Transcript
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
1/45
BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace
invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian
persamaan diferensial tingkat tinggi.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan
menggunakan metode langsung (integral tak wajar)
2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan
menggunakan metode deret.
3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan
menggunakan metode pecahan parsial.
4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan
menggunakan rumus penguraian Heaviside.
5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan
menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.
Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum
persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial
linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan
diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.
6.1 Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan )(tF suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 151
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
2/45
==`
0
)()()}({ sfdttFetFL st
Karena )}({ tFL adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( )maka
==`
0
)()()}({ sfdttFetFLst
=p
st
pdttFeLim
0
)(
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk
beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t),
G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} =
y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s >
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
No. )(tF )}({ tFL
1. 10,
1>s
s
2. t0,
12
>ss
3. t 20,
23
>ss
4. t n
n = 0,1,2,3,.
0,!
1>
+s
s
nn
5.
ate 0,
1>
s
as
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 152
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
3/45
6. atsin0,
22>
+s
as
a
7. atcos0,
22>
+s
as
s
8. atsinhas
as
a >
,22
9. atcoshas
as
s >
,22
10. attcos222
2
)( as
as
+
11.
a
att
2
sin222 )( as
s
+
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh
transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. 1)( =tF
==`
0
)(1)}({ sfetFLst
=
p
st
p dteLim 0
p
st
pes 0
1lim
=
+= 0
11lim
sesep
s
10 +=
s
1
=
)(sf=
2. ttF =)(
=`
0
)}({ dttetFL st
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 153
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
4/45
( )stp
pedst
=0
1.lim
dtetes
p
stst
p
= 0lim1
p
o
stst
pes
tes
+=
1lim
1
p
spsp
pes
ees
pes 0
00 101
lim1
+
+=
( )
++=
ss
1000
1
=
ss101
21
s=
3. atetF =)(
=`
0
)}({ dtetetFLatst
dtep
tas
p
=
0
)(lim
[ ]ptaspe
as0
)(lim1
=
= 0)()(11
lim)(
1asasp seas
as
=1
4. attF sin)( =
dtetFL st
=0
atsin)}({
= p
st
patd
aeLim
0
)(cos1
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 154
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
5/45
p
stst
p
eatda
eata
Lim
00
)(cos1
.cos1
+=
p
p
stst
p dteata
s
eataLim0
.cos.cos
1
+=
p
stst
patd
ae
a
seat
aLim
00
)(sin1..cos
1
=
pp
ststst
pedatate
a
seat
aLim
00
2)(.sinsin(.cos
1
=
pp
ststst
pseatate
a
seat
aLim
00
2).sinsin(.cos
1
=
pp
ststst
pseat
a
sate
a
seat
aLim
00
2
2
2).sinsin.cos
1
=
p
stst
peat
a
seat
asa
aLim
0222
2
.sin.cos1
+=
+=
stst ea
ats
ea
at
sa
a
.
sin.
.
cos222
2
( )
+= 0
10022
2
asa
a
+=
asa
a 122
2
22 sa
a
+=
5. attF cos)( =
dtetFL st =0
atcos)}({
=p
st
patd
aeLim
0
)(sin1
p
stst
peatd
aeat
aLim
00
)(sin1
.sin1
=
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 155
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
6/45
p
p
stst
pdteat
a
seat
aLim
0
.sin.sin1
+=
p
stst
p atdaea
s
eataLim00
)cos(
1
..sin
1
+=
pp
ststst
pedatate
a
seat
aLim
00
2)(.cos)cos((.sin
1
+=
pp
ststst
pdtseatate
a
seat
aLim
00
2).cos)cos(.sin
1
+=
pp
ststst
peat
a
sate
a
seat
aLim
00
2
2
2).cos)cos(.sin
1
=
p
stst
peat
a
seat
aas
aLim
0222
2
.cos.sin1
+
=
+=
stst ea
ats
ea
at
as
a
.
cos.
.
sin222
2
( )
+=
222
2
000a
s
as
a
+= 2222
as
asa
22 as
a
+=
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0 Nt dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi
Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup
untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
6.2 Metode Transformasi Laplace
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 156
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
7/45
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang
digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definisi
=0
)()}({ dttFetFL st
=p
st
pdttFeLim
0
)(
Contoh
=0
)()}({ dttFetFL st
=p
st
ptdte
0
lim
)(1
.lim
0
st
p
ped
st
=
dtetes
p
stst
p
=
0
lim1
p
stst
pes
tes 0
1lim
1
+=
=ss
10
1
2
1
s= )(sf=
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
...)( 332
210 ++++= tatataatF
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 157
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
8/45
n
n
nta
=
=0
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan
transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
...}{}{}{}{)}({ 332
210 ++++= taLtaLtaLaLtFL
...!2
3
2
2
1 +++=s
a
s
a
s
ao
++
=0
1
!
nn
n
s
an, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >
c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh
F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang
ada.
