CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICAOTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

03 DE SETEMBRO DE 2008

REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

O conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico

AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

Estabelecer o número

e o tipo dos reatores

Definir o número e o tipo dos separadores

Definir o número e o tipo de trocadores de

Estabelecer malhas

de controle

Definir o fluxogramado processo

Investigar mercado para o produto

Investigar disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados

Investigar reagentesplausíveis

SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS

SÍNTESE ANÁLISE

Calcular as dimensõesdos equipamentos

Calcular o consumo de matéria prima

Calcular o consumo de utilidades

Calcular o consumo dos insumos

Calcular a vazão dascorrentes

intermediárias

Avaliar a lucratividadedo processo

1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto

(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.

(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.

PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.

Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:

SÍNTESE

ANÁLISE

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo

Reator demistura

Reator tubular

Coluna de destilaçãosimples

Coluna de destilaçãoextrativa

Aquecedor

Resfriador

Trocador deIntegração

A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Um problema com multiplicidade de soluções!

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

DSRT RAA,B A,P

DSRT A,P

RT RAA,B A,P

RT A,P

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

101214161820

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Problema: determinar o melhor par de valores

Cada par (x1,x2) é uma solução viável

Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!

1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização

Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da

Otimização

A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização.

Solução Ótima

através da

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados

D+E P+FD,E P,F

A+B P+CA,B P,C

1 PAB Cx

P3DE Fx

x o = 3x*

xx o = 4x*

xx o = 6x*

x o = 5x*

D+E P+FD,E P,F

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem

repetiçõessem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória

(outros métodos)

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

INTRODUÇÃO GERAL

INTRODUÇÃO À

SÍNTESE DE PROCESSOS

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE SEPARAÇÃO

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

ANÁLISE

FINALIDADE DO CAPÍTULO

Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método analítico e métodos numéricos simples com aplicações em

processos químicos.

Relembrando o Processo Ilustrativo

W10 T10

W13 T13 W11

5W3 x1,3

T3 f1,3 f2,3

T4 f1,4 f2,4

W12 T*

W14 T*

f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

AlimentaçãoProduto

Benzeno

Água Água

W15 T15

Condensado

Dimensionamento com G = 0 (solução única)

INCÓGNITASPARÂMETROS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x1,1,x1,4

T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,

Dimensionamento com G > 0 (otimização)

VARIÁVEIS DE PROJETO

Lr,T9,T12OTIMIZAÇÃO

INCÓGNITAS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.

Ausência de r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

OTIMIZAÇÃO

Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais

OTIMIZAÇÃOMODELO

ECONÔMICO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos MODELO

MATEMÁTICODimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de

métodos de busca da solução ótima de um problema

OTIMIZAÇÃO

Ação de buscar a solução ótima de um problema

Palavra com dois significados:

Todo problema de Otimização encerra um conflito

A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.

Comentário

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

Exemplo

No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.

- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.

- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.

Com o aumento da vazão:

Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

(extrato)

x kgB/kgA

EXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Vazão ótima Lucro máximo

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização

5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO

Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:

Graus de Liberdade G = V - N - EV : número de variáveisN : número de equaçõesE: número de variáveis especificadas (E = C + M)

C = condições conhecidas M = metas de projeto

Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:

- metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível

paralelas

- metas estritamente suficientes G = 0 solução única

- metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis

coincidentes

Exemplo simples: dimensionamento de um extrator

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

A : água

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1

G = 0 (solução única)

y = 0,04; W = 2.500 kg/h

(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta

Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y = 0,03 kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

A : água

solução impossível!

(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)

Identidade!

Neste caso (G > 0) é imperioso buscar a melhor de todas as soluções:

Otimização Solução Ótima

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgAEXTRATOR

A : água

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0

G = 1 (infinidade de soluções)

Insuficiência de metas gera graus de liberdade

(c) Dimensionamento sem especificação de metas

5.1 Conceito de Otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.2 Critério

5.2.3 Função Objetivo

5.2.4 Restrições

5.2.5 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.

