Identificación Identificación Paramétrica Paramétrica
Identificación Identificación ParamétricaParamétrica
2
ContenidosContenidos
• Proceso de Identificación
• Algunas Nociones Teóricas
• Modelos Paramétricos
• Interfaz Gráfica Toolbox de Identificación
• Otros métodos
• Métodos Recursivos
• Los comandos de la Toolbox
3
DefiniciónDefinición
• Se denomina identificación de sistema a laobtención de información relevante a partir deun conjunto de datos observados.
• Resultado: Modelo Modelo
• ¿Cómo?– Ajustando parámetros para un modelo dado.
• ¿Cómo saber si un modelo es bueno?– Comprobandolo con datos no utilizados para la
obtención del modelo
4
Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas
• Tanto el modelado como la identificación son necesariospara la interpretación y observación de las medidasobtenidas desde el sistema de estudio.
• Los modelos constituyen el enlace necesario entreexperimentos y la toma de decisiones.
5
ModelosModelos•• CognitivosCognitivos: modelos conceptuales desde el
razonamiento humano y su percepción.•• NormativosNormativos: especifican funciones a propósito de
un sistema. Ingeniería y regulacionesgubernamentales.
•• DescriptivosDescriptivos: orientados al comportamiento delsistema.
•• FuncionalesFuncionales: orientados a la acción y control delsistema.– cuantitativos
– cualitativos
6
Modelos cuantitativosModelos cuantitativos• Es natural comenzando con un conjunto de datos de
entrada - salida de un sistema en funcionamiento,mientras los experimentos se realizan mediantemanipulación de las entradas.
• Propósitos:–– PredicciónPredicción del comportamiento del sistema en el futuro
–– AprendizajeAprendizaje de nuevas reglas que resuman lasregularidades del sistema
–– Compresión de datosCompresión de datos: produce un modelo querepresenta los datos de forma compacta y con bajacomplejidad
7
Sistemas y complejidad de losSistemas y complejidad de losmodelosmodelos
• La complejidad depende del propósito delmodelado y de la identificación:–– Modelos cualitativos y categóricosModelos cualitativos y categóricos: derivables desde
principios físicos.–– Modelos cuantitativos estáticosModelos cuantitativos estáticos: modelos basados en
modelos de estados estables descritos mediante ecuacionesalgebraicas.
–– Modelos a posterioriModelos a posteriori: se derivan de datos experimentales yutilizan parametrizaciones abstractas o dependientes deexperimentos como son: caja negra, basados en regresioneslineales o modelos de series temporales. También expresanrelaciones como la covarianza entre las variablesformuladas y nociones estadísticas.
8
Proceso de la identificaciónProceso de la identificaciónFasesFases
• Considerar el contexto de la aplicación
• Propósito y formulación del problema
• Planificación experimental
• Conjunto de modelos
• Identificación y métodos de identificación
• Validación del modelo
9
Modelos noModelos no paramétricos vs paramétricos vs..modelos modelos paramétricosparamétricos
•• Modelos no Modelos no paramétricosparamétricos: consisten en un registrode respuestas a un impulso o a un flanco en eldominio del tiempo, o una medida de la función detransferencia en el dominio de la frecuencia.
•• Modelos Modelos paramétricosparamétricos: concentran toda lainformación en la estructura del modelo con unnúmero limitado de parámetros. Áreas de dificultad:– Definición y estructura del modelo
– Desarrollo del algoritmo para estimar los parámetros delmodelo
10
HerramientasHerramientas• Vamos a utilizar el Matlab 6.0 con la toolbox de
Identificación
• Información básica: Los modelos describen lasrelaciones entre señales medidas de entrada y desalida.
