qués? de los estudiantes toman notas, y ¿qué pasaría si esto o aquello? hacen tablas, escriben símbolos. Determinan soluciones. Reuniendo a la comunidad Reflexionando sobre los ¿cómos?, y preguntando los ¿por qués? y ¿qué pasaría si

esto o aquello? inician la conversación, se unen a la conversación. Aclaran los conceptos y cálculos Aclaran sus conceptos y cálculos, y evalúan y corroboran la exactitud, fomentan las conexiones. amplían su entendimiento, Desafían a razonar más a fondo Entienden como cada uno resolvió las matemáticas. resuelven las matemáticas. Confiada, competente y exitosamente Confiada, competente y exitosamente enseñan se empeñan y aprenden las matemáticas en el aprendizaje de las matemáticas. juntos.

m. jensen Mayo 2007

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) iii Traducido por Rosy Einspahr

iv Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

Reconocimientos

Les agradecemos especialmente a: Los miembros del comité del aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios 3.o-5.o por explorar nuevos métodos para la enseñanza de las matemáticas y por proporcionar retroalimentación constructiva acerca de los contenidos del “Aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios.”

Lianne Burnson Grace Courchane Pamela Ferrill Norma Furger Laura Huber Mazie Jenkins Margaret Jensen Karen Lenoch Andrea Lodato Julie Melton

Carla Nordness Kim O'Donahue Melissa Paton Tammy Roper Kathy Statz Lisa Stein Dawn Stiegert Carrie Valentine Wendy Zucker Susan Roehlk, alt

Los maestros del MMSD y al equipo de recursos de matemáticas por su esfuerzo colaborador en el desarrollo de nuevos métodos de enseñanza que dio como resultado la creación del “Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales” lo cual sirvió como modelo para este esfuerzo. Tom Carpenter, Profesor emérito de la Universidad de Wisconsin-Madison, por compartir generosamente su investigación y mantener una firme creencia en los maestros como aprendices e investigadores al estar al centro de una buena instrucción. Vicki Jacobs, Profesosa de la Universidad Estatal de San Diego, por su apoyo editorial durante la creación de este documento. Ella a través de su trabajo, enfocado en la interpretación del razonamiento matemático de los niños, proporciona a los maestros la orientación profesional necesaria para mejorar la instrucción de las matemáticas en la educación primaria. Mary Ramberg, directora previa del Departamento de Enseñanza y Aprendizaje – Distrito Escolar Metropolitano de Madison, por su apoyo comprometido al trabajo cooperativo de los maestros con el objetivo de mejorar la instrucción en las matemáticas para todos los estudiantes.

TABLA DE CONTENIDOS CAPÍTULO 1 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) ...........1

El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio............................................. 3

CAPÍTULO 2 El contenido y los procesos matemáticos .............................................................1

El contenido matemático..................................................................................... 3 Los procesos matemáticos................................................................................... 4

CAPÍTULO 3 El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje y el papel del maestro.....................1

El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje ............................................................ 3 El papel del maestro ........................................................................................... 5

CAPÍTULO 4 Evaluación ....................................................................................................................1

Evaluación ........................................................................................................ 3 Propósitos y maneras para recolectar información para la evaluación ...................... 4 Evaluaciones orales de operaciones aritméticas..................................................... 5 Los propósitos de las evaluaciones orales de operaciones aritméticas...................... 7 Materiales para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas ......................... 7

Llevar a cabo la evaluación oral....................................................................... 8 Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de conteo................................................................................. 9 Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de relación numérica................................................................10 Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de conteo................................................................................11 Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de relación numérica................................................................12 Evaluaciones orales C y D (Multiplicación) y E (División) – Codificación para las estrategias de conteo y de relación numérica ..............................................13 Evaluación oral B – Sumas ........................................................................15 Evaluación oral C – Restas.........................................................................19 Evaluación oral C – Multiplicación...............................................................23 Evaluación oral D – Multiplicación...............................................................27 Evaluación oral E – División .......................................................................31 Forma del registro del estudiante del desarrollo para el cálculo de las operaciones aritméticas.............................................................................35 Tabla de estrategias para las operaciones aritméticas ..................................36

Ayudando a los estudiantes a desarrollar la fluidez en las operaciones aritméticas37 Operaciones de suma................................................................................37 Operaciones de resta ................................................................................38 Operaciones de multiplicación....................................................................39 Operaciones de división.............................................................................39 Factores y múltiplos..................................................................................40 Desarrollando las estrategias de cálculo mental ...........................................40

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) v Traducido por Rosy Einspahr

vi Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

Desarrollando la fluidez para el cálculo de operaciones aritméticas ....................42 Objetivos para la fluidez en las operaciones aritméticas de Kinder a 5.o .........43

Evaluación de problemas tipo CGI ..................................................................44 Datos de la evaluación de los problemas tipo CGI........................................49

Evaluando el entendimiento del valor numérico ...............................................51 Componentes del entendimiento del valor numérico ....................................52

Conceptos de las fracciones ...........................................................................55 Ejercicios rápidos ..........................................................................................67

Evaluación temprana sobre la base de diez .................................................68 Evaluación oral del orden numérico de base de diez ....................................69 Evaluación relacionada con los cálculos de base de diez ...............................70 Evaluación oral del conteo salteado............................................................71 Evaluación oral de estimación de base de diez ............................................72 Evaluación de fracciones doblando papel ....................................................73 Evaluación del tamaño y orden de las fracciones .........................................74 Evaluación para la estimación de fracciones ................................................75

CAPÍTULO 5 Organizándose para la instrucción..........................................................................1

Organizándose para la instrucción........................................................................ 3 Organizándose para el año escolar .................................................................. 4 Planeando para la enseñanza diaria ................................................................. 5 Los objetos manipulables para la enseñanza en los grados intermedios .............. 6

Objetos manipulables para números, operaciones y relaciones algebraicas ..... 6 Objetos manipulables para la geometría ...................................................... 7 Objetos manipulables para la medición........................................................ 7 Otros materiales ........................................................................................ 7

La administración de los objetos manipulables.................................................. 8 Organizar los materiales para concentrar la atención en las ideas matemáticas9

Organización que apoya el trabajo individual, en grupos pequeños y grandes en los grados intermedios ..................................................................................10 Asignación de tiempo durante la hora de matemáticas .....................................10 Estructurando la hora de matemáticas ............................................................11

Las ventajas de organizar la hora de matemáticas .......................................12 Trabajo numérico o inspección de ecuaciones .............................................13 Resolución de problemas...........................................................................13 Fluidez y mantenimiento ...........................................................................14

Tres maneras para organizar..........................................................................15

CAPÍTULO 6 Resolución de problemas ..........................................................................................1

El bloque para la resolución de problemas ............................................................ 3 Grandes ideas para la resolución de problemas: contenido ................................ 6 Grandes ideas para la resolución de problemas: proceso ................................... 7 Los problemas matemáticos en el bloque de resolución de problemas ................ 8

Una secuencia típica para una sesión de problemas matemáticos..................10 Números y operaciones en el bloque de resolución de problemas .................11

Tipos de problemas matemáticos ...................................................................13 Tipos de problemas matemáticos CGI.........................................................15 División con residuos ................................................................................17 Problemas de razón y precio......................................................................18 Comparaciones multiplicativas ...................................................................19 Problemas relacionados: Razón, precio y comparación multiplicativa .............21 Problemas simétricos (Problemas de matriz, área y combinación) .................23 Problemas de pasos múltiples ....................................................................26 Problemas fuera de un contexto.................................................................27

Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico...............................28 Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico .................................................................................................................30 Los estudiantes escriben y resuelven sus propios problemas matemáticos ........33 Estimación ..................................................................................................34 Cálculos mentales........................................................................................36 Estrategias de solución.................................................................................37

Más de una estrategia .............................................................................39 Representando soluciones ............................................................................41

Flechas de valor numérico........................................................................42 Bloques de base de diez ..........................................................................43 Recta numérica vacía ..............................................................................44 Lenguaje con flechas...............................................................................46 Modelo de matriz (para la multiplicación) ..................................................48 Modelo de área (para la multiplicación) .....................................................49 Tabla de proporciones .............................................................................50 Ecuaciones .............................................................................................51 Algoritmos..............................................................................................52 Modelo de barras ....................................................................................54

Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones ...................................................................................................55

Tipos de problemas de fracción ................................................................57 Geometría...................................................................................................59

Actividades de geometría con objetos manipulables ...................................60 Geometría en el bloque de resolución de problemas...................................61

Medición.....................................................................................................63 La medición en el bloque de resolución de problemas.................................65

Análisis de datos y probabilidad ....................................................................67 Análisis de datos y probabilidad en el bloque de resolución de problemas ....69

Conversación en el aula ...............................................................................71 Matemáticas y lectoescritura.........................................................................74

Vocabulario matemático...........................................................................76 El problema de enseñar palabras clave......................................................77 Estrategias ineficaces ..............................................................................78 Diarios de matemáticas y la retroalimentación escrita.................................79

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) vii Traducido por Rosy Einspahr

viii Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

CAPÍTULO 7 Trabajo numérico........................................................................................................1

El bloque del trabajo numérico ............................................................................ 3 Grandes ideas para el trabajo numérico: contenido ........................................... 4 Grandes ideas para el trabajo numérico: proceso.............................................. 5 Actividades de enseñanza en el bloque del trabajo numérico ............................. 6

CAPÍTULO 8 Inspección de ecuaciones ..........................................................................................1

El bloque de inspección de ecuaciones ................................................................. 3 Grandes ideas para la inspección de ecuaciones: contenido ............................... 6 Grandes ideas para la inspección de ecuaciones: proceso .................................. 7 Aprendiendo sobre el signo igual ..................................................................... 8

Puntos de referencia para entender el signo igual ....................................... 9 Convenciones para utilizar el signo igual ...................................................11 Evaluando para el entendimiento conceptual .............................................13 Evaluación escrita para la inspección de ecuaciones ...................................15

Actividades de enseñanza en el bloque de inspección de ecuaciones .................16 Dando comienzo con oraciones numéricas de verdadero/falso y oraciones numéricas abiertas ..................................................................................16 Conjuntos de ecuaciones de verdadero/falso y de números abiertos ............18 Ecuaciones con más de una variable .........................................................20 Enseñar el orden de las operaciones .........................................................21 Desarrollando conjeturas .........................................................................23 Conjuntos de ecuaciones para incitar conjeturas ........................................24 Justificación............................................................................................25 Familia de operaciones ............................................................................26

CAPÍTULO 9 Fluidez y mantenimiento............................................................................................1

El bloque de fluidez y mantenimiento ................................................................... 3 Actividades de enseñanza en el bloque de fluidez y mantenimiento .................... 5

CAPÍTULO 10 Intervención..................................................................................................................1

Intervención en la enseñanza .............................................................................. 5 La meta............................................................................................................. 5 Evaluación ......................................................................................................... 6 Pautas del desarrollo .......................................................................................... 6 Instrucciones para administrar las evaluaciones .................................................... 7

Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral) ...................................... 9 Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B .............................15 Prueba A de resolución de problemas ............................................................17 Prueba B de resolución de problemas ............................................................19 Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante ........21 Tarjetas de puntos.......................................................................................23 Tiras de identificación numérica ....................................................................27 Tarjetas de secuencia numérica ....................................................................28

Pautas del desarrollo .........................................................................................33 Proporcionando intervención en la enseñanza ......................................................39

Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas .................................41 Consideraciones para planear las actividades de intervención ................................43 Actividades de intervención para los niveles A1, A2 y B.........................................44 Registro de planeación y progreso ......................................................................47

Apéndice..................................................................................................................................... 1 Páginas de muestra de problemas matemáticos................................................ 3 Cuento de matemáticas. “Una caminata de piedras”.........................................11 Problemas de razón y proporción....................................................................13 Diarios de matemáticas .................................................................................17 ¿Qué observas? (plantilla para retroproyector).................................................19 Tablas numéricas de cien (variaciones) ...........................................................21 Las matemáticas y yo (encuesta del estudiante) ..............................................27 Descriptores de las HABILIDADES (para la competencia en el idioma inglés) .....29 Glosario de matemáticas................................................................................31 Etiquetas para guardar materiales ..................................................................33

Recursos profesionales .......................................................................................................1

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o–5.o) ix Traducido por Rosy Einspahr

x Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º -5.º) Traducido por Rosy Einspahr

El aprendizaje

de las

matemáticas

en los grados

intermedios

CAPÍTULO 1

(3.º-5.º)

Capítulo 1 Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio

El aprendizaje de las matemáticas a nivel intermedio se basa en los conceptos

enseñados al comienzo de Kinder, tales como el conocimiento numérico básico,

geometría, medición e información.

Durante los grados intermedios, los estudiantes amplían su conocimiento de los

números incluyendo las cuatro operaciones aritméticas. Ellos fundan su

conocimiento del sistema de base de diez y lo utilizan para resolver problemas

más complejos mientras que a su vez aprenden a calcular con precisión,

flexibilidad y eficacia. Hacen conexiones entre números enteros, fracciones,

decimales y comienzan a desarrollar un razonamiento proporcional. Aumentan su

destreza en el uso de una variedad de representaciones para demostrar su

razonamiento y utilizan el sentido numérico cuando justifican sus estrategias de

solución entre ellos dentro de grupos pequeños y en la clase entera.

Los estudiantes de nivel intermedio se basan en su intuición numérica para hacer

conjeturas sobre las propiedades numéricas. Ellos utilizan conexiones entre los

conceptos numéricos y la geometría para demostrar cómo funcionan las

propiedades numéricas. Ellos pulen sus ideas de la geometría a medida que van

trabajando con objetos manipulables para clasificar las figuras según sus

atributos geométricos, perciben figuras desde perspectivas diferentes y aprenden

a transformar figuras mentalmente a través del espacio.

Durante los grados intermedios, los estudiantes incrementan su facilidad con la

medición y los conceptos numéricos mientras hacen estimaciones, eligen las

herramientas y las unidades de medición apropiadas, convierten medidas y

desarrollan fórmulas de medición.

Los estudiantes de los grados intermedios utilizan sus experiencias en la

recolección de información de los grados iniciales para hacer predicciones,

basándose en la información en tablas y gráficas y para identificar las

características importantes en la información tales como el rango, la media, la

mediana y el modo.

A medida que los estudiantes en los grados intermedios profundizan su

conocimiento matemático en todas las áreas de las matemáticas, se sienten con

más confianza y se hacen unos expertos en sus habilidades para resolver una

variedad de problemas más amplia con contextos tanto desconocidos como

conocidos.

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 1 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr

En el nivel intermedio, los estudiantes:

exploran y resuelven una amplia variedad de problemas numéricos, geométricos, de medición e información

desarrollan flexibilidad, precisión y eficacia al trabajar con los números

utilizan notaciones matemáticas inventadas y convencionales

utilizan un vocabulario matemático

explican sus soluciones


En el nivel intermedio, el plan de estudios de las matemáticas:

se enfoca en la resolución de problemas y en las conexiones entre los números, el álgebra, la geometría, la medición, la información y la probabilidad.

provee problemas que permiten a los estudiantes desarrollar nuevas apreciaciones, métodos y destrezas.

exhorta el uso de modelos y representaciones simbólicas para la solución de problemas.

alberga un razonamiento matemático al fomentar explicaciones y demostraciones de las estrategias de solución.

“Los estudiantes que son competentes matemáticamente,

tienen la destreza necesaria para llevar a cabo

procedimientos de una manera flexible, precisa, eficaz y

apropiada.”

Agregado, 2001


En el nivel intermedio, los maestros de matemáticas:

consideran la diversidad en el origen de cada estudiante al elegir o diseñar los problemas

Los problemas matemáticos deben:

• tener situaciones o contextos familiares

• tener un lenguaje accesible

• cimentar nuevos conocimientos y habilidades

brindan suficientes oportunidades para que cada estudiante aprenda conceptos nuevos y forjen su dominio en el razonamiento matemático y de cálculo

evalúan el progreso individual con regularidad y redirigen la enseñanza según sea el caso

diseñan, seleccionan o ajustan y suplementan materiales de libros de texto dentro de una secuencia coherente para cubrir los estándares del distrito

brindan un mínimo de sesenta minutos de enseñanza en las matemáticas todos los días.


En el nivel intermedio, los maestros apoyan una comunidad de aprendizaje saludable.

Los maestros:

brindan estructuras en el salón de clases y un plan de estudios que invita a todos los estudiantes a contribuir en el aprendizaje.

La equidad y la accesibilidad requieren de

una enseñanza que asegure el éxito de cada

estudiante.

diferencian la enseñanza para que todos los estudiantes tengan la oportunidad de participar en el aprendizaje, mediante la enseñanza individual, en grupos pequeños o en la clase entera

desarrollan normas en el salón de clases que tratan las ideas de cada estudiante como oportunidades para enseñar y aprender

reconocen y se basan en las experiencias, destrezas y conocimientos que cada uno de los niños aporta a la comunidad

brindan muchas oportunidades para que los estudiantes:

• hagan preguntas

• desarrollen estrategias y explicaciones matemáticas

• compartan ideas

• escuchen, valoren e interpreten el razonamiento de sus compañeros

En este salón de clases, los errores se

aceptan, se respetan y se inspeccionan

como parte natural del aprendizaje

A. Andrews, 2004


En el nivel intermedio, los estudiantes:

comunican su razonamiento para:

• hacer sus pensamientos más explícitos

• hacer las estrategias de solución más explícitas

• brindar un registro de su progreso

aprenden a comunicar su razonamiento matemático:

• verbalmente mediante muchas oportunidades para practicar

• utilizando materiales físicos (por ejemplo, bloques de base de diez, sólidos geométricos)

• utilizando símbolos matemáticos y lenguaje a su nivel de grado (por ejemplo, una recta numérica vacía, lenguaje de flechas, tabla de proporción, ecuaciones)

deciden que materiales, modelos o símbolos transmiten mejor sus pensamientos y métodos

aprenden que los materiales físicos pueden transmitir diferentes significados cuando se utilizan en situaciones diferentes (por ejemplo, un bloque “plano” de base de diez podría tener un “valor” de 100 cuando se trabaja con números enteros o “1” cuando se trabaja con decimales)


En el nivel intermedio, la enseñanza se cerciora de que cada estudiante:

tenga la oportunidad de alcanzar el nivel “Competente” tal y como se define en los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del Distrito Escolar Metropolitano de Madison

desarrolle la aptitud académica necesaria para afrontar la vida diaria y seguir estudiando y utilizar las matemáticas en la preparatoria y más allá.

El dominio matemático incluye:

• entendimiento conceptual—la comprensión de los conceptos matemáticos, operaciones y relaciones.

• fluidez procesal —la destreza para poder llevar a cabo los procedimientos de manera flexible, precisa, eficaz y apropiada

• competencia estratégica—la habilidad de formular, representar y resolver problemas matemáticos

• razonamiento adaptativo—la capacidad para pensar lógicamente, reflexión, explicación y justificación

• disposición productiva—la inclinación habitual para ver a las matemáticas como importantes, útiles y que valen la pena, aunada a una creencia en la diligencia y la eficacia propia.

Las áreas del dominio matemático Agregado, 1999

Razonamiento adaptativo

Competencia estratégica

Disposición productiva

Entendimiento conceptual

Fluidez procesal



Para más información:

Fuson, K. C., Kalchman, M., & Bransford, J. D. (2005). Mathematical understanding: An introduction. In Donovan, M. S., & Bransford, J. D. (Eds.). How Students Learn: Mathematics In the Classroom. (pp. 215-256). Washington, DC: The National Academies Press. Hiebert, J. et al. (1997). Making sense: Teaching and learning math with understanding. Portsmouth N.H: Heinemann. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (Eds.). (2001). Adding it up. Washington, DC: National Academy Press. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (Eds.). (2002). Helping students learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Malloy, C. E. (2004). Equity in mathematics education is about access. In Rubenstein, R. N. & Bright, G. W. (Eds.). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook. (pp. 1-14). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Smith, Margaret (2004). Beyond presenting good problems: How a japanese teacher implements a mathematics task. In Rubenstein, R. N., & Bright, G. W. (Eds.). (pp. 98-106). Perspectives on the Teaching of Mathematics Sixty-sixth Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stigler, J.W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York, NY: The Free Press.

Piensa matemáticamente

Resuelve problemas

Representa

Comunica

Razona

Haz conexiones

CAPÍTULO 2

El contenido

y los

procesos

matemáticos

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Traducido por Rosy Einspahr


EL CONTENIDO MATEMÁTICO

Todas las áreas

de contenido

incluyen

conceptos

numéricos.

Los estándares matemáticos de Kinder a 5.o grado en el Distrito Escolar

Metropolitano de Madison organizan los conceptos matemáticos y el

conocimiento en cuatro áreas de contenido: números, operaciones y relaciones

algebraicas; geometría; medición y analisis de información y probabilidad.

Muchos aspectos de las experiencias matemáticas, sin importar el área de

contenido, están basados en el uso de conceptos numéricos. Durante los grados

intermedios los estudiantes:

resuelven problemas que involucran números, geometría, medición, análisis de información y probabilidad.

resuelven problemas de pasos múltiples incluyendo el porcentaje, el precio y las comparaciones multiplicativas.

trabajan con números grandes y decimales para entender el sistema de base de diez.

resuelven una variedad de problemas que involucran fracciones incluyendo la división (de repartición / partitiva), proporción, equivalencia y operaciones.

incrementan el uso del vocabulario matemático y del lenguaje simbólico para transmitir un razonamiento matemático.

desarrollan fuidez para hacer cálculos y estimaciones.

trabajan con ecuaciones para aprender que el signo igual indica una relación en vez de un signo para calcular.

hacen conjeturas sobre las propiedades básicas de los números que surgen de discusiones de Verdadero/Falso de oraciones numéricas abiertas.

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Capítulo 2 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr

LOS PROCESOS MATEMÁTICOS

“Los estudiantes se vuelven más competentes cuando entienden los conceptos

fundamentales en las matemáticas y entienden los conceptos con más facilidad si

tienen la destreza en los procedimientos de cálculo.” (Ayudando a los

estudiantes a aprender las matemáticas, p. 12).

EL RAZONAR MATEMÁTICAMENTE CONLLEVA A

Resolver problemas

Representar problemas y soluciones

Comunicarse

Razonar y comprobar

Hacer conexiones

Los estudiantes competentes en

las matemáticas tienen una

“disposición productiva —una

inclinación habitual para ver a

las matemáticas como algo

importante, útil y que vale la

pena…” Agregado, 2001

El conocimiento matemático no se puede limitar a procedimientos. Los

estudiantes de hoy deben saber como utilizar su conocimiento y destrezas de

manera flexible y eficaz. Ellos deben aprender a participar con disponibilidad

para resolver problemas ya sea que el contexto sea conocido o desconocido y

aprender a construir modelos que representen su interpretación de un problema.

Deben aprender a comunicar su razonamiento e ideas matemáticas claramente.

Necesitan utilizar un razonamiento matemático para resolver problemas y

convencer a los demás de que sus soluciones tienen sentido. Necesitan hacer

conexiones dentro y más allá de las áreas de contenido.

¡Los estudiantes de hoy necesitan desarrollar destrezas para el uso de todos los

cinco procesos para poder razonar matemáticamente!


Los cinco procesos matemáticos son:

• Resolver problemas – desarrollar y adaptar estrategias para resolver problemas que surgen en las matemáticas y en otros contextos.

• Representación – usar representaciones (por ejemplo: objetos, dibujos, palabras y símbolos) para organizar el pensamiento de uno mismo y registrar los pasos que se toman para resolver un problema.

• Comunicación – utilizar el lenguaje matemático para expresar y explicar las ideas matemáticas.

• Razonar y comprobar – desarrollar, probar, representar y justificar conjeturas sobre las relaciones matemáticas.

• Conexiones – ver las conexiones entre las ideas dentro de las matemáticas y entre las matemáticas y las experiencias diarias.

Los estudiantes necesitan más destreza y más entendimiento;

junto con la habilidad para aplicar los conceptos, resolver

problemas, razonar lógicamente y ver las matemáticas como algo

importante, útil y factible.

Cualquier cosa menos, conduce a un conocimiento que es frágil,

desconectado y débil.

Agregado, 2001

Los estándares matemáticos de Kinder a 5.o grado del Distrito Escolar Metropolitano de Madison tienen expectativas en el contenido y proceso específicas al nivel de grado.




Barnberger, H. & Oberdorf, C. (2007). Introduction to Connections, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Ennis B. & Witeck, K.S. (2007). Introduction to Representation, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Kilpatrick, J., Martin, G. W., & Schifter, D. (Eds.). (2003). A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Madison Metropolitan School District. (2004). MMSD mathematics grade level K-5 standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://www.madison.k12.wi.us/tnl/standards/math/ National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: An on-line version retrieved March 16, 2006 from http://standards.nctm.org/ National Research Council. (2001). Helping children learn mathematics. Kilpatrick, J., Swafford, J., Findell, B. eds. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division for Behavioral and Social Sciences and Education, Washington DC: National Academy Press. O’Connell, S. (2007). Introduction to Communication, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann O’Connell, S. (2007). Introduction to Problem Solving, Second Edition, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Schultz-Ferrell, K. Hammond, B. & Robles, J. (2007). Introduction to Reasoning and Proof, Grades 3-5. Portsmouth, NH: Heinemann Sowder, J., & Schapelle, B. (Eds.). (2002). Lessons learned from research. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Wisconsin Department of Public Instruction. Wisconsin model academic standards. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://dpi.wi.gov/standards/matintro.html Wisconsin Department of Public Instruction. (2005). Wisconsin knowledge and concepts examination assessment framework. Madison, WI: Retrieved March 16, 2006 from http://www.dpi.state.wi.us/oea/doc/wkce_math_framework05.doc

http://standards.nctm.org/

http://dpi.wi.gov/standards/matintro.html

http://www.dpi.state.wi.us/oea/doc/wkce_math_framework05.doc

Enseñar

Planificar

Evaluar

Examinar

CAPÍTULO 3

El ciclo de la

enseñanza y

del aprendizajey el

papel del

maestro

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Traducido por Rosy Einspahr


El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje

“La clave para enseñar a los estudiantes es lograr descifrar qué y cómo es que

ellos están pensando mientras se está llevando a cabo la enseñanza y el

aprendizaje. La enseñanza y el aprendizaje se llevan a cabo en un contexto

social como un proceso dinámico y no premeditado. El trabajo de Lev Vygotsky

está basado en esta idea. La premisa básica de su teoría es que, si queremos

estudiar de qué manera aprenden los estudiantes, para examinar el potencial

que tienen para aprender y para mejorar la enseñanza, debemos analizar su

desempeño y su razonamiento mientras participan en actividades de aprendizaje.

Esto es lo que hacen diariamente los maestros que son eficaces.”

Vygotsky in the Classroom Dixon-Krauss

La evaluación brinda una entrada al ciclo de enseñanza y aprendizaje. Tanto las

evaluaciones formales como las informales al comienzo del año son esenciales

para establecer el punto de partida desde el cual el maestro comienza a instruir.

La observación y evaluación diaria y constante continúa a lo largo del año escolar

para identificar los puntos fuertes y las necesidades y establecen cómo ha

cambiado el conocimiento de cada estudiante. Una de las aptitudes más

importantes que tiene el maestro es observar hábilmente a sus estudiantes.

El evaluar el conocimiento de cada estudiante proporciona evidencia para la

efectividad de la instrucción y provee información para la planeación. Basado en

un planeamiento minucioso, se da una instrucción diferenciada para promover el

aprendizaje de cada estudiante. Éste ciclo continúa a medida que el maestro

reevalúa el aprendizaje, evalúa los resultados de los exámenes, reflexiona en las

lecciones enseñadas, planifica y enseña nuevas lecciones.

El diagrama del ciclo de enseñanza y aprendizaje que se presenta a continuación

ilustra la naturaleza recurrente de examinar, evaluar, planificar y enseñar


Examinar

El ciclo de la enseñanza y del aprendizaje para la instrucción

matemática

Observar y examinar diariamente

• ¿Qué es lo que saben mis estudiantes sobre los conceptos matemáticos y los procedimientos?

• ¿Qué me indican las estrategias de solución de mis estudiantes sobre su razonamiento matemático?

Evaluar

Enseñar Identificar los puntos fuertes y las

necesidades

• ¿Acaso mi enseñanza abordó eficazmente los puntos fuertes y necesidades de cada estudiante?

• ¿De qué manera cambió el razonamiento matemático del estudiante?

• ¿Qué es lo que este estudiante entiende ahora comparado con: conocimientos previos, otros estudiantes en mi clase y los estándares del MMSD?

Planear

Proporcionar una instrucción diferenciada

• ¿Qué conocimiento comunica el estudiante?

• ¿Qué podría ayudar a este grupo de estudiantes a hacer sentido de un concepto o anotar su razonamiento?

• ¿He provisto para el rango de estudiantes en mi clase?

Diseñar lecciones para satisfacer las necesidades

• ¿Cuál es el próximo paso más probable para este estudiante?

• ¿Qué tareas (discusión, problemas o práctica) abordan las necesidades de este estudiante?

• ¿Qué configuración de enseñanza (clase entera, grupos pequeños o individual) le servirá mejor al estudiante?

Basadp en Teaching and Learning Cycle escrito por Esser, D., Gleason, C., Kolan, T., Lucas, P. & Rohde, J. (2005). Primary Literacy Notebook. Madison, WI: Distrito Escolar Metropolitano de Madison.


El papel del maestro ¿Cuál es el papel del maestro durante las actividades de resolución de problemas?

La mayoría de la enseñanza matemática se enfoca en la resolución de problemas. Durante las actividades de resolución de problemas el papel del maestro incluye “escuchar”, “razonar matemáticamente”, “observar” “presentar problemas” e “interrogar”

El maestro comienza proporcionando un problema o grupo de problemas y observa el esfuerzo del estudiante para resolverlos. El maestro apoya y guía el crecimiento matemático de cada estudiante al hacerles preguntas sobre su razonamiento y animándolos a que reflexionen en vez de dar un ejemplo, pensar por el estudiante o demostrar métodos para resolver el problema.

Durante la resolución de problemas, el maestro:

presenta un problema o grupo de problemas para que los estudiantes los resuelvan.

espera que los estudiantes resuelvan los problemas de una manera que tenga sentido para ellos y expliquen su razonamiento.

observa como cada estudiante procede para encontrar las soluciones en vez de “pensar por el estudiante” o demostrar cómo resolver un problema.

asiste a los estudiantes para desarrollar representaciones que concuerden con sus estrategias y para demostrar cada paso de su proceso cuando sea apropiado.

ayuda a los estudiantes a aclarar las explicaciones e identificar las conexiones entre las ideas matemáticas.

hace que los estudiantes participen en la comparación y el contraste de soluciones para ayudar a expandir y extender su conocimiento y desarrollar fluidez (estrategias flexibles, precisas y eficaces.)

les pide a los estudiantes que reflexionen sobre los conceptos matemáticos importantes y sobre el conocimiento que han aprendido durante la experiencia en la resolución de problemas.

demuestra confianza en la habilidad e iniciativa de cada estudiante.

examina el progreso de cada estudiante en comparación a otros estudiantes en el salón de clases y a los estándares del MMSD.

diseña o elige el siguiente grupo de problemas para ayudar a los estudiantes a incrementar el conocimiento de ciertos conceptos matemáticos y avanzar hacia estrategias más avanzadas.


¿Qué tiende a suceder si un maestro demuestra lo que él piensa antes de que sus estudiantes tengan la oportunidad de trabajar en solucionar el problema?

Regularmente cuando un maestro comienza pensando en voz alta o modelando

las estrategias de solución, los estudiantes:

• se preguntan si el maestro tiene una expectativa preconcebida de los pasos o procedimientos que deben usar para resolver un problema dado.

• se enfocan en tratar de recordar los procedimientos y la información en vez de utilizar el conocimiento y los conceptos matemáticos que saben en maneras flexibles.

• esperan que el maestro impulse o guíe su pensamiento y reconozca la precisión de sus soluciones.

• pierden la confianza en sus propias habilidades.

• participan menos en las discusiones matemáticas y pierden la oportunidad de aprender.

¿Es apropiado enseñar una idea matemática de manera explícita en algún momento?

De vez en cuando en la enseñanza matemática, los estudiantes necesitan

aprender los convencionalismos matemáticos tales como:

• cómo escribir 1/3

• qué número está 5 números antes del 10,000

• qué símbolos representan la multiplicación o la división

• cómo utilizar una recta numérica vacía, lenguaje con flechas o una tabla de proporciones.

Al enseñar los convencionalismos matemáticos, el maestro utiliza las mismas

estrategias de enseñanza que son utilizadas cuando se introducen nuevos

conceptos o procesos de lectoescritura. Por ejemplo, el maestro modela y piensa

en voz alta sobre los atributos de un símbolo o el proceso para generar una

representación convencional. Gradualmente, el maestro les da más

responsabilidad a los estudiantes y espera que sean más independientes en el

uso de estos convencionalismos matemáticos. Tal vez el maestro quiera

averiguar que es lo que piensan los estudiantes sobre el significado de un

símbolo en particular o por qué y cuándo se puede utilizar antes de tener la

expectativa del uso apropiado.


¿Qué consideran los maestros al seleccionar los problemas?

Los maestros utilizan su conocimiento de las matemáticas y el razonamiento

matemático de cada estudiante al seleccionar los problemas. Los problemas

deben invitar a la participación y ser concientes del conocimiento previo, el

lenguaje, la cultura y los intereses de cada estudiante. Los maestros seleccionan

los problemas que ofrecen de manera más efectiva el aprendizaje de conceptos y

habilidades matemáticas específicas.

Para profundizar su propio conocimiento matemático, los

maestros deberían preguntarse con frecuencia a sí mismos:

“¿Por qué es que esto funciona?”

Al seleccionar los problemas que se van a presentar, los maestros consideran en

cada estudiante, lo siguiente:

El conocimiento y destrezas relacionadas a un tema específico en matemáticas.

Las estrategias y razonamiento.

El uso de modelos y representación simbólica.

La habilidad del lenguaje.

Los maestros de matemáticas de nivel intermedio, proporcionan una serie de

experiencias en la resolución de problemas para fomentar el crecimiento en

todas las áreas matemáticas, enfocándose en las metas descritas en los

estándares del Distrito Escolar Metropolitano de Madison en los niveles de Kinder

a 5.o grado.




Chappell, M.F., Schielack, J. F., & Zagorski, S. (2004). Empowering the beginning teacher of mathematics: Elementary school. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Dixon-Krauss, Lisbeth. (1996). Vygotsky in the classroom: Mediated literacy instruction and assessment. Boston, MA: Allyn and Bacon. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K.C., Wearne, D. & Hanlie, M. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics Chapter 5. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

CAPÍTULO 4

Observaciones del maestro

Muestras de trabajo

Evaluación

Inventarios informales

Evaluaciones orales de operaciones aritméticas

Evaluaciones orales para la resolución de

problemas

Evaluaciones matemáticas en los grados intermedios

(3.o-5.o)

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º-5.º) Traducido por Rosy Einspahr


EVALUACIÓN

La evaluación puede servir para muchos propósitos, que van desde la evaluación de un programa

(Por ejemplo: WKCE_CRT) hasta conocer el nivel de competencia de un estudiante en particular

(por ejemplo: la fluidez para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas) Los maestros

utilizan las evaluaciones para determinar las metas de enseñanza y reportarles el progreso a sus

colegas y a los padres de los estudiantes.

Todas las evaluaciones están establecidas de acuerdo a un horario, lugar y forma. Un estudiante

puede demostrar competencia dentro de un entorno (por ejemplo: al entrevistarse con el maestro)

y no en otro (por ejemplo: en una discusión con toda la clase). Por esta razón, es importante

utilizar múltiples formas de evaluación para informar a la enseñanza y al reportar el progreso del

estudiante. Al utilizar múltiples formas se obtiene una imagen más precisa de su capacidad.

Existen muchas maneras en las que los maestros recolectan información sobre el progreso de cada

estudiante para alcanzar el nivel matemático competente. La información de la evaluación incluye

observaciones diarias, muestras del trabajo del estudiante, inventarios, listas de lluvia de ideas,

exámenes previos y posteriores formales e informales, entrevistas o exámenes orales y tareas con

lápiz y papel.

El responder a las observaciones diarias es esencial para una buena enseñanza matemática. A

medida que los maestros van dándose cuenta de lo que los estudiantes saben y pueden hacer, y de

qué manera interactúan con los maestros y compañeros, el maestro toma las decisiones con

respecto a la enseñanza que fomente el conocimiento matemático de cada estudiante. Dichas

decisiones hacen que las matemáticas sean accesibles para todos los estudiantes y le permite a un

conjunto de alumnos desarrollar su conocimiento y entendimiento.

Las evaluaciones incluidas en este capítulo le proporcionan al maestro la información sobre lo que

los estudiantes saben y pueden hacer. Se pretende que las evaluaciones, en conjunto con otros

datos de evaluación elegidos por el maestro, informen a la enseñanza. Es imprescindible

determinar el propósito de la evaluación antes de decidir cuales métodos de evaluación y qué

información se debe recolectar.

La siguiente tabla ofrece ejemplos de propósitos y maneras para evaluar el aprendizaje del

estudiante. La carpeta de MMSD titulada “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales

(K-2)” ofrece evaluaciones adicionales para los estudiantes que puedan necesitar desarrollar un

trabajo más competente en los conceptos de los grados iniciales antes de avanzar a los conceptos

a nivel intermedio.


Propósitos y maneras para recolectar información para la evaluación

Con el propósito de: El maestro recolecta información de:

Tener la información más vigente para la planeación y enseñanza específica de día con día.

Observaciones diarias en cualquiera de las siguientes áreas:

−− estrategias individuales del estudiante incluyendo la manera en la que los estudiantes representan y explican sus estrategias de solución

−− respuestas individuales del estudiante a preguntas acerca de sus soluciones

−− números utilizados en los problemas

Demostrar crecimiento a través del tiempo

Muestras del trabajo del estudiante.

Recolectar información acerca del conocimiento previo y de las habilidades sobre un tema específico

Inventarios, listas de lluvia de ideas del estudiante y exámenes previos formales e informales.

Mantener un registro del crecimiento como resultado de una instrucción diferenciada para un tema específico

Inventarios, listas de lluvia de ideas del estudiante y exámenes posteriores informales.

Aclarar el sentido numérico y las estrategias de razonamiento

Las evaluaciones orales de operaciones aritméticas que se encuentran en este capítulo. Estas evaluaciones orales ya completadas también se utilizan para registrar el progreso del estudiante a través del tiempo. Cada año, los maestros le pasan dichas evaluaciones ya completadas al siguiente maestro.

Determinar la capacidad para resolver problemas matemáticos

La evaluación de problemas matemáticos tipo CGI (Instrucción Cognitiva Guiada) y los ejercicios relacionados que se encuentran en este capítulo.

Determinar el conocimiento de los conceptos de base de diez

Los componentes del entendimiento del valor numérico que se encuentran en este capítulo.

Las evaluaciones de las actividades rápidas que se encuentran en este capítulo.

Determinar el conocimiento sobre los conceptos de las fracciones

La evaluación sobre los conceptos de las fracciones que se encuentran en este capítulo.

Las evaluaciones de los ejercicios rápidos que se encuentran en este capítulo.

Determinar el conocimiento y el uso de relaciones equitativas.

El uso de actividades sobre la inspección de ecuaciones, capítulo 8.

Vea la tabla 8.1 Puntos de referencia para entender el signo igual.


Evaluaciones orales de operaciones aritméticas

1. Evaluación oral de suma A Sumas del 0 al 9 y hasta el diez (Estándar matemático del MMSD del primer grado) Disponible en “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2)”

2. Evaluación oral de suma B Sumas hasta el 20 (Estándar matemático del MMSD del segundo grado)

3. Evaluación oral de resta C Diferencias, menos que, igual que y mayor que 3 (Estándar matemático del MMSD del tercer grado)

4. Evaluación oral de multiplicación C 2, 5, 4, y 3 como multiplicador o multiplicando

(Estándar matemático del MMSD del tercer grado)

5. Evaluación oral de multiplicación D Todas las operaciones de multiplicación (Estándar matemático del MMSD del cuarto grado)

6. Evaluación oral de división E Todas las operaciones de división (Estándar matemático del MMSD del quinto grado)

Dentro de cada evaluación oral o entrevista, los cálculos individuales (operaciones

aritméticas) están organizados de acuerdo al nivel de desarrollo de aquellos que requieren

la mínima cantidad de sentido numérico para hacer el cálculo mental a aquellos que

requieren la mayor flexibilidad al trabajar con relaciones numéricas mentalmente.

Se han incluido cinco evaluaciones orales en “El aprendizaje de las matemáticas en los

grados intermedios (3.o-5.o)”. Los maestros de los grados intermedios usarán algunas o

todas las evaluaciones orales dependiendo de lo que se necesite aprender sobre los

estudiantes de manera individual. Todas las seis evaluaciones orales se encuentran

disponibles en la página de Internet del distrito escolar.

Los maestros de primer grado utilizan la evaluación oral de suma A para registrar las

primeras etapas del desarrollo de las operaciones aritméticas. La evaluación oral de

suma B está incluida en este capítulo para aquellos estudiantes que necesiten desarrollar

las estrategias de relación numérica. Este desarrollo comienza en el Kinder cuando los

estudiantes muy a menudo cuentan todo, algunas veces usando sus dedos para demostrar

y contar cada conjunto, para hacer cálculos de un solo dígito. En el primer grado, ellos

desarrollan estrategias de conteo progresivo.


Ya en el segundo grado, la mayoría de los estudiantes utilizan estrategias que están

basadas en relaciones numéricas. Sin embargo, siempre habrá algunos estudiantes de los

grados intermedios que estarán trabajando en relaciones numéricas del 0 al 20,

especialmente en las operaciones aritméticas con números que van “después del 10”.

Los maestros que quieren monitorear el desarrollo de un estudiante con respecto al sentido

numérico y las estrategias que usan para calcular operaciones de resta de un solo dígito,

deben utilizar la evaluación oral de resta C. Los estudiantes tendrán más éxito con la

resta cuando tengan un conocimiento sólido de las relaciones numéricas de parte-todo

(para la suma) y entiendan que la resta puede significar tanto “la diferencia” entre dos

números como “quitar” una cantidad de otra.

Ya en el tercer grado, los estudiantes empiezan a desarrollar un entendimiento

multiplicativo numérico. Utilizan las relaciones numéricas para multiplicar en vez de sumar

repetidamente cierto número o contar salteado. Los maestros utilizan la evaluación oral

de multiplicación C y la evaluación oral de multiplicación D para identificar la

facilidad que tiene un estudiante para trabajar con grupos del mismo número.

Cuando los estudiantes entiendan la relación inversa entre la multiplicación y la división

utilice la evaluación oral de división E para evaluar las estrategias que utiliza un

estudiante para las operaciones de división básica.


Los propósitos de las evaluaciones orales de operaciones aritméticas incluyen:

aclarar el sentido de las relaciones numéricas del estudiante y las estrategias de razonamiento que utiliza para hacer los cálculos de un solo dígito.

identificar los tamaños de las cantidades numéricas que un estudiante puede calcular mentalmente (el nivel de cálculo mental de un estudiante)

identificar los tamaños de las cantidades numéricas que deben utilizar en las actividades del trabajo numérico, la resolución de problemas y la inspección de ecuaciones

identificar que operaciones utilizar para la práctica independiente de la fluidez y mantenimiento de un estudiante.

comunicar el progreso de un estudiante a sus padres y a sus futuros maestros.

registrar el progreso de un estudiante a través del tiempo (Las escuelas mantienen las evaluaciones orales de operaciones aritméticas en la carpeta azul del PLAA.)

Materiales para las evaluaciones orales de operaciones aritméticas:

una copia de la evaluación oral del estudiante (sin códigos al pie de la página)

una copia de la evaluación oral del maestro (con códigos al pie de la página)

un lápiz para el maestro, ningún lápiz para el estudiante

¡no utilizar objetos de conteo! (Esta evaluación oral determina el nivel de cálculo mental de un estudiante)


Llevar a cabo la evaluación oral

El maestro comienza con una evaluación oral que está al nivel independiente del estudiante

y continúa hasta que el estudiante utiliza de manera constante el conteo de uno por uno o

una suma repetitiva o la estrategia de conteo salteado. (Esto es semejante a un registro

continuo de lectura hasta alcanzar un nivel que desafíe al estudiante en la identificación de

palabras y estrategias de comprensión.)

Busque un lugar donde usted y el estudiante puedan sentarse uno al lado del otro.

Nota: Ponga una copia de la evaluación oral en frente del estudiante y otra en frente de usted.

Para las sumas del 0 al 9,

un estudiante podría contar con sus dedos por

simple hábito. Verifique algunas

Diga: “Mantén tus manos sobre la mesa, por favor. Así puedo aprender sobre tu razonamiento matemático al ver como y cuando utilizas tus dedos para ayudarte.” sumas que son

mayores que 20 Diga: “Observa cada ecuación. Lo único que tienes que decir en voz alta es el número que va en cada línea.”

para ver si el estudiante puede usar una estrategia de

conteo progresivo. Diga: “Comienza aquí,” (Señale la ecuación que está en la parte superior izquierda de la columna) “y después avanza hacia abajo en la columna.”

No lea la ecuación en voz alta. Si el estudiante lee la ecuación en voz alta, recuérdele que lo único que debe decir en voz alta es el número que va en la línea. ¡El leer la ecuación completa puede resultar bastante cansado para el estudiante!

Escriba sobre la línea de cada ecuación el número que diga el estudiante.

Utilice el sistema de codificación (vea las guías de codificación para cada evaluación oral) para indicar las estrategias del estudiante.

Continúe la evaluación oral siempre y cuando el estudiante utilice las estrategias de relación numérica de manera consistente y que de la misma manera responda en el lapso de 3 a 4 segundos. De vez en cuando, deténgase en ciertas operaciones y pregúntele al estudiante de qué manera está razonando numéricamente para ser capaz de calcular tan rápido. Anote la estrategia utilizando un código (vea las guías de codificación)

Nota: Los maestros aprenden

las estrategias de relación

numérica de los

estudiantes al pedirles

que expliquen su

razonamiento sobre

ciertas operaciones

seleccionadas. Vea las

guías de codificación

para sugerencias.

Detenga la evaluación oral cuando vea que el estudiante utiliza estrategias de conteo consistentemente (las cuatro operaciones) o bien, una estrategia de suma repetitiva (para la multiplicación).

Si a un estudiante le toma más de 3 a 4 segundos para pensar, observe detenidamente al estudiante. Si usted puede determinar que el estudiante está utilizando una estrategia de conteo (vocalizando los números, asintiendo con la cabeza, golpeteando ligeramente el piso con un pie, moviendo los dedos muy sutilmente), entonces, codifíquelo como una estrategia de conteo.

Termine la evaluación oral diciendo, “Gracias por compartir tu razonamiento matemático conmigo.”

Sume el total de las operaciones que no tengan código, así como aquellas que indiquen una estrategia que no sea de conteo. Escriba el total y la fecha en la línea que está en la esquina inferior derecha.

Complete la lista de la clase para ayudar con la planeación para la enseñanza y con el registro del crecimiento a través del tiempo.


Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de conteo.

Utilice los siguientes códigos para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:

1. la estrategia de conteo del estudiante 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución no es correcta

Conforme vaya escuchando las respuestas del estudiante, utilice los siguientes códigos para marcar cada ecuación.

Estrategias de conteo (Todas las operaciones de suma)

Código Ejemplo El estudiante

ce ce

4 + 5 = 9

cuenta todo

El estudiante utiliza sus dedos para cada sumando y cuenta el total.

sb sb

4 + 5 = 9

muestra ambos conjuntos

El estudiante utiliza sus dedos en grupo para cada sumando y no cuenta el total.

f f

4 + 5 = 9

dedos

El estudiante cuenta progresivamente a partir del número que tiene la letra f escrita arriba y utiliza sus dedos para llevar la cuenta.

c

c 4 + 5 = 9

cuenta

El estudiante cuenta progresivamente a partir del número con la letra c arriba, tal vez dando golpecitos, asintiendo con la cabeza o vocalizando el conteo.

• 5 + 4 = 9• El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta.

4 + 5 = 8

La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)


Evaluación oral B (Todas las operaciones de suma) – Codificación para las estrategias de relación numérica

Los maestros quieren saber qué estrategias de relación numérica utiliza el estudiante. Si no puede ver

ninguna evidencia de que el estudiante esté usando alguna estrategia de conteo, debe preguntarle al

estudiante que le explique su razonamiento matemático. Seleccione una operación cercana a los dobles

(por ejemplo: 6+5) una suma con el número 9 (por ejemplo: 7+9), o una suma para forma un 10 (por

ejemplo: 8+6). Dígale al estudiante: “Dime como estás pensando en los números para resolver este

problema”, señalando una ecuación específica. Si el estudiante comparte una estrategia de conteo,

anótela de acuerdo a los códigos de la página anterior. Si el estudiante comparte una estrategia de

relación numérica, como descomponiendo los sumandos, compensando o utilizando una suma que ya

conoce, escriba los símbolos que muestren el razonamiento del estudiante arriba de la ecuación.

En seguida se muestran tres ejemplos:

Estrategias de relación numérica (Todas las operaciones de suma)

Ejemplo El estudiante

6+6+2 6 + 8 = 14

utiliza una operación de dobles (6+6+2)

8+2+4 6 + 8 = 14

descompone un sumando (8+2+4)

10 + 6 - 2 6 + 8 = 14 cambia un sumando y luego resta para compensar el cambio

Definiciones:

Sumando—cualquier número que se suma con otro u otros

Suma—el total o la cantidad total, el resultado de la suma o adición

Estrategia de compensación—cambia los números en la ecuación, calcula y luego ajusta la solución para corregir el cambio que se hizo al principio. Por ejemplo: se da 7+9, el estudiante comparte “7+10 es 17. Tengo que quitarle 1 al 17 porque le agregué 1 al 9.”

Descomponiendo un sumando - utiliza otro nombre para la cantidad para hacer el cálculo más fácilmente. Por ejemplo: 6+8, el estudiante comparte “ 6 es igual a 2+4. 8+2 es igual a 10. 10 y 4 más son 14.”


Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de conteo

Utilice los siguientes códigos para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:

1. la estrategia del estudiante 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución es incorrecta.

Conforme vaya escuchando las respuestas del estudiante, utilice los siguientes códigos para marcar cada ecuación.

Estrategias de conteo (Todas las operaciones de resta)


ce ce

9 – 6 = 3

cuenta todo

El estudiante levanta sus dedos para el minuendo y va bajando dedo por dedo para restar el sustraendo.

sb sb

9 – 6 = 3

muestra ambos

El estudiante utiliza sus dedos en grupo para el minuendo, luego baja el grupo de dedos que corresponde al sustraendo y no cuenta los dedos que le quedaron.

fb fb 9 – 6 = 3

cuenta regresivamente con los dedos

El estudiante cuenta regresivamente la cantidad indicada por el sustraendo, utilizando los dedos para llevar la cuenta. (Por ejemplo: el estudiante cuenta con los dedos mientras va diciendo 8, 7, 6, 5, 4, 3)

cb cb

9 – 6 = 3

cuenta regresivamente El estudiante cuenta regresivamente la cantidad indicada por el sustraendo (Por ejemplo: El estudiante dijo 8, 7, 6, 5, 4, 3)

f f 9 – 6 = 3

dedos

El estudiante cuenta regresivamente del minuendo hacia el sustraendo, o bien progresivamente del sustraendo hacia el minuendo y utiliza sus dedos para llevar la cuenta. (Por ejemplo: El estudiante va alzando cada dedo mientras dice 7, 8, 9)

c c

9 – 6 = 3

cuenta

El estudiante cuenta regresiva o progresivamente hasta o a partir del número con la letra “c” escrita arriba, tal vez golpeteando ligeramente, asintiendo con la cabeza o vocalizando el conteo (por ejemplo: el estudiante dijo 7, 8, 9)

• 9 – 6 = 3• El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta (se pone un punto después)

9 – 6 = 4 La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del

estudiante)


Evaluación oral C (Todas las operaciones de resta) – Codificación para las estrategias de relación numérica

Los estudiantes que ya van más allá de las estrategias de conteo tal vez han aprendido las estrategias de

relación numérica. Cuando no haya ninguna evidencia del uso de alguna estrategia de conteo, pídale al

estudiante que le explique cómo es que determinó la solución. Seleccione una ecuación que tal vez pueda

ser resuelta usando una operación conocida (Por ejemplo: 9-5) Dígale al estudiante: “Dime cómo estás

pensando en estos números para resolver este problema”, señalando la ecuación específica. Si el

estudiante comparte una estrategia de conteo, anótela de acuerdo a los códigos de la página anterior. Si

el estudiante comparte una estrategia de relación numérica, como una de aquellas enlistadas en la parte

de abajo, escriba los símbolos que muestren el razonamiento matemático del estudiante arriba de la

ecuación. Asegúrese de verificar las restas que pasen del diez (por ejemplo: 14 - 6).

Estrategias de relación numérica (Todas las operaciones de resta)

Ejemplo El estudiante

6 + 8 = 14 14 – 6 = 8

utiliza una operación de suma ya conocida

6 + ? = 14 14 – 6 = 8

determina un sumando faltante

14 – 4 – 2 14 – 6 = 8

descompone el sustraendo

10 – 6 + 4 14 – 6 = 8 descompone el minuendo

Definiciones:

Minuendo—El número del cual se está restando

Sustraendo—El número que se está restando

Diferencia—El número que sobra después de que una cantidad ha sido restada de otra, el resultado de restar.


Evaluaciones orales C y D (Multiplicación) y E (División) – Codificación para las estrategias de conteo y de relación numérica

Utilice los códigos de las tablas que se muestran a continuación para registrar las estrategias del estudiante. Los códigos indican una de tres cosas:

1. la estrategia del estudiante (conteo o relación numérica) 2. le toma más de 3 a 4 segundos para pensar 3. si la solución es incorrecta.

Si no puede ver ninguna evidencia de que el estudiante esté usando alguna estrategia de conteo, debe

preguntarle al estudiante que le explique cómo resolvió el problema. Señale una ecuación y dígale al

estudiante: “Dime cómo estás pensando en los números para resolver este problema.” Si el estudiante

comparte una estrategia de sentido numérico como dividir un número a la mitad y después duplicarlo,

usar productos parciales, trabajar a partir de una operación ya conocida o alguna otra estrategia, escriba

el código o los símbolos que muestren el razonamiento matemático del estudiante arriba de la ecuación.

Para la evaluación oral C – Multiplicación, tal vez debería preguntarle sobre 6 x 5, 8 x 4 y 9 x 3.

Para la evaluación oral D – Multiplicación, tal vez debería preguntarle sobre 8 x 6, 9 x 7 y 7 x 5.

