Aula Geometria Espacial
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Para o estudo da Geometria e da Matemática, consideram-se dois tipos de proposições: os axiomas e os teoremas. Os axiomas, também chamados de postulados, são proposições aceitas sem demonstração. Os teoremas são todasas proposições que podem demonstradas a partir dos axiomas.
Alguns axiomas.
I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.
Postulado da Determinação da reta
Prof. Elton Pereira
I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.
A B
II) Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano.
Postulado da Determinação do plano
III) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem a esse plano. Nesse caso, dizemos que a reta está contida no plano.
B
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AB
α∈A( α∈B, e )BA ≠ ⇔ α⊂AB
Perpendicularidade
Teorema fundamental da perpendicularidade
Seja r uma reta secante a um plano α num ponto P e sejam a e b duas
retas de α concorrentes em P. Se r é perpendicular a ambas as
retas a e b, então r é perpendicular a todas as retas de α que
passam por P. r
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r
a
b
Definição
Uma reta r é perpendicular a um plano α num ponto P, se r for perpendicular
a todas as retas de α que passam por P.
r
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,...,,)( crbrarr ⊥⊥⊥→⊥ α
ba c
Propriedade Fundamental
Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta que r seja
perpendicular a duas retas concorrentes.
r
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ba
α⊥→⊥⊥ rbrar ),(
Teorema das três perpendiculares
Uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α nãopassa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta que passa por S e R é perpendicular à reta b.
a
R
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α
Ob
c
R
Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retoretangular e de um cubo
cD
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ab
222 cbaD ++=
D
22 ba +
Área da superfície de um prisma
Em todo prisma, consideramos:
lASuperfície lateral: é formada pelas faces laterais
Área lateral: é a área da superfície lateral
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Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases
Área total: é a área da superfície totallbt AAA +=
Consideremos um plano α, uma região poligonal R contida em α e um ponto P não pertencente a α. O conjunto de todos os segmentosque ligam o ponto P a um ponto de R forma uma pirâmide.
P
h
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α
h
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Observação: Se todas as arestas laterais sãocongruentes, a pirâmide é reta, caso contrário, elaé oblíqua
Pirâmide Regular
Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonallimitada por um polígono regular.
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Uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláterasé o tetraedro regular.
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Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. Assim, o tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.
Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulosretângulos nos quais aparecem:
Aresta da base
Aresta lateral
Apótema da base
Altura da pirâmide
x
l
ba
h
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Apótema da pirâmide pah
Área de uma superfície de uma pirâmide
lASuperfície lateral: é formada pelas faces laterais(triângulos)
Área lateral: é a área da superfície lateral
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Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases
Área total: é a área da superfície totallbt AAA +=
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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm
Fonte Figura:
rhAl π2=
Cilindro Reto (revolução)
2rAb π=
22 rA π=
(área lateral)
(área da base)
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22 rAtb π=
rhrAt ππ 22 2 +=
)(2 hrrAt += π
(área total da base)
(área total)
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