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.
6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut
antara lain:
a) Sifat linear
Jika c1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan )(1 tF dan )(2 tF
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-
masing )(1 sf dan )(2 sf , maka:
)()()}()({2112211sfcsfctFctFcL +=+
Bukti:
+=+0
2211221 )}()({)}()({ dttFctFcetFctFcLst
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 158
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
9/45
+=0
21
0
11 )()( dttFcedttFcestst
+=
0
2
0
211 )()( dttFecdttFecst
p
st
)()( 2211 sfcsfc +=
1. }3{}5{}35{}35{ LtLatLtL ==
}1{3}{5 LtL =
ss
13
15
2=
ss35
2 =
2. }2cos5{}2sin6{}2cos52sin6{ tLtLttL =
}2{cos5}2{sin6 tLtL =
45
4
26
22 +
+=
s
s
s
4
512
2 +
= ss
3. }12{})1{( 2422 ++=+ ttLtL
}1{}2{}{ 24 LtLtL ++=
}1{}{2}{ 24 LtLtL ++=
sss
1!22
!41214
+
+= ++
sss
142435
++=
4. }2cos24sin364{ 25 ttteL t ++
}2cos2{}4sin3{}6{}4{ 25 tLtLtLeL t ++=
{ } { } { } { }tLtLtLeL t 2cos24sin364 25 ++=
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 159
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
10/45
42
4
43
26
5
14
223 ++
++
=
s
s
sss
4
2
16
1212
5
4223
+
+
+
+
=s
s
sss
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungs berikut.
1.tettF
+= 22)( t
2. tttF 2cos2sin6)( =
3. 2)cos(sin)( tttF =
4. tttF sinh2
13cosh)( =
5. 22)( += ttF 3
6. 2)3(sin)( = ttF
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika )()}({)()}({ 2 asftFeLmakasftFL t ==
Bukti
Karena
==`
0
)()()}({ sfdttFetFL st , maka
=`
0
)()}({ dttFeetFeL atstat
=0
)( )( dttFe tas
)( asf =
Contoh:
1. Tentukan )()}({)}({ 3 sftFLjikatFeL t =
Menurut sifat 2 di atas, )()}({ asftFeL at =
Maka ( ))3()}({ 3 = sftFeL t
)3( += sf
2. Tentukan
=a
sftFLjikatFeL t )}({)},({ 2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 160
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
11/45
Menurut sifat 2 di atas, )()}({ asftFeL at =
Karena
=
=
a
sftFeLmaka
a
sftFL t
2)}({,)}({ 2
=
aa
sf
2
3. Tentukan4
}2{cos)}({2 +
=s
stLjikatFeL t
Karena4
}2{cos2 +
=s
stL maka menurut sifat translasi pertama
)1()}({ += sftFeL t
4)1(
1
)}({ 2 +++
=
s
s
tFeLt
52
12 ++
+=ss
s
4. Tentukan )}6sin56cos3({2
tteLt
Me6nurut sifat linear,
)}6sin5({)}6cos3({)}6sin56cos3({222 teLteLtteL ttt =
}6sin{5}6cos{3 22 teLtL tt = }
Karena36
6}6{sin
36}6{cos
22 +=
+=
stLdan
s
stL
maka menurut sifat translasi
)2(3}6cos{32 += sftL t
36)2(
)2(3
2 +++=
s
s,
dan
2(
65}6sin{5 2
+=
stL t
sehingga
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 161
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
12/45
L{e36)2(
65
36)2(
)2(3)}6sin56cos3({
22
2
++
+++=
ss
stteL t
404
2432 ++
= ss
s
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) tetF t 2sin)( =
2) 3)1()( ttetF+=
3) )2cosh52sinh3()( tttF t =
4) tettF 2)2()( +=
5) ( )ttetF t 3cosh2sinh)( 2 +=
6) )21()( tetF t +=
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika )()}({ sftFL = dan
=
atuntuk
atuntukatFtG
,0
),()(
maka
)()}({ sfetGL as=
Bukti
dttGetGL st
=0
)()}({(
+=
a
a
stst
dttGedttGe0
)()(
+=a
a
stst dtatFedte0
)()0(
=a
st dtatFe )(
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 162
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
13/45
+
=0
)( )()( duuFedtatFe aus
a
st
=
0
)( duuFee suas
)(sfeas=
Contoh
Carilah )}({ tFL jika
=
3
2,0
3
2),
3
2cos(
)(
t
tt
tF
Menurut definisi transformasi Laplace
=0
)()}({ dttFetFL st
dttedtestst
)3/2cos()0(3/2
3/2
0
+=
+
= 0)3/2(
cosudueus
