88 102 · 8 แคลคูลัสเบื้องต้น pat 1 (มี.ค. 55) . ให้ r แทนเซตของจ ำนวนจริง ก ำหนดให้

แคลคลูสัเบือ้งต้น 1

PAT 1 (เม.ย. 57)

17. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั นิยำมโดย 𝑓(𝑥) = {

−𝑥 + 𝑎 , 𝑥 ≤ −2

−2

5𝑥 + 𝑏 , −2 < 𝑥 < 3

𝑥2 − 6𝑥 + 11 , 𝑥 > 3

เมื่อ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำฟังก์ชนั 𝑓 มีควำมตอ่เนื่องที ่ 𝑥 = −2 และ 3

limx

𝑓(𝑥) หำคำ่ได้

แล้วคำ่ของ |𝑎 + 5𝑏| เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 8 2. 18 3. 88

5 4. 102

5

18. ก ำหนดให้ 𝑏 > 1 และ b

1

𝑥−1

𝑥+√𝑥 𝑑𝑥 = 4 คำ่ของ 1 + 𝑏 + 𝑏2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 21 2. 31 3. 91 4. 111

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 เป็นพหนุำมก ำลงัสอง เมื่อ 𝑎, 𝑏, 𝑐 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑎 ≠ 0

โดยที่ 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่สงูสดุที่ 𝑥 = 1

3 ให้ 𝐹(𝛼, 𝛽) =

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 โดยที่ 𝐹(0, 𝑡) = 𝐹(1, 𝑡) + 1

ส ำหรับจ ำนวนจริง 𝑡 > 1 พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) 𝐹(1,2) = 𝐹(2,3) + 10

(ข) อนพุนัธ์ของ 𝑓(𝑥)

𝑥2 เทำ่กบั −3𝑥2−2𝑥−2

𝑥3

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง 1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2. (ก) ถกู แต ่(ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต ่(ข) ถกู 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

12 Nov 2014

2 แคลคลูสัเบือ้งต้น

41. ก ำหนดให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง และ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัท่ีนยิำมโดย

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑥3 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 ถ้ำเส้นตรง 5𝑥 − 𝑦 + 13 = 0 สมัผสักรำฟของ 𝑓 ที่ 𝑥 = 1

แล้ว 2

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

42. ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(3) = 111 และ 3

limx

𝑥𝑓(𝑥)−333

𝑥−3 = 2013

แล้วอตัรำกำรเปลีย่นแปลงของ 𝑓(𝑥) เทียบกบั 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 3 เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 57)

10. พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

(ก) ให้ P(𝑥, 𝑦) เป็นจดุใดๆ ในระนำบ ถ้ำผลบวกของระยะทำงจำกจดุ P(𝑥, 𝑦) ไปยงัจดุ (0, –2)

และระยะทำงจำกจดุ P(𝑥, 𝑦) ไปยงัจดุ (2, –2) เทำ่กบั 2√5 แล้ว

เซตของจดุ P(𝑥, 𝑦) คือ { (𝑥, 𝑦) | 4𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 + 20𝑦 − 12 = 0 }

(ข) จดุ (1, 1) เป็นจดุบนพำรำโบลำ 𝑦 = 𝑥2 อยูใ่กล้กบัเส้นตรง 𝑦 = 2𝑥 – 4 มำกที่สดุ

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง 1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2. (ก) ถกู แต ่(ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต ่(ข) ถกู 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

แคลคลูสัเบือ้งต้น 3

17. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 < 2

√𝑥 − 1 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 > 5

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนเซตของจ ำนวนจริง แล้ว 𝑎 − 𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 5 2. 8 3. 11 4. 12

18. ถ้ำ 2

2

|𝑥2 − 7𝑥 + 6| 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนเต็มที่ 𝑏 ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทำ่กบั 1

แล้วคำ่ของ 𝑎 + 𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 33 2. 69 3. 102 4. 104

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 4𝑥3

𝑥6−3𝑥3+64 เมื่อ 𝑥 เป็นจ ำนวนจริงบวกใดๆ พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