• En el contexto de la identificación se consideranmedidas discretas tanto de las entradas como de lassalidas
y(t)u(t)e(t)
entradas salidas
perturbaciones
Sistema
11
Un modelo dinámico básicoUn modelo dinámico básico• Una relación básica es una ecuación en diferencias
lineal
• donde la salida actual se puede obtener como unacombinación lineal de entradas y salidas anteriores.Donde:– los coeficientes: -1.5, 0.7, 0.9....– Los retardos de tiempo es de 2T unidades de tiempo antes
que un cambio en u afecte a y– en muchos modelos los retardos de las entradas y salidas
son referidos como orden del modelo.
)3(5.0)2(9.0)2(7.0)(5.1)( TtuTtuTtyTtyty −+−=−+−−
12
Variantes en la descripción deVariantes en la descripción delos modeloslos modelos
• ARX del ejemplo anterior
• Otros:– Salida del error OE
– ARMAX
– FIR
– Box-Jenkins (BJ)
– Modelos del espacio de estado lineales
– Modelos lineales generales
– Modelos de función de transferencia........
13
¿Cómo interpretar la fuente de¿Cómo interpretar la fuente deruido?ruido?
• Hay tres aspectos a tener en cuenta–– entender el ruido blancoentender el ruido blanco: es completamente
impredecible
– ¿cómo interpretar la fuente de ruidocómo interpretar la fuente de ruido? muchas vecesla fuente de ruido tiene significado físico.
– Utilizar la fuente de ruido cuando se trabaja con elmodelo:
• si el modelo es para simulación
• si el modelo es para predicción
14
Términos que caracterizanTérminos que caracterizanpropiedades del modelopropiedades del modelo
• Respuesta a un impulso: es la salida obtenidacuando la entrada es un impulso.
• Respuesta a un escalón: es la salida resultado de unaentrada escalón.
AMBOS: son llamados El transitorio de la respuesta.
• Respuesta en frecuencia: Como responde el sistemafrente a una entrada senoidal. Dos gráficos uno delcambio de amplitud y otro del cambio de fase comofunción de la frecuencia. Diagrama de Bode.
• Ceros y Polos
∫ −=t
dtugty0
)()()( τττ )()( ttu δ=
15
Algunas nociones teóricas.......Algunas nociones teóricas.......
16
TransformacionesTransformaciones
• Transformada de Laplace
• don con s=σ+iw se llama frecuencia compleja. Latransformada de Fourier
{ }
{ } dsesXi
sXtx
dtetxtxsX
st
st
∫
∫∞+
∞−
−
∞
∞−
−
==
==
σ
σπ)(
2
1)()(
)()()(
1L
L
{ }
{ } dweiwXiwXtx
dtetxtxiwX
iwt
iwt
∫
∫∞+
∞−
−
∞
∞−
−
==
==
σ
σπ)(
2
1)()(
)()()(
1F
F
17
Análisis de la respuesta enAnálisis de la respuesta enFrecuenciaFrecuencia
• Si el sistema a identificar es un sistemadinámico invariante en el tiempo y lineal
∫ −=t
dtugty0
)()()( τττ
)()()( sUsGsY =
{}.L
18
Datos Datos discretizadosdiscretizados
• Una variable medida sólo esta disponible comoobservaciones periódicas de x(t) muestreado comoun intervalo de tiempo h.
• Se requiere que la duración del periodo de muestreo sea muycorta así la función de muestreo debe ser representada comouna secuencia de impulsos muy pequeños
{ } KK ,2,1,0,1,)( −==∞∞− kparakhxxx kk
∑
∑∞
−∞=
∆
∞
−∞=∆
−=Π
Π=−=
kh
hk
khtht
ttxkhthtxtx
)()(
)()()()()(
δ
δ
19
Efectos producidos alEfectos producidos al discretizar discretizar
• Aplicando la transformada de Fourier
{ } { } { }
{ }
{ } { } ∑
∑
∞
−∞=∆
∞
−∞=
∆∆
−=Π=
Π=
−=Π
Π==
kh
hkh
h
kh
wiXttxiwX
wh
hwt
ttxtxiwX
π
ππ
δ π
2)(*)()(
)(2
2)(
)(*)()()(
2
FF
F
FFF
que tal
donde
Periodo=Frecuencia de muestreo
20
Teorema del muestreo deTeorema del muestreo deShannonShannon
• La variable continua en el tiempo x(t)puede ser reconstruida desde losmuestreos {xk}∞
∞ sí y sólo si lafrecuencia de muestreo es al menos dosveces la frecuencia más alta para la queX(iw) no es cero.
