Transcript
1
PENGETAHUAN DASAR MATEMATIKA
1.1 PENDAHULUAN
Banyak model dan permasalahan ilmu ekonomi yang dinyatakan dengan
bahasa matematika dan dianalisis dengan tekni matematika. Perhitungan
aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis kuantitatif dengan
matematika. Mengingat matematika merupakan ilmu yang lebih mudah
dipelajari dengan menggunakan contoh, maka dalam buku ini terdapat
contoh-contoh yang harus dikerjakan untuk memastikan bahwa ketrampilan
penggunaan alat aalisis dengan matematika sudah terkuasai.
1.2 BILANGAN RIIL
Terdapat 4 garis A dengan skala sebagai berikut :
a.
Nilai a merupakan bilangan riil yang ditentukan dengan skala yang dibuat
b.
Karena a berada di sebelah kiri b, maka dapat dinyatakan sebagai a < b. Jika nilai yang sebenarnya tidak hanya satu titik, maka bisa dinyatakan sebagai a < b jika a < b atau a = b
c.
0,1, 2, a, b, ... disebut sebagai bilangan natural
d.
Bila a dinyatakan negatif, maka a < 0 (bukan a > 0 atau a > 0). Jadi nilai - s/d disebut sebagai poros bilangan riil. (Nilai -2, -1, 0, ... disebut nilai bilangan integer (bilangan bulat)
Bab 1
2
Untuk lebih jelasnya, dibawah ini adalah diagram bilangan riil :
1.2.1Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk memudahkan pemahaman, dirumuskan aturan sebagai berikut :
1. a + ( -b ) = a – b
2. a + ( +b ) = a + b
3. a - ( +b ) = a – b
4. a - ( -b ) = a + b
Dengan demikian bilangan bisa berubah tanda karena ada tanda di
depannya seperti tanda positif atau negatif di depan bilangan x sebagai
berikut :
1. + (+x) = x
2. + (-x) = -x
3. - (+x) = -x
4. - (-x) = x
1.2.2Operasi Bilangan Perkalian dan Pembagian
Abstraksi perkalian :
1. a x ( -b ) = - ( a x b ) = - ab
2. ( -a ) x b = - ( a x b ) = - ab
BILANGAN RIIL
RASIONAL IRASIONAL
ALJABAR TRANSENDENTAL
Gambar 1. Diagram Bilangan Riil
3
3. ( -a ) x ( -b ) = a x b = ab
Abstraksi pembagian :
1.2.3Hasil Akhir Urut-urutan Perhitungan
Urutan prioritas perhitungan :
1. Perhitungan dalam kurung ( ... ), kemudian { ... }, kemudian [ ... ]
2. Pangkat atau akar
3. Perkalian dan pembagian (terdepan didahulukan)
4. Penjumlahan dan pengurangan (terdepan didahulukan)
1.3 BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah suatu jumlah nilai utuh yang dibagi menjadi
beberapa bagian. Bila a adalah bilangan utuh dan b adalah pembagi maka
dapat dirumuskan menjadi a b
. Nilai b tidak boleh nol ( b 0 ). a disebut
sebagai pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denumerator).
Contoh : 2736= 3 x 9
3x 12= 9
12=3 x3
3 x4=3
4
Operasi perkalian :
Untuk pembagian, berlaku :
1.4 BILANGAN DESIMAL
Karena bilangan pecahan tidak semua bisa ditampilkan dengan baik
dalam bentuk desimal, maka perlu ada kesepakatan penulisan dengan
format desimal digit berapa.
ab=a x1
b
abx
cd=a x c
b x d=ac
bd
ab
:cd=a
bx
dc=a xd
b x c=ac
bd
4
Misal satu digit seperti 0,2, 0,5, 0,4, dan seterusnya . Dua digit seperti
0,45, 0,32, 0,86, dan seterusnya.
Hasil dari pembatasan penulisa tersebut kadang kala membuat nilai
bilangan pecahan berbeda dengan yang semestinya. Misal 13 , kemudian
format dua digit menjadi 0,33, padahal bisa menjadi 0,3333 ... dan
seterusnya.
1.5 PANGKAT DAN EKSPONEN
Bila diketahui x sebagai variabel angka dan n sebagai bilangan integer
positif, maka hasil kali x sebanyak n kali disebut sebagai operasi pangkat
atau eksponen (Power and Indices). Contoh : a5 = a x a x a x a x a
Aturan untuk pangkat dan eksponen :
1. an x am = an + m
2. an : am = an – m
3. an am=anm
4.1
an=a−n
5. (an )m=an .m
6. anm=
m√an
7. (anbn )m
=anm b−nm
1.6 PENYEDERHANAAN PENULISAN BILANGAN SECARA ALJABAR
Suatu penulisan bilangan dibuat terminologi sebagai 7x3, dimana x
disebut sebagai variabel dan 7 sebagai koefisien dari x3.
1.6.1Perkalian dan Pembagian Variabel dalam Kurung
Bentuk umum perkalian :
1. a ( b + c ) = ab + ac
5
2. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
1.6.2Faktorisasi
Tujuan dari faktorisasi adalah untuk membuat persamaan yang sudah
ada dikembalikan menjadi persamaan perkalian dalam kurung yang
berdekatan dengan variabel tertentu.
Ada dua teknik penyelesaian, yaitu :
1. Teknik penyelesaian sederhana
Contoh : ax + ac = a ( x + c )
2. Teknik penyelesaian dua variabel bilangan dalam kurung
Contoh : a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b )
1.7 PERSAMAAN ALJABAR
Persamaan aljabar adalah suatu persamaan yang berisi satu atau lebih
nilai bilangan yang tak dikenal. Secara umum nilai bilangan yang tidak
dikenal diwakili oleh huruf-huruf x, y dan z.
Contoh : x + 2 = 5
Terdapat beberapa macam persamaan aljabar :
1. Persamaan Pembagian
Contoh : x4=12 => x = 12 . 4
x = 48
2. Persamaan Akar
Contoh : √ x=5 => x = 52
x = 25
3. Persamaan Logaritma / Pangkat
a. Pengubahan logaritma menjadi persamaan pangkat
Contoh : 2log (x) = 2 => x = 22
6
x = 4
b. Pengubahan pangkat menjadi persamaan logaritma
Contoh : 2x=8 => x = 2log8 => x = 3
PERSAMAAN LINIER
2.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum persamaan linier :
1. Hubungan antara dua variabel
y = ax + b
atau ditulis sebagai :
f(x) = ax + b
dimana :
y = variabel dependen
x = variabel independen
a = koefisien x
b = konstanta
2. Hubungan antara tiga variabel
z = ax + by + c atau z(x, y) = ax + by + c
dimana :
z = variabel dependen
x = variabel independen
a = koefisien x
b = koefisien y
c = konstanta
Macam persamaan ditinjau dari perbedaan hubungan yang dilihat dari
tanda :
Bab 2
7
1. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x positif
Contoh : y = 3x + 5
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35
Gambar 1. Hubungan Positif
2. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x negatif
Contoh : y = -2x + 5
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 4 2 0 -2 -4 -6 -8-
10-
12-
14-
16
Gambar 2. Hubungan Negatif
3. Hubungan z dengan x positif dan hubungan z dengan y negatif
Contoh : z = 2x – 3y
8
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
z -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9-
10-
11-
12-
13
Gambar 3. Hubungan Tiga Dimensi
2.2 GRAFIK LINIER MODEL EKONOMI DAN KEUANGAN
Hubungan antar variabel ekonomi, supaya lebih mudah dipahami, dibuat
sederhana, yakni menjadi bentuk hubungan linier yang kemudian digambar
sebagai grafik atau kurva.
Bentuk hubungan linier kasus ekonomi mikro :
1. Kurva Biaya Linier
adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara output (barang/jasa
yang
diproduksi) dengan biaya
Rumus : TC = FC + VC
Dimana :
TC = Total Cost (Biaya Total)
FC = Fixed Cost (Biaya Tetap = konstanta)
VC= Variable Cost (Biaya Variabel = fungsi Q ; ditulis VC = f(Q) )
Sehingga persamaan liniernya menjadi :
TC = aQ = b
9
2. Kurva Revenue Linier
adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara Revenue (R) dengan
Output (Q)
Rumus : R= Harga x Q
Karena harga pada persaingan sempurna bersifat konstan (harga/unit Q
= a), maka R = f(Q)
menjadi
R = aQ
3. Kurva Total Produksi Linier
adalah Kurva yang menunjukkan hubungan satu input dengan output
Rumus : Q = f(L)
Dimana :
Q = output
L = input kerja
4. Kurva Permintaan Linier
Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara harga (P) dengan
jumlah barang yang diminta (Q)
Rumus : Q = f(P)
Persamaan Linier : Q = aP + b(nilai a < 0)
5. Kurva Penawaran Linier
Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara harga (P) dengan
jumlah barang yang ditawarkan (Q)
Rumus : Q = f(P)
Persamaan Linier : Q = aP + b(nilai a > 0)
6. Kurva Anggaran Belanja
10
Adalah Persamaan linier garis anggaran belanja (B) untuk konsumsi dua
macam barang X dan Y
Rumus : B = PxX + PyY
Bentuk hubungan linier kasus ekonomi makro :
1. Kurva Konsumsi Tanpa Pajak Linier
Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan
pendapatan ( Y)
Rumus : C = f(Y)
Persamaan Linier : C = a + bY
Dimana :
a = konstanta
b = Marginal Propensity to Consume (MPC). Nilai b adalah 0 < b < 1
2. Kurva Pajak Linier
Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara pajak ( P ) dengan
pendapatan ( Y )
Rumus : T = f(Y)
Persamaan Linier : T= tY ( nilai t : 0 < t < 1)
3. Kurva Konsumsi Karena Ada Pajak Linier
Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan
pendapatan disposable
Rumus : C = f( Yd )
Yd = Y – T
Karena T = tY, maka Persamaan Linier :
C = a + bY – bt(Y)
Bentuk hubungan linier kasus ekonomi keuangan :
1. Hubungan antara jumlah uang beredar (M) dengan uang inti (H)
Rumus : M = f(H)
11
Persamaan Linier : M = mH
2. Hubungan antara tingkat bunga (r) dengan investasi (I)
Rumus : I = f(r)
Persamaan Linier : I = a - br
3. Hubungan antara pendapatan (Y) dengan permintaan uang (Md)
Rumus : Md = f(Y)
Persamaan Linier : Md = kY
4. Perhitungan nilai yang akan datang dengan bunga sederhana
Persamaan linier : FV = PV ( 1 + in )
Dimana :
FV = future value
PV = present value
i = tingkat bunga per periode
n = periode perhitungan
2.2.1Grafik Biaya Produksi
Contoh persamaan aljabar : TC = 10 + 2Q
Jika : FC = 10 Q = 0 sampai 5, dan VC = 2Q, maka TC dapat dihitung :
Q FC VC TC0 10 0 101 10 2 122 10 4 143 10 6 16Q FC VC TC4 10 8 185 10 10 20
12
2.2.2Grafik Total Revenue
Contoh persamaan linier : TR = 5Q
Jika Q = 0 sampai 5, maka TR dapat dihitung :
Q Harga (Q) TR0 5 01 5 52 5 103 5 154 5 205 5 25
FC = 10
TC = 2Q + 10
VC = 2Q
Q
TC / VC / FC
Gambar 4. Kurva Biaya Produksi
TR
TR = 5Q
Q
Gambar 5. Kurva Total Revenue
13
2.2.3Grafik Kurva Permintaan
Sesuai ketentuan, sumbu vertikal adalah Q ( satuan unit) dan sumbu
vertikal adalah P (harga per unit dalam satuan moneter).
