Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen
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1
Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen
Wellengleichung Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und
Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom
2
Die Wellengleichung
txptxx
i
txpitxikxtx
x
x
,,
,,,
pkkhkp
khp
2
2
tkxiAetx ,
txEtxt
i
txEitxittx
,,
,,,
Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle:
Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung:
Ableitung nach Zeit:
fhE
Plancksche Gleichung:
3
Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension
txxm
txx
ix
im
txt
i
txmptxE
mpTE
V
x
,2
,21,
,2
,
2
0
2
22
2
2
… Potentialenergie = 0 freies Teilchen
… Gesamtenergie / kinetische Energie
HxVxm
VTEV
2
22
2
0
txHtxE
txxVxm
txt
i
,ˆ,ˆ
,2
, 2
22
H … Hamilton-Operator
4
Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
2222
2
2
2
2
222
2222
zyx
p
pppp zyx
Impuls und der entsprechende Operator
trHtrrVm
trt
i ,ˆ,2
,2
3D-Schrödinger-Gleichung
trrrHtrrrrrrVm
trrrt
i NNN
N
n n
nN ,,,,ˆ,,,,,,,
2,,,, 212121
1
2
21
3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen
5
Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
xxVxmxt
tti
HtxxVxm
txt
i
txtx
txHtxxVxm
txt
i
2
22
2
22
2
22
21
:2
,
,,2
,
Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig
Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen
6
Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
xxVxmxt
tti
2
22
21
Linke Seite: Rechte Seite:
EC
CAeAet
Cti
Cdtdi
Ctt
ti
tiiCt
,
constln
02
022
1
21
2
2
2
2
22
xxVEmx
xxVCmx
CxVxmx
CxxVxmx
C … Separations-
konstante
7
Die Schrödinger-GleichungZeitunabhängige (stationäre) Form harmonische SchwingungenSie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt
02
02
2
2
2
2
2
2
22
22
rrVEmr
zyx
VEm
E … Gesamtenergie des
Systems
8
Die Schrödinger-GleichungZeitabhängige Form Wellengleichung
02
02
2
2
Vm
VEm
tiE
ti
tzyxieit
ezyxtzyx
ti
ti
,,,
,,,,,
0,2,2, 2
trrmVttrmitr
trrVtrmt
tri ,,2
, 2
9
Formale Analogie zwischen der KM und QM
EHttritrrVtr
m
VmpEEH
ipt
iE
potkin
ˆˆ
,,ˆ,2
ˆ2ˆˆ
ˆˆˆˆ
2
2
trrVtrmt
tri ,,2
, 2
10
Lösung der Schrödinger-GleichungFalls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst.
Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen
Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons
1; 2
VV
dxdydzdxdydzdVdxdydzdW
Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.
11
Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit
p = ħk und E = ħ
Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung
trctrctr ,,, 2211
Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar
dkektx tkxi 21,
12
Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
1
1
2
VVV
rdrrdrPdxrr
xxxx
dxxdxxPdxxx
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte
Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)
dxxxfxxf
dxxxxx
… in 3D
13
Hermitesche OperatorenAnalogie zwischen KM und QM
Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator
Ort
Impuls
KinetischeEnergie
Drehimpuls
x x
p
i
mpT2
2
m2
2
pr
ri
15
Harmonischer Oszillator
m
Aeu
udtudm
ti
0
02
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time
Rea
l(u)
16
Harmonischer Oszillator mit Dämpfung
22
2
2
2
2
4
2
0
0
0
mmm
m
iim
eAeu
udtdu
dtudm
tit
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time
Rea
l(u)
19
Freies Elektron (V=0)
2
2222
2
002
2
22
2
2
22
2
k
pEmk
mpk
mE
Emk
Aex
VEmdxd
ikx
E
-1 -0.5 0 0.5 1x 10
8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k [cm-1]
E [e
V]
Keine Randbedingung alle Energien sind möglich
Energiespektrum ist kontinuierlich
20
Elektron im Potentialtopf (1D)V
xa0
0122
0sin0sin2:0
:00
2
002
222
222
2
2
22
2
ndV
Cnnam
km
E
anknkakakaAiax
BAx
Emk
BeAex
VEmdxd