Estrategias de suma y conteo (Multiplicación)


rc rc (18)

8 x 6 = 48

suma unos cuantos repetidamente, después cuenta progresivamente

El estudiante suma repetidamente unos cuantos conjuntos (por ejemplo: 6, 12, 18), después cuenta uno por uno (por ejemplo: 19, 20, 21, 23, 24 y así sucesivamente)

r r

8 x 6 = 48

suma repetidamente

El estudiante suma grupos sin contar

sf sf 8 x 6 = 48

cuenta en múltiplos, usando los dedos

El estudiante cuenta salteado, llevando la cuenta de los grupos con sus dedos.

s s 8 x 6 = 48

cuenta en múltiplos

El estudiante cuenta salteado

• 8 x 6 = 48 • El estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta.

8 x 6 = 45

La respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)


Estrategias de relación numérica (Multiplicación)

Código Ejemplo Estudiante

Escriba la estrategia

24 + 24

8 x 6 = 48

explica como dividir a la mitad y después duplicar (por ejemplo: el estudiante calculó 4 x 6 y después duplicó ese producto)


30 + 18 8 x 6 = 48

explica como sumar productos parciales

(por ejemplo: el estudiante calculó 5 x 6 y 3 x 6 y después agregó sus productos)


60 - 6 9 x 6 = 54 explica como usar una operación ya conocida

Estrategias (División)


rs r

24 ÷ 6 = 4

resta el divisor repetidamente

ra ra

24 ÷ 6 = 4

suma el divisor repetidamente

s s

24 ÷ 6 = 4

cuenta salteado

• 24 ÷ 6 = 4• el estudiante toma más de 3 a 4 segundos para pensar su respuesta (se pone un punto después)

24 ÷ 6 = 3

la respuesta es incorrecta (se pone una línea arriba de la respuesta del estudiante)


? x 6 = 24 24 ÷ 6 = 4

explica su razonamiento de manera “inversa” (por ejemplo: ¿Qué número multiplicado por 6 es 24?


6 x 4 24 ÷ 6 = 4

explica como utilizar una operación de multiplicación ya conocida

Definiciones:

Dividendo—la cantidad que se dividirá

Divisor— La cantidad entre la cual otra cantidad está siendo dividida

Cociente—el resultado de dividir una cantidad entre otra

Factor—uno de los números enteros multiplicados para conseguir cierto número; un número entero que se divide de manera equitativa entre otro número entero

Multiplicando—el número (factor) que se está multiplicando

Multiplicador—el número (factor) por el cual se está multiplicando

Producto—el resultado de multiplicar



5 + 1 = ____ 3 + 3 = ____ 4 + 6 = ____ 6 + 8 = ____ 5 + 7 = ____

1 + 7 = ____ 3 + 4 = ____ 5 + 5 = ____ 3 + 9 = ____ 5 + 9 = ____

1 + 9 = ____ 3 + 6 = ____ 3 + 7 = ____ 9 + 3 = ____ 8 + 6 = ____

4 + 2 = ____ 0 + 9 = ____ 2 + 8 = ____ 8 + 7 = ____ 9 + 9 = ____

2 + 5 = ____ 3 + 5 = ____ 6 + 6 = ____ 7 + 7 = ____ 4 + 9 = ____

3 + 2 = ____ 4 + 4 = ____ 2 + 9 = ____ 6 + 7 = ____ 8 + 4 = ____

2 + 4 = ____ 5 + 3 = ____ 7 + 4 = ____ 7 + 9 = ____ 6 + 9 = ____

2 + 6 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 6 = ____ 9 + 8 = ____ 7 + 8 = ____

2 + 3 = ____ 4 + 5 = ____ 3 + 8 = ____ 8 + 8 = ____ 9 + 7 = ____

2 + 7 = ____ 6 + 4 = ____ 7 + 5 = ____ 8 + 5 = ____ 5 + 8 = ____

Evaluación oral B – Sumas


Evaluación oral de suma B – sumas hasta el 20, del 0 al 9, hasta y después del 10 Nombre ___________________________

5 + 1 = ____ 3 + 3 = ____ 4 + 6 = ____ 6 + 8 = ____ 5 + 7 = ____

1 + 7 = ____ 3 + 4 = ____ 5 + 5 = ____ 3 + 9 = ____ 5 + 9 = ____

1 + 9 = ____ 3 + 6 = ____ 3 + 7 = ____ 9 + 3 = ____ 8 + 6 = ____

4 + 2 = ____ 0 + 9 = ____ 2 + 8 = ____ 8 + 7 = ____ 9 + 9 = ____

2 + 5 = ____ 3 + 5 = ____ 6 + 6 = ____ 7 + 7 = ____ 4 + 9 = ____

3 + 2 = ____ 4 + 4 = ____ 2 + 9 = ____ 6 + 7 = ____ 8 + 4 = ____

2 + 4 = ____ 5 + 3 = ____ 7 + 4 = ____ 7 + 9 = ____ 6 + 9 = ____

2 + 6 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 6 = ____ 9 + 8 = ____ 7 + 8 = ____

2 + 3 = ____ 4 + 5 = ____ 3 + 8 = ____ 8 + 8 = ____ 9 + 7 = ____

2 + 7 = ____ 6 + 4 = ____ 7 + 5 = ____ 8 + 5 = ____ 5 + 8 = ____ Códigos: ce – contó todo; sb – mostró ambos grupos, no contó todo; f – usó sus dedos para contar progresivamente a partir de cierto número; c – contó progresivamente a

partir de cierto número; punto después de la suma – tomó tiempo para pensar; línea arriba de la suma – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50


Información de la evaluación oral de suma B Segundo grado Maestro ________________________ Fecha _______________

Operaciones del 0 al 9 y hasta el 10 Operaciones después del 10 Dedos Cuenta

progresivamente Dedos Cuenta progresivamente Usa estrategias de relación numérica

Nombre Cuenta ambos grupos

A partir del 1o

A partir del más

grande

A partir del 1o

A partir del más

grade

Recuerda A

partir del 1o

A partir del más grande

A partir del 1o

A partir del más grade

Usa un doble

Descompone para formar

10 Compensa

Usa una operación conocida

Recuerda


Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de suma (Nivel B)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 + 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 + 0 5 + 0 6 + 0 7 + 0 8 + 0 9 + 0 10 + 0

1 0 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 + 1

2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 + 2

3 0 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + 3 10 + 3

4 0 + 4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4 7 + 4 8 + 4 9 + 4 10 + 4

5 0 + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5 7 + 5 8 + 5 9 + 5 10 + 5

6 0 + 6 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6 7 + 6 8 + 6 9 + 6 10 + 6

7 0 + 7 1 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 7 5 + 7 6 + 7 7 + 7 8 + 7 9 + 7 10 + 7

8 0 + 8 1 + 8 2 + 8 3 + 8 4 + 8 5 + 8 6 + 8 7 + 8 8 + 8 9 + 8 10 + 8

9 0 + 9 1 + 9 2 + 9 3 + 9 4 + 9 5 + 9 6 + 9 7 + 9 8 + 9 9 + 9 10 + 9

10 0 + 10 1 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + 10 5 + 10 6 + 10 7 + 10 8 + 10 9 + 10 10 + 10

Nombre ______________________ Fecha de inicio ______________________ Meta alcanzada ______________________


Evaluación oral C – Restas

2 – 1 = ____ 8 – 6 = ____ 8 – 3 = ____ 14 – 7 = ____ 16 – 8 = ____

4 – 3 = ____ 9 – 7 = ____ 10 – 5 = ____ 11 – 7 = ____ 12 – 5 = ____

6 – 5 = ____ 10 – 8 = ____ 10 – 4 = ____ 12 – 3 = ____ 18 – 9 = ____

8 – 8 = ____ 6 – 3 = ____ 10 – 6 = ____ 12 – 8 = ____ 16 – 9 = ____

9 – 8 = ____ 9 – 6 = ____ 10 – 3 = ____ 13 – 5 = ____ 13 – 9 = ____

8 – 7 = ____ 7 – 4 = ____ 12 – 6 = ____ 17 – 9 = ____ 17 – 8 = ____

4 – 2 = ____ 8 – 5 = ____ 11 – 9 = ____ 13 – 6 = ____ 14 – 9 = ____

5 – 3 = ____ 10 – 7 = ____ 11 – 6 = ____ 12 – 4 = ____ 12 – 7 = ____

7 – 5 = ____ 8 – 4 = ____ 11 – 5 = ____ 14 – 8 = ____ 15 – 8 = ____

6 – 4 = ____ 9 – 4 = ____ 11 – 8 = ____ 15 – 7 = ____ 16 – 7 = ____


Evaluación oral de resta C – Diferencias menos que, igual que y mayor que 3 Nombre________________________________

2 – 1 = ____ 8 – 6 = ____ 8 – 3 = ____ 14 – 7 = ____ 16 – 8 = ____

4 – 3 = ____ 9 – 7 = ____ 10 – 5 = ____ 11 – 7 = ____ 12 – 5 = ____

6 – 5 = ____ 10 – 8 = ____ 10 – 4 = ____ 12 – 3 = ____ 18 – 9 = ____

8 – 8 = ____ 6 – 3 = ____ 10 – 6 = ____ 12 – 8 = ____ 16 – 9 = ____

9 – 8 = ____ 9 – 6 = ____ 10 – 3 = ____ 13 – 5 = ____ 13 – 9 = ____

8 – 7 = ____ 7 – 4 = ____ 12 – 6 = ____ 17 – 9 = ____ 17 – 8 = ____

4 – 2 = ____ 8 – 5 = ____ 11 – 9 = ____ 13 – 6 = ____ 14 – 9 = ____

5 – 3 = ____ 10 – 7 = ____ 11 – 6 = ____ 12 – 4 = ____ 12 – 7 = ____

7 – 5 = ____ 8 – 4 = ____ 1-1 – 5 = ____ 14 – 8 = ____ 15 – 8 = ____

6 – 4 = ____ 9 – 4 = ____ 11 – 8 = ____ 15 – 7 = ____ 16 – 7 = ____ Códigos: ce – contó todo, quitó, luego contó el conjunto restante; sb – mostró conjuntos, no contó; fb – usó sus dedos para contar regresivamente el sustraendo; cb contó

regresivamente el sustraendo; f – usó sus dedos para contar la diferencia hasta o desde; c – contó la diferencia hasta o regresivamente desde; punto después de la diferencia – tomó tiempo para pensar; línea arriba de la diferencia – incorrecto

Notas: Examinador ________Fecha _____________ Puntaje____/50 Examinador ________Fecha _____________ Puntaje ____/50


Información de la evaluación oral de resta C Tercer grado Maestro ______________________Fecha______________

Operaciones con una diferencia de 1, 2, o 3 Operaciones con una diferencia de 4 o más

Dedos Cuenta Dedos Cuenta Usa estrategias de relación numérica

Nombre Cuenta

todo Re

gres

ivam

ente

d

esd

e

Regr

esiv

amen

te

a

Prog

resiv

amen

te

des

de

Regr

esiv

amen

te

des

de

Regr

esiv

amen

te

a

Prog

resiv

amen

te

des

de

Recuerda

Regr

esiv

amen

te

des

de

Regr

esiv

amen

te

a

Prog

resiv

amen

te

des

de

Regr

esiv

amen

te

des

de

Regr

esiv

amen

te

a

Prog

resiv

amen

te

des

de

Usa una operación de suma conocida

Piensa en el

sumando que falta

Descompone el minuendo

Descompone el sustraendo

Compensa

Recuerda


Sabe estrategias de sentido numérico para las operaciones de resta (Nivel C)

Diferencia de 0

Diferencia de 1

Diferencia de 2

Diferencia de 3

Diferencia de 4

Diferencia de 5

Diferencia de 6

Diferencia de 7

Diferencia de 8

Diferencia de 9

Diferencia de 10

0 – 0 1 – 0 2 – 0 3 – 0 4 – 0 5 – 0 6 – 0 7 – 0 8 – 0 9 – 0 10 – 0

1 – 1 2 – 1 3 – 1 4 – 1 5 – 1 6 – 1 7 – 1 8 – 1 9 – 1 10 – 1 11 – 1

2 – 2 3 – 2 4 – 2 5 – 2 6 – 2 7 – 2 8 – 2 9 – 2 10 – 2 11 – 2 12 – 2

3 – 3 4 – 3 5 – 3 6 – 3 7 – 3 8 – 3 9 – 3 10 – 3 11 – 3 12 – 3 13 – 3

4 – 4 5 – 4 6 – 4 7 – 4 8 – 4 9 – 4 10 – 4 11 – 4 12 – 4 13 – 4 14 – 4

5 – 5 6 – 5 7 – 5 8 – 5 9 – 5 10 – 5 11 – 5 12 – 5 13 – 5 14 – 5 15 – 5

6 – 6 7 – 6 8 – 6 9 – 6 10 – 6 11 – 6 12 – 6 12 – 6 14 – 6 15 – 6 16 – 6

7 – 7 8 – 7 9 – 7 10 – 7 11 – 7 12 – 7 13 – 7 14 – 7 15 – 7 16 – 7 17 – 7

8 – 8 9 – 8 10 – 8 11 – 8 12 – 8 13 – 8 14 – 8 15 – 8 16 – 8 17 – 8 18 – 8

9 – 9 10 – 9 11 – 9 12 – 9 13 – 9 14 – 9 15 – 9 16 – 9 17 – 9 18 – 9 19 – 9

10 – 10 11 – 10 12 – 10 13 – 10 14 – 10 15 – 10 16 – 10 17 – 10 18 – 10 19 – 10 20 – 10



Evaluación oral C – Multiplicación

1 x 5 = ____ 6 x 2 = ____ 5 x 5 = ____ 0 x 6 = ____ 4 x 9 = ____

2 x 3 = ____ 2 x 9 = ____ 5 x 3 = ____ 4 x 4 = ____ 6 x 3 = ____

3 x 0 = ____ 2 x 7 = ____ 6 x 5 = ____ 7 x 4 = ____ 7 x 3 = ____

2 x 4 = ____ 7 x 2 = ____ 5 x 6 = ____ 6 x 4 = ____ 4 x 8 = ____

7 x 1 = ____ 8 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 4 x 3 = ____ 8 x 3 = ____

5 x 2 = ____ 2 x 8 = ____ 5 x 8 = ____ 4 x 6 = ____ 3 x 6 = ____

2 x 6 = ____ 9 x 2 = ____ 9 x 5 = ____ 4 x 7 = ____ 3 x 8 = ____

2 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 5 x 9 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 3 = ____

3 x 2 = ____ 4 x 5 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 3 x 7 = ____

4 x 2 = ____ 8 x 5 = ____ 7 x 5 = ____ 9 x 4 = ____ 3 x 9 = ____


Evaluación oral de multiplicación C - 2, 5, 4, y 3 como multiplicador o multiplicando Nombre________________________________

1 x 5 = ____ 6 x 2 = ____ 5 x 5 = ____ 0 x 6 = ____ 4 x 9 = ____

2 x 3 = ____ 2 x 9 = ____ 5 x 3 = ____ 4 x 4 = ____ 6 x 3 = ____

3 x 0 = ____ 2 x 7 = ____ 6 x 5 = ____ 7 x 4 = ____ 7 x 3 = ____

2 x 4 = ____ 7 x 2 = ____ 5 x 6 = ____ 6 x 4 = ____ 4 x 8 = ____

7 x 1 = ____ 8 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 4 x 3 = ____ 8 x 3 = ____

5 x 2 = ____ 2 x 8 = ____ 5 x 8 = ____ 4 x 6 = ____ 3 x 6 = ____

2 x 6 = ____ 9 x 2 = ____ 9 x 5 = ____ 4 x 7 = ____ 3 x 8 = ____

2 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 5 x 9 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 3 = ____

3 x 2 = ____ 4 x 5 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 3 x 7 = ____

4 x 2 = ____ 8 x 5 = ____ 7 x 5 = ____ 9 x 4 = ____ 3 x 9 = ____

Códigos: rc-sumó repetidamente, luego contó progresivamente; r-sumó repetidamente; sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada, s-contó salteado; punto después del producto –tomó tiempo para pensar; línea arriba del producto – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50


Información de la evaluación oral de multiplicación C Tercer grado Maestro ____________________Fecha _________

2, 5, 4 y 3 como multiplicador o multiplicando

Suma Cuenta en múltiplos Usa estrategias de relación numérica Nombre

Cuenta todo

Suma unos cuantos y

luego cuenta progresiva-

mente

Suma repetida-

mente

Usa sus dedos para llevar la

cuenta salteada

Usa una secuencia

memorizada Usa los dobles

Trabaja a partir de una operación

conocida

Suma los productos parciales

Recuerda


Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de multiplicación (Nivel C)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 x 0 1 x 0 2 x 0 3 x 0 4 x 0 5 x 0 6 x 0 7 x 0 8 x 0 9 x 0 10 x 0

1 0 x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1 10 x 1

2 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 x 2 7 x 2 8 x 2 9 x 2 10 x 2

3 0 x 3 1 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 3 5 x 3 6 x 3 7 x 3 8 x 3 9 x 3 10 x 3

4 0 x 4 1 x 4 2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4 6 x 4 7 x 4 8 x 4 9 x 4 10 x 4

5 0 x 5 1 x 5 2 x 5 3 x 5 4 x 5 5 x 5 6 x 5 7 x 5 8 x 5 9 x 5 10 x 5

6 0 x 6 1 x 6 2 x 6 3 x 6 4 x 6 5 x 6

7 0 x 7 1 x 7 2 x 7 3 x 7 4 x 7 5 x 7

8 0 x 8 1 x 8 2 x 8 3 x 8 4 x 8 5 x 8

9 0 x 9 1 x 9 2 x 9 3 x 9 4 x 9 5 x 9

10 0 x 10 1 x 10 2 x 10 3 x 10 4 x 10 5 x 10



Evaluación oral D - Multiplicación

1 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 6 x 4 = ____ 8 x 3 = ____ 9 x 4 = ____

2 x 4 = ____ 5 x 3 = ____ 3 x 4 = ____ 3 x 8 = ____ 8 x 8 = ____

7 x 1 = ____ 4 x 5 = ____ 4 x 3 = ____ 3 x 9 = ____ 6 x 9 = ____

3 x 0 = ____ 8 x 5 = ____ 4 x 6 = ____ 4 x 7 = ____ 7 x 7 = _____

6 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 7 x 4 = ____ 5 x 9 = ____ 7 x 8 = ____

2 x 8 = ____ 5 x 5 = ____ 4 x 8 = ____ 6 x 6 = ____ 9 x 9 = ____

7 x 2 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 4 x 9 = ____ 8 x 9 = ____

2 x 9 = ____ 6 x 5 = ____ 6 x 3 = ____ 7 x 5 = ____ 6 x 7 = ____

8 x 2 = ____ 5 x 8 = ____ 3 x 7 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 7 = ____

0 x 6 = ____ 4 x 4 = ____ 7 x 3 = ____ 8 x 7 = ____ 8 x 6 = ____


Información de la evaluación oral de multiplicación D - Todas las operaciones de multiplicación Nombre _________________

1 x 5 = ____ 3 x 5 = ____ 6 x 4 = ____ 8 x 3 = ____ 9 x 4 = ____

2 x 4 = ____ 5 x 3 = ____ 3 x 4 = ____ 3 x 8 = ____ 8 x 8 = ____

7 x 1 = ____ 4 x 5 = ____ 4 x 3 = ____ 3 x 9 = ____ 6 x 9 = ____

3 x 0 = ____ 8 x 5 = ____ 4 x 6 = ____ 4 x 7 = ____ 7 x 7 = _____

6 x 2 = ____ 5 x 4 = ____ 7 x 4 = ____ 5 x 9 = ____ 7 x 8 = ____

2 x 8 = ____ 5 x 5 = ____ 4 x 8 = ____ 6 x 6 = ____ 9 x 9 = ____

7 x 2 = ____ 5 x 7 = ____ 3 x 3 = ____ 4 x 9 = ____ 8 x 9 = ____

2 x 9 = ____ 6 x 5 = ____ 6 x 3 = ____ 7 x 5 = ____ 6 x 7 = ____

8 x 2 = ____ 5 x 8 = ____ 3 x 7 = ____ 8 x 4 = ____ 9 x 7 = ____

0 x 6 = ____ 4 x 4 = ____ 7 x 3 = ____ 8 x 7 = ____ 8 x 6 = ____

Códigos: rc-sumó repetidamente, luego contó progresivamente; r-sumó repetidamente; sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada; s-contó salteado; punto después del

producto- tomó tiempo para pensar; línea arriba del producto – incorrecto Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50


Información de la evaluación oral de multiplicación D - Todas las operaciones de multiplicación Maestro ________________Fecha________________

Todas las operaciones de multiplicación

Suma Cuenta salteado Usa estrategias de relación numérica

Nombre Cuenta

todo Suma unos cuantos, luego

cuenta progresivamente

Suma repetidamente

Usa sus dedos para llevar la cuenta

salteada

Usa una secuencia memorizada Usa los dobles

Trabaja a partir de una

operación conocida

Suma productos parciales

Recuerda


Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de multiplicación (Nivel D)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 x 0 1 x 0 2 x 0 3 x 0 4 x 0 5 x 0 6 x 0 7 x 0 8 x 0 9 x 0 10 x 0

1 0 x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1 10 x 1

2 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 x 2 7 x 2 8 x 2 9 x 2 10 x 2

3 0 x 3 1 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 3 5 x 3 6 x 3 7 x 3 8 x 3 9 x 3 10 x 3

4 0 x 4 1 x 4 2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4 6 x 4 7 x 4 8 x 4 9 x 4 10 x 4

5 0 x 5 1 x 5 2 x 5 3 x 5 4 x 5 5 x 5 6 x 5 7 x 5 8 x 5 9 x 5 10 x 5

6 0 x 6 1 x 6 2 x 6 3 x 6 4 x 6 5 x 6 6 x 6 7 x 6 8 x 6 9 x 6 10 x 6

7 0 x 7 1 x 7 2 x 7 3 x 7 4 x 7 5 x 7 6 x 7 7 x 7 8 x 7 9 x 7 10 x 7

8 0 x 8 1 x 8 2 x 8 3 x 8 4 x 8 5 x 8 6 x 8 7 x 8 8 x 8 9 x 8 10 x 8

9 0 x 9 1 x 9 2 x 9 3 x 9 4 x 9 5 x 9 6 x 9 7 x 9 8 x 9 9 x 9 10 x 9

10 0 x 10 1 x 10 2 x 10 3 x 10 4 x 10 5 x 10 6 x 10 7 x 10 8 x 10 9 x 10 10 x 10



Evaluación oral E - División

4 ÷ 2 = ____ 40 ÷ 5 = ____ 21 ÷ 3 = ____ 56 ÷ 7 = ____ 36 ÷ 9 = ____

10 ÷ 2 = ____ 15 ÷ 5 = ____ 32 ÷ 4 = ____ 35 ÷ 7 = ____ 48 ÷ 8 = ____

20 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 5 = ____ 27 ÷ 3 = ____ 27 ÷ 9 = ____ 42 ÷ 7 = ____

14 ÷ 2 = ____ 45 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 3 = ____ 54 ÷ 6 = ____ 64 ÷ 8 = ____

25 ÷ 5 = ____ 12 ÷ 3 = ____ 36 ÷ 4 = ____ 36 ÷ 6 = ____ 72 ÷ 8 = ____

18 ÷ 2 = ____ 16 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 6 = ____ 40 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 9 = ____

5 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 4 = ____ 18 ÷ 6 = ____ 56 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 7 = ____

16 ÷ 2 = ____ 18 ÷ 3 = ____ 28 ÷ 7 = ____ 49 ÷ 7 = ____ 81 ÷ 9 = ____

12 ÷ 6 = ____ 9 ÷ 3 = ____ 32 ÷ 8 = ____ 42 ÷ 6 = ____ 48 ÷ 6 = ____

35 ÷ 5 = ____ 28 ÷ 4 = ____ 21 ÷ 7 = ____ 45 ÷ 9 = ____ 54 ÷ 9 = ____


Evaluación oral de división E - Todas las operaciones de división Nombre________________________________________

4 ÷ 2 = ____ 40 ÷ 5 = ____ 21 ÷ 3 = ____ 56 ÷ 7 = ____ 36 ÷ 9 = ____

10 ÷ 2 = ____ 15 ÷ 5 = ____ 32 ÷ 4 = ____ 35 ÷ 7 = ____ 48 ÷ 8 = ____

20 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 5 = ____ 27 ÷ 3 = ____ 27 ÷ 9 = ____ 42 ÷ 7 = ____

14 ÷ 2 = ____ 45 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 3 = ____ 54 ÷ 6 = ____ 64 ÷ 8 = ____

25 ÷ 5 = ____ 12 ÷ 3 = ____ 36 ÷ 4 = ____ 36 ÷ 6 = ____ 72 ÷ 8 = ____

18 ÷ 2 = ____ 16 ÷ 4 = ____ 30 ÷ 6 = ____ 40 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 9 = ____

5 ÷ 5 = ____ 24 ÷ 4 = ____ 18 ÷ 6 = ____ 56 ÷ 8 = ____ 63 ÷ 7 = ____

16 ÷ 2 = ____ 18 ÷ 3 = ____ 28 ÷ 7 = ____ 49 ÷ 7 = ____ 81 ÷ 9 = ____

12 ÷ 6 = ____ 9 ÷ 3 = ____ 32 ÷ 8 = ____ 42 ÷ 6 = ____ 48 ÷ 6 = ____

35 ÷ 5 = ____ 28 ÷ 4 = ____ 21 ÷ 7 = ____ 45 ÷ 9 = ____ 54 ÷ 9 = ____

Códigos: rs – restó un número repetidamente, ra – sumó un número repetidamente, sf-usó sus dedos para llevar la cuenta salteada, s – contó salteado, punto después del cociente – tomó tiempo para pensar, línea arriba del cociente – incorrecto

Notas: Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50 Examinador ______Fecha _____________ Puntaje ____/50


Información de la evaluación oral de división E Quinto grado Maestro _____________________________ Fecha_____________

Todas las operaciones de división

Suma Cuenta salteado Usa estrategias de relación numérica Nombre Suma unos

cuantos, luego cuenta

progresivamente

Suma repetidamente

Usa sus dedos para llevar la cuenta

salteada

Usa una secuencia memorizada

Usa una operación de multiplicación

inversa

Trabaja a partir de una operación de división

conocida

Divide a la mitad y luego

duplica

Recuerda


Sabe las estrategias de sentido numérico para las operaciones de división (Nivel E) Cociente

de 0 Cociente

de 1 Cociente

de 2 Cociente

de 3 Cociente

de 4 Cociente

de 5 Cociente

de 6 Cociente

de 7 Cociente

de 8 Cociente

de 9 Cociente

de 10

0 ÷ 1 1 ÷ 1 2 ÷ 1 3 ÷ 1 4 ÷ 1 5 ÷ 1 6 ÷ 1 7 ÷ 1 8 ÷ 1 9 ÷ 1 10 ÷ 1

0 ÷ 2 2 ÷ 2 4 ÷ 2 6 ÷ 2 8 ÷ 2 10 ÷ 2 12 ÷ 2 14 ÷ 2 16 ÷ 2 18 ÷ 2 20 ÷ 2

0 ÷ 3 3 ÷ 3 6 ÷ 3 9 ÷ 3 12 ÷ 3 15 ÷ 3 18 ÷ 3 21 ÷ 3 24 ÷ 3 27 ÷ 3 30 ÷ 3

0 ÷ 4 4 ÷ 4 8 ÷ 4 12 ÷ 4 16 ÷ 4 20 ÷ 4 24 ÷ 4 28 ÷ 4 32 ÷ 4 36 ÷ 4 40 ÷ 4

0 ÷ 5 5 ÷ 5 10 ÷ 5 15 ÷ 5 20 ÷ 5 25 ÷ 5 30 ÷ 5 35 ÷ 5 40 ÷ 5 45 ÷ 5 50 ÷ 5

0 ÷ 6 6 ÷ 6 12 ÷ 6 18 ÷ 6 24 ÷ 6 30 ÷ 6 36 ÷ 6 42 ÷ 6 48 ÷ 6 54 ÷ 6 60 ÷ 6

0 ÷ 7 7 ÷ 7 14 ÷ 7 21 ÷ 7 28 ÷ 7 35 ÷ 7 42 ÷ 7 49 ÷ 7 56 ÷ 7 63 ÷ 7 70 ÷ 7

0 ÷ 8 8 ÷ 8 16 ÷ 8 24 ÷ 8 32 ÷ 8 40 ÷ 8 48 ÷ 8 56 ÷ 8 64 ÷ 8 72 ÷ 8 80 ÷ 8

0 ÷ 9 9 ÷ 9 18 ÷ 9 27 ÷ 9 36 ÷ 9 45 ÷ 9 54 ÷ 9 63 ÷ 9 72 ÷ 9 81 ÷ 9 90 ÷ 9

0 ÷ 10 10 ÷ 10 20 ÷ 10 30 ÷ 10 40 ÷ 10 50 ÷ 10 60 ÷ 10 70 ÷ 10 80 ÷ 10 90 ÷ 10 100 ÷ 10



Desarrollo para el cálculo de las operaciones aritméticas Estudiante: ________________________ Fecha: _____________

Operaciones de suma Usa estrategias de conteo Usa relaciones numéricas conocidas

Sumas hasta el 10

Sumas hasta el 20

Operaciones de restas

Diferencias de 1, 2, 3

Diferencias mayores que 4

Operaciones de multiplicación

Usa estrategias de conteo o de sumas repetitivas Usa relaciones numéricas conocidas

Múltiplos de 2, 3, 4, 5

Múltiplos de 6, 7, 8, 9

Operaciones de división

Divisores de 2, 3, 4, 5

Divisores de 6, 7, 8, 9

Utiliza las relaciones numéricas para ayudar a calcular operaciones básicas (Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. New York, NY: Longman.)

Ideas importantes para recordar: 1. Las relaciones numéricas se pueden utilizar para que te ayuden a recordar operaciones básicas. 2. Existen patrones y relaciones en las operaciones básicas. Puedes deducir operaciones nuevas o desconocidas basándote

en las que ya sabes. 3. Todas las operaciones se pueden aprender con la ayuda de estrategias eficaces.

Pasos a seguir para aprender las operaciones: 1. Desarrolla un entendimiento sólido de las operaciones y de las relaciones numéricas. 2. Piensa en estrategias eficaces que te ayuden a recordar las operaciones. 3. Decide que estrategias funcionan mejor para ciertos números 4. Practica utilizando estas estrategias


Suma

• Usa un doble. Si sabes cuanto es 7+7, úsalo para que te ayude a resolver 8+7 y 6+7.

• Busca los dobles que puedan estar escondidos. Por ejemplo: 5+7 se puede razonar como 5+5+2.

• Haz más fácil la suma del 9. Cambia el 9 por el 10 sumándole 1 (en tu mente). Después suma la otra cantidad. Para terminar, resta 1 de la suma que te dio (para quitar el cambio que hiciste cuando le sumaste 1 al 9 para cambiarlo al 10).

• Esta es otra manera de sumar 9 rápidamente. Observa 9+5. Piensa en el número para formar un 5 que lleve un 1 (1 + 4). Luego suma 9 + 1 para formar el 10 y termina sumándole 4 al 10.

• Haz más fácil la suma del 8. Observa 8+6. Piensa en el número para formar un 6 que use un 2 (2 + 4). Luego suma 8 + 2 para formar el 10 y termina sumándole 4 al 10.

Resta

• Usa lo que ya sabes sobre las sumas. Observa 11 – 6 y piensa, “¿Qué le puedo sumar al 6 para tener un total de 11?”

• Piensa en la resta como una comparación entre dos números. Piensa qué tanto más es un número que el otro. Para 10 – 4, piensa cuanto más necesitas contar para llegar al 10.

• Piensa en la resta como la diferencia entre dos números. Pon los dos números en una recta numérica “imaginaria”. Piensa en la diferencia que hay entre esos dos números.

• Si diez está en medio de los números, piensa regresivamente hasta el 10. Para 15 – 8, piensa 15 – 5 es diez, luego quítale 3 más para llegar al 7.

Multiplicación • ¡Practica el conteo salteado con cada uno de los dígitos! Los niños que

son fanáticos del fútbol americano, a menudo saben la tabla del 7 ¡sin esfuerzo alguno!

• Busca maneras para duplicar. Sabes que 2 x 8 = 16. 4 x 8 es el doble de 2 x 8, por lo tanto 4 x 8 es 16 + 16.

• Observa los patrones. ¡Los múltiplos de 5 terminan ya sea en cero o en 5!

• Usa las operaciones que ya sabes. Si sabes que 6 x 4 = 24, entonces puedes razonar que 7 x 4 es solamente un grupo más de 4.

• Piensa en las operaciones que ya sabes de una manera diferente. Para 6 x 7, piensa en 3 x 7. 3 x 7 = 21, por lo tanto 6 x 7 es 21 + 21.

• ¡Piensa en el 10! Ya sabes cuanto es 10 x 8. Usa esta tabla para ayudarte a resolver rápidamente 9 x 8. Piensa en 10 x 8 y luego réstale 8.

División • Usa las operaciones de multiplicación. Para 32 ÷8, piensa qué número

multiplicado por 8 da 32.

• Acércate lo más que puedas. Para 56 ÷ 7, piensa en un número que se aproxime con lo que ya sabes, tal vez 49 ÷ 7. Luego ajústalo sumando o restando otro grupo de 7. 49 ÷ 7 es 7, por lo tanto 56 ÷ 7 es 8.

• ¡Piensa en mitades! Para 64 ÷ 8, piensa 32 ÷ 8. Después duplícalo.

¡Intenta estas estrategias!


Ayudando a los estudiantes a desarrollar la fluidez en las operaciones aritméticas

Operaciones de suma

La mayoría de los estudiantes en los grados intermedios ya han desarrollado

fluidez en las operaciones de suma y las recuerdan con facilidad para resolver

problemas de sumas; aquellos que aún no han adquirido la fluidez en las sumas

necesitarán una atención deliberadamente enfocada en aprenderlas.

Herramientas útiles para

visualizar las relaciones numéricas

Antes de trabajar en el desarrollo de la fluidez, los estudiantes necesitan mucha

práctica con los números hasta el 20. Ellos necesitan tiempo para reflexionar

sobre las relaciones numéricas y discutir maneras en que se pueden usar las

relaciones numéricas para calcular. Esta práctica les ayudará a avanzar de contar

de uno en uno a usar las relaciones de parte-parte-todo y las combinaciones

para construir un 10. Las relaciones numéricas se fortalecen con el uso de un

cordel de 20 cuentas, ábacos, tableros de diez y rectas numéricas vacías. Estas

son herramientas poderosas que les ayudan a los estudiantes a visualizar las

relaciones numéricas.

Después de varias experiencias utilizando objetos para apoyar el conteo, los

estudiantes comienzan a utilizar lo que saben sobre los números para desarrollar

estrategias mentales para calcular. Los estudiantes desarrollan estas estrategias

de manera individual, pero existir la siguiente secuencia general de desarrollo

que es compartida por muchos estudiantes:

• contar progresivamente 1, 2 ó 3 sin usar los dedos u objetos • aprender sobre la propiedad del cero (0 + 8 = 8) • entender la propiedad conmutativa (1 + 6 = 6 + 1) • recordar los dobles (5 + 5 = 10) • aprender las relaciones de parte-parte-todo para construir el 10 • usar los dobles para razonar en el cálculo de números cercanos a los dobles

(Por ejemplo: Puesto que sé que 5 + 5 = 10, como 4 es uno menos que 5, entonces 5 + 4 es uno menos que 10. Debe ser 9.)

• Entender el valor de trabajar con, hasta y pasando del 10 −− al descomponer un sumando (Para 8 + 6, piensa en 6 como 2 +

4. Entonces 8 + 2 es 10. Suma el 4 para hacer 14.) −− al compensar para un número cercano al 10 (Para 9 + 7,

pretende que el 9 es 10, suma el 7 y luego corrige la suma restándole 1.)

• Usar operaciones ya conocidas para razonar sobre un cálculo (Para 7 + 5, se que 7 + 3 es 10, 7 + 4 es 11, entonces 7 + 5 es 12.)

cordel de 20 cuentas

tableros de diez

7 10 12

+3 +2

recta numérica vacía

Ábaco

Operaciones de resta

La resta es una operación desafiante para los estudiantes. Ellos necesitan tiempo suficiente para

construir modelos físicos que respalden su desarrollo de las relaciones numéricas involucradas

con “quitar”. También necesitan ampliar y profundizar su entendimiento de la resta para verla

como una comparación para encontrar la diferencia.

Las ideas sobre la comparación comienzan a desarrollarse cuando los estudiantes aprenden a

contar progresivamente, por lo regular en el primer grado.

Los conceptos de los estudiantes sobre las diferencias y su capacidad para determinar las

diferencias tienden a ser más evidentes en el segundo grado. Los maestros facilitan el

aprendizaje sobre como encontrar la diferencia entre dos números al pedirles a los estudiantes

que resuelvan los problemas de comparación, analicen las gráficas de barras y usen la recta

numérica vacía. La siguiente secuencia describe un desarrollo típico de los conceptos y las

habilidades de la resta:

Contar regresivamente 1, 2 ó 3 sin utilizar los dedos

Usar las relaciones de parte-parte-todo (Se que el 8 está compuesto del 5 y del 3. Si quito 5, sé que me quedan 3.)

Comparar dos números y contar progresivamente para determinar la diferencia

Entender el valor de trabajar con, hasta y pasando del 10 al descomponer el sustraendo (Para 14 – 6 primero trabaja hasta el 10 quitando 4, luego quita 2 para que de 8.)

Usar operaciones ya conocidas para razonar sobre un cálculo (Para 15 – 7, pensar, sé que 14 – 7 es 7 entonces 15 – 7 debe ser 8.)


Operaciones de multiplicación

Los estudiantes comienzan a modelar los problemas de multiplicación en forma narrada en el

Kinder. Ellos construyen modelos físicos para tener los conjuntos para poder contarlos uno por

uno. A medida que los estudiantes van aprendiendo a contar en series, tales como al contar de 2

en 2 o de 5 en 5, ellos comienzan a usar esas secuencias de conteo para pensar sobre el total de

dos o tres conjuntos. Los estudiantes de los grados iniciales trabajan en la multiplicación al

desarrollar una fluidez con las estrategias del conteo salteado.

Los estudiantes de los grados intermedios aprenden a relacionar un conjunto de operaciones con

otro. (Por ejemplo: 8x5 es lo mismo que 2 veces 4x5). Típicamente, los estudiantes primero

aprenden las tablas de multiplicar del 2 y del 5 y luego se adquieren fluidez con otras tablas de

multiplicar mediante prácticas repetitivas usando una multiplicación ya conocida para calcular una

multiplicación desconocida. Eventualmente, los estudiantes recuerdan la mayoría de las tablas de

multiplicar y usan estrategias de operaciones derivadas solamente para unas cuantas.

Se necesitan los siguientes conceptos y habilidades para adquirir la fluidez con las tablas de

multiplicar:

contar salteado eficazmente con números de un solo dígito (ver la evaluación del conteo salteado en éste capítulo)

relacionar las sumas de los dobles con la tabla del 2.

derivar eficazmente lo que no se sabe de lo que sí se sabe (por ejemplo: tres grupos de seis se puede pensar como dos grupos de seis más otro seis, 3x6=2x6+6)

recordar las operaciones aritméticas.

Operaciones de división

Los estudiantes aprenden que la división “revierte” o “deshace” la multiplicación a través de

muchas experiencias con problemas matemáticos narrados de multiplicación y división. A menudo

los estudiantes resolverán problemas matemáticos de división al construir grupos del divisor para

alcanzar el dividendo y entender de manera intuitiva las operaciones inversas. Por estas razones,

la fluidez con las operaciones de división depende del entendimiento de la relación inversa con la

multiplicación y el conocimiento de las tablas de multiplicar.

Se necesitan los siguientes conceptos y habilidades para desarrollar la fluidez con las operaciones

de división:

dominar las tablas de multiplicar

pensar de manera invertida (p.ej. 36 ÷ 9 como, “nueve por cuánto es treinta y seis”)

practicar con “operaciones cercanas” como 50 ÷ 6 para desarrollar la fluidez


Factores y múltiplos

El saber los factores de los números 1-100 y los múltiplos de todos los números de un solo dígito

amplía y profundiza el conocimiento de las operaciones de multiplicación y división. Los

estudiantes deben tener repetidas experiencias en la exploración de patrones numéricos para

factores y múltiplos (P.ej. Nombre los primeros diez múltiplos de 5. ¿Qué es lo que observa sobre

los números?) De manera alternativa, proporcione una lista de números para que los estudiantes

los analicen con preguntas como: ¿Cuál de estos números no tiene el 8 como un factor? ¿Cómo

lo sabes? Encierra en un círculo los múltiplos de 9. ¿Cómo lo decidiste? Promueva suficientes

discusiones sobre los patrones y las estrategias de los estudiantes.

Desarrollando las estrategias de cálculo mental

Comience trabajando en desarrollar estrategias de cálculo mental al pedirles a los estudiantes

que compartan ideas sobre las relaciones numéricas. Facilite discusiones que hagan que los

estudiantes reflexionen acerca de la manera en la que usan las relaciones numéricas para

resolver los problemas. Las ideas que ellos pueden compartir incluyen:

Discutir

Más 1 sólo significa pasar al número que va inmediatamente después cuando se cuenta.

Menos 1 sólo significa regresar un número.

No se necesita contar cuando se le suma al 10. Es sólo esa cantidad después del diez.

Cuando se suma 6+5, pienso en 5+5 y sólo se suma uno más porque 6 es uno más que 5.

Es fácil sumar 9. Sólo se hace de cuenta que es un 10, se suma el resto y luego se resta uno, porque se sumó 1 para formar el 10.

Para sumar 9, sólo se toma 1 del otro número. Así se forma el 10. Luego se suma el resto.

Sé que 7+4 es 11 entonces 7+5 tiene que ser uno más que 11.

Para restarle 8 a 14, primero se restan 4 para llegar al 10 y luego se restan 4 más para llegar al 6.

Sé que 2 por 6 es 12, entonces para tener 4 por 6, solamente duplico el 12 debido a que 4 es el doble de 2.

Escriba las ideas de los estudiantes para el uso de las relaciones numéricas en un cartel expuesto

en el salón. Vaya añadiendo más a medida que los estudiantes piensen en otras ideas. Espere

que los estudiantes expliquen sus estrategias.



8 10 14

+2 +4

Permítales a los estudiantes trabajar sin presión de tiempo hasta que ya se haya desarrollado

bien su sentido numérico. Si los estudiantes sienten la presión del tiempo, con frecuencia vuelven

al conteo progresivo o a usar sus dedos para llevar la cuenta.

Cuando los estudiantes utilizan estrategias de sentido numérico bien desarrolladas, los maestros:

les ayudan a identificar las operaciones que ellos ya saben y aquellas en las que todavía utilizan estrategias de conteo para calcular.

Fije metas les piden a los estudiantes que fijen metas para encontrar estrategias de sentido numérico

para las operaciones aritméticas que no saben.

hacen que los estudiantes hagan tarjetas con las operaciones aritméticas que no saben.

• mantenga el número de tarjetas pequeño y enfocado, de 8 a 10 tarjetas a la vez.

• escriba los números horizontalmente, 6+8 = ________

• cree una representación con una recta numérica vacía al reverso de cada tarjeta.

proporcionan periodos cortos de instrucción para desarrollar las relaciones numéricas y las estrategias para esas operaciones.

Desarrollando la fluidez para el cálculo de operaciones aritméticas “Afortunadamente,

sabemos bastante sobre cómo ayudar a

los estudiantes a desarrollar el

dominio de las operaciones

aritméticas, y tiene poco que ver con la

cantidad de prácticas o técnicas

de prácticas”

John A. Van de Walle, en Teaching Student-Centered Mathematics (página 94) declara,

“Afortunadamente, sabemos bastante sobre cómo ayudar a los estudiantes a desarrollar el

dominio de las operaciones aritméticas, y tiene poco que ver con la cantidad de prácticas o

técnicas prácticas.” Van de Walle identifica tres componentes o pasos para desarrollar la fluidez

en el cálculo mental de operaciones aritméticas, las cuales son:

1. Ayudar a los estudiantes a desarrollar un firme entendimiento de las operaciones y las relaciones numéricas.

-John A. Van de Walle 2. Desarrollar estrategias eficaces para recordar las operaciones aritméticas.

3. Después, proporcionar práctica en el uso y selección de esas estrategias

Después de que los estudiantes han desarrollado estrategias para el uso de relaciones numéricas

para calcular operaciones básicas, están listos para trabajar en el desarrollo de la fluidez y la

automaticidad. Los juegos de cartas, los juegos de computadora y las hojas de ejercicios que

utilizan números que están al nivel independiente del estudiante en el cálculo mental (como se

determina mediante las evaluaciones orales de operaciones aritméticas), son todos formas para

fomentar la fluidez. Los periodos cortos de práctica llevados a cabo durante semanas y meses,

son efectivos en el desarrollo del dominio en el cálculo de las operaciones aritméticas básicas. Si

los juegos tienen un elemento competitivo, cree grupos de estudiantes que tengan un nivel de

dominio parecido en las operaciones aritméticas.

El progreso en la fluidez de las operaciones debe ser información personal. La instrucción para

apoyar las necesidades individuales es más efectiva que el publicar el progreso de los estudiantes

en la clase para hacer la comparación entre los estudiantes.

La siguiente tabla proporciona las expectativas del nivel de grado para la fluidez de las

operaciones.


Objetivos para la fluidez en las operaciones aritméticas de Kinder a 5.o

Grado Desarrollo del sentido numérico (Basado en los estándares del MMSD)

Las letras en negritas indican una nueva expectativa a este nivel de grado.

K No es aplicable (Vea los siguientes grados si el estudiante demuestra un sentido numérico en esos niveles)

1.o

Demuestra fluidez con las sumas de:

• las operaciones del “0 al 9” (sumas menores que 10) • combinaciones para formar 10

Evaluación disponible: Evaluación oral A — Sumas del 0 al 9 y hasta el 10 (vea “El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2)”)

2.o

Demuestra fluidez con todas las sumas:

• dobles • dobles ± 1 • operaciones “después del diez” (sumas mayores que 10) • operaciones “del 0 al 9” (sumas menores que 10) • combinaciones para formar 10

Evaluación disponible: Evaluación oral B – Sumas hasta el 20, del 0 al 9, hasta y después del 10.

3.o

Demuestra fluidez utilizando las relaciones de parte-todo, comparación, el concepto de diferencia o recuerda para determinar los resultados de la resta.

Evaluación disponible: Evaluación oral C – Diferencias menos que, igual que y mayor que 3.

Demuestra fluidez en las tablas de multiplicar del (2, 5, 4 y 3 como multiplicador y multiplicando)

Evaluación disponible: Evaluación oral C – 2, 5, 4 y 3 como multiplicador y multiplicando.

4.o

Demuestra fluidez en todas las tablas de multiplicar (2, 5, 4, 3, 9, 6, 7, 8 como multiplicador o multiplicando)

Evaluación disponible: Evaluación oral D — Todas las operaciones de multiplicación

Utiliza la relación inversa para determinar los resultados de una división usando las tablas de multiplicar.

5.o

Sabe todas las operaciones de división básica y los primeros diez múltiplos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 25.

Evaluación disponible: Evaluación oral E – Todas las operaciones de división

Utiliza la relación inversa para determinar los resultados de una división usando las tablas de multiplicar.


Evaluación de problemas tipo CGI

Los siguientes problemas se pueden utilizar para evaluar la habilidad de cada

estudiante para resolver siete tipos de problemas básicos. Los números están a

un nivel en que los estudiantes de los grados intermedios deberían ser capaces

de resolver mentalmente y en más de una manera.

Sin embargo, para los propósitos de esta evaluación, solamente se requiere una

estrategia de solución. Si el estudiante utiliza un algoritmo estándar para resolver

el problema, puede pedirle al estudiante que muestre una segunda estrategia

para que pueda evaluar el sentido numérico del estudiante.

Esta forma de evaluación les pide a los estudiantes que escriban una oración

para responder a la pregunta en el problema en vez de una ecuación. Esto apoya

a los estudiantes a que reflexionen en cuanto a su solución ya que se conecta

con el problema original. La evaluación no les pide a los estudiantes que escriban

una ecuación que “vaya con” el problema ya que hay muchas ecuaciones que se

pueden utilizar para resolver la mayoría de los problemas.

Cuando los estudiantes pueden resolver fácilmente estos problemas básicos

(utilizando el sentido numérico) intente problemas parecidos con diferentes

números (Vea el capítulo 6: Dominios numéricos). Puede ser que algunos

estudiantes sientan que el significado de la situación del problema se vuelve más

difícil con números desconocidos, lo cual es información importante en la

evaluación.

Los maestros también pueden utilizar los tipos de problemas básicos para

evaluar el conocimiento del estudiante referente a nuevos dominios numéricos,

tales como fracciones y decimales.

Para evaluar a los estudiantes que tienen dificultades para resolver los tipos de

problemas matemáticos básicos, utilice las evaluaciones orales de problemas

matemáticos que se encuentran en la carpeta del MMSD titulada El aprendizaje

de las matemáticas en los grados iniciales (K-2).

Vea el capítulo 6: Tipos de problemas para más información sobre los tipos de

problemas.


Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 1. Mariana tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más necesita para tener 65 en total?

Demuestra una manera para resolver éste problema. _____________________________________________________________________________________

Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 2. Connie tenía 62 monedas. Ella le dio unas a su amigo Marco. Ahora ella tiene 48. ¿Cuántas monedas

le dio a Marco?


Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático.


Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 3. Martín tiene 57 estampillas. 29 son de México. El resto son de Canadá. ¿Cuántas son de Canadá?


Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 4. Akamu tiene 86 conchas. Lani tiene 49 conchas. ¿Cuántas más conchas tiene Akamu que Lani?

Demuestra una manera para resolver éste problema.

_____________________________________________________________________________________



Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 5. Nakato tiene 6 bolsas de plátanos para vender en el mercado. Cada bolsa tiene 15 plátanos.

¿Cuántos plátanos tiene Nakato?


Escribe una oración que conteste la pregunta de éste problema matemático. 6. Mbali tiene 45 zanahorias para ponerlas en bolsas para el mercado. Él quiere poner 9 zanahorias en

cada bolsa. ¿Cuántas bolsas va a necesitar para todas sus zanahorias?




Nombre_________________________________ Fecha_______________________ 7. Paki tiene 36 papas para vender en el mercado. Tiene 4 bolsas. Él quiere poner el mismo número de

papas en cada bolsa. ¿Cuántas papas va a poner en cada bolsa?





Datos de la evaluación de los problemas tipo CGI Maestro _____________________________ Fecha__________

Evaluación de problemas tipo básico Nombres de

los estudiantes

Suma, segundo sumando

desconocido (JCU)

Resta, sustraendo desconocido (SCU)

Parte-parte-todo, parte desconocida

(PPW, PU)

Comparación, diferencia

desconocida (CDU) Multiplicación (M) División con factor

desconocido (MD) División partitiva

(PD)

Registre la estrategia utilizada para cada problema. Vea el capítulo 6: Estrategias


El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3º-5º) Capítulo 4 Página 51 Traducido por Rosy Einspahr

Evaluando el entendimiento del valor numérico

La evaluación del conocimiento sobre el valor numérico requiere mucho más que

simplemente preguntar qué significan los nombres de los valores numéricos o que

número va en cierta posición. El conocimiento del valor numérico incluye saber que una

sola unidad (dígito) puede tener significados múltiples o diferentes valores. El 3 en 1,367

tiene el valor de 3 centenas (3X100) por su posición, pero también puede significar 30

decenas o 300 unidades aún estando en esa misma posición.

Lo más importante es entender que el valor numérico requiere un razonamiento

multiplicativo en vez de un razonamiento aditivo. Muchos estudiantes piensan en la

multiplicación como una suma repetitiva. Ellos ven a 3X5 y piensan 5+5+5. Sin embargo,

la multiplicación es diferente a la suma porque involucra un razonamiento más

jerárquico. Las investigaciones sugieren que los estudiantes que reconocen que el “4” en

4X5 se refiere a “4 cincos” y que el “5” es un grupo de cinco en vez de 5 unidades

pueden “pensar multiplicativamente.” El “5” es una “unidad de un orden más alto” y

tiene un significado diferente que el “4” (Kamii, 2003).

Hay muchos componentes para el entendimiento del valor numérico. El conocimiento del

valor numérico es complejo y toma años para desarrollarse. Los niños pueden ser

inconsistentes por mucho tiempo y se necesita de un observador cuidadoso para percibir

los cambios en el conocimiento del valor numérico de un estudiante. Los maestros

evalúan el conocimiento del valor numérico de manera informal durante la resolución de

problemas, la inspección de ecuaciones y durante el trabajo numérico.

Para los estudiantes que tienen dificultad con los cálculos para los números mayores que

10:

Evalúe la fluidez de las operaciones utilizando las evaluaciones orales de operaciones aritméticas en éste capítulo (cálculos mentales para dígitos solos)

Utilice el ejercicio del valor numérico Kamii en la sección de ejercicios rápidos de este capítulo.

La siguiente tabla hace un esquema de los componentes del conocimiento del valor

numérico, lo que los estudiantes necesitan saber y poder hacer, preguntas de evaluación

e implicaciones instructivas. Las implicaciones instructivas incluyen sugerencias para las

actividades o el rango numérico para desarrollar el conocimiento sobre el valor numérico.

Componentes del entendimiento del valor numérico

Concepto o habilidad del valor numérico

Estudiantes con este entendimiento: Preguntas de evaluación Implicaciones instructivas

Secuencia de conteo verbal

cuentan de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000 en 1000 a partir de cualquier número.

¿Dónde es que se confunde el estudiante durante la secuencia de conteo?

¿Puede el estudiante pasar fácilmente una decena, centena o millar?

Utilice números que proporcionen oportunidades a los estudiantes para:

contar las decenas progresivamente comenzando del 10, 100, 1000 o iniciando de cualquier decena terminada en cero.

contar las decenas progresivamente comenzando del 10, 100, 1000 o iniciando de cualquier decena, centena o millar terminado en cero, o iniciando de cualquier número

Construye/Cuenta cantidades mixtas

agrupan objetos en decenas, centenas, millares y cambian las unidades cuando cuentan grupos que contienen centenas, decenas, unidades.

¿Cambia el estudiante las unidades a medida que va contando? (p.ej. tres bloques de 10 y 2 de uno son contados así: 10,20, 30, 40, 50… en vez de… 10, 20, 30, 31, 32…)

¿Puede el estudiante hablar fácilmente sobre la barra de cien como 1 centena, 10 decenas y 100 unidades?

Proporcione oportunidades para que los estudiantes cuenten bloques de base de 10 que incluyan unidades, decenas, centenas con más de 10 en al menos uno de estos valores. (p.ej. 3 centenas, 15 decenas, 23 unidades)

Intente la actividad de Contar y Comparar en el capítulo 7: Trabajo numérico

Lee y escribe números

leen y escriben los números correctamente.

¿Qué tipos de números parecen presentar un mayor reto?

¿Sabe el estudiante de los “ceros escondidos”? (p.ej. ciento quince se escribe 115 no 10015).