21
La transformada en ZLa transformada en Z
Una aplicación directa de la variable discretizadaverifica que el espectro de x∆∆(t) esta relacionado conXz(z)
{ }
∞==∞<
=
==
−∞
−∞=
−
−∞
−∞=
∑
∫
∑
zzzx
dzzzXi
x
zxxzX
k
kk
kzk
k
kkz
y para excepto z de Plano
iaconvergenc de Región
pordada inversa rmaciónla transfo con
0
)(21
)(
1
π
Z
iwh
kz
iwkhkhz ehXexhttxFiwX −
∞
−∞=
−∑ ==Π= )}()({)(
22
Tiempo de medida finitoTiempo de medida finito
• Sea
• El espectro de cualquier señal esta distorsionado parauna medida en un intervalo de tiempo finito
{ }
{ }1
2/
11
0
)(101
00
)(
)2/(2
0
)(01
00
)(
−
−
−−=
≥−≤≤
<=
=
>≤≤
<=
zz
Nt
tNkk
k
ewTwTsin
T
Tt
tTtt
t
N
NN
iwTTT
**
**
Z
F
F
F
discreto tiempoen
{ } { } { })(*)()().( ttxttx hh ++ FFF =
23
Transformada de Transformada de FourierFourierDiscretaDiscreta
• Nótese que la transformada de Fourier {Xk}k=N-1 solo esta
definida en los puntos de frecuencia discreta
• la relación de la DFT con la transformada de la funcióncontinua en el tiempo
• de donde
{ } hiwz
N
l
iwlhlNhk
kehXexhkhxX === ∑−
=∆
1
0),( )(F
1,,1,02 −== NkkNh
wk K con π
{ } { }{ } { } { } hkiwhkiw
ezNezN
NhhNhNhk
kkhxhkkhxh
ktxkhxX
==
∆∆
==
Π==
)(*)()()(
)()()( ),(),(
**
*
ZZZ
FF
{ } hiw
hNiw
kNhk k
k
ee
hiwXkhxX−−
== ∆∆ 1
1*)()(),(F
24
La Función de TransferenciaLa Función de Transferencia• Representación en el espacio de estados: La dependencia
de la salida para un sistema lineal viene caracterizadapor la ecuación de convolución
∫∞
+−=0
)()()()( tvdtugtY τττ
)()()()( sVsUsGsY +=
KK ,1,0,1,0
−=+=+= ∑∑−∞=
−−
∞
=
kvuhvuhy kl
k
llkklk
llk con
{ } k
kk zhkhhZzH −
∞
=∑==
0
)()(
)()(
)(zUzY
zHz
z=
25
Sistema en el espacio de estadosSistema en el espacio de estados
• Con la función de transferencia de un impulso
• y la variable de salida
mk
pk
nk
kkk
kkk
RyRuRx
kDuCxy
uxx
∈∈∈
=+=
Γ+Φ=+
,,
,1,01
con
K
DzICzH +ΓΦ−= )()(
)()()( 00
zUzHxzCzYk
kk +Φ= ∑∞
=
−
26
Potencia y Energía de la SeñalPotencia y Energía de la Señal
Las señales x e y se dicen no correlacionadas sino correlacionadas si:
)()()( * txtxtpxx = )()()( * tytxtpxy =
dttxtxT
tpTt
txx ∫+
=0
0
)()(1
)( *dttytx
Ttp
Tt
txy ∫+
=0
0
)()(1
)( *
dttxtxT
texx ∫∞
∞−= )()(
1)( * dttytx
Texy ∫
∞
∞−−= )()(
1)( * ττ
)()()(1
)( ** τττ −=−= ∫∞
∞− xyyx edttxtyT
e
0)( =τxye
27
Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza
La densidad espectral de energía o espectro de energía
La energía total del sistema es según las relaciones de Parseval
La energía es independiente de la elección de larepresentación en el tiempo o frecuencia
)()()( * iwXiwXiwExx =
)()()( * iwYiwXiwExy =
dwiwYiwXdttytxT
texy ∫∫∞
∞−
∞
∞−== )()(
21
)()(1
)( **
π
28
Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza
• De acuerdo con el teorema de Plancherel el producto dedos transformadas de Fourier es igual a la transformada deFourier de la convolución de dos señales en el dominio deltiempo. Teorema de Wiener-Khintchine.