(ก) 𝑓 เป็นฟังก์ชนัเพิ่มบนชว่ง (0, 3)

(ข) คำ่สงูสดุสมัพทัธ์ของ 𝑓 เทำ่กบั 4

13

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง 1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2. (ก) ถกู แต ่(ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต ่(ข) ถกู 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

4 แคลคลูสัเบือ้งต้น

38. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓(1) = 2 และ (𝑓 ∘ 𝑓)(0) = 10 แล้วคำ่ของ 2

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

42. ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัซึง่ 𝑓′′(𝑥) = 3 + 6𝑥 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 และควำมชนัของเส้นสมัผสัโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ จดุ (2, 22) เทำ่กบั 20 แล้วคำ่ของ

4limx

𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 56)

20. ก ำหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง 𝑦 = 3𝑥4−2

𝑥3 เมื่อ 𝑥 > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงที่สมัผสักบัเส้นโค้ง C ที่จดุ (1, 1)

ถ้ำเส้นตรง L ตดักบัพำรำโบลำ 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑦 − 1 ที่จดุ A และจดุ B

แล้วระยะหำ่งระหวำ่งจดุ A และจดุ B เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 4√82 2. 8√82 3. 4√41 4. 8√41

แคลคลูสัเบือ้งต้น 5

38. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {

2𝑥−8

2𝑥−√4𝑥2−3𝑥+12, 𝑥 < 4

𝑘𝑥

3, 𝑥 ≥ 4

โดยที่ 𝑘 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องที่จดุ 𝑥 = 4

แล้ว 𝑓(𝑘 + 1) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของจ ำนวนจริง โดยที่อตัรำกำรเปลีย่นแปลงของ 𝑓(𝑥) เทียบกบั 𝑥 เทำ่กบั 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥)𝑓(𝑥) ถ้ำ 𝑓′(1) = 18 ,

𝑓′′(0) = 6 และ 𝑓(2) = 𝑓(1) + 𝑓(0) แล้วคำ่ของ 𝑔′(−1) เทำ่กบัเทำ่ใด

40. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นพหนุำมก ำลงัสำม ซึง่มีสมัประสทิธ์ิเป็นจ ำนวนจริง โดยท่ีมี 𝑥 + 1 เป็นตวัประกอบของ 𝑓(𝑥)

5 + 2i เป็นค ำตอบชองสมกำร 𝑓(𝑥) = 0 และ 𝑓(0) = 58 คำ่ของ 2

0

[𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)]𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

6 แคลคลูสัเบือ้งต้น

PAT 1 (ต.ค. 55)

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 26𝑥2 + 𝑏𝑥 − 216 เมื่อ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เป็นจ ำนวนจริงสำมจ ำนวนเรียงกนัแบบล ำดบัเรขำคณิต และเป็นค ำตอบของสมกำร 𝑓(𝑥) = 0

แล้ว คำ่ของ 𝑓′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 211 2. 107 3. 101 4. 85

20. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นพหนุำมก ำลงัสอง โดยที่ 𝑓(0) = 1 และ 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑥 + 1 ส ำหรับ

จ ำนวนจริง 𝑥 ใดๆ คำ่ของ 1

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 3 2. 2 3. 2

3 4. 1

3

21. คำ่ของ 1

limx

|1+𝑥−2𝑥2|

√𝑥+3−2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −12 2. 0 3. 12 4. หำคำ่ไมไ่ด้

แคลคลูสัเบือ้งต้น 7

37. ก ำหนดให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 1. (𝑓𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 3 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

2. ฟังก์ชนั 𝑓 และ 𝑔 มีอนพุนัธ์ทกุอนัดบัส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

3. ฟังก์ชนั 𝑓 มีคำ่สงูสดุสมัพทัธ์เทำ่กบั 2 ที่ 𝑥 = 1

4. 𝑔′′(𝑥) = 2 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

ฟังก์ชนั 𝑔 มีคำ่ต ่ำสดุสมัพทัธ์เทำ่กบัเทำ่ใด

38. ก ำหนดให้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมที่สอดคล้องกบั 𝑃(𝑥2 + 3) = 3𝑥4 + 24𝑥2 + 40 และให้ 𝑓(𝑥) = x