udueesuscos
0
3/2
=
1
2
3/2
+=
s
ses
d. Sifat pengubahan skala
Jika )()}({ sftFL = maka
=a
sfa
atFL1
)}({
Bukti
Karena
dttFetFL st
=0
)()}({
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 163
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
14/45
maka
dtatFeatFL st
=0
)()}({
Misaladudtsehinggaadtdumakaatu ===
Menurut definisi
=0
)()({ dtatFeatFL st
=0
)(a
duuFe a
su
= duuFea
ua
s
)(1
=a
sfa
1
Contoh:
1. Jika )(
)2(
6)}({
3sf
s
tFL =
+
=
maka )3
(3
1)}3({
sftFL =
3
23
3
6
+
=s
3)6(
9.6
+=s
Soal:
1. Hitunglah )}({ tFL jika
=
10,0
1,)1()(
2
t
tttF
2. Jika)1()12(
1)}({
2
2
++
=ss
sstFL , carilah )}2({ tFL
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 164
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
15/45
3. Jika ,)}({/1
s
etFL
s
= carilah )}3({ tFeL t
Jawab
Karena ),()}({/1
sfs
etFL
s
==
maka menurut sifat 4 diperoleh
=33
1)}3({
sftFL
Sehingga
3
3
1)}3({
3
s
etFL
s
=
ses
31
=
)(sf=
Berdasarkan sifat Jika )()}({ sftFL =
maka )()}({ asftFeL at = (sifat 2)
Maka )1()}3({ += sftFeL t
)1(3
)1(
1 +
+= Ses
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika )()}({ sftFL = maka )0()()}('{ FssftFL =
Karena Karena )()()}({0
sfdttFetFL st ==
, maka
dttFetFL st
=0
)(')}('{
=0
)(tdFe st
p
stst edtFtFe
00
)()()(
=
+=0
)()0( dttFesF st
)0()( Fssf =
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 165
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
16/45
Jika )0()()}('{ FssftFL = maka )(')0()()}(''{ 2 sFsFsfstFL =
Bukti
=0
)(")}(''{ dttFetFLst
=0
))('( tFde st
=
0
)()(')('stst
edtFtFe
+=
0
)(')(' dtetFstFestst
( )))0()(()(' FssfstFe st += )0(')0()(2 FsFsfs =
Dengan cara yang sama diperoleh
dttFetFL st )(''')}('''{0
=
=0
))(''( tFde st
=
0
)()('')('' stst edtFtFe
+=
0
)('')('' dttFestFestst
+=
0
)()(')(')(''ststst
edtFtFestFe
)0('')0(')0()( 23 FsFFssfs =
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,
jika
)()}({ sftFL =
maka
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 166
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
17/45
)0()0(...)0(')0()()}({)1()2(21)( = nnnnn FsFFsFsssftFL
Contoh soal
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,
tunjukkan bahwa
)(}{sin22
sfas
aatL =
+=
Misal attF sin)( = diperoleh atatFatatF sin)('',cos)(' 2==
sehingga )(''{1
}{sin2
tFLa
atL =
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan
diperoleh
( ) fFsFssfa
atL )0(')0()(1
}{sin2
=
+= as
as
as
a)0(
122
2
2
+= aasas
a 22
2
2
1
+
=
22
322
2
1
as
aasas
a
22 as
a
+=
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika )()}({ sftFL = makas
sfduuFL
t )()(
0
=
Bukti:
Misal =t
duuFtG0
)()( maka 0)0()()(' == GdantFtG
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 167
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
18/45
)}({)}('{ tFLtGL =
)(}0{)}({ sfGtGsL =
)()}({ sftGsL =
s
sftGL
)()}({ =
Jadi diperolehs
sfduuFL
t)(
)(0
=
Contoh
1. Carilah
t
duu
uL
0
sin
Misalt
ttF
sin)( =
Makas
tFL1
arctan)}({ =
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
sss
sfdu
u
uL
t1
arctan1)(sin
0
==
2. Buktikanss
duuuL
t 1arctan1sin
0
=
Bukti:
Misal 0)0(sin
)(0
== Fmakaduuu
tF
t
t
ttF
sin)(' = dan tttF sin)(' =
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
1
1}{sin)}('{
2 +==s
tLttFL
1
1)(
2 +=s
ssfds
d
dss
ssf += 11
)(2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 168
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
19/45
Csssf += arctan)(
Menurut teorema harga awal, 0)0()(lim)(0
===
FtFssfLimts
Sehingga diperoleh 2
=c .