• Covarianza cruzada
• Espectro cruzado
Existen relaciones similares entre el autoespectro y laautocovarianza
{ } { } { } { })()()()()()( *** ττ xyxy edttytxyxiwYiwXiwE FFFF =−=== ∫∞
∞−
{ }∫∞
∞−∞→−= dttytxlimC
Txy )()()( * ττ
{ })()( τxyxy CiwS F=
29
Correlación y coherenciaCorrelación y coherencia
• Coeficiente de correlación
• Espectro de coherencia cuadrática
Es un test de linealidad interesante
)()(*)()()()( tvtutgtvtxty +=+=1−==
vv
yy
vv
xx
e
e
ee
SNR
)()(
)()(
ττ
ττρ
yyxx
xy
CC
C=
)()(
)()(
2
2
iwSiwS
iwS
yyxx
xyxy =τγ
30
Análisis EspectralAnálisis Espectral
• Estimación del espectro de potencia
• Perdidas espectrales y enmarcado
• Estimación de funciones de transferencia
• Alisado del espectro
31
Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia
• El periodogramaperiodograma: o espectro de la muestra
• El correlogramacorrelograma: : Las funciones de covarianzaestimadas
kNh
wiwXNh
iwS kkNkxxπ2
)(1
)(ˆ 2 == para
1,,1,0,1
)(ˆ
,1
)(ˆ
1
1*
−=−
=
−=
∑
∑
=−
=−
Nkyx kN
hkC
xx kN
hkC
N-
kl
*kllxy
N-
klkllxx
K
32
Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia
• El cálculo del espectro de potencia -energía-
con para
mhiwN
mxykxy
kmhiw
N
mxxkxx
k
k
emhChiwS
NkkNh
wemhChiwS
−−
=
−−
=
∑
∑
=
−===
)(ˆ)(ˆ
1,...,1,02
)(ˆ)(ˆ
1
0
1
0
π
Dominio en el tiempo
Espectrode Potencia
función decorrelación
Periodograma
correlograma
33
MODELOSMODELOSPARAMÉTRICOSPARAMÉTRICOS
• Regresión lineal
• Identificación de modelos de series temporales– Modelos ARMAX y ecuaciones en diferencias
• Métodos Recursivos
34
Modelos Modelos paramétricosparamétricos
• Definición:son aquellos modelos que permitenestablecer una relación conocida entre lasentradas y salidas salvo algunas constantes ocoeficientes: parámetros θ
• Caracterización– Modelos lineales con los parámetros
– Modelos no lineales con los parámetros
vuufy ji += );,.....( θ
2210 uuy θθθ ++=
uey 2
10θθθ +=
35
Regresión linealRegresión lineal
• Modelo• Las observaciones {yk} se asumen recogidas con un
periodo de muestreo concreto, conjuntamente con loscorrespondientes vectores de regresión {φk}– Donde los errores añadidos se asumen que tienen la forma,
distribución normal
• Suponiendo que hay p parámetros θ1 ....... θp para Nobservaciones, el problema es encontrar un estimador delvector de parámetros θ para las variables observadas
)()()( tetty T += θφ
jieee ijejii ,},{0}{ 2 ∀== , δσEE
36
Modelo para la regresión linealModelo para la regresión lineal
=
N
N
y
y
y
YM2
1
=Φ
N
N
φ
φφ
M2
1
=
Ne
e
e
eM2
1
θ
ε
εε
θε NN
N
Y Φ−=
=M2
1
)(
eY NN +Φ= θ
El vector deerrores o de errores depredicción
37
Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadrados. Formulacióncuadrados. Formulación
• Esta estimación requiere la minimización de lafunción de error según diferentes criterios