¿Sabe el estudiante el valor y el nombre del valor numérico para cada posición?

Haga la lectura y la escritura en parejas con el uso de materiales de base de diez para modelar las cantidades

Las tarjetas de flechas de valor numérico pueden ayudarles a los estudiantes a ver los “ceros escondidos”.

Intente la actividad de Apodo, Nombre real en el capítulo 7: Trabajo numérico.

Proporcione oportunidades para discutir y comparar cantidades. (p. ej. 51 es más que el 15, la clave es el valor de la izquierda.)

Secuencias numéricas

colocan estratégicamente los números en una cuadrícula de 100.

Pueden usar una recta numérica vacía para resolver los problemas.

Pueden explicar cómo los números se relacionan con el diez.

¿Ve el estudiante un patrón en la tabla numérica de cien y lo utilizo o busca al azar?

¿Puede el estudiante usar una recta numérica vacía para demostrar como resolvió un problema?

Proporcione una variedad de tablas numéricas de cien (ver el apéndice) para apoyar la flexibilidad en el orden numérico y poder ver las relaciones.

Ordene los números en secuencia del más pequeño al más grande. Utilice números que puedan desafiar a los estudiantes al pensar en el valor numérico (P. ej. 7068, 6807, 6078, 7608, 76.08. 7.60, 7.06).


Componentes del entendimiento del valor numérico (continuación)



Entendiendo el valor y la cantidad

explican los significados diferentes de un dígito dentro de un número.

explican los significados posibles de los números “4” y “5” en 4 x 5.

¿Puede el estudiante mantener los conceptos del valor numérico mientras explica las soluciones de los problemas?

Pídales a los estudiantes que nombren el valor y la cantidad (unidades) al explicar las soluciones a los problemas o al usar los algoritmos.

Por ejemplo: El 3 en 1, 345 es 3 centenas. La expresión 4 x 5 se puede pensar como 4 grupos de 5 o 5 grupos de 4.

Representa secuencias numéricas en una recta numérica vacía y utiliza el lenguaje de flechas.

aumentan y disminuyen números mentalmente en cantidades de 10, 100, 1000, etc. a partir de cualquier número.

representan soluciones a los problemas en una recta numérica vacía o utilizan el lenguaje de flechas para representar su pensamiento cuando sea apropiado.

¿Cuáles son los números más difíciles?

¿Puede el estudiante pasar fácilmente una decena, centena o millar y continuar con un conteo adecuado?

Utilice números que proporcionen oportunidades para que los estudiantes:

Aumenten o disminuyan en decenas iniciando del 10, 100, 1000 y luego iniciando de cualquier decena terminada en cero.

Aumenten o disminuyan en cualquier decena, centena, millar iniciando de cualquier decena terminada en cero, centena o millar, después iniciando de cualquier número.

Decenas y decenas dentro de las decenas

fácilmente componen y descomponen el diez.

comparan un número que no es una decena exacta con la decena exacta que va inmediatamente después y antes (p.ej. 164 es 6 antes de llegar al 170 o 4 más que 160).

¿Sabe el estudiante todas las sumas para formar el diez?

¿Puede el estudiante descomponer mentalmente y con facilidad cualquier número menor que diez?

¿Puede el estudiante sumar/restar mentalmente un número de un solo dígito a/de cualquier decena? (p.ej. 30 + 8, 56 – 6)

Utilice números que proporcionen oportunidades para que los estudiantes:

formen una decena dentro de una decena (63 + 7)

comparen un número con una decena exacta (356 comparado con 360)

Utilice juegos para fomentar la fluidez y las habilidades matemáticas mentales.

Agrupa decenas, centenas y millares

agrupan y reagrupan mentalmente las decenas, centenas, millares.

¿Cuáles son los números que presentan mayor reto para componer y descomponer mentalmente?

Utilice los problemas de multiplicación y de división con factor desconocido con grupos de 10.

Haga preguntas sobre los grupos de decenas y centenas (p.ej. ¿Qué número es 7 centenas? ¿Cuánto es 12 decenas? ¿Cuántas decenas se necesitan para formar el 342? ¿Qué es 5 centenas, 25 decenas y 2 unidades?)


Componentes del entendimiento del valor numérico (continuación)



Descomposición y composición numérica

descomponen y componente números en muchas maneras.

¿Usa siempre el estudiante el mismo método para sumar y restar o considera las relaciones numéricas antes de elegir una estrategia?

¿Mentalmente, con qué números puede trabajar el estudiante o con cuáles puede modelar usando los bloques de base de diez o utilizando representaciones por escrito?

Utilice números que proporcionen muchas oportunidades para que los estudiantes:

escriban ecuaciones horizontalmente

trabajen con números que estén cerca de una decena exacta (78, 89), centena (197, 203) o millar (996, 1985)

practiquen encontrar la diferencia entre dos números.

descompongan un número en decenas exactas (120 en 70 y 50)

Relaciones multiplicativas

(Magnitud)

saben que cada posición es 10 veces el valor del lugar a la derecha y que cada posición tiene un valor de 1/10 del lugar a la izquierda.

saben de qué manera la magnitud de un número cambia con cierta operación y número.

saben el tamaño relativo (decenas, centenas, millares) de un número y predicen el resultado de un cálculo.

¿Qué indica la magnitud del estimado realizado por el estudiante sobre su sentido numérico y sobre cada operación?

¿Qué nociones indican el estimado realizado por el estudiante sobre cómo cambian los números a través de las operaciones?

¿Puede un estudiante explicar cómo cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha, y que cada posición tiene un valor de 1/10 de la posición a su izquierda?

¿Usa el estudiante los dobles o multiplica por diez cuando utiliza la tabla de proporciones?

Haga de la estimación una rutina antes de hacer cálculos.

Use todos los tipos de problemas y operaciones con números terminados en uno o más ceros y decimales para los estudiantes mayores.

Proporcione muchas oportunidades para que los estudiantes comparen relaciones numéricas aditivas y multiplicativas a través de la resolución de problemas y del trabajo numérico.

Utilice, “¿Cuántas veces más grande (o más pequeño)? al comparar números.

Enséñeles a los estudiantes como usar una tabla de proporciones para problemas de agrupación y partitivos. Vea el Capítulo 6, p.50 para ideas de práctica.

Estudie una serie de problemas que incluyan el trabajar con números terminados en uno o más ceros.

Utilice las actividades de inspección de ecuaciones.


Conceptos de las fracciones

1. Los problemas de nombrar las fracciones implican el nombrar las partes de los enteros o las porciones de un grupo de objetos.

2. Los problemas de compartir/partir implican el compartir o partir en partes iguales las cantidades que dan como resultado partes fraccionales.

3. Los problemas de fracciones como operador implican el uso de las fracciones para describir una parte de un entero o un grupo de objetos.

4. Los problemas de razón implican las relaciones entre los números enteros que son expresados como fracciones.

5. Los problemas de equivalencia implican fracciones equivalentes.

6. Los problemas de operaciones implican el sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones utilizando los métodos derivados de los estudiantes.

Cada categoría de conceptos tiene bastantes niveles de dificultad dependiendo del conocimiento sobre las fracciones, el cual es necesario para entender la situación o para resolver el problema.

Utilice estas evaluaciones de papel y lápiz con estudiantes individuales, con grupos pequeños o con la clase completa.

Pídales a los estudiantes que expliquen su proceso de razonamiento por escrito (usando palabras, dibujos o símbolos) como si se lo estuvieran explicando a alguien que no sabe mucho acerca de las fracciones.

Asegúrese de “entrevistar” a los estudiantes quienes tienen una base lógica o un diagrama incompleto o poco claro. Los estudiantes competentes deben (como mínimo) ser capaces de explicar su razonamiento oralmente utilizando un lenguaje matemático.

Propósitos de las evaluaciones de los conceptos de las fracciones:

Documentar las maneras en que el estudiante trabaja con las fracciones.

Determinar los tipos de modelos que el estudiante crea.

Monitorear el progreso del estudiante a través del tiempo.

Comunicar el progreso de un estudiante a su familia y futuros maestros.

Ilustrar el conocimiento conceptual de un estudiante.



Nombrando las fracciones

Nombre________________________________ Fecha__________________________

Los dibujos de abajo representan tres tipos de pizza. Cada pizza tiene una forma diferente.

Cameron tenía mucha hambre y se comió la parte sombreada de cada pizza. Da el nombre de la fracción a las piezas que se comió y explica cómo la nombraste.

Pizza de queso

Cameron se comió ________ de la pizza de queso. Explica tu razonamiento

Pizza de salchicha

Cameron se comió ________ de la pizza de salchicha. Explica tu razonamiento

Pizza de pepperoni

Cameron se comió ________ de la pizza de pepperoni. Explica tu razonamiento


Compartir / Partir

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. 1. Doce (12) personas comparten equitativamente tres (3) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona?

2. Ocho (8) personas comparten equitativamente tres (3) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona? ______

3. Nueve (9) personas comparten equitativamente doce (12) sándwiches. ¿Cuánto le toca a cada persona? ____


Operador

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.

Damon tiene 360 monedas en su colección.

1. 14

de las monedas son de un centavo. ¿Cuántas monedas son de un centavo? __________________

2. 310

de las monedas son de Canadá. ¿Cuántas monedas son de Canadá? ___________________

3. 56

de las monedas son más viejas que Damon. ¿Cuántas monedas son más viejas que Damon? ______

Un mercado local vende queso y carne para sándwiches. Agrega la parte que falta en cada dibujo.

A. El rectángulo de abajo representa 13

de una barra de queso. ¿Qué tan grande era la barra de queso?

B. El rectángulo de abajo representa 56


C. El rectángulo de abajo representa 25



Equivalencia

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. A. Estás en una fiesta. Te puedes sentar a la mesa ya sea con 4 amigos que comparten un pequeño

pastel en partes iguales, o bien te puedes sentar a la mesa con 5 amigos que comparten un pequeño

pastel en partes iguales. ¿En cuál mesa te tocaría más pastel? __________________________

B. Abena camina 14

de una milla a la escuela. Bevin camina 38

de una milla a la escuela.

¿Quién camina la distancia más larga?________________________

C. Jemiah vive a 34

de milla de la piscina. Hikari vive a 23

de milla de la piscina. ¿Quién vive más cerca

de la piscina? ________________________

D. Lara camina 25 de milla a la biblioteca. Johan camina

710 de milla a la biblioteca.

¿Quién camina la distancia más corta a la biblioteca?________________________

E. Adrián corrió 47

de milla en la clase de educación física. Berta corrió 58

de milla en la clase de

educación física. ¿Quién corrió más lejos? ________________________


Operaciones S/R

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. A. Breezy utilizó 1

2 bote de pintura para un proyecto de arte. Bao utilizó 1

4 de bote de pintura para su

proyecto. ¿Cuánta pintura utilizaron Breezy y Bao en total? ____________

B. Hakim compró 56

de una yarda de tela. Él utilizó 23

de una yarda para hacer una bandera.

¿Cuánta tela le sobró? ____________

C. Choua decidió visitar a su abuela que vive a 10 kilómetros de su casa. Él corrió 2 58

kilómetros y

después caminó el resto del camino. ¿Cuántos kilómetros caminó Choua? ____________

Olivia mezcló 35

de un bote de pintura roja con 78

de un bote de pintura azul. ¿Cuánta pintura utilizó

en total? ____________


Operaciones M

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.

La Sra. Long necesita ordenar materiales para las clases de arte del próximo año.

A. Cada niño en una clase de 21 necesita 13

de una bola de estambre.

¿Cuánto estambre va a necesitar la Sra. Long para toda la clase? ____________

B. Cada niño en una clase de 17 utilizará 15

de una bolsa de cuentas.

¿Cuánto va a necesitar la Sra. Long para toda la clase?____________

C. Cada niño en una clase de 18 necesitará 34

de una barra de plastilina.

¿Cuánto va a necesitar la Sra. Long para toda la clase? ____________


Operaciones D

Nombre______________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento. 1. Ariana tiene 8 yardas de tela. Quiere hacer papalotes para vender. Un papalote requiere de 3

4 de yarda

de tela. ¿Cuántos papalotes puede hacer? ______________ ¿Cuánta tela le sobró? ___________

2. Bryene tiene 56

5 yardas de hilo. Ella quiere hacer juegos con el hilo. Cada juego requiere de 13

de

yarda. ¿Cuántos juegos puede hacer con el hilo? ________ ¿Cuánto hilo le sobró? __________

3. Carlos tiene 12 yardas de listón. Él quiere hacer moños. Un moño requiere de 23

1 de yardas de listón.

¿Cuántos moños puede hacer? _________________ ¿Cuánto listón le sobró? _______________

4. Mamá hace tartas de manzana. Ella utiliza 34

de una manzana para cada tarta. Si mamá tiene 20

manzanas, ¿cuántas tartas de manzana puede hacer? _____ ¿Cuánto de manzana le sobró?______


Razón

Nombre_________________________________ Fecha________________________ Usa dibujos, palabras o símbolos para explicar tu razonamiento.

Los estudiantes de la escuela primaria St. Clair van a ir a una excursión al museo de arte. Se necesitan 3 acompañantes por cada 24 estudiantes.

1. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para un grupo de 36 estudiantes? ____________

2. Si hay 5 acompañantes disponibles, ¿Cuántos estudiantes podrían ir a la excursión?____________

3. Si hay 18 estudiantes, ¿Cuántos acompañantes se necesitan?____________


Razón

Nombre________________________________ Fecha__________________________

Usa dibujos y palabras para demostrar como resolviste los problemas Etiqueta tus respuestas cuidadosamente.

Una receta requiere de 10 cucharaditas de polvo para limonada para hacer 32 onzas de

limonada.

1. ¿Cuántas cucharaditas de polvo necesitarías para hacer 64 onzas de limonada? ____________





Ejercicios rápidos

Utilice estas evaluaciones para:

Conceptos de base de 10 – Estos ejercicios tratan el entendimiento de los conceptos de base de diez incluyendo el orden numérico y las operaciones.

Conceptos de las fracciones – Estos ejercicios tratan la representación, el tamaño relativo de las fracciones y la equivalencia sin un contexto.

Estos ejercicios se pueden usar como evaluaciones orales para evaluar a estudiantes de manera

individual o como evaluaciones de lápiz y papel en grupos pequeños o con toda la clase.

Cada ejercicio tiene un rango de números sugeridos para empezar. Utilice unos cuantos a la vez

según sea necesario.

Pídales a los estudiantes que expliquen los procesos de su razonamiento. Algunos ejercicios

funcionan mejor como “evaluaciones orales”.

Asegúrese de pedirles a los estudiantes quienes no tengan un razonamiento o diagramas muy

claros, que expliquen oralmente un poco más a fondo. Los estudiantes competentes deben

(como mínimo) explicar su razonamiento oralmente y por escrito utilizando dibujos, palabras o

símbolos.

Propósitos de los ejercicios rápidos:

Ilustrar los conceptos de base de diez o las fracciones que el estudiante entienda.

Documentar de qué manera un estudiante se involucra con estos conceptos.

Determinar los tipos de modelos o explicaciones que el estudiante crea.

Monitorear el progreso del estudiante a través del tiempo.

Comunicar el progreso del estudiante a su familia y futuros maestros.


Evaluación temprana sobre la base de diez Adaptado de Kamii, C. Young Children Reinvent Arithmetic: Implications of Piaget’s Theory, 1985

Esta evaluación puede permitir la comprensión de los conceptos iniciales de la base de diez a aquellos

estudiantes que tienen dificultades calculando con dígitos múltiples.

1. Pídale al estudiante que dibuje 25 rayitas.

2. Pídale al estudiante que escriba “veinticinco con números” en la misma hoja para demostrar que hay 25 rayitas.

3. Mientras encierra el “5” en el 25 pídale al estudiante que dibuje un círculo que demuestre “esa parte” de las rayitas.

4. Mientras encierra el “2” en el 25, pídale al estudiante que dibuje un círculo que demuestre “esa parte” de las rayitas.

Si el estudiante encierra 2 rayitas, pregúntele por qué no escribió un número para las rayitas que sobraron. Entonces encierre el 25 y pídale al estudiante que explique el número entero en relación al dibujo.

En seguida se presentan algunas posibles respuestas. La última respuesta indica el nivel de conocimiento

sobre la representación necesaria para entender la base de diez.

Nivel Respuesta

1 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera, pero que los dígitos no tienen significado numérico individualmente.

2 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera, pero inventa significados numéricos para cada uno de los dígitos. Por ejemplo, el estudiante piensa que el “5” significa grupos de 5 y que el “2” significa grupos de 2.

3

El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera y que los dígitos individualmente tienen significados relacionados a los grupos de decenas o unidades pero solo entiende parte o está confundido con la manera en que el sistema funciona. La suma de las partes no necesita igualar el entero. Por ejemplo, el estudiante piensa que ambos dígitos individualmente significan unidades o que el “5” representa las decenas y que el “2” representa las unidades.

4 El estudiante piensa que “25” representa la cantidad entera y que el “5” representa las unidades, que el “2” representa las decenas, y que el entero debe ser igual a la suma de las partes.


Evaluación oral del orden numérico de base de diez Adaptado de S, Griffin, Number Worlds

Esta evaluación proporciona un entendimiento del conocimiento del estudiante sobre el orden numérico y

la diferencia.

Pregúntele al estudiante qué pensó o hizo para contestar cada pregunta. (Por ejemplo: “Pensé en las

decenas y sabía que el número siguiente estaría en los 800.”) Detenga la evaluación oral cuando el

estudiante utilice las estrategias de contar de uno en uno o no pueda contestar fácilmente a la pregunta.

Los números se pueden ajustar hacia arriba o hacia abajo para aprender más acerca del nivel de

enseñanza o nivel independiente del estudiante.

1. ¿Qué número está 4 números antes del 60?________

2. ¿Qué número está 10 números después del 99? ________

3. ¿Qué número está 9 números después del 999?________

4. ¿Cuánto es 10 más que 3794?_______

5. ¿Cuánto es 100 menos que 2037? _______

6. ¿Cuánto es 301–7?______

7. ¿Cuánto es 36–18?_______

8. ¿Cuál diferencia es la más grande, la diferencia entre 99 y 92 o la diferencia entre 25 y 11? ____

9. ¿Cuál diferencia es la más grande, la diferencia entre 48 y 36 o la diferencia entre 84 y 73?_____

10. ¿Cuál está más cerca al 1; -0.2 o 1.8?________

11. ¿Cuál está más cerca al 1; -1.4 o 3.7?________

12. ¿A cuál número se acerca más 148.26 a 150 o a 149?________

13. ¿Cuánto es 126 dividido entre 6? ________

14. ¿Cuánto es 248 dividido entre 4? ________


Evaluación oral relacionada con los cálculos de base de diez Extraído de las perspectivas internacionales en el aprendizaje y la enseñanza

Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes relacionan un cálculo con otro.

Escriba la primera ecuación 16 + 27 = 43, después pregúntele a un grupo pequeño de estudiantes que expliquen cómo la utilizaron para resolver cada una de las siguientes ecuaciones. Escriba las respuestas y razonamiento de los estudiantes.

Por ejemplo, un estudiante que piensa en 16 + 26 puede decir, “La respuesta sería 42 puesto que 26 es uno menos que 27 y ambos tienen 16.” Esta serie de preguntas también se podrían dar en un formato escrito y darle un seguimiento para aclarar las respuestas confusas.

¿Cómo podrías utilizar 16 + 27 = 43 para ayudarte a resolver los siguientes problemas?

16 + 26 =______, _____________________________________________________________________

27 + 16 =______, _____________________________________________________________________

160 + 270 = ______, __________________________________________________________________

15 + 27 + 15 = ______, ________________________________________________________________

43 – 16 = ______, _____________________________________________________________________

16 + 16 + 27 + 27 = ______, ____________________________________________________________

17 + 26 = ______, ____________________________________________________________________


Evaluación oral del conteo salteado

Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca del orden numérico al contar salteado.

Pídale al estudiante que le diga cuales números son los más fáciles para contar salteado. Registre el

conteo de esos números primero. Luego pídale al estudiante que le diga cual le gustaría intentar

enseguida. Cuando el estudiante se toma más de unos cuantos segundos entre los números, pídale al

estudiante que le diga qué estrategia utilizó para llegar al siguiente número. Si el estudiante cuenta de

uno en uno, deténgase e intente otro número. Si el estudiante usa estrategias de sentido numérico,

anote la estrategia y continúe.

Dibuje un pequeño arco (entre dos números) para indicar cuando el estudiante baja la velocidad. Pídale

al estudiante que le diga como supo el número siguiente. Anote la estrategia. Escriba la fecha arriba del

último número en el conteo. Por ejemplo:

7 7 14 21 28 35 42 49 56 cuenta de 1 en 1 para pasar las decenas

5/17

Estudiante___________________________________ Examinador_______________________________

2

3

4

5

6

7

8

9


Evaluación oral de estimación de base de diez

Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes hacen un estimado de sus

cálculos.

Escriba o demuestre la ecuación, después pídale al estudiante que sin calcular diga si la expresión está en

las decenas (10-99), centenas (100-999), o millares (1000-9999). Por ejemplo, un estudiante que piensa

en 724 + 302 puede decir, “Millares, porque 700 y 300 son 1,000 y el resto de las decenas y unidades

forman más de 1,000.”

Escriba la respuesta y el razonamiento del estudiante. Intente:

724 + 302 ______, ____________________________________________________________________

36+ 54 ______, ______________________________________________________________________

243 + 679 ______, ____________________________________________________________________

134 + 979 ______, ____________________________________________________________________

249 + 457 + 391 ______, ______________________________________________________________

301 – 198 ______, ____________________________________________________________________

3027 – 283 ______, ___________________________________________________________________

11 × 256 ______, _____________________________________________________________________

638 × 5 ______, ______________________________________________________________________

2415/10 ______, _____________________________________________________________________

278/10 ______, ______________________________________________________________________

47,609/100 ______, ___________________________________________________________________


Evaluación de fracciones doblando papel

Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de cómo los estudiantes visualizan las partes de la

fracción en un modelo bidimensional de papel.

Dele a cada estudiante varias hojas de papel tamaño carta. Repase las técnicas para doblar en mitades,

tercios, cuartos y quintos. Después proporcione una serie de indicaciones sobre cómo doblar el papel

como las que se presentan a continuación.

• Dobla tu hoja a la mitad, después en tercios. ¿Cuántas partes iguales tendrá tu hoja cuando la

abras? Escribe el nombre de las partes en fracción en la parte de afuera de la hoja que se dobló.

• Dobla tu hoja en quintos, después en tercios, después a la mitad. ¿Cuántas partes iguales tendrá

tu hoja cuando la abras? Escribe el nombre de las partes en fracción en la parte de afuera de la

hoja que se dobló.

Intente cualquier combinación de dobleces. Observe quien puede conceptualizar mentalmente cómo los

dobleces cambian el número de partes que resultarán después de doblar y qué nombre en fracción se le

da a cada parte.


Evaluación del tamaño y orden de las fracciones

Esta evaluación proporciona un entendimiento sobre el conocimiento de los estudiantes sobre la notación

de fracciones, el tamaño relativo de las fracciones y las relaciones con los puntos de referencia de 1 y ½

sin usar un modelo o un común denominador. Escriba o muestre el par de fracciones y pídale al

estudiante que le diga o escriba cuál es más grande y que le explique por qué. Utilice algunos o todos

según sea necesario.

Intente estas. ¿Cuál número es más grande en cada par?

1 43 ____________________________________________________________________________

310 1

2 ____________________________________________________________________________

47 5

7 ____________________________________________________________________________

16 1

3 ____________________________________________________________________________

58 5

3 ____________________________________________________________________________

34 4

5 ____________________________________________________________________________

35 5

8 ____________________________________________________________________________

37 5

8 ____________________________________________________________________________

98 4

3 ____________________________________________________________________________

46 7

12 ___________________________________________________________________________

89 9

8 ____________________________________________________________________________

58 6

10 ___________________________________________________________________________

Análisis

Busque explicaciones que usen 0, ½, o 1 como aspectos clave o puntos de referencia eficaces que

incluyan una noción de los siguientes conceptos:

• Más de las partes del mismo tamaño tales como 47 vs. 5

7

• El mismo número de partes pero de diferente tamaño tales como 58 vs. 5

3

• Más o menos que un medio o un entero tales como 37 vs. 5

8 o 89 vs. 9

8

• Distancia de un medio o un entero 46 vs. 7

12 o 98 vs. 4

3


Evaluación para la estimación de fracciones

Esta evaluación proporciona un entendimiento acerca de qué es lo que saben los estudiantes sobre el

cálculo de fracciones sin usar un modelo o un común denominador.

¿Cuáles de las siguientes expresiones es menos que uno? Explica tu razonamiento.

510

+ 36

____________________________________________________________________________

38

+ 5

10 ____________________________________________________________________________

12

+ 35

_____________________________________________________________________________

58

+ 56

_____________________________________________________________________________

Estas expresiones están cerca de un número entero. ¿Qué número es ese? Explica tu razonamiento.

18

3 + 56

2 _______, _________________________________________________________________

910

+ 78

2 _______, __________________________________________________________________

12

6 - 13

2 _______, __________________________________________________________________

12

3 - 9

10 _______, __________________________________________________________________

1213

+ 79

_______, ____________________________________________________________________




Kamii, C. (2004). Young Students Continue to reinvent arithmetic 2nd edition. New York, NY: Teachers College Press. Stenmark, J. K., & Bush, William S. (2001). Mathematics assessment: A practical handbook K-2.

Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Sutton, J. & Krueger, A. (2002). EDThoughts: What we know about mathematics teaching and learning. Aurora, CO: Mid-continent Research for Education and Learning. Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades 3-5. Boston, MA: Allyn and Bacon Pearson Education, Inc.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

TRABAJO NUMÉRICO

INSPECCIÓN DE ECUACIONES

FLUIDEZ Y MANTENIMIENTO

CAPÍTULO 5

Organizándose

para la

instrucción

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Traducido por Rosy Einspahr


ORGANIZÁNDOSE PARA LA INSTRUCCIÓN

Los maestros pueden proporcionar las oportunidades necesarias para que los estudiantes

sean competentes en las matemáticas, mediante la planeación de una instrucción en

secuencia que incluya todas las áreas de las matemáticas como lo requieren los

estándares matemáticos de la escuela primaria del Distrito Escolar Metropolitano de

Madison.

La planeación de la instrucción asegura un enfoque sistemático que apoya un plan de

estudios sólido y conectado que les permite a los estudiantes ver las conexiones entre los

números, la geometría, la medición y la información.

Para éste documento, basamos esta instrucción en el siguiente diagrama.

Instrucción

Resolución de problemas (Instrucción diferenciada en grupos pequeños seguida por trabajo independiente o investigaciones con todo el grupo)

30-45 minutos al día

Trabajo numérico (Toda la clase)

o Inspección de

ecuaciones (Toda la clase o en grupos pequeños)


Práctica Fluidez y Mantenimiento

(Práctica individual diferenciada)

10-15 minutos al día (se puede asignar como tarea)

El bloque de matemáticas dividido en cuatro partes mantiene la resolución de problemas

como la parte más importante de la instrucción. Los estudiantes aprenden y practican

conceptos numéricos a lo largo del año escolar durante el trabajo numérico y la

inspección de ecuaciones. La fluidez y el mantenimiento les permite recordar a los

estudiantes sobre el aprendizaje previo y les proporciona práctica con conceptos nuevos.

Los maestros pueden organizar ese bloque en cualquier secuencia que satisfaga de

mejor manera las necesidades del estudiante y del horario de la clase.

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 5 Página 3 Traducido por Rosy Einspahr

Organizándose para el año escolar

Los estándares del MMSD proporcionan la base para planear el programa de estudios a

lo largo del año escolar. Los estándares están vinculados con las estructuras de

evaluación del estado de Wisconsin (Wisconsin State Assessment Frameworks) en

conjunto con los principios del consejo nacional de maestros de matemáticas (NCTM por

sus siglas en inglés) del año 2000 y con los estándares matemáticos escolares.

Organizándose para el año escolar incluye:

conocer los estándares del MMSD de acuerdo al nivel del grado (ver el Capítulo 6: Resolución de problemas)

escoger o crear materiales que aseguren que los estudiantes satisfagan los estándares

reconocer y utilizar las interrelaciones entre los temas como parte del plan de instrucción (por ejemplo: se pueden estudiar las fracciones en número, medida y geometría)

evaluar el aprendizaje del estudiante antes, durante y después de estudiar un concepto

anticipar el programa de estudios que cubra los estándares en una forma oportuna.

No hay recomendaciones acerca del orden en que se deben presentar los temas de

estudio. Sin embargo, esos temas que requieren más conocimiento numérico (tales como

“rango” o “promedio” en la unidad de datos) pueden requerir que se dicten más tarde en

el año escolar. Aquellos temas que toman más tiempo para aprender (tales como

fracciones y proporciones) es necesario que se les preste atención durante todo el año.

La planificación anual requiere una evaluación frecuente del progreso y del alineamiento

de la instrucción, de tal manera que el aprendizaje del estudiante se relacione con los

objetivos del distrito y del estado. Si bien, muchos estudiantes solo alcanzarán la

competencia en ciertos parámetros del contenido, es importante que los maestros

encaren las necesidades de aprendizaje individuales de cada estudiante. Algunos

estudiantes necesitarán ajustes en el contenido más allá de los estándares, mientras que

otros necesitarán más estudio para satisfacer los estándares.


Planeando para la enseñanza diaria

Los maestros en los grados intermedios planean para todo lo que impacta la enseñanza. Ellos

consideran asuntos tales como los intereses del estudiante, el arreglo del salón y los horarios

diarios a medida que planean la instrucción de las matemáticas para cada día. Además, los

maestros planean todo el año por adelantado para asegurarse de cubrir todos los temas

contemplados en los estándares y en las evaluaciones.

Hay tres cosas importantes para tener en cuenta al hacer la planeación:

1. los objetivos y las actividades más efectivas para el aprendizaje del contenido de las matemáticas

2. las necesidades de cada estudiante basándose en las evaluaciones

3. cubrir todos los estándares

La efectividad de la instrucción diaria depende de hacer la planeación de los materiales, los

grupos y la cantidad de tiempo necesaria. Cuando planean, los maestros consideran lo siguiente:

objetos manipulables y otros materiales necesarios (por ejemplo: diarios, pizarrones blancos, marcadores de borrado en seco, guías matemáticas de referencia) y formas de organizar los materiales para que los estudiantes puedan tener acceso a ellos.

organización del tipo y tamaño de los grupos y de la manera en que los estudiantes se moverán de grupo en grupo.

asignar la cantidad de tiempo necesaria para enfocarse en la resolución de problemas, inspección de ecuaciones y fluidez y mantenimiento.


Los objetos manipulables para la enseñanza en los grados intermedios

Los objetos manipulables les dan a todos los estudiantes acceso y posesión para

desarrollar los modelos que respaldan sus explicaciones matemáticas. Los maestros

dependen del acceso inmediato a los objetos manipulables para ayudarles a los

estudiantes a materializar sus pensamientos, especialmente cuando las habilidades del

lenguaje están emergiendo. El tener objetos manipulables a la mano es esencial para

edificar el conocimiento de los estudiantes durante la enseñanza de las matemáticas en

los grados intermedios. Los estudiantes utilizan objetos manipulables para:

• crear modelos numéricos (números enteros, fracciones y decimales)

• hablar acerca de las soluciones y justificarlas

• explorar la geometría, la medición y las relaciones numéricas

Los objetos manipulables que se utilizan diariamente deben estar disponibles en cada

salón de clases. Otros materiales, que los estudiantes utilizan ocasionalmente, tales como

balanzas, juegos de figuras geométricas o juegos de herramientas para medir en la

clase, pueden guardarse en un lugar central para que sean compartidos a medida que se

necesiten en las clases. Considere crear una caja de herramientas matemáticas para el

estudiante. Las siguientes recomendaciones de objetos manipulables para los grados

intermedios están basadas en una clase de 30 estudiantes.

Objetos manipulables para números, operaciones y relaciones algebraicas: Los objetos

manipulables ayudan a los estudiantes de

Kinder a 12.º grado a construir modelos

mentales.

□□ tablas numéricas en una variedad de formas (ver el apéndice para ejemplos de décimos, centésimos, comenzando con el uno, cero y vertical)

□□ dados numéricos con puntos y números

□□ flechas de valor numérico – un juego para el maestro para cada salón y 5 juegos para los estudiantes (Vea el Capítulo 6: Representación)

Durante los grados intermedios, los objetos

manipulables proveen modelos fundamentales

para desarrollar el conocimiento de base

de diez y para entender la geometría y la

medición.

□□ bloques de valor numérico (transparentes y que se ensamblan)

50 cubitos de unidades por estudiante

20 barras/palitos de diez por estudiante

5 planos de cien por estudiante

varios cubos de mil (para la clase)

□□ tarjetas numéricas (una pila para cada estudiante, con 4 juegos del 1 al 10)

□□ monedas y billetes de 1 dólar

□□ calculadoras (una por estudiante)

□□ opcional

Reloj de manecillas [Clock-o-Dial] (una por clase)

Relojes miniatura con engranes [Mini Judy-clocks with gears] (solamente para el 3er grado)

Ábaco (3 por clase)

Cordel de 20 cuentas rojas y blancas de ¾” (uno por clase)


Objetos manipulables para la geometría *Indica un objeto útil para la caja de herramientas de un estudiante

□□ Bloques de atributo (8 juegos) – 3er grado

□□ Objetos manipulables para explorar figuras bidimensionales incluyen:

Geoplanos (1 por estudiante + un juego para usar con el retroproyector)

Plantilla de figuras geométricas (una por estudiante)

Pentominós (1 juego para el estudiante + un juego para usar con el retroproyector) La biblioteca nacional de objetos manipulables virtuales, una

biblioteca digital que contiene programas de Java y actividades para las

matemáticas de Kinder al 12.º grado, puede proveer un

acceso fácil a objetos manipulables para los

estudiantes que usan la computadora.

Polígonos transparentes (3 cubetas)

Tangramas (1 juego por estudiante + un juego para usar con el retroproyector)

opcional

Isotiles (varios juegos para grupos pequeños o para instrucción individual)

Juego de Trigram (varios juegos para grupos pequeños o para instrucción individual)

□□ Objetos manipulables para explorar figuras tridimensionales incluyen:

Geoblocks (3 cajas por clase)

sólidos geométricos de plástico (rellenables) (8 juegos)

Marcos Polydron (3 juegos para la clase)

cubos conectables (1,000 por clase) http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

sólidos geométricos de madera (8 juegos)

□□ *Plantilla geométrica (1 por estudiante)

Objetos manipulables para la medición *Indica objetos útiles para la caja de herramientas de un estudiante

□□ *regla para medir ángulos (una por estudiante)

□□ *compás para trazar círculos (uno por estudiante)

□□ *transportador (uno por estudiante)

□□ *regla(s) (1/8” y cm.) (una por estudiante)

□□ yardas y metros (15 por clase)

□□ fichas cuadradas (7-8 cubetas)

□□ cubos de 1” (7-8 cubetas)

□□ medidor de líquidos (1 juego para demostración)

□□ termómetros (Centígrados & Fahrenheit) (uno por estudiante)

□□ báscula científica y báscula personal

Otros materiales

□□ diarios de los estudiantes (cuadriculados o de rayas)

□□ carpetas para guardar las muestras del trabajo de los estudiantes

□□ pizarrones blancos y marcadores (para mostrar soluciones durante el trabajo numérico o la resolución de problemas)

□□ guías matemáticas de referencia


La administración de los objetos manipulables

Los maestros organizan los objetos manipulables para:

• permitir a los estudiantes su acceso y uso independiente

• centrar la atención en las ideas matemáticas

• enfatizar el valor de modelos para entender los conceptos matemáticos

Comunique claramente de qué manera los estudiantes deberán tomar los objetos manipulables y luego ponerlos en su lugar.

• ¿Obtiene cada niño las cosas que necesita o hay una persona encargada de repartir y recoger los objetos manipulables?

• ¿Cuándo se les permite o se espera que los estudiantes consigan los objetos manipulables?

• ¿Cuántos estudiantes compartirán cierto objeto manipulable?

• ¿Están los materiales organizados de tal manera que todos los estudiantes los estén usando para crear modelos y resolver los problemas?

Guarde los objetos manipulables de tal manera que permita su uso de forma individual y por grupos pequeños.

Etiquete los lugares para guardar cada tipo de material.

Guarde los materiales que apoyan las actividades de aprendizaje del momento, en lugares de fácil acceso.

Asegúrese de que los estudiantes sepan cuales materiales pueden utilizar.

Las herramientas matemáticas son

“amplificadores de las capacidades humanas”

-Bruner, 1966


Organizar los materiales para concentrar la atención en las ideas matemáticas

Guarde los bloques de base de diez en bandejas, de tal manera que cada estudiante pueda tener fácil acceso a ellos cuando los necesite. (Vea las etiquetas en el Apéndice)

Coloque todos los objetos manipulables de geometría juntos y marque esa área como Geometría. Haga lo mismo con los materiales para la medición y los números. Esta estructura indica conexiones entre las herramientas y refuerza el vocabulario matemático. (Vea las etiquetas en el Apéndice)


Organización que apoya el trabajo individual, en grupos pequeños y grandes en los grados intermedios

Los estudiantes de todos los grados dependen de las rutinas. Las rutinas les permiten

maximizar el tiempo de instrucción y enfocarse en el razonamiento matemático que

requiere cada actividad, en lugar de enfocarse en situaciones sociales o de

comportamiento que puedan surgir.

Planee una secuencia durante la hora de matemáticas de tal manera que los estudiantes puedan anticipar las actividades y las expectativas.

Determine las maneras para que los estudiantes puedan hacer la transición de un grupo grande a un grupo pequeño a actividades independientes.

Establezca expectativas claras acerca de cómo se va a utilizar cada área del salón durante la hora de matemáticas.

Organice el trabajo individual para que los estudiantes puedan tener acceso a él y entregarlo independientemente. Muchos maestros colocan el trabajo individual en carpetas con compartimientos, en cajas de matemáticas, o en archivos colgantes.

Asignación de tiempo durante la hora de matemáticas Los estudiantes en los grados intermedios:

• empiezan a depender de su entendimiento intuitivo informal para ayudarse a que

tengan sentido para ellos las nuevas situaciones de problemas Se utiliza como

mínimo una hora de

cada día escolar para

la enseñanza de las

matemáticas.

• aumentan su vocabulario para aprender a reflexionar sobre su trabajo y a compartir su razonamiento

• se dan cuenta de los patrones cuando trabajan con números y figuras • aprenden nuevos símbolos matemáticos y comienzan a entender que hay

convenciones en las maneras en que se utilizan esos símbolos • usan su fuerte sentido inquisitivo para empezar a hacer generalizaciones acerca

de las propiedades y operaciones numéricas

Para tener tiempo de desarrollar éste dominio y confianza, la instrucción de las

matemáticas fácilmente toma como mínimo una hora al día. Esta hora se llena con

experiencias agradables que enfocan la atención de los estudiantes en el aprendizaje de

convenciones y conceptos matemáticos importantes. Se requiere de experiencias

repetitivas para obtener un entendimiento conciso de los conceptos, las convenciones, y

las habilidades matemáticas nuevas. Estas experiencias están guiadas por el uso

cuidadoso de problemas interesantes por parte del maestro y de las reflexiones de los

estudiantes sobre sus soluciones. Los estudiantes también tienen tiempo para practicar

sus habilidades y desarrollar fluidez durante esta hora.


Estructurando la hora de matemáticas

Los maestros organizan la instrucción de las matemáticas alrededor de los cuatro

componentes del bloque de matemáticas. Los cuatro componentes son: resolución de

problemas, trabajo numérico, inspección de ecuaciones y fluidez y mantenimiento.

• La resolución de problemas es la parte central de la instrucción matemática. Los problemas pueden tener un contexto y requerir de más de una operación para resolverlos. Los problemas pueden también incluir geometría, medición o análisis de información y probabilidad.

• Durante el trabajo numérico los estudiantes tienen la oportunidad de pensar acerca de los números por sí mismos fuera de contexto, lo cual es también un elemento importante en la instrucción de las matemáticas.

• Los estudiantes en tercero, cuarto y quinto grado, desarrollan la habilidad de pensar acerca de las relaciones numéricas a través de la inspección de ecuaciones. Ellos hacen esto por medio del análisis de las maneras en que los problemas de Verdadero/Falso o las ecuaciones numéricas abiertas comunican relaciones de igualdad.

• Cuando los estudiantes son capaces de utilizar su nuevo conocimiento y sus habilidades independientemente, necesitan práctica para poder desarrollar la fluidez. La cuarta parte de la instrucción, fluidez y mantenimiento, se enfoca en el trabajo independiente de las matemáticas.

La tabla 5.1 muestra la cantidad de tiempo que se recomienda asignar a cada una de las

cuatro partes del bloque de matemáticas. Las líneas dentro del diagrama están

punteadas para indicar que las actividades en cada parte pueden cruzar fácilmente a los

otros componentes. Los maestros pueden organizar la secuencia de las partes en la

manera que mejor satisfaga las necesidades de los estudiantes y el horario de la clase.

Instrucción

Resolución de problemas (Instrucción diferenciada en grupos pequeños seguida por trabajo independiente o investigaciones con todo el grupo)


Trabajo numérico (Toda la clase)

o Inspección de

ecuaciones (Toda la clase o grupo pequeño)


Práctica Fluidez y mantenimiento

(Práctica individual diferenciada)

10-15 minutos al día (se puede asignar como tarea)


Las ventajas de organizar la hora de matemáticas

El estructurar la hora de matemáticas de esta manera:

• mantiene la atención en los conceptos y procesos matemáticos importantes

• facilita el uso de entornos apropiados para que los estudiantes desarrollen su

competencia (habilidad) dominio (destreza) fluidez (facilidad)

• proporciona tiempo para diferenciar en los grupos pequeños o las necesidades individuales basándose en la información de las evaluaciones.

• proporciona oportunidades para que los estudiantes examinen los mismos conceptos dentro de una variedad de contextos de aprendizaje.


Trabajo numérico o inspección de ecuaciones (alrededor de 15 minutos)

En los grados de 3.o a 5.o, el dedicar quince minutos diarios para pensar acerca de los

números, operaciones y conceptos representados en ecuaciones proporciona una

experiencia consistente que promueve un fuerte desarrollo conceptual en la preparación

para el álgebra. El trabajo numérico y la inspección de ecuaciones:

• les da a los estudiantes la oportunidad de analizar los convencionalismos de las representaciones simbólicas y de considerar las propiedades de los números y de las operaciones durante todo el año, ya sea en una clase completa o en un grupo pequeño.

• desarrolla el conocimiento de descomponer y componer números, operaciones, base de diez, fracciones, e igualdad en un contexto numérico.

• suplementa el trabajo en la resolución de problemas y la fluidez y asegura que se continúe desarrollando el sentido numérico durante todo el año.

Para más detalles, vea el capítulo 7: Trabajo numérico y el capítulo 8: Inspección de ecuaciones.

Resolución de problemas (30 a 45 minutos)

En los grados de 3.o a 5.o, los estudiantes pueden pasar más tiempo trabajando por sí

mismos, con problemas más complejos que se han escogido de acuerdo a su nivel de

instrucción. La resolución de problemas es diferenciada para así satisfacer las

necesidades de aprendizaje individualizadas de cada estudiante. Sin embargo, también

puede incluir la instrucción de nuevos temas para toda la clase o las investigaciones en

geometría, medición y análisis de información.

La resolución de problemas:

• proporciona tiempo para que los estudiantes trabajen independientemente, en parejas o en grupos pequeños.

• proporciona oportunidades para que cada estudiante, en una situación de grupo pequeño, hable acerca de las estrategias para resolver los problemas con la ayuda de un maestro facilitando la conversación.

• proporciona un momento óptimo para la evaluación mientras el maestro observa y escucha a los estudiantes explicar su razonamiento.

• proporciona tiempo para que los estudiantes aprendan a representar y a comunicarles a sus maestros y a sus compañeros sus estrategias para resolver los problemas.

Para más detalles, vea el capítulo 6: Resolución de problemas.


Fluidez y mantenimiento (alrededor de 15 minutos o como tarea)

Los estudiantes en los grados intermedios necesitan la cantidad de tiempo adecuada

para desarrollar la fluidez con las operaciones numéricas, las estimaciones o el cálculo

aproximado y el cálculo mental matemático. Las actividades de fluidez y mantenimiento

pueden ofrecer la práctica que tanto se necesita mientras los estudiantes se reúnen en

grupos pequeños con el maestro. La fluidez y mantenimiento incluye:

• práctica diaria con conceptos al nivel independiente del cálculo mental de cada estudiante, la cual se puede asignar como tarea.

• juegos numéricos, práctica de las operaciones, rompecabezas geométricos y problemas

Para más detalles, vea el capítulo 9: Fluidez y mantenimiento


Tres maneras para organizar

I.

Un maestro comienza la hora de matemáticas involucrando a todo el grupo en

actividades de trabajo numérico o inspección de ecuaciones. En ocasiones los estudiantes

dirigen la clase en las rutinas del trabajo numérico.

Después este maestro presenta varios problemas matemáticos para que los estudiantes

los resuelvan independientemente en la mesa con sus grupos. Cada problema tiene un

rango de opciones numéricas, con una serie que el maestro ha encerrado previamente

en un círculo. Este maestro les pide a los estudiantes que resuelvan primero el problema

con la serie de números encerrados en el círculo. Si les queda tiempo ese día, pueden

intentar resolver las otras series de números.

Cada maestro organizará la hora de

matemáticas de la manera que sea más

efectiva para los estudiantes y su

situación de enseñanza.

El maestro se reúne con los estudiantes en sus grupos pequeños para guiar su desarrollo

de las estrategias de resolución de problemas para el razonamiento numérico y

algebraico.

Una vez que los estudiantes hayan completado el trabajo en los problemas asignados,

pasan a trabajar en las actividades independientes de fluidez y mantenimiento, que

tienen en sus carpetas o en las cajas de matemáticas.

Una vez por semana este maestro evalúa oralmente a cada estudiante en sus

operaciones numéricas básicas, mientras que los otros resuelven rompecabezas

geométricos y juegan con juegos numéricos.

Cuando se va a introducir un tema nuevo (tal como, “plantillas de un cubo abierto”) este

maestro utiliza actividades para toda la clase (tales como, “encontrar todos los

pentominós”), durante la resolución de problemas, para evaluar el conocimiento de los

estudiantes y determinar en cuáles aspectos del tema es necesario dar más énfasis

dentro de los grupos pequeños o individualmente (tal como la congruencia). Es entonces

cuando la resolución de problemas en grupos pequeños apoya las necesidades

específicas de los estudiantes de manera individual.


II.

Esta escuela usa un programa comprado el cual requiere que se dividan los estudiantes

en dos clases, una con todos los de cuarto grado y la otra con todos los de quinto grado.

Este maestro se queda con todos los estudiantes de 4.o grado pero los estudiantes de 5.o

grado se pasan a un salón de 4/5 y viceversa.

El maestro enfoca la atención de los estudiantes a las actividades de fluidez y

mantenimiento escritos en el pizarrón para que sepan lo que pueden hacer cuando

terminen la asignatura del día. Después, el maestro facilita una actividad de iniciación

relacionada a la lección del día, generalmente trabajo numérico o inspección de

ecuaciones.

Los estudiantes comienzan el trabajo en las páginas asignadas de su libro de resolución

de problemas. Varios estudiantes tienen asignaturas diferentes. Mientras un grupo

trabaja en el mismo tema pero en problemas más avanzados, otro grupo se reúne con el

maestro quien modifica el trabajo de tal manera que el concepto más importante sea

accesible. El maestro promueve el razonamiento de manera independiente, el usar la

lógica y compartir las estrategias, al igual que cómo comunicar su razonamiento

utilizando una notación matemática simbólica. El maestro se reúne con dos grupos cada

día para dialogar acerca de su trabajo y para atraer la atención de los estudiantes al

concepto que trata la lección.

El maestro recoge los libros de ejercicios de los estudiantes que no estén trabajando ese

día en un grupo de matemáticas y escribe una pregunta o comentario sobre un aspecto

en particular del trabajo de los estudiantes. El maestro espera que ellos escriban una

respuesta en su libro de ejercicios. Tan pronto como terminen su trabajo, los estudiantes

pasan a trabajar en actividades de fluidez y mantenimiento.


III.

Este maestro empieza cada día con un repaso del trabajo de fluidez y mantenimiento o

del trabajo numérico que fue asignado como tarea el día anterior. El maestro facilita una

discusión sobre las estrategias y los estudiantes revisan su trabajo para ver si está

correcto. Después, el maestro asigna los problemas del día.

Estos problemas provienen de una variedad de fuentes incluyendo problemas escritos

por el maestro que se ajustan a un esquema anual de trabajo que cubre los estándares

para 4.o y 5.o grado. En algunos temas, la clase entera trabaja en los mismos problemas,

pero en otros temas, el maestro forma grupos pequeños (basándose en la evaluación)

para darles instrucción dirigida. Los estudiantes tienen un libro de problemas de

matemáticas para el estudiante que deben resolver una vez que hayan terminado el

trabajo asignado.

Dos veces por semana, el maestro extiende la clase de matemáticas 15 minutos con el

propósito de que la clase entera tenga una discusión sobre la inspección de ecuaciones.

Un día a la semana, generalmente el viernes, el maestro evalúa a los estudiantes uno por

uno, mientras que el resto de los estudiantes en la clase juegan juegos matemáticos,

resuelven rompecabezas lógicos o geométricos en grupos pequeños o desarrollan

actividades en la computadora.




Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K.C., Wearne, D. & Hanlie, M. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Madison Metropolitan School District. (2006). MMSD K-5 Grade-level Mathematics Standards. Madison, WI.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles & Standards for School Mathematics. Reston, VA: AN online version retrieved April 2, 2007 from http//standards.nctm.org/

National Council of Teachers of Mathematics. (2006). Curriculum Focal Points for Pre-Kindergarten through Grade 8 Mathematics. Reston, VA: AN online version retrieved April 2, 2007 from http//standards.nctm.org/

Ronfeldt, S. and Burns, M. 2003. Third-Grade Math: A Month-To-Month Guide. Math Solutions Publications.

Wisconsin Department of Public Instruction. Wisconsin Knowledge and Concepts Examination assessment Framework. Madison, WI

Guías de referencia para las matemáticas en los grados intermedios:

Cavanaugh, M. (2006). Math to know: Grade levels 3-4. Great Source Education Group, Houghton Mifflin, Inc.

Lilly, M. (2006). Math at hand: Grade levels 5-6. Great Source Education Group Houghton Mifflin, Inc.

http://www.amazon.com/Third-Grade-Math-Month-Month-Guide/dp/094135556X/ref=sr_1_9/104-6267943-1074310?ie=UTF8&s=books&qid=1175544217&sr=1-9


TRABAJO NUMÉRICO



CAPÍTULO 6

Resolución

de

problemas



RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Las actividades de resolución de problemas invitan al estudio de las matemáticas y

proporcionan un contexto en el cual se aprenden los conceptos y las habilidades. A

través de la resolución de problemas los estudiantes aprenden a utilizar su conocimiento

de manera eficiente, lo cual a su vez desarrolla competencia, una creencia productiva en

sus habilidades para trabajar en las matemáticas y prepararlos para la vida diaria. Resolución de problemas

El bloque para la resolución de problemas

incluye la resolución de problemas en todas las áreas de contenido: números, operaciones y relaciones algebraicas; geometría, medición y análisis de datos y probabilidad.

puede llevarse a cabo en la clase completa o en grupos pequeños.

requiere de 30 a 45 minutos de la hora de matemáticas (dependiendo del tamaño del grupo y del propósito)

puede servir para propósitos múltiples, tales como:

• introducir conceptos nuevos

• desafiar a los estudiantes para que desarrollen y apliquen estrategias eficaces

• proporcionar un contexto para mejorar las habilidades

utiliza problemas que:

• emergen del ambiente estudiantil, de un contexto familiar, de una experiencia común o meramente de contextos matemáticos (no de un problema matemático)

• se pueden encontrar en los materiales curriculares escolares

• permiten soluciones de estrategias múltiples

• conducen a la justificación y la generalización


El bloque de resolución de problemas les permite a los estudiantes desarrollar un

conocimiento nuevo dentro de un ambiente de apoyo en el salón de clases. Durante la

resolución de problemas, los estudiantes:

identifican y entienden los elementos de problemas desafiantes y exploran nuevas relaciones numéricas

S.Lempp, investigador matemático para la

Universidad de Wisconsin, 2007

Por otro lado, a menudo uno regresa a trabajar en el mismo

problema años más tarde habiendo ya obtenido una

apreciación diferente para ese entonces, lo cual le permite a

uno “ver” una solución que antes nos había fallado.

En matemáticas, cuando uno trata de resolver un problema

abierto, hay una gran probabilidad de que uno no tenga éxito o que solamente

alcance una solución parcial, lo cual hace que algunas veces

sea bastante frustrante trabajar en investigaciones

matemáticas.

desarrollan estrategias de comprensión que se requieren para entender los problemas o ejercicios

comparan estrategias de solución para construir conexiones entre ideas o conceptos

entienden y usan diferentes representaciones para las soluciones

desarrollan justificaciones para sus estrategias de solución, basado en las ideas matemáticas aceptadas

aumentan la flexibilidad, la eficacia y la precisión en el cálculo

comunican las soluciones oralmente y por escrito para que los compañeros de clase y los maestros puedan entender los diferentes aspectos de una solución

aprenden que la perseverancia es un aspecto importante en la resolución de problemas.

le dan un sentido a las matemáticas y toman riesgos intelectuales al hacer preguntas, descubrir generalizaciones, sacar conjeturas y contribuir al debate matemático

El bloque de resolución de problemas les permite a los maestros:

obtener información sobre el conocimiento conceptual y procesal de cada estudiante. Las explicaciones escritas y orales, dibujos y modelos pueden proporcionar evidencia del pensamiento de los estudiantes. Los maestros deben ver más allá de la respuesta y evaluar el razonamiento del estudiante que se encuentra detrás de la solución.

diferenciar la instrucción al:

• escoger o ajustar problemas o ejercicios para que se ajusten a las metas matemáticas de aprendizaje

• agrupar a los estudiantes de manera flexible para cubrir las necesidades de aprendizaje


Las actividades de resolución de problemas retan a los estudiantes a resolver los

problemas en todas las áreas de contenido: números, operaciones y relaciones

algebraicas; geometría, medición; y análisis de datos y probabilidad. Los maestros y los

estudiantes tienen que establecer normas del salón de clases de tal manera que las ideas

de cada uno sean valoradas y que cada estudiante obtenga la confianza y seguridad para

resolver los problemas.

Dependiendo del propósito del ejercicio de resolución de problemas (p. ej. fomentar el

crecimiento en un área de contenido, expandir el entendimiento de un nuevo conjunto

de números) un maestro planea trabajar con un grupo grande, con un grupo pequeño o

con un estudiante durante las actividades de resolución de problemas.