Contoh persamaannya adalah Q = 10 – 2P . Jika nilai P dari 0 sampai 5,
maka :
P Q0 101 82 63 44 25 0
2.2.4Grafik Kurva Penawaran
Contoh persamaan linier fungsi penawaran Q = 4P – 2. Bila diketahui
besarnya harga (P) diantara nilai 0 sampai 5, maka dapat disusun tabel
berikut :
P Q0 -21 22 6
Q
Gambar 6. Kurva Permintaan
Q
P
Q = 10 – 2P
14
3 104 125 18
2.2.5Grafik Anggaran Belanja (Budget Line )
Garis anggaran dibuat untuk analisa optimalisasi konsumsi terbatas
pada dua komoditas yang disebut sebagai konstrain atau kendala atau
batasan. Persamaan liniernya muncul dengan pernyataan sebagai berikut :
Konsumen memiliki anggaran sebesar 60 yang digunakan untuk
belanja barang X dan Y yang masing-masing harganya Px = 3 dan Py = 2.
Pernyataan tersebut dirumuskan dalam hubungan linier : 60 = 3X + 2Y.
Persamaan ini bukan berupa fungsi. Untuk menggambar dalam grafik maka
persamaan tersebut diubah dalam bentuk fungsi, misal Y = f(X) atau X =
f(Y).
Sebelum digambar, persamaan diubah menjadi Y = f(X), sehingga
menjadi Y = 30 – 1,5X. Untuk itu dibuat tabel perhitungan dengan nilai
X antara 0 sampai 20 :
X Y0 304 248 18
12 1216 60 0
Q
p
Gambar 7. Kurva Penawaran
15
2.2.6Grafik Konsumsi
Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan adalah hubungan linier.
Contoh persamaan yang paling sederhana adalah C = 12 + 0,8 Y. Bila
dimisalkan Y bernilai antara 0 sampai 100, maka dapat disusun tabel
konsumsi sebagai berikut :
Y C0 12
20 2840 4460 6080 76
100 92
X
Y
Y = 30 – 1,5 X
X
C
C = 12 + 0,8 Y Y = C (garis
keseimbangan)
Gambar 8. Garis Anggaran Y = 30 – 1,5 X
Gambar 9. Fungsi Konsumsi C = 12 + 0,8 Y
16
2.2.7Grafik Pajak
Hubungan linier pajak dengan pendapatan adalah hubungan linier yang
paling sederhana. Contoh persamaannya adalah T = 0,1 Y . Bila dimisalkan Y
sebesar 0 sampai 100, maka hasilnya dapat disusun dalam tabel pajak
berikut :
Y T0 0
20 240 460 680 8
100 10
2.2.8Grafik Konsumsi Setelah Ada Pajak
Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan disposible (Yd) adalah
hubungan linier antara konsumsi dengan pendapatan yang sudah
disesuaikan dengan adanya pajak. Contoh persamaannya adalah C = 12 +
0,8 Yd dan T = 0,1 Y, sehingga disesuaikan menjadi C = 12 + 0,72 Y. Bila
dimisalkan Y sebesar 0 sampai 100, sehingga dapat disusun tabel konsumsi
sebelum dan sesudah pajak sebagai berikut :
YC sebelum
pajak PajakC setelah
pajak0 12 0 12
20 28 2 26,440 44 4 40,8
Gambar 10. Kurva Pajak
Pendapatan
Pajak
17
60 60 6 55,280 76 8 69,6
2.2.9Gambar Tanda Koefisien Positif dan Negatif
Tanda koefisien perlu diperhatikan , karena bila koefisien positif, maka
arah garis selalu dari kiri bawah naik ke kanan atas. Sedangkan bila koefisien
negatif, maka arah garis dari kiri atas ke kanan bawah.
Gambar 12 menggambarkan koefisien negtif dari -1000 sampai -0,001.
Bila koefisien mendekat 0 maka garis cenderung tampak sejajar dengan
sumbu horizontal dan bila koefisien membesar secara negatif maka garis
cenderung seajajar dengan sumbu vertikal (Gambar 13).
Pendapatan
Konsumsi dan Pajak
Pajak
Konsumsi setelah Pajak
Konsumsi sebelum Pajak
Keseimbangan
Gambar 11. Kurva Konsumsi Setelah Pajak
X
Y
Y = 3 X - 1000
Y = 0,5 X + 250
Y = 0,001 X + 500
Gambar 12. Koefisien Positif
18
2.3 SISTEM DUA PERSAMAAN
Dua persamaan digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ingin
mengetahui harga dan kuantitas keseimbangan di pasar. Padahal
keseimbangan di pasar akan terjadi bila permintaan berinteraksi dengan
penawaran sampai pada posisi permintaan sama dengan penawaran.
Misalnya, diketahui dua persamaan linier sebagai y = 5x + 6 dan y =
20 – 2x. Untuk mengetahui berapa x dan y keseimbangan (koordinasi titik
potong) digunakan sistem dua persamaan
2.3.1Solusi Keseimbangan Pasar
Salah satu bidang teori ekonomi adalah ekonomi mikro. Di dalamnya
terdapat analisa pasar. Dalam analisa pasar terdapat perhitungan harga dan
kuantitas keseimbangan.
Salah satu kasus yang terjadi adalah, fungsi linier permintaan Qd = -4P
+ 240 dan fungsi linier penawaran Qx = 5P - 30. Untuk mengetahui berapa
harga dan kuantitas keseimbangan digunakan solusi keseimbangan pasar
dimana bentuk hubungan tersebut bila diaggap linier maka secara matematis
dapat dirumuskan sebagai berikut :
Q = aP + b
X
Y Y = 2000 – 3X
Y = 750 – 0,5 X
Y = 1000 - X
Gambar 13. Koefisien Negatif
19
Dimana :
Q = output dalam satuan unit ( R+ )
P = harga dalam satuan moneter ( R+ )
a = koefisien P ( R )
b = konstanta ( R )
R+ = bilangan riil positif
R = bilangan riil
Bila Q = aP + b sebagai hubungan linier fungsi permintaan maka a
merupakan bilangan riil negatif ( R- ). Bila Q = aP + b sebagai hubungan
linier fungsi penawaran maka a merupakan bilangan riil positif ( R+ ). Hal ini
berlaku untuk kasus barang normal.
2.3.2Solusi Keseimbangan Pasar Karena Ada Pajak
Contoh kasus 2.3.1 bila dikembangkan menjadi permasalahan 2.3.2,
yakni keseimbangan pasar karena adaya pajak. Pajak adalah beban yag
ditanggung oleh masyarakat karena pemerintah ingin mendapat perolehan
dari transaksi jual beli di pasar. Contohnya adalah pajak penjualan. Pengaruh
yang terjadi terhadap pasar adalah berubahnya fungsi penawaran.
Contohnya fungsi permintaan Qd = -P + 125 dan fungs penawaran Qs
= 23 P – 10. Pemerintah menetapkan pajak penjualan sebesar 30/unit. Berapa
besar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah adanya pajak?
2.3.3Solusi Keseimbangan Pasar Dua Komoditas
Keseimbangan pasar dua komoditas merupaka pengembangan analisa
keseimbangan suatu komoditas. Analisa akan diselesaikan dengan persoalan
yang terjadi bila pasar yang dihadapi perusahaan akan memproduksi dua
macam barang, yakni Q1 dan Q2. Harganya juga menjadi P1 dan P2.
Contoh kasus :
Permintaan dan penawaran dua komoditas :
Qd1 = 145 – 2P1 + P2
20
Qs1 = -45 + P1
Qd2 = 30 + P1 - 2P2
Qs2 = -40 + 5P2
Berapa keseimbangan kuantitas dan harga dua macam barang tersebut ?
