Diferensial & Optimalisasi - Gunadarmaachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Parsial Diferensial •Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan

Diferensial & OptimalisasiDiferensial Fungsi Majemuk

Optimalisasi

Penerapan dalam ekonomi

Achmad Fahrurozi -Universitas Gunadarma

Parsial Diferensial

• Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabelbebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx

• Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memilikilebih dari satu variabel bebas, maka turunannyaakan lebih dari satu macam, tergantung jumlahvariabel bebasnya

Parsial Diferensial

• Jika z = f(x, y)

dan disebut derivatif parsial, dandisebut diferensial parsial, sedangkan dz disebutdiferensial total

• Jika p = f(q, r, s)

Parsial Derivatif

• y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah variabel yg independen satu sama lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhivariabel lainnya (variabel lainnya konstan)

• Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1

sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosiendiferensi dapat ditulis:

3213211

),...,,,(),...,,,(

xxxxfxxxxxf

Parsial Derivatif

• Derivative y terhadap x1 sebagaimana contohdiatas disebut sebagai derivatif parsial dandilambangkan dengan:

• Fungsi turunannya (derivative) adalah:

Contoh (2): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari

fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x2

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadapx1 adalah:

turunan terhadap x2:

Contoh (3): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari

fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadapu adalah:

turunan terhadap v:

122623143

4223042

Contoh (4): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari

fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadapu adalah:

turunan terhadap v:

Derivatif dari Parsial Derivatif• Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif

fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali

• Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, makaturunan pertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

22 683 zxzxx

812410 2

Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:

Nilai Ekstrim

• Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titikekstrimnya jika (necessary condition):

• Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapaiadalah maksimum atau minimum, maka (sufficient condition):

Maksimum

Minimum

Contoh (5): Titik Ekstrim• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

Contoh (5): Titik Ekstrim• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45

selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!

2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimumdengan ymax = 16

Latihan

• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50

selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!

Optimalisasi Bersyarat• Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan

dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atassuatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metodesubstitusi dan (2) metode Lagrange

• Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama darifungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition)

• Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebutadalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dariturunan keduanya (sufficient condition):

Jika turunan kedua < 0, maka maksimum

Jika turunan kedua > 0, maka minimum

Metode Substitusi

• Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala

1) manipulasi fungsi kendala menjadi persamaansalah satu variabel

2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsiobjektifitasnya

3) Cari turunan pertama dari fungsi tersebut(untuk mencari nilai ekstrim)

4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari

turunan kedua sesuai dengan persyaratan

Contoh (6) Metode Substitusi• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

• s.t. X + Y = 12 .......... (2)

• Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)

• Substitusi (3) ke (1):

= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y– 3Y2 + 100Y

= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y+ Y2 – 3Y2 + 100Y

= –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

Contoh (6) Metode Substitusi• Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0

–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7

• Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5

• Profit (π):

π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)

= $868

• Jenis titik ekstrim:

d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum

Metode Lagrange

• Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u)

Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0

(necessary condition)

Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0

dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient

condition)

Contoh (7) Metode Lagrange• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

• s.t. X + Y = 12 .......... (2)

• Fungsi Lagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

+ λ(X + Y – 12)

• Dengan menggunakan derivatif parsial, solusiditemukan pada saat f’(z) = 0:

L ………. (3)

Contoh (7) Metode Lagrange

• Persamaan (3) dikurangi (4):

80 – 4X – Y + λ = 0

100 – X – 6Y + λ = 0

–20 – 3X + 5Y = 0

L………. (4)

………. (5)

………. (6)

Contoh (7) Metode Lagrange• Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):

3X + 3Y – 36 = 0

–3X + 5Y – 20 = 0

8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7

X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5

• π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868

• Jenis titik ekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0

d2π/dY2 = -8 < 0

• Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:

λ = –5 – 42 + 100 = –53

titik esktrim maksimum

Latihan

• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8

Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilaiekstrim fungsi tersebut!

Permintaan Marjinal

• Apabila 2 macam barang mempunyai hubungandalam penggunaannya, maka permintaan atasmasing-masing barang akan fungsional terhadapharga kedua barang tersebut

• Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:

QdPermintaan marjinalakan A berkenaandengan Pa

QdPermintaan marjinalakan A berkenaandengan Pb

QdPermintaan marjinalakan B berkenaandengan Pa

QdPermintaan marjinalakan B berkenaandengan Pb

Elastisitas Permintaan Parsial

• Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)

Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), makaelastisitas permintaan atas perubahan hargabarang itu sendiri:

1) Barang a

2) Barang b

Elastisitas Permintaan Parsial• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)

Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), makaelastisitas silang yang mengukur kepekaanperubahan permintaan suatu barang berkenaandengan perubahan harga barang lainnya:

1) Elastisitas silang barang a dengan barang b

2) Elastisitas silang barang b dengan barang a

Elastisitas Permintaan Parsial• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)

Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akandiikuti penurunan permintaan atas keduanya

Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akandiikuti kenaikan permintaan barang lainnya

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang• Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb:

Qda(Pa2)(Pb

3) – 1 = 0

Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0

• Hitunglah elastisitas permintaan masing-masingbarang dan bagaimanakah hubungan antara keduabarang tersebut?