Este capítulo proporciona discusión detallada de los componentes del bloque para la

resolución de problemas incluyendo:

1. TIPOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

2. ESCOGIENDO NÚMEROS PARA DESARROLLAR EL SENTIDO NUMÉRICO

3. UTILIZANDO PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA DESARROLLAR EL CONOCIMIENTO DEL VALOR

NUMÉRICO

4. ESTIMACIÓN

5. CALCULOS MENTALES

6. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN

7. REPRESENTANDO SOLUCIONES

8. UTILIZANDO PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA DESARROLLAR EL CONOCIMIENTO DE LAS

FRACCIONES

9. GEOMETRÍA

10. MEDICIÓN

11. ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD

12. DISCURSO DE LA CLASE

13. MATEMÁTICAS Y LECTOESCRITURA

14. DIARIOS DE MATEMÁTICAS Y RETROALIMENTACIÓN ESCRITA


Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Contenido

Números, operaciones y relaciones algebraicas

Entender los números, las formas de representar los números, las relaciones entre números y los sistemas numéricos incluyendo la unificación, los patrones de valor numérico cuando se calcula, el razonamiento proporcional, las fracciones, los decimales y los porcentajes

Entender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras

Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables

Entender los patrones, las relaciones y las funciones

Representar y analizar las situaciones matemáticas y las estructuras utilizando símbolos algebraicos

Utilizar modelos matemáticos para representar y entender las relaciones cuantitativas

Geometría

Analizar las características y propiedades de figuras geométricas bi y tridimensionales y desarrollar argumentos sobre las relaciones geométricas

Especificar lugares y describir las relaciones espaciales utilizando la geometría coordinada y otros sistemas representativos

Aplicar las transformaciones y utilizar la simetría para analizar las situaciones geométricas

Utilizar la visualización, el razonamiento espacial y el modelo geométrico para resolver problemas

Medición

Entender los atributos de medición de objetos y las unidades, los sistemas y procesos de medición

Aplicar las técnicas apropiadas, las herramientas y fórmulas para determinar las mediciones

Análisis de datos y probabilidad

Formular preguntas que puedan encararse con datos y recolectar, organizar y desplegar los datos relevantes.

Seleccionar y utilizar medidas estadísticas de una edad apropiada para analizar los datos.

Desarrollar y evaluar deducciones y predicciones que se basan en los datos.

Entender y aplicar los conceptos básicos de la probabilidad


Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso

Los Procesos matemáticos para la resolución de problemas incluyen:

Resolución de problemas

Desarrollar un nuevo conocimiento matemático

Resolver problemas que surgen en situaciones diarias

Aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas (p.ej. ilustrar, simplificar, buscar patrones y relaciones, evaluar la sensatez de los resultados, generalizar)

Monitorear y reflejar en el proceso de la resolución de problemas

Formular preguntas para más exploraciones

Representación

Crear y usar representaciones para organizar, modelar, registrar y comunicar ideas matemáticas

Seleccionar y aplicar representaciones matemáticas para resolver problemas

Comunicación

Organizar y consolidar el pensamiento matemático

Comunicar el pensamiento matemático de manera coherente a los compañeros, maestros y otros; utilizando un lenguaje matemático y representaciones para expresar ideas matemáticas de manera precisa.

Analizar y comparar estrategias

Razonamiento y comprobación

Desarrollar y analizar estrategias de resolución de problemas, argumentos matemáticos y justificaciones

Hacer e investigar conjeturas matemáticas

Aprender que el razonamiento y la justificación son aspectos fundamentales de las matemáticas

Conexiones

Leer y entender textos matemáticos y otros materiales de enseñanza y reconocer ideas matemáticas como aparecen en otros contextos

Reconocer y utilizar conexiones entre las ideas matemáticas

Ver las relaciones entre los problemas y los eventos reales

Entender como las ideas matemáticas se interconectan y se construyen una sobre otra para producir un todo coherente.

Aplicar las matemáticas en contextos que incluyen experiencias personales, intereses y eventos actuales


Los problemas matemáticos en el bloque de resolución de problemas

Los maestros consideran lo siguiente cuando se planea una sesión de resolución de

problemas:

meta matemática de la sesión

composición de los grupos de estudiantes

selección de problemas

estándares matemáticos del MMSD

adaptaciones y extensiones que se puedan necesitar para ciertos niños

El objetivo matemático de la sesión debe vincularse entre lo que el estudiante sabe

(basado en evaluaciones regulares informales y formales) con lo que el estudiante

necesita aprender después.

Para usar las actividades de resolución de problemas de manera eficaz, los maestros

planean la estructura del grupo que se ajusta mejor a los objetivos de aprendizaje.

Algunas actividades se prestan a trabajar con el grupo completo de una sola vez. Sin

embargo, las sesiones enfocadas en grupos pequeños proporcionan oportunidades para

que los maestros observen a sus estudiantes mientras ellos:

1. desarrollan habilidades en la resolución de cierto tipo de problema

2. se enfocan en representar una estrategia de problema y solución

3. trabajan con un conjunto particular de números

Cuando se planea que tipo de problemas plantear, los maestros escogen las actividades

de resolución de problemas de los recursos curriculares de la escuela y también escriben

problemas adaptados a las experiencias y a los intereses de los estudiantes utilizando

situaciones y elecciones numéricas que son familiares para los estudiantes.

Lo más importante es que los maestros reflexionan sobre lo que los estudiantes saben y

hacen; y eligen trayectorias para la enseñanza futura que se ajusten a los objetivos del

aprendizaje. Los maestros extienden o adaptan la experiencia de la resolución de

problemas al escribir problemas para que el estudiante pueda leerlos y resolverlos de

manera independiente.

Las siguientes páginas muestran como un maestro planea la instrucción para cubrir las

necesidades individuales de los estudiantes a través de la enseñanza en pequeños

grupos.


Enfoque de la instrucción—Continuar el trabajo de la multiplicación (empezar con los números de una decena). Motivar el uso de problemas matemáticos para producir como respuesta el modelo, quizás un problema simétrico de matriz al principio. También una lección para introducir la repartición equitativa. Enfocarse en organizar sus dibujos para apoyar su razonamiento.

John, Sari, Paris, Jesus, Brendan Están construyendo estrategias de dígitos múltiples para multiplicar números de un dígito por dos dígitos. Utilizan el lenguaje de flechas algunas veces, pero regularmente la suma repetitiva. Apenas empiezan a entender el sistema de base de diez y la multiplicación.

Trabajo independiente—juegos de operaciones para las tablas del 4 y 6, trabajar con un compañero en problemas matemáticos de fracción en el libro de texto después de tener una sesión en grupo pequeño sobre problemas de repartición.

Trabajo independiente—juegos de operaciones para las tablas del 7 y 8, trabajar con un compañero en los problemas matemáticos de fracción básicos en el libro de texto después de tener una sesión en grupo pequeño sobre problemas de repartición.

Enfoque de la instrucción—Apoyar un área modelo para los problemas de multiplicación (iniciar únicamente con los números de decenas terminadas en cero). Enfocarse en la justificación, dónde se encuentra el 100 en el modelo. Utilizar un problema matemático para obtener el modelo, primero quizás un problema simétrico de matriz. También una lección para introducir la repartición equitativa. Enfocarse en organizar sus dibujos para apoyar su razonamiento

Grupo 4

Grupo 3 Lisa, Natalie, Johan, Misty, Tua, Tessa, Zach (Rachel se incorporó al grupo esta semana) Están construyendo estrategias de dígitos múltiples para multiplicar números de dos dígitos por dos dígitos. Utilizan el lenguaje de flechas para mostrar la suma repetida y las tablas de proporciones pero no están muy seguros en las explicaciones para las multiplicaciones de decenas exactas. Ellos quieren utilizar el truco de “la eliminación de los ceros en común” y no lo pueden justificar.

Trabajo independiente –JCU, SCU, C, utilizando números hasta el 50, rompecabezas de pentominós, operaciones de decenas y descomponer el 7, 8, 9 en dos partes. Enfoque de la instrucción – JCU, SCU, C, M El trabajo numérico debe enfocarse en reforzar las estrategias para “formar un diez”. Podemos usar un tablero de diez para modelar “operaciones después del diez.”Después practicar, practicar, practicar.

Grupo 2 Naomi & Quintin Ellos están trabajando con números hasta el 100. Utilizan bloques de base de diez para resolver pero aún necesitan apoyo para representar sus modelos con dibujos.

Ellos están trabajando en la multiplicación y división de fracciones dentro del contexto de una historia. Prefieren dibujar sus soluciones o escribir explicaciones largas. Trabajo independiente – números de dígitos múltiples, práctica para encontrar factores, trabajar con un compañero en problemas matemáticos de fracciones en el libro de texto. Enfoque de la instrucción – Problemas matemáticos de división. Comparar la división (MD) con fracciones, vs. La división con números enteros. Enfocarse en conceptos erróneos de que la división siempre se hace más pequeña. Ellos tienen un algoritmo flexible para los números enteros. Me pregunto si lo pueden solucionar en fracciones. (Quizás en su lugar debería sugerir una tabla de proporciones) Se intentará utilizar el mismo contexto con todos los problemas haciendo papalotes que requieren 5/6 yardas de tela vs. 3 yardas de tela (¡Necesito más de estos!)¿Cuántos se pueden hacer con 12 yardas de tela?

Jemiah, Rafael, Amanda, Laura N., Marla, Jake, Zach, Laura B. Grupo 1 Notas de planeación – 15 de marzo – Analizar el trabajo de la semana pasada para planear la próxima semana..

Un maestro de 4.o/5.o grado planea la instrucción para la resolución de problemas de la siguiente manera:


Una secuencia típica para una sesión de problemas matemáticos

El maestro:

selecciona problemas y números basándose en el conocimiento del estudiante de cierto concepto.

verifica la comprensión de los problemas matemáticos. (Los estudiantes pueden volver a decir o hacer preguntas sobre los problemas hasta que se sientan lo suficientemente seguros para empezar a trabajar.)

les puede pedir a los estudiantes que pongan atención a cierto elemento del problema o de la solución que quieren que los estudiantes razonen o que utilicen mientras trabajan en la solución del problema.

les pide a los estudiantes que trabajen independientemente, en parejas o en grupos pequeños para resolver el/los problema(s) y que anoten sus soluciones.

se reúne con estudiantes que trabajan en el mismo problema(s) para discutir y facilita una conversación sobre sus soluciones, enfocándose en uno o dos puntos de enseñanza.

el maestro puede introducir un nuevo método o estrategia para considerarlo en una discusión (siendo cuidadoso de no darle más autoridad que a las soluciones generadas por el estudiante)

planea la próxima sesión basándose en la información recabada durante la discusión y de los trabajos escritos o evaluaciones de los estudiantes.

Los estudiantes:

trabajan en los problemas y anotan sus estrategias de solución de tal manera que otros las puedan interpretar.

piden que se aclaren preguntas entre ellos

entienden y evalúan las soluciones entre ellos para:

• encontrar conexiones entre las soluciones

• hacer generalizaciones

• avaluar la precisión y eficacia

• discutir conceptos

• discutir representaciones y significados de símbolos

reflexionan sobre las estrategias y sus conocimientos de las relaciones numéricas y los conceptos matemáticos

pueden solamente usar estrategias o representaciones nuevas que puedan justificar matemáticamente

La siguiente tabla indica lo que los estudiantes de nivel intermedio deben saber y ser

capaces de hacer en cuanto a los números y a las operaciones como resultado de la

instrucción en la resolución de problemas.



Números y operaciones en el bloque de resolución de problemas

Cuando se planea la instrucción para cada estudiante, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD para guiar la selección de los tipos de problemas y del tamaño de las cantidades numéricas. Los maestros saben que todos los estudiantes van a tomar un camino único para llegar a ser competentes en los tipos de problemas matemáticos, las estrategias de solución y el tamaño de las cantidades numéricas. La siguiente tabla resume los estándares de números y operaciones del MMSD de los grados 3.o a 5.o Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.

Los estudiantes de tercer grado: Leen, escriben y ordenan números enteros hasta el 10,000. Resuelven todos los problemas de tipo CGI Resuelven problemas matemáticos de pasos múltiples Utilizan las siguientes estrategias de manera flexible para calcular:

• incrementar o compensar (utilizando puntos de referencia de decenas, centenas, millares) estándar u otro algoritmo para encontrar sumas de 3 dígitos o números más pequeños y diferencias de 2 dígitos o números más pequeños.

• suma repetitiva, componer/descomponer o duplicar para multiplicar números de 1 dígito por 2 dígitos.

• resta repetitiva, repartir/compartir, medir para dividir con un dividendo hasta 45 y con un divisor hasta el 5

• contar en grupos de 2, 5, 4, 3, 10 • recordar operaciones de suma • recordar operaciones de resta • recordar todas las tablas de multiplicar (con 2, 5, 4, 3 como multiplicador o

multiplicando)

Representan soluciones al: • modelar con objetos o dibujos • utilizar la recta numérica vacía y el lenguaje de flechas • escribir ecuaciones

Resuelven problemas con los valores del dinero de $0.01-$1.00 Investigan los conceptos de fracciones a través de:

• razonar sobre las equivalencias básicas para resolver problemas • relacionar fracciones con puntos de referencia de 0, números enteros, 1/2s

(ordenar fracciones simples) • resolver problemas matemáticos de sumas y restas que implican el uso de las

fracciones que comúnmente se usan (con denominadores iguales) • resolver problemas matemáticos de repartir o compartir de manera equitativa donde la

solución tiene una parte fraccional. (P. ej. 4 niños comparten 5 galletas en partes iguales. ¿Cuánto le toca a cada niño?)

• resolver fracciones como problemas de “operadores” (P. ej. ¿Cuántos huevos hay en 14

de una docena de huevos?) • dibujar partes fraccionarias de un conjunto de objetos o de una sola unidad (P. ej.

galletas, rectángulos) • nombrar y usar la notación de fracción para un conjunto de objetos o para una sola

unidad para ¼ y ½

Nota: Los problemas deben involucrar fracciones de unidad ( 1 1 1 1 1, , , ,2 3 4 6 8

), fracciones que

no sean de unidad (ex. 5 3,6 8

), fracciones impropias (ex. 3 6,2 4

), números mixtos ( 1 22 ,12 3

).

Los estudiantes de cuarto grado también: Leen, escriben, ordenan y comparan, números enteros hasta el 100,000 y decimales (en el contexto de dinero). Resuelven problemas matemáticos de operaciones múltiples. Utilizan de manera flexible las siguientes estrategias para calcular:

• encontrar sumas de 4 dígitos o números más pequeños y diferencias de 3 dígitos o números más pequeños

• multiplicar eficientemente números de 1 dígito por 2 dígitos

• dividir un dividendo de 2 dígitos con un divisor de un solo dígito excepto cero

• recordar todas las tablas de multiplicar

• estimación

Representan soluciones: • tablas de proporciones

Resuelven problemas con valores de dinero de $0.01-$10.00 Investigan los conceptos de fracción a través de:

• relacionar fracciones con puntos de referencia del 25%, 50%, 75%, 100%

• explorar las conexiones entre operaciones con números enteros y operaciones con fracciones

• determinar el lugar aproximado de las fracciones en una recta numérica

Demuestran un entendimiento de los conceptos de fracción “investigados” en el tercer grado.

• nombrar y utilizar notaciones de fracciones para un conjunto de objetos o una sola unidad (P. ej. ¼, ½)

• volver a nombrar fracciones impropias • comparar dos fracciones relacionándolas con

puntos de referencia de 0, números enteros, mitades.

Los estudiantes de quinto grado también:

Leen, escriben, ordenan y comparan, números enteros hasta 1,000,000 y decimales (en el contexto de dinero).

Utilizan de manera flexible las siguientes estrategias para calcular:

• encontrar sumas de 5 dígitos o números más pequeños y diferencias de 4 dígitos o números más pequeños

• multiplicar eficientemente números de 2 dígitos por 3 dígitos

• dividir un número de 4 dígitos por sí mismo o un divisor de un solo dígito excepto el cero

• recordar todas las operaciones de división

• saber los primeros diez múltiplos del 2 al 10 y 25

• estimación

Representan soluciones: • tablas de proporciones

Resuelven problemas con valores de dinero de $0.01-$100.00 Investigan los conceptos de fracción a través de:

• Generar y justificar equivalencias



Tipos de problemas matemáticos

Los maestros utilizan doce tipos básicos de problemas matemáticos para la instrucción.

Estos tipos de problemas cubren una variedad de maneras para estructurar historias de

problemas matemáticos simples que incluyen:

• situaciones de unir y separar

• comparaciones

• situaciones de parte-todo

• agrupar

• dos tipos de situaciones para repartir

Para ejemplos, vea el siguiente cuadro de tipos de problemas CGI

Durante los grados intermedios los tipos de problemas básicos son útiles cuando se

ponen junto con números que no les son familiares a los estudiantes (números muy

grandes o decimales). Sin embargo, los problemas matemáticos deben también reflejar

tanto el crecimiento de la complejidad del lenguaje como de los conceptos apropiados

para los estudiantes mayores. Por ejemplo, en los grados iniciales, la multiplicación y dos

tipos de problemas de división involucran agrupar y repartir colecciones de objetos

discretos que los niños ya están listos para contar. Los estudiantes de los grados

intermedios deben también resolver problemas relacionados que involucren “índices” y

“comparaciones multiplicativas” en vez de colecciones de objetos contables. Estos

problemas promueven el razonamiento proporcional en vez del razonamiento aditivo.

Los estudiantes de los grados intermedios deben tener muchas oportunidades para

resolver los siguientes problemas matemáticos discutidos en este capítulo:

1. Tipos de problemas matemáticos CGI (Instrucción Cognitiva Guiada)

2. División con residuos

3. Problemas de razón matemática

4. Problemas de precio

5. Comparaciones multiplicativas

6. Problemas simétricos (problemas de matriz, área y combinación)

7. Problemas de pasos múltiples

8. Problemas de fracción



Tipos de problemas matemáticos CGI

Los maestros deben evaluar de qué manera cada estudiante resuelve estos tipos de problemas con contextos y números apropiados para el nivel de grado antes de avanzar a problemas más complejos descritos en este capítulo. Los números utilizados en este cuadro son apropiados para los estudiantes de tercer grado. Enfóquese en desarrollar el dominio de los tipos de problemas que no están sombreados para los estudiantes de los grados intermedios.

(M) MULTIPLICACIÓN (MD) DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (PD) DIVISIÓN PARTITIVA

Connie tiene 3 bolsas de canicas. Hay 15 canicas en cada bolsa. ¿Cuántas canicas tiene Connie en total?

3 15 a× =

Connie tiene 45 canicas. Ella quiere poner 15 canicas en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas puede llenar?

15 45a× = o 4515

a=

Connie tiene 45 canicas. Ella quiere poner las canicas en 3 bolsas con el mismo número en cada bolsa. ¿Cuántas canicas hay en cada bolsa?

a× 3 = 45 o 453

a=

UN

IR

(JRU) SEGUNDO SUMANDO AGREGADO, RESULTADO DESCONOCIDO

Connie tenía 43 canicas. Juan le dio 19 canicas más. ¿Cuántas canicas tiene Connie en total?

43 19 a+ =

(JCU) SUMA, SEGUNDO SUMANDO DESCONOCIDO

Connie tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más tiene que tener para tener 62 en total?

43 62a+ =

(JSU) SUMA, PRIMER SUMANDO DESCONOCIDO

Connie tenía algunas canicas. Juan le dio 19 canicas más. Ahora tiene 62 canicas. ¿Cuántas canicas tenía Connie al principio?

19 62a + =

SEP

AR

AR

(SRU) SEPARACIÓN DEL SUSTRAENDO, RESULTADO DESCONOCIDO

Connie tenía 62 canicas. Le dio 19 a Juan. ¿Cuántas canicas tiene ahora?

62 19 a− =

(SCU) RESTA, SUSTRAENDO DESCONOCIDO Connie tenía 62 canicas. Le dio algunas a Juan. Ahora le quedan 19. ¿Cuántas le dio a Juan?

62 43a− =

(SSU) RESTA, MINUENDO DESCONOCIDO Connie tenía algunas canicas. Le dio 19 a Juan. Ahora le quedan 43 canicas. ¿Cuántas canicas tenía al principio?

19 43a − =

PA

RTE

-PA

RTE

-TO

DO

(PPW-WU) PARTE-PARTE-TODO (TOTAL DESCONOCIDO)

Connie tiene 43 canicas rojas y 19 canicas azules. ¿Cuántas canicas tiene?

43 19 a+ =

(PPW-PU) PARTE-PARTE-TODO (PARTE DESCONOCIDA)

Connie tiene 62 canicas. 43 son rojas y el resto son azules. ¿Cuántas canicas azules tiene Connie?

62 43 a− = o 43 62a+ =

CO

MP

AR

AR

(CDU) COMPARACIÓN, DIFERENCIA DESCONOCIDA

Connie tiene 62 canicas. Juan tiene 43 canicas. ¿Cuántas canicas más tiene Connie que Juan?

62 43 a 43 62a+ =− = o

(CQU) COMPARACIÓN, CANTIDAD DESCONOCIDA

Juan tiene 43 canicas. Connie tiene 19 más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Connie?

43 19 a+ =

(CRU) COMPARACIÓN, REFERENTE DESCONOCIDO

Connie tiene 62 canicas. Ella tiene 43 canicas más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?

62 43 a− = o 43 62a + =

Adaptado con el permiso de Carpenter, T.P., Fennema E., Franke, M.L., Levi, L., Empson, S.B. 1999. Children’s Mathematical Thinking. Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.



División con residuos + — × ÷


En la vida real, hay mucho más situaciones que dividen teniendo residuos que aquellas

en donde no. Los estudiantes de los grados intermedios deben tener muchas

experiencias con problemas de división que tengan “residuos.”

El contexto del problema generalmente indica cómo tratar el residuo al responder la

pregunta. Existen cuatro situaciones básicas:

1. Se debe incluir una unidad adicional completa.

156 niños van a una excursión al museo de ciencia. 47 niños pueden viajar en cada autobús. ¿Cuántos autobuses se necesitan para poder llevar a todos los niños al museo? ¿Cuántos deben viajar en cada autobús?

2. El residuo se deja afuera.

Se necesitan 4 huevos para hacer un omelet. ¿Cuántos omelets se pueden hacer con 13 huevos?

La señora Carpenter tiene una bolsa de 235 clavos. Quiere ponerlos equitativamente en 4 recipientes. ¿Cuántos clavos debe poner en cada recipiente?

3. El residuo es la respuesta del problema.

Una compañía de deportes tiene 526 pelotas de tenis, las cuales quiere empacar en tubos con cuatro pelotas de tenis en cada tubo. Si llenan la mayor cantidad de tubos posibles, ¿cuántas pelotas sobrarían?

4. La respuesta incluye una parte fraccional o decimal.

La maestra Long tiene 17 bloques de barro para un proyecto de arte. Ella quiere poner una cantidad igual de barro en cada una de las 4 mesas. ¿Cuánto le tocará a cada mesa si reparte todo el barro?

¿Cuántas decenas hay en 87?

Problemas de razón matemática

+ — × ÷


Estos problemas son conceptualmente diferentes que los problemas de agrupar y repartir

(Problemas CGI de multiplicación, medición y división partitiva) ya que involucran una

razón matemática en vez de un número de objetos. Los problemas de razón matemática

no necesariamente tienen objetos contables en ellos aunque las cantidades se pueden

representar con objetos contables. En cada ejemplo de abajo, la razón es el índice de

crecimiento sobre tiempo (milímetros por día):

Una planta crece 3 milímetros cada día. ¿Cuántos milímetros crecerá la planta en 9 días?

Una planta crece 3 milímetros cada día. ¿Cuántos días tomará la planta para crecer 27 milímetros?

Una planta creció 27 milímetros en 9 días. Si la planta creció el mismo tanto cada día, ¿Cuánto crece la planta en un día?

Otras situaciones comunes que involucran razón matemática son:

¿Cuántas millas viaja una bicicleta en 3 horas a una velocidad promedio de 12 millas por hora?

Una niñera gana 6 dólares por hora para cuidar niños. ¿Cuántas horas tiene que cuidar niños para ganar 18 dólares?

Problemas de precio + — × ÷


Los problemas de precio son un tipo especial de problemas de razón matemática. La

razón matemática es un precio por artículo. Los estudiantes están generalmente

familiarizados con el dinero y resuelven los problemas de precio con las mismas

estrategias que otros problemas de agrupación y repartición.

¿Cuánto cuestan 5 piezas de goma de mascar si cada pieza cuesta 15 centavos?

Cada pieza de goma de mascar cuesta 15 centavos. ¿Cuántas piezas de goma de mascar puedes comprar con 60 centavos?

Si puedes comprar 5 piezas de goma de mascar con 60 centavos, ¿cuánto cuesta cada pieza?


Comparaciones multiplicativas + — × ÷


Estos problemas involucran una comparación de dos cantidades. La relación entre las

cantidades se describe en términos de cuántas veces más grande es una que la otra. En

el ejemplo de abajo el número “15” cuantifica la relación “multiplicada por tu estatura”

Si pudieras saltar como una rana, podrías saltar 15 veces tu estatura. ¿Qué tan alto podrías saltar?

La siguiente tabla de “Problemas relacionados: razón matemática, precio y comparación

multiplicativa” proporciona más ejemplos de estos tipos de problemas matemáticos.


Los problemas de razón matemática, precio y comparación multiplicativa (también

llamados problemas de razón y proporción) involucran “razonar de arriba hacia abajo

situaciones en las cuales hay una relación invariante (constante) entre dos cantidades

que están conectadas y varían juntas.” (Lamon, 2006) Las exploraciones con problemas

de razón y proporción deben iniciar en los grados intermedios. Los estudiantes que

tienen muchas experiencias resolviendo estos tipos de problemas utilizando sus propias

estrategias, aprenderán a razonar proporcionalmente y a usar números racionales de

manera flexible y bien entendida en la escuela secundaría y más adelante.

Estos problemas pueden ser bastante desafiantes. Por esta razón, los maestros algunas

veces los reservan como extensiones o desafíos para los estudiantes que tienen un

sentido numérico sólido. Sin embargo, estos problemas son apropiados para el trabajo en

pequeños grupos con todos los estudiantes cuando los problemas están diseñados con

números que correspondan al nivel numérico de fluidez del estudiante.

Los siguientes cuatro problemas proporcionan un ejemplo de un conjunto de problemas.

Refiérase al apéndice para ver más ejemplos de conjuntos de problemas.

Sammy está alimentando a sus peces. Las instrucciones de la caja le dicen que 4 cucharaditas de comida son suficientes para 12 peces. ¿Cuántas cucharaditas de comida pueden alimentar a los 24 peces en la pecera de Sammy?

Shay ha invitado a sus amigos a comer pizza. Él calcula que necesitaría 2 pizzas de 18 pulgadas para 4 personas. ¿Cuántas pizzas necesita comprar si vienen 26 de sus amigos?

Ya es hora de alimentar a los gatos en el albergue de animales. Si 6 latas de comida alimentan a 8 gatos, ¿cuántas latas se necesitan para alimentar a 36 gatos?

Ya es hora de comer en la granja de zorros. Se necesitan cuatro Kg. de carne para 5 zorros. ¿Cuántos Kg. se necesitan para 22 zorros?

Revisa estos cuatro problemas -¿De qué manera son estos problemas semejantes o diferentes? Compara tus estrategias de resolución de problemas para cada problema – ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas estrategias para todos los problemas? ¿Estuvieron algunos más fáciles o más difíciles? ¿Por qué lo piensas así?



Tipo de problema (M) MULTIPLICACIÓN (MD) DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (PD) DIVISIÓN PARTITIVA

Agrupar/ repartir

Shakira tiene 14 plantas de chícharo. Hay 8 chícharos en cada planta. ¿Cuántos chícharos hay por todos?

p14×8 =

Shakira tiene algunas plantas de chícharo. Hay 8 chícharos en cada planta. En total hay 104 chícharos. ¿Cuántas plantas de chícharo tiene Shakira?

p× =8 104 p=

1048

Shakira tiene 14 plantas de chícharo. Hay la misma cantidad de chícharos en cada planta. En total hay 104 chícharos. ¿Cuántos chícharos hay en cada planta?

p× =14 104 p=

10414

Razón Johan camina 3½ millas en una hora. ¿Cuántas millas camina en 8 horas?

Johan camina 3½ millas en una hora. ¿Cuántas horas le tomará caminar 28 millas?

Johan caminó 28 millas. Le tomó 8 horas. Si caminó a la misma velocidad todo el trayecto, ¿qué tan lejos caminó en una hora?

Precio Un paquete de lápices cuesta $1.98. ¿Cuánto cuestan 12 paquetes?

Un paquete de lápices cuesta $1.98. ¿Cuántos paquetes podrías comprar con $23.76?

La Sra. Martin compró 12 paquetes de lápices. Gastó $23.76. Si cada paquete costó lo mismo, ¿cuánto costó cada paquete?

Comparación multiplicativa

La ballena azul mide alrededor de 22 veces más que el delfín de Héctor. Si el delfín de Héctor mide 5 pies de largo, ¿qué tan larga es la ballena azul aproximadamente?

La ballena azul mide aproximadamente 110 pies de largo. El delfín de Héctor mide alrededor de 5 pies de largo. ¿Cuántas veces más larga es la ballena azul que el delfín de Héctor?

La ballena azul mide 110 pies de largo. Si la ballena azul es 22 veces más larga que el delfín de Héctor, ¿qué tan largo es el delfín de Héctor?

El siguiente cuadro ilustra las diferencias entre los problemas de multiplicación (M), división con factor desconocido (MD) y división partitiva (PD). Los problemas de razón, precio y comparación multiplicativa proporcionan oportunidades para que los estudiantes resuelvan una variedad de problemas que implican diferentes tipos de cantidades. Estos tipos de problemas pueden también incluir fracciones, decimales, aparte de los números enteros. Resolver estos tipos de problemas establece los cimientos para desarrollar el razonamiento proporcional en la escuela secundaria y es importante incluirlos en la instrucción de los grados intermedios.

Problemas relacionados: Razón, precio y comparación multiplicativa

Adaptado con permiso de Carpenter, T.P., Fennema E., Franke, M.L., Levi, L., Empson, and S.B. 1999. Children’s Mathematical Thinking. Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.


El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Capítulo 6 Page 23 Traducido por Rosy Einspahr

Problemas simétricos (Problemas de matriz, área y combinación) + — × ÷


Los problemas simétricos proporcionan una situación de problema para que los

estudiantes exploren la propiedad conmutativa.

Típicamente, los referentes (etiquetas para cada cantidad) en los tipos de problemas

básicos de agrupación o repartición no son intercambiables. Por ejemplo:

Hay 27 carros. Cada carro tiene 4 llantas, ¿cuántas llantas hay en total?

En este problema, los referentes “carros”, “llantas en cada carro”, y “llantas en total” no

se pueden intercambiar.

Los estudiantes típicamente resuelven este problema modelando o sumando 27 grupos

de 4. Sin embargo, 4 x 27 también contesta el cálculo pero no se justifica fácilmente con

estos referentes.

Los problemas simétricos que tienen referente semejante o intercambiable para cada

cantidad en el problema, les ayuda a los estudiantes de los grados intermedios a

entender la razón por la cual 4 x 27 es lo mismo que 27 x 4. Los siguientes problemas de

área, matriz y combinación son ejemplos de problemas simétricos.

Problemas de área y matriz + — × ÷


A diferencia del problema de los “27 carros con cuatro llantas”, los referentes en un

problema de área o matriz son intercambiables. Por ejemplo:

Un panadero tiene un molde de dulce de azúcar que mide 12 pulgadas de un lado y 9 pulgadas del otro lado. Si el dulce se corta en piezas cuadradas de 1 pulgada de un lado, ¿cuántas piezas de dulce de azúcar puede soportar el molde?

Los dos factores en este problema de área, 12 y 9, tienen los mismos referentes. Los

estudiantes pueden modelar este problema antes que tener un concepto formal del

cálculo del área. Con este tipo de problema los estudiantes pueden empezar a justificar

por qué al sumar 12 grupos de 9 es lo mismo que 9 grupos de 12.

Los problemas de área también pueden involucrar división y les pueden ayudar a los

estudiantes a hacer conexiones entre las operaciones inversas de multiplicación y

división. Por ejemplo:

La Sra. Vang quiere sembrar un jardín rectangular de flores. Ella tiene suficiente espacio para que el jardín mida 6 metros de un lado. ¿Qué tan largo necesita hacer el lado adyacente para tener 48 metros cuadrados de jardín?

Los problemas de matriz sugieren el mismo concepto de multiplicación que los problemas

de área. En los problemas de matriz, los objetos separados se organizan en filas y

columnas. Las “filas” y las “columnas” son referentes intercambiables.

El Sr. Wee organizó las sillas para la obra de teatro de la escuela. Él colocó las sillas en 5 filas con 26 sillas en cada fila. ¿Cuántas sillas se colocaron para la obra de teatro?


Problemas de combinación + — × ÷


Los problemas de combinación involucran hacer combinaciones de conjuntos dados. Este

ejemplo es simétrico.

El Pancake Palace hace 3 tipos de panqués. Tienen 4 diferentes tipos de coberturas. ¿Cuántas combinaciones de panqués y coberturas puedes obtener del Pancake Palace?

Estos problemas son simétricos porque los tipos de panqués y coberturas se pueden

intercambiar cuando se piensa en este problema. No hay diferencia real en pensar en el

número de panqués que podrían combinarse con cada cobertura o el número de

coberturas que podrían combinarse con cada panqué.

Algunos estudiantes tal vez reconozcan que no es necesario hacer todas las

combinaciones para resolver el problema. Otros tal vez necesiten hacer un modelo

organizado.


Problemas de pasos múltiples + — × ÷


Los problemas de pasos múltiples proporcionan oportunidades para que los estudiantes

interpreten un lenguaje más complejo y utilicen más de una operación o múltiples

conceptos matemáticos dentro de un solo problema. Por ejemplo:

Una caja de arena que mide 72 pulgadas por 60 pulgadas está llena de 12 pulgadas de arena. Al final del verano solo ¼ de la caja estaba llena. ¿Cuánto de arena se le tiene que agregar para reponer la arena que se perdió durante el verano?

Los problemas de pasos múltiples pueden involucrar una serie de problemas relacionados

que pueden combinar temas de geometría, medición y datos. Por ejemplo, todos los

siguientes problemas se refieren al mismo conjunto de datos:

Los estudiantes entrevistaron a sus compañeros de clase para averiguar aproximadamente cuántos vasos de leche (de 8oz.) tomaban al día. En un salón de quinto grado encontraron: 0, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 3, 2, 5, 1

Encuentra el número promedio (medio) de vasos de leche que la clase toma al día. Explica tus cálculos.

¿Cuál es el rango de vasos de leche que los estudiantes toman al día?

¿Crees que el promedio o el rango son una buena manera de describir la cantidad de leche que un estudiante de quinto grado toma al día? ¿Por qué sí o por qué no?

Haz un histograma de los datos. ¿Qué observas?

Si un galón de leche tiene 128 oz, ¿cuántos días duraría un galón de leche para un estudiante promedio de quinto grado?


Los problemas de pasos múltiples tal vez involucren una comparación de dos o más situaciones y requieran que los estudiantes tomen una decisión basándose en varios cálculos. Por ejemplo:

Tu vecino necesita hacer algo de trabajo alrededor de la casa y te ha ofrecido el trabajo a ti. El vecino ha ofrecido pagarte utilizando uno de tres planes. Tú planeas terminar el trabajo tan rápido como puedas y calculas que te tomará al menos 6 horas, pero no más de 9 horas para hacer el trabajo. Decide cual es el plan de pago mejor para ti y explica por qué.

Plan A Se te puede pagar una cantidad fija de $55 sin importar cuanto tiempo te tome hacer el trabajo.

Plan B Se te puede pagar $40 por el trabajo más $2 por hora, pero no por más de 8 horas de trabajo.

Plan C Puedes aceptar el trabajo y recibir un pago de $6.50 por hora.

Problemas fuera de un contexto + — × ÷


Los números por sí solos sin una historia de contexto se pueden usar como “contexto”

para la resolución de problemas. Ejemplo:

¿Cómo podrías utilizar 55-30 para resolver 55-28?

¿Cómo podrías utilizar 312 x 10 para resolver 312 x 9? ¿Que tal 300 x 9?

El resolver o comparar una serie de ecuaciones construye el sentido numérico mientras

que los estudiantes buscan relaciones entre los dos problemas.

Asegúrese de que los estudiantes entiendan el significado de las operaciones antes de

utilizar ecuaciones fuera de un contexto. Una manera de evaluar el conocimiento del

estudiante es pedirles a los estudiantes que escriban un problema matemático que se

pueda resolver mediante cierta ecuación. Por ejemplo:

Escribe un problema matemático que se pueda resolver mediante 64/4 (64÷4)

Ver el capítulo 4: Evaluación para más ejemplos.


Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico

La observación y evaluación del maestro determinan el campo de dominio numérico en el

que los estudiantes necesitan trabajar para resolver problemas. Los estándares del

MMSD proporcionan expectativas de acuerdo al nivel de grado para el uso competente

de los números en cierto rango. Los estudiantes deben tener un uso flexible de

estrategias dentro de ese rango numérico.

Un enfoque para desarrollar el dominio es proporcionar los mismos problemas

matemáticos con varias opciones numéricas relacionadas.

El Sr. Party tiene ___ bolsas de globos en su tienda. Cada bolsa tiene _____globos. ¿Cuántos globos tiene el Sr. Party en su tienda?

(52, 37) (50, 30) (2, 37) (50, 7)

El utilizar los pares de números de arriba les ayuda a los estudiantes a desarrollar ideas

sobre la propiedad distributiva de la multiplicación. En este caso, cada estudiante decide

qué problema resolver primero. Durante una discusión los estudiantes hablan sobre

cómo utilizar un cálculo para que les ayude a resolver otro cálculo parecido.

Alternativamente, los maestros pueden proporcionar un rango de conjuntos numéricos

apropiados para los estudiantes en la clase. Los maestros les dan a los estudiantes ya

sea la opción de escoger, o bien, dirigen a los estudiantes para que usen cierto conjunto

de números en el problema.

Hay ____ huevos en un cartón. ¿Cuantos huevos hay en ____cartones?

(12, 10) (12, 30) (12, 39) (12, 80) (12, 180) (12, 1,390)

Las gallinas en la granja pusieron ____huevos. ¿Cuántos cartones de docenas de huevos se podrían llenar con estos huevos?

(1,980) (544) (144) (48)

Después los maestros facilitan las discusiones con los estudiantes que ya han resuelto el

problema con el mismo conjunto de números. Los estudiantes pueden resolver los

problemas con las otras opciones de números como desafíos o para practicar una vez

que hayan resuelto “correctamente” el problema asignado.


Algunos de los campos de dominio numérico que los maestros consideran cuando

escriben, escogen o modifican problemas matemáticos ya existentes, incluyen:

• Magnitud (.01s, .1s, 10s, 100s, 1,000s, 10,000s, etc.)

• Decenas exactas (números terminados en cero, p.ej. 50, 520, 5230)

• Centenas (números terminados en dos ceros, p.ej. 500, 2500, 12,500)

• Cerca de las decenas (números terminados en 1, 2, 8, o 9 p.ej. 59, 102, 1,348)

• Decimales en contextos de dinero

• Decimales como partes fraccionales (p.ej. .3 de una milla)

• Decimales con equivalentes de fracción (p.ej. .25, .33, .125)

• Decimales cercanos a números enteros (p.ej. 3.9. 45.99, 195.01)

• Números negativos (en un contexto familiar, así como la temperatura o por debajo del nivel del mar)

Un ajuste fácil a los problemas de los libros de texto que son demasiado difíciles para los

estudiantes es eliminar uno o dos dígitos. Los estudiantes pueden resolver el problema

con los números más pequeños primero y una vez que hayan entendido el problema

intentar resolver los problemas con los números más grandes.


Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico

El entendimiento de un estudiante en el sistema de base de diez se construye sobre una

amplia base conceptual del tamaño de la cantidad numérica, las relaciones numéricas y

la flexibilidad en descomponer y reconfigurar números. El entendimiento sobre el valor

numérico es mucho más que solamente nombrar el valor de cierto dígito de acuerdo a su

posición.

Kamii (2004) se refiere al entendimiento de la base de diez como “razonamiento

simultaneo”, donde un niño es capaz de ver el número 42 como 4 decenas, 2 unidades,

como 42 unidades y potencialmente, como 3 decenas y 12 unidades. El estudiante sabe

que las diferentes combinaciones son equivalentes.

El conocimiento del valor numérico:

• toma años para desarrollarse. Los niños pueden ser inconsistentes por un largo tiempo. Los niños que pueden trabajar con números menores de 100, a menudo tienen dificultades con los números mayores de 100. A medida que la magnitud numérica cambia, los estudiantes vuelven a retomar de qué manera es que el sistema funciona.

• puede y debe desarrollarse para diferentes componentes de manera simultanea. (e.g. el orden numérico, agrupar en decenas, componer/descomponer números)

• El entendimiento para diferentes componentes se refuerzan mutuamente y no se aprenden de manera secuencial. Ver “Componentes del entendimiento del valor numérico" (Capítulo 4).

La resolución de problemas apoya al desarrollo del conocimiento sobre el valor numérico

porque proporciona práctica para más de un componente a la vez. Elija los problemas, el

tamaño de las cantidades numéricas y las actividades que les ayudan a los estudiantes a

aprender la estructura fundamental de nuestro sistema de valor numérico (base de diez).

Es importante considerar de qué manera las diferentes representaciones (p.ej. los

bloques de base de diez, las tablas numéricas de cien, las rectas numéricas vacías)

promueven el entendimiento de los diferentes componentes en cuanto al valor numérico.

Las siguientes opciones de enseñanza (Bickwidde, 2002) describen cómo el uso

estratégico de los problemas matemáticos y la elección del tamaño de las cantidades

numéricas en los mismos pueden apoyar el desarrollo del valor numérico.


Combinar la enseñanza de las sumas y restas juntas

Enseñar la suma y la resta de manera integrada, tanto con reagrupación como sin

reagrupación, le ayuda al estudiante a construir un entendimiento amplio del sistema

numérico, deteniendo más rápidamente cualquier concepto erróneo que pudiese

desarrollarse.

Los libros de texto tradicionalmente presentan sumas y restas de manera separada,

moviéndose de un solo dígito, a través de dígitos múltiples sin reagrupar, a cálculos de

dígitos múltiples reagrupando. Sin embargo, los estudios de los patrones de desarrollo

del estudiante han encontrado de manera consistente que los niños pueden construir

conceptos erróneos en una etapa que se vuelve difícil de retomar más tarde cuando se

presentan cálculos más complicados.

Los problemas tipo Suma, segundo sumando desconocido (JCU), Resta, sustraendo

desconocido (SCU) y Parte-parte-todo, total desconocido (PPW, WU) que se usan de

manera intercambiable con tamaños de cantidades numéricas escogidos de manera

estratégica fomentan el crecimiento en el entendimiento de las relaciones entre los

números incluyendo la relación inversa entre la suma, la resta y la base de diez. Las

elecciones de los números pueden incluir números grandes, ceros colocados de manera

estratégica entre los números, números cerca de decenas exactas y decimales para

estudiantes mayores.

Utilizar la multiplicación para desarrollar el entendimiento de la base de diez

Incluir colecciones de centenas, millares y decimales (dinero) dentro de un contexto. Por ejemplo:

La oficina postal vende rollos de 100 timbres. Si venden en promedio 250 rollos de timbres cada mes durante un año, ¿cuántos timbres venderían en un año?

Una tienda de tarjetas tiene 2530 cajas de tarjetas para vender para un día festivo, si cada caja cuesta $5.00, ¿cuánto dinero obtendría la tienda si vendiera todas las cajas?

Las oportunidades repetidas para justificar la multiplicación de números terminados en

cero fomentan el conocimiento de la base de diez. Asegúrese de que los estudiantes

tengan una justificación matemática para sus soluciones. El multiplicar números que

terminan en cero(s) puede dar como resultado el generalizar un patrón sin un

razonamiento matemático que lo sustente.

+ — × ÷



Utilizar los problemas de División con factor desconocido (MD) para desarrollar el

entendimiento de la base de diez

Los problemas de División con factor desconocido (MD) llaman la atención a la cantidad

en un grupo. El énfasis en los grupos de diez les ayuda a los estudiantes a ver de qué

manera funciona el sistema de base de diez.

Por ejemplo:

Una compañía que fabrica lápices mecánicos quiere venderlos en paquetes de diez. La compañía produce 12,550 lápices a la semana. ¿Cuántos paquetes de lápices harían en un mes?

+ — × ÷


Enfocarse en la magnitud de los números en el problema y en la respuesta

Pídales a los estudiantes que pronostiquen si la respuesta después de hacer un cálculo

estará dentro de las decenas, centenas, millares, etc. Los estudiantes comenzarán a

pensar sobre el concepto recurrente de las decenas dentro de decenas del sistema de

base de diez.

Utilizar objetos manipulables de base de diez de manera diferente

Cambie la unidad de los materiales de base de diez para que los estudiantes piensen

sobre las relaciones entre las cantidades en vez de pensar en cierta etiqueta. Déle al

bloque de diez un valor de uno. Pregúnteles a los estudiantes de qué manera esto

cambia el número asignado a los bloques planos de 100 (ahora de diez) o al cubito

original de una unidad (ahora un décimo).


Los estudiantes escriben y resuelven sus propios problemas matemáticos

Los estudiantes de los grados intermedios deben ser capaces de escribir un problema

matemático que se pueda resolver mediante cierta ecuación para cualquiera de las

cuatro operaciones. Esto les brinda a los maestros y a los estudiantes un entendimiento

profundo sobre la relación que existe entre los problemas matemáticos, el tamaño de las

cantidades numéricas y la notación simbólica. Los estudiantes que crean problemas

matemáticos tienen una estrategia de fácil acceso que les ayuda a entender o “visualizar”

las operaciones. Por ejemplo: los estudiantes de tercer grado deben ser capaces de

escribir problemas matemáticos para:

35 + 27 53 − 29

5 x 9 45 ÷ 5

Considere lo siguiente cuando les pida a los estudiantes que escriban problemas

matemáticos:

El idioma del estudiante (¿pueden escribir en inglés y en su primer idioma?)

Tamaño de la cifra numérica en cierta ecuación (rango de instrucción o de fluidez del estudiante)

La experiencia que cada estudiante tiene para resolver cierto rango de problemas matemáticos con una variedad de contextos

Si una solución para el problema es necesaria

Cuando evalúe los problemas matemáticos, reflexione en:

Los tipos de problemas matemáticos que los estudiantes escriben como una (p.ej. División con factor desconocido (MD) o División partitiva (PD), resta, parte-parte-todo(PPW) o comparación)

Las palabras que los estudiantes utilizan para describir las operaciones (p.ej. “en cada grupo” o “tantas veces más que” para la multiplicación)

El entorno o contextos del problema que los estudiantes utilizan con regularidad.

Si un estudiante necesita resolver el problema antes de escribir el contexto del mismo.

Los problemas matemáticos escritos por el estudiante pueden servir como trabajo de

fluidez y mantenimiento. Los estudiantes pueden escribir y editar sus propios problemas

matemáticos para proporcionar hojas para un libro de la clase para la práctica de

problemas. (Ver el apéndice, “Una caminata de piedras”.)


Estimación

“La producción de un estimado o un cálculo aproximado es una destreza importante de

la vida, así como un aspecto significativo del sentido numérico. En el mundo cotidiano del

consumidor y del trabajador, las respuestas estimadas se necesitan más a menudo que

las respuestas exactas. El estimar y verificar la sensatez de las respuestas necesitan un

énfasis en particular si los niños van a darle el uso más eficaz a las calculadoras.” (Hope,

J. & Small, M. 1994)

Las investigaciones han demostrado que los niños pueden construir métodos de

estimaciones que tengan sentido para ellos. (Sowder, J. & Wheeler, M., 1989)

Los estudiantes de los grados intermedios que están desarrollando el conocimiento de la

base de diez deben predecir de manera rutinaria la respuesta aproximada (tamaño

relativo o magnitud) de un cálculo. Los maestros deben establecer una norma en la clase

para hacer de la estimación una rutina.

La estimación también proporciona una manera efectiva para que los estudiantes

aprendan a elegir una estrategia apropiada para cierto conjunto numérico y saber

cuando los resultados tienen sentido. La estimación promueve:

“Las respuestas estimadas no deben verse

como respuestas de “segundo índice”. En la

mayoría de los casos, una respuesta estimada es

suficiente para resolver un problema y en algunos

casos, tal vez sea la única respuesta posible”.

-Interactions Curriculum, 1994

• el sentido numérico

• la elección flexible de un método de cálculo o algoritmo

• la capacidad mental matemática

• menos dependencia de las calculadoras para cálculos simples

Los maestros deben pedirles a los estudiantes que utilicen sus propios métodos para

hacer estimaciones y captar su interés en discusiones para comparar métodos.

Las reglas de rutina no les ayudan a los estudiantes a ser mejores en las estimaciones.

Sin embargo, los estudiantes pueden utilizar métodos comunes como compensar o

reformular el problema para estimar. Ambos utilizan relaciones numéricas para refinar un

estimado. Por ejemplo 27 + 34 se puede enseñar como 20 + 30 + 10 (del 7+4) o

simplemente 30 + 30 (debido a que tanto el 27 como el 34 difieren del 30 por una

cantidad similar pero “opuesta”)


Para facilitar la estimación:

utilice números dentro del rango de los estudiantes

utilice operaciones que los estudiantes entiendan

pídales a los estudiantes que elijan de un conjunto de tres estimaciones que usted proporcione

pídales a los estudiantes que proporcionen un rango detro del cual estará la respuesta

tenga discusiones sobre la manera en que las operaciones cambian números (tenga en cuenta que la división no siempre hace a un número más pequeño o que la multiplicación hace a un número más grande)

pídales a los estudiantes que hagan sus estimaciones “en voz alta”


Cálculos mentales

Los estudios han demostrado numerosos beneficios sobre los cálculos mentales (Reys,

1984, Hope, 1986). “El asunto crucial no se trata de cómo se logran los cálculos, sino

saber cuándo y cómo se usa la aritmética para resolver problemas o contestar preguntas

que, de hecho, son importantes en la vida de las personas. El insistir en que todos los

niños tienen que hacer los cálculos con papel y lápiz de manera excelente, pone el

énfasis en el lugar equivocado en cuanto a los medios, en vez de los resultados de los

cálculos”. (Usiskin,1978) El uso de las calculadoras ha causado que los educadores

reexaminen el propósito de los cálculos mentales en la intrucción matemática.

El dominio del cálculo significa que los estudiantes calculan mentalmente, estiman y

utilizan algoritmos escritos para números más pequeños y reservan las calculadoras para

números difíciles de manejar.

El cálculo mental es:

• una destreza práctica de vida

• puede mejorar la eficacia de los cálculos con lápiz y papel.

• la base de la mayoría de los procedimientos de estimación

• conduce a un mejor entendimiento del valor numérico, operaciones matemáticas y relaciones numéricas

Se debe fomentar el cálculo mental. Los maestros pueden ayudarles a los estudiantes a

calcular mentalmente al:

alentar a los estudiantes a utilizar un método que tenga sentido para ellos

utilizar lápiz y papel según sea necesario en parte de un cálculo más difícil

platicar con los estudiantes mientras hacen sus cálculos (los maestros proporcionan sub-cálculos según sea necesario)


Estrategias de solución

Una estrategia de solución puede consistir de dos componentes:

• la construcción mental de un estudiante (un entendimiento particular de las matemáticas)

• la manera de un estudiante para representar la construcción (cuando se usa)

El análisis del maestro de la construcción mental de un estudiante y la representación del

estudiante (cuando se usa) proporciona un entendimiento profundo sobre el desarrollo

del sentido numérico de un estudiante y guía la instrucción.

Por ejemplo, un estudiante que cuenta progresivamente 5 unidades para resolver 67 + 5

tiene una construcción mental diferente a un estudiante que descompone el 3 y 2, luego

le suma 3 al 67 para formar 70, y 2 al 70 para formar 72. Ambos estudiante pueden

representar su construcción mental con la ecuación 67 + 5 =72.

Sin embargo, es importante mencionar que el representar la solución con esta ecuación

no demuestra que el primer estudiante cuenta progresivamente de uno en uno o que el

segundo estudiante descompone el número cinco. Solamente a través de la observación

y la discusión un maestro sabrá las construcciones mentales que un estudiante tiene.

Hay a menudo más de una manera para representar una construcción mental en

particular. Por ejemplo, el estudiante que “cuenta progresivamente de uno en uno”

podría utilizar una recta numérica vacía con 5 saltos iniciando con 67 y terminando en

72. Alternativamente, ese mismo estudiante podría escribir el número “67” y cada

número que se cuenta “68, 69, 70, 71, 72” o mostrar cinco rayitas de conteo.

o


El estudiante que descompuso el 5 en 3+ 2 podría utilizar una recta numérica vacía o un

lenguaje con flechas para demostrar la suma de 3 y 2 a 67 en aumentos.

o

El trabajo escrito de un estudiante proporciona un recurso valioso para la discusión y la

evaluación del progreso. Los maestros ayudan a los estudiantes a desarrollar rutinas y

hábitos para registrar sus soluciones.

Más adelante, los estudiantes que desarrollan sus propias estrategias, a menudo

proporcionan nuevos conceptos matemáticos útiles para la discusión en clase. Por

ejemplo, para resolver 235-89 un estudiante que entiende los números negativos puede

representar su razonamiento de la siguiente manera:

Los estudiantes deben desarrollar el uso flexible de estrategias a lo largo de los grados

intermedios y seguir creciendo a niveles más altos de restas (desde el uso de objetos

concretos hasta el uso de símbolos y desde el razonamiento para sumar hasta el

razonamiento proporcional).

Las discusiones sobre el trabajo del estudiante proporcionan oportunidades excelentes

para que los maestros entiendan a sus estudiantes y los efectos de su enseñanza.


Más de una estrategia

Los maestros deben captar el interés de los estudiantes en muchas conversaciones sobre

las diferencias y similitudes entre las estrategias presentadas por los estudiantes.

También considere analizar cada estrategia por su precisión, eficacia o generalización.

Una manera de desarrollar flexibilidad, precisión y eficacia con los cálculos mentales es

pedirles a los estudiantes que resuelvan problemas en más de una manera. Cuando se

les pide a los estudiantes que encuentren una segunda estrategia, los números en el

problema seleccionado deben prestarse a diferentes estrategias, tales como involucrar

estrategias de descomposición/composición, compensación o aumento.

La “segunda estrategia” debe comenzar con los números en el problema como si la

solución fuera desconocida en vez de utilizar la respuesta y una operación inversa para

“verificar” la solución. El siguiente problema se presta a una variedad de estrategias de

solución.

Jamal recolectó 178 conchas en la playa. Mark recolectó 52 conchas. ¿Cuántas conchas recolectaron los niños?