2.3.4Solusi Keseimbangan GDP
GDP atau Gross National Product adalah analisa di bidang ekonomi
makro yang dipopulerkan oleh JM. Keynes. Pembahasan model persamaan
bisa dibuat menjadi beberapa kelompok :
1. Perekonomian Sederhana
Model Persamaan : Y = C + I
C = a + b Y
I = I0
2. Perekonomian Tertutup
Model Persamaan : Y = C + I + G
C = a + b Yd
T = t Y
I = I0
G = G0
Contoh Kurva Perekonomian Tertutup :
2.3.1Solusi BEPGambar 14. Perekonomian Tertutup
Y
C, I, G
C
I
G
21
BEP atau Break Event Point adalah analisa ekonomi yang
menggambarkan kegiatan usaha pada posisi biaya produksi sama besar
dengan revenue ( C = R ).
Contoh kasus : Untuk mendirikan perusahaan diperlukan biaya tetap
sebesar Rp 200.000,00. Bila kegiatan usaha dilakukan untuk memproduksi Q
sampai kapasitas penuh 1000 unit maka diperlukan biaya variabel sebesar
Rp 250,00/unit. Harga output per unit sebesar Rp 750,00. Hitung berapa
besarnya BEP ?
2.4 SISTEM TIGA PERSAMAAN
Persamaan yang terrdiri dari tiga variabel akan mencari 3 nilai bilangan
yang tidak dikenal, dengan syarat tersedia 3 persamaan. Contoh
permasalahanya :
Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang
berbeda, yaitu PA, PB, PC. Selama 3 bula dikumpulkan data tentang jumlah
dan hasil penjualan :
BULAN A B C Hasil Penjualan
(Rp)
Januari 25 62 54 2.765.000
Februari 28 42 58 2.695.000
Maret 45 53 56 3.124.000
Berapa harga rata-rata dari ketiga merk barang tersebut?
22
TUGAS MAHASISWA
1. Suatu barang jika dijual seharga Rp 5000 perbuah akan terjual sebanyak 3000
buah. Akan tetapi jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4000 per buah,
maka jumlah permintaan meningkat menjadi 6000 buah. Bagaimanakah fungsi
permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik cartesius
2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harga Rp 4000. Apabila
setiap kenaikan harga sebesar Rp 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran
mengalami peningkatan sebesar 250. Bagaimana fungsi penawarannya dan
gambarkan fungsi penawaran tersebut pada grafik cartesius?
3. Diketahui persamaan harga permintaan dan penawaran :
P + 2Qd = 144 dan 4P – 3Qs = 136
Carilah
a. Harga (P) dan (Q) keseimbangan
b. Gambarkan grafik dua persamaan tersebut
c. Bila pemerintah menentukan pajak Rp 5,0 per unit, berapa P dan Q setelah
ada pajak?
4. Permintaan dan penawaran komoditas celana panjang :
QdC = 410 - 5PC - 2PJ dan QSC = -60 + 3PC
Permintaan dan penawaran komoditas jaket :
QdJ = 295 – PC – 3PJ dan QSJ = -120 + 2PJ
Tentukan harga keseimbangan PC, PJ dan kuantitas keseimbangan QC dan QJ
5. Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang
berbeda PA, PB, dan PC. Selama 3 bulan data dikumpulkan dan hasilnya tampak
sebagai berikut :
Bulan A B C Hasil
Penjualan
23
1 25 52 55 2765000
2 30 40 62 2695000
3 26 35 54 3124000
Berapa harga rata-rata ketiga merk tersebut
PERSAMAAN KUADRAT
3.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum fungsi :
1. Fungsi satu variabel :
Rumus : y = f(x)
Contoh :
Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b
2. Fungsi dua variabel : y = f(x1, x2)
Rumus : y = (x1, x2)
Contoh :
Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c
3. Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b
4. Fungsi k variabel : y = f(x1, x2, ...,, xk)
Bentuk umum persamaan kuadrat :
y = ax2 + bx + c
atau ditulis sebagai :
f(x) = ax2 + bx + c
dimana :
a, b, dan c bilangan konstan ddan a 0
3.2 GRAFIK PERSAMAAN KUADRAT
Bab 3
24
Apabila nilai a > 0, bentuk gambarnya menjadi seperti huruf U. Sementara
bila a < 0, maka gambar garis menjadi
Contoh :
Diketahui f(x) = x2 – 5x – 6. Gambarkan fungsinya
Penyelesaian :
x y
-3 18-2 8-1 00 -61 -102 -12
3 -124 -105 -66 07 88 18
3.2 SOLUSI DUA PERSAMAAN VERSUS PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat masih merupakan persamaan tunggal
sebagai y = f(x). Tidak berbeda dengan persamaan linier, bila hanya satu
persamaan maka belum ada titik potong dengan kurva lainnya. Untuk
keperluan analisis maka nilai y dimisalkan sebagai nilai tertentu sehingga
akan terdapat perpotongan dengan persamaan kuadrat tersebut.
Contoh :
Diketahui y = x2 + x + 30 dan y = 3x + 15. Cari titik potong dua
persamaan tersebut?
Aturan dalam Persamaan Kuadrat :
x
y
25
1. Akar-akar x1 dan x2 dengan rumus abc : x1,2 =
−b ± √b2 − 4 ac2a atau
x1,2 =−b ± √D
2a
dimana D (diskriminan) = b2 – 4ac
2. Jika D > 0, maka Persamaan Kuadrat mempunyai dua akar real berlainan
( x1 ≠ x2 )
3. Jika D = 0, maka Persamaan Kuadrat mempunyai dua akar real kembar (
x1 = x2 )
4. Jika D < 0, maka Persamaan Kuadrat tidak mempunyai akar real
Contoh :
Carilah akar persamaan dari 3x2 - 9x + 5 = 0 dan gambarkan grafiknya
3.3 PENERAPAN DI BIDANG EKONOMI
Beberapa persoalan ekonomi yang terjadi :
1. Break Event Point (BEP)
2. Keuntungan maksimum dan kerugian minimum
3. Keseimbangan pasar
Contoh :
1. Diketahui R = 24Q – 2Q2 dan C = 18 + 4Q. Hitung BEP dan keuntungan
maksimum
2. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran :
P1 = Q2 + 12Q + 32 dan P2 = -Q2 - 4Q + 200. Hitung berapa besar
keseimbangan P dan Q dan gambarkan fungsinya
26
HUBUNGAN ANTAR VARIABEL
4.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum fungsi :
1. Fungsi satu variabel
Rumus : y = f(x)
Contoh :
Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b
2. Fungsi dua variabel
Rumus : y = (x1, x2)
Contoh :
Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c
3. Fungsi k variabel
Rumus : y = f(x1, x2, ...,, xk)
Contoh : y = ax4
4.2 FUNGSI SATU VARIABEL
Pada hubungan fungsi linier akan terjadi hubungan one to one. Pada
fungsi kuadratik akan terjadi hubungan many to one dan akhirnya bentuk
fungsi tersebut dirumuskan fungsi polinomial secara umum sebagai :
Bab 4
27
y=an . xn+an−1. x
(n−1)+an−2 . x(n−2)+…+a0
4.2.1 GRAFIK FUNGSI SATU VARIABEL
Hubungan satu variabel terdiri dari beberapa macam :
1. Monomial
2. Polynomial
X
Y X4
100X
X
X3
Y
100X + 1000
X3+X2+13X-100
X4-10X3+2X2+X
28
3. Pangkat Pecahan
4. Pangkat Negatif
X
Y
X12
X13
X14
X
Y
1
X2
1
X3
1
X4
29
5. Pangkat Pecahan
4.2.2 LIMIT
Untuk mengetahui bagaimana suatu fungsi cenderung pada suatu nilai
tertentu maka diperlukan alat hitung. Misalnya, ingin mengetahui bagaimana
rata-rata biaya produksi berkurang karena adanya peningkatan produksi.
Jawabannya adalah dengan menggunakan konsep perhitungan limit.
Rumus umum limit adalah :
limx → c
f ( x ) = L
berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-
fungsi yang mempunyai limit di c, maka :
1.limx → c
k = k
2.limx → c
x = c
X
Y
1
X14
1
X15
1
X13
6.limx→ c
[ f ( x ) . g ( x )] = limx→c
f (x ) . limx→ c
g (x )
7.
limx→ c
f ( x )g( x )
=limx→ c
f ( x )
limx→ c
g( x ),asal
limx→ c
g( x ) ≠ 0
8.limx→ c
[ f ( x )]n = [limx→c f (x )]n
9.limx→ c
n√ f ( x ) = n√ limx→c
f ( x ) asalkan
limx→ c
f ( x ) > 0
, bilamana n genap
30
3.limx→ c
kf ( x ) = k limx→ c
f ( x )
4.limx→ c
[ f ( x ) + g (x )] = limx→c
f ( x ) + limx→c
g( x )
5.limx→ c
[ f ( x ) − g( x )] = limx→c
f ( x )− limx→c
g ( x )
4.2 3. FUNGSI BERBANDING TERBALIK
Bentuk fungsi berbanding terbalik yang paling sederhana adalah :
f ( x )=1x dimana x > 0
Contoh :
Diketahui biaya tetap untuk produks barang Q adalah Rp 10 dan biaya
variabel Rp 4/unit. Tentukan persamaan total biayanya ( C ) dan biaya rata-
ratanya ( AC ), kemudian gambarkan grafiknya.
Penyelesaian :
C = FC + (AVC x Q) = 10 + 4Q
AC = CQ
= 10+4QQ
=10Q+4
y
x
f (x) = 1x
31
limQ→∞
( AC )= limQ→∞ ( 10
Q+4)=4
Hasilnya bila Q mendekati maka AC = 4. Nilai AC = 4 adalah nilai VC per
unit.
