CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 03 DE SETEMBRO DE 2008
CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICAOTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
03 DE SETEMBRO DE 2008
REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
ENGENHARIA DE PROCESSOS
O conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico
AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.
É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!
1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Estabelecer o número
e o tipo dos reatores
Definir o número e o tipo dos separadores
Definir o número e o tipo de trocadores de
calor
Estabelecer malhas
de controle
Definir o fluxogramado processo
Investigar mercado para o produto
Investigar disponibilidade
das matérias primas
Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados
Investigar reagentesplausíveis
SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS
SÍNTESE ANÁLISE
Calcular as dimensõesdos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima
Calcular o consumo de utilidades
Calcular o consumo dos insumos
Calcular a vazão dascorrentes
intermediárias
Avaliar a lucratividadedo processo
1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto
(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.
PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE
Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.
Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:
SÍNTESE
ANÁLISE
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
Um problema com multiplicidade de soluções!
MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9)
DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
Problema: determinar o melhor par de valores
Cada par (x1,x2) é uma solução viável
Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!
1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização
Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.
Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.
O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Multiplicidade de Soluções
Exige a busca da
Otimização
A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização.
Solução Ótima
através da
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
A+B P+CA,B P,C
??
1 PAB Cx
?
T D
2PA
B Cx
?T A
P3DE Fx
?
DM
PF
4DE x
?
M E
L
x
6
x o = 3x*
8
L
xx o = 4x*
L
10
xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
L
x4
10
?
P3DE Fx
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Vantagem
Varre todas as soluções sem
repetiçõessem omitir a ótima
Desvantagem
Explosão Combinatória
(outros métodos)
INÍCIO DO CAPÍTULO 5
ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5
INTRODUÇÃO GERAL
1
INTRODUÇÃO À
SÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR
4
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
ANÁLISE
FINALIDADE DO CAPÍTULO
Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método analítico e métodos numéricos simples com aplicações em
processos químicos.
Relembrando o Processo Ilustrativo
W6
T*6
W10 T10
W13 T13 W11
T*11
W8
T*8
W*1
x*1,1
T*1
f1,1
f3,1
W7 T7
W5 T*
5W3 x1,3
T3 f1,3 f2,3
W4 x*
1,4
T4 f1,4 f2,4
W12 T*
12
W9 T*
9
W14 T*
14
W2
x12
T*2
f12 f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
VdAe
AcAr
* r*
AlimentaçãoProduto
Vapor
Benzeno
Benzeno
Água Água
W15 T15
Condensado
Dimensionamento com G = 0 (solução única)
INCÓGNITASPARÂMETROS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x1,1,x1,4
T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,
Dimensionamento com G > 0 (otimização)
VARIÁVEIS DE PROJETO
Lr,T9,T12OTIMIZAÇÃO
INCÓGNITAS
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.
Ausência de r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
4
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
OTIMIZAÇÃO
5
Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
OTIMIZAÇÃOMODELO
ECONÔMICO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos MODELO
MATEMÁTICODimensões Calculadas Lucro
Resolver Problema
Otimizar Processo
Calcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de
métodos de busca da solução ótima de um problema
OTIMIZAÇÃO
Ação de buscar a solução ótima de um problema
Palavra com dois significados:
Todo problema de Otimização encerra um conflito
A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.
Comentário
A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
Exemplo
No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.
- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.
- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.
Com o aumento da vazão:
Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
(extrato)
x kgB/kgA
EXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Vazão ótima Lucro máximo
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO
Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:
Graus de Liberdade G = V - N - EV : número de variáveisN : número de equaçõesE: número de variáveis especificadas (E = C + M)
C = condições conhecidas M = metas de projeto
Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:
- metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível
y
x
paralelas
- metas estritamente suficientes G = 0 solução única
y
x
- metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis
y
x
coincidentes
Exemplo simples: dimensionamento de um extrator
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1
G = 0 (solução única)
y = 0,04; W = 2.500 kg/h
(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04.
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y = 0,03 kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
solução impossível!
(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)
Identidade!
Neste caso (G > 0) é imperioso buscar a melhor de todas as soluções:
Otimização Solução Ótima
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0
G = 1 (infinidade de soluções)
Insuficiência de metas gera graus de liberdade
(c) Dimensionamento sem especificação de metas
5.1 Conceito de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.
Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.
Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.
VARIÁVEIS DE PROJETO
Lr,T9,T12
OTIMIZAÇÃO
INCÓGNITAS
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
Exemplo
y
x
coincidentes
Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado
(infinidade de soluções)
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
V = 7
N = 3
C = 2
M = 1
E = 3
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
x4c
x5c
x1
x2
x3
x6m
x7p
1
2
3
Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.
A variável escolhida é denominadavariável de projeto.
O critério de escolha se baseia na minimização doesforço computacional, abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).
Não havendo imposições, o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7.
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xpx7m
0
100
200
300
400
500
A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro.
Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).
Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.
Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.
Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).
As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.
Modelo Matemático
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
Balanço de Informação
V = 5, N = 2, C = 2, G = 1
(candidatas: x, y, W)
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Exemplo: otimização do extrator
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo = 0, 01118
Lo = 15,6
xo*
1
y
x
W2
Q*
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Qualquer escolha resulta na solução ótima
Wo = 1.972,3
xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h
xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h
O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada
Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo
xo*
1
y
x
W2
Q*
Qualquer escolha resulta na solução ótima
Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Função Objetivo
5.2.3 Restrições
5.2.4 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema
5.2.2 Critério
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.
O critério mais comum é econômico:
5.2.2 Critério
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
Maximização do Lucro
x7o
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
R
C
L
Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)
x7o
Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.
A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa.
5.2.2 Critério
Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)
7xpx7m
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.5 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.3 Função Objetivo
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade: côncava ou convexa.
É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.
A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.
(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.
Pode ser classificada quanto à:
(b) Modalidade: unimodal, multimodal.
Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.
5.2.3 Função Objetivo(a) Continuidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y
x
Função Contínua comdescontinuidade na derivada
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y
x
Função Descontínua0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
y
xFunção Discreta
5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X1
Função Bimodal em 1 Dimensão
1 2 3 4 5 6
200
205
210
215
220
y
x
A
B
C
D
E
F
5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade
Função Bimodal em 2 Dimensões
0
1
2
3
4
5
6
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,02,5
3,0
-1
0
1
2
3
4
f
x1
x 2
ABC
Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta.
y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
xx1 x2(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5y
xx1x2
(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da
função no ponto extremo.
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aosseus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica.
ji xx
f
2
ijff
11f
12H(x) =
f21
f22
Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem:
Matriz Hessiana:
f11
f12
f21
f22
-
- = 0det
Equação Característica:
Os Valores Característicos são as raízes desta equação.
2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0
Ilustração: Funções Quadráticas
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2
2 + b12 x1 x2
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X2
X1
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
X2
X1
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0
-0,8
-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
f
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
-1,0-0,8-0,6
-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0-1,0
-0,8-0,6
-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
0
-0,80-0,50
-0,20
-0,20
-0,50
0,10
0,10
-0,80-1,1
-1,1
0,40
0,40
-1,4
-1,4
0,70
0,70
-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x 2
X1
estritamente convexa
convexa
estritamente côncava
côncava
ponto de sela
1 ,
2H ( x ) f ( x )
1
> 0 , 2
> 0 positiva definida
1 > 0 ,
2 = 0 positiva semi-definida
1
< 0, 2
< 0 negativa definida
1
< 0, 2
= 0 negativa semi-definida
1
> 0 , 2
< 0 indefinida
Modelo Físico1. Q* (xo
* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2
*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2
* = 0
Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)
3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A
rafinado
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h
Q = 10.000 kgA/hx2
* = 0,008 kgAB/kg A
W2 kg B/h ?
rafinado1 2
alimentação
Modelo Físico:1. Q* (xo
* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)
5.6 Dimensionamento/OtimizaçãoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
rafinado
x1 kgAB/kg A ?
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?
W2 kg B/h ?
rafinado
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A1 2
alimentação
0,0050,010
0,0150,020
0,0250,030
0,035
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020
L
X2x
1
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)
Aplica-se a mesma classificação
2
12
1 x
xdcx
x
baL ---=
5.2.1 Variáveis de Decisão
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.4 Restrições
5.2.3 Restrições
São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo.
(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto
(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.