Algunas posibles estrategias incluyen:

• 178 + 2 es igual a 180 más 20 es igual a 200 + 30 es igual a 230

• piensa en 52 como si fuera 50 y 50 para 178 es 228 más 2 es igual a 230

• 17 decenas y 5 decenas es 220, 8 y 2 forman otro 10, entonces es igual a 230

• 8 + 2 es diez, y 170 + 50 dan 220, luego se le suma el diez para formar 230


Considere lo siguiente cuando les pida a los estudiantes que resuelvan los problemas de

una segunda manera:

¿Puede el estudiante representar y hablar sobre las estrategias y hacer comparaciones con respecto a las estrategias de otro estudiante?

¿Cuál es el propósito de pedirle al estudiante que resuelva el problema en más de una manera?

¿Tiene el estudiante el sentido numérico necesario para resolver el problema en más de una manera?

¿El método de usted le ayudará al estudiante a construir el sentido numérico o a desarrollar estrategias más eficaces?

¿El resolverlo de una segunda manera le ayudará al estudiante a verificar la precisión de su primera estrategia?

¿Qué hará el estudiante con la segunda estrategia?

• ¿Comparará el estudiante la segunda estrategia con la primera estrategia?

• ¿Cuáles son los criterios de comparación? (¿eficacia, hacer conexiones y construir el sentido numérico, verificar la precisión?)

Los estándares del MMSD indican el nivel mínimo de dominio para el cálculo mental en

cada nivel de grado.

Nota: Los estudiantes que solamente pueden modelar una solución con bloques o dibujos

no tendrán una segunda estrategia y necesitarán apoyo para desarrollar el sentido

numérico.

Además, los estudiantes que solamente pueden resolver un problema utilizando un

algoritmo memorizado tal vez necesiten apoyo para desarrollar el sentido numérico para

entender o utilizar una segunda estrategia más eficiente. Por ejemplo, los estudiantes

que utilizan el algoritmo estándar para 301-6 o 301-298 tal vez necesiten apoyo para

desarrollar el sentido numérico para la resta.


Representando soluciones

Los estudiantes representan sus pasos de razonamiento para resolver problemas

matemáticos de varias maneras. Los propósitos para registrar los pasos de razonamiento

incluyen:

• adquirir conceptos nuevos

• modelar un problema

• resolver problemas que tienen pasos múltiples o que involucran números u operaciones que no son calculadas mentalmente de manera fácil (p.ej. números grandes, fracciones, etc.)

• comunicar soluciones a otros

• analizar estrategias

Los estudiantes deben crear o escoger representaciones que tengan sentido para ellos y

que reflejen su entendimiento. Ellos tal vez necesiten atención enfocada para el

desarrollo de las estrategias para registrar sus propias soluciones y apoyo con el uso de

nuevos métodos.

Cada representación es única en su utilidad y el desarrollo conceptual que apoya. Por

ejemplo, los bloques de base de diez sugieren estrategias de valor numérico, las tablas

numéricas de cien estimulan un patrón secuencial del conteo de diez en diez y una recta

numérica vacía desarrolla una importante organización numérica lineal.

Algunos estudiantes tal vez se vuelvan dependientes de un modelo en particular para

resolver problemas y no desarrollen más conexiones matemáticas. Los maestros podrían

recordarles a los estudiantes que usen lo que ya saben mientras resuelven problemas.

El dominio de los cálculos escritos es una de los muchos objetivos para la instrucción de

las matemáticas. En los grados intermedios, las calculadoras en la escuela primaria

pueden interferir con el desarrollo del sentido numérico y deben reservarse para

exploraciones como el revelar patrones numéricos.

Las siguientes representaciones son apropiadas para apoyar la construcción de conceptos

matemáticos en los estudiantes de los grados intermedios. Si el estudiante no tiene una

representación útil de su estrategia, los maestros pueden modelar una representación.


Flechas de valor numérico

Las flechas de valor numérico les ayudan a los estudiantes a ver los “ceros escondidos”

detrás de un número de dígitos múltiples. A la par con los bloques de base de diez

pueden ayudar a los estudiantes a entender cómo escribir cantidades y descomponer

números utilizando la notación expandida.


Bloques de base de diez

Los bloques de base de diez les ayudan a los estudiantes a ver que un grupo de diez

unidades es lo mismo que un solo grupo una decena. De manera parecida, los

estudiantes pueden ver con más facilidad que un “bloque plano de 100” está hecho de

10 decenas y 100 unidades.

Los bloques de base de diez deben estar disponibles para cada sesión de resolución de

problemas y de manera decisiva utilizarlos según sea necesario para resolver o explicar

estrategias de solución.

Enséñeles a los estudiantes a representar el uso de los bloques de base de diez como

símbolos en pizarrones blancos o en papel utilizando los siguientes símbolos:

1 10 100

Hay varias maneras de utilizar estos símbolos para reflejar el proceso de solución de un

estudiante. El siguiente método utiliza la descomposición de una unidad de un valor más

elevado de 100 y 10.

Para demostrar 237-79:

8100

50

Los estudiantes pueden escribir la cantidad debajo de cada grupo de unidades, decenas y centenas que formen la respuesta.

Anime a los estudiantes a mostrar “unidades” y “decenas” en grupos de 5.


Recta numérica vacía

La ‘recta numérica vacía’ es un modelo que refuerza una organización numérica lineal

(recta de conteo mental). Se puede adaptar para satisfacer las necesidades de los

estudiantes a medida que su entendimiento sobre los conceptos del valor numérico va

cambiando desde el uso de objetos hasta el uso de estrategias de cálculo mental.

La recta numérica vacía es particularmente útil para el entendimiento o para “ver” la

diferencia entre dos números. A medida que se desarrolla la fluidez de los conceptos del

valor numérico, la recta numérica vacía proporciona una manera útil para llevar la cuenta

de cada paso en el proceso de la resolución de un problema más complejo.

Abajo se muestran tres maneras de soluciones posibles para un problema de tipo Suma,

segundo sumando desconocido (JCU) utilizando una recta numérica vacía.

Christel tiene 17 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para comprar un cachorro que cuesta 75 dólares?


Consejos de enseñanza

• DEMUESTRA EL CONOCIMIENTO DE UN ESTUDIANTE SOBRE EL ORDEN NUMÉRICO Y MAGNITUD Y EL USO DE PUNTOS DE REFERENCIA (DECENAS EXACTAS, CENTENAS, MILLARES)

• SE EMPAREJA MUY DE CERCA A LAS ESTRATEGIAS INTUITIVAS MENTALES DE LOS ESTUDIANTES Y DEBE REFLEJAR SU RAZONAMIENTO EN VEZ DE SER ENSEÑADO COMO UN PROCEDIMIENTO PARA SER UTILIZADO CON TODOS LOS CÁLCULOS.

• LLEVA LA CUENTA DE LOS ERRORES Y LES PERMITE A LOS ESTUDIANTES PENSAR QUÉ HACER DESPUÉS CUANDO CIERTO CÁLCULO ES DEMASIADO DIFÍCIL PARA HACERLO “MENTALMENTE”

• LOS NÚMEROS SIEMPRE DEBEN AUMENTAR DE TAMAÑO DE IZQUIERDA A DERECHA

• “LOS SALTOS” NO NECESITAN SER PROPORCIONALES AL TAMAÑO DE LA CANTIDAD NUMÉRICA.

• REPORTE SOLAMENTE LOS NÚMEROS RELEVANTES EN LA LÍNEA (P.EJ. ETIQUETE LOS PUNTOS DE “ATERRIZAJE” A MENOS QUE SE CUENTE DE UNO EN UNO Y ETIQUETE LOS “SALTOS” MAYORES DE UNO CON UN NÚMERO (LA OPERACIÓN ES OPCIONAL)

• ES ÚTIL PARA DEMOSTRAR EL “CONTEO PROGRESIVO”, LAS ESTRATEGIAS DE INCREMENTAR O COMPENSAR Y PARA DEMOSTRAR SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE SUMA, RESTA, COMPARACIÓN Y LA SUMA REPETITIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN.

• COMIENCE DESDE EL CERO PARA LA MULTIPLICACIÓN


Lenguaje con flechas

El lenguaje con flechas proporciona otra representación fácil de usar de los procesos de

razonamiento de un estudiante. Los maestros algunas veces se refieren al lenguaje con

flechas como un “tren de razonamiento”.

Para enseñar el lenguaje con flechas, comience con un simple cálculo que el estudiante

pueda hacer “en su cabeza”. Después construya el “tren de razonamiento” que

representa cada paso del proceso de razonamiento del estudiante. Muestre varias

soluciones al mismo problema. Después, compare y contraste para la precisión y la

eficacia.

Abajo se muestran tres posibles soluciones para el siguiente problema de tipo Resta,

sustraendo desconocido (SCU) utilizando el lenguaje con flechas.

Madelyn tiene 132 timbres en su colección de timbres. Ella le dio algunos de sus timbres a Angie. Ahora le quedan 93 timbres. ¿Cuántos timbres le dio a Angie?

Las cantidades de arriba de la flecha están combinadas para determinar cuantos timbres se regalaron.



• PUEDE REVELAR EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE SOBRE EL ORDEN NUMÉRICO Y MAGNITUD

• SE EMPAREJA MUY DE CERCA CON LAS ESTRATEGIAS MENTALES INTUITIVAS DE LOS ESTUDIANTES Y DEBE REFLEJAR SU RAZONAMIENTO EN VEZ ENSEÑARSE COMO UN PROCEDIMIENTO PARA UTILIZARLO CON TODOS LOS CÁLCULOS

• LLEVA LA CUENTA DE LOS ERRORES Y LES PERMITE A LOS ESTUDIANTES PENSAR QUÉ HACER DESPUÉS CUANDO CIERTO CÁLCULO ES DEMASIADO DIFÍCIL PARA HACERLO “MENTALMENTE”

• ESCRIBIR LAS FLECHAS SOLAMENTE DE IZQUIERDA A DERECHA

• SE PUEDE USAR PARA TODAS LAS OPERACIONES Y PARA MÁS DE UNA OPERACIÓN EN UNA SERIE

• EL LARGO DEL “TREN DE RAZONAMIENTO” SE REDUCIRÁ A MEDIDA QUE LOS CÁLCULOS MENTALES DEL ESTUDIANTE MEJORAN PARA CIERTO CONJUNTO DE NÚMEROS Y OPERACION

• NO TERMINE EL TREN CON UN SIGNO IGUAL


Modelo de matriz (para la multiplicación)

Este modelo puede ayudarles a los estudiantes a ver una conexión entre una suma

repetitiva y la multiplicación, así como desarrollar un entendimiento de la propiedad

conmutativa para la multiplicación.

Los estudiantes hacen el modelo de matriz utilizando cubos de Unifix o con lápiz y papel.

Para el problema:

El maestro de música quiere organizar las sillas en 6 filas con 3 sillas en cada fila. ¿Cuántas sillas necesitará el maestro?

Utilizando símbolos:

X X X X X X

X X X X X X 3

X X X X X X

6

Utilizando cubos de Unifix:

Utilizando un modelo de área (se discute en la siguiente página):

3

6


Modelo de área (para la multiplicación)

Un modelo de área les ayuda a los estudiantes a llevar la cuenta de los productos

parciales de un cálculo de dígitos múltiples y a entender la propiedad distributiva.

Introduzca el modelo de área utilizando primero papel cuadriculado. Más adelante los

estudiantes pueden hacer un dibujo general del modelo sin mostrar todas las unidades.

Por ejemplo los estudiantes podrían modelar 16 X 12 en una gráfica de papel como:


2 x 10

10 x 610 x 10

2 x 6

10

10 6

2

10 x 10 = 100 10 x 6 = 60 2 x 10 = 20 2 x 6 = 12 100 + 60 + 20 + 12 = 192

• LOS ESTUDIANTES COMIENZAN MODELANDO LA MULTIPLICACIÓN CON UN SOLO DÍGITO, LUEGO 10 X UN SOLO DÍGITO, UNA DECENA EXACTA X UN SOLO DÍGITO, UNA DECENA EXACTA X UNA DECENA EXACTA, UNA DECENA EXACTA X UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS (QUE NO SEA DECENA EXACTA), UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS QUE NO SEA UNA DECENA EXACTA X UN NÚMERO DE DOS DÍGITOS QUE NO SEA UNA DECENA EXACTA Una

secuencia de modelos: 3 x 4 10x4 30x4 30x40 30x46 35x46

• LOS ESTUDIANTES DEBEN SABER LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN BÁSICAS, 10 X 10 Y ESTRATEGIAS DE CÁLCULOS MENTALES ANTES DE UTILIZAR ESTE MODELO

• MARQUE LOS GRUPOS DE DIEZ EN LA GRÁFICA Y ETIQUETE LOS LADOS DEL ÁREA GRAFICADA

• PÍDALES A LOS ESTUDIANTES QUE REGISTREN LOS PRODUCTOS PARCIALES EN UNA LISTA

• COMPARE ESTA ESTRATEGIA CON LOS OTROS ALGORITMOS PARA ENCONTRAR CONEXIONES

• EVENTUALMENTE LOS ESTUDIANTES TAL VEZ SOLO HAGAN UN DIBUJO GENERAL Y UTILICEN EL MODELO COMO UN ORGANIZADOR GRÁFICO PARA SU RAZONAMIENTO.


Tabla de proporciones

La tabla de proporciones les ayuda a los estudiantes a llevar la cuenta de las relaciones

multiplicativas (proporciones). Es útil para la resolución de agrupaciones y los problemas

de división partitiva (PD) y de división con factor desconocido (MD).

Introduzca la tabla de proporciones con un problema matemático que involucre una

agrupación obvia.

Por ejemplo:

Un carro tiene cuatro llantas. ¿Cuántas llantas habrá en 48 carros?

Tal vez vea a estudiantes que sumen uno o dos grupos a la vez, que dupliquen los

grupos, que usen decenas o una combinación de estas estrategias como se ve abajo

para el siguiente problema de división con factor desconocido (MD):

¿Cuántas llantas tendrían 48 carros?

carros 1 2 4 8 6 1 32 48

llantas 4 8 6 4 8 1 32 6 12 192

carros 2 4 6 8 10 20 30 40 48

llantas 8 16 24 32 40 80 120 160 192

carros 10 0 0 8 2 4 48

llantas 40 0 0 2 8 16 32 19

carros 10 0 8 4 48

llantas 40 0 16 32 192


• ÚTL PARA TODOS LOS PROBLEMAS DE AGRUPACIÓN Y PARTITIVOS (MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON FACTOR DESCONOCIDO (MD), DIVISIÓN PARTITIVA (PD)

• LOS ESTUDIANTES DECIDEN DE QUE MANERA LA PROPORCIÓN “CRECE” Y “ENCOGE”

• OBSERVE CÓMO LOS ESTUDIANTES RAZONAN UTILIZANDO LA TABLA

• LAS TABLAS DE PROPORCIONES SE REDUCIRÁN A MEDIDA QUE LOS CÁLCULOS MENTALES MEJOREN BASÁNDOSE EN EL MEJORAMIENTO DEL SENTIDO NUMÉRICO – ASEGÚRESE QUE LOS ESTUDIANTES JUSTIFIQUEN LA ELECCIÓN DE SUS NÚMEROS


Ecuaciones

Una secuencia de ecuaciones se puede usar para llevar la cuenta de un cálculo. Por

ejemplo, los estudiantes podrían usar una serie de ecuaciones para representar la

solución de:

Un pastelero podría hacer 6 docenas de galletas en una sola vez (en una tanda). Puede hacer 8 tandas en una hora, ¿cuántas galletas puede hacer en 4 horas?

6 x 10 = 60

6 x 2 = 12

60 x 12 = 72

70 x 8 = 560

2 x 8 = 16

560 x 16 = 576

500 x 4 = 2000

70 x 4 = 280

6 x 4 = 24

2000 + 280 + 24 = 2304


• SE PUEDE UTILIZAR UNA SERIE DE ECUACIONES PARA DEMOSTRAR LOS CÁLCULOS PARA TODAS LAS OPERACIONES

• LOS ESTUDIANTES DECIDEN QUÉ ECUACIONES MEJOR REPRESENTAN SU RAZONAMIENTO

• EL MAESTRO PUEDE ACTUAR COMO MODELO AL ESCRIBIR CÓMO LAS ECUACIONES PUEDEN DEMOSTRAR LOS PASOS DE RAZONAMIENTO

• PREGÚNTELES A LOS ESTUDIANTES QUE BUSQUEN CONEXIONES ENTRE LAS ECUACIONES Y OTRAS REPRESENTACIONES


Algoritmos

Un algoritmo es un “procedimiento finito de paso a paso para lograr cierto ejercicio que

queremos completar”. (Usiskin 1998, p. 7) Más específicamente, “un algoritmo consiste

en una secuencia especificada de manera precisa de pasos que conducirán a una

solución completa para cierta clase de problemas de cálculos”. (Bass, TCM, 2003 p.323)

Antes de enseñar cualquier algoritmo los maestros consideran:

• ¿Qué entendimientos/destrezas necesita un niño para entender el algoritmo?

• ¿Qué entendimientos/destrezas necesita un niño para hacer el algoritmo?

Ha existido mucha confusión en cuanto a si los niños deberían aprender algoritmos

“estándar” o más tradicionales. Las investigaciones han demostrado que el enseñar los

algoritmos estándar demasiado temprano de manera precisa, interfiere con el desarrollo

del conocimiento numérico del estudiante (Kamii, 2004). La pregunta de si se deben

enseñar los algoritmos estándar se trata realmente de una pregunta acerca de si el

estudiante entiende o no las matemáticas que conllevan tales algoritmos.

Los cuatro algoritmos estándar que aprendemos son rápidos de memorizar pero

propensos a errores por la misma razón. Aunque son eficientes, esconden los conceptos

matemáticos necesarios para construir el sentido numérico. Los estudiantes pueden

generalmente justificar su uso solamente como “trucos” o como algo “que mi maestro

me enseñó”. El aprender algoritmos sin un sentido simultáneo, da como resultado una

“competencia” sin fundamentos en las matemáticas.

Los algoritmos sí tienen usos prácticos y una importancia teórica en las matemáticas.

Deben ser juzgados por su fiabilidad, generalidad, eficacia, facilidad de uso preciso y

transparencia. La meta primaria de enseñar algoritmos se debe enfocar en el análisis de

por qué funcionan y la comparación entre algoritmos. El comparar dos o más algoritmos

para cierto cálculo puede conducir a un entendimiento más profundo de las matemáticas

y extender la flexibilidad de un estudiante para elegir un método apropiado para cierto

conjunto numérico.

Los estudiantes se vuelven más discernientes en cuanto a cuáles algoritmos o métodos

utilizar cuando los maestros motivan a los estudiantes a explorar y discutir estrategias

alternativas. Los estudiantes siempre deben explicar de qué manera los métodos o

algoritmos que eligen funcionan y responder preguntas sobre los conceptos matemáticos

que tal vez estén “escondidos” en cualquier estrategia que utilicen.


El escribir las ecuaciones de manera horizontal puede incitar al estudiante a utilizar el

sentido numérico y estrategias mentales al animar a los estudiantes a hacer una pausa y

considerar los números antes de resolverlos.

Los maestros deben evaluar frecuentemente para ver si los estudiantes se han vuelto

demasiado dependientes de algunos algoritmos en vez de utilizar el sentido numérico

para determinar la mejor estrategia para cierto conjunto numérico.

Por ejemplo, los estudiantes con un buen sentido del orden numérico no van a usar un

algoritmo para resolver 1000 – 9. Sin embargo, los estudiantes que dependen demasiado

en el algoritmo estándar de la resta “le tomarán prestado” a las decenas, centenas y

millares y a menudo cometen errores en el proceso de este simple cálculo.


Modelo de barras

Este modelo “lineal” representa las varias relaciones que hay en un problema matemático. Los estudiantes tal vez representen el cálculo necesario para llegar a la respuesta dependiendo de los números en el problema.

Pamela tiene 36 libros. Si los pone en 4 estantes de manera equitativa, ¿cuántos pone en cada estante?

Hillary gastó 3/10 de su dinero en un CD. Si el CD costó $12 ¿cuánto dinero le sobró?

Eduardo tiene 56 tarjetas para intercambiar. Alan tiene 17 tarjetas más para intercambiar que Eduardo. Susana tiene 23 menos que Alan. ¿Cuántas tarjetas tiene Susana?

Eduardo

Alan

Susana

12

?

?

36

?

23

17

56


Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones

El entender las fracciones es de vital importancia para el estudio futuro del álgebra y las

matemáticas más avanzadas. La meta de la instrucción de las fracciones es “discutir y

extender los conceptos que emergen mientras los estudiantes resuelven problemas.”

(Saxe y colaboradores, 1999)

De la misma manera que en otras áreas de competencia sobre la enseñanza numérica, el

enseñar las fracciones comienza con la resolución de problemas matemáticos. El utilizar

los problemas matemáticos ayuda a evitar malos entendidos. Las nociones comunes

limitadas que los estudiantes tienen sobre las fracciones en los grados intermedios

incluyen:

• Las fracciones son pedazos

• Las fracciones son siempre más pequeñas que un entero

• Los valores de las fracciones se determinan al contar partes

• Las fracciones son dos números

Para desarrollar los conceptos de las fracciones, los maestros:

escogen o diseñan problemas basados en evaluaciones y los conceptos de fracciones que quieran tratar. Vea los tipos de problemas matemáticos CGI en el Capítulo 6, p. 15 para tipos de problemas y problemas de ejemplo.

seleccionan números que tienen como resultado respuestas con partes fraccionales específicas para satisfacer las metas de enseñanza.

analizan las estrategias que los estudiantes utilizan para resolver los problemas

ayudan a los estudiantes a coordinar conceptos de fracción y símbolos de fracción

Los problemas de “repartición equitativa” proporcionan un buen punto de partida para el

estudio de las fracciones especialmente cuando se diseñan con contextos familiares para

los estudiantes. Estos problemas a menudo resultan en una variedad de soluciones que

conducen a discusiones sobre equivalencia.

Los problemas de “grupos equitativos” y “divisiones” proporcionan el “siguiente paso”

lógico que involucra la combinación de unidades fraccionales parecidas y proporciona

discusión sobre la necesidad de una unidad común.


Los maestros deben introducir los símbolos, el sentido numérico y el uso del lenguaje

matemático que vayan con las estrategias de los estudiantes a medida que resuelven

problemas.

pídales a los estudiantes que utilicen materiales físicos para crear modelos de cantidades fraccionales (que dibujen, que doblen, que corten o que sombreen)

utilice palabras de fracción tales como “dos tercios de una barra de dulce” o “un tercio más un tercio”, antes de escribir símbolos de fracción.

relacione fracciones desconocidas con fracciones bien conocidas, tales como ½ o ¼ (Es mayor que un cuarto pero menor que un medio.” o “Es menor que un quinto.”)

utilice un lenguaje que enfatice la relación de la cantidad fraccional a la unidad, en vez del número de piezas (¿Cuánto de esta pieza cabrá en toda la barra de dulce? en vez de “¿En cuántas piezas esta cortada la barra de dulce?”)

utilice “¿cuánto?” en vez de “¿cuántos? para indicar que se necesita una respuesta de fracción.

Los siguientes tipos de problemas construyen un cimiento sólido en el entendimiento de

las fracciones.

Comparación

División (el total dividido por el número de grupos)

Unir/separar (combinando unidades parecidas y diferentes)

Grupos iguales

División (el total dividido por el tamaño del grupo)

Operador

Equivalencia


Tipos de problemas de fracción

Tipo de problema Problemas de ejemplo

Comparación • ¿A quién le tocará más pizza: a un niño en una mesa donde 5 niños están compartiendo una pizza mediana, o en una mesa donde hay 6 niños compartiendo una pizza mediana?

• Susana y Jeremías, ordenaron cada uno una pizza del mismo tamaño. Susana se comió 3/4 de su pizza. Jeremías se comió 5/6 de su pizza. ¿Quién comió más pizza?

Repartición equitativa con una respuesta de > 1:

• Dos niños quieren compartir 5 galletas en partes iguales. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?

• Cuatro niños quieren compartir 10 barras de dulce de tal manera que le toque la misma cantidad a cada uno. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?

División (Total dividido entre la cantidad de grupos)

Repartición equitativa con una respuesta de < 1:

• Hay 1 pastelillo de chocolate para que 4 niños lo compartan en partes iguales. ¿Qué tanto del pastelillo le tocará a cada niño?

• Tres niños quieren compartir 2 barras de dulce en partes iguales. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?

• En una fiesta de cumpleaños, sobran 2/3 de una sandía en la mesa. Hay 4 niños en la fiesta que quieren compartir ésta sandía que sobró. Todos ellos quieren que les toque la misma cantidad y quieren terminársela. ¿Qué tanto le tocará a cada niño?

Combinando unidades parecidas:

Janie tiene 4/5 de un galón de pintura azul que le sobró después de haber pintado su cuarto. John tiene 3/5 de un galón de la misma pintura azul que le sobró después de haber pintado una mesa. ¿Qué cantidad de pintura azul tienen en total?

Unir/Separar

Combinando unidades diferentes:

• Janie tiene 3/4 de un galón de pintura azul que le sobró después de haber pintado su cuarto. John tiene 3/8 de un galón de la misma pintura azul que le sobró después de haber pintado una mesa. ¿Qué cantidad de pintura azul tienen en total?

• Jason se comió 2/3 de un sándwich de helado y dejó que el resto se derritiera. Pero aún tenía hambre, entonces se comió 5/6 de otro sándwich de helado y dejó que el resto se derritiera. El hermano de Jason le dijo que ya había comido demasiado. Jason no lo creía. ¿Jason comió más o menos que 1 sándwich de helado completo en total? ¿Qué tanto comió Jason?

Eric y su mamá están haciendo bizcochos. Cada bizcocho lleva 1/4 de taza de betún. Harán 20 bizcochos. ¿Qué cantidad de betún necesitarán?

Grupos iguales

Contexto de repartición a la inversa:

Seis amigos compartieron algunas galletas. A cada persona le tocó 2 2/3 de galletas. ¿Cuántas galletas tenían en total?

División (total dividido entre el tamaño del grupo)

• Ollie tiene una máquina para hacer barquillos de nieve. Se necesita 2/3 de taza de hielo para hacer un barquillo de nieve. ¿Cuántos barquillos de nieve puede hacer Ollie con cuatro tazas de hielo?

• Puedes preparar 12 sándwiches de mantequilla de maní con un bote de mantequilla de maní. ¿Cuánta mantequilla de maní necesitas para hacer 15 sándwiches?

Operador Mayra trajo hoy 18 lápices a la escuela. Un tercio de los lápices tenían rayas, el resto eran lápices comunes. ¿Cuántos lápices tenían rayas? ¿Cuántos eran lápices comunes?

Si el equipo de fútbol vendiera 300 boletos para una rifa, tendrían el dinero suficiente para pagar nuevas playeras para el equipo. Hasta ahora los jugadores han vendido 2/3 de los boletos. ¿Cuántos boletos más necesitan vender?

Equivalencia En la clase de arte, el maestro reparte hojas de papel cartoncillo a grupos de niños para un proyecto. En una mesa hay 2 niños. El maestro les da 3 piezas de papel cartoncillo para que las compartan equitativamente entre ellos. En otra mesa hay 6 niños. ¿Cuántas piezas de papel cartoncillo debe darles el maestro para que a cada niño le toque la misma cantidad que a la primera mesa?



Geometría

Estos problemas desafían a los estudiantes a desarrollar el razonamiento espacial o el

sentido espacial al trabajar con figuras y formas para descubrir relaciones, ver formas

dentro de formas, clasificar de acuerdo a los atributos (incluyendo la simetría) y

examinar los resultados de voltear, deslizar y girar formas. Típicamente los problemas de

geometría en los grados intermedios incluyen “rellenar el espacio” con pentominos o

tangramas, descomponer y componer formas, entender el punto de vista y las “huellas”

de las formas en tercera dimensión.

Los estudiantes de los grados intermedios también desarrollan definiciones de las clases

de figuras y comienzan a utilizar vocabulario geométrico. Ellos amplían su conocimiento

sobre las propiedades de las figuras y aplican propiedades a todas las clases de figuras y

formas en vez de aplicarlas a modelos individuales y determinan nuevas propiedades. Por

ejemplo, encuentran maneras para clasificar los triángulos en grupos y definir los

diferentes tipos.

Durante los grados intermedios los maestros hacen preguntas que conducen a formular y

examinar hipótesis. Preguntas como “¿Funciona eso todo el tiempo? o ¿Es verdadero

para todos los triángulos o solo para los triángulos equiláteros?” dan lugar a que los

estudiantes expandan su entendimiento sobre la forma.

La geometría en los grados intermedios incluye:

• entender qué hace que las formas sean diferentes y parecidas basándose en las propiedades geométricas

• describir las formas en cuanto a su ubicación en un plano o en el espacio (coordenadas)

• aprender como se pueden mover las formas en un plano (traslaciones)

• “ver” formas desde diferentes perspectivas y entender las relaciones que existen entre figuras bidimensionales y tridimensionales.

• transformar, descomponer y componer formas de manera mental.

Los maestros pueden utilizar los recursos curriculares del distrito escolar para los

problemas de geometría. Al final de este capítulo se enlistan recursos adicionales para

problemas de geometría en la sección de Para más información.


Actividades de geometría con objetos manipulables

Las siguientes actividades introducen formas de 2 y 3 dimensiones y proporcionan

oportunidades para que los estudiantes desarrollen y utilicen un lenguaje geométrico.

Los maestros o estudiantes deben enlistar gráficamente el vocabulario que utilizan

durante la apertura de estas investigaciones y referirse a la lista de vocabulario con

frecuencia.

EXPLORAR – Los estudiantes se van familiarizando con las formas al hacer sus construcciones y al hablar sobre las mismas.

ORDENAR Y CLASIFICAR – Clasifique un conjunto de objetos manipulables y hable sobre dicha clasificación. Haga una lista de las propiedades para el grupo. Alternativamente, organice los diferentes objetos manipulables para que cada uno se relacione con el siguiente de alguna manera. (p.ej. ponga en una fila los pentominos para que cada pentomino tenga solo un cuadrado en una posición diferente que el que está al lado del mismo.

ATRIBUTOS – Los estudiantes necesitan tiempo para aprender los atributos de los objetos manipulables, tales como tamaño, número de lados, simetría, esquinas. Actividades, tales como “Adivina mi figura” (un estudiante construye una figura, el otro estudiante tiene que formar la misma figura al escuchar o leer instrucciones) o “Adivina mi regla” (Diagrama de Venn) proporcione excelentes oportunidades para que los estudiantes desarrollen su vocabulario geométrico.

PARTES FRACCIONALES – Pídales a los estudiantes que encuentren combinaciones de figuras que hagan otras figuras. Después pídales que identifiquen las relaciones fraccionales entre las figuras y que expliquen su razonamiento.

TRANSFORMACIONES – Pídales a los estudiantes que determinen qué figuras se convierten en nuevas figuras a través de una transformación (deslizar, voltear, girar) y qué figuras permanecen igual.

SIMILITUD/CONGRUENCIA – Pídales a los estudiantes que determinen qué figuras, si es que hay alguna, son similares o congruentes a otras figuras.

DIBUJAR – Haga que los estudiantes dibujen tanto figuras bidimensionales como tridimensionales y que vean las relaciones que existen entre los lados.



Geometría en el bloque de resolución de problemas

Los problemas de geometría desafían a los estudiantes a pensar sobre las relaciones espaciales, ver formas dentro de otras formas, clasificar por medio de atributos (incluyendo la simetría) y examinar los resultados de las transformaciones, tales como voltear, deslizar y girar figuras. Cuando se planea la instrucción de la geometría para cada estudiante, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de geometría para los grados de 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que “es nuevo” para el nivel de grado. Vea el apéndice para ideas de introducción para los problemas de geometría.

Estudiantes de tercer grado:

Investigan círculos, polígonos (octágono, hexágono, rombo, trapezoide, paralelogramo, cuadrado, rectángulo y triángulo), poliedros (pirámides, cubo, prisma hexagonal, octagonal, triangular, cuadrado y rectangular) y otros sólidos (hemisferio, esfera, cilindro, cono). El estudiante:

• compara los atributos de una clasificación • identifica las propiedades de las formas • nombra las formas y utiliza lenguaje geométrico (P.ej. lado, cara, vértice, orilla) • construye con figuras geométricas o modelos de la computadora (P. ej. Geo-Logo,

tetrominos, geoplanos, pentominos, fichas cuadradas, Geoblocks, bloques de patrón) • predice los resultados de juntar y separar figuras • ordena y clasifica las figuras de acuerdo a su atributos • relaciona modelos geométricos a las formas que se encuentran en el medio ambiente

Dibujan: • las figuras geométricas de los objetos en el medio ambiente • una figura bidimensional (rectángulo, triángulo, cuadrado, círculo) • la vista frontal o superior de un objeto tridimensional.

Investigan la simetría de figuras bidimensionales al: • determinar que movimientos dejan a las figuras de dos dimensiones (que no tienen

patrón) sin ningún cambio. (p.ej. deslizar, rotar a la mitad, rotar un cuarto, voltear hacia arriba o hacia abajo, voltear hacia los lados)

• doblar el papel para hacer una figura con simetría de espejo • utilizar un espejo para identificar todas las líneas de simetría para cierto objeto

Determinan redes múltiples (patrones planos) de un cubo y pirámides cuadradas al:

• construir y destruir figuras • dibujar redes

Especifican ubicaciones, relaciones espaciales y movimiento. El estudiante:

• ubica puntos en los mapas y cuadrículas coordenadas simples con letras y números • representa puntos y figuras simples en mapas y cuadrículas coordenadas simples con

letras y números • resuelve problemas que involucran figura, movimiento y espacio • utiliza palabras tales como ½ vuelta, vuelta completa, paralelo, perpendicular,

intersección, adyacente a, interior de, adelante, atrás, derecha, izquierda, cerca, lejos, sobre, debajo, al lado de y entre

Utilizan modelos geométricos para resolver problemas en otras áreas de las matemáticas tales como número y medición. (P.ej. modelo de área de multiplicación o partes fraccionales, rellenando una caja abierta para determinar el volumen)

Los estudiantes de cuarto grado también: • identifican y describen las figuras tridimensionales

desde múltiples perspectivas

• determinan el número de caras, orillas y vértices (esquinas) dada una ilustración de una figura tridimensional

• comparan atributos de una clasificación • lados paralelos • número de lados (figuras bidimensionales)

• nombran figuras y utilizan lenguaje geométrico (P. ej. Rectas, segmento de recta, paralelo, perpendicular, ángulo recto)

• construyen con figuras geométricas o modelos de la computadora (P. ej. Geoplanos u hojas de puntos)

Demuestran un entendimiento de la simetría de las figuras bidimensionales.

• determinan qué movimientos dejan a las figuras de dos dimensiones (sin patrón) sin ningún cambio (P. ej. giro de 180 grados, 90 grados)

Determinan redes múltiples (patrones planos) de sólidos geométricos.

Especifican ubicaciones, describen relaciones espaciales y movimientos.

• declaran las coordenadas de los puntos, objetos y figuras simples en mapas o un cuadrante de cuadrículas coordenadas

• ubican y grafican puntos en mapas y un cuadrante de cuadrículas coordenadas

• utilizan palabras tales como congruente y similar


Investigan el entendimiento de los polígonos irregulares (3-, 4-, 5-, 6-, 8-lados):

• clasifican las figuras de dos dimensiones por sus características de ángulos

• nombran figuras y utilizan lenguaje geométrico (P.ej. rayo, recta, segmento de recta, agudo-, obtuso-)

Demuestran un entendimiento de la simetría en las figuras bidimensionales.

• diseñan figuras que tengan al menos una recta de simetría.

• determinan la congruencia y similitud de figuras

Especifican ubicaciones, describen relaciones espaciales y movimientos.

• ubican el cuarto par coordenado cuando se dan tres vértices de un cuadrilátero en un cuadrante de una cuadrícula coordenada.



Medición

La medición es el uso más común de los números en la experiencia diaria. El tema sobre la medición une el

número y la geometría. Cuando los estudiantes averiguan cuantas pulgadas cúbicas llenan un contenedor,

utilizan números para comunicarse sobre el espacio tridimensional.

El uso de números para representar la medición requiere de un razonamiento abstracto. A medida que los

estudiantes avanzan de contar objetos concretos a contar espacio, a menudo no se dan cuenta que los

números hacen referencia al espacio total que ellos están contando. Por ejemplo, ellos cuentan las marcas

que hay en una regla o en una taza como si fueran objetos por separado en vez de cantidades continuas.

El punto cero es otro concepto que a los niños a menudo se les escapa. Al proporcionar reglas “que no

funcionan” (parte de una regla sin la marca del cero) proporciona una evaluación rápida del entendimiento

de los estudiantes sobre el punto cero (el punto de partida de una medición) También el pedirles a los

estudiantes que midan una línea torcida sirve como una evaluación fácil sobre los conceptos fundamentales

de la medición.

El manipular unidades para medir la longitud, el peso, la capacidad y el volumen y el aprender a cómo

utilizar las herramientas para medir estos atributos sirve como el enfoque para resolver problemas. La

medición puede ser un tema para los problemas matemáticos.

Por ejemplo, los estudiantes recolectan medidas en un experimento de ciencias para construir una tabla de

datos. Después los maestros utilizan los datos de medición para escribir una serie de problemas

matemáticos.

Las conversiones de medición proporcionan una situación natural de agrupación y repartición para la

resolución de problemas. Los grupos de 16 onzas se vuelven una libra, las pulgadas se convierten en pies y

así sucesivamente. Las múltiples experiencias con conversiones de medición desarrollan un razonamiento

proporcional.

La medición lineal proporciona un contexto excelente para desarrollar el entendimiento de partes

fraccionales. Tanto el nombrar fracciones como combinar o separar partes fraccionales emerge del trabajo

con medida lineal.

La medida del área proporciona un contexto para desarrollar el entendimiento de la multiplicación de dígitos

múltiples y apoya los conceptos algebraicos tales como la propiedad distributiva.

La medición en los grados intermedios incluye:

• entender los atributos y comparar objetos con los mismos atributos

• familiarizarse con unidades comunes utilizadas para medir

• estimar medidas a partir de puntos de referencia personales

• entender las herramientas de medición

• explorar las fórmulas de área y volumen

• entender de qué manera se relacionan el área, el perímetro y el volumen

Los materiales curriculares del distrito escolar tanto para las matemáticas como para las ciencias

son recursos para problemas de medición.



La medición en el bloque de resolución de problemas

Los problemas de medición involucran relaciones entre número y forma, entender los atributos de medida de los objetos y unidades, sistemas y procesos de medición. Los estudiantes desarrollan técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar las medidas. Los problemas de medición pueden emerger del trabajo en ciencias. Cuando se planea enseñar los conceptos relacionados con la medición, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de medición de los grados 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.

Los estudiantes de tercer grado: Nombran, discuten, comparan y ordenan objetos de acuerdo a los atributos del peso, capacidad, área, longitud (perímetro) y temperatura a través de la observación o la medida real.

Demuestran entendimiento sobre los conceptos de medición incluyendo: • escoger una herramienta y unidad apropiada (P.ej. pulgadas, centímetros,

millas, pies, yardas, milímetros, tazas, cuartos de galón, galones, litros, libras, onzas, gramos, grados F/C)

• aplicar técnicas de estimación utilizando una medida no estándar • punto cero (cualquier punto puede actuar como el punto de inicio

de una medida) • iteración (repetidamente colocar una unidad al lado de un objeto

para medir su longitud) • subdividir unidades para aumentar la precisión de una medida • la relación entre el tamaño de la unidad y el número de las

unidades necesarias para tomar una medida • la necesidad de unidades idénticas • convencionalismos para comunicar mediciones al identificar la

cantidad y el nombre de la unidad (P. ej. 12 tiras de papel)

Miden la longitud (perímetro), área, capacidad, masa, peso y temperatura. El estudiante:

• resuelve problemas que implican medición • selecciona herramientas y unidades de medición apropiadas

(estándar y no estándar) • mide con precisión con respecto al ½ cm más cercano (WKCE en el 3er grado) • mide el área por medio de la iteración (P.ej. fichas cuadradas

cubriendo una superficie) (WKCE en el 3er grado) • lee un termómetro con respecto a los 5 grados F/C más cercanos

(WKCE en el 3er grado)

Estiman medidas utilizando: • unidades no estándares (P.ej. frascos de estimación, clips, fichas cuadradas)

Dicen la hora con respecto al minuto más cercano utilizando relojes analógicos y digitales. El estudiante:

• traduce la hora entre los relojes analógicos y digitales • registra la hora

Identifican incrementos en el tiempo: • segundos, minutos, días, meses, años • minutos agrupados de cinco en cinco • puntos de referencia de 15, 30, 45 • el conjunto de doce números indica 12 horas

Los estudiantes de cuarto grado también: Nombran, discuten, comparan y ordenan objetos de acuerdo a los atributos de peso, volumen y capacidad líquida, área (regular e irregular)

Demuestran entendimiento sobre los conceptos de medición incluyendo:

• convertir unidades de medición (pulgadas/pies/yardas/tazas/pintas/cuartos de galón/galones)

• escoger una unidad apropiada (millas)

Estiman medidas utilizando: • contextos proporcionales (P.ej. utilizando escalas de

mapas)

Dicen la hora con respecto al minuto más cercano utilizando relojes analógicos y digitales:

• comparan el tiempo transcurrido en situaciones para la resolución de problemas (a través de dos horas contiguas en incrementos de un cuarto de hora)

Convierten unidades (minutos/horas/días/meses/años)


Demuestran un entendimiento de los conceptos de medición incluyendo:

• propiedad de adicionar (la medida de todo equivale a la suma de la medida de las partes)

• saber que todas las medidas son aproximaciones • saber de que manera las diferencias en el tamaño

de la unidad afectan la precisión • convertir las unidades de medición (milímetros/

centímetros/metros/gramos/kilogramos) Miden ángulos, longitud (perímetro de figuras regulares e irregulares), área (rectángulos y figuras irregulares en una cuadrícula) y volumen.

• medir la longitud y el perímetro con respecto al milímetro más cercano (WKCE en el 5.o grado)

• leer un termómetro con respecto al grado F/C más cercano (WKCE en el 5.o grado)

Estimar medidas utilizando: • puntos de referencia comunes (P.ej. un clip tiene

una masa de alrededor de un gramo) • medidas acostumbradas en los E.U.A.




El análisis de datos se trata de recolectar información para responder preguntas. Cuando

los estudiantes formulan sus propias preguntas, el análisis de datos se vuelve más

significativo.

Fórmula algebraica

Durante los grados intermedios, los estudiantes expanden su conocimiento sobre qué

información recolectar, cómo organizar la información y cómo interpretar los resultados.

El análisis de datos también proporciona un sitio excelente para el estudio de

representaciones múltiples como objetos, ilustraciones, descripciones verbales, diferentes

tipos de gráficas y posiblemente fórmulas. Los maestros deben captar el interés de los

estudiantes en conversaciones sobre la utilidad de cada representación, así como

conexiones entre las varias representaciones. Las preguntas sobre conjuntos de datos

deben incluir preguntas que promuevan el razonamiento aditivo, “¿Cuántos almuerzos

más hay de los que da la escuela que de los que se traen de casa?” y razonamiento

multiplicativo, “¿Alrededor de cuantas veces más hay de almuerzos que da la escuela que

de los que se traen de casa?”

Durante los grados intermedios, los estudiantes exploran la “forma” de los datos

incluyendo su extensión (rango, variación) y las medidas del centro (promedio, mediana,

modo). Ellos comienzan a predecir de qué manera estas “características” pueden cambiar

cuando las condiciones de la recolección de datos cambian.

Los conceptos de datos incluyen:

• los datos se recolectan y organizan para explorar preguntas

• una muestra (recolección de datos) puede proporcionar un entendimiento profundo, pero requiere de sacar deducciones.

• los datos se pueden analizar de varias maneras

• los datos expuestos de diferentes maneras transmiten información diferente

• los datos por lo regular incitan a más preguntas

Durante los grados intermedios, los maestros dependen de eventos diarios que

proporcionan suficientes oportunidades para explorar la probabilidad. Ellos utilizan el

lenguaje de probabilidad para hablar de eventos futuros y captar el interés de los

estudiantes en experimentos simples.

Representaciónilustrativa o

concreta

Descripción verbal

Gráfica Tabla



Análisis de datos y probabilidad en el bloque de resolución de problemas

Cuando se planea enseñar conceptos relacionados con datos y probabilidad, los maestros utilizan los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD como una guía. La siguiente tabla resume los estándares de datos y probabilidad para los grados de 3.o a 5.o. Las letras en negritas indican que es “nuevo” para el nivel de grado.

Los estudiantes de tercer grado:

Diseñan investigaciones para encarar preguntas que conducirán a la recolección de datos y análisis.

• determinar que datos recolectar, cuando y como recolectarlos. • predecir posibles resultados y sus implicaciones

Recolectan y organizan datos a partir de:

• observaciones • encuestas • experimentos

Crean representaciones apropiadas de datos, tales como: • tablas y cuadros • gráficas de barras

Describen los rasgos importantes de un conjunto de datos incluyendo:

• forma • valores altos y bajos (mínimo y máximo) • la diferencia entre los valores altos y bajos (rango) • valor más frecuente (modo)

Discuten posibles conclusiones e implicaciones basadas en los datos. Utilizan datos presentados en diagramas de Venn, tablas, cuadros y gráficas (con dibujo y de barras) para contestar preguntas.

Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o igual de probables) para que ocurran • describen el resultado probable de un evento simple. (P. ej. el volado

de una moneda, el lanzar un dado numérico) • diseñan ruletas justas e injustas

Los estudiantes de cuarto grado también:

Diseñan investigaciones para tratar preguntas que conducirán a la recolección de datos y análisis.

Determinan los rasgos importantes de un conjunto de datos (7 artículos o menos) incluyendo el valor medio (mediana)

Utilizan datos presentados en trazos de línea

Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o igual de probables) para que ocurran.

• examinan predicciones utilizando datos de una variedad de recursos

• utilizan palabras para expresar probabilidad


Determinan los rasgos importantes de un conjunto de datos (10 o menos artículos) incluyendo el valor promedio (medio)

Crean las representaciones apropiadas de datos tales como los trazos de línea. Predicen los resultados o tendencias de gráficas y tablas Determinan y describen las posibles combinaciones de tres artículos.

Describen eventos familiares como imposibles o certeros (más, menos o iguales de probables) para que ocurran.

• examinan predicciones utilizando datos de una variedad de recursos

• utilizan palabras, porcentajes y fracciones para expresar probabilidad



Conversación en el aula

Los maestros y estudiantes necesitan desarrollar una comunidad de aprendizaje donde la

conversación sobre las matemáticas apoye el aprendizaje de todos los participantes. El

papel primordial de esta comunidad es entender y ampliar el razonamiento de cada

miembro.

“Es más fácil apoyar la conversación

productiva cuando los ejercicios matemáticos

dan paso a múltiples estrategias a partir de

ideas matemáticas centrales que son de

interés para los estudiantes.”

Franke. M., y colaboradores

2007

Al proporcionar un bloque de resolución de problemas que incluya exploraciones en

grupos pequeños y discusión permite que tanto los maestros como los estudiantes

aprendan a involucrarse en una conversación productiva que esté dirigida a metas

específicas de aprendizaje para los estudiantes de manera individual. Todas las

conversaciones en el aula ya sea que se den en grupos de estudiantes individuales,

pequeños o grandes, se deben enfocar en entender el razonamiento matemático.

Los maestros notan la diversidad de razonamiento y la utilizan como la base para las

lecciones o extensiones de las matemáticas. Permiten que fluya la discusión según sea

necesario para un cambio en cuanto al entendimiento conceptual. Ellos notan las

maneras en las que los estudiantes participan e invitan a todos los estudiantes a que

participen en la conversación. Esto quiere decir que los maestros animan a que los

estudiantes desarrollen una actitud por sí solos de “necesitar saber”. Este es un ambiente

donde los estudiantes tienen confianza de que todas las ideas son valoradas y que son

ideas de contribución cómoda.

Schifter y Fosnot, 1993.

“…..no importa con que lucidez y paciencia los maestros les

expliquen a sus estudiantes, ellos no pueden entender por

sus estudiantes.” Es este entorno, los estudiantes de manera respetuosa interpondrán sus propias ideas en

las conversaciones y harán preguntas que exijan una justificación. Harán preguntas para

satisfacer su necesidad propia de entender.

Los elementos de conversación en el aula incluyen (Huffer, K.

Ackles, y colaboradores, JRME, 2004)

• hacer preguntas

• explicar

• descubrir ideas matemáticas

• aceptar responsabilidad para aprender

Durante las conversaciones en el aula los maestros entrenan y auxilian a los estudiantes a:

explicar su razonamiento Utilice las estrategias de

razonar, trabajar en parejas y

compartir para apoyar el

desarrollo del lenguaje entre los

estudiantes.

iniciar y solicitar preguntas

hacer los detalles de sus explicaciones más completos

defender y justificar sus respuestas e ideas con un razonamiento matemático

comparar y contrastar ideas

ser responsables para escuchar y co-evaluar estrategias

ayudarse entre sí a solucionar malos entendido y a corregir errores

Toma tiempo para la comunidad del salón de clases desarrollar un ambiente en donde

los estudiantes adopten el papel de líderes en conversaciones sobre las matemáticas. Los

maestros pueden jugar un papel central en desarrollar esta comunidad de aprendizaje.

Los cambios que se dan paso a paso, como los que a continuación se presentan, pueden

afectar las conversaciones del aula que benefician a la comunidad de aprendizaje.

establecer normas del aula para compartir, incluyendo el decirles explícitamente a los estudiantes por qué están compartiendo estrategias

modelar el hacer preguntas que se enfocan en estrategias en vez de respuestas

limitar las preguntas a cosas que no son inmediatamente obvias

auxiliar a los estudiantes a aclarar sus razonamientos y a ser más explícitos en su comunicación

entrenar a los estudiantes a hacer preguntas genuinas en vez de imitar técnicas para hacer preguntas

proporcionar retroalimentación productiva en vez de punitiva

ayudar a los estudiantes a sentirse seguros de que sus errores son puntos para el aprendizaje


Los investigadores de la educación matemática (Franke, M. y colaboradores, 2007) han identificado que cinco prácticas hacen del razonamiento estudiantil el enfoque de las discusiones del salón de clases.

1. Anticipar las probables respuestas del estudiante en ejercicios matemáticos

(problemas).

2. Monitorear las respuestas del estudiante en los ejercicios mientras trabajan en

los mismos.

3. Seleccionar ciertas respuestas del estudiante para presentar al compartir.

4. Determinadamente colocar en secuencia las respuestas del estudiante que serán

expuestas y resaltadas.

5. Ayudar a los estudiantes a hacer conexiones matemáticas entre las diferentes

respuestas de los estudiantes.

Cuando los estudiantes esperan ir más allá del simple hecho de reportar la manera en

que resolvieron un problema a hacer preguntas y justificar el razonamiento de cada uno,

ellos aprenden a poner las ideas matemáticas conjuntamente, identificar y explicar los

errores en su razonamiento y desarrollar argumentos y razonamientos matemáticos.


Matemáticas y lectoescritura

El lenguaje que se utiliza en la escuela para las materias académicas proporciona una

conexión entre las matemáticas y la lectoescritura para los estudiantes. Todos los

estudiantes son aprendices del lenguaje académico y se benefician de las estrategias

utilizadas para ayudar a los estudiantes del idioma inglés a adquirir un segundo idioma.

Estudiantes del idioma inglés

La adquisición del idioma ocurre en cuatro áreas: escuchar, hablar, leer y escribir.

Cuando se organiza un salón de clases, es importante considerar que algunos

estudiantes pueden tener niveles variados del dominio del idioma inglés, así como su

conocimiento previo en estas cuatro áreas. Para que los estudiantes puedan tener

dominio en el inglés, es importante darles práctica en cada área a lo largo del día y

durante el bloque de las matemáticas.

Los estudiantes generalmente adquieren primero las habilidades de escuchar. Mientras

que en la primera etapa de la adquisición del lenguaje, el estudiante tal vez solo participe

en su lengua nativa, utilice gestos o modele utilizando objetos manipulables

matemáticos.

Los estudiantes necesitan acceso inmediato a objetos manipulables en todo momento

para sustentar la adquisición del lenguaje.

A medida que los estudiantes aumentan sus habilidades en escuchar ellos hablan con

mayor confianza. La lectura y la escritura son las últimas áreas para solidificar.

Un estudiante que es completamente competente en la lectura y la escritura en el idioma

materno, será más capaz y tendrá más confianza en el inglés.


Cuando se les enseña a estudiantes que están adquiriendo un segundo idioma, los

maestros:

utilizan un lenguaje accesible que incluye:

• nuevas palabras utilizadas en muchos contextos

• bajar el ritmo del habla

• enunciar

• reducir el uso de un habla complejo, modismos y lenguaje sofisticado

desarrollan conciencia del nivel de cada estudiante en cuanto a su dominio de escuchar, hablar, leer y escribir para edificar sobre lo que los estudiantes ya hacen (Ver el apéndice para los “Descriptores de las habilidades”)

construyen sobre las matemáticas que los estudiantes ya saben basándose en las evaluaciones

motivan el uso de modelos (objetos manipulables) para explicar el razonamiento matemático

apoyan el aumento del conocimiento del contenido con el uso del idioma materno en el salón. El apoyo incluye:

• aglomerar a los estudiantes con idiomas similares en grupos pequeños para la resolución de problemas y el seguimiento de una discusión

• proporcionar el apoyo de un maestro de recursos bilingües o un especialista de recursos bilingües

• proporcionar traducción escrita cuando sea posible

• permitir a los estudiantes escribir en su lengua materna

Nota: El reporte del maestro generado de la evaluación ACCESS para los estudiantes del

idioma inglés brinda información acerca de dónde se encuentran los estudiantes en cada

una de las cuatro áreas, así como el dominio oral (el escuchar y el hablar combinados) y

la lectoescritura (la lectura y la escritura combinadas).


Vocabulario matemático

Es importante que los estudiantes sepan y desarrollen confianza en el uso del

vocabulario matemático. Sin embargo, el vocabulario matemático no es simplemente

nombrar un objeto o procedimiento. Por ejemplo, un rectángulo es una clase de figura

en particular que tiene los atributos específicos de un polígono de cuatro lados con dos

conjuntos de lados paralelos y cuatro ángulos rectos; lo cual significa que un cuadrado es

un rectángulo. Las maneras de desarrollar el vocabulario matemático son parecidas al

desarrollo del vocabulario en cualquier área de contenido. Por ejemplo:

utilizar nuevas palabras en muchos contextos

promover conversación intencional sobre el lenguaje matemático en todos los contextos en los cuales los estudiantes se encuentren con dichas palabras

desarrollar el significado como parte de la definición

agregar nuevo vocabulario a un esquema de palabras o un diagrama de Venn en vez de una simple lista de palabras.

utilizar etiquetas apropiadas de manera clara y consistente

incorporar lecciones referentes al vocabulario del contenido, tales como los prefijos de mediciones en latín (centi-, milli-, deci-) según sea necesario

evitar enseñar “palabras clave”


El problema de enseñar “palabras clave”

Los maestros algunas veces enfatizan las “palabras clave” para ayudar a los estudiantes

a resolver los problemas matemáticos. Por ejemplo: “en total” sugiere sumar, “sobra”

sugiere restar. La intención es buena: Haga que los estudiantes piensen en la situación.