4.2.4 FUNGSI KEBALIKAN
Fungsi kebalikan digunakan dalam ekonomi agar analisis lebih mudah
dilakukan. Contoh yang sering terjadi adalah analisis pasar. Bila dalam teori
ekonomi Q = f(P), tetapi dalam menggambar grafik diubah menjadi P = f(Q)
Contoh :
Gambar fungsi permintaan Q = 32 – 2P
Penyelesaian :
Secara matematis fungsi tersebut adalah Q = f(P). Tetapi untuk menggambar
fungsi, maka kurva permintaan ditunjukkan oleh garis vertikal P, sehingga
seolah-olah P = f(Q), sehingga persamaan menjadi P = 16 – ½Q
Gambar :
x
y
32
4.2.5 FUNGSI EKSPONEN
Bentuk umum fungsi eksponan adalah y = ax. Kebalikan dari fungsi
eksponen adalah fungsi logaritma. Kedua fungsi ini dihubungkan dengan :
x = ay dihitung sebagai y = xlog a
Contoh :
Dalam masa resesi pendapatan perusahaan mengalami penurunan sebesar
10% per tahun. Keadaan tersebut dirumuskan dalam fungsi eksponen
sebagai berikut : R = 8e-0,1t dimana R adalah pendapatan/tahun, t adalah
periode tahun
Tentukan pendapatan R sampai tahun ke 2
Penyelesaian :
Pendapatan R berdasarkan fungsi R = f(t) adalah :
a. t= 0, maka R = 8e0 = 8
b. t= 1, maka R = 8e-0,1(1) = 8 x 0,9048 = 7,2384
c. t= 2, maka R = 8e-0,1(2) = 8 x 0,8187 = 6,5496
4.3 FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL
4.3.1 FUNGSI LOGARITMA
Bentuk y =a log f (x ) disebut fungsi logaritma dengan a bilangan pokok
(a> 0 dan a 1) serta f(x) disebut numerus dengan f(x) > 0
Contoh :
Diketahui fungsi cobb-douglass sebagai Q = A.K.L. Ubah fungsi tersebut
menjadi linier
4.3.2 FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLASS
Bentuk umum fungsi Cobb-Douglass :
Q (K, L) = A.K.L
Dimana :
33
A = konstanta (koefisen teknis)
, = konstanta (elastisitas atau derajat homogenitas)
Q = kuantitas output
K = kapital
L = labor
Contoh :
Diketahui fungsi produksi sebagai Q = K2 + 3KL, dimana fungsi tersebut
adalah homogen. Tentukan skala produksinya
34
5.1 PENDAHULUAN
Diferensial adalah ilmu matematika yang mempelajari pengaruh
perubahan suatu variabel terhadap variabel lain. Contoh di bidang ekonomi :
Konsumen ingin mengetahui pengaruh perubahan harga terhadap jumlah
barang yang akan dibeli
Produsen ingin mengetahui perubahan jumlah produksi karena adanya
tambahan tenaga kerja
Produsen ingin mengetahui kapan jumlah produksi mencapai posisi yang
memberikan keuntungan maksimum
Rumus umum untuk diferensial adalah :
∆Q=∆ P dQdP
Dimana :
Q = perubahan jumlah barang
P = perubahan harga
dQdP
= derivasi pertama jumlah barang terhadap barang
5.2 KAIDAH DIFERENSIAL
. ddx
( c ) = 0, c konstan
Bab 5 DIFERENSIAL
35
2.
ddx
(xn ) = n x n−1
Misal u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka :
3. f’(x) = U ± V f’(x) = U’ ± V’
4. f’(x) = U . V f’(x) = U’V + V’U
5. f’(x) =
UV f’(x) =
U ' V− V ' U
V 2
5.3 NILAI MARGINAL SUATU FUNGSI
Fungsi marginal di bidang ekonomi :
Fungsi Utama Fungsi MarginalContoh Fungsi
UtamaPerhitungan
Marginal
Revenue ( R ) Marginal Revenue (MR)
R = 2Q2 + 5Q MR = 4Q + S
Biaya ( C ) Marginal Cost ( MC )
C = 200 + 3Q2 MC = 6Q
Konsumsi ( C )Marginal Propensity To Consume
C = 50 + 0,8 Y MPC = 0,8
Produksi Marginal Physical Produk Tenaga
TP = 50 + 4L MPPL = 4
Utilitas Marginal Utilitas U = 2x2 + 5x MUx = 4x + 5
Utilitas Marginal Rate of Substitution
U = f(x1, x2, ..., xk) MRSx1,x2
Persentase Pajak Marginal Tax Rate T = 0,1 Y T = 10%
ImportMarginal Propensity To Import
M = 10 + 0,2Y m = 0,2
5.4 DERIVASI ORDE LANJUTAN
Turunan dari y = f(x) yaitu y’ =
dydx adalah turunan pertama dari y
terhadap x. Turunan pertama dari y mungkin juga dapat diturunkan (disebut
turunan kedua terhadap x) dan turunannya adalah :
36
y `````=`````` { { ital dy '} over { ital dx} } `````=`````` { {d} over { ital dx } } ` left ( { { ital dy} over { ital dx } } right )`````=```` { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital dx rSup { size 8{2} } } } } {¿Hingga, jika y mempunyai turunan-turunan yang dapat diturunkan, maka
disebut turunun ke-n dari y terhadap x, untuk n bilangan bulat positif :
5.5 MARGINAL REVENUE DAN MARGINAL COST
Penggabungan dua fungsi pada bagian sebelumnya dilakukan dengan
membuat persamaan R = C ( revenue = biaya ) sehingga diperoleh hasil BEP.
Bagian ini juga akan menggabungkan dua fungsi marginal, yaitu MR = MC
dan akan diperoleh hasil nilai posisi keuntungan maksimum atau kerugisn
minimum sama dengan verteks.
Kasus :
R = 24Q – 2Q2
C = 18 + 4Q
Hitung : a. MR
b. MC
c. Nilai Q pada saat BEP
d. Keuntungan
e. Grafik
5.6 MARGINAL PRODUCT
Marginal Product adalah hubungan variabel tingkat perubahan input
( contohnya tenaga kerja ( L ) ) dengan tingkat perubahan variabel output
( contohnya barang atau jasa ( Q ) ). Perhitungan marginal product berasal
dari fungsi produksi ( TP ).
y(n ) = ddx
( y(n−1) ) = ddx ( dn−1 y
dxn−1 ) = dn ydxn
37
Kasus :
1. Diketahui Q = f(L) = 8√L. Hitung MPL dan gambar grafiknya
2. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 120√L - 5L. Hitung MPL bila
diketahui L sebagai berikut : L = 1, L = 16, L = 100 dan L = 900
3. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 15L2 – 0,2L3. Kapa penggunaan L
menunjukkan hukum berlakunya MPL menurun?
5.7 MARGINAL PROPENSITY TO CONSUME
Marginal Propensity to Consume (MPC) adalah rate of change konsumsi
karena perubahan pendapatan. Besar kecilnya MPC pertama kali ditentukan
oleh fungsi konsumsi.
Rumus MPC :
MPC=dCdY
38
6.1 PENDAHULUAN
Istilah maksimum atau minimum yang sesuai dengan bidang ekonomi
yang dibahas pada bagian ini adalah besarnya variabel dependen pada saat
nilai variabel independen tertentu.
6.2 KARAKTERISTIK FUNGSI
Penerapan fungsi dalam bidang ekonomi terus berkembang, walau tidak
akan mendahului ilmu matematika seperti :
1. Fungsi Aljabar
a. Polinomial : y=an . xn+an−1 x
n−1+ ...+a0
b. Rasional : y=an . x
n+an−1 . xn−1+…+a0
am. xm−1+am−1 . x
m−1+…+a0
c. Irasional : y=√x2. Transendental
a. Eksponensial : y = ax ; y = ex
b. Logaritmik : y = ln x ; y = log x
c. Trigonometri dan kebalikannya
d. Hiperbolik dan kebalikannya
3. Composite (Gabungan)
6.2.1 Increasing dan Decreasing Function
Dengan menggunakan perhitungan nilai dari derivasi pertama maka
bisa diperoleh tanda increasing (naik) dan decreasing (turun) sebagai berikut
:
Bila nilai domain naik dan nilai domain positif berarti fungsi increasing
Bila nilai domain naik dan nilai domain negatif berarti fungsi decreasing
Bab 6 MAKSIMUM DAN MINIMUM
39
6.2.2 Fungsi Cembung dan Cekung
Fungsi y = f(x) disebut cembung bila kenaikan domain membentuk range
mula-mula naik kemudian turun
Fungsi y = f(x) disebut cekung bila kenaikan domain membentuk range
mula-mula turun kemudian naik
6.3 LETAK EKSTRIM
Nilai ekstrim adalah terjadinya peristiwa perubahan x sebagai domain
yang mengakibatkan terjadinya perubahan f(x) sebagai range berhenti
sejenak (stationary) kemudian berubah arah secara berlawanan. Jadi suatu
nilai x yang ada di sekitar kiri kanan tanda slope f(x) berubah dari positif ( + )
menjadi negatif ( - ) atau sebaliknya.
Letak nilai ekstrim tersebut dapat diketahui dengan menggunakan
perhitungan tes letak sebagai berikut :
1. Dibuat persamaan derivasi pertama menjadi nol
2. Hitung nilai x sebagai titik berhenti (stationary point) sehingga diperoleh x
= a
3. Hitung besarnya derivasi kedua f(x)
4. Gunakan x = a pada langkah ke 2 untuk menghitung f(a)
5. Bila :
f”(a) > 0 maka f(x) minimum pada x = a
f”(a) < 0 maka f(x) maksimum pada x = a
f”(a) = 0 maka tes letak ekstrim gagal
Kasus :
1. Diketahui f(x) = 13x3−5 x2+25x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi tersebut
dan hitung berapa besarnya
40
2. Diketahui f(x) = 611x
116 −16
3x
32− 9
4x
43+24 x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi
tersebut dan hitung berapa besarnya
6.4 EKSTRIM GLOBAL
Bila dijumlah ada nilai minimum atau maksimum lebih dari satu, maka
harus dipilih nilai yang paling maksimum atau disebut nilai ekstrim
absolut.
Kasus :
Selidiki nilai ekstrim global dari f(x) = 15x5−5
3x
3
+4 x
6.5 TITIK BELOK
Ciri terdapatnya titik belok (inflection) dalam suatu fungsi apabila terdapat
nilai derivasi pertama paling tidak berbentuk U atau ∩.