1) Elastisitas permintaan:

manipulasi bentuk persamaan permintaan:

a PPPP

b PPPP

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang1) Elastisitas permintaan:

cari Qda’ dan Qdb’:

bentuk persamaan elastisitas permintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang2) Elastisitas silang:

cari turunan pertama atas a dan b:

bentuk persamaan elastisitas silangnya:

Hubungan kedua barang adalah komplementer

Fungsi Biaya Gabungan

• Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan ataskedua barang dicerminkan oleh QA dan QB

sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)

Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)

Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)

Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)

• Fungsi keuntungannya:

П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

Fungsi Biaya Gabungan

• Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

• Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan• Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg

memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:

C = QX2 + 3QY

2 +QXQY

Harga jual per unit masing-masing barang adalahPX = 7 dan PY = 20

• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?

• Berapakah besarnya keuntungan maksimum?

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar

keuntungan maksimum?

RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY

R = 7QX + 20QY

П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY

2 – QXQY

7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0

33 – 11QY = 0 → QY = 3

QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

Contoh (9) Fungsi Biaya GabunganJika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:

• Besarnya keuntungan maksimum:

П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)

П = 37

• Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaanmarjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:

MRX = MCX dan MRY = MCY

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg

dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:

U = f(q1, q2, q3, …, qn )

• Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikanbahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya:

U = f(x, y)

Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaankurva indiferensi (indifference curve)—kurva ygmenunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X danY yang memberikan tingkat kepuasan yang sama

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y

merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:

• Budget Line (garis anggaran):garis yang mencerminkan kemampuan konsumenmembeli berbagai macam barang berkenaan dgnharga masing-masing barang dan pendapatankonsumen. Jika M adalah pendapatan konsumendan Px dan Py harga barang X dan Y maka:

M = xPx + yPy

UUtilitas marjinalberkenaan denganbarang X

UUtilitas marjinalberkenaan denganbarang Y

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atautingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapaipada saat kurva indiferensi bersinggungan(tangent) dengan budget line konsumen

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentukpersamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

xx Pyxf

yy Pyxf

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Manipulasi Lx dan Ly:

• Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagiutilitas marjinal dari setiap barang atas harganyaadalah sama

yxfPyxf

yxf ,,

Contoh (10) Utilitas Optimum• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi

barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:

U = x2y3

Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan hargabarang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akanmemberikan tingkat kepuasan optimum

Contoh (10) Utilitas Optimum• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

223 yxy

6151613)14(23

U 993721314322

Contoh (10) Utilitas Optimum• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13

unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

2 223 yxxy

223223 34322 yxxyyxxy

Contoh (10) Utilitas Optimum• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

• Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:

x = 16, maka

Utilitas maksimum:

010005025

16010004

44236812163232 yxu

MP dan Keseimbangan Produksi• Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan

xj = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:

P = f(x1, x2, x3, …, xn )

• Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsenhanya menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi produksinya:

P = f(k, l)

Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaankurva isoquant—kurva yg menunjukkanberbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama

MP dan Keseimbangan Produksi• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan

fungsi produk marjinal parsialnya:

• Isocost:garis yang mencerminkan kemampuan produsenmembeli berbagai macam input berkenaan dgn hargamasing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. JikaM adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL hargainput K dan L maka:

M = K x PK + L x PL

PProduksi marjinalberkenaan denganinput K

PProduksi marjinalberkenaan denganinput Y

MP dan Keseimbangan Produksi• Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau

tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktorproduksi secara optimum, yakni tingkat produksimaksimum dengan kombinasi biaya terendah(least cost combination)—tercapai pada saat kurvaisoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentukpersamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

KK PLKf

LL PLKf

MP dan Keseimbangan Produksi• Manipulasi Lx dan Ly:

• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:

Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akantercapai jika hasibagi produk marginal masing-masinginput terhadap harganya adalah sama

LKfPLKf

LKf ,,

Fungsi Produksi Cobb-Douglas• Dinyatakan dengan:

dimana:A : Total factor productivityK : CapitalL : Laborα dan β : elastisitas output

• Jika:α + β = 1 → constant return to scaleα + β > 1 → increasing return to scaleα + β < 1 → decreasing return to scale

Contoh (11) Utilitas Optimum• Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk

membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jikafungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiapinput harus digunakan agar produksi optimum danberapakah produksi optimum tersebut?

Diferensial & Optimalisasi - Gunadarmaachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Parsial Diferensial •Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan

Documents

SEMINAR NASIONAL -...

Bab 11 Persamaan Diferensial Parsial - unsri.ac.id...

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DAN...

Diferensial Parsial 21 April

PEMODELAN MATEMATIKA LAJU WATER FLOW FILTERING...

SEMINAR NASIONAL -...

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ...

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation...

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ( fisika matematika II )

Persamaan Diferensial...

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id...

MAKALAH DIFERENSIAL PARSIAL (MATEK).docx

Elisa Content Files 1304921923 04b Persamaan Diferensial...

persamaan diferensial parsial dari persamaan linear dan...

Bab 1 : Deret Fourier pada Persamaan Diferensial Parsial

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Diferensial Parsial –PDE 2.....