Sin embargo, desafortunadamente a menudo los niños emplean mal las palabras clave –

examinan ligeramente, solamente buscando las palabras clave o se confían demasiado

en ellas, tomando lo que se intenta como una guía general como una decisión final.

En los siguientes ejemplos, las palabras clave subrayadas potencialmente inducen al

estudiante a cometer un error si no lee todo el problema o si no piensa en la situación.

1. Daniel gastó $1.24. Después Daniel tenía 55 centavos. ¿Cuánto dinero tenía

Daniel al inicio?

2. Cada salón en una escuela tiene 32 niños. La escuela tiene 12 salones. ¿Cuántos

niños hay en la escuela en total?

3. Benjamín dividió sus piezas de dulce de manera equitativa con José y Cleveland.

A cada niño le tocaron 15 piezas de dulce. ¿Con cuántas piezas inició Benjamín?

4. Flo tiene 3 veces más de dinero que Lacy. Flo tiene 84 centavos. ¿Cuánto tiene

Lacy?

5. La mamá de Manny compró algunas cosas en la tienda de comestibles. Ella le dio

a la cajera $10 y recibió $1.27 de cambio. En total, ¿cuánto gastó en la tienda?


Estrategias ineficaces

Los estudiantes tal vez utilicen las siguientes estrategias cuando tienen poca experiencia

en la resolución de problemas matemáticos o típicamente se confían en que otros les

digan como resolver los problemas. (Universidad estatal Sowder de San Diego)

Estrategias de desesperación

• Encontrar los números y sumar o adivinar que operación utilizar

Estrategias impulsadas por cálculos

• Observar los números. Ellos te “dirán” que operación utilizar.

• Intentar todas las operaciones y escoger la respuesta que sea más razonable.

Estrategias limitadas utilizando cierto grado de significado

• Buscar “palabras clave” aisladas que digan qué operación utilizar. (p.ej. “en total” significaría sumar, “sobrar” significaría restar, “de” significaría multiplicar)

• Decidir ya sea que la respuesta deba ser más larga o más corta que los números que se dan. Si es más larga, intentar tanto + como x y escoger la respuesta más sensata. Si es más corta, intentar tanto – como ÷ y escoger la respuesta más razonable.

Estrategia deseada impulsada por el concepto

• Escoger una estrategia de solución que quede con el contexto del problema matemático.


Diarios de matemáticas y la retroalimentación escrita Las recetas más simples para mejorar la educación

tienen que ser “dosis de retroalimentación” Los diarios de matemáticas o cuadernos que proporcionan suficiente espacio para que los

estudiantes trabajen en problemas, les permiten a los estudiantes y a los maestros

mantener un registro permanente del progreso, el cual modela el trabajo de un

matemático.

Marzano, 2003

Un diario de matemáticas tiene tanto los componentes de un cuaderno de trabajo como

un área de trabajo. Los maestros les ayudan a los estudiantes a construir hábitos y

rutinas para llevar la cuenta de su trabajo en sus cuadernos. Los maestros utilizan los

diarios del estudiante como un recurso para proporcionar retroalimentación. (Ver el

apéndice para ejemplos de páginas del diario de matemáticas)

“En las destrezas de la enseñanza, el maestro le dice

al estudiante que hacer y luego “corrige” o “marca” la

respuesta. Una de las maneras más eficaces para captar el interés de los estudiantes en la práctica

reflexiva es que los maestros proporcionen retroalimentación escrita en forma de

preguntas o comentarios, en vez de simplemente corregir el trabajo con marcas y

calificaciones.

En las estrategias de la

enseñanza, el maestro induce al estudiante a comportarse

de manera apropiada y lo motiva a confirmar o corregir

sus propias respuestas – el maestro no usurpa el control,

el cual es crucial para perfeccionar una estrategia.”

Don Holdaway

Los estudiantes aprenden a leer y a responder las preguntas en el diario de matemáticas

o en las páginas del libro de ejercicios y a corregir su propio trabajo. Las preguntas les

pueden requerir a los estudiantes que vean otra vez su solución, que aclaren su

razonamiento, que comparen una solución con una previa, que pidan que un estudiante

intente una estrategia con la cual ya está familiarizado pero no la ha usado por algún

tiempo, que practiquen unos cuantos cálculos rápidos o que busquen un atajo.

Fundaciones de lectoescritura. 1979.

Los estudiantes de los grados intermedios disfrutan estos intercambios escritos que

maximizan el aprendizaje.

• MARCAR LAS PÁGINAS EN EL DIARIO QUE NECESITAN LA RESPUESTA DEL ESTUDIANTE CON UNA PEQUEÑA NOTA O CON UN SÍMBOLO

• PROPORCIONAR RETROALIMENTACIÓN POR ESCRITO PARA CUATRO O CINCO ESTUDIATNES CADA DÍA (MARCAR EL DÍA PARA CADA ESTUDIANTE EN LA PARTE EXTERIOR DEL DIARIO)

• ESPERAR QUE LOS ESTUDIANTES RESPONDAN A LA RETROALIMENTACIÓN COMO PARTE DE SU TRABAJO INDEPENDIENTE

• UTILIZAR PREGUNTAS GENUINAS Y COMENTARIOS POSITIVOS QUE GUÍEN



Actividades para generar discusión

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Involucrándose en la discusión

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Enseñanza

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Escritura

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TRABAJO NUMÉRICO



CAPÍTULO 7

Trabajo

numérico



TRABAJO NUMÉRICO

Las actividades de trabajo numérico desafían a los estudiantes a desarrollar un sentido

numérico incluyendo cómo son los números grandes en comparación con otros números,

el sistema de base de diez, el cálculo mental y la resolución de problemas sin un

contexto.

Trabajo El trabajo numérico puede incluir actividades tales como: encontrar diferentes maneras

de componer o descomponer un número, determinar una función relacionando dos

conjuntos numéricos, patrones numéricos, patrones en tablas numéricas, estimar antes

de hacer un cálculo o investigar estrategias eficaces para los cálculos de tipos específicos

de números (p. ej. sumar números terminados en 8 o 9 o las muchas maneras de

descomponer una fracción)

El trabajo numérico es más productivo cuando se convierte en una rutina. Debido a que

el trabajo numérico a menudo involucra actividades con múltiples puntos de partida y la

búsqueda de un conjunto diverso de respuestas, los maestros con frecuencia lo utilizan

como una actividad para toda la clase. El repetir las mismas actividades eligiendo

diferentes números desarrolla la fluidez.

El bloque del trabajo numérico

se enfoca en desarrollar el sentido numérico sin un contexto

se puede plantear como un problema o una serie de problemas

utiliza actividades que a menudo tienen múltiples puntos de partida o más de una respuesta

acomoda a los estudiantes con un rango de destrezas y habilidades

promueve la comunicación y el hacer conexiones

apoya el razonamiento algebraico

apoya el aprendizaje en un grupo heterogéneo grande

requiere de 10 a 15 minutos de una hora de matemáticas

se puede intercambiar con la Inspección de ecuaciones



Las grandes ideas del contenido matemático para las actividades del trabajo numérico incluyen:

Números, operaciones y razonamiento algebraico

Aprender que los números tienen muchas representaciones Desarrollar el uso flexible de métodos para calcular Desarrollar el conocimiento de las relaciones numéricas y de operación Aprender y aplicar conceptos del valor numérico Reconocer y generalizar patrones cuando se está contando, calculando y

resolviendo problemas Resolver problemas de dinero

Geometría

Determinar cuantas figuras de una forma pueden formar otra Dividir figuras geométricas en partes fraccionales Entender las clases de figuras geométricas Redes Transformaciones

Medición

Entender que la medición es un proceso de comparación Escoger una unidad útil Contar el número de unidades y unidades parciales utilizadas para medir

(utilizando tanto fracciones como decimales) Investigar la relación entre las unidades (p.ej. 12 pulgadas es lo mismo que 1 pie

o ¼ de libra es lo mismo que 4 onzas) Investigar la medida de los ángulos


Recopilar y graficar los datos Analizar los datos Formular preguntas


Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso Las grandes ideas del proceso matemático para las actividades del trabajo numérico incluyen:


Desarrollar nuevo conocimiento matemático Involucrarse en encontrar muchas maneras para resolver problemas en una

variedad de contextos “únicamente numéricos” Reflexionar sobre nuestro propio entendimiento de las relaciones numéricas


Explicar el razonamiento que utilizamos para sacar una conclusión. Describir patrones (p.ej. los patrones en una tabla de multiplicar o múltiplos en una tabla numérica de cien)

Hacer e investigar conjeturas matemáticas (p.ej. cuando se multiplican dos números nones, la respuesta siempre es un número non)

Representación

Crear o seleccionar y aplicar representaciones para organizar, registrar, comunicar y comparar ideas

Aprender a utilizar formas convencionales de representar ideas matemáticas (p. ej. expresiones, ecuaciones y operaciones)

Comunicación

Compartir estrategias de solución utilizando dibujos, modelos, números y lenguaje matemático

Analizar el razonamiento matemático de otros

Conexiones

Discutir en qué se parecen y diferencian nuevas ideas de las ideas vistas previamente

Discutir en qué se parecen y diferencian dos representaciones numéricas

Para información específica de un nivel de grado en cuanto a los procesos y contenidos matemáticos, consulte los estándares matemáticos del MMSD para los niveles de Kinder a 5.o grado.


Actividades de enseñanza en el bloque del trabajo numérico Las actividades del trabajo numérico son más eficaces cuando se convierten en rutinas

diarias. Si los estudiantes están familiarizados con el formato de las actividades, pueden

enfocar mejor su atención en aprender sobre las relaciones numéricas y los conceptos

involucrados en las actividades en vez de enfocarse en cómo hacer los ejercicios.

“El entender los números es un precursor para

calcular de manera eficaz y flexible

con el sistema numérico basado

en diez.”

Los maestros seleccionan las actividades del trabajo numérico que mejor satisfagan las

necesidades de sus estudiantes. Cuando se comienza a enseñar cierta actividad de

trabajo numérico, el maestro tal vez guíe a la clase a través de la actividad por un

periodo de varios días. A medida que los estudiantes participan más

independientemente, el maestro comienza a formular preguntas más profundas para

cambiar el enfoque desde aprender la actividad en sí a aprender acerca de las relaciones

numéricas y los conceptos matemáticos.

Un libro de consulta sobre las matemáticas para

maestros de primaria y secundaria

Editorial Arena, 1999

Hay una amplia variedad de actividades que proporcionan excelentes experiencias del

trabajo numérico. Éstas incluyen juegos y práctica con cálculos mentales. El uso repetido

de los mismos tipos de actividades puede desarrollar fluidez y seguridad, así como

ampliar el conocimiento del estudiante. Las guías curriculares y los programas comprado

también tienen ideas para el trabajo numérico.

Las actividades del trabajo numérico tienden a ser de naturaleza divergente y tienen en

cuenta múltiples respuestas, prestándose así a actividades para toda la clase. Sin

embargo, los maestros pueden usar estas actividades con pequeños grupos o con

estudiantes individuales dependiendo del tamaño de los números y los niveles de

competencia de los estudiantes, o utilizarlas para la fluidez y el mantenimiento.

Los maestros encontrarán ideas para las actividades del trabajo numérico en los recursos

curriculares de la escuela. Este capítulo incluye algunas sugerencias para aprender

fácilmente las actividades del trabajo numérico, para comenzar:

−− Suma ( o resta) mi número −− ¡Monedas del día! −− Compara −− Comparar representaciones del lenguaje con flechas −− Comparar las representaciones en la recta numérica

vacía −− Contar y comparar −− Contar salteado de a _______ y lanzar −− Diferencia de −− Estimación −− Juegos de fluidez y mantenimiento −− El juego de 24 −− Adivina la clasificación

−− Patrones de la tabla numérica de cien −− Apodo, nombre real −− Patrones numéricos −− Número del día o “combinaciones para formar” −− Descubre el número −− Leyendo e interpretando gráficas −− Leyendo literatura de matemáticas −− ¿Qué sabes acerca de ______? −− ¿Qué observas? −− ¿Cuál es la regla? (Máquina de funciones) −− ¿Qué número no pertenece? −− Escribir problemas matemáticos


Suma (o resta) mi número Propósito: sumar y restar mentalmente un solo dígito de un número de dígitos múltiples.

NIVEL DE GRADO

3.O

Pasos a seguir:

Designar un orden para tomar turnos con esta actividad.

El maestro escribe un número para comenzar (39) y un estudiante escoge “mi” número para sumarlo o restarlo y lo da a conocer a la clase (9) y dice, “suma (o resta) mi número.”

El siguiente estudiante suma (o resta) ese número al número que está en el pizarrón (39+9=48).

Se continúa alrededor de la clase sumando (o restando) el mismo número (48+9, 57+9, 66+9…)

Se continúa hasta que todos los estudiantes hayan tenido un turno.

Una persona puede registrar el conteo en el pizarrón para utilizarlo para discutir los patrones observados.

Variación: Utilizar fracciones o decimales.

¡Monedas del día!

NIVEL DE GRADO 3.O

Propósito: saber y sumar los valores de las monedas

Pasos a seguir:

Los estudiantes trabajan juntos para encontrar la mayor cantidad de maneras que puedan para crear “el número del día” con monedas.

Los estudiantes comparten uno o dos de su lista y discuten su estrategia.

Variación: Encuentra la selección que utilice la menor cantidad de monedas, la mayor cantidad de monedas de 5¢ (nickels), etc.

Compara

NIVEL DE GRADO 3.o – 5.o

Propósito: comparaciones

Pasos a seguir:

Escriba dos números en el pizarrón y pídales a los estudiantes que escriban tantas relaciones como puedan entre esos dos números (p.ej. para comparar 10 de 50 ellos podrían escribir 10 es 40 menos que 50, ambos son pares, ambos son múltiplos de 10, 10 es 1/5 de 50).

Repita la actividad varias veces con diferentes números.


Comparar las representaciones en la recta numérica vacía

NIVEL DE GRADO

3.O

Propósito: representar las operaciones de suma o resta con ecuaciones y la recta numérica vacía

Pasos a seguir:

Escriba dos representaciones en rectas numéricas vacías lo suficientemente grandes para que las vea todo el grupo.

Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones en las rectas numéricas vacías se parecen y haga una lista de sus respuestas.

Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones en las rectas numéricas vacías se diferencian y haga una lista de sus respuestas.

Pídales a los estudiantes que escriban una serie de ecuaciones que indiquen la representación de la recta numérica vacía.

Comparar representaciones del lenguaje con flechas

NIVEL DE GRADO 3.o – 4.O

Propósito: representar cálculos con ecuaciones y lenguaje con flechas

Pasos a seguir:

Escriba dos representaciones con lenguaje con flechas lo suficientemente grandes para que las vea todo el grupo.

Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones del lenguaje con flechas se parecen y enliste sus respuestas.

Pídales a los estudiantes que digan las maneras en que las dos representaciones del lenguaje con flechas se diferencian y enliste sus respuestas.

Pídales a los estudiantes que escriban una serie de ecuaciones que indiquen la representación del lenguaje con flechas.


Contar y comparar

NIVEL DE GRADO

3.o – 4.O

Propósito: valor numérico

Pasos a seguir:

Reparta bolsas de plástico con colecciones surtidas de 15 bloques de valor numérico.

Pídales a los estudiantes que cuenten el número de bloques en la bolsa y que indiquen el valor de la bolsa (cuantos cubos de unidades están representados) P.ej. una bolsa con 3 centenas, 10 decenas y 2 unidades tiene 15 bloques y un valor de 402. Una bolsa con 11 decenas y 4 unidades tiene 15 bloques y un valor de 114.

Discutan las razones para los diferentes valores.

Variación: proporcione bolsas con colecciones de cualquier número de bloques. Los estudiantes suman dos bolsas utilizando lápiz y papel. Después se confirma el conteo con los bloques de valor numérico o se comparan los valores de dos bolsas para encontrar la diferencia.

Contar salteado de a ________ y lanzar Propósito: fluidez con múltiplos

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Pasos a seguir:

Un grupo pequeño se para en un círculo

Se lanza un dado numérico ya preparado para determinar la cantidad por la cual se contará salteado.

El estudiante lanza una bolsita rellena de bolitas o una pelota a un compañero de clase quien dice el siguiente número.

El juego continúa hasta que todos los estudiantes hayan tomado un turno sumando ese número.


Diferencia de

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Propósito: diferencias

Pasos a seguir:

Pídales a los estudiantes que escriban pares de números con cierta diferencia entre ellos (p.ej. diferencia de 7) para un predeterminado número de minutos.

Comparta respuestas y repita varias veces. (p.ej. 32/39, 54/61. 1009, 1016, etc.)

Variación: Utilice diferencias decimales y fraccionales

Estimación

NIVEL DE GRADO 3.O

Propósito: visualizar cantidades

Pasos a seguir:

Busque dos frascos que sean transparentes y exactamente iguales.

Ponga una colección de artículos en un frasco y una cantidad pequeña apropiada (2, 3, 4 y 10) en otro frasco para usarlo como referencia. Dígales a los estudiantes cuantos objetos hay en el frasco de referencia.

Pídales a los estudiantes que piensen que tanto espacio ocupa la cantidad del frasco usado como referencia. Ellos deben utilizar ese entendimiento para ayudarles a pensar sobre la cantidad que se encuentra en el frasco de estimación.

Una vez que los estudiantes haya compartido su razonamiento, cuente la cantidad contenida en el frasco de estimación.

Los estudiantes determinan el estimado más cercano y más lejano y comparten sus estrategias de cálculo.

Patrones de factor Propósito: factores para números hasta el 100

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Pasos a seguir:

Pídales a los estudiantes que sombreen “el conteo salteado” de un número (2-9) en una tabla numérica de 100 (utilizando un marcador fosforescente)

Los estudiantes discuten o enlistan los patrones que notan

Pídales a los estudiantes que sombreen otro “conteo salteado” utilizando un color diferente en la misma tabla. Discutan.

Repítalo con un tercer “conteo salteado”


Juegos de fluidez y mantenimiento Propósito: relaciones numéricas y estrategias de operaciones

Pasos a seguir:

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Enseñe las reglas para los juegos en el bloque de fluidez y mantenimiento

Vea el capítulo 9, bloque de fluidez y mantenimiento para las reglas del juego.

El juego de 24


Propósito: desarrollar el sentido numérico

Pasos a seguir:

Este es un juego comprado que proporciona un gran desafío mental matemático


Adivina la clasificación Propósito: clasificación numérica

Pasos a seguir:

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Ponga un diagrama de Venn en el pizarrón con reglas escondidas para cada círculo. Las reglas pueden ser cosas tales como números nones y divisibles entre 5, o figuras con ciertas características tales como “cerradas” y “una serie de líneas paralelas”.

Los estudiantes toman turnos adivinando un número o una figura dibujada.

El maestro pone el número o la figura en el lugar correcto en el diagrama de Venn, el cual incluye el conjunto universal afuera de los círculos para que cada número u objeto adivinado tenga un lugar.

A medida que el conjunto de números aumenta en cada área del diagrama de Venn, los estudiantes pueden primero adivinar y luego hacer una conjetura sobre la etiqueta del círculo después de adivinar un nuevo número o figura.

Se continúa jugando hasta que se puedan determinar las etiquetas para cada círculo.

Verifique para asegurarse que cada número o figura en el diagrama satisfaga el criterio de clasificación.

Variación: Utilice compuestos, primos, múltiplos o factores

Patrones de la tabla numérica de cien Propósito: patrones

Pasos a seguir:

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Pídales a los estudiantes que busquen patrones en la tabla numérica de cien. (Vea el apéndice donde hay diferentes tablas numéricas para utilizarlas en una variedad de niveles de grado.)

Mantenga una tabla que describa los patrones.

Intente con números pares/nones, múltiplos, factores.


Apodo, nombre real

NIVEL DE GRADO

3.O

Propósito: nombrar números (funciona mejor para trabajo numérico en grupos

pequeños)

Pasos a seguir:

Haga una tabla con tres columnas – los números de conteo iniciando en 1, los nombres de los números (“apodos”) y los nombres reales (cantidad y valor para cada posición)

Rellene la tabla a medida que los estudiantes proporcionen la información. P.ej. 17, diecisiete, una decena y siete unidades (Nota: Los números del 1 al 10 solamente tienen números reales.)

Desafíe a los estudiantes para que den un apodo cuando se les da el nombre real y viceversa.

Patrones numéricos


Propósito: patrones que se repiten y crecen

Pasos a seguir:

Escriba un patrón numérico lo suficientemente grande para que lo vea todo el grupo. Por ejemplo: 1, 5, 9, 13,…

Pídales a los estudiantes que piensen sobre la manera en que los números cambian de un número a otro. (En la secuencia 1, 5, 9, 13…, cada número es 4 más que el número anterior.)

A medida que los estudiantes comparten sus ideas, verifíquelas para ver si funcionan de manera consistente de un número al siguiente.

Los estudiantes identifican la regla y continúan con el patrón. (En la secuencia 1, 5, 9, 13, la regla es +4.)

Variaciones: Utilice fracciones o decimales en el patrón para estudiantes más avanzados.

Extensión: Una vez que los estudiantes identifiquen el patrón cambiante, pregúnteles si cierto número se encontraría en el patrón, si se continuara con el patrón.


Numero del día o “combinaciones para formar”


Propósito: componer/descomponer números y relaciones y las relaciones entre operaciones.

Pasos a seguir:

Escriba un número meta en el pizarrón

Los estudiantes escriben la mayor cantidad de expresiones matemáticas diferentes que puedan pensar para el número meta en un lapso de 3 a 5 minutos

El maestro registra unos cuantos ejemplos en el pizarrón (o los estudiantes muestran sus expresiones escritas en el pizarrón)

El maestro enfatiza algunas ideas nuevas observadas (p.ej. fracciones, números negativos o números cuadrados)

Los estudiantes vuelven a hacer la actividad con el mismo número o un número diferente con el propósito de extender su dominio de números, operaciones o representaciones.


Descubre el número

NIVEL DE GRADO 3.O

Propósito: lenguaje del orden numérico

Pasos a seguir:

Un estudiante escoge un número entre 1 y 100 y lo deja escondido. (Exhiba una recta numérica o una tabla numérica de cien a plena vista)

La clase toma turnos haciendo preguntas para reducir las posibilidades y encontrar el número utilizando vocabulario de orden, tales como “antes,” “después”, en medio de, mayor que, menor que.

Marque y cuente las preguntas necesarias para determinar el número. No se permiten las conjeturas al azar.

Repítalo varias veces.

Variación: Proporcione a los estudiantes sus propias tablas numéricas o rectas numéricas para eliminar números.

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Leyendo e interpretando gráficas Propósito: contar, representar y comparar cantidades

Pasos a seguir:

Utilice la infinidad de oportunidades que tenga para crear gráficas tales como: graficar el conteo de los almuerzos, tipos de zapatos, autores favoritos, etc.

Plantee preguntas con respecto a la información.

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Leyendo literatura de matemáticas Propósito: sentido numérico

Pasos a seguir:

Tener a disposición una variedad de libros con conceptos matemáticos.

Los estudiantes escriben una página con sus respuestas. (P.ej. hacer una página nueva para este libro o ¿cuáles son tres ideas numéricas que recuerdas de este libro?)


¿Qué sabes acerca de ___________?

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Propósito: relaciones numéricas

Pasos a seguir:

El maestro les pide a los estudiantes que compartan lo que saben sobre cierto número que se les da y escribe sus respuestas en un cartel.

Evoque respuestas de todos los estudiantes.

Las respuestas pueden ser una referencia personal, tales como mi hermano tiene 10 años.

Motive oraciones que indiquen una relación, tales como 10 es 2 más que 8.

Exhiba carteles que hayan sido creados con anterioridad en el año para comparar respuestas y ver el avance.

¿Qué observas?


Propósito: modelar números en una cuadrícula de 10 x10 y expresiones equivalentes.

Pasos a seguir:

Sombree una porción de una cuadrícula de 10x10 (Vea el ejemplo en el apéndice)

Pídales a los estudiantes que escriban expresiones que representen lo que “ven” en el cartel que puede incluir el área no sombreada. Comparta ejemplos.

Repita la actividad varias veces.

¿Cuál es la regla? Máquina de funciones

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o

Propósito: patrones

Pasos a seguir:

Ingrese cualquier número de uno o dos dígitos, proporcione como salida un cambio en la cantidad basado en una función apropiada de acuerdo al nivel de grado tal como n÷2 o 3xn.

Haga que los estudiantes ofrezcan números para ingresar.

Los estudiantes observan las relaciones y deciden la regla que la máquina está siguiendo.

El estudiante que descifre la relación decide la siguiente función y proporciona las salidas.


¿Qué número no pertenece?

NIVEL DE GRADO

3.o – 5.o Propósito: relaciones numéricas

Pasos a seguir:

Escriba un conjunto numérico en el pizarrón así como este:

6 15 10 12

Pregúnteles a los estudiantes “¿Qué número no pertenece a los demás?”

Los estudiantes explican su elección tales como:

o 10, porque no se puede dividir entre 3 o 15, porque no es un número par o 6 porque es menor que 10

Estos tipos de problemas son muy complejos. Son divertidos para hacerlos de

vez en cuando. El trabajar en ellos desarrolla la perseverancia. Estos problemas desafían a los estudiantes a que piensen a partir de más de una perspectiva.




Bresser, R. & Holtzman, C. (2006). Minilessons for Math Practice: Grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications Dana, M. Inside-out math problems: Investigate number relationships & operations. Grand Rapids, MI: Instructional Fair, Inc. Hope, J.A., Reys, B.J., Reys, R.E. (1987). Mental Math in the Middle Grades: Blackline Masters. Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications. Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic 2nd edition. New York, NY: Teachers College Press. Richardson, K. (1999). Developing number concepts: Place value, multiplication, and division. Parsippany, NJ: Pearson Education, Inc. Sheffied, Stephanie. (2002). Lessons for introducing place value. Sausalito, CA: Math Solutions Publications. Trafton, P. R., & Thiessen, D. (1999). Learning through problems: Number sense and computational strategies. Portsmouth, NH: Heinemann. Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics: Grades 3-5. Boston, MA: Allyn and Bacon Pearson Education, Inc. Wheatley, G. H., & Reynolds, A. M. (1999). Coming to know number: A mathematics activity resource for elementary school teachers. Tallahassee, FL: Mathematics Learning.


TRABAJO NUMÉRICO



CAPÍTULO 8

Inspección

de

ecuaciones




Las actividades de inspección de ecuaciones se enfocan en aprender de qué manera el

signo igual expresa relaciones de igualdad. Los estudiantes:

• discuten oraciones de verdadero/falso u oraciones numéricas abiertas (ecuaciones)

• utilizan relaciones numéricas para razonar sobre las relaciones de igualdad

• reconocen patrones y hacen conjeturas sobre las propiedades numéricas

• justifican su razonamiento matemáticamente

Las actividades de inspección de ecuaciones pueden proporcionar una experiencia para

toda la clase debido a los muchos puntos de partida.

El bloque de inspección de ecuaciones

se enfoca en conceptos de igualdad y el significado del signo igual

involucra a los estudiantes en el análisis de los símbolos convencionales de números, operaciones y relaciones

motiva a los estudiantes a que busquen y utilicen relaciones numéricas así como cálculos para confirmar las relaciones de igualdad

se puede utilizar de manera intercambiable con el bloque de trabajo numérico

utiliza alrededor de 15 minutos de una hora de matemáticas

se lleva a cabo como una actividad heterogénea en grupos pequeños o para toda la clase.

Inspección de ecuaciones


La inspección de ecuaciones proporciona otro escenario para que los estudiantes

“aprendan a articular y justificar sus propias ideas matemáticas, que razonen a través de

sus propias explicaciones matemáticas, así como las de otros y que proporcionen un

fundamento lógico para sus respuestas.” (Carpenter y colaboradores 2003) Estas

destrezas son esenciales para tener éxito en las matemáticas y otros estudios

relacionados con las matemáticas. A través de las actividades de inspección de

ecuaciones los estudiantes también comienzan a reconocer el razonamiento y la

comprobación como partes fundamentales de las matemáticas.

La inspección de ecuaciones proporciona un medio para que los maestros capten el

interés de los estudiantes en aprender las ideas principales o grandes ideas de las

matemáticas. Los estudiantes aprenden a hacer conexiones entre la aritmética que han

aprendido a lo largo de la escuela primaria y el álgebra con la que se enfrentarán en la

escuela secundaria y más adelante.


Las discusiones breves y enfocadas pueden funcionar bien con toda la clase para la

inspección de ecuaciones. Sin embargo, las sesiones en grupos pequeños pueden

proporcionar un entorno más productivo cuando el objetivo de la lección sea:

ayudar a unos cuantos estudiantes a entender el significado del signo igual

desarrollar conceptos particulares

trabajar con un conjunto de números en particular

proporcionar más oportunidad para desarrollar las destrezas del lenguaje y la comunicación tales como escuchar, cuestionar o contribuir a las discusiones.

Las discusiones en grupos pequeños proporcionan más oportunidad para que los

estudiantes individuales compartan sus propios razonamientos sobre las ecuaciones,

hagan preguntas aclaratorias y reflexionen sobre el razonamiento de cada uno para

desarrollar el sentido numérico.



Las ideas del contenido matemático para las actividades del bloque de inspección de ecuaciones incluyen:


Analizar ecuaciones para entender el signo igual como un símbolo matemático de igualdad en vez de una señal para calcular

Entender y utilizar una notación simbólica convencional

Representar la idea de una variable como una “cantidad desconocida” utilizando una letra o un símbolo

Desarrollar y utilizar relaciones numéricas

Ver una ecuación entera a través del signo igual antes de responder

Justificar conjeturas sobre las propiedades numéricas

Entender y utilizar las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas

Utilizar las relaciones numéricas para calcular con mayor fluidez


Estándares de contenido y proceso GRANDES IDEAS: Proceso

Las grandes ideas del proceso matemático para las actividades del bloque de inspección de ecuaciones incluyen:


Reflexionar sobre las propias estrategias para continuar dándole sentido a la experiencia de resolución de problemas.

Desarrollar el hábito de volver a razonar la solución para asegurar su precisión

Representación

Aprender formas convencionales de representar operaciones y relaciones numéricas

8 5 4a+ = +

Comunicación

Compartir estrategias de solución utilizando palabras y lenguaje simbólico

Aprender vocabulario matemático


Explicar el razonamiento que uno utiliza para sacar una conclusión

Buscar patrones y explicarlos matemáticamente

Generalizar a partir de ejemplos para hacer conjeturas sobre las propiedades de los números

Justificar las generalizaciones

Conexiones

Entender la conexiones entre las operaciones

Entender el sistema numérico de base de diez y el sistema del valor numérico

Entender los métodos para hacer cálculos


Aprendiendo sobre el signo igual Ya desde el Kinder, los maestros introducen el signo igual. Ellos aprenden que el signo

igual significa “lo mismo que.” Los maestros motivan a los estudiantes a decir, “5 es lo

mismo que 3+2” en vez de “5 da 3+2.” Los maestros son cuidadosos al escribir

expresiones y ecuaciones solamente después de que los estudiantes hayan entendido los

números dentro de ellas como cantidades y los símbolos de las operaciones como

acciones; y las escriben en más de una manera, por ejemplo: 5=3+2 y 3+2=5.

En el primer grado, los estudiantes desarrollan su entendimiento sobre cómo representar

oraciones de igualdad e inspeccionan ecuaciones tales como:

*a

=

= +

+ = +

+ = +

7 78 3 58 2 2 74 2 2

*denota una ecuación falsa

Los estudiantes de segundo grado amplían su entendimiento sobre las ecuaciones.

Comienzan a utilizar relaciones, así como cálculos para razonar sobre la veracidad de las

oraciones de igualdad. Inspeccionan ecuaciones tales como:

+ = ++ = ++ = + ++ = +

8 4 7 58 6 7 77 8 7 7 17 8 8 7

Los estudiantes a menudo aprenden que el signo igual indica una señal para calcular o

que “la respuesta viene después”, en vez de una relación entre dos cantidades. Por tal

razón, es importante escribir ecuaciones con números y operaciones a la derecha del

signo igual.

Durante los grados de 3.o a 5.o, los estudiantes refinan y amplían su entendimiento sobre

los conceptos de base de diez, fracciones y operaciones; ellos utilizan su conocimiento

sobre las operaciones aritméticas, las propiedades básicas y las relaciones numéricas en

vez de cálculos para razonar sobre ecuaciones tales como:

-a

g gy

+ = ++ =+ + =× × =

25 47 2667 28 29 66

4 1675 45 0


Los siguientes puntos de referencia indican los niveles de entendimiento sobre el

significado del signo igual. No todos los niños siguen el mismo camino, sin embargo,

estos puntos de referencia sirven como indicadores de un cambio en las concepciones

intelectuales de un estudiante sobre el signo igual. Los estudiantes también pueden tener

diferentes concepciones dependiendo de los números, operaciones y colocación de los

números desconocidos en una ecuación dada.

Tabla 8.1 Puntos de referencia para entender el signo igual

Hablando sobre el significado

Los estudiantes comunican sus propias ideas sobre el significado del signo igual. A este punto, los estudiantes tal vez no tengan nociones correctas pero se sientan cómodos al expresar su razonamiento.

Algunas nociones erróneas que se han visto comúnmente sobre el significado del signo igual en las respuestas para la ecuación 8 4 5a+ = + incluyen:

“la respuesta viene después” (la respuesta que se da es 12),

“todos los números van juntos para formar “ ” (la respuesta que se da es 17), a

“la ecuación está incompleta” (la respuesta que se da es 12 y 17).

Aceptando nuevas formas

Los estudiantes aceptan como oraciones numéricas verdaderas aquellas que no siguen la forma de a b c+ = .

Por ejemplo:

12 8 4= + 12 12= 8 4 12 0+ = + . + = +8 4 4 8

El verdadero significado

Los estudiantes reconocen que el signo igual representa una relación entre dos números iguales. Comparan expresiones en ambos lados del signo igual y llevan a cabo cálculos en cada lado del signo igual.

Por ejemplo, para la ecuación 8 4 5a+ = + , un estudiante a este punto de referencia suma 8 + 4 para obtener 12, luego resta 5 del 12 para obtener la respuesta.

Utilizando la relación del

“igual”

Los estudiantes pueden comparar expresiones en ambos lados del signo igual sin hacer cálculos.

Por ejemplo, para la ecuación 8 4 5a+ = + , un estudiante a este punto de referencia compara el 4 con el 5 y sabe que la respuesta tiene que ser uno menos que 8.

Adaptado con la autorización de Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Razonando

matemáticamente: Integrando aritmética y álgebra en la escuela primaria. Portsmouth, NH: Heineman.


Los estudiantes de los grados intermedios también hacen y discuten conjeturas sobre las

propiedades básicas de los números (p.ej. la propiedad del cero, conmutativa, base de

diez) que surgen de discusiones sobre oraciones numéricas de verdadero/falso u

oraciones numéricas abiertas. Ellos avanzan sus ideas sobre la justificación y

comprobación mientras que explican por qué las conjeturas que hacen son siempre

verdaderas.

Para ver información específica sobre contenido matemático al nivel del grado, consulte los estándares matemáticos del nivel de Kinder a 5.o grado del MMSD.

Propiedad distributiva: Toma uno de los factores y pártelo o divídelo y multiplica esos dos nuevos números por el otro factor.


Convenciones para utilizar el signo igual

El signo igual es una convención. Al trabajar con los estudiantes sobre el significado de

esta convención, los maestros ayudan a los estudiantes a aprender a utilizar el signo

igual consistentemente y a llegar a tener dominio en el razonamiento de relación.

Sin embargo, el signo igual a menudo se utiliza para propósitos que no están

relacionados con su significado matemático. Evite utilizar el signo igual para:

enlistar edades o alguna otra característica numérica de personas o cosas tales como: enero = 31, febrero = 28

designar el número de objetos en una colección, por ejemplo: las monedas, pennies = 5 dimes = 12

representar una línea de cálculos tales como:

30 30 60 15 75+ = + = , o

30 30 60 15 75+ → + =

En vez de eso, utilice flechas así como en:

30 30 60 15 75+ → + → , o

30 1530 60 75+ +⎯⎯→ ⎯⎯→

demostrar la igualdad utilizando ilustraciones o dibujos (reserve el uso del signo igual únicamente para los números)

Así: 3 3 no así: ♥ ♥ ♥ = 3 =

Nota: Así mismo evite el uso de una balanza como un sustituto o metáfora para el signo

igual. Esta metáfora comúnmente utilizada representa de manera errónea el significado

de “balance” y el significado matemático del signo igual. Los estudiantes aprenderán el

significado correcto del signo igual y aprenderán a utilizar símbolos matemáticos de

mejor manera cuando se utilicen en ecuaciones.



El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o – 5.o) Capítulo 8 Página 13 Traducido por Rosy Einspahr

Propósito 3er grado 4.o grado 5.o grado

¿Ven los estudiantes el signo igual como la expresión de una relación entre dos cantidades en ecuaciones de las siguientes formas?

• a b c d+ = +

• a b c= +

3 4 55 6 2

4 5 32 3

7 3

yy

yy

y

+ = ++ = ++ = += += +

36 24 2525 26 32

24 25 2332 27

59 27

yy

yy

y

+ = ++ = ++ = += += +

256 289 290290 291 355

289 290 254283 217

500 217

yy

yy

y

+ = ++ = +

+ = += += +

¿Calculan automáticamente los estudiantes de izquierda a derecha o consideran las relaciones útiles dentro de una ecuación antes de calcular una ecuación de la siguiente forma?

a b b a+ − =

25 59 59

Tabla 8.2 Evaluando para el entendimiento conceptual Utilice las siguientes series de ecuaciones para captar las concepciones de los estudiantes sobre la igualdad. Para cada ecuación pregúnteles a los estudiantes, “¿Cuál tiene que ser el valor de la letra (o casilla) para hacer que esta oración numérica sea verdadera?” Estos proporcionan un punto de partida para las sesiones de inspección de ecuaciones. En este capítulo se incluye una evaluación escrita.

67 28 67y

y+ − =+ − =

5 7 7

26 8 81 3 3

72 4 4

889 118 118y

y

y+ − =

+ − =

+ − =

. . .. . .

10 5 3 335 6 89 89. . .3 99 99

yy

y

+ − =+ − =

+ − =

¿Calculan automáticamente los estudiantes de izquierda a derecha o consideran las relaciones útiles dentro de una ecuación antes de calcular ecuaciones de las siguientes formas?

• ( )1a b b c+ − − =

• ( )1a b b c+ − + =

54 37 3643 28 29

yy

+ − =+ − =

345 76 75436 27 28

yy

+ − =+ − =

. . .. . .

3 5 1 9 1 889 58 26 27

yy

+ − =+ − =

¿Aprovechan los estudiantes las relaciones numéricas familiares?

25 47 7598 65 2

yy

+ + =+ + =

y

yy

+ + =+ + =

× × =

25 47 7598 69 27 45 0

. .

. .2 50 47 5067 98 2 0232 58 0

yy

y

+ + =+ + =

× × =

¿Pueden los estudiantes resolver ecuaciones con variables repetidas de manera precisa?

g gh ha a a

+ ++ − =

+ =15

163 11

4 163 11

155 234 16

g gh ha a af f fp p p p

+ + =+ − =+ + =+ + + =+ + + = +

2 4 162 3 113 153 5 233 4 16

ghafp p

+ =− ==+ =+ = +

+

Adaptado con permiso de Jacobs, V. R. y colaboradores. Capacitación profesional enfocada en el razonamiento algebraico de los niños en la escuela primaria, JRME: Volumen 38, Asunto 3, pp.258-288

Traducido por Rosy Einspahr

Continuación de la tabla 8.2 Evaluando para el entendimiento conceptual Utilice los siguientes ejercicios de opción múltiple con estudiantes de 5.o grado para evaluar su entendimiento sobre las expresiones algebraicas y los niveles de justificación. Se pueden utilizar para evaluar a los estudiantes de manera individual, pero funcionan mejor cuando se da un seguimiento con una discusión con todo el grupo.

¿Pueden los estudiantes representar problemas escritos en palabras con oraciones numéricas apropiadas para las relaciones aditivas?

1. Hay 5 carros más que camionetas en el estacionamiento de la escuela. Si “c” es el número de carros y “t” es el número de camionetas, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre el número de carros y el número de camionetas?

) ) ) ) a c t b t c c t c d c

2. Juan tiene 5 canicas más que Pedro. Si “p” representa las canicas de Pedro y “j” representa las canicas de Juan, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre las canicas de Juan y las canicas de Pedro?

t+ = + = + = × =5 5 5 5

) ) ) ) a p j b j p c j p d j+ = + = + = =5 5 5 5

¿Pueden los estudiantes representar problemas escritos en palabras con oraciones numéricas apropiadas para las relaciones multiplicativas?

1. Hay 6 veces el número de estudiantes que de maestros en la escuela Linwood. Si “s” representa el número de estudiantes y “t” el número de maestros, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre el número de estudiantes y el número de maestros?

) ) ) ) a t s b t s c t s d t s+ = × = × = + =6 6 6 6

2. Stephanie tiene 4 veces el número de dulces que Isabel. Si “ i ”representa los dulces de Isabel y “s” representa los dulces de Stephanie, ¿Qué oración numérica demuestra la relación entre los dulces de Stephanie y los dulces de Isabel?

) ) ) ) a i s b i s c s i d s i+ = × = + = × =4 4 4 4

¿De qué manera generan los estudiantes su propia justificación para una conjetura?

Cuando multiplicas dos números, se obtiene el mismo resultado aunque se cambie el orden de los números que multiplicas. Por ejemplo, 2 x 3 es lo mismo que 3 x 2. Esta idea funcionará para cualquier conjunto de números.

¿De qué manera podrías convencer a otros que esta idea es siempre verdadera?

¿Qué categoría de justificación eligen los estudiantes?

Las siguientes respuestas ilustran ejemplos de justificaciones de por qué la declaración es siempre verdadera. ¿Quién piensas que dio la mejor explicación para probar esta declaración y por qué? Tomás: Cuando multiplicas un número por otro número, obtienes lo mismo que cuando multiplicas el segundo número por el primer número – simplemente puedes

invertir los números. El orden no importa cuando multiplicas y esto debe funcionar para todos los números.

Arturo: El año pasado mi maestra me enseño a hacerlo. Ella me dijo que lo podía utilizar cuando resolviera problemas porque algunas veces eso hace las cosas más fáciles. También dijo que debe funcionar para todos los números.

Digamos que yo construyo 5 filas con 4 bloques en cada fila – esGrant: o es 5 veces 4. Pero simplemente puedo voltear el número de bloques y luego tener 4 filas con 5 bloques en cada fila – eso es 4 veces 5. No agregué ni quité ningún bloque por lo tanto es el mismo número en ambos lados. Esta idea debe funcionar para todos los números.

Pasé mucho tiempo haciendo esEduardo: to. Hice este tipo de problema con 50 conjuntos diferentes de números. Por ejemplo, hice 3 veces 5 es 15 y 5 veces 3 es 15. También hice 45 x 53 y obtuve el mismo resultado que 53 x 45. Cada vez que lo hice funcionó. Ya que lo intenté varias veces, creo que debería funcionar para todos los números.

3 x 5 = 15 5 x 3 = 15 sí

sí 45 x 53 = 2,385

2 x 36 = 72

53 x 45 = , 2,385

36 x 2 = 72 sí

9 x 10 = 90 10 x 9 = 90 sí Adaptado con permiso de Jacobs, V. R. y colaboradores. Capacitación profesional enfocada en el razonamiento algebraico de los niños en la escuela primaria, JRME: Volumen 38, Asunto 3, pp.258-288

Capítulo 8 Página 14 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010


Nombre_________________________________ Fecha___________________________

Inspección de ecuaciones – Evaluación

1. 7 + 5 = 5 + 7 verdadero falso

Explica tu razonamiento:

2. 29 + 17 -17 = 29 verdadero falso


3. 15 + 25 = 29 + 14 verdadero falso


4. 89 = 89 verdadero falso


5. Pon un número en la casilla para hacer la oración numérica verdadera. 8 + 5 = + 7


Actividades de enseñanza en el bloque de inspección de ecuaciones

Las actividades de inspección de ecuaciones involucran primordialmente una discusión

sobre el significado de los símbolos utilizados en el estudio de las matemáticas. La

necesidad de obtener respuestas de los estudiantes que incluyan un rango de

interpretaciones hace que este bloque sea más benéfico como una actividad para toda la

clase o en pequeños grupos. El intercambio de ideas dentro de un entorno grupal apoya

a los estudiantes a medida que se cuestionan entre ellos sobre el razonamiento que hay

detrás de sus repuestas.

Dando comienzo con oraciones numéricas de verdadero/falso y oraciones numéricas abiertas

Una de las maneras más fáciles para averiguar lo que los estudiantes saben sobre el

signo igual es pedirles que respondan a varias oraciones numéricas de verdadero/falso u

oraciones numéricas abiertas y que expliquen su razonamiento a un compañero o que lo

hagan por escrito antes de tener la discusión.

Las sesiones de inspección de ecuaciones tal vez tomen más tiempo inicialmente. A

medida que se desarrollan las normas para la discusión, la duración de la sesión cambia

basándose en lo que los estudiantes saben y la meta de la lección.

El siguiente conjunto de ecuaciones sienta las bases para seguir las discusiones sobre la

inspección de ecuaciones. Ellos revelan específicamente los conceptos que los

estudiantes tienen sobre el signo igual. Utilice parte del conjunto o todo el conjunto para

una sesión de inspección de ecuaciones.

Oraciones numéricas de verdadero/*falso

Oraciones numéricas abiertas

*

3 5 108 3 537 375 6 5 67 8 8 724 47 47 23

+ == +=

+ = ++ = ++ = +

*7 8 15 29 5 149 5 14 09 5 0 149 5 14 1

+ = ++ =+ = ++ = ++ = +

3 5

8 5375 5 67 8 5

47 47 24

aaa

aa

a

= += +=

+ = ++ = ++ = +



• Primero utilice ecuaciones de verdadero o falso. Las ecuaciones sin variables a

menudo son más fáciles de entender.

• Recuerde incluir ecuaciones falsas así como ecuaciones verdaderas debido a que suelen ser más fáciles de justificar para los estudiantes debido a la disparidad evidente en la igualdad. = +100 70 3

• Comience evaluando lo que los estudiantes ya saben sobre el significado del signo igual. Las ecuaciones de la página 16 provocarán una conversación sobre el significado del signo igual.

• Tal vez usted quiera que los estudiantes se comprometan con su idea al escribir V o F y una breve explicación en una página de respuesta, o bien, pedirles a los estudiantes que platiquen con un compañero.

• Pídales a varios estudiantes que expliquen o lean sus explicaciones. Si los estudiantes no están de acuerdo, deje un tiempo para debatir pero no les explique. Ayúdeles a ver que tienen que estar de acuerdo sobre los términos matemáticos. Es aceptable seguir adelante cuando no se llegue a ningún acuerdo.

• Utilice las oraciones “numéricas abiertas” como una actividad de seguimiento.

• Cambie al uso de las letras minúsculas después de usar una casilla como un símbolo para una variable. Es posible que los estudiantes quieran escoger qué letras utilizar y deben evitar aquellas que se confundan con otros símbolos matemáticos tales como x o 0.


Cuando se planea una discusión de verdadero/falso o de números abiertos:

considere los puntos de referencia para el desarrollo del razonamiento relacional y trabaje hacia el entendimiento y el uso de relaciones equivalentes (vea la tabla 8.1)

establezca expectativas o normas para responder a oraciones numéricas (P.ej. tiempo para pensar, compartir en parejas, escribir primero)

diseñe o escoja ecuaciones específicas o secuencias de ecuaciones en respuesta al razonamiento de los estudiantes sobre el signo igual, relaciones numéricas u operaciones (vea la tabla 8.3 )

sepa qué evitar cuando utilice el signo igual (vea las convenciones en la página 11)

considere mantener un registro visual (en un cartel de papel) de las ecuaciones que ya se han discutido para que los estudiantes puedan reflexionar sobre el trabajo anterior y vean el progreso a través del tiempo.

Tabla 8.3 Conjuntos de ecuaciones de verdadero/falso y de números abiertos *denota una ecuación falsa

Propósito Ejemplos de ecuaciones Conjunto A

Ejemplos de ecuaciones Conjunto B

Ejemplos de ecuaciones Conjunto C

Entender el significado del signo igual como una igualdad en vez de una orden para calcular

**

+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +

8 7 1515 8 715 158 3 8 37 5 5 77 5 12 16 9 15 6

**

+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +

9 5 1414 9 514 1411 6 11 68 5 5 88 5 13 18 5 13 8

*

**

+ == +=+ = ++ = ++ = ++ = +

16 4 2020 16 420 2018 3 18 523 7 7 2323 7 30 123 7 30 23

aa

a

+×+×=×+=×+=×

)()( 6262651474

992

Desarrollo de las operaciones aritméticas

aaa

++=+++=+++=+

375777871959

25575546

341114

++=++=+

+=+++a

Observar el aditivo inverso y la identidad

*z

+ − =+ − =

42 9 9 4353 8 54

a− + =192 32 32

a

+ − =

= + −

= + −

1 19 94 4

1 1 1 12 22 2 4 4

5 1 16 3 3

. . . *. . .. . .

ja

+ − =+ − =− + =

7 8 20 20 7845 6 2 67 2 6734 2 68 34 2

Observar los números con una diferencia de 1 o 2

t

s

+ = ++ = ++ = + +

23 48 2299 101 100 10053 68 67 52

*

bc

+ = + −+ = ++ = +

39 73 74 38376 84 85692 45 44 691

*

. . .. . . .

a+ = +

+ = ++ = +

1 2 24 3 3 4

2 3 35 2 6 3 5 236 25 15 16 14 16 37 25

. .

. . .. . .

pr

s

+ = + ++ = + +

+ + = + +

35 60 44 40 35 4467 98 67 98 120 14 1 0018 5 199 25 1 25 18 200

Observar el valor numérico

**

+ + = ++ + = + + ++ = +

45 5 50 90 1056 67 23 50 60 10 6340 306 600 10

**

k

+ + = + ++ + = ++ = +

358 130 2 400 80 9456 298 302 156 900567 89 560

+


Tabla 8.3: Continuación

Propósito Ejemplos de ecuaciones Conjunto A

Ejemplos de ecuaciones Conjunto B

Ejemplos de ecuaciones Conjunto C

Notar la propiedad distributiva

( )

( ) ( )( ) (( )

× = × + ×× = × + ×× = × + ×

6 3 3 3 3 34 15 4 10 4 523 9 20 9 3 9

) ( ) ( )

( ) ( )*( ) ( ) ( )

× = × + ×× = × + ×× = × + × + ×

12 3 10 3 2 36 8 12 8 12 84 9 4 3 4 3 4 3

( ) ( ) ( )( ) ( )*( ) ( ) ( )

a

b

× = × + × + ×× = × + ×× = × + × + × +

26 13 20 10 20 3 615 67 10 60 5 735 72 30 70 5 70 30 2

Relacionar la suma con la multiplicación

yzv

+ + + = ×+ + = ×+ + = ×

8 8 8 8 812 12 12 615 15 15 5

+ = ×× = + +× = + + +

14 14 4 73 7 7 7 77 4 7 7 7 7

( ) ( )a

× + = ×× = × + ×× = × +

3 6 3 3 76 4 4 2 2 23 6 2 6

*

Trabajar con variables

h hi i i

j j j jk k

= + += + + +

+ + + =+ + =

13 335 5

1615 25

b bk k km m m m

j j j

= ++ + =+ + + = +− + = + +

111812 24

75 5 70

u uc c cq q

b b b

= + + ++ + + =+ + =+ + = +

36 3 34 16

8 1632 42

Trabajar con multiplicaciones

( )

*( )

c+ + = × −

× = +× − = ×× = × −

10 10 10 3 9 35 40 5

4 10 4 4 84 9 4 10 4

*

ab

aa

× = × ++ = ×× = × −× + = ×

6 4 5 48 3 67 9 7 108 5 8 6

w w

yz

× = + −× = × +× = × +

2 9 26 8 5 87 8 7 7

Más ideas sobre el valor numérico

Nota: Los problemas con dos o más variables tienen muchas soluciones.

( )( )

gb

= × +× + =× + × =

347 100 4710 8 408


( ) ( )h 1000 4 10 2040 a b

( ) ( ). ( ) ( . )

b t rm p

× + + + == × + ×

10 100 4758576 8 10 1× + =10 87

)

( . ) .t s1 8 6

. ( ) ( .. ( )

b c pm g= × + + ×

= × +× + =

576 25 100 013 5 10 .

Utilizar más de una operación

p+=

3 84

j× − =6 3 21

0

m× − =3 5 1

y y+ = × −15 2 3

g g+ × = × −25 3 5 7

d d− = −5 3

m m× − × + =6 2 4 12

a ×=

5 63

r+ = +23 27 33

w w× + = + ×6 43 10 9

z +=

7 92

t + − = +45 15 32 28

s s× + × = +2 5 15 13

t t= − + ×16 4 3

r r× = −3 20

Trabajar con más de una variable t v+ = +2 3 k t = 7 d n× + =2 14 −

Ecuaciones con más de una variable

Pasos a seguir:

Proporcione un problema matemático o una ecuación con más de una variable. Por ejemplo:

Michelle compró nueve peces. Ella los quiere poner en dos estanques en su patio trasero. ¿Cuáles son las diferentes maneras en las que ella puede colocar los peces en los estanques?

Pídales a los estudiantes que enlisten todas las maneras de dividir los nueve peces entre los dos estanques.

Pídales a los estudiantes que sugieran una ecuación que represente el problema.

Desafíe a los estudiantes para resolver el mismo problema con números más grandes (p.ej. 15, 23) y buscar una generalización.

Discuta y resuelva las ecuaciones (vea la tabla anterior) con más de una variable.

Discuta la idea de que dos variables diferentes pueden tener el mismo valor (p.ej. 6 , tanto a como b pueden valer 3) pero una variable repetida

debe tener el mismo valor (p.ej 11a b+ =

a a+ = , cada a debe valer 5 12

).

Utilice ejemplos de la tabla 8.2 para discusiones adicionales.


Enseñar el orden de las operaciones

Cuando una oración numérica incluye más de una operación, lleve a cabo las operaciones en el

siguiente orden:

1. operaciones dentro de paréntesis (en el orden dado por las siguientes dos reglas)

2. multiplicación y división de izquierda a derecha

3. suma y resta de izquierda a derecha

Enseñar “el orden de las operaciones” funciona mejor cuando surge una verdadera necesidad

matemática. Las convenciones del orden de las operaciones aplican en casos donde sí importa el

orden de los cálculos. Sin convenciones, 4 6 5+ × se puede interpretar de dos maneras:

( )4 6 5 10 5 50+ × = × = ( )4 6 5 4 30 34+ × = + =

Los estudiantes generalmente resuelven de derecha a izquierda incluso después de aprender la

regla convencional del orden de las operaciones. Los estudiantes de los grados intermedios

deben aprender a utilizar los paréntesis para indicar que parte de una ecuación calcular primero.