São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.

Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.

Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

VARIÁVEIS DE PROJETO

Lr,T9,T12

OTIMIZAÇÃO

INCÓGNITAS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,

Exemplo

coincidentes

Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado

(infinidade de soluções)

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.

A variável escolhida é denominadavariável de projeto.

O critério de escolha se baseia na minimização doesforço computacional, abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

Não havendo imposições, o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7.

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

7xpx7m

A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro.

Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.

Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.

Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.

Modelo Matemático

1. Q (xo - x) - W y = 0

2. y - k x = 0

Balanço de Informação

V = 5, N = 2, C = 2, G = 1

(candidatas: x, y, W)

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Exemplo: otimização do extrator

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

xo = 0, 01118

Lo = 15,6

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Qualquer escolha resulta na solução ótima

Wo = 1.972,3

xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h

xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo

Qualquer escolha resulta na solução ótima

Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

5.2.3 Restrições

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema

5.2.2 Critério

A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.

O critério mais comum é econômico:

5.2.2 Critério

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Maximização do Lucro

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.

A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa.

5.2.2 Critério

Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)

7xpx7m

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

5.2.2 Critério

5.2.5 Restrições

(c ) Convexidade: côncava ou convexa.

É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.

A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.

(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.

Pode ser classificada quanto à:

(b) Modalidade: unimodal, multimodal.

Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

5.2.3 Função Objetivo(a) Continuidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Função Contínua comdescontinuidade na derivada

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Descontínua0 2 4 6 8 10

xFunção Discreta

5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

Função Bimodal em 1 Dimensão

1 2 3 4 5 6

5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade

Função Bimodal em 2 Dimensões

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta.

y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da

função no ponto extremo.

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aosseus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica.

12H(x) =

Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem:

Matriz Hessiana:

- = 0det

Equação Característica:

Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0

Ilustração: Funções Quadráticas

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2

2 + b12 x1 x2

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

-1,0-0,8-0,6

-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0-1,0

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

-0,80-0,50

-0,80-1,1

-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

estritamente convexa

convexa

estritamente côncava

côncava

ponto de sela

2H ( x ) f ( x )

> 0 , 2

> 0 positiva definida

1 > 0 ,

2 = 0 positiva semi-definida

< 0, 2

< 0 negativa definida

< 0, 2

= 0 negativa semi-definida

> 0 , 2

< 0 indefinida

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h

Q = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Modelo Físico:1. Q* (xo

* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

5.6 Dimensionamento/OtimizaçãoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

rafinado

x1 kgAB/kg A ?

W1 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?

W2 kg B/h ?

rafinado

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A1 2

alimentação

0,0050,010

0,0150,020

0,0250,030

0,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)

Aplica-se a mesma classificação

baL ---=

5.2.1 Variáveis de Decisão

5.2.2 Critério

5.2.4 Restrições

5.2.3 Restrições

São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo.

(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.

Há dois tipos de restrições:

Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto

s.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade

Enunciado Formal de um Problema de Otimização

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

Max L(x) = R – C {x}

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0

g(x) = x - xo 0

Exemplo: otimização do extrator

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h(x) = 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) ,x 12

22 0 25 0

5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

2,0 0,4

h(x) = 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BMáximo Local: C

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h2(x) = 0

h1(x)=0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 12

22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A

Solução Restrita : B (restrições compatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h2(x) = 0h1(x)=0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

5.2.3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : C

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x2 12

22 4 0( )x

g x x1 12

22 1 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução impossívelRestrições incompatíveis

5.2.2 Critério

5.2.4 Restrições

h(x) = 0

g(x) 0

Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.