∑ − θφθ
Tiiymin
2
∑ − θφθ
Tiiymin
38
Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadradoscuadrados
• El criterio de mínimos cuadrados consiste enminimizar la suma de los cuadrados del error entreel modelo de salida y las observaciones
• obteniendo para el estimado óptimo
• a partir del gradiente del criterio de optimización
( ) ( )
)ˆ()(
2
1
2
1
2
1)(
1
2
θθ
θθεεεθ
θVVmin
YYV NNT
NN
N
Kk
T
=
Φ−Φ−=== ∑=
mínimo el con
( ) NTNN
TN YΦΦΦ=
−1θ̂
39
EjemploEjemplo
• Ejemplo1– Datos U=(1 2 3 4)T e Y=(6 17 34 57)
– Modelo
• Ejemplo 2 (Ejemp54)– donde u y e son datos artificiales generados como
variables a aleatorias con varianzas =1 y con unaperturbación media de cero.
2210 uuy θθθ ++=
kkkk ebuayy ++= −1
40
CaracterísticasCaracterísticas• Los grandes errores son duramente penalizados
• Puede ser obtenido directamente a partir del álgebramatricial.
• Con las asunciones tomadas
– es un estimado imparcial de θ– La matriz de covarianzas es:
– El estimado imparcial
•• La sensibilidad del estimado por mínimosLa sensibilidad del estimado por mínimoscuadrados a las perturbaciones diferentes delcuadrados a las perturbaciones diferentes delruido blanco es una cuestión bastante seriaruido blanco es una cuestión bastante seria
θ̂( ) 12ˆ −
ΦΦ NTNeσθ es de
( )θσσ ˆ222 VpNee −
= es de
41
Estimadores imparcialesEstimadores imparcialeslineales óptimoslineales óptimos
• Las condiciones impuestas son restrictivas yvaliosas para identificar la clase de todos losestimadores de la forma
• donde T es una matriz de las dimensionesadecuadas.
• El correspondiente vector de error de parámetros
YT T=θ̂
( ) eTITYT Tpp
TT +−Φ=−=−= × θθθθθ ˆ~
42
Estimadores imparciales........Estimadores imparciales........
• Se deben añadir las siguientes condiciones paraque el estimador sea imparcial
• La determinación del mejor método posiblerequiere la minimización de la covarianza
• para
{ } 0==Φ eTIT TT E y
{ } { } θθθ =+Φ= eTT TT EE ˆ
( )( ){ } ( )( ){ } RTTYTYTC TTTTT=−−=−− θθθθθθ ˆˆˆˆ Eov
{ }eeR TE=
43
Estimadores Imparciales......Estimadores Imparciales......
• Aplicando el método del Lagrangiano con estarestricción nos da las siguientes ecuaciones
• Que resolviendolo se obtiene el estimadorimparcial óptimo
• Que es conocido como estimador de Markov conla matriz de covarianzas
• o BLUE
ITL
RTTL
T −Φ=Λ∂
∂=
ΦΛ+=∂∂
=
0
~~20 θθ
( ) YRRYT TTT 111ˆ −−− ΦΦΦ==θ
( ) ( ) 11ˆ −− ΦΦ= RCov Tθ
44
ConclusionesConclusiones
• Para la aplicación del método de mínimoscuadrados se deben cumplir dos prerequisitosimportantes:– (ΦN
TΦN) debe ser invertible• Por tanto el rango va a ser determinante .
• La selección de los datos de entrada con un excitaciónadecuada debe formar parte del procedimientoexperimental.