Jadiss
ssf1
arctan1
)( =
3. Buktikan( )s
sdu
u
uL
t2
1lncos 2 +=
Bukti:
Misal duu
utF
t
= cos)( makat
ttF
cos)(' = atau ttFt cos)}('{ =
}cos{)}('{ tLttFL =
( ) ( )1
)(1
)0()(122 +
=
+=
s
sssf
ds
datau
s
sFssf
ds
d
+= dsss
ssf 1)( 2
( ) cs ++= 1ln2
1 2
Menurut teorema harga akhir,,0)(lim)(lim
00==
tFssf
ts sehingga c = 0.
Jadi ( ) 01ln2
1)( 2 ++= sssf atau
s
ssf
2
)1ln()(
2 +=
g. Perkalian dengan t n
Jika )()}({ sftFL = maka )()1()()1()({ )( sfsfds
dtFtL n
n
nnn ==
Bukti.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 169
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
20/45
Karena dttFesfst
=
0
)()( maka menurut aturan Leibnitz untuk
menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
==
0
)()(' dttFeds
dsf
ds
df st
dttFes
st)(
0
=
=0
)( dttFte st
=0
)}({ dtttFe st
)}({ ttFL=
Jadi )(')}({ sfds
dfttFL ==
Contoh
1. Tentukan }sin{ attL
Jawab
22}{sin
as
aatL
+
= , maka menurut sifat perkalian dari pangkat t n
diperoleh
( )n
nn
ds
sfdttFL
)(1)}({ = , sehingga
+=
22)1(}sin{
as
a
ds
dattL
222 )(
2
as
as
+=
2. Tentukan }cos{ 2 attL
Menurut sifat di atas,
+=
222
222 )1(}cos{
as
s
ds
dattL
+=
222
22
)( as
sa
ds
d
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 170
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
21/45
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
22/45
g. tttF 2sin)( =
2) Jika
>
=1,
10,2)(
tt
tttF
a. carilah )}({ tFL
b. carilah )}('{ tFL
c. apakah )0()()}('{ FssftFL = berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
=0
3
50
3sin tdtte t
5) Tunjukkan bahwa
}{1
)( 2
0
2 t
t
u ettLs
dueuuL +=
+=
6) Perlihatkan bahwa
a.asbs
teeLbtat
++=
ln
b. 22
22
ln2
1coscos
as
bs
t
btatL
++
=
=
7) Tunjukkan bahwa:
a.ss
duu
uL
u 11ln
111
0
+=
=
b. Jika )()}({ sftFL = maka 20 0
1)()(
1
ssfduuFdtL
t t
=
6.4 Transformasi Laplace Invers
Definisi
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 172
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
23/45
Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika
)()}({ sftFL = maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s).
Secara simbolis ditulis )}({)( 1 sfLtF = . 1L disebut operator transformasi
Laplace invers.
Contoh.
1. Karenate
sL 2
2
1=
maka { }
2
121
=s
eL t
2. Karena ets
sL 3cos
32=
+maka { }
33cos
2
1
+=s
stL
3. Karena
a
at
as
Lsinh1
22=
maka 22
1 1sinh
asa
atL
=
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)}
Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi
Laplace yang sama.
Contoh
tetF
3
1 )(= dan
==
1
10)(
32 tuntuke
tuntuktF
t
Mengakibatkan3
1)}({)}({
2
1
1
1
+== s
tFLtFL
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace
invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan
fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah
tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-
sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 Nt dan eksponensial berorde
untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu { } )()(1 tFsfL = ,
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 173
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
24/45
adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap
ketunggalan di atas.
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers
beberapa fungsi sederhana dibawah ini.
Nomor f(s) )()}({1 tFxfL =
1.
s
1 1
2.2
1
s
t
3.,...3,2,1,0,
11
=+n
sn
!n
tn
4.