Max f(x) {x}

s.a.: h(x) = 0 g(x) 0

Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

g (x)1

g (x)2

g (x) 3

g x x1 12 2

222 2 4 0( ) ( ) ( )x

g x x x2 12

22 4 0( )

g (x) (x 2) x 4 03 12 2

5.2.4 Região Viável Convexidade

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

Região Não - ConvexaA reta que une A e B não

permanece contida na região

g (x) x x 4 01 12

2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -

g x x x3 12

221 1 0( ) ( )

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

g (x)1

g (x)2

g (x)3

5.2.4 Região Viável Convexidade

101214161820

Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.3 Localização da Solução Ótima

Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

Localização de valores extremos na faixa x1 x x2

0 5 10 15 20

5.3 Localização da Solução Ótima

Condição para a otimalidade SEM restrição:

• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).

• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que:

f(x*) = 0

• Condição suficiente de segunda ordem:Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:f(x*) = 0 eH(x*) seja positiva definidaentão x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).

Condição para a otimalidade SEM restrição:

Condição para a otimalidade COM restrição:

• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas:

xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) ≤ 0μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)μ* ≥ 0

Condição para a otimalidade COM restrição:

• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana dafunção de Lagrange, x

2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que:

dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., mdT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas

isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.4 Problemas e Métodos de Otimização

(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:

Os métodos de resolução podem ser classificados:

(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.

(a) Quanto ao número de variáveis: univariáveis ou multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: restritos ou irrestritos.

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(a) Quanto à natureza: analíticos ou numéricos(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: diretos ou indiretos.

Problemas:

Métodos:

Com base nessa informação, pode-se formular diversos planos para um estudo sistemático de Otimização.

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis

Exemplo: dimensionamento do extrator

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Seqüência de Cálculo

Restrições de Igualdade !!!

1 * * *2 * *

1 x x o2 x o

Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

= + =a Q p xp

kAB oB( ) 105

= =b p QAB 4000

= =cp Qx

kB o ,0 5

L = a - b x - c/x

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

xo =0, 01118

Lo = 15,6

Busca do ponto estacionário:

yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h

Solução completa do problema:

L = a - b x - c/x

co= - + = || = =2

0 0 01118,

d L c= -2 < 0

dx (x )

Máximo!

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

kgB/hW2

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

kgAB/kgAkgAB/kgA

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o

Modelo Matemático2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L

Buscando o ponto estacionário:

Solução completa:y1

o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h

y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2

o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)

2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25

Analisando o ponto estacionário:

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

o 3 o 22 5 51 21 2 1o o

1 2 o 5 52 21

o 2 o 322 21 2 2 x

b dL L2

(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =

d d x 2,95 10 8,69 10L L2

(x ) (x )x x x

Máximo!

det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106

101214161820

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.184 kgB/h

W2 = 1.184 kgB/h

x1 = 0,01357 kgAB/kgA

x2 = 0,00921 kgAB/kgA

y1 = 0,05428 kgAB/kgA

y2 = 0,03824 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,01357

0,00921

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?

W1 kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h

Q = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2

* = 0,008

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL

O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido.

Alternativamente, poder-se-ia pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio e utilizar o valor ótimo x1

o na alimentação e otimização do segundo.

Neste caso, a solução obtida não é a solução ótima do problema!

L p Q x x

p Q x x

L a b xc

a Q p xp

cp Q x

ab ob o

1 1 1 11

00111803

* ** *

L p Q x x

p Q x x

L a b xc

a Q p xp

cp Q x

2 1 21 2

2 2 2 22

0008359

* ** *

x1 = 0,01118 kgAB/kgA

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.972 kgB/h

W2 = 843 kgB/h

x2 = 0,008359 kgAB/kgA

y1 = 0,04472 kgAB/kgA

y2 = 0,03344 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Recup. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Consum. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Solução Seqüencial

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Solução Simultânea

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Na solução seqüencial, o primeiro estágio ignora o segundo: solução irrestrita. O segundo estágio é otimizado sob a restrição imposta pelo primeiro: solução restrita.

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

Restrição de Igualdade: x1 – 0,01118 = 0

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]

Método dos Multiplicadores de Lagrange

1. Formar o Lagrangeano do problema:

L(x, , , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]

i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)

2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.