Há dois tipos de restrições:
Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto
s.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade
Enunciado Formal de um Problema de Otimização
A presença de restrições pode alterar a solução de um problema
Max L(x) = R – C {x}
s.a.:
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0
g(x) = x - xo 0
Exemplo: otimização do extrator
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) ,x 12
22 0 25 0
5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0 0,4
0,6
0,8
1,0A
B
C
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BMáximo Local: C
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0
h1(x)=0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 12
22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B (restrições compatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0h1(x)=0
x2
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
5.2.3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : B
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x21.0
0,80,6
0,4
B
A
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
1.0
0,80,6
0,4
B
A
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g2(x)
g1(x)
B
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : B
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g1(x)
g2(x)
C
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : C
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g1(x)
g2(x)
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x2 12
22 4 0( )x
g x x1 12
22 1 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g1(x)
g2(x)
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução impossívelRestrições incompatíveis
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.5 Região Viável
5.2.4 Região Viável
h(x) = 0
g(x) 0
x1
x2
x3
Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)
Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.
Max f(x) {x}
s.a.: h(x) = 0 g(x) 0
Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x) 3
A
B
g x x1 12 2
222 2 4 0( ) ( ) ( )x
g x x x2 12
22 4 0( )
g (x) (x 2) x 4 03 12 2
5.2.4 Região Viável Convexidade
A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização
Região Não - ConvexaA reta que une A e B não
permanece contida na região
g (x) x x 4 01 12
22
2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -
g x x x3 12
221 1 0( ) ( )
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x)3
B
A
5.2.4 Região Viável Convexidade
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável
5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.3 Localização da Solução Ótima
5.3 Localização da Solução Ótima
Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.
Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais
Localização de valores extremos na faixa x1 x x2
0 5 10 15 20
1
2
3
4
5
x
f(x)
m
m
M
M
M
x1 x2
5.3 Localização da Solução Ótima
Condição para a otimalidade SEM restrição:
• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).
• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que:
f(x*) = 0
• Condição suficiente de segunda ordem:Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:f(x*) = 0 eH(x*) seja positiva definidaentão x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).
Condição para a otimalidade SEM restrição:
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas:
xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) ≤ 0μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)μ* ≥ 0
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana dafunção de Lagrange, x
2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que:
dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., mdT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas
isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:
Os métodos de resolução podem ser classificados:
(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.
(a) Quanto ao número de variáveis: univariáveis ou multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: restritos ou irrestritos.
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
(a) Quanto à natureza: analíticos ou numéricos(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: diretos ou indiretos.
Problemas:
Métodos:
Com base nessa informação, pode-se formular diversos planos para um estudo sistemático de Otimização.
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Seqüência de Cálculo
Restrições de Igualdade !!!
x y W
1 * * *2 * *
x y W
1 x x o2 x o
Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
= + =a Q p xp
kAB oB( ) 105
= =b p QAB 4000
= =cp Qx
kB o ,0 5
L = a - b x - c/x
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo =0, 01118
Lo = 15,6
Busca do ponto estacionário:
yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h
Solução completa do problema:
L = a - b x - c/x
x b
dL
dxb
cx
co= - + = || = =2
0 0 01118,
o
2
2 o 3
x
d L c= -2 < 0
dx (x )
Máximo!
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o
Modelo Matemático2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
Buscando o ponto estacionário:
Solução completa:y1
o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2
o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25
Analisando o ponto estacionário:
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
o
2 2
o 3 o 22 5 51 21 2 1o o
1 2 o 5 52 21
o 2 o 322 21 2 2 x
b dL L2
(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =
d d x 2,95 10 8,69 10L L2
(x ) (x )x x x
Máximo!
det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
L
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.184 kgB/h
W2 = 1.184 kgB/h
x1 = 0,01357 kgAB/kgA
x2 = 0,00921 kgAB/kgA
y1 = 0,05428 kgAB/kgA
y2 = 0,03824 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
19,5
0,01357
0,00921
Modelo Físico1. Q* (xo
* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2
*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2
* = 0
Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)
3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A
rafinado
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h
Q = 10.000 kgA/hx2
* = 0,008 kgAB/kg A
W2 kg B/h ?
rafinado1 2
alimentação
Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2
* = 0,008
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
17,8
19,5
OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL
O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido.