– El ruido no debe ser correlativo con los regresoresΦN
45
Identificación SistemaIdentificación SistemaMultivariableMultivariable
• Con
• Un problema característico: es que en general no hay unaúnica factorización AB correspondiente a una función detransferencia.
• Por tanto dada una función de transferencia multivariablese puede definir una clase de factorizaciones.
0)det()()()()(: 11 ≠= −− AzUzBzYzAS
pmn
nn
mmn
nnmm
RBBzBzBzB
RAAzAzAIzA×−−−
×−−×
−
∈++=
∈+++=
LL
LL
11
11
11
11
,)(
,)(
( ) ( ) )()()()()()()( 11111111 −−−−−−−− == zHzBzAzBzQzAzQ
46
Sistemas Sistemas MultivariablesMultivariables
• Cualquier miembro de esta clase puede serutilizado para describir acoplamientos cruzados,retardos y otras propiedades de las funciones.
• Por razones practicas es deseable utilizar unnúmero finito de parámetros bien definidos, y es amenudo deseable escoger un conjunto deparámetros con la menor dos norma posible.
47
Sistemas Sistemas Multivariables Multivariables LSLS• Para el propósito de identificación por mínimos
cuadrados
• sugiere el modelo de regresión lineal
• Solución mínimos cuadrados
( ) ( )
( ) ( ) mpmTnn
pmk
TTnk
Tk
Tnk
Tkk
mknknknknkk
RBBAA
Ruuyy
RyuBuByAyAy
×+
+−−−−
−−−−
∈=
∈−−=
∈+++−−=
θθ
φφ
LL
LL
LL
11
11
1111 ,
=Φ
=Φ=
TN
T
T
N
TN
T
T
NNN
y
y
y
φ
φφ
θMM2
1
2
1
, y con YYM
( ) NTNN
TNN YΦ+ΦΦ=θ̂
48
Ejemplo Ejemplo multivariablemultivariable
• Sea el sistema
• se puede construir el sistema con n =1 y n=2.
• Con el Matlab ninguno de los dos se puedeestimar pues da error al obtener la inversa.
• Ejemplo 59
11 11
11
5.04.0
4.05.0−−
−
+
= kkk uyy
49
Modelos Series TemporalesModelos Series Temporales
• La identificación de modelos de series temporalesofrece varias aproximaciones estadísticas parafijar el modelo además del criterio utilizado enmínimos cuadrados.
• Hay al menos tres categorías importantes de losmodelos de series temporales:– Ecuaciones en diferencias y modelo ARMAX
– Modelos de funciones de transferencia
– Modelos del espacio de estados
50
Modelos ARMAXModelos ARMAX
• Autoregresive Moving Average with ExogenousInput: constituye una clase especial de lasecuaciones en diferencias de la forma
• donde d es un retardo y A, B, C son polinomios
• con los parámetros desconocidos
kkd
k wzCuzBzyzA )()()( 111 −−−− +=
C
C
B
B
A
A
nn
nn
nn
zczczC
zbzbbzB
zazazA
−−−
−−−
−−−
+++=
+++=
+++=
L
L
L
11
1
110
1
11
1
1)(
)(
1)(
Tnnn CBA
ccbbbaa )( 1101 LLL
51
Algunos casosAlgunos casos
• Reformulación Regresión lineal
• Autoregresivo (AR)
• Moving Average (MA)
• Modelo ARMA
• Modelo ARX
kkd
k wuzBzyzA += −−− )()( 11
kk wyzA =− )( 1
kk wzCy )( 1−=
kk wzCyzA )()( 11 −− =
kd
k uzBzyzA )()( 11 −−− =
52
Modelos ARXModelos ARX• Esta completamente definido por tres enteros:
– na: número de ceros– nb: número de polos– nk: el retardo d
• Se puede introducir el orden o estimarlo utilizando lanotación tipo na=1:10
• Para modelos de múltiples entradas se puedenintroducir como vectores
• Dos métodos:
– Mínimos cuadrados
– Variable Instrumental
kd
k uzBzyzA )()( 11 −−− =
EjemplosEjemplos..........................