as 1
at
e
5.22
1
as +a
atsin
6.22 as
s
+atcos
7.22
1
as aatsinh
8.22 as
s
atcosh
9.222
22
)( as
as
+ attcos
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:
1) Sifat Linear
Misal 1c dan 2c adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan )(1 sf dan
)(2 sf berturut-turut adalah transformasi Laplace dari )(1 tF dan )(2 tF ,
maka:
)}({)}({)}()({ 221
111
22111 tFcLtFcLtFctFcL +=+
)}({)}({ 221
11
1tFcLtFcL
+=
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 174
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
25/45
)}({)}({ 21
21
1
1 tFLctFLc +=
)()( 2211 sfcsfc +=
Contoh
+
+=
+
9
12
9
3
9
1232
1
2
1
2
1
sL
s
sL
s
sL
+
+=
9
112
93
2
1
2
1
sL
s
sL
3
3sin123cos3t
t=
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika )()}({1 tFsfL = maka )()}({1 tFeasfL at=
Contoh
t
t
sL
3sinh
9
12
1 =
maka
3
3sinh
9)2(
1
132(
1 22
1
2
1 tes
Lss
L t=
+=
+
3) Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika )()}({1 tFsfL = maka
=
atuntuk
atuntukatFsfeL
as
,0
),()}({
1
Contoh
tsL sin1
12
1
=
+
maka
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 175
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
26/45
=
3,0
3),
3sin(
92
31
tuntuk
tuntukt
s
eL
s
4) Sifat pengubahan skala
Jika )()}({1 tFsfL = maka
=k
tFk
ksfL1
)}({1
Contoh
Karena ts
sL cos
121 =
+
maka diperoleh
=
+
3cos
3
1
1)3(
32
1 t
s
sL
5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan
Jika )()}({1 tFsfL = maka )()1()()}({ 1)(1 tFtsfds
dLsfL nn
nn =
=
Contoh
Karena ts
L 2sin4
2
2
1 =
+
dan
222 )4(
4
4
2
+
=
+ s
s
sds
dmaka diperoleh
tttts
sL
sds
dL nn 2sin2sin)1(
)4(
4
4
222
1
2
1 ==
+
=
+
6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan
Jika )()}({1 tFsfL = makat
tFduufL
s
)()(
1 =
Contoh
Karenate
ssL
ssL =
+=
+ 31
3
1
1
11
3
1
)1(3
1 11maka
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 176
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
27/45
diperoleh `1
3
1
)1(3
1
3
1
0
1
=
+
te
duuu
Lt
7) Sifat perkalian dengan ns
Jika )()}({1 tFsfL = maka )(')}({1 tFssfL =
Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika
f(t) 0 , sehingga
)(')}0()({1 tFFssfL =
)()0()(')}({1 tFtFssfL = dengan )(t adalah fungsi delta Dirac
atau fungsi impuls satuan.Contoh
arena ts
L 5sin25
52
1 =
+
dan 05sin =t maka
ttdt
d
s
sL 5cos5)5(sin
25
52
1 ==
+
8) Sifat pembagian dengan s
Jika maka =
t
duuFs
sfL
0
1)(
)(
Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.
Contoh
Karena ts
L 2sin4
22
1 =
+
maka diperoleh
( )12cos2
12cos
2
12sin
)4(
2
0 02
1 =
==
+ tuduu
ssL
t t
9) Sifat konvolusi
Jika )()}({1 tFsfL = dan )()}({1 tGsgL = maka
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 177
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
28/45
GFduutGuFsgsfL
t
*)()()}()({0
1 ==
F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan
teorema konvolusi atau sifat konvolusi.
Contoh
Karenate
sL 41
4
1 =
+dan
tes
L 21
2
1 =
maka diperolehttut
tu eeduee
ssL 42)(2
0
41
)2)(4(
1 +==
+
6.6 Metode Transformasi Laplace Invers
Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara,
sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat
digunakan, antara lain:
1) Metode pecahan parsial
Setiap fungsi rasional)(
)(
sQ
sP, dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak
(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya)(
)(
sQ
sPdapat
ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk
,....3,2,1,)()( 2
=++
++
rseterusnyadancbsas
BAsatau
bas
Arr
Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka
dapat ditentukan
)(
)(1
sQ
sPL
Konstanta A, B, C, dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-
pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang
diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 178
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
29/45
Contoh
1. Tentukan
+
6
1632
1
ss
sL
Jawab
++
=
+
)3)(2(
163
6
163 12
1
ss
sL
ss
sL
32)3)(2(
163
+
+=
++
s
B
s
A
ss
s
6
)2()3(2
++=
ss
sBsA
6
)32()(2
++=
ss
ABsBA
atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)3A=16 sehingga didapat
A = -2 dan B = 5
+
+=
++
3
5
2
2
)3)(2(
163 11
ssL
ss
sL
+
+
=
3
5
2
2 11
s
L
s
L
tt ee 32 52 +=
2. Tentukan
+++
)22)(3(
12
1
sss
sL
Jawab
++
++
+
=
+++
)22(3)22)(3(
12
1
2
1
ss
CBs
s
AL
sss
sL
)22)(3(
)3)(()22(
223 2
2
2 ++++++++=
++++
+ ssssCBsssA
ss
CBs
s
A
)22)(3(
3)3(22`
2
22
+++++++++
=sss
CsCBBsAAsAs
Sehingga
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 179
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
30/45
+++++++++
=
+++
)22)(3(
)32()32()(
)22)(3(
12
2
2 sss
CAsCBAsBA
sss
s
Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1
Atau A =5
4 , B =
5
4, dan C =
5
1
Akhirnya diperoleh
++
++
+
=
+++
)22(
5
1
5
4
3
5
4
)22)(3(
12
1
2
1
ss
s
sL
sss
sL
+++
+
+=
++
++
+
1)1(
)1(
5
4
3
1
5
4
)22(
5
1
5
4
3
5
4
2
1
2
1
s
s
sL
ss
s
sL
tee tt cos5
4
5
4 3 +=
2) Metode Deret
Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan
oleh
...)(4
3
3
2
2
1 ++++=s
a
s
a
s
a
s
asf o
Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi
suku demi suku untuk memperoleh
...!3!2
)( 32
21 ++++=
tatataatF o
Contoh
Tentukan
s
eL
s
1
1
Jawab
++=
...