ikxikx
EEnergie-Spektrum n
123
4
5
1C4C9C
16C
25C
Randbedingung Energiespektrum ist diskret
∞ ∞
V = 0freies Elektron
21
Elektron im Potentialtopf (1D)
xan
a
xan
a
aA
kxdxAdx
kxA
kxAi
aa
sin2
sin221
1sin4
sin4
sin2
22
0
22
0
22
Lösung für die Wellenfunktion
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
||2
x/aank
22
Elektron im Potentialtopf (3D)Orthogonale Lösung
czn
byn
axn
abc
mEcakncz
mEbbknby
mEaaknax
zZyYxXzyx
Emzyx
Em
zyx
zzz
yyy
xxx
sinsinsin8
2
2
2
,,
02
02
22
2
2
2
2
2
2
23
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
Harmonische Schwingung
tAxmDxx
DxxmF
cos,02
221
22
21
2DxDxdxFdxxV
mpxmxT
Potentielle und kinetische Energie
2
21
2221
22212
222
cos
sinsin22
DATV
tDAV
tDAtmAxmT
Gesamtenergie
Pot
entia
lAbstand
24
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
,2,1,0,
0
und2mit
02
21
13
22
10
2222
2
22
221
22
2
221
221
nnE
xaxaxaxaAex
Aex
xkdxd
mDEmk
DxEmdxd
n
nn
x
x
EEnergie-Spektrum n
1
23
4
½ ħ 03/2 ħ5/2 ħ
7/2 ħ
9/2 ħ
Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ
25
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
2
2
2
2
21
341
3
3
21
241
2
214
13
1
214
1
0
329
214
4
x
x
x
x
exxxu
exxu
xexu
exu
27252321
3
2
1
0
E
E
E
E
27
Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)
2
22
2
2
02
mEk
BeAe
Emdxd
I
xikxikI
II
I II
I II
0:
~:
2
02
0
20
022
2
DxikkVE
VEmk
DeCe
VEmdxd
IIII
II
xikxikII
IIII
CkBikAikdxddxdx
CBACeBeAe
x
IIIIIII
xkxikxik
III
IIII
~:0
:0~
0;;~
12
;~
12
DC
kkiCB
kkiCA
I
II
I
II
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Position
Rea
l(u)
28
Doppelte Potentialbarriere
I IIII
V(x) = V0 V(x) = V0V(x) = 0
freies Elektron
2CnE
Energiespektrum
aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere
29
Tunnel-Effekt
Quanten-mechanischer EffektKlassisch: nur I (einfache Welle und ihre
Reflexion)AnwendungTunnel-DiodeSTM (Rastertunnelmikroskopie)QW („quantum wall“)
30
WasserstoffatomSphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential
rZeFdrV
0
2
4
20
2
4 rZeF
Coulomb-Kraft
Coulomb-Potential
04
2
0
2
2
r
ZeEm
Stationäre Schrödinger-Gleichung
freies Elektron
0
0
Pot
entia
l
Abstand vom Kern
31
Wasserstoffatom
2
2
20
2
2
22
2
2
2220
2
22
2
0
2
22
2
2222
2
0
2
2
sin1sin
sin11
421
sin1sin
sin1
421
,,,
04
2sin1sin
sin11
04
2:1
YYYr
eEmrdrdRr
drd
R
RYr
RYr
RYr
eEmYrRr
rr
YrRr
reEm
rrrr
rr
reEmZ
cossinsincossin
rzryrx
Radiusabhängig Winkelabhängig
Sphärische Koordinaten
32
Wasserstoffatom
1sin1sin
sin1
2
2
2
YYY
Winkelabhängiger Teil
2
222 11sin
sin1sin
,
ddm
dd
dd
Y
Separation der Variablen; Separationskonstante m²
Azimutalgleichung, () Polargleichung, ()
022
2
m
dd
0sin
1sinsin1
2
2
m
dd
dd
Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig
… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
33
WasserstoffatomAzimutalgleichung, ()
022
2
m
dd
,2,1,02 mAe mim
m
Spezielle Lösung für () – 2-periodisch
(m … ganze Zahlen)
22
0
22
0
* 21 AdAdmm
Normierung
,2,1,0,21
meimm
Ergebnis
m … magnetische Quantenzahl
34
Wasserstoffatom
Polargleichung, ()
0sin
1sinsin1
2
2
m
dd
dd
Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m²Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …)ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl)
Bedingung für m:
… Legendresche Differentialgleichung
,1,,2,1,
m
m
… insgesamt (2ℓ+1) Werte
35
Wasserstoffatom
Lösung der Polargleichung, ()
0sin
1sinsin1
2
2
m
dd
dd
für m = 0 Legendre-Polynome:
cos3cos5cos
1cos3cos
coscos1cos
321
3
221
2
1
0
P
P
PP
für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:
m
mmmm
ddP
cos1coscos1
!21cos
222
36
Wasserstoffatom
Lösung der Polargleichung, (), normiert
cos
!!
212 mm P
mm
Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )
immm
m ePmmY
cos!!
212
21,
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