e
Interfaz Toolbox Identificación
54
M. de Función de TransferenciaM. de Función de Transferencia
• Un modelo de función de transferencia quepermite el modelado tanto determinístico comoestocástico es
• En el contexto de la identificación hay dos modosde función de transferencia muy populares
{ } ∑=+=v ijjikvkuk vvEvzHuzHy δ*)()( con
Jenkins-Box de modelo
salidala deerror del modelo
kkk
kkk
wzDzC
uzFzB
y
vuzFzB
y
)()(
)()(
)()(
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
+=
+=
55
M. de Función deM. de Función deTransferenciaTransferencia
• Otra opción es tratarlos como ecuaciones endiferencias
• donde A, B, C, D, F son polinomios en z-1 deorden nA, nB, nC, nD, nF,
• El modelo del error de la salida es un casoespecial con A=B=D=1
kkk wzDzC
uzFzB
yzA)()(
)()(
)( 1
1
1
11
−
−
−
−− +=
56
ARMAX, Error de la salida yARMAX, Error de la salida yBoxBox--JenkinsJenkins
• Hay varias modificaciones sobre el modelo básicoARX donde se introducen diferentes modelos deperturbaciones: ARMAX, OE, BJ
– Entrando la Estructura
– Método de Estimación• Error de predicción/máxima probabilidad: minimizando
el término e
SOLO DISPONIBLES SISTEMA SISO
57
Identificación de MáximaIdentificación de MáximaProbabilidadProbabilidad
• seleccionamos el estimador que proporciona lasobservaciones más probables de Y.
• que obtiene el estimado
• que maximiza
)/( θθ Ypmax
θθ ˆ=)/( θYp
58
Filtro de Filtro de KalmanKalman
• Se considera un problema de estimación y filtrado.
• con E{vk}=0, E{ek}=0, E{vvT}=R1, E{eeT}=R2, y• P(0)= E{x0 x0
T}=R0,• El problema de la estimación puede ser resuelto
minimizando
kkkk
kkkk
eDuCxy
vuxx
++=
+Γ+Φ=+1
( ) ( ){ } 3,..... 2, 1,para k =−= ++ ,ˆˆˆ2
11 kkkk xxxJ E
59
Filtro deFiltro de Kalman Kalman
• Resultado
• que es la ecuación recursiva donde losestimados se actualizan tan pronto como unaentrad-salida esta disponible
( )( )
( ) Tk
Tk
Tk
Tkk
Tk
Tkk
kkkkkkkkk
CPCCPRCPRPP
CCPRCPK
CxyKuxx
Φ+Φ−+ΦΦ=
+Φ=
−+Γ+Φ=
−
+
−
−−+
1
211
1
2
111
60
Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental
• Sea el método de regresión lineal
• la correlación entre el regresor y el error depredicción conduce al vector de parámetrosestimados obtenido mediante las soluciones demínimos cuadrados.
• Son métodos que reemplazan el regresor Φ por lavariable Z y el estimado toma la forma
vY +Φ= θ
( ) YZZ TTZ 1ˆ −Φ=θ
61
Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental
• Condiciones
– 1- Las variables instrumentales deben ser nocorrelacionadas con las perturbaciones
– 2- La matriz ZTΦΦ debe ser invertible. Ademásdebe ser grande para el estimador obtenido seaeficiente
{ } 0=vZ TE
62
Examinando los ModelosExaminando los Modelos• Respuesta en frecuencia y Espectro de perturbaciones
• Respuesta del transitorio
• Polos y ceros
• Comparando medidas y salida del modelo
• Análisis residual
• Visualizador LTI: este visualizador contiene unconjunto de modelos pero que requieren el mismonúmero de entradas que salidas.
Métodos Métodos RecursivosRecursivos