Aula Geometria Espacial

Para o estudo da Geometria e da Matemática, consideram-se dois tipos de proposições: os axiomas e os teoremas. Os axiomas, também chamados de postulados, são proposições aceitas sem demonstração. Os teoremas são todasas proposições que podem demonstradas a partir dos axiomas.

Alguns axiomas.

I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.

Postulado da Determinação da reta

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I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.

A B

II) Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano.

Postulado da Determinação do plano

III) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem a esse plano. Nesse caso, dizemos que a reta está contida no plano.

B

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AB

α∈A( α∈B, e )BA ≠ ⇔ α⊂AB

Perpendicularidade

Teorema fundamental da perpendicularidade

Seja r uma reta secante a um plano α num ponto P e sejam a e b duas

retas de α concorrentes em P. Se r é perpendicular a ambas as

retas a e b, então r é perpendicular a todas as retas de α que

passam por P. r

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r

a

b

Definição

Uma reta r é perpendicular a um plano α num ponto P, se r for perpendicular

a todas as retas de α que passam por P.

r

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,...,,)( crbrarr ⊥⊥⊥→⊥ α

ba c

Propriedade Fundamental

Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta que r seja

perpendicular a duas retas concorrentes.

r

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ba

α⊥→⊥⊥ rbrar ),(

Teorema das três perpendiculares

Uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α nãopassa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta que passa por S e R é perpendicular à reta b.

a

R

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α

Ob

c

R

Exercício 1

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Prismas

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Prisma Reto Prisma Oblíquo

Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retoretangular e de um cubo

cD

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ab

222 cbaD ++=

D

22 ba +

Diagonal de um cubo

D

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D

a

222 aaaD ++=

23aD =

3aD =

Área da superfície de um prisma

Em todo prisma, consideramos:

lASuperfície lateral: é formada pelas faces laterais

Área lateral: é a área da superfície lateral

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Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases

Área total: é a área da superfície totallbt AAA +=

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4

32lA =

4

3.6

2lAt =

Área da base de um prisma hexagonal regular

Exercício 2

cD

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ab

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Octaedro Regular

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Consideremos um plano α, uma região poligonal R contida em α e um ponto P não pertencente a α. O conjunto de todos os segmentosque ligam o ponto P a um ponto de R forma uma pirâmide.

P

h

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α

h

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Observação: Se todas as arestas laterais sãocongruentes, a pirâmide é reta, caso contrário, elaé oblíqua

Pirâmide Regular

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonallimitada por um polígono regular.

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Uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláterasé o tetraedro regular.

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Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. Assim, o tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.

Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulosretângulos nos quais aparecem:

Aresta da base

Aresta lateral

Apótema da base

Altura da pirâmide

x

l

ba

h

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Apótema da pirâmide pah

V 22

2

2 pax

l +

=

222 haa bp +=

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M

A

O

Área de uma superfície de uma pirâmide

lASuperfície lateral: é formada pelas faces laterais(triângulos)

Área lateral: é a área da superfície lateral

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Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases

Área total: é a área da superfície totallbt AAA +=

Pirâmide Hexagonal Regular

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A

2

3a

Tetraedro Regular

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N

BD

C

M

θ

2

3.

3

1 a

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P

'A

'B 'C

'D

'E'F

FE

h

H

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A

F

C

D

B2

2

1

=H

h

A

A 3

2

1

=H

h

V

V

CILINDROS

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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm

Fonte Figura:

rhAl π2=

Cilindro Reto (revolução)

2rAb π=

22 rA π=

(área lateral)

(área da base)

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22 rAtb π=

rhrAt ππ 22 2 +=

)(2 hrrAt += π

(área total da base)

(área total)

hAV b .=

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Cones

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gh

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r222 hrg +=Relação Importante

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rgAl π=2rAb π=

2rrgAt ππ += )( rgrAt += π

3

.hAV b=

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Esferas

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3

3

4rV π=

volume

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24 rA π=

volume

Área