Kasus :
Selidiki titik belok pada =3x3 + 159x2 – 2430x + 10800
6.6 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PRODUKSI
Nilai optimal dalam fungs produksi bisa dilihat dari produk maksimum, APL
maksimum dan MPL maksimum.
Rumus APL maksimum :Q(L)dL
Rumus MPL maksimum :ddL
Q(L)
Kasus :
Diketahui f(x) = 30L2 – 2L3
Hitung :
41
1. Jumlah tenaga yang digunakan saat Q maksimum
2. APL maksimum
3. Buktikan bahwa APL maksimum = MPL
6.7 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PROFIT
Fungsi profit adalah fungsi yang secara umum diperoleh dari selisih antara
revenue dengan biaya ( R – C ). Bentuk persamaannya adalah :
π=R−C
dimana :
= keuntungan C = Biaya
R = Revenue
Syarat pertama yang harus dipenuhi adalah R dan C adalah fungsi variabel
yang sama. Jadi bila R = f(Q) maka C = f(Q)
Kasus :
Diketahui sebuah perusahaan manufaktur menjual produk per unit dengan
harga P = 200 – 0,01Q. Manajer perusahaan menentukan biaya
produksi sebagai fungsi C = 50Q + 20000.
Ditanyakan Besar Q yang harus diproduksi supaya perusahaan mencapai
profit maksimum
42
7.1PERHITUNGAN BUNGA SEDERHANA
Variabel yang diperlukan :
1. Tingkat bunga (interest)
adalah balas jasa penyimpanan sejumlah nilai uang tertentu, biasanya di
bank atau pinjaman
Satuan : %waktu
2. Pokok pinjaman atau uang yang dibungakan (principal)
Disimpan dengan satuan moneter (satuan mata uang)
3. Periode atau jangka waktu (t)
adalah satuan waktu perhitungan bunga yang diberlakukan
Perhitungan Nilai Bunga
Adalah hasil kali bunga dengan pokok pinjaman dan periode
Rumus :
I = P i t
Dimana :
I = Nilai bunga sederhana
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
Bab 7 MATEMATIKA KEUANGAN
43
Sebuah KSP meminjamkan uang sebesar Rp 5.000.000,00 dengan bunga 2%
per bulan. Berapa bunga yang harus dibayarkan pada bulan berikutnya?
7.2 PERHITUNGAN NILAI AKHIR DENGAN BUNGA SEDERHANA
Rumus :
NA = P + P i t
Dimana :
NA = nilai akhir dengan bunga sederhana
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
Pada kasus 7.3, hitung nilai akhir per hari, bulan dan tahun
7.3BUNGA MAJEMUK DAN NILAI AKHIR (FV)
Bunga majemuk tidak dibayar per satu periode, tetapi bunga majemuk
menghitung bunga selama satu bulan dengan rumus bunga per hari (bunga
harian). Perbedaannya terletak pada bunga yang belum dibayarkan yang
kemudian secara otomatis akan menjadi pokok pinjaman.
Rumus :
FV = P (1 + i)t
Dimana :
FV = future value = nilai akhir dengan bunga majemuk
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
44
Pokok pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00, bunga 9% per tahun. Perhitungan
bunga yang diberlakukan adalah per hari. Tentukan FV pada hari ke 258
7.4NILAI SEKARANG (PRESENT VALUE)
Nilai sekarang merupaka modifikasi rumus perhitungan FV :
Rumus :
FV = P (1 + i)t
Rumus PV menjadi :
PV= FV
(1+i )t
Dimana :
PV = nilai sekarang
FV = future value = nilai akhir pada periode t
i = tingkat bunga per satuan waktu t
Kasus :
Simpaan yang diharapkan bernilai Rp 20.000.000,00 pada periode 20 tahun
mendatang. Bila tabungan yang akan disimpan menjanjikan bunga 12% per
tahun dan dihitung setiap bulan, hitunglah PV.
7.5TINGKAT BUNGA EFEKTIF
Besar kecilnya tingkat bunga diukur dalam jangka waktu atau periode
tahunan. Dalam ilmu ekonomi, tingkat bunga tahunan menjadi variabel
tingkat bunga nominal (nominal interest rate). Kenyataannya, perhitungan
nilai bunga tidak selalu dihitung dalam periode tahunan. Bisa menjadi harian,
bulanan atau kuartal yang menghasilkan FV atau PV yang berbeda.
Perhitungan FV per hari lebih besar dibanding FV per bulan. Demikian juga
sebaliknya, perhitungan PV per hari lebih kecil dibanding perhitungan PV per
bulan.
45
Rumus untuk mencari tingkat bunga efektif per tahun :
r=(1+ im )
m
−1
Dimana :
r = tingkat bunga efektif per tahua (EAR = Effective Annual Rate)
i = tingkat bunga nominal per tahun
m = berapa kali perhitungan bunga per tahun
Kasus :
1. P = Rp 5.000.000,00
i = 9% per tahun
Hitung :
a. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per hari
b. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per bulan
c. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per tahun
2. Tingkat bunga nominal 9% per tahun. Hitung :
a. Tingkat bunga efektif per tahun ( m = 360)
b. Tingkat bunga efektif per bulan ( m = 12)
7.6NILAI SEKARANG DAN AKHIR DARI ANGSURAN
Perhitungan ini sering digunakan dalam pembayaran cicilan (misal
pembelian barang secara kredit, premi asuransi, dana pensiun, dan lainnya).
Rumus :
Sn=R { (1+ i)n−1i }
A=R {(1+i )n−1
i (1+ i )n }R=A { i (1+ i )n(1+i )n−1 }
Dimana :
46
Sn = nilai akhir dari angsuran sebesar R
A = nilai akhir sekarang
R = angsuran tetap per periode
i = tingkat bunga per periode
n = lama periode angsuran
Kasus :
Pembelian barang seharga Rp 500.000,00 dengan tingkat suku bunga 9% per
tahun
a. Berapa harga barang tersebut setelah 5 bulan
b. Berapa angsuran barang tersebut per bulan selama 5 bulan
c. Berapa nilai barang sekaran yang diangsur selama 5 bulan
7.7 PERHITUNGAN BUNGA, POKOK DAN SISA PINJAMAN
Dalam kehidupan sehar-hari tanpa disadari kemampuan masyarakat
untuk membeli barang dengan harga relatif mahal tidak akan terlaksana bila
tanpa adanya pinjaman atau kredit dari bank atau lainnya, atau bisa juga
dengan menyimpan sebagian uangnya untuk membeli barang di masa yang
akan datang. Variabel yang berkaitan dengan simpan pinjam tersebut antara
lain besarnya nominal pinjaman, tingkat bunga nominal, periode
pembayaran, besarnya angsuran, dan seterusnya.
Kasus :
Seseorang ingin membeli sebuah rumah senilai Rp 200.000.000,00 dengan
uang muka Rp 50.000.000,00. Kekurangan pembayaran dibayar dengan
pinjam dari bank dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Bunga
pinjaman dihitung setiap bulan. Berapa angsuran yang harus dibayar bila
waktu pinjam 5 tahun, 10 tahun dan 15 tahun?
47
8.1 PENDAHULUAN
Dalam kenyataannya, fungsi ekonomi tidak hanya dipengaruhi oleh satu
variabel, melainkan lebih dari satu variabel. Misalnya, keuntungan ( ) tidak
hanya dipengaruhi oleh jumlah produksi ( Q ) satu macam, tetapi menjadi
dua macam ( Q1, Q2 ), sehingga model hubungannya menjadi = f ( Q1, Q2 ).
Dengan adanya penambahan variabel independen tersebut, maka analisis
yang digunakan tidak lagi diferensial saja, melainkan diferensiasi parsial. Alat
analisisnya dinamaka derivasi parsial.
8.2 FUNGSI LEBIH DARI DUA VARIABEL
Notasi fungsi lebih dari dua variabel tidak hanya berupa x saja atau y saja.
Karena lebih dari satu variabel, maka fungsinya menjadi z = f (x , y ) , Q =
f(Pq, Ps, Pk, M, S) , = f ( Q1, Q2 ) dan lainnya.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x2 + 2xy + y + 1 sebagai fungsi dua variabel x dan y. Bila
x = 1 dan y = 1, berapa hasil dari f(1, 1)?
8.3 DERIVASI PARSIAL
Pada fungsi z = (x, y) jika y dipandang sebagai suatu konstanta, maka z
adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah :
Bab 8 DERIVASI PARSIAL
48
9
∂ z∂ x
= limΔ x → 0
f ( Δ x0 + Δ x , y0 ) − f ( x0 , y0)Δx
yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap x.