3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

restrição

curvas de nível da função objetivo

Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2

L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 + 2]

Formar o Lagrangeano:

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 + 2]

L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1

2 + x22 – 0,25 + 2 = 0 (3)

L / = 2 = 0 (4)

A Eq. (4) é satisfeita para:

restrição

x2 curvas de nível da função objetivo

= 0 (solução irrestrita):

= 0 (folga zero, fronteira da região):

(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1 (viola a restrição!)

(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35

= 0,74

Exercício: Min f (x) = x1 x2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 25 0

Encontrar os pontos estacionários deste problema, pelo método da relaxação Lagrangeana, e analisá-los segundo os critérios de KKT

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Os métodos podem ser:

- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.

- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).

São métodos de busca por tentativas.

Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:

- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.

- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis

= 1.000 lb/h

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 lb/h ?

T3 = 60 oF

FLUXOGRAMA

Modelo Matemático

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

I02,0WpC

I10,0C50,0C

T x10040

x140ln

Ordenando as equações resulta T4 como Variável de Projeto.Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo CT e definindo x = T4 - T3:

Tentando o Método Analítico:

Impossível explicitar x Método Numérico de Otimização !!!

Métodos de Estreitamento do Intervalo Viável

(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar(reduzido o intervalo viável, de incerteza).

(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida

Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Suposição básica: unimodalidade da Função Objetivo

0 1/3 2/3 1

Dois experimentos por ciclo

0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4

Três experimentos por ciclo

Exemplos para Problemas de Máximo

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

Eliminação de 50% do intervalo

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

Eliminação de 75% do intervalo

Método da Seção Áurea

Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:

(a) simetria em relação aos limites do intervalo

(b) fração eliminada constante

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)

1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,

resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original

618,0011

Razão Áurea

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Problema de Mínimo

Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

Li Lsxs

Li Lxs xi

xi LsLsxs xi

Li Lsxs xi

= L s - Li

xi = Lixs = Ls - 0,618

+ 0,618

Inicialização

IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

T x10040

x140ln

= 1.000 lb/h

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 lb/h ?

T3 = 60 oF

FLUXOGRAMA

x = T4 - 60

i s s i i sN L x F x F L D

2 0 53,48 247,5467 86,52 259,8506 140 14033,05 260,79563 0 53,48 247,5467 86,52 86,52

66,09 248,75724 33,05 53,48 247,5476 86,52 53,47

45,67 249,63615 33,05 53,48 247,5476 66,09 33,0458,29 247,43146 45,67 53,48 247,5476 66,09 20,4261,27 247,73157 53,48 58,29 247,4314 66,09 12,61

56,46 247,38388 53,48 58,29 247,4314 61,27 7,7955,32 247,40999 53,48 56,46 247,3838 58,29 4,81

57,16 247,389210 55,32 56,46 247,3638 58,29 2,9756,02 247,383611 55,32 56,46 247,3638 57,16 1,84

56,02 56,46 247,3638 57,16 1,14

Minimização do Custo do Trocador de Calor

Tolerância: 1,4 oF (1% do intervalo inicial)

xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h

= 1.000 lb/h

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 = 1.770 lb/h

T3 = 60 oF

T4 = 116,5 oF

FLUXOGRAMA

A = 17 ft2

xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h.

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Procedimento Geral:

(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).

Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves

5.6.2 Problemas Multivariáveis

(d) finalização

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma Base

Repetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (proximidade do ótimo):

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

Exploração

Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.

Base?- 1

A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

Exploração

BaseS- 1

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

S: SucessoI: Insucesso

buscando máximo

Sucesso

desnecessário

Exploração

BaseS- 1

O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Unimodalidade: dispensa + 1

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanece na Base

10 Base

Direção x1

Direção x2

+ 2 Sucesso: deslocar a Base

12 Insucesso: permanecer na Base

10 Base

Direção x1

Direção x2

13 Insucesso: permanecer na Base

Insucesso: permanecer na Base

Direção x1

Direção x2

Sucesso: deslocar a BaseInsucesso:

permanecer na Base

18 Sucesso: deslocar a Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base Direção provável

do ótimo

Direção x1

Direção x2

11Insucesso: permanecer na Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

Direção x1

Direção x2

Direção x1

Direção x2

A Base deve estar próxima do ótimo !