!3
1
!2
111
132
1
sssss
e s
=
++ ...
!3
1
!2
111432 ssss
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 180
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
31/45
Sehingga
++=
...!3
1
!2
111432
12
1
1
ssssL
s
eL
s
222
3
22
2
321211 ttt += + ...
3) Metode persamaan diferensial
4) Turunan terhadap statu parameter
5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema
6) Penggunaan tabel
7) Rumus inversi kompleks
8) Rumus Penguraian Heaviside
Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat
P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda
yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka
=
=
n
k
t
k
k keQ
P
sQ
sPL
1
1
)('
)(
)(
)(
Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:
Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda 1 , 2 , 3 , ... , n
maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh
n
n
k
k
s
A
s
A
s
A
s
A
sQ
sP
+
++
+
= ...
)(
)(
2
2
1
1.....(1)
Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- )k dan mengambil s k
dengan menggunakan aturan LHospital diperoleh
== )(
)(lim)()(
)(lim
sQ
ssPs
sQ
sPA k
sk
sk
kk
= )(lim)(lim
sQ
ssP k
ss kk
= )(lim).(
sQ
sP k
sk
k
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 181
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
32/45
)('
1)(sQ
Pk
= ...
Sehingga (1) dapat ditulis sebagai
nn
n
kk
k
sQ
P
sQ
P
sQ
P
sQ
P
sQ
sP
+
++
+
= 1.
)('
)(1
)('
)(...1.)('
)(1.)('
)(
)(
)(
22
2
11
1
dengan demikian
++
++
+
=
nn
n
kk
k
sQ
P
sQ
P
sQ
P
sQ
PL
sQ
sPL
1.
)('
)(...
1.
)('
)(...
1.
)('
)(1.
)('
)(
)(
)(
22
2
11
111
++ ++ +
nn
n
kk
k
sQ
PL
sQ
PL
sQ
PL
sQ
PL
1.)('
)(...1.
('
(....1.
)('
(1.
)('
)(1
22
21
11
111
t
n
nt
k
ktt nk eQ
Pe
Q
Pe
Q
Pe
Q
P
.
)('
)(....
)('
)(....
)('
)(.
)('
)(21
2
2
1
1 +++++=
=
=n
k
t
k
k keQ
P
1 )('
)(
9) Fungsi Beta
Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai
B(m,n) = 1
0
11 )1( dunu nm a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:
1.)(
)()(),(
nm
nmnmB
+
=
2.)(2
)()(),(
2
1cossin
2
0
1212
nm
nmnmBdmm
+==
Soal-soal
1. Tentukan,
a.
sL
4
121
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 182
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
33/45
b.
9
522
1
s
sL
c.
+
16
244
4
83
22
1
s
s
s
sL
d.
+
23
723
2
5
1
ss
sL
e.
+
3
1
)1(s
sL
f.
+
84
1432
1
ss
sL
g.
++
3212
2082
1
ss
sL
h.
+
23
1 1
s
sL
i.
++
843
252
1
ss
sL
j.
+
16244
)4(2
25
1
ss
ssL
k.
+++
22
1
)22(
1
ss
sL
l.
++
)4)(4(
12
1
ssL
m.
+
32
1
)1(
1
sL
2. Buktikan bahwa:
a.tt ee
ss
sL 22
2
1 256
163 =
+
b.tt ee
ss
sL
2
1
2
31
123
1 +=
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 183
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
34/45
c. 32
2
2
1
2
1
2
1
276
1 ttee
ss
sL
=
+++
d.t
tt
eeesss
s
L
+=
+
+22
3
5)1)(12)(2(
521122
21
e. )3cos(33)9)(4(
1227 42
1te
ss
sL
t =
++
f. )2sin()2cos()4sin(2
1
6420
241624
21 ttt
ss
ssL +=
++
g. ( )tett
sss
sL 3
2
1
5
4sin3cos4
5
1
)22)(3(
1 =
+++
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa
a.
+
)3)(2(
1121
ss
sL
b.
+++
)3)(1)(2(
27191
sss
sL
c.
+
+
6116(
56223
21
sss
ssL
d.