0

𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

คำ่ของ 2

limx

√𝑃(𝑥) − 𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมโดยที่ 𝑃(0) = 1 และสอดคล้องกบั 0

limh

3ℎ𝑥+2ℎ

𝑃(𝑥+ℎ+2)+𝑃(ℎ+2)−𝑃(𝑥+2)−𝑃(2) = 1

คำ่ของ 𝑃(12) เทำ่กบัเทำ่ใด

8 แคลคลูสัเบือ้งต้น

PAT 1 (มี.ค. 55)

16. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R เป็นฟังก์ชนัท่ีมีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั โดยที่ 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 + 1 และ 𝑓′(2) = 2

สมกำรของเส้นตรงทีต่ัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 3) คือข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 𝑦 = −1

2𝑥 + 2 2. 𝑦 =

1

2𝑥 +

5

2

3. 𝑦 = −1

2𝑥 +

5

2 4. 𝑦 =

1

2𝑥 + 2

17. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที ่

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+1

𝑥2+1 เมื่อ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริง 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑓′(𝑥) และ ℎ(𝑥) = {

𝑓(𝑥) เมื่อ 𝑥 ≥ 2

𝑔(𝑥) เมื่อ 𝑥 < 2

ถ้ำฟังก์ชนั ℎ ตอ่เนื่องที่ 𝑥 = 2 แล้ว คำ่ของ 2ℎ(−2) − ℎ(2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 0.6 2. 0.8 3. 1 4. 3

18. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนัท่ีมีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั

โดยที่ ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4 , 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥) − 1) และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = 1

แล้วคำ่ของ 𝑓(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 2 2. 1.5 3. 1 4. 0.5

แคลคลูสัเบือ้งต้น 9

37. ก ำหนดให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : R → R และ 𝑔 : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

และ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 8𝑥3 + 44𝑥2 + 80𝑥 + 48 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

แล้วคำ่ของ ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥6

0 เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริงที่แตกตำ่งกนั และให้ L1 และ L2 เป็นเส้นสมัผสัเส้นโค้ง ท่ี 𝑥 = 𝑎 และ 𝑥 = 𝑏 ตำมล ำดบั

ถ้ำ L1 ขนำนกบั L2 และ 0

limh

9ℎ

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1) = 1 แล้วคำ่ของ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

2

0 เทำ่กบัเทำ่ใด

40. จงหำคำ่ของ 4

lim

x

(cot3 𝑥−1) cosec2 𝑥

1+cos 2𝑥−2 sin2 𝑥

10 แคลคลูสัเบือ้งต้น

PAT 1 (ธ.ค. 54)

17. ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3

ถ้ำ N เป็นเส้นตรงทีต่ัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑎, 𝑓(𝑎)) , 𝑎 > 0

และ N มีระยะตดัแกน 𝑦 เทำ่กบั 52 หนว่ย แล้ว ข้อใดเป็นพิกดัของจดุบนเส้นตรง N

1. (−2, 7) 2. (−1, 4) 3. (2, −4) 4. (3, −5)

18. ก ำหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1

2 ,

√3

2 ) เป็นจดุยอดของรูปสำมเหลีย่ม ABC

ถ้ำกรำฟของ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ผำ่นจดุ A(0, 0), B(1, 0)

โดยที่ AC และ BC เป็นเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑓 ที่จดุ A(0, 0), B(1, 0) ตำมล ำดบั

แล้วพื่นที่ท่ีปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑓 และเส้นตรง AB มีคำ่เทำ่ใด

1. √3

6 2. √3

3 3. √3

2 4. 2√3

3

28. ฟังก์ชนั 𝑓, 𝑔, ℎ มีสมบตัวิำ่ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 − 14

𝑓 (𝑥+6

3) = 𝑥 − 2 , ℎ(2𝑥 − 1) = 6𝑔(𝑥) + 12 จงหำคำ่ของ ℎ′(0)