Alternativamente, poder-se-ia pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio e utilizar o valor ótimo x1
o na alimentação e otimização do segundo.
Neste caso, a solução obtida não é a solução ótima do problema!
1Q*
xo* x
1
W1
W1y1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
ab ob o
ab ob
ab
b o
o
o
1 11
1
1 1 1 11
1
1
1
1
11
1
1
105
4.000
05
00111803
1556
* ** *
* *
*
* *
( )
.
,
,
, $/
Q*
x* x
W
Wy
2
2
22
2
1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
abb
abb
ab
b
o
o
2 1 21 2
2
2 2 2 22
2
2 1
2
21
22
2
2
6972
4000
02795
0008359
284
* ** *
* *
*
* *
( ) ,
.
,
,
, $/
x1 = 0,01118 kgAB/kgA
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.972 kgB/h
W2 = 843 kgB/h
x2 = 0,008359 kgAB/kgA
y1 = 0,04472 kgAB/kgA
y2 = 0,03344 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Recup. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Consum. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
Solução Seqüencial
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
Solução Simultânea
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea
Na solução seqüencial, o primeiro estágio ignora o segundo: solução irrestrita. O segundo estágio é otimizado sob a restrição imposta pelo primeiro: solução restrita.
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
Restrição de Igualdade: x1 – 0,01118 = 0
Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange
1. Formar o Lagrangeano do problema:
L(x, , , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]
i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)
2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.
3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.
Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
0,5
0,5
restrição
curvas de nível da função objetivo
1
1 x1
x2
Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2
L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 + 2]
Formar o Lagrangeano:
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 + 2]
L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1
2 + x22 – 0,25 + 2 = 0 (3)
L / = 2 = 0 (4)
A Eq. (4) é satisfeita para:
0,5
0,5
restrição
x1
x2 curvas de nível da função objetivo
1
1
= 0 (solução irrestrita):
= 0 (folga zero, fronteira da região):
(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1 (viola a restrição!)
(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35
= 0,74
Exercício: Min f (x) = x1 x2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 25 0
Encontrar os pontos estacionários deste problema, pelo método da relaxação Lagrangeana, e analisá-los segundo os critérios de KKT
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Os métodos podem ser:
- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.
- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).
São métodos de busca por tentativas.
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:
- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.
- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.
Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis
W1
= 1.000 lb/h
T1
= 200 oF T2
= 100 oF
W3 lb/h ?
T3 = 60 oF
T4 oF
FLUXOGRAMA
A ?
Modelo Matemático
Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica
0
TT
TTln
)TT()TT(.4
0UAQ.3
0)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
m
b
b
3A
T
A
AII
I02,0WpC
I10,0C50,0C
48,0
T x10040
x140ln
bxa
C
1m
*2
*1
*3
*2
*3
*1
*3
*1
*2
*1
2T
xTT
TT
xTTln
)TT(x
)xTT(
mbx
a
dx
dC
Ordenando as equações resulta T4 como Variável de Projeto.Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo CT e definindo x = T4 - T3:
Tentando o Método Analítico:
Impossível explicitar x Método Numérico de Otimização !!!
Métodos de Estreitamento do Intervalo Viável
(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar(reduzido o intervalo viável, de incerteza).
(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.
(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida
Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.
Suposição básica: unimodalidade da Função Objetivo
0 1/3 2/3 1
o
o
0 1/3 2/3 1
o
o
Dois experimentos por ciclo
0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4
o
o
oo
o
o
o
o
o
Três experimentos por ciclo
Exemplos para Problemas de Máximo
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Eliminação de 50% do intervalo
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
oo
o
o o
o
o
o
o
o
o
o
o
Eliminação de 75% do intervalo
Método da Seção Áurea
Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:
(a) simetria em relação aos limites do intervalo
(b) fração eliminada constante
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,
resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original
618,0011
1 2
Razão Áurea
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
ConvergiuDelta Tolerância
Problema de Mínimo
Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Li Lsxs
Fs
xi
Fi
Li Lxs xi
Fs
Fi
s
0,618
Li xs
Fs
xi LsLsxs xi
Fi
Li
Li Lsxs xi
Fs
Fi
= L s - Li
xi = Lixs = Ls - 0,618
+ 0,618
Inicialização
0,618
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
48,0
T x10040
x140ln
bxa
C
W1
= 1.000 lb/h
T1
= 200 oF T2
= 100 oF
W3 lb/h ?