Los estudiantes de quinto grado pueden comenzar a utilizar el orden de las operaciones en

operaciones más largas como:

( )8 25 3 2 52 6 2 4 4 315 5 3 4

ab

c

+ ÷ × − =× + × + ÷ =− + × =

El orden de las operaciones solamente aplica a las ecuaciones en donde sí hace una diferencia en

que orden se hacen los cálculos. Hay muchas situaciones donde el orden no importa. Por

ejemplo:

8 4 2× ÷

Los maestros también pueden proporcionar situaciones de ecuaciones de verdadero/falso para

estudiar esta situación. Por ejemplo, ¿es la siguiente ecuación verdadera o falsa?

( ) (6 5 2 6 5 2× ÷ = × ÷ )

Siempre de un seguimiento con una discusión acerca del razonamiento que desencadena la

respuesta y proporcione modelos para ayudar a explicar si es necesario.


Los estudiantes deben tener experiencias que sugieran una necesidad para las convenciones. Por

ejemplo, los estudiantes tal vez tengan ideas diferentes sobre la respuesta para:

s× + =3 5 2

Los estudiantes podrían determinar donde poner el paréntesis en la siguiente ecuación para

convertirla en una oración falsa.

× + = × +3 5 2 3 5 2


• Los estudiantes deben estar acostumbrados a trabajar con oraciones numéricas simples que involucren multiplicación y división antes de aprender las tres convenciones del “orden de las operaciones.”

• Los estudiantes deben tener buen sentido numérico antes de aprender las convenciones sobre el orden de las operaciones.

• Los paréntesis son los más fáciles de aprender y de utilizar. Enseñe el uso de los paréntesis primero. Generalmente los estudiantes de 3.o a 5.o solamente necesitarán saber esta convención.

• Motive a los estudiantes a participar en una discusión sobre la necesidad de los paréntesis a través del uso de oraciones numéricas de verdadero/falso incluyendo operaciones múltiples.

• Pídales a los estudiantes que escriban sus propias ecuaciones de verdadero/falso y que incluyan paréntesis.

• Introduzca convenciones sobre “el orden de las operaciones” a medida que surjan las necesidades partiendo de su trabajo con oraciones numéricas de verdadero/falso u oraciones numéricas abiertas.


Desarrollando conjeturas

Pasos a seguir:

Siga el protocolo de las oraciones de verdadero/falso y las oraciones numéricas abiertas utilizando ecuaciones que representen propiedades básicas de operaciones numéricas o clases de números como los números pares/nones.

Incite una conversación acerca de cada ecuación en un conjunto relacionado de ecuaciones (Vea la tabla 8.4)

Plantee una pregunta sobre todo el conjunto. Por ejemplo, “¿Qué observan sobre este grupo de ecuaciones?” o “¿Pueden hacer una conjetura sobre lo que pasa cuando se le suma un cero a un número?” o “¿Resulta ser siempre esto una verdad?” Los estudiantes sugieren una oración numérica abierta para representar la conjetura.

Exhiba la conjetura para discusiones adicionales sobre su validez al proporcionar nuevas ecuaciones que utilicen un nuevo campo numérico tales como fracciones, decimales o números grandes.

Pídales a los estudiantes que exploren operaciones con números pares y nones que resulten de conjeturas sobre la manera en que funciona una clase de números. Por ejemplo, “¿Qué sucede cuando sumas dos números pares? ¿Dos números nones? ¿Un número par y un número non?

Si eliges cualquier número y lo multiplicas por cualquier otro número y luego lo divides por el mismo número, obtienes el número con el que empezaste.


Tabla 8.4 Conjuntos de ecuaciones para incitar conjeturas

Conjunto de ecuaciones * Denota una oración numérica falsa

Posible conjetura y oración numérica del estudiante:

Propiedad numérica para discutir:

**

*c

+ =+ =+ =+ =

799 0 80048 2 4850 0 50039 39

Cuando le sumas cero a un número, obtienes el número con el que empezaste. 0a a=

Suma que involucra 0 (Identidad aditiva) +

**

c

− =− =− =

− =

536 0 53648 9 48570 0 57

0 654

Cuando le restas cero a un número, obtienes el número con el que empezaste. Resta que involucra 0 0a a− =

, ,*

. . *c

× =× =× =

× =

5 467 1 5 46748 1 498 4 1 8 5

1 76

Cuando multiplicas un número por 1, obtienes el número con el que empezaste. 1a a=

Multiplicación que involucra 1 × (Identidad multiplicativa)

*c ct d

× =× =

× =× =

345 0 028 0 28

00

Cuando multiplicas un número por 0, obtienes cero. a× =0 0

Multiplicación que involucra 0 (Propiedad de producto cero)

45 67 67 45156 78 156c

+ = ++ = +

Cuando sumas dos números, puedes cambiar el orden de los números que sumas. a b

Propiedad conmutativa para la suma o adición b a+ = +

17 28 28 1739 46 39c× = ×× = ×

Cuando multiplicas dos números, puedes cambiar el orden de los números que multiplicas y obtener el mismo número. a b b a× = ×

Propiedad conmutativa para la multiplicación



Justificación

Pasos a seguir:

El maestro facilita la discusión sobre una conjetura al preguntar, “¿Es esto verdad siempre?” o “¿Es esto verdad para todos los números?”

Los estudiantes trabajan juntos para desarrollar un razonamiento para su respuesta y explicarlo a la clase.

El maestro respalda la discusión e indaga con los estudiantes para que desarrollen explicaciones que conduzcan a un nivel más elevado de justificación.

Los niveles de justificación incluyen:

1. recurrir a la autoridad

2. justificación por medio de un ejemplo

3. argumentos que pueden ser generalizados

Ejemplos de justificaciones del estudiante en el salón de clases con respecto a su conjetura:

“Cuando se multiplican dos números no importa el orden en que los multiplicas”

1. “Eso lo aprendimos en tercer grado” (recurrir a la autoridad)

2. “Lo intenté varias veces y siempre funciona.” (justificación por medio de un ejemplo)

3. “Hice un modelo con cubos y observé que no tienes que contarlos. Si volteas el modelo de un lado es 3x5 y del otro lado es 5x3 y sabes que todo está ahí, entonces son lo mismo.” (generalización)


Familia de operaciones

Pasos a seguir:

El maestro escribe tres números en el pizarrón lo suficientemente grandes para que los vea toda la clase.

Pídales a los estudiantes que utilicen tres números con un símbolo de operación y un signo igual para expresar una relación verdadera de igualdad, por ejemplo 8, 7 y 56 o 12, 5 y 60.

Después de varios segundos de haber pensado, pídales a los estudiantes que compartan sus razonamientos, escribiendo en una lista el mayor número de oraciones numéricas verdaderas que se les ocurran.

Los estudiantes comparten las razones de sus decisiones, trabajando junto con otros para determinar que las oraciones numéricas (ecuaciones) que ellos crearon tienen sentido.

Continúe la discusión para todas las ocho ecuaciones.

El maestro escribe un nuevo conjunto de tres números, decidiendo qué relación numérica o qué relación de la propiedad numérica enfatizar basándose en los puntos tratados durante la discusión de los estudiantes.

Para más información: Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Pensando matemáticamente: Integrando aritmética y álgebra en la escuela primaria. Portsmouth, NH: Heineman.


TRABAJO NUMÉRICO



CAPÍTULO 9

Fluidez

y

mantenimiento




El trabajo de fluidez y mantenimiento debe siempre estar al nivel independiente

del estudiante, determinado mediante las observaciones del maestro en el

trabajo diario, las evaluaciones informales creadas por el maestro, las

evaluaciones orales de operaciones aritméticas (Vea el capítulo 4), evaluaciones

orales de resolución de problemas y evaluaciones posteriores. La fluidez y el

mantenimiento: Fluidez y mantenimiento

• refuerzan los conceptos y las habilidades

• construyen la eficacia y precisión

• refuerzan el vocabulario

Las actividades proporcionan experiencias para revisar el conocimiento, los

conceptos y las destrezas a partir de todas las áreas de contenido: números,

operaciones y relaciones algebraicas; geometría; medición y análisis de datos y

probabilidad.

El bloque de fluidez y mantenimiento

Las actividades deben estar de acuerdo al nivel

independiente de cada estudiante.

utiliza actividades que tienen tamaños de cantidades numéricas dentro del nivel de cálculo mental independiente de cada estudiante (Ver las evaluaciones orales de operaciones aritméticas)

utiliza 15 minutos de una hora de matemáticas o se asigna como tarea

puede ocurrir mientras un maestro se reúne con un grupo pequeño durante la resolución de problemas.

apoya el aprendizaje en pequeños grupos o como trabajo independiente.

Cuando se asigna la fluidez y el mantenimiento como tarea es importante

considerar factores que hagan efectiva a la tarea. La tarea “puede enriquecer el

aprovechamiento mediante la extensión del aprendizaje más allá del día escolar.”

(Marzano, R., & Pickering, J., 2007) Sin embargo, la tarea de fluidez y

mantenimiento:

tiene que estar al nivel independiente del estudiante

puede fomentar un mejor logro, así como las actitudes y hábitos positivos sólo cuando se asigna de manera apropiada.

debe requerir alrededor de 15 minutos

permite la participación apropiada de los padres (hacer preguntas y aclarar o resumir)

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) Capítulo 9 Página3 Traducido por Rosy Einspahr

Las tareas asignadas para la fluidez y el mantenimiento deben involucrar la

práctica de una destreza o proceso que los estudiantes puedan hacer

independientemente pero no de manera fluida

Los maestros deben vigilar cuidadosamente la cantidad de tarea asignada y

ayudar a los estudiantes a que aprendan a controlar su realización. Los

estudiantes necesitan pautas claras sobre qué hacer cuando no entiendan o no

puedan completar la asignatura.

La retroalimentación sobre la tarea es importante y ayuda a los estudiantes a

reflexionar sobre su progreso.


Actividades de enseñanza en el bloque de fluidez y mantenimiento

Los maestros encontrarán ideas para las actividades que puedan mejorar la fluidez o

mantener el dominio en los recursos curriculares de la escuela. Este capítulo incluye

algunas sugerencias para el fácil aprendizaje de juegos de fluidez que involucran

operaciones numéricas.

Otras sugerencias para las actividades en el bloque de fluidez y mantenimiento incluyen:

• juegos de tarjetas (utilice tarjetas numéricas en vez de cartas de juego)

• rompecabezas de figuras (P.ej. tangramas, pentóminos)

• rompecabezas lógicos

• práctica mental matemática diaria

• hojas de práctica para resolver problemas (al nivel independiente del estudiante)

• recopilar datos para tareas que requieran hacer gráficas.

• juegos de operaciones aritméticas o rompecabezas de geometría en páginas de Internet

Los siguientes juegos y actividades descritos en este capítulo se pueden adaptar

fácilmente para un rango determinado de estudiantes. Ellos proporcionan ejemplos de

práctica adecuada de acuerdo al nivel para el bloque de fluidez y mantenimiento.

−− Saludo

−− Pum, Zas, Juaz

−− Cerca del 100

−− Dígitos

−− Diferencias

−− Toque ganador

−− Cuatro en fila

−− Productos

−− Rio

−− Juniper verde


Marzano, Robert.J, and Pickering, Debra J. (2007.) Special topic: The case for and against homework. Responding to changing demographics. Educational Leadership, 64 (60, 74-79 Hope, J.A., Reys, B.J., Reys, R.E. (1987.) Mental math in the middle grades: Blackline Masters, Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic: 2nd grade implications of Piaget’s theory. New York, N.Y: Teachers College Press


Saludo

Tema Identificar el factor que falta

Jugadores 3

Materiales Tarjetas numéricas hechas a mano (6 de cada número del 1 al 9) o

cartas de juego (se quitan del 10 a la K)

Objetivo Ser el primer jugador en decir el sumando o factor faltante

Juego Un jugador actúa como el árbitro. Reparta todas las cartas en dos

montones boca abajo en frente de los dos jugadores. Cuando el árbitro

diga, “Comiencen” cada jugador toma la carta de hasta encima y sin

verla, se la coloca en la frente mostrando el número para que el otro

jugador lo pueda ver. El árbitro declara el total y cada jugador trata de

ser el primero en determinar cual es su tarjeta basándose en el

número que está en la tarjeta que el otro jugador está mostrando.

Variación Ajústelo de acuerdo a las operaciones que los estudiantes necesitan

practicar. Por ejemplo: Sumas de 7 o 15, múltiplos de 5.


Pum, Zas, Juaz

Tema Múltiplos y base de diez

Jugadores Grupo pequeño o grande

Materiales Ninguno

Objetivo Continuar el juego el mayor tiempo posible sin cometer ningún error

Juego El grupo se sienta en un círculo alrededor de una mesa. La primera

persona dice el número 1. La persona a la izquierda dice 2 y así

sucesivamente. Cada vez que alguien llega a un número que tiene un

7, o que es un múltiplo de 7, tiene que decir, “Juaz” en vez de decir el

número (p.ej. 7, 14, 17, etc.)

Una vez que el grupo ya tenga bien definido el concepto y lo esté

haciendo bien, agregue Zas. “Zas” se tiene que decir para cualquier

número que tenga un 10 o que sea múltiplo de diez. Algunos números

serán tanto múltiplos de 10 como múltiplos de 7 (p.ej. 70) – en este

caso la persona tiene que decir “Zas, Juaz.”

Cada vez que alguien diga la palabra incorrecta se debe comenzar

nuevamente desde el uno.

Variación Para realmente retar al grupo, agregue Pum, lo cual se dice cada vez

que haya un cinco en el número o que el número sea un múltiplo de 5.

Muchos números serán tanto múltiplos de 5 como de 10, en tal caso el

jugador tiene que decir, “Pum Zas.” Si el número es un múltiplo de 5,

10, y 7, el jugador debe decir, “Pum, Zas, Juaz”


Cerca del 100 (o 1000)

Tema Componiendo y comparando números

Jugadores 2-3

Materiales Tarjetas numéricas hechas a mano (6 de cada número del 1 al 9) y

hoja de puntaje para el juego Cerca del 100

Objetivo Llegar lo más cerca posible al 100 (o 1000)

Juego Reparta seis cartas boca arriba a cada jugador para el juego de Cerca

del 100 (ocho para el juego de Cerca del 1000). Los jugadores toman

turnos haciendo dos números de 2 dígitos (dos números de 3 dígitos)

que al sumarlos estén lo más cerca posible al 100 (1000).

Escriba los números y el total en la hoja de puntaje de Cerca del 100

(1000)

Cada jugador calcula su propio puntaje el cual es la diferencia entre el

total que crearon y 100 (1000). Descarte las cartas ya usadas y

reparta nuevas cartas para reemplazarlas. Después de cinco rondas,

sume el total de los puntajes. El jugador que tenga el menor puntaje

es el ganador.

Consejo de

enseñanza

El juego Cerca del 100 es bastante desafiante para los estudiantes que

apenas comienzan a entender los conceptos de base de diez. Los

estudiantes tienen que ser capaces de descomponer los números

fácilmente y mantener su razonamiento organizado. El juego Cerca del

100 desarrolla la capacidad de hacer cálculos mentales. Asegúrese de

observar la manera en que los estudiantes están utilizando su

conocimiento sobre las operaciones aritméticas para jugar este juego.

Pídales que expliquen sus estrategias entre ellos utilizando el lenguaje

de decenas y unidades.


Hoja de puntaje cerca del 100. Fecha__________________________

Nombre______________________________________________________________ JUGADOR 1 Puntaje de la ronda 1ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 2ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________

3ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 4ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 5ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ Puntaje total: _________

Nombre______________________________________________________________

JUGADOR 2 Puntaje de la ronda 1ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 2ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________

3ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 4ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ 5ª ronda: __________ + __________ = ____________ _________ Puntaje total: _________


Hoja de puntaje cerca del 1000 Fecha__________________________

Nombre______________________________________________________________ JUGADOR 1 Puntaje de la ronda 1ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 2ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________

3ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 4ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 5ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ Puntaje total: _________

Nombre______________________________________________________________

JUGADOR 2 Puntaje de la ronda 1ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 2ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________

3ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 4ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ 5ª ronda: ___ ___ ___ + ___ ___ ___ = ___________ _________ Puntaje total: _________


Dígitos

Tema Componer, comparar y calcular diferencias

Jugadores 2 ó 3

Materiales Tarjetas numéricas (6 de cada número del 1 al 9) y hoja de puntaje de

dígitos.

Objetivo Encontrar las diferencias entre un número meta (100 ó 1000) y un

número de 2 ó 3 dígitos.

Juego Decidir un número meta (100 ó 1000). Repartir a cada jugador una

tarjeta más que los dígitos del número meta. Los jugadores utilizan los

números para formar un número tan cercano como sea posible al

número meta. Registrar y encontrar la diferencia entre el número meta

y el número que se formó. Sacar el total de los puntajes después de

tres rondas. El puntaje más bajo gana.


Hoja de puntaje de dígitos (100) Fecha________________________

JUGADOR ________________________________________________________________________ Juego 1 Diferencia

1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

Puntaje total: _________

Juego 2 Diferencia

1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________


Juego 3 Diferencia

1ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 100 – ____ ____ = ___________ _________



Hoja de puntaje de dígitos (1000) Fecha_______________________

JUGADOR ___________________________________________________________

Juego 1 Diferencia

1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________


Juego 2 Diferencia

1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________


Juego 3 Diferencia

1ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: 1000 – ____ ____ ____ = ___________ _________



Diferencias

Tema Componer, comparar y calcular diferencias

Jugadores 2

Materiales Tarjetas numéricas (6 de cada número del 1 al 9) y hoja de puntaje de

diferencias.

Objetivo Encontrar las diferencias entre dos números de 2 dígitos (o dos

números de 3 dígitos)

Juego Repartir cuatro tarjetas boca arriba a cada jugador. Formar dos

números de 2 dígitos lo más cerca posible entre ellos utilizando las

cuatro tarjetas y registrarlos en la hoja de puntaje. Encontrar la

diferencia entre los dos números mentalmente y registrarlo. Después

de tres rondas los jugadores sacan el total de sus diferencias. El total

más pequeño gana.


Hoja de puntaje de diferencias Fecha____________________________

(Números de 2 dígitos) JUGADOR ________________________________________________________________________

Juego 1 Diferencia

1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________


Juego 2 Diferencia

1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________


Juego 3 Diferencia

1ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

2ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________

3ª ronda: ____ ____ – ____ ____ = ___________ _________



Hoja de puntaje de diferencias Fecha____________________________

(Números de 3 dígitos) JUGADOR ________________________________________________________________________

Juego 1 Diferencia

1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________


Juego 2 Diferencia

1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________


Juego 3 Diferencia

1ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

2ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________

3ª ronda: ___ ___ ___ – ___ ___ ___ = ___________ _________



Toque ganador

Tema Multiplicación

Jugadores 2 ó 3

Materiales Tablero del juego Toque ganador, 16 fichas etiquetadas

Objetivo Tener el menor número de fichas cuando el juego termine.

Juego Todas las dieciséis fichas se colocan boca abajo, se mezclan bien y

cada jugador toma dos fichas para comenzar el juego.

El primer jugador escoge una ficha y la coloca en el casillero

correspondiente a sus dos factores. Por ejemplo, 25 se debe colocar

en la columna etiquetada ‘5’ que se intercepta con la fila etiquetada ‘5’.

En seguida el primer jugador toma una ficha de la pila que está boca

abajo para volver a tener dos fichas. Los jugadores toman turnos

colocando una ficha a la vez en el tablero. Para poder hacer la jugada,

la ficha tiene que compartir un lado de una ficha que ya esté colocada

en el tablero. En este ejemplo, la segunda ficha que se juegue debe

tener el 5 como uno de los factores. El tocar una de las esquinas no es

suficiente.

Si el jugador no tiene una ficha que se pueda jugar, el jugador pierde

un turno y toma una ficha de la pila que está boca abajo y la deja en

su colección. No la puede jugar durante este turno. Si un jugador pone

una ficha en una casilla equivocada, la persona que detecte el error es

la que tiene el turno en seguida y la persona que cometió el error

recoge su ficha.

El juego termina cuando ya no se puedan jugar más fichas (cuando ya

no se pueda tocar otra ficha).

Consejo de

enseñanza

Los niños deben utilizar su propio razonamiento y discusión con otros

para descifrar los productos. No proporcione una tabla de multiplicar.

Introduzca nuevos tableros a medida que los estudiantes adquieran

dominio con los tableros más fáciles.



Toque ganador hasta el 6

3 4 5 6

3

4

5

6

Fichas para el juego Toque ganador hasta el 6

9 12 15 18

12 16 20 24

15 20 25 30

18 24 30 36



3 4 5 6 7

3

4

5

6

7



9 12 15 18 21

12 16 20 24 28

15 20 25 30 35

18 24 30 36 42

21 28 35 42 49



3 4 5 6 7 8

3

4

5

6

7

8



9 12 15 18 21 24

12 16 20 24 28 32

15 20 25 30 35 40

18 24 30 36 42 48

21 28 35 42 49 56

24 32 40 48 56 64



3 4 5 6 7 8 9

3

4

5

6

7

8

9 Capítulo 9 Página 24 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr


9 12 15 18 21 24 27

12 16 20 24 28

32

36

15 20 25 30 35

40

45

18 24 30 36 42

48

54

21 28 35 42 48

56

63

24 32 40 48 56

64

72

27 36 45 54 63

72

82


Cuatro en fila

Tema Tablas de multiplicar

Jugadores 2

Materiales Tablero de juego Cuatro en fila, 36 fichas transparentes de dos colores

diferentes (18 de cada color), dos clips.

Objetivo Colocar cuatro fichas del mismo color en una fila vertical, horizontal o

diagonalmente.

Juego Cada jugador toma dieciocho fichas del mismo color. Para comenzar el

juego, el primer jugador toma dos clips y los coloca sobre dos de

cualquiera de los números que se encuentran enlistados abajo del

cuadro, como el 4 y el 5. En seguida el mismo jugador multiplica estos

números y coloca una de sus dieciocho fichas en cualquiera de los 20

(4×5).

El segundo jugador mueve uno de los dos clips que ahora están en el

4 y el 5. Si el segundo jugador mueve uno de ellos del 4 al 3, esta

persona puede colocar una de sus dieciocho fichas en cualquiera de los

15 (3×5). En cada turno subsiguiente, un jugador debe mover uno de

los dos clips a un número diferente. Se pueden colocar dos clips en el

mismo número, para formar 5×5, por ejemplo. El jugador que primero

forme una fila de cuatro fichas del mismo color, vertical, horizontal o

diagonalmente es el ganador.

Consejo de

enseñanza:

Las páginas incluidas son ejemplos y se pueden usar para enfocar el

esfuerzo de los estudiantes en unas cuantas combinaciones al nivel

correcto de dificultad. Cuando un tablero se vuelva demasiado fácil o

cuando esté muy difícil, haga una página nueva para introducir un

nuevo conjunto apropiado de factores y productos que concuerden con

el conocimiento del estudiante.


Cuatro en fila (factores 2-5)

6 9 20 15 8 10

12 8 25 4 6 16

4 15 9 10 20 4

16 4 8 25 12 30

12 20 25 15 6 4

6 16 8 9 25 10Factores:

2 3 4 5



24 9 20 15 30 18

12 30 25 36 24 16

36 15 9 18 20 36

16 36 30 25 12 30

12 20 25 15 24 36

24 16 30 9 25 18Factores:

3 4 5 6



24 49 20 35 30 42

28 30 25 36 24 16

36 35 49 42 20 36

16 36 30 25 28 30

28 20 25 35 24 36

24 16 30 49 25 42Factores:

4 5 6 7



48 49 56 35 30 42

40 30 25 36 48 64

36 35 49 42 56 36

64 36 30 25 40 30

40 56 25 35 48 36

42 64 30 49 25 42Factores:

5 6 7 8



48 49 56 63 54 42

54 72 81 36 48 64

36 63 49 42 56 36

64 36 72 81 54 30

54 56 25 63 48 36

72 64 72 49 81 42Factores:

6 7 8 9


Productos

Tema Tablas de multiplicar

Jugadores 2

Materiales Tablero del juego Productos, 18 fichas transparentes de dos

colores diferentes, dos indicadores o clips.

Objetivo Colocar cuatro fichas en una fila de manera vertical, horizontal,

diagonal o hasta que todas las casillas hayan sido cubiertas.

Juego Para comenzar el juego, el jugador 1 mueve un indicador (clip)

a un número en la lista de factores que se encuentran en la

parte inferior del tablero. En seguida el jugador 2 mueve el otro

indicador a cualquier número en la lista de factores (incluyendo

el número marcado por el jugador 1). Se determina el producto

de los dos números marcados y el jugador 2 lo cubre.

El jugador 1 mueve cualquier indicador a otro número y cubre el

nuevo producto con una ficha transparente.

El juego continúa hasta que un jugador cubra cuatro casillas en

una fila de manera vertical, horizontal, diagonal o hasta que

todas las casillas estén cubiertas.

Adaptado de la aplicación Web recuperada el 3 de abril del 2007:

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=29


http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=29

Productos (0-36)

0 1 2 3 5

6 8 9 10 12

14 15 Espacio libre 16 18

20 21 24 25 27

28 30 32 35 36

0 1 2 3 4 5 6


Productos (1-81)

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 12 14

15 16 18 20 21 24

25 27 28 30 32 35

36 40 42 45 48 49

54 56 63 64 72 811 2 3 4 5 6 7 8 9


Rio

Tema Múltiplos

Jugadores 3

Materiales Fichas para los diez múltiplos del 2 al 9 (vea las siguientes

páginas), quince indicadores transparentes u objetos de conteo

(5 indicadores para cada uno de tres colores diferentes), un

cubo numérico de diez lados.

Objetivo Ser el primer jugador en quedarse sin indicadores.

Juego Escoja un múltiplo para practicar (diez fichas). Esparza las fichas

en medio de la mesa. Cada jugador toma cinco indicadores.

Ejemplo: “Practiquemos los cuatros”. El primer jugador lanza el

cubo numérico y si cae un 5, el jugador pone un indicador en la

ficha marcada ‘20’ (5×4). En seguida el segundo jugador lanza el

cubo numérico y si cae un 8 el jugador pone un indicador en el

‘32’ (8×4). Si el tercer jugador lanza un 5, la ficha marcada con

el ‘20’ ya tiene un indicador, por lo tanto el jugador lo tiene que

tomar. El tercer jugador ahora tiene seis indicadores y el primer

jugador tiene cuatro. El juego continúa hasta que una persona

ya no tenga ningún indicador.

Consejo de

enseñanza:

Este es un buen juego introductorio. La mayoría de los

estudiantes de tercer grado comienzan utilizando la suma

repetitiva en vez de la multiplicación. A medida que continúan

jugando Rio, se vuelve más fácil encontrar productos cuando se

multiplica por 2 y 10. Después perfeccionan los múltiplos de 5,

etc. Aumente el nivel de dificultad a medida que los estudiantes

vayan dominando cada nuevo nivel. Mantenga registros

adecuados sobre cuales grupos de operaciones sabe cada

estudiante, para que de esa manera pueda relacionar a los

estudiantes con el juego de acuerdo a su nivel de práctica

independiente.


Fichas para el juego Rio

2 4 6 8 10

12 14 16 18 20

3 6 9 12 15

18 21 24 27 30

4 8 12 16 20

24 28 32 36 40


5 10 15 20 25

30 35 40 45 50

6 12 18 24 30

36 42 48 54 60

7 14 21 28 35

42 49 56 63 70


8 16 24 32 40

48 56 64 72 80

9 18 27 36 45

54 63 72 81 90


Juniper verde 50 (100)

Tema Factores y múltiplos

Jugadores 2

Materiales Tableros del juego Juniper verde (uno para cada juego)

marcador fosforescente o lápiz.

Objetivo Utilizar una estrategia para forzar al oponente fuera del juego.

Juego El primer jugador comienza marcando un número par. Los

jugadores toman turnos marcando cualquier número restante

que sea un factor o un múltiplo del número anterior

seleccionado por el oponente.

El juego continúa hasta que ya no se pueda marcar ningún

factor o múltiplo.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Juniper VERDE 50


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Juniper VERDE 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100




Marzano, R. J. & Pickering, D. J. (2007). The case for and against homework: Responding to changing demographics. Educational Leadership, 64 (60), 74-79. Hope, J. A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1987). Mental math in the middle grades: Blackline Masters. Parsippany, NJ: Dale Seymour Publications. Kamii, C. & Anderson, C. (2003). Multiplication Games: How We Made and Used Them. In Teaching Children Mathematics, 135-141. Kamii, C. (2004). Young children continue to reinvent arithmetic: 2nd grade implications of Piaget’s theory. New York: Teachers College Press.

CAPÍTULO 10

Intervención

Evaluaciones del

desarrollo numérico

Pautas del desarrollo

Estrategias para una intervención efectiva

Actividades de intervención

Registro de planeación y progreso

ÁBACO


Este trabajo se hizo posible gracias al generoso apoyo de: La Fundación Comunitaria de Madison que entendió la importancia de que todos los niños salgan de la escuela primaria como estudiantes competentes en las matemáticas y proporcionaron los fondos iniciales para conseguir los materiales, los servicios de un consultor y la liberación del tiempo para el trabajo inicial dirigido a los maestros de primer grado. El Proyecto de la Diversidad en la Enseñanza de las Matemáticas (DIME por sus siglas en inglés), un proyecto del Centro Nacional para la Fundación de las Ciencias en la Enseñanza y el Aprendizaje, que patrocinó el relevo de un equipo de maestros de los grados intermedios de sus responsabilidades en el salón de clases para desarrollar este proyecto de intervención. Angela Andrews, nuestra consultora de la Universidad Nacional Louis, cuya experiencia, ideas y conocimientos nos guiaron a medida que ampliamos la iniciativa de intervención de los grados iniciales a los grados intermedios Y sobre todo a: Los 16 maestros de primaria quienes dejaron sus salones para reunirse con nosotros a lo largo del año escolar, así como a los muchos más que conforman los equipos de enseñanza en cada una de las escuelas primarias. Su dedicación a los niños y su disposición para intentar nuevas ideas en nombre de todos sus estudiantes de matemáticas es realmente lo que hace estupendo ser parte del Distrito Escolar Metropolitano de Madison.


CAPÍTULO 10 TABLA DE CONTENIDOS

Intervención en la enseñanza .............................................................................. 5 Evaluación ......................................................................................................... 6 Instrucciones para administrar las evaluaciones .................................................... 7

Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral) ....................................... 9 Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B .............................15 Prueba A de resolución de problemas............................................................17 Prueba B de resolución de problemas............................................................19 Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante .......21 Tarjetas de puntos ......................................................................................23 Tiras de identificación numérica....................................................................27 Tarjetas de secuencia numérica....................................................................28

Pautas del desarrollo .........................................................................................33 Proporcionando intervención en la enseñanza......................................................39 Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas .................................41 Consideraciones para planear las actividades de intervención................................43 Actividades de intervención para los niveles A1, A2 y B.........................................44 Registro de planeación y progreso ......................................................................47



INTERVENCIÓN EN LA ENSEÑANZA

La meta La meta de esta iniciativa de intervención es proporcionar a los maestros estrategias de

enseñanza para ayudar a los estudiantes de los grados intermedios a llegar a ser

competentes en las matemáticas y beneficiarse de la enseñanza al nivel de grado.

Para satisfacer las necesidades específicas de aprendizaje del estudiante, los maestros:

averiguan lo que cada estudiante ya sabe

determinan lo que cada estudiante necesita saber

planean una secuencia apropiada de las actividades de aprendizaje

monitorean el progreso del estudiante

Este capítulo complementado con capacitación profesional proporciona a los maestros las

evaluaciones y actividades de aprendizaje correspondientes para dirigir el conocimiento

numérico.


Evaluación Un estudiante que obtiene el puntaje “mínimo” o “básico” en el WKCE o que recibe un “1”

en dos o más secciones de la boleta de calificaciones puede necesitar intervención. Se

incluyen dos tipos de evaluaciones en este capítulo. Las “pruebas” que se dan oralmente

proporcionan información para el sistema de control de la información del estudiante del

MMSD. “Las evaluaciones orales” que también se dan oralmente proporcionan

información más detallada sobre el conocimiento numérico del estudiante. Se pueden

encontrar evaluaciones adicionales en esta carpeta y en el capítulo 4 de El aprendizaje de

las matemáticas en los grados iniciales (K-2) (LMPG por sus siglas en inglés)

Con el propósito de enterarse lo que un estudiante sabe sobre…

El maestro recolecta información de:

El conocimiento numérico

Las evaluaciones orales de operaciones aritméticas A-E, Capítulo 4, p.5-36

Evaluación del conocimiento numérico (Evaluación oral), Capítulo 10, pp.9-13

La prueba del conocimiento numérico de los niveles A1, A2 y B, Capítulo 10, p.14

La resolución de problemas

La prueba de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp.17-20

La evaluación de problemas tipo CGI, Capítulo 4, pp.44-48

Las evaluaciones orales para la resolución de problemas , LMPG – Capítulo 4, pp.75-85

El conocimiento sobre el valor numérico

Las pruebas de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp. 17-20

La evaluación temprana sobre la base de diez, Capítulo 4, p. 68

El conocimiento sobre las fracciones

La prueba de resolución de problemas A o B, Capítulo 10, pp.17-20

La evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante Capítulo 10, p.21

Pautas del desarrollo Los maestros utilizan la información de estas y otras evaluaciones para guiar la

enseñanza. Las pautas del desarrollo en las páginas 33 a la 38 proporcionan una

secuencia aproximada para el desarrollo del conocimiento numérico. Cada tabla enlista

los componentes del desarrollo numérico en cierto nivel.



Instrucciones para administrar las evaluaciones

Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral)

Esta evaluación se administra individualmente. No es necesario administrar toda la evaluación en una

sesión. Un guión de la evaluación oral precede a cada sección. Si bien no es crítico decir exactamente lo

que se indica en el guión, deberán anotarse las variaciones que proporcionen una estructura de apoyo

extra para el estudiante (p.ej. hacer hincapié en el vocabulario, insertar adjetivos como pistas o señalar

los materiales), ya que pueden proporcionar pistas en relación a la toma de decisiones sobre la

enseñanza en el futuro.

Materiales incluidos en esta sección pp.23-27:

Tiras de identificación numérica

Tarjetas de secuencia numérica

Tarjetas de puntos

Materiales adicionales necesarios:

Objetos de conteo en dos colores

Tela o papel para cubrir los objetos de conteo

Bloques de base de diez y/o tableros de diez

Pruebas del desarrollo numérico y resolución de problemas:

La evaluación del desarrollo numérico (evaluación oral) evalúa los conceptos numéricos a nivel

principiante. Utilice las pruebas del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B pp.17-20 para evaluar

los mismos conceptos numéricos con números más grandes. La prueba de resolución de problemas

evalúa el uso del conocimiento del estudiante para resolver problemas matemáticos que se le dan

oralmente.

Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante:

La evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante p. 21 puede ayudar a

identificar los conceptos fundamentales de las fracciones que los estudiantes necesitan para tener éxito

en los grados 4.o y 5.o


Evaluación del desarrollo numérico (Evaluación oral)

Nombre:___________________________________________________Puntaje_____________

Escuela: __________________________ Maestro(a): ___________________________________

Fecha de la evaluación oral: ___________________ Examinador: _________________________

Los puntos para cada ejercicio se aplican para monitorear el progreso. 1. Secuencia numérica progresiva Diga: “Comienza a contar desde el ___ y yo te digo cuando te detengas.”

Nivel 1: (a) 1 (al 32) ___________________________ (b) 8 (al 17) ___________________________

(c) 22 (al 30) __________________________

Nivel 2: (a) 47 (al 53) __________________________ (b) 77 (al 83) __________________________

Nivel 3: (a) 96 (al 112) _________________________

Nivel 1: Máximo de 3 puntos (1 punto, cada uno para la a, b y c) Puntaje____________ Nivel 2: Máximo de 2 puntos (1 punto, cada uno para la a y b) Nivel 3: Máximo de 1 punto para este nivel 2. El número que va después Diga: “Dime el número que va inmediatamente después del____. Por ejemplo, si yo digo 1, ¿tu dices ______?”

Nivel 1: 2 5 9 12 19

Nivel 2: 49 29 50 80 59 79 39

Nivel 3: 109

Niveles 1-3: Máximo de 3 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje____


3. Secuencia numérica regresiva Diga: “Cuenta regresivamente empezando del 10…”

Nivel 1: (a) 10 (bajando hasta el 1) ________________ (b) 15 (bajando hasta el 10) ______________

Nivel 2: (a) 22 (bajando hasta el 16) _______________ (b) 33 (bajando hasta el 26) ______________

(c) 62 (bajando hasta el 56) ________________ (d) 85 (bajando hasta el 77) ______________

Nivel 3: (a) 112 (bajando hasta el 99) ________________

Nivel 1: Máximo de 2 puntos (1 punto, cada uno para la a y b) Puntaje____________ Nivel 2: Máximo de 3 puntos (1 punto, cada uno para la a, b, c y d) Nivel 3: Máximo de 1 punto para este nivel 4. El número que va antes Diga: “Dime el número que va inmediatamente antes del ______. Por ejemplo, si yo digo 2, ¿tu dices _____?”

Nivel 1: 3 5 9 14 20

Nivel 2: 41 89 60 69 100

Nivel 3 110

Niveles 1-3: Máximo de 3 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____

5. Identificación de números Diga: “¿Qué número es éste?”

Nivel 1: 8 3 5 7 9 2 4 6 1 10

Nivel 2: 24 29

Nivel 3: 12 20 83 14 81 13 21 15

Nivel 4: 340 213 850 620 380

Niveles 1-4: Máximo de 4 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____


6. Secuencias numéricas (Diga: “Por favor, pon estos números en orden del más pequeño al más grande, empezando aquí.” Señale al lado izquierdo del área de trabajo. Pídale al estudiante que identifique los números en orden después de haberlos puesto en secuencia. Registre lo que el estudiante dice.

Nivel 1: 1-10 ________________________________________________

Nivel 2: 8-17 ________________________________________________

Nivel 3: Tarjetas de decenas del 10-100 ________________________________

Nivel 4: 64-73 ________________________________________________

Niveles 1-4: Máximo de 4 puntos (1 punto para cada nivel en donde todos estén correctos) Puntaje ____ 7. Conteo súbito (Diga: “Voy a mostrarte unos puntos rápidamente, quiero que me digas cuántos hay.” Muestre cada patrón de puntos de 1 a 2 segundos.)

Nivel 1: (patrones de puntos regulares) 2 4 3 5 6

Nivel 2: (patrones de puntos irregulares) 3 4 5 6

Nivel 3: (patrones de puntos regulares) 7 8

(patrones de puntos irregulares) 7 8

No hay puntaje


8. Ejercicios de suma (Nota: Use un color para el conjunto cubierto y un color diferente para el conjunto de objetos agregados.)

Nivel 1, parte 1: Cuenta un conjunto de 18 objetos (del mismo color)____________________

Nivel 1, parte 2: Diga: “Tengo ______objetos debajo de aquí (muestre los objetos y después cúbralos). Voy a deslizar por debajo uno más (el estudiante debe ver el objeto deslizándose por debajo). ¿Cuántos hay debajo ahora?”

(a) 3 y después deslice uno más _________________

(b) 7 y después deslice uno más _________________

(c) 11 y después deslice uno más ________________

Nivel 1: Máximo 4 puntos (1 punto por cada uno) Puntaje____________

Nivel 2: Diga: “Tengo ______ objetos debajo de aquí y ________objetos más aquí. (Deje los objetos de

conteo expuestos en posición adyacente para cubrirlos y agite su mano sobre ambos conjuntos.) ¿Cuántos hay en total?”

(a) 3 cubiertos, 1 expuesto __________________

(b) 4 cubiertos, 2 expuestos __________________

(c) 5 cubiertos, 4 expuestos __________________

(d) 12 cubiertos, 3 expuestos _________________

(e) el número 22 cubierto, 2 expuestos _________________

Nivel 2: Máximo 5 puntos. (1 punto por cada uno ) Puntaje____________

Nivel 3: Diga: “Tengo ________objetos debajo de aquí (muestre y luego cubra el conjunto) y tengo _________ objetos debajo de aquí. (Muestre y luego cubra el conjunto.) ¿Cuántos hay en total? Agite su mano sobre ambos conjuntos cubiertos

(a) 5 + 2 __________________

(b) 7 + 5 __________________

(c) 15 + 3 ___________________

(d) número 25 + 3 (objetos) _____________________

Nivel 2: Máximo 4 puntos (1 punto por cada uno) Puntaje____________


9. Ejercicios con un sumando faltante El maestro cubre los objetos de conteo y le pide al estudiante que mire para otro lado. Diga: “Aquí hay _______. Voy a poner algunos más aquí debajo. Ahora hay ______. ¿Cuantos más puse aquí debajo?” Nota: Utilice las fichas bicolores con el conjunto original de un color y las que se agregan de otro color.

(a) 4 a 5 (secretamente ponga 1 debajo) ______________________

(b) 5 a 7 (secretamente ponga 2 debajo) ______________________

(c) 6 a 9 (secretamente ponga 3 debajo) ______________________

(d) 15 a 17 (secretamente ponga 2 debajo) ____________________

Partes a-d: Máximo 4 puntos. (1 punto por cada uno si todos están correctos.) Puntaje____________ 10. Ejercicios de decenas y unidades Dependiendo de cómo esté el estudiante familiarizado con la herramienta, puede usar cubos organizados en palitos de diez, tableros de diez, bloques de base de diez o una ilustración de estos para evaluar éste entendimiento.

1ª parte: Coloque 4 cubos de unidades enfrente del estudiante. Pregúntele “¿Cuántos son?” Luego

coloque un grupo de diez, una barra de diez o un tablero de diez al lado de los cubos de unidades.

Pregúntele, “Ahora, ¿cuántos hay?” Continúe colocando decenas hasta llegar al 74. Encierre las respuestas

correctas que le dé.

4 14 24 34 44 54 64 74

2ª parte: Coloque la siguiente secuencia de cubos, bloques de base de diez, tableros de diez o una

representación de los mismos en una fila enfrente del estudiante: 10, 3, (10, 10), 4, 3, 10, 2, (10, 10).

Cubra todos. Lentamente descubra cada conjunto y pídale al estudiante que agregue esa cantidad al total.

Encierre las respuestas correctas que le dé.

Totales: 10 13 33 37 40 50 52 72

3ª parte: Coloque la siguiente secuencia de cubos, bloques de base diez, tableros de diez o una

representación de los mismos en una fila enfrente del estudiante: 4, 10, 20, 12, 25. Cubra todos.

Lentamente descubra cada conjunto y pídale al estudiante que agregue esa cantidad al total. Encierre las

respuestas correctas que le dé.

4 14 34 46 71

Partes 1-3: Máximo 3 puntos. (1 punto por cada parte que esté correcta) Puntaje___________




Prueba del desarrollo numérico para los niveles A1, A2 y B

Estudiante: ______________________ Fecha__________Examinador ______________

Ejercicio Puntos Conteo progresivo a partir de cualquier número

Dentro del 1000 (1 punto) P.ej. “Empieza a contar del 396” (Detenga al estudiante en el 413)

Dentro del 10,000 (2 puntos.) P. ej. “Empieza a contar del 4,989” (Detenga al estudiante en el 5,012)

Identificación del número que va (3 por encima de) después de cierto número.

Dentro del 1000 (1 punto) P.ej. “¿Que número va tres números después del 698”

Dentro del 10,000 (2 puntos) P.ej. “¿Qué número va tres números después del 2,489?”

Conteo de memoria de 10 en 10

A partir de cualquier número de 2 dígitos (1 punto) P.ej. empieza desde el 13 y cuenta en series

de 10 hasta el 63.

A partir de cualquier número de 3 dígitos (2 puntos) P.ej. empieza desde el 598 y cuenta en

series de 10 hasta el 648.

Conteo regresivo a partir de cualquier número y después de decenas y centenas.

Dentro del 100 (1 punto) P.ej. “Cuenta comenzando del 63” (Detente en el 49)

Dentro del 1000 (2 puntos) P.ej. “Cuenta comenzando del 214” (Detente en el 196)

Identificación del número que va (3 por encima de) antes de cierto número

Dentro del 100 (1 punto) P.ej. “¿Qué número va 3 números antes del 51?”

Dentro del 1000 (2 puntos) P.ej. “¿Qué número va 3 números antes del 511?”

Lectura de números

Entre el 100 y 1000 (1 punto) P. ej. 315 y 756

Entre el 1,000 y 10,000 (2 puntos) P.ej. 5,028 y 9,206

Ordenar los números del menor al mayor

Entre el 100 y 1000 (1 punto) P.ej. Secuencia 218, 303, 330, 456, 465

Entre el 1,000 y 10,000 (2 pts.) P.ej. Secuencia 5,012, 5,210 y 5,102

Componer y descomponer números

Dentro del 20 (1 punto) Encuentra cuatro expresiones que te den un igual de (o maneras para formar un) 13

Dentro del 100 (2 puntos) P.ej. Encuentra cuatro expresiones que te den un igual de (o maneras para formar un) 25

Total



Nombre: _____________________________ Fecha: _____________ Examinador: __________________

Prueba A de resolución de problemas Materiales:

Lápiz y papel

Cubos de Unifix

Instrucciones: Lea cada problema al estudiante utilizando el nombre del estudiante en el problema. Si el estudiante no puede resolver el

problema mentalmente, ofrézcale los cubos de Unifix, papel y lápiz.

Registre la estrategia del estudiante.

Asigne: 0 puntos si el estudiante no puede resolver el problema 1 punto si el estudiante puede ilustrar la solución del problema con un dibujo o bloques.

2 puntos si el estudiante utiliza cualquier estrategia que vaya más allá del modelo directo o si sabe una operación aritmética.

Problemas matemáticos Puntos JRU (Segundo sumando agregado, resultado desconocido)

_______ tenía 10 marcadores. El maestro le dio 6 más. ¿Entonces, cuántos marcadores tenía _______ ?

Estrategia:

SRU (Separación del sustraendo, resultado desconocido)

_______ tenía 12 monedas. Le dio 3 a un amigo. ¿Cuántas monedas le quedaron a _______?

Estrategia:

M (Multiplicación)

_______ tiene 4 tazas. Hay 10 uvas en cada taza. ¿Cuántas uvas tiene ________ en total?

Estrategia:

MD (División con factor desconocido)

_______ tenía 30 libros para poner en un librero. Puso 10 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes utilizó?

Estrategia:


Prueba A de resolución de problemas (continuación)

Problemas matemáticos Puntos JCU (Suma, segundo sumando desconocido)

_______ tiene 20 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para tener 26 dólares en total?

Estrategia:

CDU (Comparación, diferencia desconocida)

________ tiene 46 calcomanías. Sara tiene 40 calcomanías. ¿Cuántas más calcomanías tiene _______que Sara?

Estrategia:

PPW, WU (Parte-parte-todo, total desconocido)

_____ tenía 10 globos rojos y 8 globos azules. ¿Cuántos globos tenía _____ en total?

Estrategia:

SCU (Resta, sustraendo desconocido)

_______ tenía 15 flores. Le dio algunas a una amiga y le quedaron 12. ¿Cuántas flores le dio ________ a su amiga?

Estrategia:

PD (División partitiva)

______ tiene 12 juguetes. Tiene que colocarlos en 3 estantes y quiere poner la misma cantidad en cada estante. ¿Cuántos juguetes va a poner en cada estante?

Estrategia:

PD División partitiva (con una fracción en el resultado)

Hay un pastelillo de chocolate en un plato. 4 amigos van a compartir el pastelillo. Cada amigo va a recibir la misma cantidad. ¿Qué cantidad de pastelillo le tocará a cada amigo? Auxílielo si es necesario: ¿Cómo llamarías al número de la parte que le toca a cada amigo? (2 puntos si responde correctamente)

Estrategia:


Nombre: _____________________________ Fecha:_____________ Examinador:__________________

Prueba B de resolución de problemas Materiales:

Lápiz y papel

Bloques de base de diez

Instrucciones: Lea cada problema al estudiante utilizando el nombre del estudiante en el problema. Si el estudiante no puede resolver el

problema mentalmente, ofrézcale los bloques de base de diez, papel y lápiz.

Registre la estrategia del estudiante.

Asigne: 0 puntos si el estudiante no puede resolver el problema 1 punto si el estudiante puede modelar la solución del problema con un dibujo, bloques o utilizando una estrategia de conteo.

2 puntos si el estudiante utiliza una estrategia de sentido numérico que no involucre el conteo de uno en uno.

Problemas matemáticos Puntos JRU (Segundo sumando agregado, resultado desconocido)

______ tenía 25 dólares. Después ganó 75 dólares más. ¿Cuántos dólares tenía _____ entonces?

Estrategia:

SRU (Separación del sustraendo, resultado desconocido)

_____ tenía 54 monedas en una colección. Le dio 19 a un amigo. ¿Cuántas monedas le quedaron a ________?

Estrategia:

M (Multiplicación)

Dos arañas treparon a la pared. Cada araña tiene 8 patas. ¿Cuántas patas tienen las dos arañas en total?

Estrategia:

MD (División con factor desconocido)

______tenía 30 libros para poner en un librero. Puso 5 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes utilizó?

Estrategia:


Prueba B de resolución de problemas (continuación)

Problemas matemáticos Puntos JCU (Suma, segundo sumando desconocido)

_______ tiene 65 dólares. ¿Cuántos dólares más necesita para tener 100 dólares en total?

Estrategia:

CDU (Comparación, diferencia desconocida)

_______ tiene 100 estampillas en una colección. Sara tiene 48 estampillas en su colección. ¿Cuántas estampillas más tiene ____________ que Sara?

Estrategia:

PPW, PU (Parte-parte-todo, parte desconocida)

_______ cultivó 71 plantas con flores en su jardín. 36 tenían flores rosas y el resto tenían flores amarillas. ¿Cuántas plantas tenían flores amarillas?

Estrategia:

SCU (Resta, sustraendo desconocido)

_______ tenía 61 clips. Le dio algunos a su maestro. Ahora le sobraron 29. ¿Cuántos clips le dio _________ a su maestro?

Estrategia:

PD (División partitiva)

_______ tiene 30 juegos. Tiene que colocarlos en 6 estantes. Quiere poner la misma cantidad de juegos en cada estante. ¿Cuántos juegos pondrá en cada estante?

Estrategia:

PD División partitiva (con una fracción en el resultado)

Hay 10 pastelillos de chocolate en un plato. 8 amigos van a compartir los pastelillos. Cada amigo recibirá la misma cantidad. ¿Qué cantidad de pastelillos le tocará a cada amigo? Auxílielo si es necesario: ¿Cómo le llamarías al número de la parte que le toca a cada amigo? (2 puntos si responde correctamente)

Estrategia:


Evaluación oral de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante –Grados 4.o y 5.o

Nombre______________________________________________Fecha___________ 1. Los dibujos de abajo representan tres tipos de pizza. Cada pizza tiene una forma diferente. ¿Cómo a

qué fracción equivale la parte que está sombreada? ¿Cómo escribes esa fracción?

_________ _________ _________

2. Tú estás en una fiesta. Podrías sentarte ya sea a la mesa donde 4 amigos comparten un pastel pequeño en partes iguales o puedes sentarte a la mesa donde 5 amigos comparten un pastel pequeño en partes iguales. ¿En cual mesa te tocaría más pastel? ¿Por qué?

3. Doce (12) personas comparten tres (3) sándwiches en partes iguales. ¿Cuánto le toca a cada persona?

4. Daviette tiene 8 monedas en su colección. ¼ de las monedas son pennies (monedas de un centavo). ¿Cuántas monedas son pennies?

5. Si Grant tiene 3 peces y la mitad de sus mascotas son peces. ¿Cuántas mascotas tiene Grant en total?

6. Breezy utilizó ½ de un bote de pintura para un proyecto de arte. Bao utilizó ¼ de un bote de pintura para su proyecto. ¿Cuánto utilizaron Breezy y Bao en total?



Tarjetas de puntos (pág. 1 de 4)








Evaluación del desarrollo numérico Tiras de identificación numérica, niveles 1-4

8 3 5 7 9 2 4 6 1 10

24 29

12 20 83 14 81 13 21 15

340 213 850 620 380


Evaluación del desarrollo numérico Secuencia numérica, nivel 1

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10



8 9 10 11 12

13 14 15 16 17



10 20 30 40 50

60 70 80 90 100



64 65 66 67 68

69 70 71 72 73



Pautas del desarrollo preescolar o Pre-K El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.

Pre K Pre K-K Nivel K

Resolución de problemas matemáticos

Resuelve problemas que forman parte de las rutinas diarias utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 5

Resuelve problemas que forman parte de las rutinas diarias utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 20

Resuelve problemas utilizando el modelo directo incluyendo problemas de JRU, SRU, M y MD con totales hasta el 30

Actividades y control de progreso

Aprendizaje informal a través del juego.

Control de progreso (no es aplicable)

Aprendizaje informal a través del juego. Control de progreso (no es aplicable)

Resolución de problemas matemáticos con la guía del maestro.

Prueba A de resolución de problemas

Representación

Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección – no necesariamente con correspondencia 1 a 1

Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección -- con correspondencia 1 a 1 pero quizá no sea preciso con colecciones más grandes.

Hace dibujos o utiliza otros símbolos informales u objetos para representar la cantidad en una colección hasta el 30 con correspondencia 1 a 1


Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable.

Aprendizaje informal a través del juego. El control de progreso no es aplicable. Evaluación A de representación

Fracciones

Utiliza estrategias informales para resolver problemas de repartición equitativa con colecciones de hasta 10 artículos entre 2 personas.

Utiliza estrategias informales para resolver problemas de repartición equitativa con colecciones de hasta 20 artículos entre 2 personas; sabe que las reparticiones justas tienen el mismo número.

Resuelve problemas de repartición equitativa que involucran “la mitad” pero tal vez no use los términos estándares para nombrar las partes.


Aprendizaje informal a través del juego o situaciones de repartición. El control de progreso no es aplicable.



Valor numérico Cambiar varios artículos pequeños por uno más grande.

Intercambiar varios artículos pequeños por uno más grande.

Intercambiar varios artículos pequeños por uno más grande.

Pre K Pre K-K Nivel K





Conocimiento numérico

Conteo progresivo: puede contar de memoria hasta el 10 pero no tiene correspondencia 1 a 1 de manera consistente.

Conteo progresivo: puede contra el 1 al 20, puede nombrar el número que va inmediatamente después para los números del 1 al 20 pero tal vez tenga que empezar desde el 1 para poder hacerlo.

Conteo regresivo: Puede contar desde el 10, puede nombrar el número que va antes con los números del 1 al 5, pero tal vez tenga que contar desde el 1.