แคลคลูสัเบือ้งต้น 11

38. ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R 𝑓′′(𝑥) = 0 ทกุๆจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓(0) = 23 และ 𝑓(1) = 103 แล้ว จงหำคำ่ของ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

39. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผำ่นจดุ (0, 10) และมีควำมชนัมำกกวำ่ −1 แตน้่อยกวำ่ 0

ถ้ำพืน้ท่ีของอำณำบริเวณทีถ่กูปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบัแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 6 มีคำ่เทำ่กบั 51 ตำรำงหนว่ย แล้ว จงหำพืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ถกูปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบัแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 3

40. จงหำคำ่ของ 0

limx

𝑥

√𝑥+83

+ √𝑥−83

12 แคลคลูสัเบือ้งต้น

PAT 1 (มี.ค. 54)

18. คำ่ของ 0

limx

√𝑥3+𝑥2+𝑥

𝑥2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −1

2 2. 1

2 3. −1 4. 1

19. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำมทีม่ี 𝑓′′(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓(0) = 2 และกรำฟของ 𝑓 มีจดุต ่ำสดุสมัพทัธ์ที่ (1, −5) แล้ว 2𝑎 + 3𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −12 2. 20 3. 42 4. 48

20. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัก ำหนดโดย 𝑔(𝑥) = 1

2𝑥+3 เมื่อ 𝑥 ≠ −

3

2

ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัท่ี (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 แล้ว 𝑓′′ (1

2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −1

2 2. 1

2 3. −8 4. 8

แคลคลูสัเบือ้งต้น 13

42. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัท่ีหำอนพุนัธ์ได้ทกุ 𝑥 ∈ 𝑅

โดยที่ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 5 และ 𝑓(0) = 0

คำ่ของ (𝑓′ ∘ 𝑔′)(1) + (𝑔′ ∘ 𝑓′)(0) เทำ่กบัเทำ่ใด

43. ก ำหนดให้เส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) สมัผสักบัเส้นตรง 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 ที่จดุ (0, 3) และ 2

0

𝑓′′(𝑥) 𝑑𝑥 = −3

ถ้ำ 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑓(𝑥) และ 𝑔′(2) = 0 แล้ว 𝑓(2) เทำ่กบัเทำ่ใด

44. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {

𝑥−3

√2𝑥+10−√𝑥+13เมื่อ 𝑥 ≠ 3

𝑎 เมื่อ 𝑥 = 3

โดยที่ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องทีจ่ดุ 𝑥 = 3 แล้ว 𝑎 เทำ่กบัเทำ่ใด

14 แคลคลูสัเบือ้งต้น

PAT 1 (ต.ค. 53)

18. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง ท่ี 𝑥 = 1 และ ให้ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัท่ีก ำหนดโดย

𝑔(𝑥) = {

√𝑥+3−2

√𝑥−1เมื่อ 𝑥 > 1

𝑓(𝑥)

|𝑥|+7เมื่อ 𝑥 ≤ 1

ถ้ำฟังก์ชนั 𝑔 มีควำมตอ่เนื่องที่ 𝑥 = 1 แล้ว คำ่ของ (𝑔 ∘ 𝑓)(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 2 − √3 2. 2 3. 2 − √7 4. √7 − 2

19. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำม โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

ถ้ำมีฟังก์ชนัพหนุำม 𝑄(𝑥) โดยที่ 𝑓(𝑥) = (𝑄(𝑥))2 แล้วคำ่ของ

1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 71

30 2. 31

30 3. 11

30 4. 1

30

47. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 𝑓(2𝑥 + 1) = 4𝑥2 + 14𝑥

คำ่ของ 𝑓 (𝑓′(𝑓′′(2553))) เทำ่กบัเทำ่ใด

แคลคลูสัเบือ้งต้น 15

PAT 1 (ก.ค. 53)

19. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = {

|𝑥3−1|

𝑥−1, −1 < 𝑥 < 1

𝑎𝑥 + 𝑏 , 1 ≤ 𝑥 < 55 , 𝑥 ≥ 5

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนช่วง (−1, ∞) แล้วคำ่ของ 𝑎𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 5

4 2. −

7

4 3. 15 4. −10

36. โรงงำนผลติตุ๊กตำแหง่หนึง่ มต้ีนทนุในกำรผลติตุ๊กตำ 𝑥 ตวั โรงงงำนจะต้องเสยีคำ่ใช้จำ่ย 𝑥3 − 450𝑥2 + 60,200𝑥 + 10,000 บำท ถ้ำขำยตุ๊กตำรำคำตวัละ 200 บำท โรงงำนจะต้องผลติตุ๊กตำก่ีตวั จึงจะได้ก ำไรมำกที่สดุ

37. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชนัพหนุำมก ำลงัสอง ถ้ำควำมชนัของเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 2) มีคำ่

เทำ่กบั 4 และ 2

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 12 แล้ว 𝑓(−1) + 𝑓′′(−1) มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด

16 แคลคลูสัเบือ้งต้น

38. ก ำหนดให้ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) โดยที่ควำมชนัของเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑥, 𝑦) เทำ่กบั 2 − 2𝑥 และเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีคำ่สงูสดุสมัพทัธ์ เทำ่กบั 5 ถ้ำ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัพหนุำม ซึง่มีสมบตัิ 𝑔(2) = 𝑔′(2) = 5 แล้ว ℎ′(2) มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 53)

18. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

3 ,

𝑔(1) = 8 และ 𝑔′(1) =2

3 คำ่ของ (𝑓 ∘ 𝑔)′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1

3 2. 2

3 3. 1 4. 4

3

37. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั ซึง่ก ำหนดโดย 𝑓(𝑥) = {

𝑥3−3𝑥−2

𝑥−2, 𝑥 < 2

𝑎 − 𝑏 , 𝑥 = 2

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 , 𝑥 > 2

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนเซตของจ ำนวนจริงแล้ว คำ่ของ 𝑎2 + 𝑏2 เทำ่กบัเทำ่ใด

แคลคลูสัเบือ้งต้น 17

38. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัโดยที่ 𝑓′(𝑥) = 3√𝑥 + 5 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

และ 𝑓(1) = 5 แล้วคำ่ของ 4

limx

𝑓(𝑥2)−2

𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 4 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 และควำมชนัของเส้นสมัผสัโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (2, 19) เทำ่กบั 19 แล้ว คำ่ของ 𝑓(1) เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (ต.ค. 52)

ตอนที่ 2

17. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 1 และ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 แล้ว |𝑓(1)| มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด

18 แคลคลูสัเบือ้งต้น

18. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏√𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริงที่ 𝑏 ≠ 0

ถ้ำ 2𝑓′(1) = 𝑓(1) แล้ว 𝑓(4)

𝑓′(9) มีคำ่เทำ่ใด

19. ก ำหนดให้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชนัซึง่มคีำ่สงูสดุที่ 𝑥 = 1 ถ้ำ 𝑓′′(𝑥) = −4 ทกุ 𝑥 และ 𝑓(−1) + 𝑓(3) = 0 แล้ว 𝑓 มีคำ่สงูสดุเทำ่ใด

PAT 1 (ก.ค. 52)

32. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 5 และ 𝑓(0) = 1 แล้ว 1

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 มีคำ่เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 5

3 2. 7

3 3. 2

3 4. 1

3

แคลคลูสัเบือ้งต้น 19

33. ถ้ำ 𝑓, 𝑔 และ ℎ สอดคล้องกบั 𝑓(1) = 𝑔(1) = ℎ(1) = 1 และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = ℎ′(1) = 2 แล้วคำ่ของ (𝑓𝑔 + ℎ)′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 2 3. 4 4. 6

34. เส้นตรงซึง่ตดัตัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสัของเส้นโค้ง 𝑦 = 2𝑥3 −1

√𝑥 ที่จดุ 𝑥 = 1 คือเส้นตรงในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 13𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0 2. 13𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0