Jika fungsi z = (x, y) jika x dipandang sebagai suatu konstanta, maka z
adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap x adalah :
∂ z∂ y
= limΔ y → 0
f ( x0 , y0 + Δy ) − f (x0 , y0 )Δ y
yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap y.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 + 10, bagaimana bentuk derivasi parsial
untuk x dan derivasi parsial untuk y. Gambarkan
8.4 DERIVASI PARSIAL ORDE LANJUTAN
Turunan parsial dapat diturunkan lagi untuk memperoleh turunan parsial
kedua, yaitu:
f XX =∂∂ x ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f
∂ x2f yy =
∂∂ y ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f
∂ y2
f xy =∂∂ y ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f
∂ y ∂ xf yx =
∂∂ x ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f
∂ x ∂ y
Hal ini bisa diderivasi lebih lanjut menjadi orde ketiga, keempat dan
seterusnya
Kasus :
Hitung derivasi parsial orde pertama dan kedua dari f(x, y) = 8x2y3
49
8.5 TINGKAT PERUBAHAN SECARA PARSIAL
Pengaruh perubahan variabel independen terhadap variabel dependen
untuk kasus dua variabel independen dapat disebut sebagai Small Increment
Formula (SIF) dan notasinya :
∆ z ≈∆ x∂z∂ x
+∆ y ∂ z∂ y
≈∆ x . z x+∆ y . z y
Kasus :
Diketahui fungsi z(x, y) = x2 + 3y. Mula-mula x = 5 dan y = 8. Gunakan
rumus SIF untuk menghitung perubahan nilai z karena x berubah menjadi x =
5,021 dan y berubah menjadi y = 7,98
8.6 CHAIN RULE DAN TOTAL DERIVASI
Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat dideferensialkan di t dan andaikan
z = f(x, y) dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat
dideferensialkan di t dan :
dzdt
= ∂ z∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ t
Kasus :
1. Diketahui y = u3 dan u = x2. Hitung dydx
2. Diketahui R = P.Q dan P = 120 – 6Q. Hitung nilai MR menggunakan Chain
Rule
8.7 APLIKASI DERIVASI PARSAL
8.7.1Derivasi Fungsi Implisit
Jika F(x, y, z) adalah fungsi kesatuan dari x, y dan z maka dapat
dirumuskan menjadi persamaan berikut :
F(x, y, z) = 0
50
Asumsi hubungan variabel tersebut (x, y) sebagai domain untuk F(x, y, z)
dan (x, y) juga sebagai domain untuk f(x, y). Kemudian menjadi :
Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz = 0
Karena z = f(x, y) dan juga dz = fx.dx + fy.dy, maka diperoleh :
dz=−Fx
F z
dx−F y
F z
dy
Dengan syarat F 0, untuk bisa diperoleh :
f x=∂ z∂ x
=−Fx
F z
, f y=∂ z∂ y
=−F y
F z
dy
Kasus :
Diketahui x2y = 3, tentukan nilai dydx
8.7.2Elastisitas Permintaan
Analisis elastisitas ada tiga macam :
1. Elastisitas Harga
2. Elastisitas Silang
3. Elastisitas Pendapatan
Bila hubungan tersebut dirumuskan dalam bentuk fungsi lebih dari satu
variabel maka menjadi :
Q = f(PQ, PA, Y)
dimana :
Q = jumlah permintaan
PQ = harga Q per unit
PA = harga barang alternatif
Y = pendapatan konsumen
Perhitungan elastisitas dirumuskan sebagai :
1. Elastisitas Harga (εPQ )
51
εPQ=% perubahan jumlah permintaan (Q)
% perubahan jumlah harga (PQ )= dQd PQ
.PQ
Q
2. Elastisitas Silang (εP A )
εP A=% perubahan jumlah permintaan (Q)
% perubahan harga barang alternatif (PA )= dQd PA
.PA
Q
3. Elastisitas Pendapatan ( εγ )
ε Y=% perubahan jumlah permintaan (Q)% perubahan pendapatan (Y)
= dQd PQ
.YQ
Kasus :
Diketahui fungsi permintaan Q = 100 – 4Pq2 + 3Pa + 0,04 Y½ . Ditanyakan :
1. Besarnya elastisitas harga, elastisitas silang dan elastisitas pendapata
2. Hitung nilai elastisitas εPQ, εP A
, dan ε γ bila PQ = 5, PA = 6 dan Y = 1900
3. Apa yang terjadi bila :
a. Pq turun 25%
b. Pa naik 2%
c. Y naik 10%
3.7.1Utilitas
Analisis utilitas adalah analisis yang menggambarkan tujuan konsumen
yang selalu ingin mencapai kepuasan maksimum. Bila diketahui kombinasi
dua barang x dan y yang akan dikonsumsi maka U = f(x, y).
Bila U(x, y) = 100, maka kurva indiference hanya satu, seperti tampak
pada gambar di bawah ini :
y
52
Dengan menggunakan gambar diatas, dijelaskan utilitas sebesar 100 bisa
dicapai dengan berbagai kemungkinan kombinasi barang x dan y, bisa dari 5
dan 30 sampai dengan 180 dan 35. Pergantian dari 5 dan 380 menjadi 30
dan 115 dinamakan Marginal Rate Commodity Substitution (MRCS) yang
dirumuskan :
MRCS = −dydx
=U x
U y
Dimana :
Ux = Marginal Utility of x
Uy = Marginal Utility of y
Kasus :
Diketahui U=3x12 y
13 . Hitung Ux, Uy dan MRCS bila x = 60 dan y = 80
3.7.2Produksi
Analisis produksi adalah model matematika yang digunakan hampir
sama dengan model utilitas yang perbedaan pokoknya terletak pada
hubungan antar variabel yang digunakan. Bila utilitas menggambarkan
keputusan konsumen maka produksi menggambarkan keputusan produsen.
Tujuan produsen adalah menggunakan kombinasi berbagai kemungkinan
input, sehingga bentuk fungsinya menjadi :
Q = f(K, L)
dimana :
x
U(x, y) = 3 x12 y
13 = 100
53
Q = output
K = modal
L = tenaga kerja.
Dalam produksi, juga dikenal istilah Marginal Rate of Technical
Substitution (MRTS) yang dirumuskan :
MRTS = −dKdL
=QL
QK
Dimana :
Qk = Marginal Product of K = ∂Q∂ K
QL = Marginal Product of L = ∂Q∂ L
Kasus :
1. Fungsi produksi Q (K, L) = K2 + 2K + 3L3
Hitung :
a. MPk dan MPL
b. MRTS bila K = 3 dan L = 2
c. Besar pengurangan K bila L dinaikkan 5% tanpa mengubah Q
d. Gambar kurva produksi Q
2. Fungsi produksi Q = 4 K12 L
13. Hitung MPk dan MPL , dan MRTS
54
9.1 PENDAHULUAN
Optimasi adalah konsep penting dalam analisa ekonomi :
Perusahaan untuk memaksimalkan laba dan meminimalisasi biaya.
Pemerintah berupaya untuk memperkecil pengangguran, inflasi dan
memaksimalkan hasil pajak
Konsumen ingin memperoleh kepuasan maksimum dari produk yang
mereka beli
9.2 OPTIMASI TANPA ADA BATASAN
Optimasi tanpa batasan memiliki variabel lebih dari satu ( x , y ) dimana
titik stationer pada x = x0 dan y = y0. Jika derivasi pertama secara parsial
untuk f kedua variabelnya sama dengan nol, maka dapat dirumuskan :
fx(x0, y0) = fy (x0, y0) = 0
Kasus :
Hitung posisi stationer dari fungsi f(x, y) = 3x2 + y2 + 4x – 4y + 7
Bab 9 OPTIMASI
55
Selain titik maksimum dan minimum, juga bisa dihitung titik sadel
(saddle point). Untuk mengetahui titik ini, menggunakan fungsi diskriminan
( D ) yang dirumuskan :
D= fxx . fyy – ( fxy )2
Dengan ketentuan :
1. D < 0, nilai stationer berada pada titik sadel
2. D = 0, nilai stationer berada pada nilai yang tidak jelas
3. D < 0, nilai stationer adalah nilai ekstrim dari fungsi f(x, y)
Nilai ekstrim ada dua kemungkinan, maksimum atau minimum :
1. Maksimum, jika fxx < 0 dan fyy < 0
2. Minimum , jika fxx > 0 dan fyy > 0
Kasus :
1. Fungsi f(x, y) = x3 + 5xy + y3 + 4, hitung nilai diskriminannya
2. Tentukan dan klasifikasikan titik stationer dari f(x, y) = x2 + 3y2– 2xy + 1
3. Fungsi biaya produksi ditentukan oleh dua barang, X dan Y :
C (X, Y) = 2 + 3X2 + 2Y2– 0,5 (XY)
Fungsi revenue : R (X, Y) = 10X + 15Y
Berapa besar produksi X dan Y yang mengakibatkan profit maksimum
9.3 OPTIMASI DENGAN BATASAN
Batasan atau kendala (constrain) sering ditemui dalam masalah ekonomi,
misalnya konsumen ingin mencapai kepuasan maksimum, ada batasan
pendapatan.
Ada dua metode yang akan digunakan dalam bagian ini yaitu metode
substitusi dan metode lagrange multiplier
9.3.1 Metode Substitusi
56
Bila yang ditemui fungsi batasan hanya satu variabel, maka persamaan
tersebut disubstitusikan pada fungsi objeknya. Dengan demikian pencarian
titik stationer sama dengan metode optimasi tanpa batasan.
Langkah penghitungannya adalah :
1. Mencari derivasi pertama dan kedua dari fungsi
2. Mencari nilai maksimum atau minimum
Kasus :
1. Seorang produsen mempunyai fungsi produks Q = 8K14 L
12 dimana K adalah
input modal dan L adalah input tenaga. Biaya per unit penggunaan K dan
L adalah 2 dan 1. Berapa biaya terendah akan dicapai bila produsen
memproduksi Q sebanyak 240 unit?
2. Seorang produsen menghadapi biaya produksi sebanyak K dan L per unit
sebanyak 2 dan 4. Fungsi produksi dirumuskan sebagai Q = 6KL + 2L3.
a. Berapa output maksimum yang bisa dicapai bila TIC = 200?
b. Berapa biaya minimum input yang harus dikeluarkan untuk mencapai
Q sebanyak 1200 unit?