Identificación numérica: Del 1 al 10 consistentemente, del 11 al 20 inconsistentemente.

Secuencia/Orden numérico: del 1 al 20

Descomponer/componer: Puede realizar el conteo súbito en los patrones regulares de puntos hasta el 6.

Conteo de objetos: Puede contar conjuntos hasta de 10 objetos con precisión.

Conteo progresivo: puede contar del 1 al 30 comenzando desde cualquier número, puede nombrar el número que va inmediatamente después para los números del 1 al 30.

Conteo regresivo: Puede contar regresivamente de manera consistente del 10 al 1 comenzando desde cualquier número. Puede contar regresivamente de manera inconsistente del 30 al 0. Puede nombrar de manera inconsistente el número que va directamente antes del 1 al 30 pero tal vez tenga que contar a partir de un número más pequeño.

Identificación numérica: del 1 al 30 consistentemente

Secuencia/Orden numérico: del 1 al 30

Descomponer/componer: Puede realizar el conteo súbito en los patrones de dedos, utiliza pares de puntos para determinar la cantidad.

Conteo de objetos: Puede contar conjuntos hasta de 30 objetos con precisión.


Capítulo 10 en El aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales. Evaluación del desarrollo numérico




Resolución de problemas y el uso de estrategias El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.

Estrategias de solución Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B

Resuelve problemas matemáticos tipo JRU, SRU, Multiplicación y División con factor desconocido (con números hasta el 5)

Resuelve problemas matemáticos con números hasta el 10 incluyendo: problemas de tipo JRU, SRU, M, JCU, SCU, CDU, PPW-WU, MD, PD

Resuelve problemas matemáticos con números hasta el 1000 incluyendo: problemas tipo JRU, SRU, M, JCU, CDU, SCU, PPW-PU, MD, PD

Modelo directo Modela problemas directamente. Modela problemas directamente. Modela problemas directamente.

Conteo Cuenta progresivamente 1, 2, o 3 desde el primer sumando dentro del 30. Cuenta regresivamente no más de 3 cuando el minuendo es diez o menos.

Cuenta progresivamente 1, 2 o 3 hasta el 100. Cuenta regresivamente 1, 2 o 3 desde números hasta el 100. Cuenta de 2 en 2, de 5 en 5 o de 10 en 10.

Relaciones numéricas y operaciones numéricas.

Utiliza relaciones numéricas para las sumas hasta el diez (operaciones de suma) Suma 10 a un número de un solo dígito utilizando el cálculo mental.

Sabe o deriva fácilmente operaciones de sumas y restas. Mentalmente suma o resta diez de cualquier número del 10 al 100. Mentalmente suma o resta cualquier decena exacta de números del 10 al 100. P.ej. 56+30, 72+40. Descompone un número de un solo dígito cuando suma o resta dentro del 100, p.ej. 48 + 6 = (48 + 2) + 4 o 56 – 9 = 56 - 6 -3 Utiliza la suma repetitiva o conteo salteado para resolver X2, X5, X10

Actividades Vea las actividades para el nivel A 1 Vea las actividades para el nivel A 2 Vea las actividades para el nivel B

Control de progreso Prueba A de resolución de problemas

y/o Evaluación oral de sumas A

Prueba A de resolución de problemas y/o

Evaluación oral de sumas A

Prueba B de resolución de problemas y/o

Evaluación oral de sumas B


Pautas del desarrollo de fracciones (intervención solamente para los grados 4.o/5.o)

El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.

Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B

Componentes

Resuelve problemas de repartición equitativa que resultan en “mitad” Nombra una parte como “una mitad” correctamente.

Resuelve problemas de división partitiva o repartición equitativa cuando la solución tiene una unidad de fracción. Identifica unidades de fracción utilizando palabras (p.ej. “un cuarto”)

Resuelve fracciones como problemas con operador (p.ej. ¿Cuánto es ¼ de 12?) Identifica y escribe unidades de fracción.

Estrategias de solución No aplica Dibuja partes fraccionales de un

conjunto o una sola unidad. Dibuja partes fraccionales de un

conjunto o una sola unidad.

Actividades Vea las actividades de

intervención para el nivel A 1

Vea las actividades de intervención para el nivel A 2

Vea las actividades de intervención para el nivel B

Herramienta para el control de progreso

Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba A de resolución de problemas.

Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba A de resolución de problemas.

Problemas matemáticos tipo PD con fracción en la respuesta de la prueba B de resolución de problemas.

Evaluación de conocimientos sobre las fracciones a nivel principiante


Pautas del desarrollo del valor numérico

El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.

Level A 1 Level A 2 Level B

Componentes Reconoce que 23 y 32 son cantidades diferentes y puede contar conjuntos de uno en uno para concordar con el número.

No es capaz de reconocer que el dígito en el lugar de las decenas representa un grupo de diez en un modelo.

Al darle un conjunto de bloques de base de diez, el estudiante puede contar el conjunto utilizando decenas y unidades.

Relaciona números con el 10

Al darle un número de dos dígitos, el estudiante puede reunir un conjunto de bloques de base de diez para que coincida con el número.

Suma diez a un número de un solo dígito utilizando el cálculo mental.

Relaciona números con la decena más cercana.

Al darle un conjunto de bloques de base de diez, el estudiante puede contar el conjunto utilizando centenas, decenas y unidades.

Al darle un número de tres dígitos, el estudiante puede reunir un conjunto de bloques de base diez para que coincida.

Suma diez a un número de dos dígitos utilizando el cálculo mental.

Suma 20 o 30 a un número de dos dígitos utilizando el cálculo mental

Puede combinar unidades en grupos de diez y las “unidades” sobrantes (p.ej. 23 unidades equivale a dos grupos de diez y 3 unidades) – primero modelando y después pasando al cálculo mental.

Puede descomponer un número en decenas y unidades (p.ej. 43 = 10+10+10+10+3) primero modelando y después pasando al cálculo mental.

Actividades Vea las actividades de intervención para el nivel A 1



Control de progreso

Evaluación temprana sobre la base de diez.

Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10

Prueba A de resolución de problemas.

Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10

Prueba A de resolución de problemas.

Evaluación del desarrollo numérico: Sub-evaluación 10 Prueba B de resolución de problemas.


Pautas del desarrollo del conocimiento numérico El conocimiento numérico de un estudiante se puede alinear con componentes en más de un nivel.

Nivel A 1 Nivel A 2 Nivel B

Componentes Conteo progresivo—1-100 comenzando desde cualquier número; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-100)

Conteo regresivo—30-0 (comenzando desde cualquier número); nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes (1-30)

Identificación numérica: 1-100

Secuencia/Orden numérico: 1-100

Descomponer/componer números hasta el 10

Conteo súbito conceptual para cantidades hasta el 10

Conteo progresivo—1-1000 comenzando desde cualquier número; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-1000); conteo de memoria de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, cuenta de memoria de 10 en 10 a partir de cualquier número de 2 dígitos.

Conteo regresivo—100-0 (comenzando desde cualquier número), nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes(1-100)

Identificación numérica: 1-1000

Secuencia/Orden numérico: 1-1000

Descomponer/componer números hasta el 20

Conteo progresivo—1-1000 comenzando desde cualquier número de 10 en 10 y de 100 en 100; conteo de uno en uno a partir de cualquier número hasta el 10,000; nombrando hasta 3 números que van inmediatamente después (1-10000)

Conteo regresivo—1000-0 (comenzando desde cualquier número), nombrando hasta 3 números que van inmediatamente antes (1-1000)

Identificación numérica: 1-10,000

Secuencia/Orden numérico: 1-10,000 Descomponer/componer números hasta el 100

Actividades Vea las actividades de

intervención para el nivel A 1



Herramienta para el control de progreso Evaluación del desarrollo numérico Lista de control de la observación

del maestro Lista de control de la observación del

maestro



Proporcionando intervención en la enseñanza

Utilice las “Pautas de desarrollo” localizadas en las páginas 33-38 para identificar

contenido matemático específico y rangos numéricos para cada estudiante. Las

sugerencias para la planeación y actividades de intervención específicas se

encuentran en las páginas 44-46.

¿Quién debería proporcionar la intervención en la enseñanza?

Las decisiones con respecto a la intervención en la enseñanza son responsabilidad

del maestro o del equipo de instrucción. Sin embargo, se pueden reclutar a otros

adultos o estudiantes para llevar a cabo la intervención.

¿Cuándo debemos ofrecer intervención?

No hay respuesta única de cuándo o con qué frecuencia los maestros deben

proporcionar intervención. Los equipos de instrucción en comunicación con los

estudiantes y familias decidirán sobre un método apropiado.

¿Cuáles son algunos ejemplos de métodos de enseñanza?

Prestar apoyo para que el estudiante tenga acceso al aprendizaje

La intervención puede tomar la forma de tiempo extra, menos problemas para

resolver o práctica de estrategia.

Ventajas: Pequeñas consideraciones para estudiantes en particular puede crear mayor crecimiento estudiantil.

Consideraciones: Los maestros tienen que diseñar o escoger actividades que se enfoquen en los conceptos subyacentes que los estudiantes necesitan para progresar tomando en cuenta su conocimiento previo y sus necesidades personales de aprendizaje.

Instrucción dirigida durante la clase de matemáticas

La intervención puede tomar la forma de instrucción dirigida a estudiantes

individuales o grupos pequeños diseñada para satisfacer el desarrollo conceptual o

de destreza del estudiante.

Ventajas: La intervención específicamente se dirige a las necesidades de aprendizaje del estudiante. Los estudiantes tienen más éxito desempeñándose dentro de la zona cercana a su desarrollo.

Consideraciones: El maestro debe personalizar la instrucción basada en las evaluaciones del conocimiento y las destrezas de cada estudiante. Se debería hacer hincapié en el aprendizaje acelerado.

Instrucción adicional dentro del día escolar

En este escenario, se identifica el tiempo adicional dentro del día escolar para la

instrucción.

Ventajas: El estudiante recibe instrucción dirigida necesaria para su progreso y también participa con compañeros durante el periodo regular de matemáticas.

Consideraciones: Con este método, se hace necesario priorizar el tiempo de manera diferente. Los equipos de instrucción, los padres y estudiantes deben reconocer que se perderán otras oportunidades mientras reciben esta “doble dosis” de matemáticas durante el día.

Antes de que la clase estudie un tema

Justo antes de que la clase comience una unidad de estudio, la intervención podría tomar

la forma de enseñanza previa de conceptos fundamentales relacionados con la unidad.

Ventajas: El estudiante adquiere los conocimientos previos como preparación para la enseñanza en la clase.

Consideraciones: El maestro debe hacer una evaluación previa al estudiante y planear lecciones específicas para el estudiante antes de que el resto de la clase comience la unidad.


Estrategias para la intervención efectiva en las matemáticas

1. Determinar el contenido y el nivel conceptual

Utilice los estándares matemáticos del nivel Kinder a 12.o grado del MMSD y las pautas

de desarrollo en este capítulo para determinar el contenido esencial de las matemáticas

que el estudiante necesita y el nivel apropiado para comenzar la instrucción.

2. Utilizar contextos familiares

Utilice contextos de historias que sean familiares para los estudiantes.

3. Proporcionar tiempo suficiente

Permítales tiempo suficiente a los estudiantes para lidiar con nuevas ideas y darle

sentido a un nuevo aprendizaje.

4. Promover la comunicación

Proporcione muchas oportunidades para expresar su razonamiento verbalmente. Utilice

la estrategia de razonar por parejas—los estudiantes primero recolectan sus propias

ideas y después platican con un compañero antes de compartir con todo el grupo.

5. Compartir estrategias para hacer “cálculos mentales”

Pídales a los estudiantes que intenten resolver cálculos mentales más fáciles y que

compartan sus estrategias mentales con sus compañeros de clase.

6. Enseñar maneras de representar soluciones

Enseñe una variedad de opciones de representación tales como una recta numérica

vacía, el lenguaje con flechas, tablas de proporciones u oraciones numéricas sucesivas.

Motive a los estudiantes para utilizar el método que tenga mayor sentido para su

proceso de razonamiento. Después, entreviste al estudiante en cuanto a su trabajo

escrito para confirmar que lo que escribió en realidad representa su razonamiento. Para

más información referente a la representación de la enseñanza vea las páginas 45-55 y

el manual del Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2), Capítulo 6,

páginas 109-116.



7. Discutir conexiones

Pídales a los estudiantes que platiquen sobre las conexiones que hacen entre los

conceptos matemáticos y con ejemplos del mundo real.

8. Discutir vocabulario nuevo

Enseñe vocabulario dentro del contexto de una actividad de aprendizaje. El lenguaje

común tal como “mitad”, “igual”, “par”, “non” y “producto” tiene definiciones

matemáticas únicas. Hable acerca de diversos significados y utilice nuevo vocabulario de

manera consistente. Motive a los estudiantes a utilizar el nuevo vocabulario para

desarrollar lenguaje académico.

9. Proporcionar práctica dirigida

Tenga múltiples juegos y actividades para cualquier concepto que los estudiantes estén

leyendo. Escoja o diseñe juegos al nivel independiente de los estudiantes para que

desarrollen juegos estratégicos y tengan abundante práctica provechosa.

10. Controlar el progreso frecuentemente

Fije metas específicas de aprendizaje a corto plazo. La intervención en la enseñanza no

es un currículo paralelo menos riguroso para algunos estudiantes. La intervención en la

enseñanza requiere la examinación y evaluación frecuentes. El objetivo de toda la

intervención debe ser acelerar el aprendizaje para que coincida con el de sus

compañeros del nivel de grado.

Consideraciones para planear las actividades de intervención

La planeación para la intervención comienza con la evaluación y descripción del

conocimiento de cada estudiante basándose en las Pautas de desarrollo en las páginas

33-38.

Los Componentes dentro de las pautas son puntos de referencia que describen la manera

en que los niños típicamente desarrollan los conceptos numéricos. Utilice las Pautas de

desarrollo en relación con las actividades de intervención que figuran en las siguientes

páginas para planear la enseñanza.

Es posible que el plan de intervención de un estudiante necesite enfocarse

simultáneamente en múltiples componentes del conocimiento numérico. Por ejemplo, un

estudiante podría necesitar instrucción en el conteo progresivo, conteo regresivo e

identificación numérica. Dentro del componente del “conteo progresivo” tal vez el

estudiante necesite comenzar a trabajar a un nivel de conteo de memoria de dos en dos.

Conocimiento numérico Pautas de desarrollo A 2

Componentes

Conteo progresivo

1 – 1000 comenzando a partir de cualquier número

Nombrar un número que vaya después o antes de cualquier número (1-1000)

Contar de memoria de 2 en 2



Contar de memoria de 10 en 10 a partir de cualquier número de 2 dígitos.

Comience con lo que “ya se conoce” acerca del niño y trabaje en la comprensión, la

articulación de patrones y en incrementar la confianza del estudiante. La intervención en

la enseñanza requiere evaluación periódica bien informada. Los maestros analizan estas

evaluaciones para hacer cambios graduales y reflexionar sobre la eficacia de la enseñanza

hasta la fecha.


Actividades de intervención para el nivel A1 A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel A1. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.

Actividades de problemas matemáticos

En el aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2):

Desarrollando actividades cubiertas, pp. 184-187 Conteo progresivo con tarjetas numéricas y actividades cubiertas, pp. 185-186 Conteo regresivo de uno en uno, pp. 110-111 Trabajo numérico (Más juego para el conteo progresivo de 1, 2 o 3), pág. 153 Actividades para apoyar la resolución de problemas, pp. 192-193

Actividades de representación

Estrategias de solución, Capítulo. 6, pág. 37 Representando soluciones, Capítulo 6, pág. 45


Enseñar a los estudiantes las maneras para escribir sus “pasos de razonamiento”, pág. 109 Utilizar la recta numérica vacía para representar las estrategias de conteo, pp. 110-114 Comparar las representaciones en la recta numérica vacía, pág. 130

Actividades de fracciones:

Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento de las fracciones, Capítulo 6, pp. 55-56

Actividades de valor numérico

Componentes del entendimiento sobre el valor numérico (vea el conteo secuencial verbal), pp. 52-54 ¿Qué notas? Capítulo 7, pág. 16 ¿Qué sabes acerca de? Capítulo 7, pág. 16 Apodo, nombre real, Capítulo 7, pág. 13 Tarjetas de valor numérico con flechas, Capítulo 6, pág. 42 (Las tarjetas se encuentran en El

aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2), pp. 222-224)


Construyendo cinco y diez (extensión de 10 más un solo dígito), pág. 188, (También pp. 185, 186, & 225) Formando números (utilice las tarjetas de flechas para ayudar a los estudiantes a ver los ceros

escondidos), pág. 180

Actividades de conocimiento numérico


Contar un poco más, pág. 131 Capítulo 10

Formando números, pág. 180 Relacionar las tarjetas numéricas y clasificación de números, pág. 181 Actividades de secuencia, pp. 182-183 Actividades para apoyar la composición y descomposición de números,pp. 187-191


Actividades de intervención para el nivel A2

A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel A2. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.

Actividades de problemas matemáticos

Escogiendo números para desarrollar el sentido numérico (Comience con los números en las pautas de desarrollo. Para los problemas de suma, extiéndalos a sumandos en las decenas.), Capítulo 6, pp. 28-29

Utilizando problemas matemáticos para desarrollar el conocimiento del valor numérico (ajuste los números según sea necesario), pp. 30-32


Representación para los bloques de base de diez, Capítulo 6 pág. 43 Recta numérica vacía, Capítulo 6, pp. 44-45 Ecuaciones (oraciones numéricas), Capítulo 6, pág. 51

Actividades de fracción


Tipos de problemas de fracción, Capítulo 6, pág. 57


Tabla de los componentes del valor numérico: Secuencia de conteo verbal, Construye/Cuenta cantidades mixtas, Lee y escribe números, Secuencias numéricas, Decenas y decenas dentro de las decenas, Capítulo 4, pp. 52-53

Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9 Apodo, nombre real, Capítulo 7, pág. 13


¿Qué sabes acerca de?, Capítulo 7, pág. 16 Descubre el número, Capítulo 7, pág. 15 Tabla de los componentes del valor numérico (Vea las actividades del valor numérico para este

nivel.) Capítulo 4, pp. 52-54


Después y antes, pág. 128 Contar un poco más, pág. 131 Suma, pág. 153 (Este juego se puede jugar como suma o resta 1-3, sin contar.)


Actividades de intervención para el nivel B A continuación se presenta una muestra de actividades elegidas para ayudar a los estudiantes a progresar al nivel B1. Refiérase al Aprendizaje de las matemáticas en los grados iniciales (K-2) y El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.o-5.o) para actividades adicionales.

Actividades de resolución de problemas (Vea las actividades de intervención para el nivel A2)

Estimación, Capítulo 6, pp. 34-35 Cálculos mentales, Capítulo 6, pág. 36


Representando soluciones, Capítulo 6, pág. 41 Flechas de valor numérico, Capítulo 6, pág. 42 Bloques de base de diez, Capítulo 6, pág. 43 Recta numérica vacía y consejos de enseñanza, Capítulo 6, pp. 44-45 Lenguaje con flechas y consejos de enseñanza, Capítulo 6, pp. 46-47 Modelo de matriz y modelo de área para la multiplicación, Capítulo 6, pp. 48-49 Ecuaciones, Capítulo 6, pág. 51 Trabajo numérico, Comparar las representaciones en la recta numérica vacía y el lenguaje

con flechas, Capítulo 7, pág. 8

Actividades de fracción


Tipos de problemas de fracción, Capítulo 6, pág. 57


Componentes del entendimiento del valor numérico: Secuencias numéricas desde los números más pequeños hasta los más grandes, Descomposición y composición numérica, Capítulo 4, pp.52-54

¿Cuál es la regla? (Cambie el número de ingreso sumando 10 o cualquier número terminado en ceros.) Capítulo 7, pág. 16

Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9


Buscar decenas, pág. 134 Apúrate a llegar a la decena, pp. 155-156


Componentes del entendimiento del valor numérico: Secuencia de conteo verbal, Construye/Cuenta cantidades mixtas, pp 52-54

Contar y comparar, Capítulo 7, pág. 9


Número meta 20, pág. 159



Registro de planeación y progreso

Lo que sabe el estudiante Meta a corto plazo Actividad (incluir el

rango numérico) Resultados de la instrucción

Fecha:

Fecha:

Fecha:

Fecha:

Fecha:

Fecha:

Fecha:



TRABAJO NUMÉRICO



Apéndice


Apéndice Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 Traducido por Rosy Einspahr

El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Apéndice Página 3 Traducido por Rosy Einspahr

Páginas de muestras de problemas matemáticos

Las siguientes páginas proporcionan ejemplos de maneras para crear hojas de problemas

matemáticos. Cuando cree dichas páginas considere lo siguiente:

espacio para resolver

de qué manera los estudiantes o los maestros indicarán las elecciones de números

número de estrategias de solución

nivel de enseñanza o fluidez y mantenimiento

espacio para que los estudiantes escriban únicamente su respuesta o una oración

conjuntos de problemas relacionados en una página

título del conjunto de problemas para una referencia fácil

Nombre_________________________________ Fecha___________________________

Barcos

Hay ________ estudiantes nuevos de primer grado y los estudiantes de primer grado siempre cruzan el

lago en barco para llegar a Hogwarts. Si cada barco puede llevar a 4 estudiantes, ¿cuántos barcos

necesita conseguir Hagrid para que todos los estudiantes de primer grado puedan cruzar el lago?

24 48 148

Mi estimación para la respuesta de este problema es: ______________

Muestra una manera para resolver el problema. Muestra otra manera para resolver el problema. _____________________________________________________________________________________

Escribe una oración que responda a la pregunta de tu problema matemático.



Nombre_________________________________ Fecha___________________________

Las papas matemáticas

El Sr. Tomás tiene __________ papas en cada página de su libro titulado “Las papas de las

matemáticas”. Su libro tiene ________ páginas. ¿Cuántas papas tuvo que dibujar?

25, 14 20, 10

5, 4 20, 4


Nombre________________________________ Fecha___________________________

Montaña rusa

Una montaña rusa puede llevar a 48 personas al mismo tiempo. Cada vagón puede llevar a 6 personas.

¿Cuántos vagones de largo tiene la montaña rusa?

Yo creo que la respuesta para este problema es entre ___________ y __________.

Muestra una manera para obtener la respuesta a este problema. Muestra otra manera para obtener la respuesta a este problema.

Escribe una oración que responda a la pregunta en este problema:

_____________________________________________________________________________________

Natación

Carlos nadó 75 veces lo largo de la piscina. Mark solamente nadó 56 veces lo largo de la piscina.

¿Cuántas veces más tendría que nadar Mark lo largo de la piscina para nadar el mismo número de veces

que Carlos?

Yo creo que la respuesta para este problema es entre ___________ y __________.

Muestra una manera para obtener la respuesta a este problema. Muestra otra manera para obtener la respuesta a este problema.

Escribe una oración que responda a la pregunta en este problema:

_____________________________________________________________________________________


Nombre________________________________ Fecha___________________________

Número de páginas leídas

Carol 492

David 363

Talia 2,005

Xiang 1,899

a) ¿Cuántas páginas más leyó Talia que Carol?

b) ¿Cuántas páginas leyeron en total Carol y David?

c) ¿Cuántas páginas menos leyó Xiang que Talia?

Número de veces que se metió una pelota en la canasta de básquetbol.

Con la palma hacia arriba Con la palma hacia abajo

Keenan 28 52

David 13 26

Talia 6 17

Xiang 19 50

Maurice 12 95

a) ¿Cuántos lanzamientos más con la palma hacia abajo hizo Maurice que Talia?

b) ¿Las personas lanzan mejores tiros con la palma hacia abajo o con la palma hacia arriba? Explica.

c) ¿Quién metió el mayor número de canastas en total?

Nombre_________________________________ Fecha___________________________

Fiesta de ponche

Los estudiantes de quinto grado en la escuela primaria Mark trajeron la siguiente lista de bebidas para

hacer ponche para una fiesta.

Jugo de piña: 1.36L

Jugo de naranja Minute Maid: 0.95L Jugo de toronja: 1.89L Jugo de uva: 1.5L Jugo de naranja Tropicana: 2.84L Sprite: 0.75L Gatorade: 0.95L Jugo de arándano rojo: 1.14L Jugo de manzana: 1.36L

¿Cuál es la menor cantidad de ponche que puedes hacer al mezclar 3 de las bebidas?

Muestra tu estrategia de solución abajo.

¿Cuál es la mayor cantidad de ponche que puedes hacer al mezclar 2 de las bebidas?

Muestra tu estrategia de solución abajo.



Nombre _______________________________ Fecha ___________________________

Colecciones

1. Esteban tiene 60 camionetas de juguete. 15 usan baterías. ¿Qué fracción de las camionetas usan

baterías? Muestra tus pasos de razonamiento:

2. Fabio tiene 80 animales de plástico. 16 son lagartijas. ¿Qué fracción son las lagartijas? Muestra tus

pasos de razonamiento:

3. Gaspar tiene 24 estampillas en su colección. 6 son de Canadá y el resto son de España. ¿Qué fracción

corresponde a la de España? Muestra tus pasos de razonamiento:

4. Herminie compró uvas como merienda. 53 eran verdes y el resto eran negras. Si ella compró 150

uvas, aproximadamente ¿qué fracción eran negras? Muestra tus pasos de razonamiento:


Nombre _____________________________ Fecha__________________________

Diversión con frutas

Problema Estimación Respuesta

Treinta y tres granadas con 210 semillas en cada una. ¿Cuántas semillas son en total?

Dieciséis naranjas con 12 gajos en cada una. ¿Cuantos gajos son en total?

Veinticinco racimos de plátanos con 12 en un racimo. ¿Cuántos plátanos son en total?

Tres árboles con 128 naranjas japonesas en cada uno. ¿Cuántas naranjas japonesas hay en total?

Quince limones para 1 tarta de limón. ¿Cuántos limones para 5 tartas?

Dieciocho matas de piña. Seis piñas en cada mata. ¿Cuántas son en total?


Cuento de matemáticas. Una caminata de piedras.

Nombre_________________________________ Fecha___________________________

Lee este problema matemático hasta el final. Después crea un plan para resolverlo.

Un día decidí tomar una caminata. Mientras me dirigía afuera de la casa, tomé una bolsa de papel.

Comencé a recolectar piedras para mi colección de piedras. Ya había caminado 824 pasos y por cada dos

pasos recolecté 3 piedras.

Ya me estaba cansando y me detuve para ver mis piedras. Las clasifiqué en grupos de piedras brillantes,

opacas, lisas y ásperas. Cada grupo tuvo el mismo número de piedras cuando terminé. Dejé las piedras

opacas y continué mi camino.

Caminé por 49 minutos. Mi bolsa se estaba volviendo pesada, así que por cada 7 minutos que había

caminado saqué una piedra de mi bolsa y la tiré.

Me di la vuelta y me dirigí a casa. Cuando regresé a casa saqué mis piedras en la terraza. Perdí una

cuarta parte de mis piedras a través de las grietas de la terraza.

Mi amigo vino y trajo sus piedras. El tenía la mitad de la cantidad que yo tenía, pero las pusimos todas

juntas y compartimos.

Decidimos poner las piedras en montones de brillantes, opacas, ásperas, lisas y fuera de lo común.

Tuvimos el mismo número de piedras en cada montón.

Mi amigo se llevó a casa las piedras brillantes, opacas y ásperas. Yo puse las piedras lisas y fuera de lo

común en mi bolsa. Cuando entré con las piedras a casa mi mamá me preguntó, “¿Cuántas piedras tienes

en tu bolsa?”

¿Cuántas tengo? _________________

¿Qué harías para resolver este problema?

¿Actuarías la solución?_____

¿Dibujarías la solución?_____

¿Representarías el problema con oraciones numéricas? _____

¿De qué manera comprobarías que tu respuesta es correcta?

¿Harías un dibujo? _____

¿Usarías símbolos matemáticos?_____

¿Explicarías las oraciones numéricas por escrito?_____

Ahora resuelve el problema y lleva la cuenta en tu hoja de respuestas a medida que avanzas.


Escribiendo un cuento de matemáticas

Ahora escribe tu propio cuento de matemáticas acerca de una colección. Necesitará tener

aproximadamente 7 eventos. Cada evento debe estar conectado con el evento anterior. El cuento debe

utilizar la unión (suma) o combinación, la separación (resta), formar grupos y partes fraccionales. Hazlo

difícil pero no tan difícil, similar al cuento A Una caminata de piedras. Resuelve tu cuento de

matemáticas dos veces para asegurarte que tenga una solución con un número entero (a menos que

algunas piedras se rompan en partes). Cuando termines con tu primer borrador necesitarás un editor.

Le voy a pedir a ________________ que edite mi cuento. Por último, dale un título a tu cuento.

Mi cuento se tratará acerca de recolectar: _____________________________

Lista de revisión para la edición:

Mi historia tiene: Yo Revisión del editor

aproximadamente 7 eventos

unión (suma) o combinación

separación (resta)

formar grupos

partes fraccionales

un título

ortografía y puntuación correcta

una pregunta matemática al final del cuento

una solución

Cuento de matemáticas escrito por ____________________________________________ El título de mi cuento es:________________________________________________________ La respuesta a la pregunta matemática en mi cuento es: ____________________________________


Problemas de razón y proporción

Parte 1

Intenta resolver cada uno de los siguientes problemas en diversas maneras. Enfócate en el

razonamiento para resolver cada problema.

1. Tienes una fiesta y ordenaste pizza para compartir con todos. Hay 12 personas en la fiesta y tú

ordenaste 4 pizzas. Tres personas más se unen a la fiesta. ¿Qué tanto menos de pizza le toca a cada

persona de lo que originalmente habías planeado, si las personas extras quieren compartir en partes

iguales?

2. Julia utilizó exactamente 15 latas de pintura para 18 sillas. ¿Cuántas sillas puede pintar con 25 latas

de pintura?

3. El comité del parque Mayville quiere construir nuevos parques. Descubrieron que 15 robles les dan

sombra a 21 mesas de picnic cuando construyeron el parque en la calle Raymond. En la calle Charles

harán un parque más grande y tienen las posibilidades de comprar 91 mesas de picnic. ¿Cuántos

robles deben sembrar para darles sombra a todas las mesas nuevas?

4. Jayda y Manuel están haciendo limonada. Jayda utilizó 10 tazas de limón y 5 cucharaditas de azúcar.

Manuel utilizó 7 tazas de limón y 3 cucharaditas de azúcar. ¿Qué limonada saldrá más dulce o sabrán

ambas igual? ¿De qué manera puede Jayda ajustar su receta para que sepa igual a la limonada de

Manuel?

5. Tu escuela está haciendo una rifa para recaudar fondos. Carolina compró 15 boletos. Se vendieron

en total 88 boletos. En otra rifa para el equipo de básquetbol, Sandy compró 12 de un total de 62

boletos. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué? ¿Qué te indica la probabilidad? ¿Qué

significa?

6. Cuando Mariana tenía 12 años, sembró un árbol de arce de 3 pies de altura en su jardín delantero. A

mediados del verano daba una sombra de 15 pulgadas de largo. Ahora el árbol da una sombra de 45

pulgadas de largo. ¿Qué tan alto es el árbol ahora? Si el árbol ha crecido a un ritmo constante desde

que Mariana lo plantó y ahora ella tiene 15 años de edad, ¿cuánto ha crecido por año?

7. Un lago está sobre poblado de peces (hay 2400) y no hay suficiente comida para todos ellos. Para

disminuir la población, el departamento de recursos naturales atrapó a 400 peces en un día. Hay otro

lago, más pequeño que el primero con el mismo problema. Contiene 1800 peces. ¿Cuántos peces se

necesitan atrapar para reducir la población en la misma proporción que el lago grande?

Revisa estos siete problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus

estrategias de solución para cada uno de ellos - ¿Qué estrategias utilizaste? ¿Utilizaste las mismas

estrategias para todos los problemas?

Razón y proporción, parte 2

1. Aquí están el Sr. Bajo y el Sr. Alto. La altura del Sr. Bajo se midió con clips y midió 8 clips.

Cuando los medimos con cerillos, el Sr. Bajo midió 4 cerillos, pero el Sr. Alto midió 6 cerillos.

¿Cuántos clips se necesitan para medir al Sr. Alto?

2. Estos dos rectángulos tienen la misma forma, pero uno es más grande que el otro. Si se te diera la

altura del más pequeño, ¿cómo encontrarías la altura del rectángulo más grande?

3. Si 3 personas pagan $26.25 para ir al cine, ¿cuánto pagarían 8 personas?

4. Tanto el salón de la maestra Brown como de la maestra Hart tienen el mismo número de estudiantes.

En el salón de la maestra Brown, por cada tres niños hay cinco niñas. En la clase de la maestra Hart,

por cada niño hay tres niñas. ¿En qué clase esperarías ver más niñas? Explica tu respuesta.

5. Una receta hace sopa para ocho personas y requiere de 3 pintas de agua. Decides cambiar las

cantidades para hacer sopa para seis personas y le agregas 2 pintas de agua. ¿Tu sopa está más

espesa o más líquida que la receta original? ¿Por qué lo crees así?

6. La víbora Sam mide 4 pies de largo. Cuando crezca completamente, medirá 6 pies de largo. La víbora

Spot mide ahora 5 pies de largo pero cuando crezca completamente, medirá 7 pies de largo. ¿Qué

víbora está más cerca de crecer completamente?

7. Dos familias van conduciendo al parque acuático el Arca de Noé. Ambas familias salen al mismo

tiempo de la misma calle. El conductor del carro rojo maneja un promedio de 186 millas en 3 horas y

el conductor del carro azul maneja un promedio de 320 millas en 5 horas. Si cada carro maneja a un

ritmo constante durante todo el viaje, ¿quién llegará primero al parque?







Primer conjunto de problemas

a) A un estudiante le toma 3 horas resolver 9 problemas matemáticos. Si le toma el mismo tiempo

resolver cada problema. ¿Cuánto tiempo le tomaría resolver 18 problemas?

b) Un grupo de estudiantes está organizando una excursión y estiman que les tomará 5 horas para

caminar 7 km. ¿Cuánto tiempo les tomará a los estudiantes caminar 21 km? ¿Qué suposición

necesitas hacer para resolver este problema? ¿Son realistas esas suposiciones?

c) Sandy está planeando irse de mochilera al norte de Wisconsin este verano. Ella estima que en 8

horas podría cubrir 12 km. ¿Cuántas horas tiene que caminar si la caminata es de 42 km?

d) Lisa compró pasas cubiertas de chocolate para una fiesta de la clase. Dos libras de los dulces

costaron $3. ¿Cuántas libras de dulces compró Lisa por $17?

Segundo conjunto de problemas

a) En un programa para después de la escuela hay 5 niñas por cada 15 niños. ¿Cuántas niñas hay si hay

45 niños?

b) Al diseñar un programa para después de la escuela en la escuela Greenhill, hay 2 niños por cada 4

niñas. ¿Cuántos niños debe haber en el programa si hay 22 niñas?

c) Una constructora está construyendo nuevos apartamentos, los cuales serán apartamentos de dos

recámaras y tres recámaras. Se decidió que por cada 6 apartamentos de tres recámaras debería

haber 14 apartamentos de dos recámaras. ¿Cuántos apartamentos de tres recámaras se necesitan si

van a haber 35 apartamentos de dos recámaras?



estrategias para todos los problemas? ¿Fueron algunos más fáciles o más difíciles? ¿Por qué lo crees

así?


1. Una de las bebidas que se sirven en la cafetería de la escuela es el ponche de frutas. El

cocinero mezcla 5 latas de jugo de piña por cada 6 latas de jugo de naranja. ¿Cuántas latas

de jugo de piña se necesitan si el cocinero utiliza 19 latas de jugo de naranja?

2. Hay 25 estudiantes en tu clase, incluyéndote a ti. En tu cumpleaños tu mamá hizo 5 libras de

galletas para que las compartieran entre los estudiantes. ¿Cuánto le tocó a cada persona?

3. ¿Cuál tiene más niñas, la familia de cinco con dos niñas y tres niños o la familia de cuatro

con dos niñas y dos niños?

4. Aquí hay dos galletas con chispas de chocolate. ¿Como podrías decidir qué galleta está más

chocolatada sin probar las galletas?

5. Si 3 pizzas sirve a 9 personas, ¿cuántas pizzas se necesitarán para servir a 108 personas?

6. ¿Cuál es la mejor oferta? El jugo de naranja cuesta $1.70 por un paquete. El jugo de

manzana cuesta $1.10 pero el paquete es más pequeño que el jugo de naranja.

7. ¿Cuál es la mejor oferta, dos libras de manzanas por $4.26 o tres libras de manzanas por

$7.87?

8. Jill quiere comprar un reproductor de discos compactos que cuesta $210. Su mamá acordó

en pagar $5 por cada $2 que Jill ahorrara. ¿Cuánto contribuirá cada uno?

Revisa estos ocho problemas - ¿En qué se parecen o diferencian estos problemas? Compara tus




DIARIOS DE MATEMÁTICAS DIARIOS DE MATEMÁTICAS

Los diarios de matemáticas proporcionan un lugar de fácil acceso para que los estudiantes resuelvan

problemas. Los diarios de papel cuadriculado proporcionan una cuadrícula fácil de usar para modelar

problemas y mantener el trabajo organizado en una página. Además, los diarios proporcionan un registro

de trabajo y un lugar estupendo para que el estudiante y el maestro se comuniquen. Los diarios

(cuadernos) de matemáticas son más útiles cuando se establecen algunas normas para su uso. Los

siguientes dos ejemplos permiten tanto el uso de espacio independiente como un espacio más formal

para comunicarse con otros. Proporcione explicaciones simples sobre las maneras de utilizar el diario.

Los diarios de matemáticas proporcionan un lugar de fácil acceso para que los estudiantes resuelvan

problemas. Los diarios de papel cuadriculado proporcionan una cuadrícula fácil de usar para modelar

problemas y mantener el trabajo organizado en una página. Además, los diarios proporcionan un registro

de trabajo y un lugar estupendo para que el estudiante y el maestro se comuniquen. Los diarios

(cuadernos) de matemáticas son más útiles cuando se establecen algunas normas para su uso. Los

siguientes dos ejemplos permiten tanto el uso de espacio independiente como un espacio más formal

para comunicarse con otros. Proporcione explicaciones simples sobre las maneras de utilizar el diario.

Write as many addition problems whose answeretween 24 + 18 and 37 + 15 as possible. Try to o it without solving the problems first.

s are bd

Escribe la mayor cantidad de problemas de sumas posibles cuyas respuestas estén entre el 24 + 18 y el 37 + 15. Intenta hacerlo sin antes resolver los problemas.

23 + 18 25 + 18 28 + 18 26 + 18 29 + 18 27 + 18 30 + 18 31 + 18 32 + 18 33 + 18 34 + 18 37 + 14 37 + 13 keep going down

continúa hacia abajo

Entiendo cómo razonaste sobre este problema. Intenta encontrar 5 más con fracciones en los mismos. ¿Qué observas?

I saw a pattern and just kept adding one more to 27 until the ones 13 so it didn’t go past 37+15. The numbers could go down from 14. I didn’t try fractions.

Vi un patrón y simplemente continué sumando uno más a 24 hasta que las unidades llegar13 para que no se pasara de 37+15. Los números podrían ir

on al

hacia abajo comenzando desde el 14. No intenté las fracciones. desde el 14. No intenté las fracciones.


9/23/09

Razonamiento: estupendo uso de símbolos o palabras para ayudar a otros entender el razonamiento del estudiante.

Comentarios del maestro escritos en la página o en una nota adhesiva.

Experimentos: desordenado para el estudiante

Planteamiento del problema: estupendo para comunicarse con otros


Mom makes small apple tarts using three-fourths ofapple for each small tart. She has 20 apples.

an How many

n she make? small apple tarts ca

10/15/07

Strategy # 1

Strategy # 2

Mom can make 26 apple tarts with an apple leftover to snack on.

23 tartas

Estrategia:

Mamá hace tartas pequeñas de manzana utilizando tres cuartas partes de una manzana para cada tarta pequeña. Ella tiene 20 manzanas. ¿Cuántas tartas pequeñas de manzana puede hacer? Estrategia:

½ manzana

Conté 26 tartas

Problema: estupendo (para comunicarse con el maestro y los compañeros de clase). Los estudiantes piensan sobre el problema a medida que lo escriben, dividen el resto de la página en dos partes y etiquetan la estrategia 1 y la estrategia 2 en cada parte.

Estrategias: Resuelva en maneras que tengan sentido para el estudiante, para intentar nuevos métodos, comience con los números en el problema para ambas estrategias, si las respuestas no coinciden, pídales a los estudiantes que averigüen por qué o que lo intenten de una tercer manera, el hecho de que esté desordenado está bien siempre y cuando los estudiantes puedan escribir con limpieza cuando se les pida y puedan usar símbolos de manera apropiada.

manzanas por 2 tartas

3 manzanas por 4 tartas

6 manzanas por 8 tartas 12 manzanas por 16 tartas 18 manzanas por 24 tartas más 1 ½ manzanas para hacer 26 tartas con ½ manzana de sobra para comer!

Mamá puede hacer 26 tartas de manzana con una manzana de sobra para comer.

Escribe una oración que responda a la pregunta en el problema para asegurarte que ya has contestado el problema.

Caja de estimación: un número que muestre cual crees que será la respuesta aproximada, algunas veces te daré algunas opciones para pensar y agregar una etiqueta, verifica para ver que tan cerca estuviste después de haberlo resuelto.

¿Qué observas? *(plantilla para retroproyector)


¿Qué observas? Página de ejemplo

Sombree un grupo de

decenas y algunas

unidades.

Expóngalo como una

transparencia para el trabajo

numérico

¿Cuántos están sombreados en total? 36

10 + 10 + 10 + 5 + 1 20 + 15 + 1

(6 × 4) + (4 × 3) 12 + 4 + 20

4 + 4+ 4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 3 + 3 20 + 10 + 6

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 100 – 50 – 10 – 4

(7 × 5) + 1 100 - 64



Tablas numéricas de cien (Variaciones)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190

191 192 193 194 195 196 197 198 199 200


-99 -98 -97 -96 -95 -94 -93 -92 -91 -90

-89 -88 -87 -86 -85 -84 -83 -82 -81 -80

-79 -78 -77 -76 -75 -74 -73 -72 -71 -70

-69 -68 -67 -66 -65 -64 -63 -62 -61 -60

-59 -58 -57 -56 -55 -54 -53 -52 -51 -50

-49 -48 -47 -46 -45 -44 -43 -42 -41 -40

-39 -38 -37 -36 -35 -34 -33 -32 -31 -30

-29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 15

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20


0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2

0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3

0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5

0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6

0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7

0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8

0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.9

0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1

1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.2

1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3

1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4

1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.5

1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.7

1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.8

1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.9

1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2


Nombre_____________________________ Fecha_____________________________

Las matemáticas y yo (encuesta del estudiante)

Escribe sí (o S) en el espacio vacío si estás de acuerdo con la oración y no (o N) si no estás de acuerdo con la oración. Explica por qué sí estás de acuerdo o por qué no estás de acuerdo. 1. ________ Algunas personas son aptas para las matemáticas y algunas no. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2. ________ Siempre debes saber cómo contestar un problema. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. ________ Las matemáticas requieren de una buena memoria. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4. ________ Me gusta trabajar en matemáticas a solas. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5. ________ Las matemáticas siempre se hacen trabajando intensamente hasta que se resuelve el

problema. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

6. ________ Existe una manera ideal para resolver un problema ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

7. ________ Me gusta trabajar en matemáticas con otros. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

8. ________ Los matemáticos resuelven problemas rápidamente, en su mente. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

9. ________ Existe una llave mágica para resolver las matemáticas. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

10. ________ Tu imaginación te ayuda con las matemáticas. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

11. ________ Está bien contar con los dedos. ¿Por qué?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

12. ¿Cómo te sientes respecto a las matemáticas en este momento?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

13. ¿Cuál es tu tema favorito en las matemáticas?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

¡Gracias por escribir sobre las matemáticas y sobre ti!



Descriptores de las HABILIDADES (para la competencia en el idioma inglés)

© Estado de Wisconsin • 2006 ACCESS para estudiantes del idioma inglés (ELLs)™ Guía de interpretación para los informes de puntajes

Los descriptores de las HABILIDADES les ofrecen a los maestros y administradores que trabajan con estudiantes del

idioma inglés un rango de expectativas para el desempeño estudiantil dentro de un nivel de competencia en el

idioma inglés de los estándares WIDA de competencia en el idioma inglés.

Los descriptores de las HABILIDADES son de naturaleza amplia, enfocándose en las funciones del lenguaje

generalmente encontradas en el entorno escolar, en vez de habilidades del lenguaje relacionadas con temas

académicos específicos. Una característica distintiva de estos descriptores, aunque no se menciona explícitamente, es

la presencia de apoyo visual o gráfico para permitirles a los estudiantes del idioma inglés el acceso al idioma y

contenido que se requiere para tener éxito en la escuela. Dado el carácter amplio de estos descriptores y el hecho de

que no se distinguen por grupos de nivel de grado, los educadores necesitan tener en cuenta la variabilidad del

desarrollo cognitivo de los estudiantes, las diferencias de edades y nivel de grado, así como su diversidad de

experiencias educativas.

Los descriptores de las HABILIDADES son una extensión de las definiciones de desempeño para los estándares de

competencia en el idioma inglés. Los descriptores aplican a ACCESS para los puntajes de ELLs™ y pueden asistir a

los maestros y administradores en la interpretación de significado de los informes de puntajes. Además los

descriptores pueden ayudar a explicar las rúbricas de hablar y escribir asociadas con el examen de competencia en el

idioma inglés.

En sí los descriptores no son estrategias de enseñanza o de evaluación. Son ejemplos de lo que los estudiantes del

idioma inglés pueden hacer para demostrar comprensión al escuchar y leer, así como la producción en hablar y

escribir dentro del entorno escolar. A diferencia de las tendencias de los indicadores de desempeño del modelo, los

descriptores no facilitan la transición de un nivel de competencia del idioma inglés al siguiente, lo que significa que

no forman un área de desarrollo que abarca un tópico o tema en común. Más bien, cada nivel de competencia en el

idioma inglés debe ser visto como un conjunto de descriptores independientes.

Presentado en formato de matriz similar a los estándares de competencia del idioma inglés, los educadores deben

tener la facilidad de examinar los descriptores a lo largo de las áreas del idioma para los cinco niveles de

competencia en el idioma inglés. El nivel 6 de competencia en el idioma inglés, Alcanzando, está reservado para

aquellos estudiantes que ya han alcanzado una equivalencia con sus compañeros que son competentes en el inglés.

En su mayor parte, los descriptores provienen del marco de referencia de los estándares de competencia en el

idioma inglés para una evaluación de amplia escala que sirve de anclaje para el examen de competencia en el idioma

inglés. Se exhorta a los maestros a suplementar estos puntos importantes con otros adicionales del marco de

referencia para la instrucción y evaluación del salón de clases. De esta manera, los educadores tendrán un

complemento total de lo que los estudiantes del idioma inglés tienen HABILIDAD a medida que avanzan en la

adquisición continua de un segundo idioma.

Los estándares de WIDA de competencia en el idioma inglés para los estudiantes del idioma inglés en los grados

Kinder a 12.o (2004) se pueden encontrar en la página web del Consorcio WIDA (www.wida.us).

ApéndiTraduc

Language Domain Level 1-Entering Level 2-Beginning Level 3- Developing Level 4-Expanding Level 5-Bridging

Listening • Point to stated pictures, words, phrases

• Follow one-step oral directions

• Match oral statements to objects, figures, or illustrations

• Sort pictures, objects according to oral instructions

• Follow two-step oral directions

• Match information from oral descriptions to objects, illustrations

• Locate, select, order information from oral descriptions

• Follow multi-step oral directions

• Categorize or sequence oral information using pictures, objects

• Compare and contrast functions, relationships from oral information

• Analyze and apply oral information

• Identify cause and effect from oral discourse

• Draw conclusions from oral information

• Construct models based on oral discourse

• Make connections from oral discourse

Speaking • Name objects, people, pictures

• Answer wh- questions

• Ask wh- questions • Describe pictures,

events, objects, people

• Restate facts

• Formulate hypotheses, make predictions

• Describe processes, procedures

• Re/ tell stories or events

• Discuss stories, issues, concepts

• Give speeches, oral reports

• Offer creative solutions to issues, problems

• Engage in debates • Explain phenomena,

give examples, and justify responses

• Express and defend points of view

Reading • Match icons and symbols to words, phrases, or environmental print

• Identify concepts about print and text features

• Locate and classify information

• Identify facts and explicit messages

• Select language patterns associated with facts

• Sequence pictures, events, processes

• Identify main ideas • Use context clues to

determine meaning of words

• Interpret information or data

• Find details that support main ideas

• Identify word families, figures of speech

• Conduct research to glean information from multiple sources

• Draw conclusions from explicit and implicit text

Writing • Label objects, pictures, diagrams

• Draw in response to oral directions

• Produce icons, symbols, words, phrases to convey messages

• Make lists • Produce drawings,

phrases, short sentences, notes

• Give information requested from oral or written directions

• Produce bare-bones expository or narrative texts

• Compare/ contrast information

• Describe events, people, processes, procedures

• Summarize information from graphics or notes

• Edit and revise writing • Create original ideas

or detailed responses

• Apply information to new contexts

• React to multiple genres and discourses

• Author multiple forms of writing

Level 6: Reaching

ce Página 30 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 ido por Rosy Einspahr

CAN DO descriptors for the levels of English Language Proficiency For the given level of English language proficiency level, English language learners can:


Glosario de matemáticas Conjetura– una declaración que ha sido propuesta como una afirmación verdadera. Los estudiantes de los grados intermedios hacen conjeturas sobre ideas matemáticas que son nuevas para ellos. P.ej. patrones, propiedades numéricas, operaciones con números pares y nones. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Fluidez para calcular – la habilidad para calcular de manera flexible, precisa y eficaz

La flexibilidad requiere del conocimiento de más de un método para resolver un tipo de problema en particular (dependiendo de la operación y del tamaño de la cifra numérica) para escoger la estrategia más apropiada para ese problema y verificar resultados.

La precisión depende del conocimiento de las operaciones aritméticas y las relaciones numéricas, verificar nuevamente y llevar un registro cuidadoso.

La eficacia requiere una estrategia que es fácil de llevar a cabo y hace uso de resultados intermedios o sub-productos para resolver un problema.

Geometría coordinada – el estudio de la geometría que utiliza un sistema coordinado como el plano coordinado (eje x-, y-). Justificación – el razonamiento que se encuentra detrás de una idea matemática o solución a un problema. Lenguaje con flechas – un método para registrar los pasos de un cálculo. La operación y el número están escritos arriba de una flecha para mostrar cada paso en la estrategia. Algunas veces se refiere como a un “tren de razonamiento.” El lenguaje con flechas se puede usar con cualquier operación o serie de operaciones. (Véase el capítulo 6: Representación) Magnitud – un estimado de tamaño o magnitud expresado como el diez elevado a cierta potencia. Esta es una de tantas definiciones. Máquina de funciones – una “máquina” imaginaria que cambia los números de acuerdo a una función. Las máquinas de funciones asignan cada valor de INGRESO y valor de SALIDA para determinada función. Las funciones de los grados intermedios incluyen todas las operaciones, los dobles, las mitades. (Véase el capítulo 7: Trabajo numérico) Oración numérica abierta – una ecuación que tiene una o más variables designadas por letras o un casillero. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Oración numérica de verdadero/falso – una ecuación (sin variables). Se utiliza para la inspección de ecuaciones. Los estudiantes determinan si la ecuación es verdadera o falsa y justifican su razonamiento. (Véase el capítulo 8: Inspección de ecuaciones) Propiedad asociativa – una operación es asociativa si se pueden agrupar números en cualquier forma sin cambiar el resultado. La suma y la multiplicación son asociativas con números enteros, decimales y fracciones. P.ej. (6+5)+3=6+(5+3), (2x6)x4=2x(6x4). Propiedad conmutativa – una operación es conmutativa si se puede cambiar el orden de los números involucrados sin cambiar el resultado. La suma y la multiplicación son conmutativas con números enteros, decimales y fracciones. La resta y la división no son conmutativas. 8+3=3+8, 4x6=6x4

Razonamiento aditivo – estrategias basadas en la suma y las propiedades de la suma.

Razonamiento multiplicativo – estrategias basadas en multiplicación y las propiedades de la multiplicación. Razonamiento proporcional – razonamiento utilizando relaciones multiplicativas entre números. Recta numérica vacía – una línea recta (sin marcas ni números) que se utiliza para demostrar una organización numérica lineal (de derecha a izquierda). Las marcas o los números se agregan a la recta para demostrar los pasos del cálculo (Véase el capítulo 6: Representación). Es útil para demostrar estrategias de cálculo o explorar relaciones numéricas como diferencia o números “entre” números consecutivos. Relaciones cuantitativas – relaciones numéricas. Sentido numérico – algunas características del sentido numérico incluyen el conteo súbito de cantidades pequeñas, notar patrones numéricos, contar, comparar números, descomponer/componer números, entender operaciones, organización numérica lineal, razonamiento relacional, razonamiento aditivo, razonamiento multiplicativo. Situaciones de parte-todo – un entorno de un problema donde un conjunto está compuesto de dos o más subconjuntos. P.ej. el conjunto es globos; los subconjuntos son verde, amarillo, rojo y azul. Transformaciones geométricas (isometrías) – Existen solamente cinco cambios geométricos que conservan la mayoría de las propiedades de una figura incluyendo el tamaño. Estos son los deslizamientos (traslaciones), vueltas (reflexiones), giros (rotaciones), ausencia de cambio (identidad), huellas (reflexión de deslizamiento). Trazos de línea – una manera fácil de organizar los datos a lo largo de una recta numérica donde las X se escriben arriba del número para representar la frecuencia del valor de esa información. Unificar – la construcción de una unidad de referencia a partir de cierta relación de proporciones.


El aprendizaje de las matemáticas en los grados in Apéndice Página 33 Traducido por Rosy Einspahr

termedios (3.º- 5.º)

Números y operaciones

calculadoras

cubos

numéricos Geometría

flechas de valor

numérico Polígonos

transparentes (Power PolygonsTM)

dinero

sólidos

geométricos

bloques de valor

numérico

Geoblocks

Etiquetas para guardar materiales

cubos conectables

fichas cuadradas

Marcos

Polydron

bloques de patrón

espejos

pentominós

geoplanos

cubos de madera

tangramas

bloques de atributo


Medición

herramienta de medición

básculas cinta de

medir

reglas

sólidos geométricos (rellenables)

reglas para

medir ángulos compás



transportadores

yarda/metro

cubos de 1” y 1 cm

plantilla

geométrica

Recursos

profesionales

Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010 El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º)

Recursos profesionales Página 2 Distrito Escolar Metropolitano de Madison ©2007 Abril 2010

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El aprendizaje de las matemáticas en los grados intermedios (3.º- 5.º) Recursos profesionales Página 3

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