3. 2𝑥 − 13𝑦 + 11 = 0 4. 2𝑥 + 13𝑦 − 15 = 0

PAT 1 (มี.ค. 52)

31. ถ้ำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เป็นล ำดบัเรขำคณิตซึง่

1n

𝑎𝑛 = 4 แล้วคำ่มำกที่สดุที่เป็นไปได้ของ 𝑎2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 4

2. 2

3. 1

4. หำคำ่ไมไ่ด้เพรำะ 𝑎2 มีคำ่มำกได้อยำ่งไมม่ีขีดจ ำกดั

20 แคลคลูสัเบือ้งต้น

32. ก ำหนดให้

𝐴 แทนพืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 𝑦 = 1 − 𝑥2 และแกน X

𝐵 แทนพืน้ท่ีของอำณำบริเวณทีใ่ต้เส้นโค้ง 𝑦 =𝑥2

4 เหนือแกน X จำก 𝑥 = −𝑐 ถึง 𝑥 = 𝑐

คำ่ของ 𝑐 ที่ท ำให้ 𝐴 = 𝐵 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. √2 2. 2 3. 2√2 4. 4

33. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 7 𝑓 เป็นฟังก์ชนัเพิ่มบนเซตในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. (−3, −2) ∪ (2, 3) 2. (−3, −2) ∪ (1, 2)

3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2)

34. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) =1

2(

1

√𝑥+

1

√𝑥3) แล้วคำ่ของ

0limh

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)

𝑓(4+ℎ)−𝑓(4) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 16

5 3. 7

5 4. 1

5

แคลคลูสัเบือ้งต้น 21

A-NET 51

ตอนที่ 1

2. ก ำหนดให้ 𝐼(𝑎) = a

a (𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 ส ำหรับ 𝑎 ∈ [0, ∞)

ประโยคในข้อใดตอ่ไปนีม้คีำ่ควำมจริงเป็นจริง เมื่อเอกภพสมัพทัธ์คือช่วง [0, ∞)

1. ∀𝑎[𝐼(𝑎) > 0] 2. ∀𝑎[(𝐼(𝑎) = 0) → (𝑎 = 0)]

3. ∃𝑎[(𝑎 > 2) ∧ (𝐼(𝑎) < 0)] 4. ∃𝑎[(𝑎 ≠ 0) ∧ (𝐼(𝑎) = 0)]

19. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัท่ีนิยำมบนช่วง (0, ∞) โดยที่ 𝑓(2) = 2𝑓(1) และ 𝑓′(𝑥) = 27𝑥 −

1

𝑥2 ถ้ำ L เป็นเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 𝑓(1)) แล้ว จดุในข้อใดตอ่ไปนีอ้ยูบ่น L

1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96)

20. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำมก ำลงัสำม ซึง่นิยำมบนช่วง [−2, 2] โดยที่ 𝑓(0) = 1, 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่ต ่ำสดุที่ 𝑥 = 1, มีคำ่สงูสดุที่ 𝑥 = −1 พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

ก. 𝑓(−2) ≤ 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ [−2, 2]

ข. 𝑓(2) ≥ 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ [−2, 2]

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

22 แคลคลูสัเบือ้งต้น

ตอนที่ 2

9. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง ที่นิยำมโดย

𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2 + 𝑏 เมื่อ 𝑥 ≥ 0

𝑥3 + 1 เมื่อ 𝑥 < 0

ถ้ำ 𝑓′(1) = 4 แล้ว (𝑓 ∘ 𝑓) (−1

√23 ) มีคำ่เทำ่ใด

10. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3 เมื่อ 𝑥 < −1

−2𝑥3 เมื่อ 𝑥 ≥ −1

พืน้ท่ีที่ปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑓 บนช่วง [−4, 0] มีคำ่เทำ่ใด

A-NET 50

ตอนที่ 1 20. ก ำหนดให้ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่นิยำมโดย