T3 = 60 oF
T4 oF
FLUXOGRAMA
A ?
x = T4 - 60
i s s i i sN L x F x F L D
2 0 53,48 247,5467 86,52 259,8506 140 14033,05 260,79563 0 53,48 247,5467 86,52 86,52
66,09 248,75724 33,05 53,48 247,5476 86,52 53,47
45,67 249,63615 33,05 53,48 247,5476 66,09 33,0458,29 247,43146 45,67 53,48 247,5476 66,09 20,4261,27 247,73157 53,48 58,29 247,4314 66,09 12,61
56,46 247,38388 53,48 58,29 247,4314 61,27 7,7955,32 247,40999 53,48 56,46 247,3838 58,29 4,81
57,16 247,389210 55,32 56,46 247,3638 58,29 2,9756,02 247,383611 55,32 56,46 247,3638 57,16 1,84
56,02 56,46 247,3638 57,16 1,14
Minimização do Custo do Trocador de Calor
Tolerância: 1,4 oF (1% do intervalo inicial)
xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3
o = 1.770 lb/h
W1
= 1.000 lb/h
T1
= 200 oF T2
= 100 oF
W3 = 1.770 lb/h
T3 = 60 oF
T4 = 116,5 oF
FLUXOGRAMA
A = 17 ft2
xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3
o = 1.770 lb/h.
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Procedimento Geral:
(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).
Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.
Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves
5.6.2 Problemas Multivariáveis
(d) finalização
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.
Base?- 1
?
- 2
?+ 1
?
+ 2
A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.
Do resultado, depreender a direção provável do ótimo
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
S: SucessoI: Insucesso
buscando máximo
Sucesso
desnecessário
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.
Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões
- 1
18
15
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Unimodalidade: dispensa + 1
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 115
12
- 2
x1
x2
+ 2
18
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanece na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
- 115
- 2
x1
x2
+ 2 Sucesso: deslocar a Base
12 Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
13 Insucesso: permanecer na Base
- 17
18
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
15+1
10
Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a BaseInsucesso:
permanecer na Base
Direção provável do ótimo
15+1
12
10
Base
18 Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base Direção provável
do ótimo
15+1
10
Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
12
11Insucesso: permanecer na Base
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
15
Unimodalidade: dispensa + 2
- 17
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
Sucesso: deslocar a Base
15
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
- 17
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
Insucesso: permanecer na Base5
A Base deve estar próxima do ótimo !
x1
x2
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
15+110
Base
+ 2
18
+ 2 2
+2 1
25
+ 2 2
+2 1
22
Resultado da Exploração
Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.
Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
x1
x2
1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
9
- 1
7
- 2
+1
10Base
+ 2
5
8
+ 1- 1
+ 2
- 2
x1
x2
1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo
8- 1
7
- 2
+110
Base
+ 2
9
5
+ 1- 2
+ 2
- 2
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma BaseRepetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direçãoEntão: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
Funções Unimodais
O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.
Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.
O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.
Funções Multimodais
(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.
(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes
f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2
2 + x1 – 7)2
6
78
9 1011
12
1 4
5
X2
X1
23
13
Método dos poliedros flexíveis
É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.
xn
x x j nj i j h ji
n
01
111 2, , , , ,
Centróide:
onde xh,j é o pior vértice.
Método dos poliedros flexíveis
O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:
0 0
1 1
( ) , 0
( ) max ( ), , ( )
k k k kR h
k k kh n
x x x x
onde f x f x f x
Reflexão 1 1
0 0
1
1
( ) ( ) min ( ), , ( ) ,
( ) , 1
( ) ( ),
sen
1 ( 1)
k k k kR n
k k k kE R
k k k kE R h E
k kh R
Se f x f x f x f x
então x x x x
Se f x f x então x x
ão x x
k k ir para
onde x k é o melhor vértice.