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão

15+110

Resultado da Exploração

Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?

Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar

Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.

Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2

10Base

+ 1- 1

1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

+ 1- 2

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direçãoEntão: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)

Funções Unimodais

O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.

Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.

Funções Multimodais

(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.

(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes

f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2

2 + x1 – 7)2

9 1011

Método dos poliedros flexíveis

É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.

x x j nj i j h ji

111 2, , , , ,

Centróide:

onde xh,j é o pior vértice.

O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:

( ) , 0

( ) max ( ), , ( )

k k k kR h

k k kh n

x x x x

onde f x f x f x

Reflexão 1 1

( ) ( ) min ( ), , ( ) ,

( ) , 1

( ) ( ),

1 ( 1)

k k k kR n

k k k kE R

k k k kE R h E

k kh R

Se f x f x f x f x

então x x x x

Se f x f x então x x

ão x x

k k ir para

onde x k é o melhor vértice.

Expansão

( ) ( ) , ( )

1 ( 1)

k k k k k kR i C h

k kh C

Se f x f x i h então x x x x

k k ir para

Contração

1 1( ) ( ), ( )

21,2, , 1

1 ( 1)

k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x

k k ir para

Redução

O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

1( ) ( )

f x f xn

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS

EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS

Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.

Mas exige um procedimento de otimização:

- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas

- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator

W = 3.750 kgB/h

rafinado

y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60

extrato W = 3.750 kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

T oCT oC

x* = 0,008 kgAB/kg A

alimentação

solvente

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Normal

Simulações Sucessivas

Exemplo: Extrator

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0

x = Q xo / (Q + k W )

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A T 2* ???

T3* = 15 oC

T4* = ???

T2 = T1 – Q/W1Cp1

T4 = T3 + Q/W3Cp3

Normal

Por Hooke&Jeeves

0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

MATERIAL COMPLEMENTAR

T2 ?T3 ?

WCpQ = 10 kW/oC

WCpF2 = 7 kW/oC 2

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Subsídio para o Problema 5.10: divisão de correntes

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Balanço de InformaçãoG = 1

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7)

Variável de Projeto: x

Função Objetivo

Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL

QWCpQ = 10 kW/oC

WCpF2 = 7 kW/oC 2

x ? 1 - x

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Balanço de InformaçãoG = 1

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7)

Variável de Projeto: x

Função ObjetivoMax LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL

Min C = A10,65 + A2

QWCpQ = 10 kW/oC

WCpF2 = 7 kW/oC 2

x ? 1 - x

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7)

Função Objetivo Min C = A1

0,65 + A20,65

T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)

Resolução: Seção Áurea

T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)

Limites de x

QWCpQ = 10 kW/oC

WCpF2 = 7 kW/oC 2

x ? 1 - x

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)

T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)

Limites de x

QWCpQ = 10 kW/oC

WCpF2 = 7 kW/oC 2

x = 0,74

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 = 70oC T3 = 113,8 oC

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Solução

W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?

t2 = - 22 oF

t3 = - 70 oFt1 = 15 oF

to*= 50 oF

Wo* = 10.000 lb/h

T1* = 0 oF T2

* = - 40 oF T3* = - 80 oF

Problema 5.12

Resfriar uma corrente com 3 fluidos refrigerantes que vaporizam a T constante.

Vazão de cada fluido refrigerante?

Q W C t ti o p i i ( )1 0

Q Wi i 0

Q UAi i i 0

t tt Tt T

O custo de cada trocador é dado por C a A b Wi i i i i ($/h)

Modelo Matemático para cada Trocador i

t2 = - 22 oF

t3 = - 70 oFt1 = 15 oF

to*= 50 oF

W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?

Wo* = 10.000 lb/h

T1* = 0 oF T2

* = - 40 oF T3* = - 80 oF

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