𝑓(𝑥) = {

(𝑥 − 1)2 + 1 เมื่อ 𝑥 < 0

𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 − 𝑏 เมื่อ 𝑥 > 1

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนช่วง [−2, 2] แล้ว 𝑓 (1

2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 0.25 3. 0.5 4. 0.75

แคลคลูสัเบือ้งต้น 23

21. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 1 +𝑎

𝑥 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏 ถ้ำ (𝑓 ∘ 𝑔)(0) =

1

2 และ 𝑓′′(−1) = 2 แล้ว (𝑓

𝑔)

′(𝑎 + 𝑏)

เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −

1

3 2. −

1

4 3. 1

4 4. 1

3

22. พืน้ท่ีของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 และแกน X จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 4 เทำ่กบัข้อใด

ตอ่ไปนี ้ 1. 16 ตำรำงหนว่ย 2. 16.25 ตำรำงหนว่ย

3. 16.5 ตำรำงหนว่ย 4. 17 ตำรำงหนว่ย

ตอนที่ 2

5. 1

limx

(1

1−𝑥−

1

2−3𝑥+𝑥2) มีคำ่เทำ่ใด

24 แคลคลูสัเบือ้งต้น

A-NET 49

ตอนที่ 1

17. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥2 เมื่อ 𝑥 < 0

2𝑥 − 1 เมื่อ 0 ≤ 𝑥 < 1

3𝑥 เมื่อ 𝑥 > 1

คำ่ของ 0

limx

𝑓(𝑥2) +0

limx

𝑓(1 − 𝑥) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

18. ถ้ำ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมดีกรีสำม ซึง่มี 1, 2, 3 เป็นค ำตอบของสมกำร 𝑃(𝑥) = 0 และ 𝑃(4) = 5 แล้ว 𝑃′(1) มีคำ่

เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −6

7 2. −

5

6 3. 4

5 4. 5

3

19. ก ำหนดให้ กรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีควำมชนัที่จดุ (𝑥, 𝑦) ใดๆ เป็น 2𝑥 + 2 และ 𝑓 มีคำ่ต ำ่สดุสมัพทัธ์เทำ่กบั −3

พืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) แกน X เส้นตรง 𝑥 = −1 และเส้นตรง 𝑥 = 0 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 7

3 ตำรำงหนว่ย 2. 8

3 ตำรำงหนว่ย

3. 9 ตำรำงหนว่ย 4. 12 ตำรำงหนว่ย

แคลคลูสัเบือ้งต้น 25

เฉลย

PAT 1 (เม.ย. 57) 17. 2 18. 3 19. 2 41. 38 42. 634 PAT 1 (มี.ค. 57) 10. 3 17. 2 18. 4 19. 3 38. 12 42. 100 PAT 1 (มี.ค. 56) 20. 2 38. 24 39. 354 40. 168 PAT 1 (ต.ค. 55) 19. 2 20. 1 21. 3 37. 2.25 38. 3 39. 157 PAT 1 (มี.ค. 55) 16. 2 17. 4 18. 2 37. 990 39. 4 40. 3 PAT 1 (ธ.ค. 54) 17. 2 18. 1 28. 3 38. 63 39. 27.75 40. 6 PAT 1 (มี.ค. 54) 18. 1 19. 3 20. 4 42. 1 43. 8 44. 8 PAT 1 (ต.ค. 53) 18. 4 19. 3 47. 120 PAT 1 (ก.ค. 53) 19. 4 36. 0 37. 18 38. 10 PAT 1 (มี.ค. 53) 18. 2 37. 53 38. 6 39. 7 PAT 1 (ต.ค. 52) 2/17. 0.25 2/18. 12 2/19. 8 PAT 1 (ก.ค. 52) 32. 2 33. 4 34. 4 PAT 1 (มี.ค. 52) 31. 3 32. 2 33. 3 34. 2 A-NET 51 1/2. 4 1/19. 2 1/20. 1 2/9. 1.5 2/10. 3 A-NET 50 1/20. (0.125) 1/21. 4 1/22. (37.33) 2/5. 1 A-NET 49 1/17. 3 1/18. 4 1/19. 2