eometria Espacia COEDUCAR 2008
Geometria Espacial
COEDUCAR 2008
* Retas e planos no espaço: Postulados
I) Dois pontos distintos definem uma RETA
AB
r
II) Três pontos distintos não colineares definem um PLANO
AB
C
III) Se uma reta está contida no plano
dois pontos distintos dessa reta pertencem ao plano
AB
r
IV) A intersecção de dois planos distintos e não paralelos é uma RETA
* Retas Reversas
Na Geometria Plana
r
s Paralelas
r = sCoincidentes
r
s
Concorrentes
Na Geometria Espacial
Retas Reversas: retas não coplanares
* Exercício 03 – p. 30
Na figura representamos um cubo. Para cada par de retas apresentadas a seguir, diga se elas são concorrentes, paralelas ou reversas.
a)
b)
c)
d)
A
B C
D
E
FG
H
reversas
paralelas
concorrentes
reversas
* Exercício 05 – p. 30
(V ou F) Se duas retas são paralelas a uma terceira, então são paralelas entresi.
r
s
t
r // s e t // s r // t
(V)
*Ângulo entre Retas Reversas
r
s
s’α
α = 90º r e s’ são ORTOGONAIS
*Planos perpendiculares
r e s são PERPENDICULARES
r
s
*Prismas
Prismas retos
Paralelepípedos (cubos) Prismas regulares(Prismas de bases regulares)
VOLUME = Área da Base x AlturaV Ab h
* Exercício 16 – p. 33
As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são proporcionais a 1, 2 e 3.Calcule su área total e seu volume, sabendo que suas diagonais medem .56
A
B C
D
E
FG
H
a
c
b
e
* RESOLUÇÃO
A
B C
D
E
F G
H
a
c
b
Se há proporção entre os lados, podemos fazer:
abb
a2
2
1 ac
c
a3
3
1
Se sua diagonal (D) mede , temos: 56
abc
222 cdD 222 bad
d
e
Juntando-se, temos2222 cbaD
6
4
2
1456
)3()2(2
2222
c
b
a
a
aaaD
48
88
)(2
V
cbaV
A
bcacabA
total
total
* Exercício 18 – p. 33
Um prisma hexagonal regular tem arestas da base de medida 2 e altura de medi-da 4. Calcule.
a)
b)
c)
d)
Volume
Área lateral
Área da base
a medida da maior diagonal
e
* RESOLUÇÃO
a)
364
326
4
366
2
2
.
bb
eqüib
SS
aSS
b) laterais faces das áreas das soma lS
D
48
4266 retângulo
l
l
S
SS
324
436
V
V
HSV b
2x x
c)
e
* RESOLUÇÃO
d) medida da maior diagonal
D
2x x
2x x
60º60º
2
21
2º60cos xx
d
d = 4
1616
4
2
222
D
dD
24D
*Pirâmides
Pirâmide regular
VOLUME = x Área da Base x AlturaV Ab h3
1
*Pirâmides
Planificações
* Exercício 24 – p. 34
Considere um tetraedro regular cujas arestas medem a. Calcule, em função de a:
a) o apótema da base (m)
b) o apótema do tetraedro (m’)
c) a distância do centro da base aqualquer vértice da base (d)
d) a altura (h)
e) a área total (AT)
f) Volume ( V )
e
* RESOLUÇÃO
a) m = ?
6
3
2
º30a
mam
tg
30º
dm
2
a
b) m’ = ?
am’
2
a2
3')'(
22
22 a
mma
a
e
* RESOLUÇÃO
c) d = ?
3
3
336
12
36
9
36
3
436
3
2222
2
222
222
ad
aad
aad
aad
amd
30º
dm
2
a
e
* RESOLUÇÃO
d) h = ?
m’ h
3
6
3
2
3
2
1212
9
36
3
4
3
22
222
222
ah
ah
ah
aah
aah
m
222222 )'()'( mmhmhm
e
* RESOLUÇÃO
e) a área total (AT)
3
4
344
2
2
.
aA
aSA
t
eqüit
hSV b 3
1
f) Volume (V)
36
23
36
18
3
6
4
3
3
1
33
2
aaV
aaV
12
23aV
*Cilindros
Cilíndro reto
Cilíndro eqüilátero
H
diâmetro = H
VOLUME = Área da Base x AlturaV Ab h
* Exercício 25 – p. 34
Num cilindro reto, a altura é o dobro do diâmetro da base, cuja área é 25 cm2.Calcule:
a) a área lateral
b) o volume
c) a maior distância entre dois pontosda superfície cilíndrica.
e
* RESOLUÇÃO
a) Área Lateral
cmR
RSb 5
25 2
Diâmetro = 10 cm Altura = 20 cm
2R = 10 cm
20 cm
Área Lateral = 10 . 20
Área lateral = 200 cm2
e
* RESOLUÇÃO
b) Volume
hSV b
2025 V
3cm 500V
e
* RESOLUÇÃO
c) Maior distância… = D
222 )()( alturadiâmetroD
4001002 D
cm 510D
*Cones
Cone reto
VOLUME = x Área da Base x AlturaV Ab h3
1
Cone eqüilátero
* Exercício 29 – p. 35
As geratrizes de um cone circular reto medem 20 cm e formam ângulos de 60º com o plano da base. Determine a área lateral, a área total e o volume do cone.
* RESOLUÇÃO
60º
gh
* RESOLUÇÃO
60º
gh
g
2r
rr
* RESOLUÇÃO
60º
gh
Área Lateral = Área Setor Circular
grAsc
g
2r
rr
º360
2
gAsc
º180º360
2.
ggComp Arco
(1)
22º180
gggAsc
(1)
)(
No nosso caso, r 2
2
2
2
grgAsc
* RESOLUÇÃO
60º
gh
Encontrando r:
g
2r
rr
cmrr
1020
º60cos
Finalmente, a área lateral será:
2010scA
2cm 200scA
Área Total = Área Lateral + Área da Base (Sb)
210Sb2cm 100Sb
Assim, área total = 100+200
área total = 300 cm2
* RESOLUÇÃO
60º
gh
Altura do Cone:
g
2r
rr
hÁreaV base 3
1
310103
1 2 V
cmhg
hsen 310º60
Volume do Cone:
3cm 3
31000 V
*Semelhança de Sólidos
razão de semelhança entre dois elementos lineares correspondentes = K
*Semelhança de Sólidos
Razão entre ÁREAS
1
2
1
2
1 21 2
2
1
2 KA
A
Razão entre VOLUMES
3
1
2 KV
V
* Exercício 31 – p. 36
A área da base de uma pirâmide pentagonal é de 72 cm2 e altura 12 cm. Qual é a área de uma secção transversal paralela à base a 4 cm desta?
12 cm
4 cm
8 cm
* RESOLUÇÃO
12 cm
8 cm
Sólidos Semelhantes
K8
12
2
3K
A1A2 = 72 cm2
2
1
2 KA
A
2
1 2
372
A
4
972
1
A
21 32 cmA