+
)3)(2)(1(
2 21
sss
sL
6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial
a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu
persamaan diferensial dengan koefisien konstan.Misal ditentukan persamaan diferensial
)(2
xFqYdx
dYp
dx
Yd =++ atau )(''' xFqYpYY =++ dengan p,q adalah
konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan
Y(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 184
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
35/45
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara
melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya
gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar
{ } )()( syxYL = .
Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi
Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan
diferensial tingkat tinggi.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1) xYY =+'' dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan
diferensial diperoleh
{ } { } }{"}"{ xLYLYLYYL =+=+
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
{ } ....)0(")0()}({)( 21)( = nnnn FsFstFLstFL, sehingga
)(}{)}0(')0(}{{ 2 xLYLYsYYLs ==
2
2 1)2(s
ysys =++
)2(1)1( 22 +=+ ss
ys
1
2
)1(
1222 +
++
=s
s
ssy
=1
2
11
112222 +
+
++
ss
s
ss
=1
3
1
1222 +
+
+ss
s
s
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 185
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
36/45
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
+
++=
1
3
1
1222
1
ss
s
sLY
+
+
=
1
3
1
12
1
2
1
2
1
sL
s
sL
sL
xxx sin3cos +=
Untuk pemeriksaan jawab di atas
xxY sin3cos1 +=
xxY cos3sin' =
xxY sin3cos'' +=
( ) ( ) xxxxxxYY =+++=+ sin3cossin3cos'' dan Y(0) = 1, Y(0)=-2
2) xeYYY 242'3'' =+ dengan Y(0) = -3 dan Y(0)=5
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial
diperoleh
{ }}4{2'3" 2xeLYYYL
=+Menurut sifat (5) transformasi Laplace{ } ....)0(")0()()( 21)( = nnnn FsFssfstFL
, sehingga
{ } }4{2'3" 2xeLYYYL =+{ } )4(}{2)0(}{3)}0(')0(}{{ 22 xeLYLYYsLYsYYLs =+=
2
42}3{3}53{ 2
=+++=s
ysysys
1432
4)23( 2 +
=+ ss
yss
23
143
)2)(23(
422 +
+
+=
ss
s
sssy
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 186
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
37/45
2
2
)2)(1(
24203
+
=ss
ss
2)2(
4
2
4
1
7
+
+
=
sss
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
+
+
=
2
1
)2(
4
2
4
1
7
sssLY
+
+
=
2
111
)2(
4
2
4
1
7
sL
sL
sL
xxx xeee 22 447 ++=
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian
persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial
yang berbentuk )()( xYxnn
sehingga transformasi Laplace diperoleh
{ } { }
= )()1()( )()( xYLds
dxYxL n
m
mmnm
Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika )()}({ sftFL = maka ( ) ( ) )(1)(1)}({ )( sfsfds
dtFtL n
n
nnn ==
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Tentukan selesaian persamaan diferensial
1) 0'2'' =++ xYYxY dengan Y(0) = 1 dan Y()= 0
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
{ } { }0'2" LxYYxYL =++
{ } { } { } 0'2" =++ xYLYLxYL
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 187
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
38/45
{ } 0)()1())0((2)0(')0()1( 121 =++ yds
dYsyYsYys
ds
d
{ } 0)()1()1(211 12 =++ yds
dsysys
ds
d
0)1()1(2012 2 =++
+
ds
dysy
ds
dyssy
0'221'2 2 =++ ysyyssy
1')1( 2 =+ ys
)1(
1'
2 +=s
y
DiperolehCsds
sy +=
+=
arctan
)1(
1
2
Karena 0y bila s kita dapatkan2
=c , sehingga
ssy
1arctanarctan
2==
Akhirnya didapatt
t
sLY
sin1arctan =
= , hal ini memenuhi Y( ) =0
2) 1''' =+ YxYY , dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
{ } { }1'" LYxYYL =+
{ } { } { }'" YLxYLYL +{ }s
yYsyds
dYsYys
1)}0({)1()0(')0( 12 =+
{ } 0)1(21.2 =++ ysyds
dsys
{ }s
ysyysys1
')'(22 =+++
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 188
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
39/45
ssyssy
12)1('
2 ++=++
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu
derajat satu dan dapat diubah menjadi:
2
121
1'
ssy
ssy ++=
++
Faktor integral persamaan di atas adal22
2
1
2ln2
2
11sssdss
esee == +
+
Maka 22
22
1
2
22 12
1
ss
esss
yesds
d
++=
Sehingga dsesss
es
y
s
y
s
++=22
2
2
)121(1
222
2
21s
es
c
ss++=
Akhirnya diperoleh ty 21+=
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:
1) 0'' =+ YxYY dengan Y(0) = 0 dan Y(0) = 1
2) 02')21('' =+ YYxxY dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2
3) 0')1('' =+ YYxxY dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 04) 04''' =++ xYYY dengan Y(0) = 3 dan Y(0) = 0
5) 04'' =+ YY dengan Y(0)=0 dan Y(0)=7
6) xexYYY +=+ 12423'' dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-1
6.8 Persamaan Diferensial Simultan
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan
diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace
invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat
dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa
simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 189
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
40/45
Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara
bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat
turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam
persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui
nilainya pada variabel yang saling bergantung.
Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.
1. 3)0(,8)0(,
2
32
==
=
=
YXpadabergantung
xydt
dY
yxdt
dX
2. 0)0(,2)0(',3)0(,
2
2===
=
=+
ZYYpadabergantung
eZdt
Yd
tdt
dZ
dt
dX
t
3. 0)0('',4)0(,2)0(',1)0(,sin'''
cos3''3''3====
==+ ZZYYpadabergantung
tZtY
tteZY t
Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi
Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan
metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau
substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang
diperoleh.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 190
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
41/45
1) 3)0(,8)0(,
2
32
==
=
=
YXpadabergantung
xydtdY
yxdt
dX
Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu
gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
)3()2( yLxLdt
dXL =
)2()( xLyLdt
dYL =
atau
83)2(32)0( =+= yxsyxXsx
32)1(2)0( =+= xysxyYsy
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
63)2(2)23()2(32)1( 2 =++=+ sxsysssxys
)4)(1(
223
)43(
322322)236(
2
2
+
=
==+
ss
s
ss
sysyss
Analog, untuk variabel y
)1(8)1(3)2)(1()1.(83)2( =+=+ sysxsssyxs
)4)(1(
1789)1(8)623( 2
+
==+ss
sxsxss
Sehingga
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 191
96)1(33.32)1( =+=+ xysxys
166)2(2)2(83)2( =+=+ yxsyxs
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
42/45
+=
+=
+==
4
2
1
5
4
2
1
5
)4)(1(
223)( 11111
sL
sL
ssL
ss
sLyLY
+
+=
+
+=
+
==
4
3
1
5
4
3
1
5
)4)(1(
178)( 11111
s
L
s
L
ss
L
ss
sLxLX
Atau
tt eeX 435 += dan tt eeY 425 = merupakan selesaian persamaan diferensial
simultan 3)0(,8)0(,
2
32
==
=
=
YXpadabergantung
xydt
dY
yx
dt
dX
2) 55)0(',27)0(,48)0(',35)0(,2sin1534''
153'''
===
=+
=++
YYXXdengantYXY
eXYX t
Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu
gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
( ) )15()3()'('' teLxLYLXL =++
( ) )2sin15()3()4('' tLYLXLYL =+
atau
1
153)0()0(')0(2
+=++s
xYsyXsXxs
4
303))0(((4)0(')0(
2
2
+=+s
yXsxYsYys
atau
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 192
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
43/45
1
1532748352
+=+++s
xsysxs
4
30314045527
2
2
+
=+++s
ysxsys
Atau
( )1
15213532
+==++s
ssyxs
( )4
301952743
2
2
++=+s
ssxys
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
( )( )1
152135)4()4(432
+
==++s
sssysxss
( )( ) ( ) ( )4
301952733433
2
2222
+++=+++s
ssxssyss
)9)(4)(1(
30
)9)(1)(1(
)3(15
)9)(1(
63300483522222
2
22
23
+++
++++
+++
+=
sss
s
sss
s
ss
sssx
4
2
1
3
9
45
1
30222 +
++
++
+
=s
s
sss
s
Analog, untuk variabel y
( )( ) ( ) ( ) }1
152135{3333 2222
+=+=++++s
sssysxss
( ) ( ) }4
3019527{)(43
2
2
++=+s
ssxssyss
( ) ( )( ) )9)(4)(1(
)3(30
911
60
)9)(1(
58535527222
2
2222
23
+++++
++++
++=
sss
s
sss
s
ss
sssy
)4
2
1
3
)1(
60
)9(
30222 +
++
+
++
=ssss
s
Sehingga
tettyLYt
2sin3sin603cos30)(1 +==
tettxLX t 2cos233sin15cos30)(1 ++==
merupakan selesaian persamaan diferensial simultan
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 193
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
44/45
55)0(',27)0(,48)0(',35)0(,2sin1534''
153'''
===
=+
=++
YYXXdengantYXY
eXYX t
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:
1)
0)0()0(')0(,0'2''
sin22''===
=+
=+
ZYYdenganYZY
tZYZY
2) 0)0(')0()0(,12'
''2'===
=+
=+ YYXdengan
YXX
eYXt
3) 1)0(,1)0(,'
)1(''==
=
=++
ZYdenganeZY
ettZZtY
t
t
4) 1)0(,1)(',0)0(,0'2''
sin22''
===
=+
=+
ZYYdenganYZY
tZYZY
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 194
7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)
45/45
top related