Expansão
0 0
1
( ) ( ) , ( )
, 0 1
1 ( 1)
k k k k k kR i C h
k kh C
Se f x f x i h então x x x x
x x
k k ir para
Contração
1 1( ) ( ), ( )
21,2, , 1
1 ( 1)
k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x
i n
k k ir para
Redução
Método dos poliedros flexíveis
O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:
11 22
01
1( ) ( )
1
nk ki
i
f x f xn
DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.
Mas exige um procedimento de otimização:
- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas
- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos
Exemplo: Extrator
T oC
W = 3.750 kgB/h
rafinado
y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60
extrato W = 3.750 kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x* = 0,008 kgAB/kg A
alimentação
solvente
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Normal
Simulações Sucessivas
Exemplo: Extrator
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Simulações Sucessivas
1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0
x = Q xo / (Q + k W )
Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750
Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/h
T3* = 15 oC
T4* = 30 oC
0
TT
TTln
)TT()TT(.4
0UAQ.3
0)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A T 2* ???
W3
T3* = 15 oC
T4* = ???
T2 = T1 – Q/W1Cp1
T4 = T3 + Q/W3Cp3
Normal
Simulações Sucessivas
Por Hooke&Jeeves
0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000
MATERIAL COMPLEMENTAR
x ?
T2 ?T3 ?
1-x
Q
WCpQ = 10 kW/oC
F2
WCpF2 = 7 kW/oC 2
1
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T1* = 180 oC
T8* = 170 oC T7
* = 100oC
T6* = 117,2 oC
T4* = 102,4 oC
T5* = 60oC
Subsídio para o Problema 5.10: divisão de correntes
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
Balanço de InformaçãoG = 1
Modelo Matemático
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
Q2 = WF2 (T8 - T7)
Variável de Projeto: x
Função Objetivo
Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL
QWCpQ = 10 kW/oC
F2
WCpF2 = 7 kW/oC 2
1
x ? 1 - x
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T1* = 180 oC
T2 ? T3 ?
T8* = 170 oC T7
* = 100oC
T6* = 117,2 oC
T4* = 102,4 oC
T5* = 60oC
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
Balanço de InformaçãoG = 1
Modelo Matemático
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
Q2 = WF2 (T8 - T7)
Variável de Projeto: x
Função ObjetivoMax LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL
Min C = A10,65 + A2
0,65
QWCpQ = 10 kW/oC
F2
WCpF2 = 7 kW/oC 2
1
x ? 1 - x
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T1* = 180 oC
T2 ? T3 ?
T8* = 170 oC T7
* = 100oC
T6* = 117,2 oC
T4* = 102,4 oC
T5* = 60oC
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
Modelo Matemático
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
Q2 = WF2 (T8 - T7)
Função Objetivo Min C = A1
0,65 + A20,65
T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)
Resolução: Seção Áurea
T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)
Limites de x
QWCpQ = 10 kW/oC
F2
WCpF2 = 7 kW/oC 2
1
x ? 1 - x
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T1* = 180 oC
T2 ? T3 ?
T8* = 170 oC T7
* = 100oC
T6* = 117,2 oC
T4* = 102,4 oC
T5* = 60oC
T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)
T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)
Limites de x
QWCpQ = 10 kW/oC
F2
WCpF2 = 7 kW/oC 2
1
x = 0,74
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T1* = 180 oC
T2 = 70oC T3 = 113,8 oC
T8* = 170 oC T7
* = 100oC
T6* = 117,2 oC
T4* = 102,4 oC
T5* = 60oC
Solução
W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?
t2 = - 22 oF
t3 = - 70 oFt1 = 15 oF
to*= 50 oF
Wo* = 10.000 lb/h
T1* = 0 oF T2
* = - 40 oF T3* = - 80 oF
Problema 5.12
Resfriar uma corrente com 3 fluidos refrigerantes que vaporizam a T constante.
Vazão de cada fluido refrigerante?
Q W C t ti o p i i ( )1 0
Q Wi i 0
Q UAi i i 0
i i
t tt Tt T
ii i
i i
ln
1
10
O custo de cada trocador é dado por C a A b Wi i i i i ($/h)
Modelo Matemático para cada Trocador i
t2 = - 22 oF
t3 = - 70 oFt1 = 15 oF
to*= 50 oF
W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?
Wo* = 10.000 lb/h
T1* = 0 oF T2
* = - 40 oF T3* = - 80 oF