9.3.2 Metode Lagrange Multiplier (LM)
Pada metode ini jumlah variabel bisa lebih dari dua variabel
independen dimana dengan metode lagrange multiplier akan menghasilkan
variabel baru sebagai pembantu pemecahan masalah optimasi dengan
memisalkan nilai . Variabel digunakan untuk membentuk fungsi baru
lagrangian sebagai berikut :
F(x, y, ) = f(x, y) + { k - g(x, y) }
Hasil optimum akan diperoleh dengan mencari x = x0, y = y0 dan =
0. Langkah penyelesaiannya adalah :
1. Bentuk persamaan lagrangian : F = f(x, y) + { k - g(x, y) }
2. Mencari derivasi pertama untuk setiap variabel F
57
3. Hitung x, y dan dengan persamaan ∂F∂ x
=0, ∂F∂ y
=0, ∂F∂=0
4. Gunakan x dan y pada perhitungan 3 untuk mencari nilai f(x, y)
5. Untuk mengatakan optimum sebagai maksimum atau minimum,
digunakan perhitungan nilai determinan matriks hessian atau jacobian
Kasus :
1. Sebuah perusahaan memproduksi barang x dan y masing-masing
membentuk fungsi harga sebagai p1(x, y) dan p2(x, y) yang dirumuskan
sebagai p1(x, y) = 20 – x + 2y dan p2(x, y) = 10 + x – y. Fungsi biaya yang
dihadapi sebagai c(x, y) = 12x + xy + 6y. Dalam
kegiatan usahanya produsen dibatasi oleh jumlah produksi x + y = 20.
Berapa unit produksi x dan y untuk mencapai keuntunga maksimum?
2. Suatu perusahaan akan mengalokasikan dana Rp 600.000,00 untuk iklan
dan penelitian. Kegiatan usaha perusahaan dirumuskan sebagai fungsi
penjualan f(x, y) = 30 x y13 unit produk. Berapa besar penjualan
maksimum dicapai karena akibat dari penggunaan barang untuk iklan dan
penelitian?
58
10.1 PENDAHULUAN
Perhitungan integral berkaitan dengan beberapa teori ekonomi, seperti
perhitungan marginal revenue, marginal cost, marginal product, dan lainnya.
Dengan menghitung integral, fungsi aslinya akan dapat ditemukan lagi.
Selain itu, penafsiran secara geometris fungsi juga digunakan untuk
mencari besarnya surplus konsumen dan produsen. Integral juga digunakan
untuk penghitungan beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen
serta hilangnya kesejahteraan sebagai deadweight loss.
10.2 KAIDAH INTEGRAL
Secara simbol integral ditulis :
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
dimana :
∫ dibaca integral
f (x) adalah integran, yaitu yang dikenai operasi integral
Bab 10
INTEGRAL
59
dx adalah diferensial integrator yaitu kepada variabel apa kita akan
mengintegralkan
F(x) + C adalah hasil dari proses pengintegralan dengan C adalah
konstanta integrasi
Beberapa kaidah integral :
1. ∫ a dx = ax + C , a = konstanta
2. ∫ xn dx = 1
n + 1xn + 1 + C
3. ∫ ex dx = ex + C
4. ∫ axdx = ax
ln a+ C
, a konstanta, a > 0
5. ∫ 1xdx = ln |x| + C
Jika a konstanta sembarang dan f(x), g(x) adalah sebarang fungsi dalam x
maka:
1. ∫ a f ( x ) dx = a∫ f ( x ) dx
2. ∫ {f ( x ) ± g (x )} dx =∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx
Kasus :
Fungsi MPC = 0,15 + 0,2
√Y dimana Y adalah pendapatan. Hitung besarnya
fungsi konsumsi C = f(y) dan tabungan S = f(Y) bila C = 135 pada saat Y =
100
10.3 INTEGRAL TERBATAS
Sifat integral terbatas :
60
1.∫a
b
f ( x ) dx = − ∫b
a
f ( x ) dx
2.∫a
b
f ( x ) dx = ∫a
c
f ( x ) dx +∫c
b
f ( x ) dx
3.∫0
a
f ( x ) dx = ∫0
a
f (a− x ) dx
4.∫0
2a
f ( x ) dx = ∫0
a
f ( x ) dx + ∫0
a
f (2a − x ) dx
5. Jika f ( 2a – x ) = f (x), maka ∫0
2a
f ( x ) dx = 2 ∫0
a
f (x ) dx
Jika f ( 2a – x ) = - f (x), maka ∫0
2a
f ( x ) dx = 0
6. Jika f(x) fungsi periodik dengan periode p, f(x) = f(x + p), maka :
∫0
np
f ( x ) dx = n∫0
p
f ( x ) dx
7. Jika f(x) fungsi genap, maka ∫−a
a
f ( x ) dx = 2∫0
a
f ( x ) dx
Jika f(x) fungsi ganjil, maka ∫−a
a
f ( x ) dx = 0
10.4 INTEGRAL TERBATAS : LUAS AREA DAN PENJUMLAHAN
Luas daerah di atas sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = ∫
a
b
f (x ) dx
61
Luas daerah di bawah sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = −∫
a
b
f ( x ) dx
Luas daerah diantara dua kurva ( A(R) ) ditentukan oleh :
A (R ) = ∫a
b
[ f ( x ) − g ( x ) ] dx
Kasus :
62
1. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4 − 2x3 + 2 antara x = -1 dan
x = 2
2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x2
3− 4
, sumbu x, x = -2
dan x = 3
3. Tentukan luas daerah antara kurva y = x4 dan y = 2 x − x2
10.5 SURPLUS PRODUSEN
Surplus produsen berkaitan dengan fungsi penawaran produsen terhadap
barang yang diproduksi. Dirumuskan :
Surplus Produsen = PbQb−∫0
b
f (Q )dQ√b2−4 ac
Dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0
Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)
f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Produsen menghadapi harga penawaran sebagai kebalikan fungsi penawaran
P(Q) = 2Q73 + 250. Berapa besar surplus produsen bila harga barang per unit
506
10.6 SURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen berkaitan dengan fungsi permintaan konsumen terhadap
barang yang dikonsumsi. Dirumuskan :
Surplus Konsumen = ∫0
b
f (Q )dQ−PbQb
dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0
Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)
63
f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Seorang konsumen menghadapi kurva harga P(Q) = −Q45 + 250. Hitung
surplus konsumen jika harga barang di pasar 129.
10.7 BESARNYA DEADWEIGHT LOSS (DWL) KARENA PAJAK
Sering dijumpai beban pajak penjuala akan berakibat hilangnya surplus
konsumen dan produsen. Tujuan pajak adalah mengambil alih sebagian
kesejahteraan masyarakat baik konsumen maupun produsen untuk menjadi
pendapatan pemerintah.
Kasus :
Fungsi harga produsen Ps (Q) = 2Q + 250
Fungsi harga konsumen Pd (Q) = -Q + 2500
Fungsi harga produsen setelah ada pajak Pt (Q) = 2Q + 1000
Hitung :
1. Keseimbangan sebelum ada pajak
2. Keseimbangan setelah ada pajak
3. Surplus Konsumen sebelum ada pajak
4. Surplus Konsumen sesudah ada pajak
5. Surplus Produsen sebelum ada pajak
6. Surplus Produsen sesudah ada pajak
7. Besarnya DWL
8. Beban pajak yang ditanggung konsumen
9. Beban pajak yang ditanggung produsen
10.8 INVESTASI DAN AKUMULASI KAPITAL
64
Akumulasi kapital merupakan penjumlahan akibat tambahan stok kapital
yang berdasarkan pada proses waktu. Dirumuskan :
K(t) = ∫ I (t )dt=∫ dKdt
dt=∫ dK
dimana :
K(t) = model stok kapital
I(t) = investasi
Kasus :
1. Tentukan K(t) dari I(t) = 3t½
2. Diketahui investasi sebagai persamaan konstanta I = 1000. Berapa
besarnya investasi dari t = 0 sampai dengan t = 1
3. Bila 3t½ (dalam juta rupiah per tahun) yang merupakan aliran kapital tidak
konstan , maka hitung akumulasi kapital dari t = 1 sampai t = 4
11.1 PENDAHULUAN
Perekonomian selalu bergerak dinamis. Untuk itu dibutuhkan alat
perhitungan matematika yang bersifat dinamis. Dinamis karena sudah
memasukkan variabel waktu (t). Contohnya dalam analisa keseimbangan
pasar, permintaan tidak hanya bergantung pada harga sekarang, tetapi juga
harga masa lalu.
Bab 11
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
65
Sebelum sampai pada pembahasan persamaan diferensial, akan dibahas
dulu pengertian yang membantu, seperti model dinamis, ketentuan model
dinamis, sifat-sifat dinamis serta percobaan sistem dinamis.
11.2 MODEL DINAMIS
Bila variabel yang dinamis adalah x, maka besarnya x bisa dibuat
rumusan tertentu. Contoh : x(t+1) = 3 + ½ x(t)
Tabulasi x(t+1) = 3 + ½ x(t) adalah :
t xt t xt
0 10 8 6,0161 8 9 6,0082 7 10 6,0043 6,5 11 6,0024 6,25 12 6,0015 6,125 13 66 6,063 14 67 6,031 15 6
Model dinamis diatas dinamakan model berulang (recursive). Bila
hubungan hanya ditentukan oleh satu periode sebelumnya maka disebut
persamaan berulang derajat pertama (first order recursive equation). Bila
dua periode sebelumnya dinamakan persamaan berulang derajat kedua
(second order recursive equation). Nilai x1 = 6 = x* disebut sebagai fixed
point atau titik stabil.
Dikatakan sebagai titik stabil karena x1 = 6 = x* stabil karena bila x0 = 3
bukan lagi 10, dan nantinya akan kembali menuju 6 yang disebut dengan
global stabil (equilibrium).
11.3 PERHITUNGAN NILAI VARIABEL DINAMIS
Untuk membentuk sistem dinamis yang terukur, diperlukan hal-hal
sebagai berikut :
1. Nilai kondisi awal x(0) = x0
t
66
2. Nilai parameter a dan b
3. Nilai berkelanjutan untuk x berdasarkan waktu (t)
11.4 PERCOBAAN SISTEM DINAMIS
Sistem model dinamis mempunyai karakteristik tertentu. Untuk
memahaminya perlu adanya percobaan seperti mengubah beberapa nilai
dalam model. Karena ciri utama dinamis adalah terbentuknya nilai stabil,
maka bila variabel yang diubah apkah akan terdapat nilai stabil atau tidak.
Perubahan yang akan dilakukan terdiri dari :
1. Perubahan kondisi awal
Bila yang diubah adalah kondisi awal maka sistem model dinamis tidak
akan berubah. Artinya bila x0 diubah maka tetap akan terdapat nilai stabil.
Contoh : Ubah X0 = 10 menjadi X0 = 3 dari x(t+1) = 3 + ½ x(t). Nilai stabil
tetap berada pada nilai sebelumnya yaitu x(t) = x(t+1) = x* = 6
2. Perubahan parameter a
Kenaikan atau penurunan nilai parameter a akan mempengaruhi nilai
stabil
Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila a < 0 akibatnya xt < 0 tetapi tetap
convergence,
nilai x* berubah
3. Perubahan parameter b
Kenaikan atau penurunan nilai parameter b akan mempengaruhi nilai
stabil
Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila b >1 akibatnya xt berubah semakin jauh.
Jadi bila b terbatas pada nilai b < 1 bila ingin ditambah. Bila b
dikurangi maka akan terbatas pada nilai b > -1, karena bila
dikurangi sampai b < -1, maka nilai xt akan semakin jauh.
11.5 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA
Dalam persamaan diferensial orde pertama perlu dipelajari juga
persamaan linier orde pertama yang rumusnya :
x(t) = bx (t-1) + a
67
x* = a
1−b
x(t) = {b' x0+(1−b '1−b )abila b ≠ 1
xo+at bilab=1
Rumus diatas juga dapat diturunkan menjadi :
t=
ln( (a−x1+b x1 )( (b−1 ) x0+a ) )
ln (b )
dimana :
t = periode waktu
ln = logaritma asli
a = konstanta
b = koefisien
Kasus :
1. Diketahui persamaan x(t) = 3 + ¼ x(0) dengan x(0) = 5
a. Berapa besar titik keseimbangan (x* )
b. Berapa periode keseimbangan (t)b’
2. Seorang nasabah ingin pinjam dana sebesar Rp 15.000.000,00. Tingkat
bunga pinjaman per tahun 9,6% dihitung per akhir bulan. Nasabah
bersedia bayar pinjaman Rp 400.000,00 per bulan
a. Berapa lama pinjaman lunas
b. Berapa sisa pinjaman setelah satu tahun berjalan
11.6 STABILITAS
Dalam beberapa model ekonomi sering dijumpai bentuk persamaan
diferensial linier orde pertama sebagai berikut :
xt = a + bt-1, bila b 1
68
Kemudian perhitungan nilainya disederhanakan menjadi :
x t=b' (x0−
a1−b )+( a
1−b ) = b’A + ( a1−b )
A adalah konstan independen terhadap t (periode).
1. Bila -1 < b < 1 maka b’ cenderung 0 bila t besar (menaik dan bisa
diidentifikasi). Maka xt converges pada nilai a
1−b , kemudian disebut
sebagai nilai keseimbangan (equilibrium value). Pertemuan gerakan
semakin mengecil atau melemah. Gerakan yang menuju ke satu titik
disebut stabil.
2. Bila b < - atau b > 1 maka xt melebar (diverges), nilai xt membesar tanpa
batas. Keadaan ini menggambarkan model persamaan diferensial tidak
stabil (unstable).
Kasus :
Tentukan situasi persamaan diferensial untuk xt = -0,5 xt-1 + 0,25, dimana x0
= 0,5
11.7 MODEL COBWEB
Model sarang laba-laba (Cobweb) digunakan untuk mengetahui fluktuasi
secara berkala sekitar harga, persediaan dan permintaan yang bergerak ke
arah keseimbangan yang terjadi akibat interaksi antara perubahan harga dan
jumlah permintaan berkaitan dengan jumlah penawaran secara periodik.
Model matematikanya dapat dibuat sebagai berikut :
QSJ = a + b Pt-1
QDJ = c + d Pt
Keseimbangan akan terjadi bila QSJ = QDJ, sehingga persamaannya akan
menjadi :
Pt = bdPt−1+
a−cd
69
Jika -1 < (b/d) < 0, maka converges dan menuju keseimbangan pada
a−cd
1−bd
=d−ba−c
Kasus :
Diketahui persamaan dan penawaran :
QSJ = -12 + 3Pt-1 dan QDJ = 28 – Pt
Tentukan apakah pada interaksi penawaran dan permintaan akan terjadi
keseimbangan
11.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA
Bentuk umum persamaan diferensial orde kedua adalah :
Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a
Dimana a, b da c adalah konstan independen terhadap t.
Solusi dalam persamaan diferensial orde kedua dapat dirumuskan sebagai :
General Solution = Particular Solution + Complementary Solution
Dimana :
Particular Solution : xt = a + b xt-1 atau Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a
Complementary Solution : xt = b’A
11.8.1 Solusi Komplementer
Solusi Komplementer dirumuskan :
X t={ A u'+B v ' bila u ≠ v( A+t B )u' bila u = v
Kasus :
Diketahui persamaan linier homogen :
Xt -7Xt-1 + 10Xt-2 =0, dimana X0 = 2 dan X1 = 13. Hitung besarnya X10.
11.8.2 Solusi Partikular
70
Karena persamaan bukan homogen maka digunakan persamaan
diferensial orde kedua :
Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a
Dimana a, b dan c adalah konstanta sehingga membentuk rumusan :
X t={a
1+c+b bila 1 + b + c ≠ 0
at2+c
bila 1 + b + c = 0 dan c ≠ 2
12a t 2bila c=−2danb=1
Kasus :
Selesaikan dengan solusi partikular persamaan diferensial untuk Xt + 7 Xt-1 +
12 Xt-2 = 4
71
12.1 PENDAHULUAN
Persamaan diferensial tidak jauh beda dengan persamaan diferensi. Pada
persamaan diferensi, variabel periode (t) dianggap bilangan bulat (integer),
sedang persamaan diferensial, variabel t dianggap kontinu.
Contohnya dalam pembahasan pasar, interaksi antara permintaan dan
penawaran terjadi secara terus menerus. Perubahan variabel sekarang akan
berpengaruh terhadap variabel lain di masa yang akan datang dan hal ini
terus berkelanjutan.
Sehingga persamaan diferensial dirumuskan :
P’(t) = dP(t )dt
dan seterusnya P’’(t) = d2P(t )d t 2
Jadi dalam model perubahan harga (P) ditentukan oleh variabel yang
berhubungan dengan P dan kemudian diukur dengan derivasi. Dengan
menggunakan persamaan diferensial, solusi terhadap variabel perubahan P
bisa ditemukan.
12.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA
Bila y(t) adalah fungsi t dan mempunyai bentuk persamaan :
dydt=ay+b
Dimana a dan b adalah konstanta dan bukan nol. Ini adalah persamaan
diferensial orde pertama. Persamaan dikatakan homogen bila b = 0, dan
tidak homogen jika b 0.
Persamaan diferensial orde pertama dirumuskan :
Bab 12
PERSAMAAN DIFERENSIAL
72
dydt=ay+b bila a 0 menjadi y=Aeat−b
a
dimana A adalah konstata.
Solusi umum persamaan diferensial dydt=ay+b adalah :
y={Aeat−ba
bila a ≠ 0
bt+K bila a = 0
Kasus ;
1. Selesaikan persamaan diferensial dydt=(2 ,4 ) y+60 dimana y = 3 ketika t = 0
2. Diketahui model perubahan penduduk sebagai N(t) dalam juta. Persamaan
diferensialnya adalah dNdt
=0,01N+2. Pada t = 0 N(0) = 220
Hitung : a. Berapa jumlah penduduk pada tahun ke 10b. Berapa t bila N(t) = 500
3. Diketahui persamaan diferensial sebagai dydt
= (-0,05)y + 4,5 dimana nilai
y = 100 pada saat t = 0
Suatu persamaan diferensial dikatakan stabil bila a < 0 dan
keseimbangan akan terjadi pada −ba
. Tidak stabil bila a > 0.
12.3 PERSAMAAN DIFERENSIAL NON-LINIER ORDE PERTAMA
Persamaan diferensal non linier orde pertama adalah : dzdt=(1−n )az+(1−n )b
a, b dan n adalah konstanta, sementara n > 1
Kasus :
1. Selesaikan dzdt
= y - 2y2 bila y(0) = 1/5
2. Selesaikan dydt=1
2y3t 2
bila y(0) = 1
3. Selesaikan tdydt= y2
bila y(1) = -1/2
73
12.4 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA
Bentuk umum persamaan diferensial linier orde kedua :
d2 ydt 2 +a
dydt+by=c
12.4.1 Kasus Persamaan HomogenFormat persamaan homogen adalah :
y={Aeα .t+Beβ . tbilaα ≠ β(A+tB )eαtbilaα=β
Kasus :
Selesaikan d2 ydt 2 +5
dydt+6 y=0 bila y(0) = 0 dan y’(0) = 4
12.4.2 Kasus Partikular dan UmumBentuk umum persamaan yang diselesaikan adalah :
d2 ydt 2 +a
dydt+by=c atau y” + ay’ + by = c
Ada tiga kasus solusi partikular sebagai berikut :
y={cb
bila b≠ 0
cat bila b = 0, a≠ 0
12ct 2 bila a = b = 0
Kasus :Selesaikan y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5
12.4.3 StabilitasPersamaan diferensial linier orde kedua akan berbentuk dua kemungkinan :
y={Aeα .t+Beβ . t+ cb bila α ≠β( A+tB ) eαt+ c
bbila α=β
Bila eγt cenderung0 atau ditentukan oleh nilai < 0 atau > 0, solusi y akan membesar bila dan positif. Bila negatif, maka solusi
74
komplementernya bertendensi 0 sehingga y converges menuju nilai solusi
partikularnya sebesat cb yag disebut juga nilai keseimbangan.
Kasus :Tentukan converges dari persamaan y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5. Berapa persamaan convergesnya.
top related